第一篇：計算方法課程總結 心得體會

計算方法課程總結 心得體會

一、課程簡介：本課程是信息與計算科學、數學與應用數學本科專業必修的一門專業基礎課．我們需在掌握數學分析、高等代數和常微分方程的基礎知識之上，學習本課程．在實際中，數學與科學技術一向有著密切關系并相互影響，科學技術各領域的問題通過建立數學模型與數學產生密切的聯系，并以各種形式應用于科學和工程領域．而所建立的這些數學模型，在許多情況下，要獲得精確解是十分困難的，甚至是不可能的，這就使得研究各種數學問題的近似解變得非常重要了，“數值計算方法”就是專門研究各種數學問題的近似解的一門課程．通過這門課程的教學，使學生掌握用數值分析方法解決實際問題的算法原理及理論分析，提高我們應用數學知識解決實際問題的能力．

二、本課程主要內容包括：誤差分析，插值法與擬合，數值積分，數值微分，線性方程組的直接解法和迭代解法，非線性方程求根，矩陣特征值問題計算、常微分方程初值問題數值解法．

三、本課程重點難點：1、2、3、4、絕對誤差限、相對誤差限、有效數字

基函數、拉格朗日插值多項式、差商、牛頓插值多項式、截斷誤差 曲線擬合的最小二乘法（最小二乘法則、法方程組）插值型數值積分（公式、積分系數）

a)N-C求積公式（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式-系數、代數精度、截斷誤差）

b)復合N-C公式（復合梯形公式、復合Simpson公式、收斂階、截斷誤差）c)龍貝格算法的計算公式

5、非線性方程求根的迭代法收斂性定理

牛頓切線法、下山法、正割法（迭代公式、收斂階）

6、高斯消去法、列主元素高斯消去法、LU分解法解線性方程組

Jacobi迭代法、S-R迭代法（迭代公式、迭代矩陣、收斂的充要條件、充分條件）

矩陣的范數、譜半徑、條件數、病態方程組

7、歐拉方法（歐拉公式、向后歐拉公式、改進的歐拉公式）

四、實際應用

我們本學期的計算方法這門學科中，主要介紹了兩種數值計算方法即：數值逼近與數值代數。前面幾章講的關于插值和擬合是屬于數值逼近，而后面幾章則介紹了非線性方程、解線性方程組、以及最后一章的常微分方程則屬于數值代數的部分。不管是哪一種方法在實際生活中的應用都是很廣泛的，下面就以最小二乘擬合方法為例說明其在實際的應用。

曲線擬合就是擬合測量數據曲線。所選擇的曲線有時通過數據點，但在其他點上，曲線接近它們而不必通過它們13,41~在大多數情況下，選擇曲線使得數據點的平方誤差和最小。這種選擇就是最小二乘曲線擬合。下面介紹一下最小二乘法擬合的基本原理。設已知 個數據點)(i=0，1，?，一1)，求(m一1)次最小二乘擬合多項式：

其中設擬合多項式為各正交多項式：的線性組合：

則繼續往向下推導得：

繼續推導最后可得最后可得一般形式的m一1次多項式：

即為最小二乘擬合多項式

其擬合精度由下式來評定：

應用實例：

某建筑物176 d水平位移測量數據如下表所示，在程序編制過程中，為了防止運算溢出，用來代替，其中。

此時，擬合多項式的形式為：

運用最小二乘多項式擬合時，擬合多項式的次數越高，其擬合精度未必越高。以擬合最高次數l9次為例，擬合系數如表2，擬合的精度評定見表3。

根據水平位移的觀測數據，實現了累計觀測時間與水平位移的曲線擬合，在有限的測量數據條件下，表述了時間與該建筑物水平位移之間的函數關系。曲線擬合的最小二乘法在解決這類問題的數據處理和誤差分析中應用非常廣泛，提高了數據處理的效率和精確度，最d"-乘曲線擬合實現方法簡明、適用，可應用于類似的測量數據處理和實驗研究。五：總結

其實一直以來感覺自己都的數學方面還是比較感興趣的，但是從大二上學期上完概率和線性代數后自己也就很少去碰數學方面的書了，直到這個學期上的這門計算方法讓我重新又找回了學習數學的感覺。經過這一個學期的學習，總體感覺還行，基本上都能領悟。個別的知識點可能比較抽象，但是好多的算法我們都經過了上機實踐了，所以掌握起來會更透徹一點。學習了這門課，感覺實用性比較大。像拉格朗日和牛頓插值法，最小二乘擬合法等等算法。因為在我們現實生活中我們需要通過已有的數據來發掘事物本身的內在規律，或者模擬出相應的數學模型來解決。所以這就需要我們用到這學期學習的相關知識來完成。這門課程也是連接數學與計算機之間的橋梁，之前學習的數學積分的知識現在也知道怎么

用程序來實現了。還有就是對線性方程組和非線性方程組的求解方法的掌握。插值的應用自己還想說的就是，自己準備和同學一起做關于圖像處理的方面的東西，不過我只是個新手。但上次在看有關圖像的放大和縮小技術的時候就看到了有關牛頓插值的應用。不過他們學的算法都是在牛頓插值的基礎上有所變化的。所以當時我就覺得這門課程作用不一般。學完了這門課也希望自己活學活用。發揮這門課應有的作用。

第二篇：計算方法總結

第一章：基本概念

???x1x2...xm.xm?1xm?2...x?m?n 1.x??x1x2...xm.xm?1xm?2...xm?nxm?n?1x??若x?x1?m?n及其以前的非零數字稱為準確數字。?準確到n位小數，x?10?n，稱x2各位數字都準確的近似數稱為有效數，各位準確數字稱為有效數字。2.f(x)?x???l?0.x1x2...xt

進制：?，字長：t，階碼：l，可表示的總數：2?(U?L?1)?(??1)?t?1?1 3.計算機數字表達式誤差來源

實數到浮點數的轉換，十進制到二進制的轉換，結算結果溢出，大數吃小數。4.數據誤差影響的估計：

???y?y1nn?y?y??(x1,x2,...xn)??(x1,x2,...xn)xi?xi ???xi，小條件數。

?xiy?xiy1解接近于零的都是病態問題，避免相近數相減。避免小除數大乘數。

5.算法的穩定性

若一個算法在計算過程中舍入誤差能得到控制，或者舍入誤差的積累不影響產生可靠的計算結果，稱算法數值穩定。

第二章：解線性代數方程組的直接法

1.高斯消去法

步驟：消元過程與回代過程。

順利進行的條件：系數矩陣A不為零；A是對稱正定矩陣，A是嚴格對角占優矩陣。2.列主元高斯消去法

失真：小主元出現，出現小除數，轉化為大系數，引起較大誤差。解決：在消去過程的第K步，交換主元。還有行主元法，全主元法。3.三角分解法

杜立特爾分解即LU分解。

用于解方程AX?b?LUX?b???LY?b；

UX?Y?用于求A?LU?LU?U?u11u22...unn。

克羅特分解：A?LU?LDD?1U?(LD)(D?1U)，下三角陣和單位上三角陣的乘積。將杜立特爾分解或克羅特分解應用于三對角方程，即為追趕法。

對稱正定矩陣的喬列斯基分解，A?GG，下三角陣及其轉置矩陣的乘積；用于求解

TAX?b的平方根法。

改進平方根法：利用矩陣的A?LDL分解。4.舍入誤差對解的影響

T向量范數定義： 常用的向量范數： 矩陣的范數： 常用的矩陣范數：

矩陣范數與向量范數的相容性： 影響：?x?xk1?k?AA(?b?A?1其中cond(A)?k?AA，k值大，病態問題。?)，bA第三章：插值法

1.定義

給定n+1個互不相同的點，xi及在xi處的函數值yi(i=0～n)，構造一個次數不超過n次的多

nx)。項式：Pn(x)?a0?a1x?a1x2?...?a1xn，使滿足Pn(xi)?yi。取f(x)?P(稱Pn(x)為插值多項式，xi為插值節點，f(x)為被插函數。插值問題具有唯一性。

2.Lagrange插值多項式 表達式：

誤差估計式：

3.Newton插值多項式 差商： 表達式： 誤差表達式： 差商的性質：

1)差商與節點的次序無關； 2)K階差商對應K階導數； 3)4)5)

4.埃爾米特（帶導數）插值多項式 1)Newton法，給定f及f(k)為數字；

2)Lagrange法，給定f及f(k)為表達式。

5.三次樣條插值函數

分段三次插值多項式的定義：S(x)在子區間[xi-1,xi]上是三次多項式，S(xi)=yi，s’’(x)在[a,b]上連續。

三次樣條插值函數的導出：

第四章：函數最優逼近法

1.最優平方逼近

對于廣義多項式：P(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)，其中?i(x)線性無關。要求：

若f(x)是表格函數，確定P(x)稱為最小二乘擬合函數，當?i(x)?xi，P(x)為最小二乘多項式；若f(x)是連續函數，稱P(x)為最優平方逼近函數。

2.函數的內積，范數定義及其性質 內積的定義：

性質：

范數的定義： 范數的性質：

正規方程組或法方程組：

3.正交多項式

正交函數系的定義：

代入正規方程組的系數矩陣，則： 幾個正交多項式舉例： 1)勒讓德多項式

2)拉蓋爾多項式

3)埃爾米特多項式

4)切比雪夫多項式

四種正交多項式均可用于高斯型求積公式；P多項式用于最優平方逼近，T多項式用于最優一致逼近。

正交多項式的性質：

1)正交多項式?gk(x)?線性無關，推論：Pk(x)(k?n)與gn(x)正交。2)在區間[a,b]或[min(xi),max(xi)]上，n次正交多項式gn(x)有n個不同的零點。3)設?gk(x)?是最高次項系數為1的正交多項式，則：

4.最優一致逼近法

(1)切比雪夫多項式的性質 性質1：?Tk(x)?是[-1,1]上關于?(x)?11?x2(T0,T0)??,(Tk,Tk)??/2；的正交多項式，性質2：Tk?1(x)?2xTk(x)?Tk?1(x)； 性質3：Tk(x)是最高次項為2x的奇次項；

k?1xk的k次多項式，T2k(x)只含x的偶次項，T2k?1(x)只含

2i?1?,i?0,1...k?1； 2ki性質5：在[-1,1]上，Tk(x)?1，且在k+1個極值點xi?cos?,i?0,1...k處Tk(x)依次取

k性質4：Tk(x)有k個不同的零點，xi?cos得最大值1和-1；

性質6：設Pn(x)是任意一個最高次項系數為1的n次多項式，則：

?1?x?1maxPn(x)?max?1?x?111 Tn(x)?n?1n?122(2)最優一致逼近法的定義

設函數f(x)在區間[a,b]連續，若n次多項式Pn(x)?c0?0(x)?c1?1(x)?c2?2(x)?...?cn?n(x)使Pn?f??maxPn(x)?f(x)達到最小，則稱Pn(x)為f(x)在[a,b]上的最優一致逼近a?x?b函數。

切比雪夫定理：n次多項式P(x)成為函數y=f(x)在區間[a,b]上最優一致逼近多項式的充要條件是誤差R(x)?f(x?)P(x)區間[a,b]上以正負或負正交替的符號依次取得在E?maxR(x)的點（偏差點）的個數不少于n+2。

a?x?b采用如下方程組進行求解：

(3)近似最優一致逼近多項式 思路：

使用T多項式性質6 若區間是[-1,1]，取xi(i=0～n)為Tn+1的零點，則xi?cos(值多項式Pn(x)；

若區間是[a,b]，通過轉換x?方法1：由ti?cos(2i?1?),i?0～n，以此構造插

2(n?1)a?bb?a?t,t?[-1,1]； 222x?a?b2i?1代入Pn(t)，可?),i?0～n，構造Pn(t)，然后將t?b?a2(n?1)得Pn(x)。方法2：取xi?a?bb?aa?bb?a2i?1?ti??cos?，i=0～n；構造Pn(x)。22222(n?1)例：

(4)截斷切比雪夫級數法

n(Tk,f)設f(x)在[-1,1]上連續，Sn(x)??CkTk(x)，其中Ck?；記Sn(x)??CkTk(x)；

(Tk,Tk)k?0k?0n?應用切比雪夫定理及性質5，取f(x)?Sn(x)?(5)縮短冪級數法

方法1： 方法2：

?CT(x)。

kkk?0第五章：數值微積分

第一節 牛頓柯特斯公式

bI(f)???(x)f(x)dx?a?(x)?1b?f(x)dx?F(b)?F(a)

a一．數值算法 1.數值積分算法

對于復雜函數f(x)，考慮用其近似函數P(x)去逼近，用P(x)的積分值近似代替f(x)積分值。

2.插值型數值積分方法

對于拉格朗日插值多項式，廣義積分中值定理：若f(x)在[a,b]上連續，g(x)在[a,b]上部變號，則

????a,b?，使?f(x)g(x)dx?f(?)?g(x)dx

aabb3.牛頓柯特斯公式 梯形公式： 辛普森公式：

二．復化求積公式 b1.I(f)??f(x)dx，把[a,b]分成若干等長的小區間，在每個小區間用簡單低次數值積分公a式，在將其得到的結果相加。2.復化梯形公式

3.復化辛普森公式

三．變步長的積分公式

1.先取一步長h進行計算，再取較小步長h*計算，若兩次結果相差很大，則在取更小步長進行計算，依次進行，直到相鄰兩次計算結果相差很大，則取較小步長的結果為積分近似值。2.變步長復化梯形公式

3.變步長復化辛普森公式

四．龍貝格積分法

第二節 待定系數法

1.代數精度定義

對于近似公式I(f)?Q(f)，如果f(x)是任意不超過m次的多項式，I(f)?Q(f)成立，而對于某個m+1多項式，I(f)?Q(f)，稱代數精度為m次。2.判定方法

近似式的代數精度為m次?

對f(x)?1,x,...,xm，近似式精確成立，I(f)?Q(f)，f(x)?xm?1時不成立，I(f)?Q(f)。

梯形公式m=1，辛普森公式m=3。3.Peano定理

第三節 高斯型積分公式

一．定義

節點個數一定，具有最高階代數精度公式的插值型積分公式稱為Guass型求積公式。插值型積分公式定義：

定理：數值積分公式I(f)?Q(f)至少有n次代數精度?近似式是插值型積分公式。對于牛頓科特斯公式，若采用等距節點，n分別為奇數和偶數時，代數精度分別為n和n+1。

二．最高代數精度

定理：m?2n?1 So，給定n+1個節點，具有2n+1次代數精度的插值型數值積分公式稱為Gauss型求積公式。三．Gauss型積分公式的構造方法 方法1：

代數精度為2n+1，則f(x)?1,x,...,xm時成立，可解出Ai和xi。方法2：

定理：代數精度m?2n?1?xi是[a,b]上關于?(x)的正交多項式gn?1(x)的零點(高斯點)，b其中Ai???(x)l(x)dx。ia四．高斯型求積公式的誤差

五．常用的高斯型求積公式 1.Gauss-Legendre求積公式 n=0 n=1

??1?f(x)dx??Af(x)?Q(f)，x是Pii1nin?1(x)的n+1個零點。

i?02.Gauss-Laguerre求積公式

???xx?e0?xf(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n??0f(x)dx??e(ef(x))dx??e?xF(x)dx00??x??(a?t)??ef(x)dx??ea0f(a?t)dx?e??a?te?F(t)dt 03.Gauss-Hermite求積公式

???e?x2f(x)dx??Aif(xi)?Q(f)

i?0n14.Gauss-Chebyshev求積公式

?1?f(x)1?x2dx??n?1i?0?f(cosn2i?1?)2n?2第四節 數值微分

f'(x)?limh?0f(x?h)?f(x)，h大，不精確，h小，由于小除數引入大誤差。

h近似函數法

取等節距節點，xi?x0?ih,i?0,1,...n(1)一階導數，n=1，兩個節點x0x1

(2)一階導數，n=2，三個節點x0x1x2

(3)二階導數，n=2，三個節點x0x1x2

實用誤差估計

例：

第六章 非線性方程的迭代解法

第一節 方程求根法

根的定義：對于非線性方程組f(x)=0，若存在數?使f(?)=0，稱?是非線性方程組f(x)=0的根。

零點存在定理：若f(x)是閉區間[a,b]上的連續函數，若f(a)f(b)<0，則必然存在??[a,b]，使f(?)=0。

試探法，二分法。一．簡單迭代法

初值x0，xk?1??(xk)，產生迭代序列?xk?。簡單迭代收斂定理（壓縮映像原理）

[,]，對于迭代函數?(x)，若滿足(1)若x?[a,b],?(x)?[a,b]；(2)存在正數0

收斂速度(收斂階)：若存在實數P和非零常數C，使得limkkxk?1??xk??k???C?0，稱迭代序列是P階收斂。P=1，線性收斂；P>1，超線性收斂；P=2，平方收斂。定理：設?是方程x??(x)的根，如果迭代函數?(x)滿足?'(?)??''(?)?...??(P?1)(?)?0,?(P)(?)?0

?xk?1??(xk)產生的迭代序列?xk?是P階收斂。

二．牛頓迭代法

xk?1?xk?f(xk)f'(xk)收斂性分析：牛頓迭代法具有局部收斂性，初值x0?x????，產生迭代序列收斂。收斂定理：設f(x)在[a,b]上二階導數存在，若

??f(a)f(b)?0，f(x)在[a,b]上單調，f(x)在[a,b]上凹向不變（即f''(x)在區間上不變號），初值x0滿足f(x0)f''(x0)?0，則任意初值x0?[a,b]，有牛頓迭代法產生的?xk?收斂于方程的唯一根。

簡化牛頓法：xk?1?xk?三．弦割法或割線法 用差商代替導數xk?1?xk?f(xk)f(xk)f(xk)?xk?1?xk??xk?1?xk?f'(xk)f'(x0)Cf(xk)

f(xk)?f(xk?1)xk?xk?1第二節 線性代數方程組迭代解法

Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法

SOR迭代法（xik?1?(1??)xik??xG?Sk?1）?opt?迭代法的收斂性：

將迭代法用矩陣表示：A?D?E?F，xk?1?Bxk?g Jacobi迭代法： G-S迭代法： SOR迭代法：

0定理：xk?1?Bxk?g，對?x產生的迭代序列x21?1??(Bj)2 ??收斂的充要條件是：

klimBk?0或?(B)?1。

k??推論1：若B?1，則收斂；

推論2：SOR方法收斂的必要條件是0???2；

推論3：設A是嚴格對角占優矩陣，則Jacobi，G-S，0???1的SOR方法收斂；

推論4：1)設A是對稱正定矩陣，則G-S方法收斂；2)設A是對稱正定矩陣，若2D-A也對稱正定，則Jacobi方法收斂；若2D-A不對稱正定，則Jacobi方法不收斂；3)設A是對稱正定矩陣，0???2，則SOR方法收斂。

第三節 非線性方程組的迭代解法

x k?1kkk?x?[f'(x)]?1f(x)

第七章 矩陣特征值和特征向量

矩陣A主特征值——模最大的特征值取為主特征值。對n個互不相同的特征值

?1??2??3?...??n，對應特征向量?1?2?3…?n；

kk任意向量z0?c1?1?c2?2?...cn?n z?AZ0 limzk?c1?1k?1，zk是對應A的?1的特征向量，k??(zk?1)i??1(zk)i

規范乘冪法

yk?Azk?1，yk按模取最大分量max?yk??mk，zk?limzk??10，?10是?1的規范化向量；limmk??1。

k??k??yk。mk加速法（原點位移法）yk??A?pI?zk?1

第八章 常微分方程數值解法的導出

?y'(x)?f(x,y(x))?y(a)?y0?一． 數值微分法

歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi,yi)后退歐拉公式：yi?1?yi?hf(xi?1,yi?1)終點法：yi?1?yi?1?2hf(xi,yi)

h2局部截斷誤差：y(xi?1)?yi?y''(?)

2二． 數值積分法

hyi?1?yi?[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)]

2預估yi?1?yi?hf(xi,yi)，校正yi?1?yi?

三．

四． 泰勒展示法

h[f(xi,yi)?f(xi?1,yi?1)] 2線性多步法

第三篇：計算方法總結

1.何為有根區間

給定一個方程f(x)=0,如果f(x)在[a,b]上連續，又f(a).f(b)<0,則由連續函數的性質知，方程f(x)=0在（a,b）內至少有一個實根。這時我們稱區間[a,b]為方程f(x)=0有根區間 2.尋找方程的有根區間的常用方法是什么 1.作圖法 2.逐步搜索法

3.作圖法尋找有根區間適用于哪種情況

函數f(x)比較簡單時適用

4.對于已知方程，如何利用逐步搜索法在區間內尋找有根區間

從X0=a出發，按照事先選擇的步長h=(b-a)/N(N為正整數)，逐點計算Xk==a+kh處的函數值f(Xk)與f(Xk+1)的值異號時，那么[Xk,Xk+1]就是方程f(x)=0的一個有根區間 5.逐步搜索法在計算機上實現方便。

6.對于給定的n次代數方程，如何確定根模的上下界

（1）若a=max{|a1|,|a2|,….,|an|},則方程的根的絕對值小于a+1；

（2）若b=(1/|an|)max{1,|a1|,|a2|,….,|an-1|},則方程的根的絕對值大于1/(1+b).7.步長h的選擇，對于逐步搜索法有何影響

當步長h越小時，找出的有根區間越小，這時以區間內的某個值作為根的近似值就越精確。但h越小，計算量越大 8.二分法求解方程的根有和優點，有何缺點

優點是算法簡單，而且收斂性總能得到保證，缺點是收斂速度慢。

9.艾特金迭代法與二分法相比，計算收斂速度快，節省時間，并且能求出某些發散的迭代過程的根。10.牛頓法的優點是什么，缺點是什么

優點是收斂速度快，節省計算量，誤差累積少。

缺點是在計算時它要用到f（x）的導數，當f（x）比較復雜時，計算其導數花費時間多。11.弦截法的優點是什么，它與牛頓法相比，收斂速度與計算速度如何

優點是不必計算f'(x),收斂速度也相當快,但比牛頓法慢。從計算速度來看，弦截法比牛頓法快。

12.弦截法的基本思想是什么（結合圖示說明），如何選取弦截法中的不動點

1準備2迭代3控制4迭代準備 13.何為階收斂，收斂速度與的大小有何關系

收斂速度的大小與收斂階數有關系，收斂階數越大，收斂速度越快。14.哪一類問題稱為插值問題

由實驗或測量得到了某一函數y=f(x)在n+1個點x0,x1,....,xn處的值y0,y1,...yn,需要構造一個簡單函數p(x)作為函數y=f(x)的近似表達式

Y=f(x)約等于p(x),使得p(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,2,...n),這類問題稱為插值問題

15.常用的插值算法有哪幾種，各有什么優缺點

一拉格朗日插值 線性插值2二次插值3n次拉格朗日插值多項式（區間大時誤差也較大）

二分段插值1分段線性插值2分段二次插值（優點是公式簡單，計算量小，有較好的收斂性和穩定性，并且可以避免計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢的困難。）

三差商與牛頓插值公式（不需要增加插值接點，不浪費）

四差分與等距節點差值公式（進一步簡化插值公式，計算也方便）五三次樣條差值（既能保證曲線連續，又能保證光滑性要求）

16.線性插值的幾何意義是什么（結合圖形進行說明）

線性插值的幾何意義是利用通過兩點的直線去近似代替曲線。

17.線性拉格朗日插值的截斷誤差限與什么量有關, 是什么關系

與x 在[a,b]時，f''(x)絕對值的最大值有關系

|R1|<=[M1|(x-x0)(x-x1)]/2 18.二次拉格朗日插值的截斷誤差限與什么量有關, 有什么關系

P93與x在[x0,x2]時，f'''(x)對值的最大值有關系，|R2(x)|<=M2(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6

19.通過n+1個互異節點且滿足插值條件的插值多項式是唯一的

20.線性插值或二次插值優缺點：簡單方便，計算量小。缺點是精度較低；

21.當低次插值的精度不夠時，應該適當縮小插值區間的長度來提高精度； 22.高次插值優缺點：插值精度高，缺點是數值不穩定；

25.分段插值優缺點：公式簡單，計算量小，且有較好的收斂性和穩定性，并可避免計算機上作高次乘冪時常遇到的上溢和下溢的困難.缺點是不能保證曲線在連接點處的光滑性。

26.應用低次插值進行分段插值時，應盡可能地在插值點的鄰近選取插值節點。

27.拉格朗日插值多項式與牛頓插值公式相比而言，拉格朗日插值多項式有何缺點，牛頓插值公式有何優點？

用拉格朗日插值多項式計算函數值時，當精度不滿足要求而需要增加插值節點時，原來的插值多項式就不能使用了，必須重新構造一個，將造成很大浪費。而牛插可以增加新的節點，原來的計算結果仍可利用。28.何為差商，給定個互異測試點,如何計算各階差商

函數值與自變量的差商就是差商，一階差商(或記作f[x0，x1])；

二階差商29.差商的對稱性

差商與插值節點順序無關

(或記作f[x0，x1，x2])

30.牛頓向前插值公式和牛頓向后插值公式有什么關系，有什么不同點

“牛前插”適用于計算x0附近的函數值，“牛后插”適用于計算函數表末端附近的函數值。31.為何要提出樣條插值，它克服了其它插值方法的何種缺點，它具有什么優點

在整個插值區間上做高次插值多項式，曲線光滑，但計算量繁重，誤差積累大，穩定性差。分段低次插值可避免這些缺點，但各段連接點處只能保證曲線連續，而不能保證光滑性要求。樣條插值其插值曲線不僅連續而且處處光滑。

32.曲線擬合解決了插值中的什么問題。擬合與插值有什么不同點

可以部分抵消原來數據組中所包含的測量誤差。P115 33.何為最小二乘曲線擬合法

用?(x)擬合數據(xk，yk)(k＝1，2，?，n)，使得誤差的平方和

為最小，求?(x)的方法，稱為最小二乘法。

第四篇：《數值計算方法》課程教學大綱.

《數值計算方法》課程教學大綱

課程名稱：數值計算方法/Mathods of Numerical Calculation 課程代碼：0806004066 開課學期：4 學時/學分：56學時/3.5學分（課內教學 40 學時，實驗上機 16 學時，課外 0 學時）先修課程：《高等代數》、《數學分析》、《常微分方程》、《C語言程序設計》 適用專業：信息與計算科學

開課院（系）：數學與計算機科學學院

一、課程的性質與任務

數值計算方法是數學與應用數學專業的核心課程之一。它是對一個數學問題通過計算機實現數值運算得到數值解答的方法及其理論的一門學科。本課程的任務是架設數學理論與計算機程序設計之間的橋梁，建立解決數學問題的有效算法，討論其收斂性和數值穩定性并尋找誤差估計式，培養學生數值計算的能力。

二、課程的教學內容、基本要求及學時分配

（一）誤差分析

2學時 了解數值計算方法的主要研究內容。2 理解誤差的概念和誤差的分析方法。熟悉在數值計算中應遵循的一些基本原則。重點：數值計算中應遵循的基本原則。難點：數值算法的穩定性。

（二）非線性方程組的求根

8學時 理解方程求根的逐步搜索法的含義和思路 掌握方程求根的二分法、迭代法、牛頓法及簡化牛頓法、非線性方程組求根的牛頓法 3 熟悉各種求根方法的算法步驟，并能編程上機調試和運行或能利用數學軟件求非線性方程的近似根。

重點：迭代方法的收斂性、牛頓迭代方法。難點：迭代方法收斂的階。

（三）線性方程組的解法

10學時 熟練掌握高斯消去法 熟練地實現矩陣的三角分解：Doolittle法、Crout法、Cholesky法、LDR方法。3 掌握線性方程組的直接解法：Doolittle法、Crout法、Cholesky法（平方根法）、改進平方根法、追趕法。

4能熟練地求向量和矩陣的1-范數、2-范數、?-范數和條件數。5 理解迭代法的基本思想，掌握迭代收斂的基本定理。掌握解線性方程組的雅可比（Jacobi）迭代法、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel)迭代法、逐次超松馳（SOR）迭代法。7能寫出線性方程組的各種直接解法和間接解法的算法，并能編程上機運行或能利用數學軟件求解線性方程組。

重點：矩陣的三角分解。

難點：線性方程組迭代解法的收斂問題。

（四）插值法

6學時

1.了解插值的一般概念和多項式插值的存在唯一性。

2.熟練掌握Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段低次插值及三次樣條插值的求解。

3.熟悉曲線擬合的最小二乘法，能熟練地求矛盾方程組的最小二乘解。

4.能對Lagrange插值、Newton插值、Neville插值、Hermite插值、三次樣條插值、線擬合的最小二乘法等編程上機調試和運行或借助數學軟件求插值函數和曲線擬合。

重點：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值。難點：三次樣條插值的求解。

（五）最佳逼近多項式的一般理論

5學時 了解最佳逼近的基本問題。掌握C[a,b]空間中最佳逼近的唯一性問題。3 了解切貝紹夫定理與Vallee-Poussin定理。

（六）數值微分與數值積分

5學時 了解數值積分的基本思想，能夠熟練地確定具體求積公式的代數精度及確定求積公式的節點和系數。熟練地用Newton-cotes公式，Romberg公式，兩點、三點Gauss公式等進行數值積分 重點：確定具體求積公式的代數精度及確定求積公式的節點和系數。難點：用待定系數法確定Gauss型求積公式的節點和系數。

（七）常微分方程的數值解

4學時 理解常微分方程的數值解的含義 掌握常微分方程的歐拉解法、R—K方法、亞當姆斯方法，理解其算法思想。重點：基于數值積分的方法。難點：R—K方法。

三、推薦教材及參考書

推薦教材：

1、張韻華等編著，數值計算方法與算法，科學出版社，2001。

2、馮天祥編著，數值計算方法，四川科技出版社，2003。參考書：

1、馮天祥編著，數值計算方法理論與實踐研究，西南交通大學出版社，２００５。

2、李慶揚等著，數值分析，華中理工大學出版社，2000。

3、林成森著，數值計算方法，科學出版社出版，1999。

4、李慶揚等著，現代數值分析，高等教育出版社，1998。

5封建湖等，計算方法典型題分析解集，西北工業大學出版社，1999。

四、結合近幾年的教學改革與研究，對教學大綱進行的新調整 增加了最佳逼近多項式的一般理論。

大綱制訂者：馮玉明

大綱審定者：陳小春

制訂日期：2008-11-15

第五篇：計算方法公式總結

計算方法公式總結

緒論

?e?x?x，x?為準確值，x為近似值。絕對誤差絕對誤差限

r|e|?|x??x|??，ε為正數，稱為絕對誤差限

x??xe?表示相對誤差 通常用e?xxrx??xe??相對誤差e?*xxr相對誤差限|er|??r或|e|??r 有效數字

一元函數y=f（x）

'e(y)?f(x)e(x)絕對誤差e(y)f(x)'e(x)xf'(x)e(y)???er(x)相對誤差ryyf(x)二元函數y=f（x1,x2）絕對誤差 ?f(x1,x2)?f(x1,x2)e(y)?dx1?dx2

?x1?x2?f(x1,x2)x1?f(x1,x2)x2e(y)?er(x1)?er(x2)相對誤差r?x1y?x2y

機器數系

注：1.β≥2，且通常取2、4、6、8 2.n為計算機字長

3.指數p稱為階碼（指數），有固定上下限L、U 4.尾數部 s??0.a1a2?an，定位部?p

n?11?2(??1)?(U?L?1)5.機器數個數機器數誤差限

1?np舍入絕對 |x?fl(x)|???截斷絕對|x?2fl(x)|???n?p

|x?fl(x)||x?fl(x)|11?n1?n????舍入相對截斷相對

|x||x|2

秦九韶算法

方程求根

f(x)?(x?x?)mg(x)，g(x)?0，x*為f（x）=0的m重根。

二分法

迭代法

f(x)?0?xk?1??(xk)

k=0、1、2……

**lim{x}?x??(x){xk}為迭代序列，?(x)為迭代函數，k??k

局部收斂

注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應用定理3判斷是否局部收斂

牛頓迭代法

f(x)?f(xk)?f(xk)(x?xk)?0

f(xk)xk?1?xk?'(k?0,1,2,?)f(xk)注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。

'

牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內也收斂，加如下四個條件

注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構造一個區間[ε,M(ε)],其中f(?)M(?)???',在這個區間內驗證這四個條件。

f(?)

如果知道根的位置，構造[ε，M（ε）]時應該包括根，即ε+常數

線性方程組求解

有兩種方法：消去法和迭代法

高斯消去法 利用線性代數中初等行變換將增廣矩陣轉化為等價上三角矩陣。

注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續初等行變換。對角占優矩陣

?a11?aA??21????an1na12a22?an2?a1n??a2n???? ??ann?則稱A為按行嚴格對角占優矩陣 |aii|??|aij|(i?1,2,?,n)j?1j?in|ajj|??|aij|(j?1,2,?,n)i?1i?j則稱A為按列嚴格對角占優矩陣

aij?aji(i?1,j?n)?x?R,x?0,(x,Ax)?0

則稱A是對稱正定的。

當A是上面三種情況時，用高斯消去法消元時追趕法是高斯消元法的一種特例

nakk?0，不用換行。

列主元高斯消元法

|aik|，即第k次消元把k~n行第k列絕對值當|ask|?maxk?i?n最大的行（s行）調到第k行，再進行高斯消元。(k)(k)

迭代序列構造

Ax?b?x?Bx?f?x第三個等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別

1.充分條件：迭代矩陣范數小于1，?B??1

結論：Ax=b有唯一解x*

(k?1)?Bx(k)?f

2.充要條件：迭代矩陣譜半徑小于1,?(B)?1 Jacobi迭代法

A?L?D?U其中L（low）為下三角，U為上三角，D為對角線元素

迭代格式：x(k?1)??????D(L?U)x(k)?D?1b

?1??

迭代矩陣J??D(L?U)

?1??收斂性判據：

|?I?J|?0?|D|?|L??D?U|?0?|L??D?U|?0

求出?最大值小于1（J的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.?1????Gauss-Seidel迭代法

迭代格式

x(k?1)?D(?Lx?1?(k?1)?Ux(k)?b)

?(k)?x(k?1)??(D?L)Ux??1??1?(D?L)?1b

?迭代矩陣：G??(D?L)U

?常數矩陣：g?(D?L)?1b

?

收斂性判據：

?????|?I?G|?0?|(D?L)|?|?(D?L)?U|?0?|?(D?L)?U|?0

求出?最大值小于1（G的譜半徑小于1）即迭代格式收斂.結論：當A是嚴格對角占優的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的

?1插值法

用插值多項式p（x）代替被插函數f(x)

nP(x)?a?ax???ax插值多項式：，01nn+1個點P(xi)?yi(i?0?n)

插值區間：[a,b]，插值點滿足

a?x0?x1??xn?b

求插值多項式P（x），即求多項式系數的過程為插值法

帶入可知求系數的插值點行列式為范德蒙行列式，不為0，有唯一解。即n+1插值條件對應的不超過n次的插值函數P（x）只有一個。一次線性插值nx?x0x?x1Py0?y1?y0l0(x)?y1l1(x)1(x)?x0?x1x1?x0(x?xi)lk(x)???i?0(x?x)?(xk?xi)i?kki

ni?0i?ki?0i?kn?(x?xi)Lagrange插值多項式

Ln(x)??yklk(x)??k?0k?0 nnx?xi(?)yki?0x?xii?kkn插值余項

非插值節點上Lagrange插值多項式為被插函數f(x)的近似值

f(n?1)(?)nRn(x)?f(x)?Ln(x)??(x?xi)(n?1)!i?0??(a,b)

帶導數插值條件的余項估計

注：推導過程用羅爾中值定理構造輔助函數

?(t)?Rn(t)?K(x)Wn?1(t)

第二條性質用于可以證明階數不大于n的f(x)的插值余項為0.差商和Newton插值法

記憶方法：先記分母，最后一個減去第一個，對應的分子第一項是最后一個臨近k元素的差商，第二項是第一個臨近k個元素的差商。

牛頓插值多項式

通常記作Nn（x）分段樣條插值

分段二次樣條插值

討論n為奇偶情況時的三個點 余項估計式

三次樣條插值函數

第一類邊界條件（端點一階導數已知）

D0等于第一個式子，dn等于第二個式子

自然邊界條件（端點二階導數已知二階導數和M0，Mn=0）

曲線擬合

最小二乘原理

函數關于n個點線性無關

23n1,x,x,x,?,x注：線性無關的函數為才是最小二乘多項式

注：記住公式即可。

數值積分和數值微分

xk為求積節點，Ak為求積系數。

插值求積公式

梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

截斷誤差

代數精度

當f(x)為不超過m次多項式時上式成立，f（x）為m+1多項式時上式不成立。則稱為求積公式有m次代數精度。

梯形公式代數精度為1，Simpson公式代數精度為3，Cotes公式代數精度為5

截斷誤差 梯形公式

Simpson公式

Cotes公式

Gauss求積公式

求積公式代數精度為2n+1 [-1,1]上的兩點Gauss公式（3次代數精度）

11??1f(x)dx?f(?3)?f(3)1[-1,1]上的三點Gauss公式（5次代數精度）

53853??1f(x)dx?9f(?5)?9f(0)?9f(5)1

記住 xktk，AkAk的關系，tkAk??查表即可

復化梯形公式2階，復化Simpson公式4階，復化Cote公式6階

計算機通過不斷把區間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可

1|I2n(f)?In(f)|??時 給定精度ε，p2?11|I(f)?I2n(f)|?p|I2n(f)?In(f)|??2?1因而可以取I2n(f)為I(f)的近似值。

梯形

Simpson數值微分

數值微分截斷誤差

中點公式：

f(x0?h)?f(x0?h)D(h)? 2h常微分方程數值解法

Euler方法

歐拉公式（單步顯式公式）求出的近似解

局部截斷誤差

Euler公式的局部截斷誤差（一階精度）

后退Euler公式

梯形公式(二階精度)

改進Euler公式（二階精度）

截斷誤差（推導要求掌握，利用梯形和Euler公式的截斷誤差）