第一篇：極限計算方法總結(簡潔版)

極限計算方法總結（簡潔版）

一、極限定義、運算法則和一些結果

1．定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見《高等數學》函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數列或函數的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：lim?0，當|q|?1時b?0(a,b為常數且a?0)；lim(3x?1)?5；limqn??；

x?2n??ann??不存在，當|q|?1時?等等

（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。

2．極限運算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B

（3）limf(x)A?,(此時需B?0成立)g(x)B

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。3．兩個重要極限（1）limsinx?

1x?0x1x（2）

(1?1)x?e

lim(1?x)?e ； limxx??x?0說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式，作者簡介：靳一東，男，（1964—），副教授。

1?2x例如：limsin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x3?e，lim(1?)?e；等等。

x??xx

34．等價無窮小

定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當x?0時，下列函數都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當上面每個函數中的自變量x換成g(x)時（g(x)?0），仍有上面的等價

關系成立，例如：當x?0時，定理4 如果函數

e3x?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～ 1 g1(x)，則當limx?x0f1(x)f1(x)f(x)存在時，lim也存在且等于f(x)lim，即

x?xx?x00g(x)g1(x)g1(x)x?x0limf1(x)f(x)lim=。

g(x)x?x0g1(x)5．洛比達法則

定理5 假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導，且g(x)的導數不為0；

（3）limf?(x)存在（或是無窮大）； ?g(x)f(x)f?(x)f(x)f?(x)

則極限lim也一定存在，且等于lim，即lim=lim。

g(x)g?(x)g(x)g?(x)說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“

0?”型或“”型；條件0?（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續使用，但每次使用之前都需要注意條件。

6．連續性

定理6 一切連續函數在其定義去間內的點處都連續，即如果x0是函數f(x)的定義去間內的一點，則有limx?x0f(x)?f(x0)。

7．極限存在準則

定理7（準則1）單調有界數列必有極限。

定理8（準則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個數列，且滿足：（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

n??

（2）limyn?a，limzn?a

n??n??

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxnn???a。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限 例1 limx?13x?1?2

x?1(3x?1)2?223x?33?lim?。解：原式=limx?1(x?1)(3x?1?2)x?1(x?1)(3x?1?2)4注：本題也可以用洛比達法則。

例2 limn(n?2?n?1)

n??n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以?解：原式=limn??n?2?n?1(?1)n?3n例3 lim

n??2n?3n上下同除以3nnlimn??31?21?1?nn?3。2解：原式?1(?)n?1lim3?1。n??2n()?132． 利用函數的連續性（定理6）求極限 例4 limx2ex?21x

12x解：因為x0?2是函數f(x)?xe的一個連續點，所以

原式=2e?4e。123． 利用兩個重要極限求極限 例5 lim1?cosx

x?03x2xx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達法則。例6 2xlim(1?3sinx)

x?01?6sinx??3sinxx1?3sinx?6sinxx解：原式=lim(1?3sinx)x?0?lim[(1?3sinx)x?0]?e?6。

例7 lim(n??n?2n)n?1解：原式=lim(1?n???3)n?1n?1?3n??3n?1?lim[(1?n???3)n?1n?1?3]?3nn?1?e?3。

4． 利用定理2求極限

2例8 limxsinx?01 x解：原式=0（定理2的結果）。

5． 利用等價無窮小代換（定理4）求極限

例9 limx?0xln(1?3x)2

arctan(x)2

2解：?x?0時，ln1(?3x)～3x，arctaxn)(～x，? 原式=limx?0x?3x?3。x2ex?esinx例10 lim

x?0x?sinxesinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)?lim?1。解：原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx注：下面的解法是錯誤的：

(ex?1)?(esinx?1)x?sinx?lim?1。

原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx

正如下面例題解法錯誤一樣：

tanx?sinxx?xlim?lim?0。33x?0x?0xx例11 1tan(xsin)x limx?0sinx22xsin解：?當x?0時，2111是無窮小，?tan(x2sin)與x2sin等價，xxx1xsin1x?limxsin?0。

所以，原式=lim（最后一步用到定理2）

x?0x?0xx6． 利用洛比達法則求極限

說明：當所求極限中的函數比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續使用。

例12 limx?01?cosx（例4）

3x2sinx1?。（最后一步用到了重要極限）

x?06x6解：原式=limcos例13 ?xlimx?12 x?14 ?解：原式=limx?1?2sin?x2???。12例14 limx?0x?sinx x31?cosxsinx1lim?。=（連續用洛比達法則，最后用重要極限）2x?0x?06x63x解：原式=lim例15 limsinx?xcosx 2x?0xsinx原式?lim解：sinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2 xsinx1?lim?x?033x2例18 11lim[?] x?0xln(1?x)11lim[?]?0。解：錯誤解法：原式=x?0xx

正確解法：

原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01 ?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2x?2sinx

3x?cosx1?2cosx0”型，但用洛比達法則后得到：lim，此極限

x??3?sinx0應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 limx??解：易見：該極限是“不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

2sinx1x原式=lim（分子、分母同時除以x）=（利用定理1和定理2）

x??cosx33?x1?7． 利用極限存在準則求極限 例20 已知x1xn ?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??n??解：易證：數列{xn}單調遞增，且有界（0

xn存在，設 limxn?a。

n??對已知的遞推公式

xn?1?2?xn兩邊求極限，得：

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）。所以 limxn?2。

n??1n?1nn?n22n??例21 lim(?1n?2?12???11n?n2)

1n?n2解： 易見：n?12?n?22????nn?12

因為 limn??nn?n2?1，limn??nn?1?122?1

???1n?n2所以由準則2得：lim(n??1n?12n?2)?1。

上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于不常用，這里不作介紹。

第二篇：高數_第1章_極限計算方法總結

極限計算方法總結

一、極限定義、運算法則和一些結果 1．定義：

數列極限、函數極限，課本42頁的表格必須認真填寫并掌握。說明：（1）一些最簡單的數列或函數的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：lim?1?0；lim(3x?1)?5；limqn?0,當q?1等。2x?2n??(n?1)n??定義證明按著總結的四個步驟來，缺一不可！（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。2．極限運算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B（2）limf(x)?g(x)?A?B

（3）limf(x)A?,(此時需B?0成立)

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同g(x)B時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。3．兩個重要極限

sinx(1?1)x?e

?1（2）lim(1?x)x?e ； lim（1）limxx??x?0x?0x說明：（1）不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式。

（2）一定注意兩個重要極限成立的條件。

例如：lim1sin3x?1，lim(1?2x)x?0x?03x1?2x?e，lim(1?3)?e；等等。

x??xx34．等價無窮小

定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。定理3 當x?0時，下列函數都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當上面每個函數中的自變量x換成g(x)時（g(x)?0），仍有上面的等價 關系成立，例如：當x?0時，定理4 如果函數

e3x?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x2。

f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時的無窮小，且f(x)～f1(x)，f1(x)f1(x)f(x)g(x)～g1(x)，則當lim存在時，lim也存在且等于lim。

x?x0g(x)x?x0g(x)x?x0g(x)115．連續性

定理5 一切連續函數在其定義去間內的點處都連續，即如果x0是函數f(x)的定義去間內 的一點，則有limx?xf(x)?f(x0)。求極限的一個方法。

06．極限存在準則

定理6（準則1）單調有界數列必有極限。

定理7（準則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個數列，且滿足：

（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)（2）limy??n?a，limzn??n?an

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limx?an??n??n。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限

例1 lim3x?1?2x?1x?1

解：原式=lim(3x?1)2?22x?1(x?1)(3x?1?2)?lim3x?3x?1(x?1)(3x?1?2)?34。注：本題也可以用洛比達法則。例2 limn??n(n?2?n?1)

n解：原式=limn[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以n??n?2?n?1?lim3n???31?2?1?12nn例3 lim(?1)n?3nn??2n?3n

上下同除以3n(?1)n?1解：原式?lim3n???1(2。3)n?12． 利用函數的連續性（定理6）求極限 1例4 limx2exx?2

1解：因為x是函數f(x)?x2ex0?2的一個連續點，所以

原式=22e2?4e。

3． 利用兩個重要極限求極限 例5 lim1?cosxx?03x2。

xx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達法則(第三章)例6

2xlim(1?3sinx)

x?01?6sinx??3sinxx1?3sinx?6sinxx解：原式=lim(1?3sinx)x?0?lim[(1?3sinx)x?0]?e?6。

例7 lim(n??n?2n)n?1解：原式=lim(1?n???3)n?1n?1?3n??3n?1?lim[(1?n???3)n?1n?1?3]?3nn?1?e?3。

4． 利用定理2求極限

2例8 limxsinx?01 x解：原式=0（定理2的結果）。

5． 利用等價無窮小代換（定理4）求極限

例9 limx?0xln(1?3x)2

arctan(x)22x?0

解：?x?0時，ln(1?3x)～3x，arctan(x)～x，? 原式=limx?3x?3。2xex?esinx例10 lim

x?0x?sinxesinx(ex?sinx?1)esinx(x?sinx)?lim?1。解：原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx注：下面的解法是錯誤的：

(ex?1)?(esinx?1)x?sinx?lim?1。

原式=limx?0x?0x?sinxx?sinx

正如下面例題解法錯誤一樣：

tanx?sinxx?xlim?lim?0。

33x?0x?0xx 3

例11

1tan(x2sin)x limx?0sinx2xsin解：?當x?0時，111是無窮小，?tan(x2sin)與x2sin等價，xxxx2sin

所以，原式=limx?01x?limxsin1?0。

（最后一步用到定理2）

x?0xx5． 利用極限存在準則求極限

例20 已知x1xn ?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??n??解：易證：數列{xn}單調遞增，且有界（0

xn存在，limxn?a。對已知的遞推公式 xn?1?2?xnn??兩邊求極限，得：

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）

所以 limxn?2。

n??例21 lim(n??1n?1n2?1n?2?12???11n?n2)

1n?n2解： 易見：n?n2n?12?n?22????nn?12

因為 limn??nn?n2?1，limn??nn?1?122?1

???1n?n2所以由準則2得：lim(n??1n?12n?2)?1。

上面對求第一章極限的常用方法進行了比較全面的總結，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用洛必達、定積分求極限等，后面再作介紹。

第三篇：二重極限的計算方法(學年論文)

二重極限的計算方法小結

內 容 摘 要

本文在二元函數定義基礎上通過求對數，變量代換等方式總結了解決二重極限問題的幾種方法，并給出相關例題及解題步驟。及二重極限不存在的幾種證明方法。

關鍵詞：二重極限 變量代換等 不存在的證明

目 錄

序言???????????????????????????

1一、利用特殊路徑猜得極限值再加以驗證………??????1(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以確定???????? 1(二)由累次極限猜想極限值再加以驗證??????????2(三)采用對數法求極限?????????????????2(四)利用一元函數中重要的極限的推廣求兩個重要極限???3(五)等價無窮小代換??????????????????3(六)利用無窮小量與有界函數的積仍為無窮小量??????4(七)多元函數收斂判別方法???????????????4(八)變量代換將二重極限化為一元函數中的已知極限????5(九)極坐標代換法???????????????????6(十)用多元函數收斂判別的方法?????????????7

二、證明二重極限不存在的幾種方法………………………………… 7 總結??????????????????????????10 參考文獻????????????????????????11 I

序言

二元函數的極限是在一元函數極限的基礎上發展起來的，二者之間既有聯系又有區別。對一元函數而言，自變量的變化只有左右兩種方式，而二元函數可以有無數種沿曲線趨于某店的方式，這是兩者最大的區別。雖然二元函數的極限較為復雜，但若能在理解好概念，掌握解題方法和技巧就不難解決。

對于二元函數的二重極限，重點是極限的存在性及其求解方法。二重極限實質上是包含任意方向的逼近過程，是一個較為復雜的極限，只要有兩個方向的極限不相等，就能確定二重極限不存在，但要確定二重極限存在則需要判定沿任意方向的極限都存在且相等。由于二重極限較為復雜，判定極限的存在及其求解，往往因題而異，依據變量(x,y)的不同變化趨勢和函數f(x,y)的不同類型，探索得出一些計算方法，采用恰當的求解方法后，對復雜的二重極限計算，就能簡便，快捷地獲得結果，本文將對二重極限的幾種計算方法做一下小結。一、二重極限的計算方法小結

(一)利用特殊路徑猜得極限值再加以驗證

利用二元函數極限定義求極限：根據定義解題時只需找出?來。

x3y例1 討論f(x,y)?2，在點的極限。

x?y2[1]解 令y?mx

x?0y?mxlimx3ymx4m2?lim?limx?0

x2?y2x?0y?mx(1?m2)x?01?m2x3y應為此路徑為特殊路徑，故不能說明lim?0.可以猜測值為0。

x?0y?0x2?y2下面再利用定義法證明：???0，取??2?

當0?(x?0)2?(y?0)2?? 有x2?x2?y2?2?

x3yx3y12x3y12由于2 即有?0??x?x?? 2222xy22x?yx?yx3y故lim?0.x?0y?0x2?y2注意（1）?的任意性

（2）?一般隨而變化

（3）若函數以A為極限，則對函數在的某去心鄰域內有范圍（A+?，A-?）。

(二)由累次極限猜想極限值再加以驗證

先求出一個累次極限，該類此極限是否為二重極限在用定義驗證 例2[2] 設f(x,y)?(x?y)sin221(x2?y2?0)。求limf(x,y)22x?0y?0x?y解 ?limlimf(x,y)?0可以猜測有極限值為0.事實上對任意的(x,y)?(0,0)

x?0y?0有f(x,y)?0?(x?y)sin2212222?x?y?x?y，22x?y???0 取???，當x??，y??，(x,y)?(0,0)時，2就有(x2?y2)sin1?0??，即有limf(x,y)?0 22x?0y?0x?y(三)采用對數法求極限

利用初等變形，特別是指數形式常常可以先求起對數的極限。或極限是等未定型，往往通過取對數的辦法求得結果。

例3 求 解

1sinxyx?0?y?0?lim(1?xy)(1?xy)

1sinxy1xyxysinxyx?0?y?0?lim1sinxy?x?0?y?0?limeln(1?xy)?x?0?y?0?limeln(1?xy)

1xy 因為

xyxyln(1?xy)?lne?1 ?1而且limx?0?y?0?sinxy1x?0?y?0?lim 所以

1sinxyx?0y?0lim(1?xy)???e

(四)利用一元函數中重要極限的推廣求兩個重要極限

1? lim?1??lim(1?x)x?e ??x??x?0?x?sinx?

1limx?0x類似于一元函數，我們可以充分利用所熟知的結論。通過構造變形我們能夠化不熟悉為熟悉，進而利用已有的結論而求之

例4[3]x1 求（1）lim(1?x)x?0y?01x(x?y)（2）limsinxy

x?0y?ax解（1）因為

lim(1?x)?e，limx?01x11?

x?0y?2x?y2 所以

1x(x?y)1x?yx?0y?2lim(1?x)???lim?(1?x)?x?0y?2??1x?e（2）由于

又因為

sinxysinxy??y,y?0, xxysinxysint?lin?1(xy?t,x?0)

x?0y?at?0txylim 所以

sinxysint?linliny?a

x?0y?at?0yxt?alim(五)等價無窮小代換

利用一元函數中已有的結論對式子進行必要的代換以達到簡化的目的，進而求出所要求的極限

33例5 求limsin(x?y)

x?0y?0x?y33 解 因為x?0,y?0,故有x?y?0

所以sin(x3?y3)等價于x3?y3

3333故原式為limsin(x?y)?limx?y?lim(x2?xy?y2)?0

x?0y?0x?0y?0x?0y?0x?yx?y注 無窮小替代求極限時要理解替換過程的本質，不可隨意替換。利用等價無窮小替代求極限其實質就是在極限運算中同時乘一個或是除一個等價無窮小，也就是我們通常所說的“乘除時可以替換，加減時不可隨意替換”

(六)利用無窮小量與有界函數的積仍為無窮小量

充分利用無窮小的性質，與一元函數類似，在求極限過程中，以零為極限的量稱為無窮小量，有關無窮小量的運算性質也可以推廣到多元函數中。

例6[4]2?x?3??y?2? 求 lim

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2 解 因為

2?x?3??y?2?limx?3,y?2?x?3?2??y?2?2?lim?x?3??y?2??x?3?

x?3,y?2?x?3?2??y?2?2而

?x?3??y?2??x?3?2??y?2?2又 limx?3,y?2?1為有界變量 2?x?3??0 故有 原式=0(七)多元函數收斂判別方法

當一個二重極限不易直接求出時，可以考慮通過放縮法使二元函數夾在兩個已知極限的函數之間，且兩端的極限值相等，則原函數的極限值存在且等于它們的公共值。

例7[5] 求 lim?xx?0y?0?y2

x?y2?解 因為

?x0?而

?y2x2y2x2y2?????x?y

x?yx?yx?yxy2?x?0y?0lim?x?y??0，故

x?0y?0lim?x?y2

x?y2?

(八)變量代換將二重極限化為一元函數中的已知極限

有時為了將所求的極限化簡，轉化為已知的極限，可以根據極限式子的特點，適當引入新變量，以替換原有的變量，使原來較復雜的極限過程轉化為更簡化的極限過程。

1、討論當x?0,y?0，二元函數f(x,y)的極限，利用變量代換把二重極限化為一元函數中已知的極限轉化，相應有t?0從而求得結果。

ln(1?x2?y2)例8 求 lim 22x?0,y?0x?y解 令x2?y2??, 則當x?0,y?0時 ??0，22ln(1?x?y)ln(1??)于是lim?lim?1 22x?0,y?0??0?x?y2、討論當x??,y?aa?0常數時，二元函數f(x,y)的極限，作變量代換，相應有t??，利用已知一元函數的極限公式。

例9 求 lim?1???x??y?a??xy?解 因為

x2x?y???1?其中a?0

?1??1??xy????x2x?y?1???1??xy????xxy(x?y)y

當 x??,y?a時，令xy=t,相應有t?? 則

?1??lim?1??x??y?a??xy?

所以

xy?1??lim?1???e t???t?t?1???lim1?x??y?a?xy???x2x?y?x??y?alimex1xyln(1?)(x?y)yxy?e1a

3、討論x??,y??時二元函數f(x,y)的極限

例10 求 解 因為 x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)

(x?y)e22?(x?y)(x2?y2)(x?y)2xy???2(x?y)(x?y)(x?y)eee當 x??,y??時，令x+y=t,相應有t??

(x?y)2t2則 lim?limt?0

x??,y??e(x?y)t??ex??,y??lim2xyxy??2lim?lim?0 xyxyx??,y??x??,y??eeee所以

x??,y??lim(x2?y2)e?(x?y)?0

(九)極坐標代換法

討論當?x,y???0,0?時，二元函數f(x,y)的極限，必要時可以用極坐標變換

?x?rcos?,y?rsin?，即將求f(x,y)當極限問題變換為f(rcos?,rsin?)求r?0的極

?限問題。但必須要求在r?0的過程中與?的取值無關。注意這里不僅對任何固定的?在r?0?時的極限與?無關，而且要求在r?0?過程中?可以隨r的改變而取不同的值的情況下仍然無關，才能說明lim[6]x?0,y?0f(x,y)存在。

x2y2例11 求lim

(x,y)?(0,0)x2?y2解 令

?x?rcos?，當(x,y)?(0,0)時，有r?0? ??y?rsin?令

x2y2r4cos2?sin2???r2cos2?sin2? 222x?xr22因為 cos?sin??1

所以

x2y2222lim?limrcos?sin?0(x,y)?(0,0)x2?y2r?0?

(十)用多元函數收斂判別的方法

通過縮放法使二元函數夾在兩個已知極限的函數之間，再利用兩邊夾定理來推出結果。

x2?y2例12 求 lim

x?0y?0x?y 解 因為

x2?y2?x?y?0???x?y x?yx?y2而 limx?0y?0?x?y??0

22x?y 所以 lim?0

x?0y?0x?y

二、證明二重極限不存在

若二元函數f(p)在區域D有定義，p0(x0,y0)是D的聚點。當動點p(x,y)沿著兩條不同的曲線（或點列）誣陷趨近于點p0(x0,y0)，二元函數f(p)，有不同的“極限”，則二元函數f(p)在點p0(x0,y0)不存在極限。依此可以有下面幾種方法來證明f(p)在區域D上當p?p0時極限不存在。

例1[7] 證明x?0y?0limln(x?ey)x2?y2不存在

y22證明 函數的定義域為D?(x,y)x??e,x?y?0，當點p(x,y)沿著y

??軸趨于點(0,0)時，有x=0，而

x?0y?0limln(x?ey)x2?y2?limy?0y不存在，y所以

x?0y?0limln(x?ey)x?y22

當P沿著D中某一連續曲線趨近于點p0(x0,y0)時，二元函數f(p)的極限不存在，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在

例2 證明x?0y?0limx4?y4不存在

x?y證明 函數的定義域為D?(x,y)x?y?0，當點p(x,y)沿著x軸趨于點（0，x4?y40）時，lim=0，當點p(x,y)沿著y?x(x3?1)趨于點（0，0）時x?0y?0x?yx4?y4x4?x4(x3?1)lim?lim?2 4x?0x?0x?yx所以

x?0y?0??limx4?y4不存在

x?y當P沿著D中兩條不同的連續曲線趨近于p0(x0,y0)時，二元函數f(p)的極限都存在，但不相等，則(x,y?(x0,y0)limf(x,y)不存在。

x2y2不存在 33x?y例3 證明

x?0y?0lim證明 設x?rcos?,y?rsin?函數的定義域為

D?(r,?)r?0,cos??sin??0,?0,2??

??

x?0y?0limx2y2?x3?y3xlim(r,?)?D?0?rcos2?sin2? cos3??sin3?rcos2?sin2?當??0時，sin??0得lim?0 33x?0?cos??sin?(r,?)?D當??(33??1)時cos3??sin3??0?,cos2?sin2??443令cos??sin??r有

x?0?cos3??sin3??rlimrcos2?sin2?1??0

cos3??sin3?4所以

x?0y?0limx2y2 不存在

x3?y3對于一些難以找到的路線，可以利用極坐標來證明 例4[8] 證明 limx?0y?0x2?y2不存在 22x?2yx2?y2x3證明 limlimf(x,y)?limlim2?lim2?limx?0

x?0y?0x?0y?0xx?0xx?0?2y2x2?y2y211 limlimf(x,y)?limlim2?lim?lim?x?0y?0x?0y?0x?2y2y?02y2y?022

即得

x?0y?0limx2?y2x2?y2 ?limlim2222x?0y?0x?2yx?2yx?0y?0因為兩個累次極限不想等，所以

limx2?y2 不存在 22x?2y總結

函數極限是數學分析中非常重要的內容，也是比較難理解和掌握的部分，特別是二元函數的極限，但二元函數在多元函數微積分學中有著舉足輕重的作用，探討其存在性與求法是進一步學習多元函數微積分有關概念和方法的基礎。文中列出了利用特殊路徑猜得極限值再加以確定、由累次極限猜想極限值再加以驗證、采用對數法求極限、利用一元函數中重要的極限的推廣求兩個重要極限、等價無窮小代換、利用無窮小量與有界函數的積仍為無窮小量、多元函數收斂判別方法、變量代換將二重極限化為一元函數中的已知極限、極坐標代換法、用多元函數收斂判別的方法等始終二重極限的計算方法及四種二重極限不存在的證明方法。在實際解決二重極限問題時要根據題型不同選擇最優的解題方式，不但能提高正確率也可以節省時間和工作量，達到事半功倍的效果。

參考文獻

［1］孫濤.數學分析經典習題解析[M].北京:高等教育出版社,2004.［2］張貴文,汪明凡.關于多元函數的極限[J].數學學習,1983.［3］華東師范大學數學系.數學分析.下冊(第三版)[M].北京:高等教育出版社，2001.［4］同濟大學應用數學系.高等數學(下冊)(五版)[M].北京:高等教育出版社，2002.［5］閻家灝.正項級數斂散性的一種審斂[J].蘭州工業高等專科學校學報,2004.［6］閻家灝.用極坐標變換確定二重極限的技巧及實例[J].蘭州工業高等專科學校學 報,2006.［7］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義(第三版)[M].北京:高等教育出版社，1992.［8］張雅平.二重極限的幾種求法[J].雁北師范學院學報（自然科學版），2005，（2）..10

第四篇：極限計算方法及例題

極限計算方法總結

《高等數學》是理工科院校最重要的基礎課之一，極限是《高等數學》的重要組成部分。求極限方法眾多，非常靈活，給函授學員的學習帶來較大困難，而極限學的好壞直接關系到《高等數學》后面內容的學習。下面先對極限概念和一些結果進行總結，然后通過例題給出求極限的各種方法，以便學員更好地掌握這部分知識。

一、極限定義、運算法則和一些結果

1．定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見《高等數學》函授教材，這里不一一敘述）。說明：（1）一些最簡單的數列或函數的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的b?0(a,b為常數且a?0)；極限嚴格定義證明，例如：lim

n?當?an0，|q|?1時?nlim(3x?1)?5；limq??；等等 n??x?2?不存在，當|q|?1時（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結果直接運用，而不需

再用極限嚴格定義證明。

2．極限運算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B

f(x)

g(x)AB（3）lim?,(此時需B?0成立)

說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。

3．兩個重要極限

（1）limsinx

xx?0?1

11xxlim(1?)?elim(1?x)?e（2）；xx??x?0

說明：不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應能夠熟練運用它們的變形形式，作者簡介：靳一東，男，（1964—），副教授。1

例如：limsin3x

3xx?0?1，lim(1?2x)x?0?2x?e，lim(1?x??3)3?e；等等。xx

4．等價無窮小

定理2 無窮小與有界函數的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。

定理3 當x?0時，下列函數都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：1

x～sin

x～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當上面每個函數中的自變量x換成g(x)時（g(x)?0），仍有上面的等價

關系成立，例如：當x?0時，e

3x

?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x。

定理4 如果函數f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，則當lim

f1(x)g1(x)f1(x)g1(x)

x?x0

存在時，lim

f(x)g(x)

也存在且等于

x?x0

f(x)lim

f1(x)g1(x)

x?x0，即lim

f(x)g(x)

x?x0

=lim

x?x0。

5．洛比達法則

定理5 假設當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數f(x)和g(x)滿足：

（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導，且g(x)的導數不為0；

（3）lim

f?(x)g?(x)

存在（或是無窮大）；

則極限lim

f(x)g(x)

也一定存在，且等于lim

f?(x)g?(x)，即lim

f(x)g(x)

=lim

f?(x)g?(x)。

說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不

滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“

00

”型或“

??

”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導完畢

后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續使用，但每次使用之前都需要注

意條件。

6．連續性

定理6 一切連續函數在其定義去間內的點處都連續，即如果x0是函數f(x)的定義去間

內的一點，則有limf(x)?f(x0)。

x?x0

7．極限存在準則

定理7（準則1）單調有界數列必有極限。

定理8（準則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個數列，且滿足：

（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

（2）limyn?a，limzn?a

n??

n??

則極限limxn??

n一定存在，且極限值也是a，即limxn??

n?a。

二、求極限方法舉例

1． 用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限

例1lim

3x?1?2x?1

x?

1)2

?

2解：原式=lim

(3x?1?lim

3x?3

?

3x?1

(x?1)(3x?1?2)

x?1

(x?1)(3x?1?2)。

注：本題也可以用洛比達法則。例2lim

n(n?2?

n?1)n??

n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以

n

解：原式=limn??

n?2?

n?1

?lim

3?

3n??

1?

212

n?

?

n

例3 lim

(?1)n?3n

n??

2n

?3

n

(?1上下同除以3

n)n

?1解：原式

?

lim3

?1n??(2。3)n

?12． 利用函數的連續性（定理6）求極限

例4 limx2

ex

x?2

解：因為x2

x

0?2是函數f(x)?xe的一個連續點，所以原式=22

e2?4e。3． 利用兩個重要極限求極限

例5 lim

1?cosxx?0

3x

2sin

x2sin

x

解：原式=lim22?1

x?0

3x

?lim

x?012?(x6。

22)。

注：本題也可以用洛比達法則。

例6 lim(1?3sinx)x

x?0

1?6sinx

?6sinx

解：原式=lim(1?3sinx)

?3sinx?

x

?lim[(1?3sinx)?3sinx]

x?0

x?0

例7 lim（n?2n

n??

n?1)

?3n?1?3n

n?1

?3n解：原式=lim(1?

?3?

n?1

?

?33

]n?1

?e

?3

n??

n?1)?lim[(1n??

n?1)

?4． 利用定理2求極限

例8 limx2

sin

1x?0

x

解：原式=0（定理2的結果）。5． 利用等價無窮小代換（定理4）求極限例9 lim

xln(1?3x)x?0

arctan（x2)

解：?x?0時，ln(1?3x)～3x，arctan(x2)～x2，? 原式=lim

x?3xx

?3。

x?0

x例10 lim

e?e

sinx

x?0

x?sinx

sinx

(ex?sinx

?1)

sinx

解：原式=lim

e

x?sinx)

x?0

x?sinx

?lim

e(x?0

x?sinx

?1。

注：下面的解法是錯誤的： xsinx

原式=lim

(e?1)?(e

?1)

?lim

x?sinx?1x?0

x?sinx

x?0

x?sinx。

正如下面例題解法錯誤一樣：lim

tanx?sinx

x

?lim

x?x?0x?0

x?0

x。

tan(x2

sin

1例11 lim

x)

x?0

sinx

?e

?6。

解：?當x?0時，x2sin

1x

是無窮小，?tan(xsin

1x)與xsin

1x

等價，xsin

所以，原式=lim

x?0

x?limxsin1?0

。（最后一步用到定理2）

x?0xx

6． 利用洛比達法則求極限

說明：當所求極限中的函數比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時，洛比達法則還可以連續使用。例12 lim

1?cosx3x

x?0

（例4）

解：原式=lim

sinx6x

x?0

?

。（最后一步用到了重要極限）

cos

例13 lim

x?1

?x

x?1?

?

sin

1?x

???

。2

解：原式=lim

x?1

例14 lim

x?sinxx

x?0

解：原式=lim

1?cosx3x

x?0

=lim

sinx6x

x?0

?

。（連續用洛比達法則，最后用重要極限）

例15 lim解：

sinx?xcosx

xsinx

x?0

原式?lim

?lim

sinx?xcosx

x?xxsinx3x

x?0

?lim

cosx?(cosx?xsinx)

3x

x?0

x?0

?

3例18 lim[

x?0

1x

?

1ln(1?x)

]

1x

1x

解：錯誤解法：原式=lim[

x?0

?

]?0。

正確解法：

原式?lim

ln(1?x)?xxln(1?x)11?x2x

?1

x?0

?lim

x?0

ln(1?x)?x

x?x

?lim

x?0

?lim

x2x(1?x)

x?0

?

12。

應該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 lim

x?2sinx3x?cosx

x??

解：易見：該極限是“

00

”型，但用洛比達法則后得到：lim

1?2cosx3?sinx

x??，此極限

不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

1?

原式=lim

x??

2sinx

x

（分子、分母同時除以x）cosxx

3?

=

（利用定理1和定理2）

7． 利用極限存在準則求極限

例20 已知x1?

2,xn?1?

2?xn,(n?1,2,?)，求limxn

n??

解：易證：數列{xn}單調遞增，且有界（0<設

xn<2），由準則1極限limxn存在，n??

limxn?a。對已知的遞推公式 xn?1?

n??

2?xn兩邊求極限，得：

a?所以

2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）

limxn?2。n??

1n?1nn?n

n??

例21 lim(?

1n?2?

???

1n?n)

1n?n

解： 易見：

n?1

?

1n?2

????

nn?1

因為 limn??

nn?n

?1，lim

nn?1

?

n??

?1

1n?n

所以由準則2得：lim（n??

n?1

n?2

???)?1。

第五篇：個人所得稅的計算方法(最簡潔)

個人所得稅的計算方法（最簡潔）

我國個人所得稅的特點是以個人為納稅主體，按分類所得設置稅率，實行自行申報和 代扣代繳兩種征稅方法。隨著社會各階層個人收入的提高，個人所得稅的稅源增長顯著，在沿海開放地區，個人所得稅在地方稅收中已占據相當大的比重。

一、工資、薪金所得應納所得稅額的計算工資、薪金所得應繳納的個人所得稅可以由納稅人直接繳納，也可以由扣繳義務人扣 繳。從2011年9月1日起，它以納稅人每月取得的工資、薪金收入扣除費用3500元(或 4800元)后的余額為應稅所得，根據七級超額累進稅率，計算其應納所得稅額。例：某外商投資企業的中方財務經理2014年3月取得月薪收入5000元，取 得2013一次性獎金30000元。該經理3月份應繳納的個人所得稅計算如下：(1)3月份工資收入應納個人所得稅為：(5000-3500)x3% =45(元）(2)3月份取得的2013年終獎應納個人所得稅為：3_0 + 12 = 2500(元）先確定適用稅率為10%，速算扣除數為105。30000 x 10%-105 = 2895(元）(3)3月份應繳個人所得稅合計：45 +2895 =2940(元）

二、勞務報酬所得應納所得稅的計算勞務報酬所得個人所得稅應納稅額的計算公式為：(1)每次收入不足4000元的：應納稅額=應納稅所得額x適用稅率=(每次收入額-800)x 20%(2)每次收入在4000元以上的：應納稅額=應納稅所得額x適用稅率==每次收入額x(120%)x適用稅率-速算扣除數 值得注意的是，對勞務報酬所得一次收入畸高，即個人一次取得的應納稅所得額超過 20000?50000元部分，依稅法規定計算應納稅額后再按照應納稅額加征五成，超過50000元的部分，加征十成。例：2013年8月歌星劉某應邀參加C公司慶典活動的演出。按照協議劉某 演出四場，每場出場費為15000元。劉某演出收入應納個人所得稅為：應稅所得額=1500(^4父（1-20%)=48000(元）應納稅額=48000 x30%-2000 = 12400(元）

三、在中國境內無住所的個人未滿一月工資薪金所得應納稅額的計算應納稅額=(當月工資薪金應納稅所得額*適用稅率—速算扣除數）*（當月實際在中國天數/當月天數）如果外籍個人取得的是日工資薪金，應以日工資薪金乘以當月天數換算成月工資薪金 后，按上述公式計算應納稅額。例：—外籍個人擔任我國境內一家外商投資企業財務總監，每月工資由該企 業支付15000元，由外方公司支付6000美元(折合人民幣40000元），該個人20131月 至6月在我國境內工作，其余時間在境外履行職務。根據稅法規定，其2013在我國的 納稅義務確定為：(1)由于其系企業的高層管理人員，因此，根據稅法規定，該人員于2013年1月1日起 至6月30日止在華任職期間，由該企業支付的15000元工資薪金所得，應按月依照稅法規 定的期限申報繳納個人所得稅。(2)由于其2013來華工作時間未超過183天，根據稅收協定的規定，其由外方公 司支付的工資、薪金所得，在我國可免于申報納稅（如果該個人屬于與我國未簽訂稅收協定 國家的居民，則其由境外公司按每月6000美元標準支付的工資薪金，凡屬于在我國境內 180天工作期間取得的部分，應與我國境內企業每月支付的15000元工資合并計算繳納個 人所得稅）。2013該人員應納個人所得稅為：(1)若該人員屬于與我國簽訂稅收協定國家的居民，則月薪應納稅所得額=15000-4800 = 10200(元）任職期間應納稅額=(10200x25%-1005)xl2 =18540(元）(2)若該人員屬于與我國未簽訂稅收協定國家的居民境內工作期間月薪應納稅所得額=(15000 +40000)-4800 =50200(元）境內工作期間應納稅額=(50200 x30%-2755)x6 +(50200 x30%-2755)x [1-40000 +(15000 +40000)] x6 =93965.45(元）

四、境外所得的已納稅款的扣除根據《個人所得稅法》規定，納稅義務人從中國境外取得的所得，準予其在應納稅額中 扣除已在境外繳納的個人所得稅稅款。但扣除額不得超過該納稅義務人境外所得依照我 國稅法規定計算的應納稅額。

例:王某2013年1月至12月從中國境內取得工資、薪金收入66000元，從A 國取得特許權使用費收入8000元，已按A國稅法規定繳納了個人所得稅1400元，則王某 2013年應申報繳納個人所得稅額為：(1)月工薪收入=66000 + 12 = 5500(元）(2)月應納稅額=(5500-3500)xlO%-105 =95(元(3)A國收入按我國稅法規定計算的應納稅額(抵扣限額）= 8000x(l-20%)x20% =1280(元）該納稅人在A國實際繳納的稅款超出了抵扣限額，只能在抵扣限額內抵扣1280元。剩余部分可在以后5個納稅的A國扣除限額的余額中補扣。(4)應納所得稅額合計=95 x 12 = 1140(元）

五、個人獨資企業和合伙企業投資者個人所得稅的計算自2000年1月1日起，個人獨資企業和合伙企業（以下簡稱企業）每一納稅的收 入總額減除成本、費用以及損失后的余額，作為投資者個人的生產經營所得，比照《個人所 得稅法》的“個體工商戶的生產、經營所得”應稅項目，適用5%?35%的五級超額累進稅率，計算征收個人所得稅。個人獨資企業的投資者以全部生產經營所得為納稅所得額;合伙企業的投資者按照合 伙企業的全部生產經營所得和合伙協議約定的分配比例確定應納稅所得額，合伙協議沒有 約定分配比例的，以全部生產經營所得和合伙人數量平均計算每個投資者的應納稅所 得額。凡實行查賬征稅辦法的，生產經營所得比照《個體工商戶個人所得稅計稅辦法》（國家 稅務總局令第35號）的規定確定。(1)個體工商戶實際支付給從業人員的、合理的工資薪金支出，準予扣除。個體工商戶 業主的費用扣除標準，自2011年9月1日起，為4200元/年(3500元/月）。個體工商戶業 主的工資薪金支出不得稅前扣除。(2)個體工商戶按照國務院有關主管部門或者省級人民政府規定的范圍和標準為其業 主和從業人員繳納的基本養老保險費、基本醫療保險費、失業保險費、生育保險費、工傷保 險費和住房公積金，準予扣除。個體工商戶為從業人員繳納的補充養老保險費、補充醫療保險費，分別在不超過從業 人員工資總額5%標準內的部分據實扣除;超過部分，不得扣除。個體工商戶業主本人繳納的補充養老保險費、補充醫療保險費，以當地（地級市）上年 度社會平均工資的3倍為計算基數，分別在不超過該計算基數5%標準內的部分據實扣除； 超過部分，不得扣除。(3)除個體工商戶依照國家有關規定為特殊工種從業人員支付的人身安全保險費和財政部、國家稅務總局規定可以扣除的其他商業保險費外，個體工商戶業主本人或者為從業 人員支付的商業保險費，不得扣除。(4)個體工商戶在生產經營活動中發生的合理的不需要資本化的借款費用，準予扣除。個體工商戶為購置、建造固定資產、無形資產和經過12個月以上的建造才能達到預定可銷售狀態的存貨發生借款的，在有關資產購置、建造期間發生的合理的借款費用，應當作 為資本性支出計入有關資產的成本，并依照本辦法的規定扣除。(5)個體工商戶在生產經營活動中發生的下列利息支出，準予扣除：向金融企業借款的 利息支出；向非金融企業和個人借款的利息支出，不超過按照金融企業同期同類貸款利率 計算的數額的部分。(6)個體工商戶在貨幣交易中，以及納稅終了時將人民幣以外的貨幣性資產、負債 按照期末即期人民幣匯率中間價折算為人民幣時產生的匯兌損失，除已經計入有關資產成本部分外，準予扣除。(7)個體工商戶向當地工會組織撥繳的工會經費、實際發生的職工福利費支出、職工教 育經費支出分別在工資薪金總額的2%、14%、2.5%的標準內據實扣除。工資薪金總額是指允許在當期稅前扣除的工資薪金支出數額。職工教育經費的實際發生數額超出規定比例當期不能扣除的數額，準予在以后納稅年 度結轉扣除。個體工商戶業主本人向當地工會組織繳納的工會經費、實際發生的職工福利費支出、職工教育經費支出，以當地(地級市）上社會平均工資的3倍為計算基數，在本條第一 款規定比例內據實扣除。(8)個體工商戶發生的與生產經營活動有關的業務招待費，按照實際發生額的60%扣 除，但最高不得超過當年銷售（營業）收入的5%。業主自申請營業執照之日起至開始生產經營之日止所發生的業務招待費，按照實際發 生額的60%計入個體工商戶的開辦費。(9)個體工商戶每一納稅發生的與其生產經營活動直接相關的廣告費和業務宣傳 費不超過當年銷售（營業）收入15%的部分，可以據實扣除;超過部分，準予在以后納稅 結轉扣除。(10)個體工商戶代其從業人員或者他人負擔的稅款，不得稅前扣除。(11)個體工商戶按照規定繳納的攤位費、行政性收費、協會會費等，按實際發生數額 扣除。(12)個體工商戶根據生產經營活動的需要租入固定資產支付的租賃費，按照以下方法 扣除:以經營租賃方式租入固定資產發生的租賃費支出，按照租賃期限均勻扣除；以融資租 賃方式租入固定資產發生的租賃費支出，按照規定構成融資租入固定資產價值的部分應當 提取折舊費用，分期扣除。(13)個體工商戶參加財產保險，按照規定繳納的保險費，準予扣除。(14)個體工商戶發生的合理的勞動保護支出，準予扣除。(15)個體工商戶自申請營業執照之日起至開始生產經營之日止所發生符合本辦法規 定的費用，除為取得固定資產、無形資產的支出，以及應計入資產價值的匯兌損益、利息支 出外，作為開辦費，個體工商戶可以選擇在開始生產經營的當年一次性扣除，也可自生產經 營月份起在不短于3年期限內攤銷扣除，但一經選定，不得改變。開始生產經營之日為個體工商戶取得第一筆銷售（營業）收人的日期。(16)個體工商戶通過公益性社會團體或者縣級以上人民政府及其部門，用于《中華人 民共和國公益事業捐贈法》規定的公益事業的捐贈，捐贈額不超過其應納稅所得額30%的 部分可以據實扣除。財政部、國家稅務總局規定可以全額在稅前扣除的捐贈支出項目，按有關規定執行。個體工商戶直接對受益人的捐贈不得扣除。公益性社會團體的認定，按照財政部、國家稅務總局、民政部有關規定執行。(17)個體工商戶研究開發新產品、新技術、新工藝所發生的開發費用，以及研究開發新 產品、新技術而購置單臺價值在10萬元以下的測試儀器和試驗性裝置的購置費準予直接扣 除;單臺價值在10萬元以上（含10萬元）的測試儀器和試驗性裝置，按固定資產管理，不得在當期直接扣除。有下列情形之一的，則采取核定征收方式征收個人所得稅：(1)企業依照國家有關規定應當設置但未設置賬簿的；(2)企業雖設置賬簿，但賬目混亂或者成本資料、收入憑證、費用憑證殘缺不全，難以查 賬的；(3)納稅人發生納稅義務，未按照規定期限辦理納稅申報，經稅務機關責令限期申報，逾期仍不申報的。實行核定應稅所得率征收方式的，應納所得稅額的計算公式如下：應納所得稅額=應納稅所得額x適用稅率 應納稅所得額=收入總額x應稅所得率 或 =成本費用支出額+(1-應稅所得率）x應稅所得率。87.75%關心財稅動態的年輕人，都在看「解稅寶」。各大App商店搜索「解稅寶」，新生代最新財稅消息交流平臺。