第一篇：二重極限的計算方法(學年論文)

二重極限的計算方法小結

內 容 摘 要

本文在二元函數定義基礎上通過求對數，變量代換等方式總結了解決二重極限問題的幾種方法，并給出相關例題及解題步驟。及二重極限不存在的幾種證明方法。

關鍵詞：二重極限 變量代換等 不存在的證明

目 錄

序言???????????????????????????

1一、利用特殊路徑猜得極限值再加以驗證………??????1(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以確定???????? 1(二)由累次極限猜想極限值再加以驗證??????????2(三)采用對數法求極限?????????????????2(四)利用一元函數中重要的極限的推廣求兩個重要極限???3(五)等價無窮小代換??????????????????3(六)利用無窮小量與有界函數的積仍為無窮小量??????4(七)多元函數收斂判別方法???????????????4(八)變量代換將二重極限化為一元函數中的已知極限????5(九)極坐標代換法???????????????????6(十)用多元函數收斂判別的方法?????????????7

二、證明二重極限不存在的幾種方法………………………………… 7 總結??????????????????????????10 參考文獻????????????????????????11 I

序言

二元函數的極限是在一元函數極限的基礎上發展起來的，二者之間既有聯系又有區別。對一元函數而言，自變量的變化只有左右兩種方式，而二元函數可以有無數種沿曲線趨于某店的方式，這是兩者最大的區別。雖然二元函數的極限較為復雜，但若能在理解好概念，掌握解題方法和技巧就不難解決。

對于二元函數的二重極限，重點是極限的存在性及其求解方法。二重極限實質上是包含任意方向的逼近過程，是一個較為復雜的極限，只要有兩個方向的極限不相等，就能確定二重極限不存在，但要確定二重極限存在則需要判定沿任意方向的極限都存在且相等。由于二重極限較為復雜，判定極限的存在及其求解，往往因題而異，依據變量(x,y)的不同變化趨勢和函數f(x,y)的不同類型，探索得出一些計算方法，采用恰當的求解方法后，對復雜的二重極限計算，就能簡便，快捷地獲得結果，本文將對二重極限的幾種計算方法做一下小結。一、二重極限的計算方法小結

(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以驗證

利用二元函數極限定義求極限：根據定義解題時只需找出?來。

x3y例1 討論f(x,y)?2，在點的極限。

x?y2[1]解 令y?mx

x?0y?mxlimx3ymx4m2?lim?limx?0

x2?y2x?0y?mx(1?m2)x?01?m2x3y應為此路徑為特殊路徑，故不能說明lim?0.可以猜測值為0。

x?0y?0x2?y2下面再利用定義法證明：???0，取??2?

當0?(x?0)2?(y?0)2?? 有x2?x2?y2?2?

x3yx3y12x3y12由于2 即有?0??x?x?? 2222xy22x?yx?yx3y故lim?0.x?0y?0x2?y2注意（1）?的任意性

（2）?一般隨而變化

（3）若函數以A為極限，則對函數在的某去心鄰域內有范圍（A+?，A-?）。

(二)由累次極限猜想極限值再加以驗證

先求出一個累次極限，該類此極限是否為二重極限在用定義驗證 例2[2] 設f(x,y)?(x?y)sin221(x2?y2?0)。求limf(x,y)22x?0y?0x?y解 ?limlimf(x,y)?0可以猜測有極限值為0.事實上對任意的(x,y)?(0,0)

x?0y?0有f(x,y)?0?(x?y)sin2212222?x?y?x?y，22x?y???0 取???，當x??，y??，(x,y)?(0,0)時，2就有(x2?y2)sin1?0??，即有limf(x,y)?0 22x?0y?0x?y(三)采用對數法求極限

利用初等變形，特別是指數形式常常可以先求起對數的極限。或極限是等未定型，往往通過取對數的辦法求得結果。

例3 求 解

1sinxyx?0?y?0?lim(1?xy)(1?xy)

1sinxy1xyxysinxyx?0?y?0?lim1sinxy?x?0?y?0?limeln(1?xy)?x?0?y?0?limeln(1?xy)

1xy 因為

xyxyln(1?xy)?lne?1 ?1而且limx?0?y?0?sinxy1x?0?y?0?lim 所以

1sinxyx?0y?0lim(1?xy)???e

(四)利用一元函數中重要極限的推廣求兩個重要極限

1? lim?1??lim(1?x)x?e ??x??x?0?x?sinx?

1limx?0x類似于一元函數，我們可以充分利用所熟知的結論。通過構造變形我們能夠化不熟悉為熟悉，進而利用已有的結論而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1?x)x?0y?01x(x?y)（2）limsinxy

x?0y?ax解（1）因為

lim(1?x)?e，limx?01x11?

x?0y?2x?y2 所以

1x(x?y)1x?yx?0y?2lim(1?x)???lim?(1?x)?x?0y?2??1x?e（2）由于

又因為

sinxysinxy??y,y?0, xxysinxysint?lin?1(xy?t,x?0)

x?0y?at?0txylim 所以

sinxysint?linliny?a

x?0y?at?0yxt?alim(五)等價無窮小代換

利用一元函數中已有的結論對式子進行必要的代換以達到簡化的目的，進而求出所要求的極限

33例5 求limsin(x?y)

x?0y?0x?y33 解 因為x?0,y?0,故有x?y?0

所以sin(x3?y3)等價于x3?y3

3333故原式為limsin(x?y)?limx?y?lim(x2?xy?y2)?0

x?0y?0x?0y?0x?0y?0x?yx?y注 無窮小替代求極限時要理解替換過程的本質，不可隨意替換。利用等價無窮小替代求極限其實質就是在極限運算中同時乘一個或是除一個等價無窮小，也就是我們通常所說的“乘除時可以替換，加減時不可隨意替換”

(六)利用無窮小量與有界函數的積仍為無窮小量

充分利用無窮小的性質，與一元函數類似，在求極限過程中，以零為極限的量稱為無窮小量，有關無窮小量的運算性質也可以推廣到多元函數中。

例6[4]2?x?3??y?2? 求 lim

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2 解 因為

2?x?3??y?2?limx?3,y?2?x?3?2??y?2?2?lim?x?3??y?2??x?3?

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2而

?x?3??y?2??x?3?2??y?2?2又 limx?3,y?2?1為有界變量 2?x?3??0 故有 原式=0(七)多元函數收斂判別方法

當一個二重極限不易直接求出時，可以考慮通過放縮法使二元函數夾在兩個已知極限的函數之間，且兩端的極限值相等，則原函數的極限值存在且等于它們的公共值。

例7[5] 求 lim?xx?0y?0?y2

x?y2?解 因為

?x0?而

?y2x2y2x2y2?????x?y

x?yx?yx?yxy2?x?0y?0lim?x?y??0，故

x?0y?0lim?x?y2

x?y2?

(八)變量代換將二重極限化為一元函數中的已知極限

有時為了將所求的極限化簡，轉化為已知的極限，可以根據極限式子的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來較復雜的極限過程轉化為更簡化的極限過程。

1、討論當x?0,y?0，二元函數f(x,y)的極限，利用變量代換把二重極限化為一元函數中已知的極限轉化，相應有t?0從而求得結果。

ln(1?x2?y2)例8 求 lim 22x?0,y?0x?y解 令x2?y2??, 則當x?0,y?0時 ??0，22ln(1?x?y)ln(1??)于是lim?lim?1 22x?0,y?0??0?x?y2、討論當x??,y?aa?0常數時，二元函數f(x,y)的極限，作變量代換，相應有t??，利用已知一元函數的極限公式。

例9 求 lim?1???x??y?a??xy?解 因為

x2x?y???1?其中a?0

?1??1??xy????x2x?y?1???1??xy????xxy(x?y)y

當 x??,y?a時，令xy=t,相應有t?? 則

?1??lim?1??x??y?a??xy?

所以

xy?1??lim?1???e t???t?t?1???lim1?x??y?a?xy???x2x?y?x??y?alimex1xyln(1?)(x?y)yxy?e1a

3、討論x??,y??時二元函數f(x,y)的極限

例10 求 解 因為 x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)

(x?y)e22?(x?y)(x2?y2)(x?y)2xy???2(x?y)(x?y)(x?y)eee當 x??,y??時，令x+y=t,相應有t??

(x?y)2t2則 lim?limt?0

x??,y??e(x?y)t??ex??,y??lim2xyxy??2lim?lim?0 xyxyx??,y??x??,y??eeee所以

x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)?0

(九)極坐標代換法

討論當?x,y???0,0?時，二元函數f(x,y)的極限，必要時可以用極坐標變換

?x?rcos?,y?rsin?，即將求f(x,y)當極限問題變換為f(rcos?,rsin?)求r?0的極

?限問題。但必須要求在r?0的過程中與?的取值無關。注意這里不僅對任何固定的?在r?0?時的極限與?無關，而且要求在r?0?過程中?可以隨r的改變而取不同的值的情況下仍然無關，才能說明lim[6]x?0,y?0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)?(0,0)x2?y2解 令

?x?rcos?，當(x,y)?(0,0)時，有r?0? ??y?rsin?令

x2y2r4cos2?sin2???r2cos2?sin2? 222x?xr22因為 cos?sin??1

所以

x2y2222lim?limrcos?sin?0(x,y)?(0,0)x2?y2r?0?

(十)用多元函數收斂判別的方法

通過縮放法使二元函數夾在兩個已知極限的函數之間，再利用兩邊夾定理來推出結果。

x2?y2例12 求 lim

x?0y?0x?y 解 因為

x2?y2?x?y?0???x?y x?yx?y2而 limx?0y?0?x?y??0

22x?y 所以 lim?0

x?0y?0x?y

二、證明二重極限不存在

若二元函數f(p)在區域D有定義，p0(x0,y0)是D的聚點。當動點p(x,y)沿著兩條不同的曲線（或點列）誣陷趨近于點p0(x0,y0)，二元函數f(p)，有不同的“極限”，則二元函數f(p)在點p0(x0,y0)不存在極限。依此可以有下面幾種方法來證明f(p)在區域D上當p?p0時極限不存在。

例1[7] 證明x?0y?0limln(x?ey)x2?y2不存在

y22證明 函數的定義域為D?(x,y)x??e,x?y?0，當點p(x,y)沿著y

??軸趨于點(0,0)時，有x=0，而

x?0y?0limln(x?ey)x2?y2?limy?0y不存在，y所以

x?0y?0limln(x?ey)x?y22

當P沿著D中某一連續曲線趨近于點p0(x0,y0)時，二元函數f(p)的極限不存在，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 證明x?0y?0limx4?y4不存在

x?y證明 函數的定義域為D?(x,y)x?y?0，當點p(x,y)沿著x軸趨于點（0，x4?y40）時，lim=0，當點p(x,y)沿著y?x(x3?1)趨于點（0，0）時x?0y?0x?yx4?y4x4?x4(x3?1)lim?lim?2 4x?0x?0x?yx所以

x?0y?0??limx4?y4不存在

x?y當P沿著D中兩條不同的連續曲線趨近于p0(x0,y0)時，二元函數f(p)的極限都存在，但不相等，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33x?y例3 證明

x?0y?0lim證明 設x?rcos?,y?rsin?函數的定義域為

D?(r,?)r?0,cos??sin??0,?0,2??

??

x?0y?0limx2y2?x3?y3xlim(r,?)?D?0?rcos2?sin2? cos3??sin3?rcos2?sin2?當??0時，sin??0得lim?0 33x?0?cos??sin?(r,?)?D當??(33??1)時cos3??sin3??0?,cos2?sin2??443令cos??sin??r有

x?0?cos3??sin3??rlimrcos2?sin2?1??0

cos3??sin3?4所以

x?0y?0limx2y2 不存在

x3?y3對于一些難以找到的路線，可以利用極坐標來證明 例4[8] 證明 limx?0y?0x2?y2不存在 22x?2yx2?y2x3證明 limlimf(x,y)?limlim2?lim2?limx?0

x?0y?0x?0y?0xx?0xx?0?2y2x2?y2y211 limlimf(x,y)?limlim2?lim?lim?x?0y?0x?0y?0x?2y2y?02y2y?022

即得

x?0y?0limx2?y2x2?y2 ?limlim2222x?0y?0x?2yx?2yx?0y?0因為兩個累次極限不想等，所以

limx2?y2 不存在 22x?2y總結

函數極限是數學分析中非常重要的內容，也是比較難理解和掌握的部分，特別是二元函數的極限，但二元函數在多元函數微積分學中有著舉足輕重的作用，探討其存在性與求法是進一步學習多元函數微積分有關概念和方法的基礎。文中列出了利用特殊路徑猜得極限值再加以確定、由累次極限猜想極限值再加以驗證、采用對數法求極限、利用一元函數中重要的極限的推廣求兩個重要極限、等價無窮小代換、利用無窮小量與有界函數的積仍為無窮小量、多元函數收斂判別方法、變量代換將二重極限化為一元函數中的已知極限、極坐標代換法、用多元函數收斂判別的方法等始終二重極限的計算方法及四種二重極限不存在的證明方法。在實際解決二重極限問題時要根據題型不同選擇最優的解題方式，不但能提高正確率也可以節省時間和工作量，達到事半功倍的效果。

參考文獻

［1］孫濤.數學分析經典習題解析[M].北京:高等教育出版社,2004.［2］張貴文,汪明凡.關于多元函數的極限[J].數學學習,1983.［3］華東師范大學數學系.數學分析.下冊(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.［4］同濟大學應用數學系.高等數學(下冊)(五版)[M].北京:高等教育出版社，2002.［5］閻家灝.正項級數斂散性的一種審斂[J].蘭州工業高等專科學校學報,2004.［6］閻家灝.用極坐標變換確定二重極限的技巧及實例[J].蘭州工業高等專科學校學 報,2006.［7］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1992.［8］張雅平.二重極限的幾種求法[J].雁北師范學院學報（自然科學版），2005，（2）..10

第二篇：證明二重極限不存在

證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在,是二元函數這一節的難點,在這里筆者對這一問題不打算做詳細的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找幾條通過(或趨于)定點(x0,y0)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時,f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經過(x0,y0),并且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結論就不同(這時f(x,y)→1)。為什么會出現這種情況呢?仔細分析一下就不難得到答案

若用沿曲線，(，y)一g(，y)=0趨近于(，y0)來討論，一0g，Y。可能會出現錯誤，只有證明了(，)不是孤立點后才不會出錯。o13A1673-3878(2008)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數極限)不存在。是二元函數這一節的難點，在這里筆者對這一問題不打算做詳細的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找幾條通過(或趨于)定點(xo，Yo)的特殊曲線，如果動點(x，Y)沿這些曲線趨于(xo，Y。)時，f(x，Y)趨于不同的值，則可判定二重極限limf(x，Y)不存在，這一方I—’10r’Y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時，是有一定技巧的，不過不管找哪條曲線，這條曲線一定要經過(xo，Y。)，并且定點是這條曲線的非孤立點，這一點很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對于型如2的極限，在判卜’Iogx，Yy—·y0斷其不存在時，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯。

當沿曲線y=-x+x^2趨于(00)時，極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

當沿直線y=x趨于(00)時，極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

當沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。

第三篇：2018考研數學：二重極限

東莞中公教育

2018考研數學：二重極限

以下是中公考研數學研究院的老師為大家整理了2018考研數學:二重極限的題型講解，供大家復習參考。

高等數學的研究對象是函數，而極限則是研究函數的最重要的工具，對于一元函數如此，對于多元函數亦是如此。那么在學習多元微分學之前，首先來認識多重極限的概念，在此以二重極限為例進行說明。東莞中公教育

2.考試要求會計算二重極限，最直接的想法就是一元函數求極限的方法中哪些還可以繼續使用，其中四則運算法則，等價無窮小替換和夾逼定理及其推論(無窮小量乘以有界量等于無窮小量)可以使用。

【注記】1.取路徑的方法只是用來驗證函數的極限不存在，不能用于求極限。并且路徑一般取為直線，便于計算。

2.考試不會直接考查二重極限的計算，而是在研究函數的連續性、可導性和可微性的時候需要計算二重極限。

最后，中公考研祝全體考生考研成功!

第四篇：定義證明二重極限

定義證明二重極限

就是說當點(x,y)落在以(x0,y0)點附近的一個小圈圈內的時候，f(x,y)與A的差的絕對值會灰常灰常的接近。那么就說f(x,y)在(x0,y0)點的極限為A

關于二重極限的定義，各類數學教材中有各種不同的表述，歸納起來主要有以下三種：定義1設函數在點的某一鄰域內有定義(點可以除外)，如果對于任意給定的正數。，總存在正數，使得對于所論鄰域內適合不等式的一切點p(X，y)所對應的函數值都滿足不等式那末，常數A就稱為函數當時的極限.定義2設函數的定義域為是平面上一點，函數在點兒的任一鄰域中除見外，總有異于凡的屬于D的點，若對于任意給定的正數。，總存在正數a，使得對D內適合不等式0<戶幾卜8的一切點p，有不等式V(p)一周<。成立，則稱A為函數人p)當p～p。時的極限.定義3設函數X一人工，”的定義域為D，點產人工。，人)是D的聚點，如果對于任意給定的正數。，總存在正數8，使得對于適合不等式的一切點p(X，…ED，都有成立，則稱A為函數當時的極限.以上三種定義的差異主要在于對函數的前提假設不盡相同.定義1要求人X，…在點p入x。，汕)的某去心鄰域內有定義，而定義2允許人工，y)在點p。(X。，入)的任一去心鄰域內都有使人X，y)無定義的點，相應地，定義I要求見的去心鄰域內的點p都適合/(p)一A卜

利用極限存在準則證明：

(1)當x趨近于正無窮時，(Inx/x^2)的極限為0;

(2)證明數列{Xn}，其中a>0，Xo>0,Xn=/2,n=1,2,…收斂，并求其極限。

1)用夾逼準則:

x大于1時,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2極限為0

故(Inx/x^2)的極限為0

2)用單調有界數列收斂:

分三種情況,x0=√a時,顯然極限為√a

x0>√a時,Xn-X(n-1)=/2<0,單調遞減

且Xn=/2>√a,√a為數列下界,則極限存在.設數列極限為A,Xn和X(n-1)極限都為A.對原始兩邊求極限得A=/2.解得A=√a

同理可求x0<√a時,極限亦為√a

綜上,數列極限存在,且為√

(一)時函數的極限：

以時和為例引入.介紹符號:的意義,的直觀意義.定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中為充分大的正數.然后用這些鄰域語言介紹幾何意義.例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.定義函數極限的“”定義.幾何意義.用定義驗證函數極限的基本思路.例4驗證例5驗證例6驗證證由=

為使需有為使需有于是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.幾何意義:介紹半鄰域然后介紹等的幾何意義.例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關系:

Th類似有:例10證明:極限不存在.例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限為例討論性質.均給出證明或簡證.二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

Th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在Th4的條件中,改“”為“”,未必就有以舉例說明.5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作為公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作為公式用,我們將陸續證明這些公式.利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.例1(利用極限和)

例2例3註:關于的有理分式當時的極限.例4

例5例6例7

第五篇：極限計算方法總結(簡潔版)

極限計算方法總結（簡潔版）

一、極限定義、運算法則和一些結果

1．定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見《高等數學》函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數列或函數的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：lim?0，當|q|?1時b?0(a,b為常數且a?0)；lim(3x?1)?5；limqn??；

x?2n??ann??不存在，當|q|?1時?等等

（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。

2．極限運算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B

（3）limf(x)A?,(此時需B?0成立)g(x)B

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。3．兩個重要極限（1）limsinx?

1x?0x1x（2）

(1?1)x?e

lim(1?x)?e ； limxx??x?0說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式，作者簡介：靳一東，男，（1964—），副教授。

1?2x例如：limsin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x3?e，lim(1?)?e；等等。

x??xx

34．等價無窮小

定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當x?0時，下列函數都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當上面每個函數中的自變量x換成g(x)時（g(x)?0），仍有上面的等價

關系成立，例如：當x?0時，定理4 如果函數

e3x?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～ 1 g1(x)，則當limx?x0f1(x)f1(x)f(x)存在時，lim也存在且等于f(x)lim，即

x?xx?x00g(x)g1(x)g1(x)x?x0limf1(x)f(x)lim=。

g(x)x?x0g1(x)5．洛比達法則

定理5 假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導，且g(x)的導數不為0；

（3）limf?(x)存在（或是無窮大）； ?g(x)f(x)f?(x)f(x)f?(x)

則極限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。

g(x)g?(x)g(x)g?(x)說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“

0?”型或“”型；條件0?（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續使用，但每次使用之前都需要注意條件。

6．連續性

定理6 一切連續函數在其定義去間內的點處都連續，即如果x0是函數f(x)的定義去間內的一點，則有limx?x0f(x)?f(x0)。

7．極限存在準則

定理7（準則1）單調有界數列必有極限。

定理8（準則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個數列，且滿足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

n??

（2）limyn?a，limzn?a

n??n??

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxnn???a。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限 例1 limx?13x?1?2

x?1(3x?1)2?223x?33?lim?。解：原式=limx?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4注：本題也可以用洛比達法則。

例2 limn(n?2?n?1)

n??n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以?解：原式=limn??n?2?n?1(?1)n?3n例3 lim

n??2n?3n上下同除以3nnlimn??31?21?1?nn?3。2解：原式?1(?)n?1lim3?1。n??2n()?132． 利用函數的連續性（定理6）求極限 例4 limx2ex?21x

12x解：因為x0?2是函數f(x)?xe的一個連續點，所以

原式=2e?4e。123． 利用兩個重要極限求極限 例5 lim1?cosx

x?03x2xx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達法則。例6 2xlim(1?3sinx)

x?01?6sinx??3sinxx1?3sinx?6sinxx解：原式=lim(1?3sinx)x?0?lim[(1?3sinx)x?0]?e?6。

例7 lim(n??n?2n)n?1解：原式=lim(1?n???3)n?1n?1?3n??3n?1?lim[(1?n???3)n?1n?1?3]?3nn?1?e?3。

4． 利用定理2求極限

2例8 limxsinx?01 x解：原式=0（定理2的結果）。

5． 利用等價無窮小代換（定理4）求極限

例9 limx?0xln(1?3x)2

arctan(x)2

2解：?x?0時，ln1(?3x)～3x，arctaxn)(～x，? 原式=limx?0x?3x?3。x2ex?esinx例10 lim

x?0x?sinxesinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)?lim?1。解：原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx注：下面的解法是錯誤的：

(ex?1)?(esinx?1)x?sinx?lim?1。

原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx

正如下面例題解法錯誤一樣：

tanx?sinxx?xlim?lim?0。33x?0x?0xx例11 1tan(xsin)x limx?0sinx22xsin解：?當x?0時，2111是無窮小，?tan(x2sin)與x2sin等價，xxx1xsin1x?limxsin?0。

所以，原式=lim（最后一步用到定理2）

x?0x?0xx6． 利用洛比達法則求極限

說明：當所求極限中的函數比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續使用。

例12 limx?01?cosx（例4）

3x2sinx1?。（最后一步用到了重要極限）

x?06x6解：原式=limcos例13 ?xlimx?12 x?14 ?解：原式=limx?1?2sin?x2???。12例14 limx?0x?sinx x31?cosxsinx1lim?。=（連續用洛比達法則，最后用重要極限）2x?0x?06x63x解：原式=lim例15 limsinx?xcosx 2x?0xsinx原式?lim解：sinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2 xsinx1?lim?x?033x2例18 11lim[?] x?0xln(1?x)11lim[?]?0。解：錯誤解法：原式=x?0xx

正確解法：

原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01 ?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2x?2sinx

3x?cosx1?2cosx0”型，但用洛比達法則后得到：lim，此極限

x??3?sinx0應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 limx??解：易見：該極限是“不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

2sinx1x原式=lim（分子、分母同時除以x）=（利用定理1和定理2）

x??cosx33?x1?7． 利用極限存在準則求極限 例20 已知x1xn ?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??n??解：易證：數列{xn}單調遞增，且有界（0

xn存在，設 limxn?a。

n??對已知的遞推公式

xn?1?2?xn兩邊求極限，得：

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）。所以 limxn?2。

n??1n?1nn?n22n??例21 lim(?1n?2?12???11n?n2)

1n?n2解： 易見：n?12?n?22????nn?12

因為 limn??nn?n2?1，limn??nn?1?122?1

???1n?n2所以由準則2得：lim(n??1n?12n?2)?1。

上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。