第一篇：計算方法總結

1.何為有根區間

給定一個方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上連續，又f(a).f(b)<0,則由連續函數的性質知，方程f(x)=0在（a,b）內至少有一個實根。這時我們稱區間[a,b]為方程f(x)=0有根區間 2.尋找方程的有根區間的常用方法是什么 1.作圖法 2.逐步搜索法

3.作圖法尋找有根區間適用于哪種情況

函數f(x)比較簡單時適用

4.對于已知方程，如何利用逐步搜索法在區間內尋找有根區間

從X0=a出發，按照事先選擇的步長h=(b-a)/N(N為正整數)，逐點計算Xk==a+kh處的函數值f(Xk)與f(Xk+1)的值異號時，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一個有根區間 5.逐步搜索法在計算機上實現方便。

6.對于給定的n次代數方程，如何確定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},則方程的根的絕對值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},則方程的根的絕對值大于1/(1+b).7.步長h的選擇，對于逐步搜索法有何影響

當步長h越小時，找出的有根區間越小，這時以區間內的某個值作為根的近似值就越精確。但h越小，計算量越大 8.二分法求解方程的根有和優點，有何缺點

優點是算法簡單，而且收斂性總能得到保證，缺點是收斂速度慢。

9.艾特金迭代法與二分法相比，計算收斂速度快，節省時間，并且能求出某些發散的迭代過程的根。10.牛頓法的優點是什么，缺點是什么

優點是收斂速度快，節省計算量，誤差累積少。

缺點是在計算時它要用到f（x）的導數，當f（x）比較復雜時，計算其導數花費時間多。11.弦截法的優點是什么，它與牛頓法相比，收斂速度與計算速度如何

優點是不必計算f'(x),收斂速度也相當快,但比牛頓法慢。從計算速度來看，弦截法比牛頓法快。

12.弦截法的基本思想是什么（結合圖示說明），如何選取弦截法中的不動點

1準備2迭代3控制4迭代準備 13.何為階收斂，收斂速度與的大小有何關系

收斂速度的大小與收斂階數有關系，收斂階數越大，收斂速度越快。14.哪一類問題稱為插值問題

由實驗或測量得到了某一函數y=f(x)在n+1個點x0,x1,....,xn處的值y0,y1,...yn,需要構造一個簡單函數p(x)作為函數y=f(x)的近似表達式

Y=f(x)約等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),這類問題稱為插值問題

15.常用的插值算法有哪幾種，各有什么優缺點

一拉格朗日插值 線性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多項式（區間大時誤差也較大）

二分段插值1分段線性插值2分段二次插值（優點是公式簡單，計算量小，有較好的收斂性和穩定性，并且可以避免計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢的困難。）

三差商與牛頓插值公式（不需要增加插值接點，不浪費）

四差分與等距節點差值公式（進一步簡化插值公式，計算也方便）五三次樣條差值（既能保證曲線連續，又能保證光滑性要求）

16.線性插值的幾何意義是什么（結合圖形進行說明）

線性插值的幾何意義是利用通過兩點的直線去近似代替曲線。

17.線性拉格朗日插值的截斷誤差限與什么量有關, 是什么關系

與x 在[a,b]時，f''(x)絕對值的最大值有關系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截斷誤差限與什么量有關, 有什么關系

P93與x在[x0,x2]時，f'''(x)對值的最大值有關系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通過n+1個互異節點且滿足插值條件的插值多項式是唯一的

20.線性插值或二次插值優缺點：簡單方便，計算量小。缺點是精度較低；

21.當低次插值的精度不夠時，應該適當縮小插值區間的長度來提高精度； 22.高次插值優缺點：插值精度高，缺點是數值不穩定；

25.分段插值優缺點：公式簡單，計算量小，且有較好的收斂性和穩定性，并可避免計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢的困難.缺點是不能保證曲線在連接點處的光滑性。

26.應用低次插值進行分段插值時，應盡可能地在插值點的鄰近選取插值節點。

27.拉格朗日插值多項式與牛頓插值公式相比而言，拉格朗日插值多項式有何缺點，牛頓插值公式有何優點？

用拉格朗日插值多項式計算函數值時，當精度不滿足要求而需要增加插值節點時，原來的插值多項式就不能使用了，必須重新構造一個，將造成很大浪費。而牛插可以增加新的節點，原來的計算結果仍可利用。28.何為差商，給定個互異測試點,如何計算各階差商

函數值與自變量的差商就是差商，一階差商(或記作f[x0，x1])；

二階差商29.差商的對稱性

差商與插值節點順序無關

(或記作f[x0，x1，x2])

30.牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式有什么關系，有什么不同點

“牛前插”適用于計算x0附近的函數值，“牛后插”適用于計算函數表末端附近的函數值。31.為何要提出樣條插值，它克服了其它插值方法的何種缺點，它具有什么優點

在整個插值區間上做高次插值多項式，曲線光滑，但計算量繁重，誤差積累大，穩定性差。分段低次插值可避免這些缺點，但各段連接點處只能保證曲線連續，而不能保證光滑性要求。樣條插值其插值曲線不僅連續而且處處光滑。

32.曲線擬合解決了插值中的什么問題。擬合與插值有什么不同點

可以部分抵消原來數據組中所包含的測量誤差。P115 33.何為最小二乘曲線擬合法

用?(x)擬合數據(xk，yk)(k＝1，2，?，n)，使得誤差的平方和

為最小，求?(x)的方法，稱為最小二乘法。

第二篇：計算方法總結

第一章：基本概念

???x1x2...xm.xm?1xm?2...x?m?n 1.x??x1x2...xm.xm?1xm?2...xm?nxm?n?1x??若x?x1?m?n及其以前的非零數字稱為準確數字。?準確到n位小數，x?10?n，稱x2各位數字都準確的近似數稱為有效數，各位準確數字稱為有效數字。2.f(x)?x???l?0.x1x2...xt

進制：?，字長：t，階碼：l，可表示的總數：2?(U?L?1)?(??1)?t?1?1 3.計算機數字表達式誤差來源

實數到浮點數的轉換，十進制到二進制的轉換，結算結果溢出，大數吃小數。4.數據誤差影響的估計：

???y?y1nn?y?y??(x1,x2,...xn)??(x1,x2,...xn)xi?xi ???xi，小條件數。

?xiy?xiy1解接近于零的都是病態問題，避免相近數相減。避免小除數大乘數。

5.算法的穩定性

若一個算法在計算過程中舍入誤差能得到控制，或者舍入誤差的積累不影響產生可靠的計算結果，稱算法數值穩定。

第二章：解線性代數方程組的直接法

1.高斯消去法

步驟：消元過程與回代過程。

順利進行的條件：系數矩陣A不為零；A是對稱正定矩陣，A是嚴格對角占優矩陣。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出現，出現小除數，轉化為大系數，引起較大誤差。解決：在消去過程的第K步，交換主元。還有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特爾分解即LU分解。

用于解方程AX?b?LUX?b???LY?b；

UX?Y?用于求A?LU?LU?U?u11u22...unn。

克羅特分解：A?LU?LDD?1U?(LD)(D?1U)，下三角陣和單位上三角陣的乘積。將杜立特爾分解或克羅特分解應用于三對角方程，即為追趕法。

對稱正定矩陣的喬列斯基分解，A?GG，下三角陣及其轉置矩陣的乘積；用于求解

TAX?b的平方根法。

改進平方根法：利用矩陣的A?LDL分解。4.舍入誤差對解的影響

T向量范數定義： 常用的向量范數： 矩陣的范數： 常用的矩陣范數：

矩陣范數與向量范數的相容性： 影響：?x?xk1?k?AA(?b?A?1其中cond(A)?k?AA，k值大，病態問題。?)，bA第三章：插值法

1.定義

給定n+1個互不相同的點，xi及在xi處的函數值yi(i=0～n)，構造一個次數不超過n次的多

nx)。項式：Pn(x)?a0?a1x?a1x2?...?a1xn，使滿足Pn(xi)?yi。取f(x)?P(稱Pn(x)為插值多項式，xi為插值節點，f(x)為被插函數。插值問題具有唯一性。

2.Lagrange插值多項式 表達式：

誤差估計式：

3.Newton插值多項式 差商： 表達式： 誤差表達式： 差商的性質：

1)差商與節點的次序無關； 2)K階差商對應K階導數； 3)4)5)

4.埃爾米特（帶導數）插值多項式 1)Newton法，給定f及f(k)為數字；

2)Lagrange法，給定f及f(k)為表達式。

5.三次樣條插值函數

分段三次插值多項式的定義：S(x)在子區間[xi-1,xi]上是三次多項式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上連續。

三次樣條插值函數的導出：

第四章：函數最優逼近法

1.最優平方逼近

對于廣義多項式：P(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)，其中?i(x)線性無關。要求：

若f(x)是表格函數，確定P(x)稱為最小二乘擬合函數，當?i(x)?xi，P(x)為最小二乘多項式；若f(x)是連續函數，稱P(x)為最優平方逼近函數。

2.函數的內積，范數定義及其性質 內積的定義：

性質：

范數的定義： 范數的性質：

正規方程組或法方程組：

3.正交多項式

正交函數系的定義：

代入正規方程組的系數矩陣，則： 幾個正交多項式舉例： 1)勒讓德多項式

2)拉蓋爾多項式

3)埃爾米特多項式

4)切比雪夫多項式

四種正交多項式均可用于高斯型求積公式；P多項式用于最優平方逼近，T多項式用于最優一致逼近。

正交多項式的性質：

1)正交多項式?gk(x)?線性無關，推論：Pk(x)(k?n)與gn(x)正交。2)在區間[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多項式gn(x)有n個不同的零點。3)設?gk(x)?是最高次項系數為1的正交多項式，則：

4.最優一致逼近法

(1)切比雪夫多項式的性質 性質1：?Tk(x)?是[-1,1]上關于?(x)?11?x2(T0,T0)??,(Tk,Tk)??/2；的正交多項式，性質2：Tk?1(x)?2xTk(x)?Tk?1(x)； 性質3：Tk(x)是最高次項為2x的奇次項；

k?1xk的k次多項式，T2k(x)只含x的偶次項，T2k?1(x)只含

2i?1?,i?0,1...k?1； 2ki性質5：在[-1,1]上，Tk(x)?1，且在k+1個極值點xi?cos?,i?0,1...k處Tk(x)依次取

k性質4：Tk(x)有k個不同的零點，xi?cos得最大值1和-1；

性質6：設Pn(x)是任意一個最高次項系數為1的n次多項式，則：

?1?x?1maxPn(x)?max?1?x?111 Tn(x)?n?1n?122(2)最優一致逼近法的定義

設函數f(x)在區間[a,b]連續，若n次多項式Pn(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)使Pn?f??maxPn(x)?f(x)達到最小，則稱Pn(x)為f(x)在[a,b]上的最優一致逼近a?x?b函數。

切比雪夫定理：n次多項式P(x)成為函數y=f(x)在區間[a,b]上最優一致逼近多項式的充要條件是誤差R(x)?f(x?)P(x)區間[a,b]上以正負或負正交替的符號依次取得在E?maxR(x)的點（偏差點）的個數不少于n+2。

a?x?b采用如下方程組進行求解：

(3)近似最優一致逼近多項式 思路：

使用T多項式性質6 若區間是[-1,1]，取xi(i=0～n)為Tn+1的零點，則xi?cos(值多項式Pn(x)；

若區間是[a,b]，通過轉換x?方法1：由ti?cos(2i?1?),i?0～n，以此構造插

2(n?1)a?bb?a?t,t?[-1,1]； 222x?a?b2i?1代入Pn(t)，可?),i?0～n，構造Pn(t)，然后將t?b?a2(n?1)得Pn(x)。方法2：取xi?a?bb?aa?bb?a2i?1?ti??cos?，i=0～n；構造Pn(x)。22222(n?1)例：

(4)截斷切比雪夫級數法

n(Tk,f)設f(x)在[-1,1]上連續，Sn(x)??CkTk(x)，其中Ck?；記Sn(x)??CkTk(x)；

(Tk,Tk)k?0k?0n?應用切比雪夫定理及性質5，取f(x)?Sn(x)?(5)縮短冪級數法

方法1： 方法2：

?CT(x)。

kkk?0第五章：數值微積分

第一節 牛頓柯特斯公式

bI(f)???(x)f(x)dx?a?(x)?1b?f(x)dx?F(b)?F(a)

a一．數值算法 1.數值積分算法

對于復雜函數f(x)，考慮用其近似函數P(x)去逼近，用P(x)的積分值近似代替f(x)積分值。

2.插值型數值積分方法

對于拉格朗日插值多項式，廣義積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續，g(x)在[a,b]上部變號，則

????a,b?，使?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

aabb3.牛頓柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．復化求積公式 b1.I(f)??f(x)dx，把[a,b]分成若干等長的小區間，在每個小區間用簡單低次數值積分公a式，在將其得到的結果相加。2.復化梯形公式

3.復化辛普森公式

三．變步長的積分公式

1.先取一步長h進行計算，再取較小步長h*計算，若兩次結果相差很大，則在取更小步長進行計算，依次進行，直到相鄰兩次計算結果相差很大，則取較小步長的結果為積分近似值。2.變步長復化梯形公式

3.變步長復化辛普森公式

四．龍貝格積分法

第二節 待定系數法

1.代數精度定義

對于近似公式I(f)?Q(f)，如果f(x)是任意不超過m次的多項式，I(f)?Q(f)成立，而對于某個m+1多項式，I(f)?Q(f)，稱代數精度為m次。2.判定方法

近似式的代數精度為m次?

對f(x)?1,x,...,xm，近似式精確成立，I(f)?Q(f)，f(x)?xm?1時不成立，I(f)?Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三節 高斯型積分公式

一．定義

節點個數一定，具有最高階代數精度公式的插值型積分公式稱為Guass型求積公式。插值型積分公式定義：

定理：數值積分公式I(f)?Q(f)至少有n次代數精度?近似式是插值型積分公式。對于牛頓科特斯公式，若采用等距節點，n分別為奇數和偶數時，代數精度分別為n和n+1。

二．最高代數精度

定理：m?2n?1 So，給定n+1個節點，具有2n+1次代數精度的插值型數值積分公式稱為Gauss型求積公式。三．Gauss型積分公式的構造方法 方法1：

代數精度為2n+1，則f(x)?1,x,...,xm時成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代數精度m?2n?1?xi是[a,b]上關于?(x)的正交多項式gn?1(x)的零點(高斯點)，b其中Ai???(x)l(x)dx。ia四．高斯型求積公式的誤差

五．常用的高斯型求積公式 1.Gauss-Legendre求積公式 n=0 n=1

??1?f(x)dx??Af(x)?Q(f)，x是Pii1nin?1(x)的n+1個零點。

i?02.Gauss-Laguerre求積公式

???xx?e0?xf(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n??0f(x)dx??e(ef(x))dx??e?xF(x)dx00??x??(a?t)??ef(x)dx??ea0f(a?t)dx?e??a?te?F(t)dt 03.Gauss-Hermite求積公式

???e?x2f(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n14.Gauss-Chebyshev求積公式

?1?f(x)1?x2dx??n?1i?0?f(cosn2i?1?)2n?2第四節 數值微分

f'(x)?limh?0f(x?h)?f(x)，h大，不精確，h小，由于小除數引入大誤差。

h近似函數法

取等節距節點，xi?x0?ih,i?0,1,...n(1)一階導數，n=1，兩個節點x0x1

(2)一階導數，n=2，三個節點x0x1x2

(3)二階導數，n=2，三個節點x0x1x2

實用誤差估計

例：

第六章 非線性方程的迭代解法

第一節 方程求根法

根的定義：對于非線性方程組f(x)=0，若存在數?使f(?)=0，稱?是非線性方程組f(x)=0的根。

零點存在定理：若f(x)是閉區間[a,b]上的連續函數，若f(a)f(b)<0，則必然存在??[a,b]，使f(?)=0。

試探法，二分法。一．簡單迭代法

初值x0，xk?1??(xk)，產生迭代序列?xk?。簡單迭代收斂定理（壓縮映像原理）

[,]，對于迭代函數?(x)，若滿足(1)若x?[a,b],?(x)?[a,b]；(2)存在正數0

收斂速度(收斂階)：若存在實數P和非零常數C，使得limkkxk?1??xk??k???C?0，稱迭代序列是P階收斂。P=1，線性收斂；P>1，超線性收斂；P=2，平方收斂。定理：設?是方程x??(x)的根，如果迭代函數?(x)滿足?'(?)??''(?)?...??(P?1)(?)?0,?(P)(?)?0

?xk?1??(xk)產生的迭代序列?xk?是P階收斂。

二．牛頓迭代法

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)收斂性分析：牛頓迭代法具有局部收斂性，初值x0?x????，產生迭代序列收斂。收斂定理：設f(x)在[a,b]上二階導數存在，若

??f(a)f(b)?0，f(x)在[a,b]上單調，f(x)在[a,b]上凹向不變（即f''(x)在區間上不變號），初值x0滿足f(x0)f''(x0)?0，則任意初值x0?[a,b]，有牛頓迭代法產生的?xk?收斂于方程的唯一根。

簡化牛頓法：xk?1?xk?三．弦割法或割線法 用差商代替導數xk?1?xk?f(xk)f(xk)f(xk)?xk?1?xk??xk?1?xk?f'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)?f(xk?1)xk?xk?1第二節 線性代數方程組迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik?1?(1??)xik??xG?Sk?1）?opt?迭代法的收斂性：

將迭代法用矩陣表示：A?D?E?F，xk?1?Bxk?g Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk?1?Bxk?g，對?x產生的迭代序列x21?1??(Bj)2 ??收斂的充要條件是：

klimBk?0或?(B)?1。

k??推論1：若B?1，則收斂；

推論2：SOR方法收斂的必要條件是0???2；

推論3：設A是嚴格對角占優矩陣，則Jacobi，G-S，0???1的SOR方法收斂；

推論4：1)設A是對稱正定矩陣，則G-S方法收斂；2)設A是對稱正定矩陣，若2D-A也對稱正定，則Jacobi方法收斂；若2D-A不對稱正定，則Jacobi方法不收斂；3)設A是對稱正定矩陣，0???2，則SOR方法收斂。

第三節 非線性方程組的迭代解法

x k?1kkk?x?[f'(x)]?1f(x)

第七章 矩陣特征值和特征向量

矩陣A主特征值——模最大的特征值取為主特征值。對n個互不相同的特征值

?1??2??3?...??n，對應特征向量?1?2?3…?n；

kk任意向量z0?c1?1?c2?2?...cn?n z?AZ0 limzk?c1?1k?1，zk是對應A的?1的特征向量，k??(zk?1)i??1(zk)i

規范乘冪法

yk?Azk?1，yk按模取最大分量max?yk??mk，zk?limzk??10，?10是?1的規范化向量；limmk??1。

k??k??yk。mk加速法（原點位移法）yk??A?pI?zk?1

第八章 常微分方程數值解法的導出

?y'(x)?f(x,y(x))?y(a)?y0?一． 數值微分法

歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi,yi)后退歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi?1,yi?1)終點法：yi?1?yi?1?2hf(xi,yi)

h2局部截斷誤差：y(xi?1)?yi?y''(?)

2二． 數值積分法

hyi?1?yi?[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)]

2預估yi?1?yi?hf(xi,yi)，校正yi?1?yi?

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)] 2線性多步法

第三篇：計算方法公式總結

計算方法公式總結

緒論

?e?x?x，x?為準確值，x為近似值。絕對誤差絕對誤差限

r|e|?|x??x|??，ε為正數，稱為絕對誤差限

x??xe?表示相對誤差 通常用e?xxrx??xe??相對誤差e?*xxr相對誤差限|er|??r或|e|??r 有效數字

一元函數y=f（x）

'e(y)?f(x)e(x)絕對誤差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)???er(x)相對誤差ryyf(x)二元函數y=f（x1,x2）絕對誤差 ?f(x1,x2)?f(x1,x2)e(y)?dx1?dx2

?x1?x2?f(x1,x2)x1?f(x1,x2)x2e(y)?er(x1)?er(x2)相對誤差r?x1y?x2y

機器數系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n為計算機字長

3.指數p稱為階碼（指數），有固定上下限L、U 4.尾數部 s??0.a1a2?an，定位部?p

n?11?2(??1)?(U?L?1)5.機器數個數機器數誤差限

1?np舍入絕對 |x?fl(x)|???截斷絕對|x?2fl(x)|???n?p

|x?fl(x)||x?fl(x)|11?n1?n????舍入相對截斷相對

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)?(x?x?)mg(x)，g(x)?0，x*為f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)?0?xk?1??(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}?x??(x){xk}為迭代序列，?(x)為迭代函數，k??k

局部收斂

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應用定理3判斷是否局部收斂

牛頓迭代法

f(x)?f(xk)?f(xk)(x?xk)?0

f(xk)xk?1?xk?'(k?0,1,2,?)f(xk)注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。

'

牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內也收斂，加如下四個條件

注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構造一個區間[ε,M(ε)],其中f(?)M(?)???',在這個區間內驗證這四個條件。

f(?)

如果知道根的位置，構造[ε，M（ε）]時應該包括根，即ε+常數

線性方程組求解

有兩種方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用線性代數中初等行變換將增廣矩陣轉化為等價上三角矩陣。

注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續初等行變換。對角占優矩陣

?a11?aA??21????an1na12a22?an2?a1n??a2n???? ??ann?則稱A為按行嚴格對角占優矩陣 |aii|??|aij|(i?1,2,?,n)j?1j?in|ajj|??|aij|(j?1,2,?,n)i?1i?j則稱A為按列嚴格對角占優矩陣

aij?aji(i?1,j?n)?x?R,x?0,(x,Ax)?0

則稱A是對稱正定的。

當A是上面三種情況時，用高斯消去法消元時追趕法是高斯消元法的一種特例

nakk?0，不用換行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列絕對值當|ask|?maxk?i?n最大的行（s行）調到第k行，再進行高斯消元。(k)(k)

迭代序列構造

Ax?b?x?Bx?f?x第三個等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別

1.充分條件：迭代矩陣范數小于1，?B??1

結論：Ax=b有唯一解x*

(k?1)?Bx(k)?f

2.充要條件：迭代矩陣譜半徑小于1,?(B)?1 Jacobi迭代法

A?L?D?U其中L（low）為下三角，U為上三角，D為對角線元素

迭代格式：x(k?1)??????D(L?U)x(k)?D?1b

?1??

迭代矩陣J??D(L?U)

?1??收斂性判據：

|?I?J|?0?|D|?|L??D?U|?0?|L??D?U|?0

求出?最大值小于1（J的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.?1????Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k?1)?D(?Lx?1?(k?1)?Ux(k)?b)

?(k)?x(k?1)??(D?L)Ux??1??1?(D?L)?1b

?迭代矩陣：G??(D?L)U

?常數矩陣：g?(D?L)?1b

?

收斂性判據：

?????|?I?G|?0?|(D?L)|?|?(D?L)?U|?0?|?(D?L)?U|?0

求出?最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結論：當A是嚴格對角占優的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的

?1插值法

用插值多項式p（x）代替被插函數f(x)

nP(x)?a?ax???ax插值多項式：，01nn+1個點P(xi)?yi(i?0?n)

插值區間：[a,b]，插值點滿足

a?x0?x1??xn?b

求插值多項式P（x），即求多項式系數的過程為插值法

帶入可知求系數的插值點行列式為范德蒙行列式，不為0，有唯一解。即n+1插值條件對應的不超過n次的插值函數P（x）只有一個。一次線性插值nx?x0x?x1Py0?y1?y0l0(x)?y1l1(x)1(x)?x0?x1x1?x0(x?xi)lk(x)???i?0(x?x)?(xk?xi)i?kki

ni?0i?ki?0i?kn?(x?xi)Lagrange插值多項式

Ln(x)??yklk(x)??k?0k?0 nnx?xi(?)yki?0x?xii?kkn插值余項

非插值節點上Lagrange插值多項式為被插函數f(x)的近似值

f(n?1)(?)nRn(x)?f(x)?Ln(x)??(x?xi)(n?1)!i?0??(a,b)

帶導數插值條件的余項估計

注：推導過程用羅爾中值定理構造輔助函數

?(t)?Rn(t)?K(x)Wn?1(t)

第二條性質用于可以證明階數不大于n的f(x)的插值余項為0.差商和Newton插值法

記憶方法：先記分母，最后一個減去第一個，對應的分子第一項是最后一個臨近k元素的差商，第二項是第一個臨近k個元素的差商。

牛頓插值多項式

通常記作Nn（x）分段樣條插值

分段二次樣條插值

討論n為奇偶情況時的三個點 余項估計式

三次樣條插值函數

第一類邊界條件（端點一階導數已知）

D0等于第一個式子，dn等于第二個式子

自然邊界條件（端點二階導數已知二階導數和M0，Mn=0）

曲線擬合

最小二乘原理

函數關于n個點線性無關

23n1,x,x,x,?,x注：線性無關的函數為才是最小二乘多項式

注：記住公式即可。

數值積分和數值微分

xk為求積節點，Ak為求積系數。

插值求積公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截斷誤差

代數精度

當f(x)為不超過m次多項式時上式成立，f（x）為m+1多項式時上式不成立。則稱為求積公式有m次代數精度。

梯形公式代數精度為1，Simpson公式代數精度為3，Cotes公式代數精度為5

截斷誤差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求積公式

求積公式代數精度為2n+1 [-1,1]上的兩點Gauss公式（3次代數精度）

11??1f(x)dx?f(?3)?f(3)1[-1,1]上的三點Gauss公式（5次代數精度）

53853??1f(x)dx?9f(?5)?9f(0)?9f(5)1

記住 xktk，AkAk的關系，tkAk??查表即可

復化梯形公式2階，復化Simpson公式4階，復化Cote公式6階

計算機通過不斷把區間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可

1|I2n(f)?In(f)|??時 給定精度ε，p2?11|I(f)?I2n(f)|?p|I2n(f)?In(f)|??2?1因而可以取I2n(f)為I(f)的近似值。

梯形

Simpson數值微分

數值微分截斷誤差

中點公式：

f(x0?h)?f(x0?h)D(h)? 2h常微分方程數值解法

Euler方法

歐拉公式（單步顯式公式）求出的近似解

局部截斷誤差

Euler公式的局部截斷誤差（一階精度）

后退Euler公式

梯形公式(二階精度)

改進Euler公式（二階精度）

截斷誤差（推導要求掌握，利用梯形和Euler公式的截斷誤差）

第四篇：水環境容量計算方法總結

1、中國地表水水環境容量研究過程中產生的五大類計算方法: 公式法、模型試錯法、系統最優化法(線性規劃法和隨機規劃法)、概率稀釋模型法和未確知數學法

2、水環境容量軟件：WASP、Delft 3D 等大型綜合模型軟件

3、王華東和夏青［5］將環境容量定義為: 相對于某種環境標準，某環境單元所容許承納的污染物的最大數量，同時認為環境容量是一個變量，且由基本環境容量(差值容量)和變動環境容量(同化容量)兩部分組成，基本環境容量指擬定的環境標準與環境本底值之差，變動環境容量指該環境單元的自凈能力。

4、水環境容量=稀釋容量+自凈容量+遷移容量表

5、公式法

6、模型試錯法 在河流的第一個區段的上斷面投入大量的污染物，使該處水質達到水質標準的上限，則投入的污染物的量即為這一河段的環境容量;由于河水的流動和降解作用，當污染物流到下一控制斷面時，污染物濃度已有所降低，在低于水質標準的某一水平(視降解程度而定)時又可以向水中投入一定的污染物，而不超出水質標準，這部分污染物的量可認為是第二個河段的環境容量;依此類推，最后將各河段容量求和即為總的環境容量

7、環境科學中所采用的系統最優化方法有線性規劃、非線性規劃、動態規劃及隨機規劃等

8、概率稀釋模型法方法的基本思路如下: ① 基于特定的基本假定，建立污染物與水體混合均勻后下游濃度的概率稀釋模型;② 利用矩量近似解法求解控制斷面在一定控制濃度下的達標率;③利用數值積分求解水體在控制斷面不同控制濃度、不同達標率下的水環境容量。9、10、粒子群算法眾多變種中的RPSM［21］方法11、12、三角模糊數/盲數理論

13、

第五篇：鋼筋工程量計算方法總結

鋼筋工程量計算方法總結

以下是我對鋼筋計算的一些小總結，對應圖型可以參照相應圖集，不正之處請各位高手指出。鋼筋算量基本方法小結

一、梁

（1）框架梁

一、首跨鋼筋的計算

1、上部貫通筋

上部貫通筋（上通長筋1）長度＝通跨凈跨長＋首尾端支座錨固值

2、端支座負筋

端支座負筋長度：第一排為Ln/3＋端支座錨固值；

第二排為Ln/4＋端支座錨固值

3、下部鋼筋

下部鋼筋長度＝凈跨長＋左右支座錨固值

以上三類鋼筋中均涉及到支座錨固問題，那么總結一下以上三類鋼筋的支座錨固判斷問題： 支座寬≥Lae且≥0.5Hc＋5d，為直錨，取Max{Lae，0.5Hc＋5d }。

鋼筋的端支座錨固值＝支座寬≤Lae或≤0.5Hc＋5d，為彎錨，取Max{Lae，支座寬度-保護層+15d }。

鋼筋的中間支座錨固值＝Max{Lae，0.5Hc＋5d }

4、腰筋

構造鋼筋：構造鋼筋長度＝凈跨長＋2×15d 抗扭鋼筋：算法同貫通鋼筋

5、拉筋

拉筋長度＝（梁寬－2×保護層）＋2×11.9d（抗震彎鉤值）＋2d 拉筋根數：如果我們沒有在平法輸入中給定拉筋的布筋間距，那么拉筋的根數＝（箍筋根數/2）×（構造筋根數/2）；如果給定了拉筋的布筋間距，那么拉筋的根數＝布筋長度/布筋間距。

6、箍筋

箍筋長度＝（梁寬－2×保護層＋梁高-2×保護層）*2＋2×11.9d＋8d 箍筋根數＝（加密區長度/加密區間距+1）×2＋（非加密區長度/非加密區間距－1）+1 注意：因為構件扣減保護層時，都是扣至縱筋的外皮，那么，我們可以發現，拉筋和箍筋在每個保護層處均被多扣掉了直徑值；并且我們在預算中計算鋼筋長度時，都是按照外皮計算的，所以軟件自動會將多扣掉的長度在補充回來，由此，拉筋計算時增加了2d，箍筋計算時增加了8d。

7、吊筋

吊筋長度＝2*錨固（20d）+2*斜段長度+次梁寬度+2*50，其中框梁高度>800mm 夾角=60°

≤800mm 夾角=45°

二、中間跨鋼筋的計算

1、中間支座負筋

中間支座負筋：第一排為：Ln/3＋中間支座值＋Ln/3； 第二排為：Ln/4＋中間支座值＋Ln/4 注意：當中間跨兩端的支座負筋延伸長度之和≥該跨的凈跨長時，其鋼筋長度： 第一排為：該跨凈跨長＋（Ln/3＋前中間支座值）＋（Ln/3＋后中間支座值）； 第二排為：該跨凈跨長＋（Ln/4＋前中間支座值）＋（Ln/4＋后中間支座值）。其他鋼筋計算同首跨鋼筋計算。LN為支座兩邊跨較大值。

二、其他梁

一、非框架梁

在03G101-1中，對于非框架梁的配筋簡單的解釋，與框架梁鋼筋處理的不同之處在于：

1、普通梁箍筋設置時不再區分加密區與非加密區的問題；

2、下部縱筋錨入支座只需12d；

3、上部縱筋錨入支座，不再考慮0.5Hc＋5d的判斷值。未盡解釋請參考03G101-1說明。

二、框支梁

1、框支梁的支座負筋的延伸長度為Ln/3；

2、下部縱筋端支座錨固值處理同框架梁；

3、上部縱筋中第一排主筋端支座錨固長度＝支座寬度－保護層＋梁高－保護層＋Lae，第二排主筋錨固長度≥Lae；

4、梁中部筋伸至梁端部水平直錨，再橫向彎折15d；

5、箍筋的加密范圍為≥0.2Ln1≥1.5hb；

7、側面構造鋼筋與抗扭鋼筋處理與框架梁一致。

二、剪力墻

在鋼筋工程量計算中剪力墻是最難計算的構件，具體體現在：

1、剪力墻包括墻身、墻梁、墻柱、洞口，必須要整考慮它們的關系；

2、剪力墻在平面上有直角、丁字角、十字角、斜交角等各種轉角形式；

3、剪力墻在立面上有各種洞口；

4、墻身鋼筋可能有單排、雙排、多排，且可能每排鋼筋不同；

5、墻柱有各種箍筋組合；

6、連梁要區分頂層與中間層，依據洞口的位置不同還有不同的計算方法。（1）剪力墻墻身

一、剪力墻墻身水平鋼筋

1、墻端為暗柱時

A、外側鋼筋連續通過 外側鋼筋長度＝墻長-保護層 內側鋼筋＝墻長-保護層+彎折

B、外側鋼筋不連續通過 外側鋼筋長度＝墻長-保護層+0.65Lae 內側鋼筋長度＝墻長-保護層+彎折

水平鋼筋根數＝層高/間距+1（暗梁、連梁墻身水平筋照設）

2、墻端為端柱時

A、外側鋼筋連續通過 外側鋼筋長度＝墻長-保護層

內側鋼筋＝墻凈長＋錨固長度（彎錨、直錨）B、外側鋼筋不連續通過 外側鋼筋長度＝墻長-保護層+0.65Lae 內側鋼筋長度＝墻凈長＋錨固長度（彎錨、直錨）水平鋼筋根數＝層高/間距+1（暗梁、連梁墻身水平筋照設）

注意：如果剪力墻存在多排垂直筋和水平鋼筋時，其中間水平鋼筋在拐角處的錨固措施同該墻的內側水平筋的錨固構造。

3、剪力墻墻身有洞口時

當剪力墻墻身有洞口時，墻身水平筋在洞口左右兩邊截斷，分別向下彎折15d。

二、剪力墻墻身豎向鋼筋

1、首層墻身縱筋長度＝基礎插筋＋首層層高＋伸入上層的搭接長度

2、中間層墻身縱筋長度＝本層層高＋伸入上層的搭接長度

3、頂層墻身縱筋長度＝層凈高＋頂層錨固長度

墻身豎向鋼筋根數＝墻凈長/間距+1（墻身豎向鋼筋從暗柱、端柱邊50mm開始布置）

4、剪力墻墻身有洞口時，墻身豎向筋在洞口上下兩邊截斷，分別橫向彎折15d。

三、墻身拉筋

1、長度＝墻厚-保護層+彎鉤（彎鉤長度＝11.9+2*D）

2、根數＝墻凈面積/拉筋的布置面積

注：墻凈面積是指要扣除暗（端）柱、暗（連）梁，即墻面積-門洞總面積-暗柱剖面積-暗梁面積；拉筋的面筋面積是指其橫向間距×豎向間距。例：(8000*3840)/(600*600)

（二）剪力墻墻柱

一、縱筋

1、首層墻柱縱筋長度＝基礎插筋＋首層層高＋伸入上層的搭接長度

2、中間層墻柱縱筋長度＝本層層高＋伸入上層的搭接長度

3、頂層墻柱縱筋長度＝層凈高＋頂層錨固長度

注意：如果是端柱，頂層錨固要區分邊、中、角柱，要區分外側鋼筋和內側鋼筋。因為端柱可以看作是框架柱，所以其錨固也同框架柱相同。

二、箍筋：依據設計圖紙自由組合計算。

（三）剪力墻墻梁

一、連梁

1、受力主筋

頂層連梁主筋長度＝洞口寬度＋左右兩邊錨固值LaE 中間層連梁縱筋長度＝洞口寬度＋左右兩邊錨固值LaE

2、箍筋

頂層連梁，縱筋長度范圍內均布置箍筋 即N=((LaE-100)/150+1)*2+（洞口寬-50*2）/間距+1（頂層）

中間層連梁，洞口范圍內布置箍筋，洞口兩邊再各加一根 即N=（洞口寬-50*2）/間距+1（中間層）

二、暗梁

1、主筋長度＝暗梁凈長＋錨固

三、柱

（一）、基礎層

一、柱主筋

基礎插筋＝基礎底板厚度-保護層+伸入上層的鋼筋長度＋Max{10D,200mm}

二、基礎內箍筋

基礎內箍筋的作用僅起一個穩固作用，也可以說是防止鋼筋在澆注時受到撓動。一般是按2根進行計算（軟件中是按三根）。

（二）、中間層

一、柱縱筋

1、KZ中間層的縱向鋼筋＝層高-當前層伸出地面的高度+上一層伸出樓地面的高度

二、柱箍筋

1、KZ中間層的箍筋根數＝N個加密區/加密區間距+N+非加密區/非加密區間距－1 03G101-1中，關于柱箍筋的加密區的規定如下

1）首層柱箍筋的加密區有三個，分別為：下部的箍筋加密區長度取Hn/3；上部取Max{500，柱長邊尺寸，Hn/6}；梁節點范圍內加密；如果該柱采用綁扎搭接，那么搭接范圍內同時需要加密。2）首層以上柱箍筋分別為：上、下部的箍筋加密區長度均取Max{500，柱長邊尺寸，Hn/6}；梁節點范圍內加密；如果該柱采用綁扎搭接，那么搭接范圍內同時需要加密。

（三）、頂層

頂層KZ因其所處位置不同，分為角柱、邊柱和中柱，也因此各種柱縱筋的頂層錨固各不相同。（參看03G101－1第37、38頁）

一、角柱

角柱頂層縱筋長度：

一、內筋

a、內側鋼筋錨固長度為 ：

彎錨（≦Lae）：梁高－保護層＋12d 直錨（≧Lae）：梁高－保護層

二、外筋

b、外側鋼筋錨固長度為 外側鋼筋錨固長度＝Max{1.5Lae，梁高－保護層＋柱寬－保護層} 寺寺地地地地地地地地地地柱頂部第一層：≧梁高－保護層＋柱寬－保護層＋8d（保證65%伸入梁內）柱頂部第二層：≧梁高－保護層＋柱寬－保護層

注意：在GGJ V8.1中，內側鋼筋錨固長度為 彎錨（≦Lae）：梁高－保護層＋12d直錨（≧Lae）：梁高－保護層外側鋼筋錨固長度＝Max{1.5Lae，梁高－保護層＋柱寬－保護層}

二、邊柱

邊柱頂層縱筋長度＝層凈高Hn＋頂層鋼筋錨固值，那么邊柱頂層鋼筋錨固值是如何考慮的呢？ 邊柱頂層縱筋的錨固分為內側鋼筋錨固和外側鋼筋錨固：

a、內側鋼筋錨固長度為 彎錨（≦Lae）：梁高－保護層＋12d直錨（≧Lae）：梁高－保護層 b、外側鋼筋錨固長度為：≧1.5Lae 注意：在GGJ V8.1中，內側鋼筋錨固長度為 彎錨（≦Lae）：梁高－保護層＋12d 直錨（≧Lae）：梁高－保護層 外側鋼筋錨固長度＝Max{1.5Lae，梁高－保護層＋柱寬－保護層}

三、中柱

中柱頂層縱筋長度＝層凈高Hn＋頂層鋼筋錨固值，那么中柱頂層鋼筋錨固值是如何考慮的呢？ 中柱頂層縱筋的錨固長度為 彎錨（≦Lae）：梁高－保護層＋12d 直錨（≧Lae）：梁高－保護層

注意：在GGJ V8.1中，處理同上。

四、板

在實際工程中，我們知道板分為預制板和現澆板，這里主要分析現澆板的布筋情況。

板筋主要有：受力筋(單向或雙向，單層或雙層)、支座負筋、分布筋、附加鋼筋(角部附加放射筋、洞口附加鋼筋)、撐腳鋼筋(雙層鋼筋時支撐上下層)。

一、受力筋

軟件中，受力筋的長度是依據軸網計算的。

受力筋長度=軸線尺寸+左錨固+右錨固+兩端彎鉤（如果是Ⅰ級筋）。根數＝（軸線長度-扣減值）/布筋間距＋1

二、負筋及分布筋

負筋長度=負筋長度+左彎折+右彎折

負筋根數＝（布筋范圍-扣減值）/布筋間距＋1 分布筋長度=負筋布置范圍長度-負筋扣減值

負筋分布筋根數=負筋輸入界面中負筋的長度/分布筋間距+1

三、附加鋼筋(角部附加放射筋、洞口附加鋼筋)、支撐鋼筋(雙層鋼筋時支撐上下層)根據實際情況直接計算鋼筋的長度、根數即可，在軟件中可以利用直接輸入法輸入計算。第五章 常見問題

為什么鋼筋計算中，135o彎鉤我們在軟件中計算為11.9d？

我們軟件中箍筋計算時取的11.9D實際上是彎鉤加上量度差值的結果，我們知道彎鉤平直段長度是10D，那么量度差值應該是1.9D，下面我們推導一下1.9D這個量度差值的來歷：

按照外皮計算的結果是1000+300；如果按照中心線計算那么是：1000-D/2-d+135/360*3.14*（D/2+d/2）*2+300,這里D取的是規范規定的最小半徑2.5d，此時用后面的式子減前面的式子的結果是：1.87d≈1.9d。不同厚度的墻體 磚的用量和砂漿用量是不同的。

砂漿凈用量（m3/m3）=1-單塊磚體積（m3/塊）*磚凈用量 砂漿實際用量（砂漿消耗量）=砂漿凈用量*（1+損耗率）

以常見240厚的標準磚墻來講： 1m3磚墻 磚的凈用量=529.1 砂漿的損耗率按1%取定

你自己計算下 砂漿的用量是不是0.225立方

補充：用量與砂漿標號無關