第一篇：高等數(shù)學極限總結(jié)

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

【摘要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對于剛?cè)敫咝５膶W生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應(yīng)性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結(jié)論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決。現(xiàn)在想來這不是什么海口，數(shù)學再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調(diào)在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調(diào)的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時比較簡單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結(jié)。

第二篇：高等數(shù)學極限總結(jié)

【摘 要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對于剛?cè)敫咝５膶W生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應(yīng)性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結(jié)論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決。現(xiàn)在想來這不是什么海口，數(shù)學再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。

此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調(diào)在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特

別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調(diào)的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。

（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。

（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時比較簡單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：

這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式。

”，然后選用公式，再湊出公式的形式，最后直接套用公第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。

三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結(jié)。

第三篇：高等數(shù)學-極限

《高等數(shù)學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉(zhuǎn)載▼ 標簽： 分類： 數(shù)學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對于剛?cè)敫咝５膶W生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應(yīng)性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結(jié)論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決。現(xiàn)在想來這不是什么海口，數(shù)學再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調(diào)在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調(diào)的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時比較簡單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結(jié)。

（本文著作權(quán)歸個人所有，如需轉(zhuǎn)載請聯(lián)系本人。）

第四篇：高等數(shù)學極限復(fù)習題

高等數(shù)學復(fù)習資料二

川汽院專升本極限復(fù)習題

一 極限計算

二 兩個重要極限

三 用無窮小量和等價

第五篇：高等數(shù)學極限方法總結(jié)

摘要：數(shù)列極限的求法一直是數(shù)列中一個比較重要的問題，本文通過歸納和總結(jié)，從不同 的方面羅列了它的幾種求法.關(guān)鍵詞：高等數(shù)學、數(shù)列極限、定義、洛比達法則、英文題目Limit methods summarize

Abstract:

The method of sequence limit has been in the series a more important problems, this paper summed up from different aspects and a few of its listing is also given.Key words:

Higher mathematics, sequence limit, definition, los than amounting to law，一.引言

高等數(shù)學第二章在整個高等數(shù)學的學習中都占有相當重要的地位，特別是極限，原因就是后續(xù)章節(jié)本質(zhì)上都是極限。一個經(jīng)典的形容就是假如高等數(shù)學是棵樹木的話，那么極限就是它的根，函數(shù)就是它的皮。樹沒有根，活不下去，沒有皮，只能枯萎，可見極限的重要性。

極限一直是數(shù)學分析中的一個重點內(nèi)容，而對數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。求數(shù)列極限的最基本的方法 還是利用數(shù)列極限的定義，也要注意運用兩個重要極限，其中，可以利用等量代 換,展開、約分，三角代換等方法化成比較好求的數(shù)列，也可以利用數(shù)列極限的 四則運算法則計算。夾逼性定理和單調(diào)有界原理是很重要的定理，在求的時候要 重點注意運用。泰勒公式、洛必達法則、黎曼引理是針對某些特殊的數(shù)列而言的。還有一些比較常 用的方法，在本文中都一一列舉了。

二.研究問題及成果

一、極限定義、運算法則和一些結(jié)果

1．定義：（各種類型的極限的嚴格定義參見《高等數(shù)學》函授教材，這里不一一敘述）。

說明：（1）一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限（極限值可以觀察得到）都可以用上面的極限嚴格定義證明，例如：

blim(3x?1)?5lim?0(a,b為常數(shù)且a?0)；；x?2n??an?0，當|q|?1時limqn??；等等 n??

（2）在后面求極限時，（1）中提到的簡單極限作為已知結(jié)果直接運用，而不需再用極限嚴格定義證明。

2．極限運算法則

定理1 已知 limf(x)，limg(x)都存在，極限值分別為A，B，則下面極限都存在，且有

（1）lim[f(x)?g(x)]?A?B

（2）limf(x)?g(x)?A?B（3）limf(x)A?,(此時需B?0成立)g(x)B當|q|?1時?不存在，說明：極限號下面的極限過程是一致的；同時注意法則成立的條件，當條件不滿足時，不能用。

3．兩個重要極限

（1）limx?0sinx?x 2

(1?1)x?e

(1?x)?e ； lim（2）limxx??x?01x說明：(1)不僅要能夠運用這兩個重要極限本身，還應(yīng)能夠熟練運用它們的變形形式.（2）一定注意兩個重要極限成立的條件。一定注意兩個重要極限 成立的條件。

sin3x3lim?1，lim(1?2x)?2x?e，lim(1?)3?e；等等。例如：x?0xx??x?03x1x4．洛比達法則

定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮小（即極限是0）。

定理3 當x?0時，下列函數(shù)都是無窮小（即極限是0），且相互等價，即有：

x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln(1?x)～ex?1。

說明：當上面每個函數(shù)中的自變量x換成g(x)時（g(x)?0），仍有上面的等價

關(guān)系成立，例如：當x?0時，e3x2?1 ～ 3x ；ln(1?x2)～ ?x。

定理4 如果函數(shù)f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x?x0時的無窮小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，則當limx?x0f1(x)f(x)lim存在時，x?x也存在且0g(x)g1(x)lim等于f(x)x?x0f1(x)f(x)f(x)lim1lim，即x=。

x?x?x00g(x)g1(x)g1(x)5．洛比達法則

定理5 假設(shè)當自變量x趨近于某一定值（或無窮大）時，函數(shù)f(x)和g(x)滿足：（1）f(x)和g(x)的極限都是0或都是無窮大；

（2）f(x)和g(x)都可導(dǎo)，且g(x)的導(dǎo)數(shù)不為0；

（3）limf?(x)存在（或是無窮大）； g?(x)f(x)f?(x)=lim。g(x)g?(x)f(x)f?(x)il

則極限lim也一定存在，且等于lim，即mg(x)g?(x)說明：定理5稱為洛比達法則，用該法則求極限時，應(yīng)注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應(yīng)用。特別要注意條件（1）是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型；條件（2）一般都滿足，而條件（3）則在求導(dǎo)完畢后可以知道是否滿足。另外，洛比達法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。

6．連續(xù)性

定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù)，即如果x0是函數(shù)f(x)的定義去間內(nèi)的一點，則有l(wèi)imf(x)?f(x0)。

x?x000??7．極限存在準則

定理7（準則1）單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

定理8（準則2）已知{xn},{yn},{zn}為三個數(shù)列，且滿足：

（1）yn?xn?zn,(n?1,2,3,?)

（2）limyn?a，limzn?a

n??n??

則極限limxn一定存在，且極限值也是a，即limxn?a。

n??n??

二、求極限方法舉例

1． 利用函數(shù)的連續(xù)性（定理6）求極限 x2e 例4 limx?2解：因為x0?2是函數(shù)f(x)?xe的一個連續(xù)點，所以

原式=22e?4e。2． 利用兩個重要極限求極限 例5 limx?01?cosx 3x2121x12xxx2sin22?lim2?1lim解：原式=x?0x?0x26。3x212?()22sin2注：本題也可以用洛比達法則。

(1?3sinx)例6 limx?0(1?3sinx)解：原式=limx?01?6sinx??3sinxx2x?lim[(1?3sinx)x?01?3sinx]?6sinxx?e?6。

(例7 limn??n?2n)n?1n?1?3nn?1?3?3?(1?)解：原式=limn??n?1?3?3n?1?lim[(1?)]?e?3。n??n?1n?1?3n注：兩個重要的極限分別為 limsin x 1 2 = 1 和 lim(1 +)x = e，對第一個而言是 x→0 x →∞ x xX 趨近0 時候的 sinx 與 x 比值。第2 個實際上如果 x 趨近無窮大和無窮小都有 對有對應(yīng)的形式。當?shù)讛?shù)是 1 的時候要特別注意可能是用第2 個重要極限。3． 利用定理2求極限 x2sin 例8 limx?01x解：原式=0（定理2的結(jié)果）。4． 利用等價無窮小代換（定理4）求極限

這種方法的理論基礎(chǔ)主要包括：(1)有限個無窮小的和、差、積仍是無窮小.(2)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.(3)非零無窮小與無窮大互為倒數(shù).(4)等價無窮小代換(當求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可用等價無窮小代替).設(shè)?~??、?~??且lim[3]

????lim；則：?與?是等價無窮小的充分必要條件為：??????0(?)．

常用等價無窮小：當變量x?0時，sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ex?1~x,ln(1?x)~x,1?cosx~12x,21?x?1?x~x,(1?x)??1~?x．

例1 求limx?01?cosx．

xarctanx解 ?x?0時,1?cosx~12x,arctanx~x，212x1 故，原式?lim22?

x?0x2例2 求lim(1?x)?1．

x?0cosx?1123123解 ?x?0時,(1?x)?1~121x,1?cosx~x2,因此: 3212x23??． 原式?limx?0123x23例3 求 limx?01?3?1．

tanx1x1133解 x?0時,1?x?1~x,tanx~x，故:原式=lim?．

x?0x33 例4 求limx?0?ex?1?22xln(1?x)．

解 x?0時,ex?1~x,ln(1?x)~x,故: x21原式?lim2?．

x?02x2例5 試確定常數(shù)a與n，使得當x?0時，ax與ln(1?x3)?x3為等價無窮小．

n?3x22?3x333ln(1?x)?x?3x51?x?1 而左邊lim解 lim，?limn?1n?1x?0x?0x?0axnnaxnax?3?31?1??1?a??． 故 n?1?5即n?6 ?limx?06a6a25.利用洛比達法則求極限

利用這一法則的前提是：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在；為0比0型或者

?型等未定式類型.?洛必達法則分為3種情況：（1）0比0，無窮比無窮的時候直接用.（2）0乘以無窮，無窮減去無窮（無窮大與無窮小成倒數(shù)關(guān)系時）通常無窮大都寫成無窮小的倒數(shù)形式,通項之后，就能變成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方，對于（指數(shù),冪函數(shù)）形式的方法主要是取指數(shù)的方法，這樣就能把冪函數(shù)指數(shù)位置的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了.洛必達法則中還有一個定理：當x?a時，函數(shù)f(x)及F(x)都趨于0；在點a的某去心鄰域內(nèi)，f(x)﹑F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0；limx?af?(x)存在，那么F?(x)limx?af(x)f?(x)[1]?lim.x?aF(x)F?(x)求極限有很多種方法如洛必達法則，夾逼定理求極限的秘訣是：強行代入，先定型后定法.[3]例12 limx?01?cosx（例4）3x2sinx1?。（最后一步用到了重要極限）6x6解：原式=limx?0 cos?x例13 limx?12 x?1??2sin?x解：原式=limx?1例14 limx?02???。

12x?sinx x31?cosxsinx1lim?。=（連續(xù)用洛比達法則，最后用2x?06x63x解：原式=limx?0重要極限）例15 limx?0解： sinx?xcosx

x2sinx原式?limsinx?xcosxcosx?(cosx?xsinx)?limx?0x?0x2?x3x2

xsinx1?lim?2x?033x11lim[?] 例18 x?0xln(1?x)11lim[解：錯誤解法：原式=x?0?]?0。

xx正確解法：

原式?limln(1?x)?xln(1?x)?x?limx?0xln(1?x)x?xx?01 ?1x1?lim1?x?lim?。x?0x?02x2x(1?x)2應(yīng)該注意，洛比達法則并不是總可以用，如下例。例19 limx?? x?2sinx

3x?cosx8

lim解：易見：該極限是“”型，但用洛比達法則后得到：x??001?2cosx，3?sinx此極限

不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下：

2sinxx原式=lim（分子、分母同時除以x）x??cosx3?x1?

=（利用定理1和定理2）

注：使用羅比達法則必須滿足使用條件，要注意分母不能為零，導(dǎo)數(shù)存在。羅比達法則分為三種情況（1）0 比0 和無窮比無窮時候直接分子分母求導(dǎo)；（2）0 乘以無窮，無窮減去無窮（應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系）所以無窮大都 寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成 1 的形式；（3）的 0 次方，0 1 的無窮次方，無窮的 0 次方，對于（指數(shù)冪數(shù)）方程，方法主要是取指數(shù)還取 對數(shù)的方法，這 樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成 0 與無窮的形式了，（這就是為什么只有 3 種形式的原因，）6.利用極限存在準則求極限 13xn 例20 已知x1?2,xn?1?2?xn,(n?1,2,?)，求limn??xn解：易證：數(shù)列{xn}單調(diào)遞增，且有界（0

a?2?a，解得：a?2或a??1（不合題意，舍去）

xn?2。所以 limn??(例21 limn??1n?1n2?1n?2?12???1n?n1n?222)

1n?n2解： 易見：因為 limn??n?n2n?12?????nn?12

nn?n2?1，limn??nn?1?2?1

1???1n?n2(所以由準則2得：limn??7.直接使用求導(dǎo)的定義求極限

1n?12n?22)?1。

當題目中告訴你F(0)?0時，F(xiàn)(x)的導(dǎo)數(shù)等于0的時候，就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義：（1）設(shè)函數(shù)y?f?x?在點x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義，當自變量x在x0處取得增量?x（點?x?x0仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時，相應(yīng)的函數(shù)取得增量?y?f??x?x0??f?x0?；如果?y與?x之比?x?0時的極限存在，則稱函數(shù)y?f?x?在點x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y?f?x?在點x0處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)y?f?x?在點x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f??x0?，即

f??x0??limf??x?x0??f?x0??y?lim；

?x?0?x?x?0?x（2）在某點處可導(dǎo)的充分必要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等.例36 f?x???x?1??x?e??x???，求f''???.解 f??? =limx??f?x??f????lim?x?1??x?e???x?1??x?e?.x??x??'例37 若函數(shù)f?x?有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)且f?0?=0，f?0?=1，f''?0?=-2，f?x??x??則 limx?0x2?.A:不存在 B：0 C：-1 D：-2 f?x??xf'?x??11f'?x??f'?0?1''?f?0???1.?lim?lim解 lim2x?0x?0x?02x2x2x?0所以，答案為D.10 例38 若f(x)?x(x?1)(x?2)?.....(x?2010)，求f?(0).f(x)?f(0)

x?0xx(x?1)(x?2)?.....(x?2010)?lim

x?0x解 f?(0)?lim ?limx(x?1)(x?2)?.....(x?2010)

x?0 ?2010!.8.求數(shù)列極限的時候可以將其轉(zhuǎn)化為定積分[1]

例33 已知f?x??1?x ,在區(qū)間?0,1?上求lim2??0?f????x（其中將?0,1?分為n個小

iii?1n區(qū)間?xi?1,xi?,xi?1??i?xi，?為?xi中的最大值）.解 由已知得: lim??0?f??i??xi??f?x?dx

i?10n1 ??101?x2?dx

??4.（注釋：由已知可以清楚的知道，該極限的求解可以轉(zhuǎn)化為定積分,求函數(shù)f?x?在區(qū)間?0,1?上的面積）.在有的極限的計算中，需要利用到如下的一些結(jié)論、概念和方法：

（1）定積分中值定理：如果函數(shù)f?x?在積分區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則在?a,b?上至少有一個點，使下列公式成立：?f?x?dx???x??b?a? ?a???b?ab；

（2）設(shè)函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,???上連續(xù)，取t?a，如果極限 lim此極限為函數(shù)f?x?在無窮區(qū)間?a,???上的反常積分，記作

t???a?f?x?dx存在，則稱

t???0f(x)dx，即???af(x)dx?lim?f(x)dx；

t???at設(shè)f?x?在區(qū)間?a,b?上連續(xù)且f?x??0，求以曲線y?f?x?為曲線，底為?a,b?的曲邊梯形的面積A，把這個面積A表示為定積分：A=?f?x?dx 的步驟是：

ab首先，用任意一組的點把區(qū)間?a,b?分成長度為?xi(i?1,2,...n)的n個小區(qū)間，相應(yīng)地把曲 線梯形分成n個窄曲邊梯形，第i個窄曲邊梯形的面積設(shè)為?Ai，于是有A?其次，計算?Ai的近似值 ?Ai?f然后，求和，得A的近似值 A?n??A；

ii?1n??i??xi?xi?1??i?xi?；

nii?f????x；

i?1最后，求極限，得A?lim??0?f(?i)?xi??f(x)dx.i?1ax02xb?x?t?f?t?dt???..例34 設(shè)函數(shù)f?x?連續(xù)，且f?0??0，求極限 limx?f?x?t?dtx?00解 limx?0?0?x?t?f?t?dtx?f?x?t?dt0xx =limx?0?x0xf?t?dt??tf?t?dt0xx?f?u?du0x，f?t?dt+xf?x??xf?x??由洛必達得：lim?f?u?du?xf?x?，0x?0x0x?其中f?x?t?dx,令u?x?t,得?f?u?du,0x?

再由積分中值定理得:limx?0xf???

?在0到x之間??xf????xf?x??limx?0f???f?0?1??f????f?x?f?0??f?0?2dx???1?x2.??.例35 計算反常積分: 解 ??dx????arctanx?(?)??.limarctanx?limarctanx ===?????1?x2??x???x?-?229.用初等方法變形后，再利用極限運算法則求極限

利用如下的極限運算法則來求極限：(1)如果limf?x??A,limg?x??B，那么lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B

lim??f?x??g?x????limf?x??limg?x??A?B

若又有B?0，則limf(x)limf(xg(x)?)limg(x)?AB（2）如果limf(x)存在，而c為常數(shù)，則lim[cf(x)]?climf(x)（3）如果limf(x)存在，而n為正整數(shù)，則lim[f(x)]n?[limf(x)]n（4）如果?(x)??(x)，而lim?(x)?a,lim?(x)?b，則a?b（5）設(shè)有數(shù)列?xn?和?yn?，如果limn???xn?yn??A?B;

那么，limn???xn?yn??A?B;limn??xnyn?A?B

當yn?0?n?1,2,...?且b?0時，limxnAn??y? nB 例1 lim3x?1?2x?1x?1

解：原式=(3x?1)2?22lim3x?33x?1(x?1)(3x?1?2)?limx?1(x?1)(3x?1?2)?4。注：本題也可以用洛比達法則。

例2 limn??n(n?2?n?1)n[(n?2)?(n?1)]分子分母同除以n解：原式=limn??n?2?n?1?lim3n??1?2?32n?1?1n例3 lim(?1)n?3nn??2n?3n(?1)n?1解：原式上下同除以?3nlim3n???1。(23)n?1三，極限運算思維的培養(yǎng)

。極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結(jié)。

四.結(jié)束語

上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結(jié)，由此可以看出，求極限方法靈活多樣，而且許多題目不只用到一種方法，因此，要想熟練掌握各種方法，必須多做練習，在練習中體會。另外，求極限還有其它一些方法，如用定積分求極限等，由于平時練習中不經(jīng)常使用，這里不作一一介紹了。

[參 考 文 獻] [1] 同濟大學應(yīng)用數(shù)學系 高等數(shù)學 1997

[2] 吉米多維奇.數(shù)學分析[M].濟南:山東科技文獻出版社1995.[3] 陳紀修,等.數(shù)學分析[M].北京:高等教育出版社,1999.[4] 同濟大學應(yīng)用數(shù)學組.高等數(shù)學[M].北京:高等教育出版社,1996.第3期張宏達:高

等數(shù)學中求極限的常用方法

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