第一篇：高等數學說課稿《數列極限》

《數列極限》說課稿

袁勛

這次我說課的內容是由盛祥耀主編的《高等數學》（上冊）第一章第二節極限概念中的數列極限。這部分內容在課本第18頁至20頁。

下面我把對本節課的教學目的、過程、方法、工具等方面的簡單認識作一個說明。

一、關于教學目的的確定：

眾所周知，對極限這個概念的理解是高等數學的學習基礎，但由于學生對數列極限概念及其定義的數學語言表述的理解比較困難，這種理解上的困難將影響學生對后繼知識的學習，因此，我從知識、能力、情感等方面確定了本次課的教學目標。

1．在知識上，使學生理解極限的概念，能初步利用極限定義確定某些簡單的數列極限；

2．在能力上，培養學生觀察、分析、概括的能力和在探索問題中的，由靜態到動態、由有限到無限的辨證觀點。體驗?從具體到抽象，從特殊到一般再到特殊?的認識過程；

3．在情感上，通過介紹我國古代數學家劉徽的成就，激發學生的民族自尊心和愛國主義思想情感，并使他們對數列極限知識有一個形象化的了解。

二、關于教學過程的設計：

為了達到以上教學目的，根據兩節。在具體教學中，根據?循序漸進原則?，我把這次課分為三個階段：?概念探索階段? ；?概念建立階段? ；?概念鞏固階段?。下面我將對每一階段教學中計劃解決的主要問題和教學步驟作出說明。

（一）?概念探索階段? 1.這一階段要解決的主要問題

在這一階段的教學中，由于注意到學生在開始接觸數列極限這個概念時，總是以靜止的觀點來理解這個描述變化過程的動態概念，總覺得與以前知識相比，接受起來有困難，似乎這個概念是突然產生的，甚至于不明概念所云，故我在這一階段計劃主要解決這樣幾個問題：

①使學生了解以研究函數值的變化趨勢的觀點研究無窮數列，從而發現數列極限的過程；

②使學生形成對數列極限的初步認識； ③使學生了解學習數列極限概念的必要性。2．本階段教學安排

我采取溫故知新、推陳出新的教學過程，分三個步驟進行教學。① 溫故知新

由于研究數列極限首先應對數列知識有一個清晰的了解，因此在具體教學中通過對教案中5個具體數列通項公式的思考讓學生對數列通項公式這個概念產生回憶，指出以前研究數列都是研究的有限項的問題，現在開始研究無限項的問題。然后引導學生回憶數列是自變量為自然數的函數，通項公式就是以n為自變量的、定義域為自然數集的函數an的解析式。再引導學生回憶研究函數，實際上研究的就是自變量變化過程

1?中，函數值變化的情況和變化的趨勢，并以第[2]的數列an????為例說

?2?明：當n=2、3、4、5 時，對應的an?1、1、1、1 就說明自變量由

242168增加到5時，對應的函數值就由1減小到1這種變化情況。若問自然數n

216n?1一直增加下去，函數an應怎樣變化下去，這就是研究變化的趨勢。

這樣利用通項公式就可把數列變化趨勢問題與函數值變化趨勢問題有機地結合起來，引導學生從函數值變化趨勢的角度來看待例題中五個數列的變換趨勢。通過這種討論，在對變化趨勢這個概念的理解上發揮心理學上所提?無意注意?的作用，使學生對進一步討論的數列變換趨勢問題不至于太陌生。

② 推陳出新

在對5個數列變化趨勢的分析過程中，通過引導，由學生討論得到數列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向學生說明：?具有類似于數列（2）、（3）、（5）共性的數列稱為有極限的數列，共性中的?趨近于一個確定的常數?稱它為有極限數列的極限?。并進一步和學生討論如何給數列的極限下定義，此時我根據學生情況給予提示，給出數列極限概念的描述性說明：當項數無限增加時，數列的項無限趨近于某一個確定的常數的數列稱為有極限的數列，這個確定的常數稱為數列極限。

③ 劉徽及其《割圓術》的介紹

學生對數列極限概念有了一定的認識，為了使學生認識到這個概念并不是突然產生的，是和他們已有的知識結構密切相關的，為此在第一階段我設計了這一部分教學。

我一方面介紹了我國古代數學家對數列極限思想所做的貢獻，如?在世界數學史上，劉徽是最早運用這種數列極限的思想解決數學問題的大 數學家。用這種指導思想計算圓面積的方法，就稱為劉徽割圓術.用類似劉徽割圓術的方法求出圓周率的近似值，雖然在公元前3世紀的古希臘數學家阿基米德也算出過，但所用的方法卻比劉徽所用的方法繁雜的多。?

在另一方面重點結合計算機模擬劉徽割圓術，介紹這種算法的指導思想：?割之彌細，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣?。通過課件動態演示，進一步在?無意注意?作用的發揮上下文章，加深學生對?變化趨勢?、?趨近于?、?極限?等概念的認識，為下一階段極限概念的教學提供對這個概念感性認識的基礎。

（二）?概念建立階段? 1． 這一階段要解決的任務

由于數列極限概念及其定義的數學語言表述具有高度的概括性、抽象性，學生初次接觸很困難。具體講，在?-N語言中，學生搞不清?的兩重性——絕對的任意性、相對的確定性；學生搞不清?N?，不太理解N的實質是表示項數n無限增大過程中的某一時刻，從這一時刻起，所有an(n>N)，都聚集在以極限值A為中心，?為半徑的鄰域中，N是否存在是證明數列極限存在的關鍵。

因此在這一階段的教學中，我采取?啟發式談話法?與?啟發式講解法?，注意不?一次到位?，這樣在本階段我設計解決的幾個主要問題是：

①建立、理解數列極限的定義；

②認識定義中反映出的靜與動的辨證關系； ③初步學習論證數列極限的方法。2． 本階段教學安排

本階段教學安排分三個步驟進行。① 問題的提出

在教學安排上，我根據學生形成對數列極限的初步認識，以數列

?1,2,3,4,?,n,??

2345n?1為例，提出一個學生形成極限概念時不好回答的問題：根據數列極限定義直觀描述，這個數列的極限是1，即當項數n無限增大時，這個數列的項無限地趨近于1，問題是為什么不說這個數列的項無限地趨近于1.1，從而使學生發現問題在于自己已獲得的數列極限概念中?無限趨近于?這一描述，這種描述比較含混，感到有必要對極限定義做進一步精 確描述。

② 問題的解決

具體講，由于數軸上兩點的距離及其解析表示對學生來說是很熟悉的，故我在教學中利用數軸引導學生先得出結論：?趨近于?是距離概念，距離的解析表示是絕對值，?無限趨近于?就可用距離要多小有多小來表示。即數列項與確定常數差的絕對值要多小有多小。

然后讓學生通過具體計算如：?思考已知數列中是否有到1.1的距離為0.01的項？?使學生知道已知數列的項不能與1.1的距離要多小有多小，即1.1不是已知數列的極限，從而使學生對?要多小有多小?這一概念有了進一步認識，并為量化|an-1|當項數無限增加時要多小有多小打下基礎。

③數列極限定義的得出

在?檢驗‘1’是否滿足：已知數列的項與1的差的絕對值是否要多小有多小?的教學過程中，我采取?給距離找項數?的方法。

具體講讓學生考慮已知數列中有哪些項與1的差的絕對值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，讓學生把用計算器計算的結果在黑板上列表寫出并解釋所得的結果，如提示學生得出結論：?已知數列中第908項以后各項與1的差的絕對值小于0.0011。?這種討論的目的是使學生感受到?N?是項數n 無限增大的過程中的一個標志，進而說明對于給定的每一個正數，可找到N，當n>N時，|an-1|小于這個正數。進而讓學生注意無論表示距離的正數取的多么小，也不能說成?要多小有多小?，而把具體值改為?后即可解決這個問題。

這樣通過討論，在我的引導下，使學生得到結論：?數列： 1,22,33,42,34,?,53,4n,? n?1n,? n?1當項數無限增大時，它的項越來越趨近于1?，也就是數列： 1,24,?,5的極限為1，并進一步讓學生總結出一般數列的極限的準確定義。

（三）?概念鞏固階段?

1． 本階段的教學計劃

在這一階段的教學中我計劃做兩件事情：

①說明N、?、|an-A |

2． 本階段的教學過程 根據上述說明，這一階段分為兩個步驟。① 定義說明

除了對極限概念予以說明外為了加深學生對數列極限概念中N、?、|an-A |

?1,0,?1,0,1,?,1sinn?,??

4162n?12并提示其根據定義考慮問題。這樣使學生進一步體會由特殊到一般再到特殊的認識規律。

②習題訓練

在學生對數列極限定義的初步掌握的基礎上，為鞏固學生所學，我讓學生作課本例1，練習這道題目的在于總結上一階段得到數列極限的過程，同時讓學生熟悉數列極限定義的應用步驟；在此基礎上結合北大附中學生的特點我安排了例2，讓學生作這道題目的在于通過對這道題的證明與討論可讓學生對等比數列{1，q，q2，…qn，…}收斂、發散性有一個清楚的了解。在例2的處理手法上我讓學生先各抒己見，然后采用幾何畫板演示，驗證同學猜想，從而激發學生的求知欲望。由于{1，q，q2，…qn，…}和{1,1,1,?1,?}是今后學習過程中的常用數列，因此我覺得23n學生對例

1、例2的掌握的好壞將對后面的學習產生直接影響。

③ 補充說明

對于較好的班級，還可考慮用直角坐標系來代替數軸。由于數列是以自然數集子集為定義域的特殊函數，其圖象是離散的點.這使得數列的項與點(n,f(n))，即點(n,an)對應起來.當數列{an}有極限A時，在直角坐標平面內的幾何意義為：任給正數?，存在一個以直線y=A+?和y=A-?為邊界的條形區域，存在一個N，當n>N時，所有的點（n, an）都落在這個條形區域內。換句話說數列的項在坐標平面內對應的點，只有有限個點落在條形區域外。利用這種方式教授這節課，形象直觀，并為今后函數極限的教學打下基礎。

三、關于教學用具的說明：

這節課的教學目的之一是使學生通過對極限概念形成過程的了解，較為自然地接受極限的定義，以利于加深對概念的理解和掌握。因此在本節課中主要使用的是計算器和計算機課件演示。計算器的作用在于使學生理解 ???和?N?內在關系； 計算機課件演示目的有三：其一是通過史料的簡單介紹對學生進行愛國主義教育；其二是在概念形成階段，為學生提供感性認識的基礎；其三可對學生所得的結論驗證、完善，加深對問題的理解，鞏固所學的概念。總之?恰當使用現代化教學手段，充分發揮其快捷、生動、形象的輔助作用，最大限度地使學生獲得并掌握所學的知識，?是我選擇和使用教學用具的根據。

四、結束語：

總之，作為極限概念這部分的教學，應使學生初步體會到極限思想是從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變的一種數學思想。充分發揮學生主體意識，在老師引導下自主地獲得知識。體驗數學概念形成的過程。

第二篇：高等數學-極限

《高等數學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉載▼ 標簽： 分類： 數學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數消指數。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

（本文著作權歸個人所有，如需轉載請聯系本人。）

第三篇：數列極限例題

三、數列的極限

(?1)n?1}當n??時的變化趨勢.觀察數列{1?n問題:

當n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:

(?1)n?1當n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義

如果對于任意給定的正數?(不論它多么小), 總存在正整數N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數a是數列xn的極限, 或者稱數列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數列沒有極限, 就說數列是發散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內, 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數N，常常對任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當n?N時, 就有

n?1見下，以后不再重復說明或解釋，對函數極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴格寫法應該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當n?N時一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結: 用定義證數列極限存在時, 關鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第四篇：數列極限教案

數列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數學的重要思想。極限概念是從初等數學向高等數學過渡所必須牢固掌握的內容。

二、教學重點和難點

教學重點：數列極限概念的理解及數列極限??N語言的刻畫。

教學難點：數列極限概念的理解及數列極限??N語言的刻畫，簡單數列的極限進行證明。

三、教學目標

1、通過學習數列以及數列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學習概念，發現不同學科知識的融會貫通，從哲學的量變到質變的思想的角度來看待數列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術)劉徽的割圓術來計算圓的面積。

.........內接正六邊形的面積為A1，內接正十二邊形的面積為A2......內接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度

第四天的剩余長度 8

.....第n天的剩余長度n?1.......2

隨著天數的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。

這里蘊含的就是極限的概念。

總結：極限是變量變化趨勢結果的預測。例一中，內接正六n邊形的邊數不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數列?xn?，在它的變化過程中，當n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數列越來越接近0；（3）

（4）中的數列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數a”主要強調的是“一個過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準確無誤，所以需要精確的，定量的數學語言來刻畫數列的概念。本節課的重點就是將數列的這樣一個特征用數學語言刻畫出來，并引入數列極限的概念。

2、內容講授

（定義板書）設?xn?是一個數列，a是實數。如果對于任意給定的數??0，總存在一個正整數N，當n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數列?x

n?的極限，或者說數列?xn?收斂且收斂于數a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數列沒有極限，就說數列是發散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數，但是這個數在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關的。1?1?以數列??為例，欲若取??，則存在N?100，當n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當n?N時，xn?a??。1000

數列極限的??N語言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設xn?，因為 nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們取N????1，當n?N時，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設xn?C（C為常數），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對于一切正整數n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結：用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業

第五篇：數列極限復習

數列極限復習題

姓名

2?4???2n1、lim=； n??1?3?9??(?3)n

an2?2n?1a2、若lim(2n?)?1，則=； n??bn?2b

1?an3、如果lim()?0，則實數a的取值范圍是；n??2a

n4、設數列{an}的通項公式為an?(1?4x)，若liman存在，則x的取值范圍是n??

___；

?a?5．已知無窮等比數列n的前n項和

窮等比數列各項的和是；

6、數列?an?滿足a1?Sn?1?a(n?N*)n3，且a是常數，則此無1，且對任意的正整數m,n都有am?n?am?an，則數列?an?的3所有項的和為；

7、無窮等比數列?an?的首項是某個自然數，公比為單位分數（即形如：數，m為正整數），若該數列的各項和為3，則a1?a2；

8、無窮等比數列?an?的各項和為2，則a1的取值范圍是

1的分m

??

9、無窮等比數列an中，為；

lim(a2?a3?...?an)

n??

=1，則a1的取值范圍

cosn??sinn??

10、計算： lim,??[0,]?

n??cosn??sinn?

222n?a2n111、若lim2n?1，則實數a的取值范圍是； ?2n?

12?a

23?n?2?n?(?1)n(3?n?2?n)

12、若數列{an}的通項公式是an=,n=1,2,?,則

lim(a1?a2???an)__________；

n??

1?

1?n?2012?n(n?1)?

13、若an??,Sn為數列?an?的前n項和,求limSn?____;

n??

?3?1n?2013n?1??

214、等差數列?an?，?bn?的前n項和分別為Sn,Tn且

an

? n??bn

Sn2n

?，則Tn3n?

1lim15、設數列?an?、?bn?都是公差不為0的等差數列，且lim

lim

b1?b2???b3n

na4n

an

?3，則bn16、已知數

列為等差數列，且，則

a117、設等比數列{an}的公比為q，且lim1?qn）?，則a1的取值范圍是

n??1?q

2__________；

18、已知等比數列{an}的首項a1?1，公比為q(q?0)，前n項和為Sn，若

lim

Sn?

1?1，則公比q的取值范圍是.；

n??Sn19、已知數列{an}的各項均為正數，滿足：對于所有n?N*，有4Sn?(an?1)2，n

?（）其中Sn表示數列{an}的前n項和．則limn??an

A．0B．1C．D．

220、下列命題正確的是 ?????????????????????????()

（A）liman?A, limbn?B則lim

n??

n??

anA

?(bn?0,n?N)

n??bBn

（B）若數列{an}、{bn}的極限都不存在，則{an?bn}的極限也不存在（C）若數列{an}、{an?bn}的極限都存在,則{bn}的極限也存在（D）設Sn?a1?a2???an，若數列{an}的極限存在,則數列{Sn}的極限也存在21、用記號“○+”表示求兩個實數a與b的算術平均數的運算, 即a○+b=已知數列{xn}滿足x1=0,x2=1,xn=xn－1○+xn－2(n≥3),則limxn等于（）

n???

a?b

.2A.2

3B.12

C.0D.122、連結?ABC的各邊中點得到一個新的?A1B1C1，又?A1B1C1的各邊中點得到一個新的?A2B2C2，如此無限繼續下去，得到一系列三角形，?A1B1C1，?A2B2C2，?A3B3C3，?, 這一系列三角形趨向于一個點M。已知

A?0,0?,B?3,0?,C?2,2?，則點M的坐標是（）

52522Ａ、(,)Ｂ、(,1)Ｃ、(,1)Ｄ、(1,)

3333323、已知數列

lim

{an},{bn}

都是無窮等差數列，其中

a1?3,b1?2,b2是a2和a

3的等差中

an1111?lim(??...?)n??bn??2，求極限a1b1a2b2anbn的值； n項，且

24、設正數數列

lga?

lin?

1n??

?an?

為一等比數列，且a2?4,a4?16，求

lag????n2n

2al2ng；

bn?lgan，25、數列{an}是由正數組成的數列，其中c為正常數，數列?bn?a1?c，成等差數列且公差為lgc（1）求證?an?是等比數列；（2）?an?的前n項和為Sn，求lim26、已知f(x)?logax(a?o且a?1)，an

n??Sn

且2,f(a1),f(a2),f(a3),?,f(an),2n?1,?(n?N?)成等差數列，（1）求數列?an?的通項公式；

（2）若數列?an?的前n項和為Sn，當a?1時，求lim

Sn

n??an