第一篇：數列極限教學設計

數列極限教學設計

復習目的：1.理解數列極限的概念，會用“”定義證明簡單數列的極限。

2.掌握三個最基本的極限和數列極限的運算法則的運用。

3.理解無窮數列各項和的概念。

4.培養學生的推理論證能力、運算能力，提高學生分析問題，解決問

題的能力。

教學過程：

問題1：根據你的理解，數列極限的定義是如何描述的？

數列極限的定義：對于數列{an},如果存在一個常數A，無論事先指定多么小的正數，都能在數列中找到一項aN,使得這一項后的所有項與A的差的絕對值小于，（即當n>N時，記<恒成立），則常數A叫數列{an}的極限。——“”定義。問題2：“作用？ 正數”定義中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么的任意性和N的存在性是定義的兩個基本特征。

時，an趨近于A的無限性，即趨近程度的無（1）的任意性刻劃了當

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性證明了這一無限趨近的可能性。

問題3：“

問題4：“”定義中的N的值是不是唯一？ ”定義中，<的幾何意義是什么？

因為< 即A-n,所以無論區間（A-，A+）多么小，當n>N時，an對應的點都在區間（A-

問題5：利用“，A+）內?！倍x來證明數列極限的關鍵是什么？ <恒成關鍵是對任意的要找到滿足條件的N。（條件是當n>N時，立）。

問題6

：無窮常數數列有無極限？數列呢？數列

（<1）呢？

三個最基本的極限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（<1）。

問題7

：若=A，=B，則（）=？，（）=

？，=

？，=？。數列極限的運算法則：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果兩個數列都有極限，那么這兩個數列對應項的和，差，積，商組成新數列的極限分別等于它們極限的和，差，積，商。（各項作為除數的數列的極限不能為零)

問題8：（，）

=

++

+=0對嗎？ 運算法則中的只能推廣到有限個的情形。

問題9：無窮數列各項和s是任何定義的？ s=,其中為無窮數列的前n項和，特別地，對無窮等比數列（<1），s=。注意它的含義和成立條件。例1

．用極限定義證明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．計算：

（++）=0，求實數a,b的值。+，例5．已知數列是首項為1，公差為d的等差數列，它的前n項和為

<1)的等比數列，它的前n項和為，是首項為1，公比為q（記=+++，若（-）=1，求d , q。

小結：本節課復習了數列極限的概念，運算法則，三個最基本的極限，無窮數列各項和的概念，以及它們的運用，主要是利用數列極限概念證明簡單數列的極限，利用運算法則求數列的極限，（包括已知極限求參數），求無窮數列各項和。

第二篇：數列的極限_教學設計

數列的極限 教學設計

西南位育中學 肖添憶

一、教材分析

《數列的極限》為滬教版第七章第七節第一課時內容，是一節概念課。極限概念是數學中最重要和最基本的概念之一，因為極限理論是微積分學中的基礎理論，它的產生建立了有限與無限、常量數學與變量數學之間的橋梁，從而彌補和完善了微積分在理論上的欠缺。本節后續內容如：數列極限的運算法則、無窮等比數列各項和的求解也要用到數列極限的運算與性質來推導，所以極限概念的掌握至關重要。

課本在內容展開時，以觀察n??時無窮等比數列an?列an?qn,(|q|?1)與an?1的發展趨勢為出發點，結合數n21的發展趨勢，從特殊到一般地給出數列極限的描述性定義。在n由定義給出兩個常用極限。但引入部分的表述如“無限趨近于0，但它永遠不會成為0”、“不管n取值有多大，點（n，an）始終在橫軸的上方”可能會造成學生對“無限趨近”的理解偏差。

二、學情分析

通過第七章前半部分的學習，學生已經掌握了數列的有關概念，以及研究一些特殊數列的方法。但對于學生來說，數列極限是一個全新的內容，學生的思維正處于由經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡的階段。

由于已有的學習經驗與不當的推理類比，學生在理解“極限”、“無限趨近”時可能產生偏差，比如認為極限代表著一種無法逾越的程度，或是近似值。這與數學中“極限”的含義相差甚遠。在學習數列極限之前，又曾多次利用“無限趨近”描述反比例函數、指數函數、對數函數的圖像特征，這又與數列中“無限趨近”的含義有所差異，學生往往會因為常數列能達到某一個常數而否定常數列存在極限的事實。

三、教學目標與重難點 教學目標：

1、通過數列極限發展史的介紹，感受數學知識的形成與發展，更好地把握極限概念的來龍去脈；

2、經歷極限定義在漫長時期內發展的過程，體會數學家們從概念發現到完善所作出的努力，從數列的變化趨勢，正確理解數列極限的概念和描述性定義；

3、會根據數列極限的意義，由數列的通項公式來考察數列的極限；掌握三個常用極限。教學重點：理解數列極限的概念

教學難點：正確理解數列極限的描述性定義

四、教學策略分析

在問題引入時著重突出“萬世不竭”與“講臺可以走到”在認知上的矛盾，激發學生的學習興趣與求知欲，并由此引出本節課的學習內容。在極限概念形成時，結合極限概念的發展史展開教學，讓學生意識到數學理論不是一成不變的，而是不斷發展變化的。數學的歷史發展過程與學生的認知過程有著一定的相似性，學生在某些概念上的進展有時與數學史上的概念進展平行。比如部分學生的想法與許多古希臘的數學家一樣，認為無限擴大的正多邊形不會與圓周重合，它的周長始終小于其外接圓的周長。教師通過梳理極限發展史上的代表性觀點，介紹概念的發展歷程以及前人對此的一系列觀點，能幫助學生發現自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。對數學發現的過程以認知角度加以分析，有助于學生學習數學家的思維方式，了解數學概念的發展，進而建構推理過程，使學生發生概念轉變。在課堂練習診斷部分，不但要求回答問題，還需對選擇原因進行辨析，進而強化概念的正確理解。

五、教學過程提綱與設計意圖 1.問題引入

讓一名學生從距離講臺一米處朝講臺走動，每次都移動距講臺距離的一半，在黑板上寫出表示學生到講臺距離的數列。這名學生是否能走到講臺呢？類比“一尺之捶,日取其半,萬世不竭”，莊子認為這樣的過程是永遠不會完結的，然而“講臺永遠走不到”這一結果顯然與事實不同，要回答這一矛盾，讓我們看看歷史上的數學家們是如何思考的?！驹O計意圖】

改編自芝諾悖論的引入問題，與莊子的“一尺之捶”產生了認知沖突，激發學生的學習興趣與求知欲，并引出本節課的學習內容

2.極限概念的發展與完善

極限概念的發展經歷了三個階段：從早期以“割圓術”“窮竭法”為代表的樸素極限思想，到極限概念被提出后因“無窮小量是否為0”的爭論而引發的質疑，再經由柯西、魏爾斯特拉斯等人的工作以及實數理論的形成，嚴格的極限理論至此才真正建立?！驹O計意圖】

教師引導學生梳理極限發展史上的代表性觀點，了解數學家們提出觀點的時代背景，對照反思自己的想法，發現自己可能也存在著類似于前人的一些錯誤想法。教師在比較概念發展史上被否定的觀點與現今數學界認可的觀點時，會使學生產生認知沖突。從而可能使學生發生概念轉變，拋棄不正確的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在數學教學中，結合數學史展開教學可以讓學生意識到數學理論不是一成不變的，而是不斷發展變化的，從而提升學生概念轉變的動機。

3.數列極限的概念

極限思想的產生最早可追溯于中國古代。極限理論的完善出于社會實踐的需要，不是哪一名數學家苦思冥想得出，而是幾代人奮斗的結果。極限的嚴格定義經歷了相當漫長的時期才得以完善，它是人類智慧高度文明的體現，反映了數學發展的辯證規律。今天的主題，極限的定義，援引的便是柯西對于極限的闡述。

定義：在n無限增大的變化過程中，如果無窮數列{an}中的an無限趨近于一個常數A，那么A叫做數列{an}的極限，或叫做數列{an}收斂于A，記作liman?A，讀作“n趨向于

n??無窮大時，an的極限等于A”。

在數列極限的定義中，可用|an-A|無限趨近于0來描述an無限趨近于A。

如前闡述，柯西版本的極限定義雖然不是最完美的，但作為擺脫幾何直觀的首次嘗試，也是歷史上一個較為成功的版本，在歷史上的地位頗高。有時，我們也稱其為數列極限的描述性定義。

【設計意圖】

通過比較歷史上不同觀點下的極限定義，教師呈現數列極限的描述性定義，分析該定義的歷史意義，讓學生進一步明確數列極限的含義。4.課堂練習診斷

由數列極限的定義得到三個常用數列的極限:(1)limC?C(C為常數)；

n??(2)lim1?0(n?N*)； n??nnn??(3)當|q|<1時，limq?0.練習<1>判斷下列數列是否存在極限，若存在求出其極限，若不存在請說明理由

20162016（1）an?；

nsinn?； n（3）1,1,1,1,?,1（2）an?（4）an????4(1?n?1000)

?4(n?1001)?1?1-，n為奇數（5）an??n

?? 1，n為偶數注：

（1）、（2）考察三個常用極限

（3）考查學生是否能清楚認識到數列極限概念是基于無窮項數列的背景下探討的。當項數無限增大時，數列的項若無限趨近于一個常數，則認為數列的極限存在。因此，數列極限可以看作是數列的一種趨于穩定的發展趨勢。有窮數列的項數是有限的，因而并不存在極限這個概念。

（4）引用柯西的觀點，解釋此處無限趨近的含義，是指隨著數列項數的增加，數列的項與某一常數要多接近就有多接近，由此得出結論：數列極限與前有限項無關且無窮常數數列存在極限的。

（5）擴充對三種趨近方式的理解：小于A趨近、大于A趨近和擺動趨近。本題中的數列沒有呈現出以上三種方式的任意一種。避免學生將趨近誤解為項數與常數間的差距不斷縮小。練習<2>若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，則以下對A的描述正確的是_____.A、A是小于1的最大正數

B、A的精確值為1 C、A的近似值為1

選擇此選項的原因是_________ ①由于A的小數位都是 9，找不到比A大但比1小的數；

②A是由無限多個正數的和組成，它們可以一直不斷得加下去，但總小于 2；

③A表示的數是數列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的極限；

④1與A的差等于 0.00…01。

注：此題是為考查學生對于無窮小量和極限概念的理解。由極限概念的發展史可以看出，數學家們曾長時期陷入對無窮小概念理解的誤區中，極大地阻礙了對極限概念的理解。學生學習極限概念時可能也會遇到類似的誤區。

練習<3>順次連接△ABC各邊中點A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各邊中點 A2、B2、C2并順次連接又得到一個新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直進行下去，那么最終得到的圖形是_________.A、一個點

B、一個三角形

C、不確定

選擇此選項的原因是_________.①

無限次操作后所得三角形的面積無限趨近于 0 但不可能等于 0。②

當操作一定次數后，三角形的三點會重合。

③

該項操作可以無限多次進行下去，因而總能作出類似的三角形。

④

無限次操作后所得三角形的三個頂點會趨向于一點。

注：此題從無限觀的角度考察學生對極限概念的的理解。學生容易忽視極限概念中的實無限，他們在視覺上采用無窮疊加的形式，但是會受最后一項的慣性思維，導致采用潛無限的思辨方式。所謂實無限是指把無限的整體本身作為一個現成的單位，是可以自我完成的過程或無窮整體。相對地，潛無限是指把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著不斷產生出來的東西。它永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在的。持有潛無限觀點的學生在理解極限概念時，會將極限理解為是一個漸進過程，或是一個不可達到的極值。

通過習題，分析總結以下三個注意點：

（1）數列{an}有極限必須是一個無窮數列，但無窮數列不一定有極限存在；

1}可以說隨著n的無限增大，n1數列的項與-1會越來越接近，但這種接近不是無限趨近，所以不能說lim??1；

n??n（2）“無限趨近”不能用“越來越接近”代替，例如數列{（3）數列{an}趨向極限A的過程可有多種呈現形式。

【設計意圖】

通過例題與選項原因的分析，消除關于數列極限理解的三類誤區：

第一類是將數列極限等同于如下的三種概念：漸近線、最大限度或是近似值。第二類是學生對于數列趨向于極限方式的錯誤認知。第三類是對于無限的錯誤認知。

5.課堂小結

極限的描述性定義與注意點 三個常用的極限

6.作業布置

1>任課老師布置的其他作業

2>學習魏爾斯特拉斯的數列極限定義，并用該定義證明習題<1>的第一第二小問 【設計意圖】

通過與數列極限相關的延伸問題，完善極限概念的體系，為學生創設課后自主探究平臺，感受靜態定義中凝結的數學家的智慧。

第三篇：高中數學《數列的極限》教學設計

高中數學《數列的極限》教學設計

一、教學目標

1.知識與能力目標

①使學生理解數列極限的概念和描述性定義。

②使學生會判斷一些簡單數列的極限，了解數列極限的“e-N"定義，能利用逐步分析的方法證明一些數列的極限。

③通過觀察運動和變化的過程，歸納總結數列與其極限的特定關系，提高學生的數學概括能力和抽象思維能力。

2.過程與方法目標

培養學生的極限的思想方法和獨立學習的能力。

3.情感、態度、價值觀目標

使學生初步認識有限與無限、近似與精確、量變與質變的辯證關系，培養學生的辯證唯物主義觀點。

二、教學重點和難點

教學重點：數列極限的概念和定義。

教學難點：數列極限的“ε―N”定義的理解。

三、教學對象分析

這節課是數列極限的第一節課，足學生學習極限的入門課，對于學生來說是一個全新的內容，學生的思維正處于由經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡階段，在《立體幾何》內容求球的表面積和體積時對極限思想已有接觸，而學生在以往的數學學習中主要接觸的是關于“有限”的問題，很少涉及“無限”的問題。極限這一抽象概念能夠使他們做基于直觀的理解，并引導他們作出描述性定義“當n無限增大時，數列｛an｝中的項an無限趨近于常數A，也就是an與A的差的絕對值無限趨近于0”，并能用這個定義判斷一些簡單數列的極限。但要使他們在一節課內掌握“ε-N”語言求極限要求過高。因此不宜講得太難，能夠通過具體的幾個例子，歸納研究一些簡單的數列的極限。使學生理解極限的基本概念，認識什么叫做數列的極限以及數列極限的定義即可。

四、教學策略及教法設計

本課是采用啟發式講授教學法，通過多媒體課件演示及學生討論的方法進行教學。通過學生比較熟悉的一個實際問題入手，引起學生的注意，激發學生的學習興趣。然后通過具體的兩個比較簡單的數列，運用多媒體課件演示向學生展示了數列中的各項隨著項數的增大，無限地趨向于某個常數的過程，讓學生在觀察的基礎上討論總結出這兩個數列的特征，從而得出數列極限的一個描述性定義。再在教師的引導下分析數列極限的各種不同情況。從而對數列極限有了直觀上的認識，接著讓學生根據數列中各項的情況判斷一些簡單的數列的極限。從而達到深化定義的效果。最后進行練習鞏固，通過這樣的一個完整的教學過程，由觀察到分析、由定量到定性，由直觀到抽象，并借助于多媒體課件的演示，使得學生逐步地了解極限這個新的概念，為下節課的極限的運算及應用做準備，為以后學習高等數學知識打下基礎。在整個教學過程中注意突出重點，突破難點，達到教學目標的要求。

五、教學過程

1.創設情境

課件展示創設情境動畫。

今天我們將要學習一個很重要的新的知識。

情境

1、我國古代數學家劉徽于公元263年創立“割圓術”，“割之彌細，所失彌少。割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣”。

情境

2、我國古代哲學家莊周所著的《莊子?天下篇》引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭。也就是說拿一根木棒，將它切成一半，拿其中一半來再切成一半，得到四分之一，再切成一半，就得到了八分之???如此下去，無限次地切，每次都切一半，問是否會切完?

大家都知道，這是不可能切完的，但是每次切了以后，木棒都比原來的少了一半，也就是說木棒的長度越來越短，但永遠不會變成零。從而引出極限的概念。

2.定義探究

展示定義探索(一)動畫演示。

問題1：請觀察以下無窮數列，當n無限增大時，a，I的變化趨勢有什么特點?

(1)1/2,2/3,3/4,?n/n-1(2)0.9，0.99，0.999，0.9999，1-1/10n??

問題2：觀察課件演示，請分析以上兩個數列隨項數n的增大項有那些特點?

師生一起歸納總結出以下結論：數列(1)項數n無限增大時，項無限趨近于1；數列(2)項數n無限增大時，項無限趨近于1。

那么就把1叫數列(1)的極限，1叫數列(2)的極限。這兩個數列只是形式不同，它們都是隨項數n的無限增大，項無限趨近于某一確定常數，這個常數叫做這個數列的極限。

那么，什么叫數列的極限呢?對于無窮數列an，如果當n無限增大時，an無限趨向于某一個常數A，則稱A是數列an的極限。

提出問題3：怎樣用數學語言來定量描述呢?怎樣用數學語言來描述上述數列的變化趨勢?

展示定義探索(二)動畫演示，師生共同總結發現在數軸上兩點間距離越小，項與1越趨近，因此可以借助兩點間距離無限小的方式來描述項無限趨近常數。無論預先指定多么小的正數e，如取e=O-1，總能在數列中找到一項am，使得an項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，若取￡=0。0001，則第6項后面的所有項與1的差的絕對值都小于ε，即1是數列(1)的極限。最后，師生共同總結出數列的極限定義中應包含哪量(用這些量來描述數列1的極限)。

數列的極限為：對于任意的ε>0，如果總存在自然數N，當n>N時，不等式｜an-A｜n的極限。

定義探索動畫(一)：

課件可以實現任意輸入一個n值，可以計算出相應的數列第n項的值，并且動畫演示數列的變化過程。如圖1所示是課件運行時的一個畫面。

定義探索動畫(二)課件可以實現任意輸入一個n值，可以計算出相應的數列第n項的值和I an一1I的值，并且動畫演示出第an項和1之間的距離。如圖2所示是課件運行時的一個畫面。

3.知識應用

這里舉了3道例題，與學生一塊思考，一起分析作答。

例1.已知數列：

1,-1/2,1/3,-1/4,1/5??,(-1)n+11/n，??

(1)計算|an-0|(2)第幾項后面的所有項與0的差的絕對值都小于0.017都小于任意指定的正數。

(3)確定這個數列的極限。

例2.已知數列：

已知數列：3/2,9/4,15/8??，2+(-1/2)n，??。

猜測這個數列有無極限，如果有，應該是什么數?并求出從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.1，從第幾項開始，各項與這個極限的差都小于0.017

例3.求常數數列一7，一7，一7，一7，??的極限。

5.知識小結

這節課我們研究了數列極限的概念，對數列極限有了初步的認識。數列極限研究的是無限變化的趨勢，而通過對數列極限定義的探討，我們看到這一過程又是通過有限來把握的，有限與無限、近似與精確、量變與質變之間的辯證關系在這里得到了充分的體現。

課后練習：

(1)判斷下列數列是否有極限，如果有的話請求出它的極限值。①an=4n+l/n；②an=4-(1/3)m；③an=(-1)n/3n；④aan=-2；⑤an=n；⑥an=(-1)n。

(2)課本練習1，2。

6.探究性問題

設計研究性學習的思考題。

提出問題：

芝諾悖論：阿基里斯是《荷馬史詩》中的善跑英雄。奔跑中的阿基里斯永遠也無法超過在他前面慢慢爬行的烏龜，因為當阿基里斯到達烏龜的起跑點時，烏龜已經走在前面一小段路了，阿基里斯又必須趕過這一小段路，而烏龜又向前走了。這樣，阿基里斯可無限接近它，但不能追到它。假定阿基里斯跑步的速度是烏龜速度的10倍，阿基里斯與烏龜賽跑的路程是1公里。如果讓烏龜先跑0.1公里，當阿基里斯追到O.1公里的地方，烏龜又向前跑了0.01公里。當阿基里斯追到0.01公里的地方，烏龜又向前跑了0.001公里??這樣一直追下去，阿基里斯能追上烏龜嗎?

這里是研究性學習內容，以學生感興趣的悖論作為課后作業，鞏固本節所學內容，進一步提高了學生學習數列的極限的興趣。同時也為學生創設了課下交流與討論的情境，逐步培養學生相互合作、交流和討論的習慣，使學生感受到了數學來源于生活，又服務于生活的實質，逐步養成用數學的知識去解決生活中遇到的實際問題的習慣。

第四篇：數列極限例題

三、數列的極限

(?1)n?1}當n??時的變化趨勢.觀察數列{1?n問題:

當n無限增大時, xn是否無限接近于某一確定的數值?如果是, 如何確定? 通過上面演示實驗的觀察:

(?1)n?1當n無限增大時, xn?1?無限接近于1.n問題:“無限接近”意味著什么?如何用數學語言刻劃它.?xn?1?(?1)n?1給定

11? nn1111, 由?, 只要n?100時, 有xn?1?, 100n10010011,只要n?1000時, 有xn?1?, 給定1000100011,只要n?10000時, 有xn?1?, 給定10000100001給定??0,只要n?N(?[])時, 有xn?1??成立.?定義

如果對于任意給定的正數?(不論它多么小), 總存在正整數N, 使得對于n?N時的一切xn, 不等式xn?a??都成立, 那末就稱常數a是數列xn的極限, 或者稱數列xn收斂于a, 記為

limxn?a,或xn?a(n??).n??如果數列沒有極限, 就說數列是發散的.注意：

??N定義:limxn?a????0,?N?0, 使n?N時, 恒有xn?a??.n??其中記號?:每一個或任給的;?:至少有一個或存在.數列收斂的幾何解釋:

a??2?a??xN?2x2x1xN?1ax3x

當n?N時, 所有的點xn都落在(a??,a??)內, 只有有限個(至多只有N個)落在其外.注意：數列極限的定義未給出求極限的方法.n?(?1)n?1?1.例1 證明limn??nn?(?1)n?11?1 ?.證

注意到xn?1 ?nn任給??0, 若要xn?1??, 只要

11??,或 n?, n?所以, 取 N?[], 則當n?N時, 就有 1?n?(?1)n?1?1??.nn?(?1)n?1?1.即limn??n

重要說明：（1）為了保證正整數N，常常對任給的??0,給出限制0???1；

n?(?1)n?1?1??”的詳細推理

（2）邏輯“取 N?[], 則當n?N時, 就有

n?1見下，以后不再重復說明或解釋，對函數極限同樣處理邏輯推理.由于N?????立.嚴格寫法應該是：任給??0, 不妨取0???1，若要?1???1??N?1，所以當n?N時一定成立n?N?1?1?，即得

1??成nn?(?1)n?1111?1?

?n????是成立

n?(?1)n?11?1???.xn?1=

nnn?(?1)n?1?1.即limn??n小結: 用定義證數列極限存在時, 關鍵是任意給定??0,尋找N, 但不必要求最小的N.例3證明limq?0, 其中q?1.n??n證

任給??0(要求ε<1)若q?0, 則limq?lim0?0;

n??n??n若0?q?1, xn?0?q??, nlnq?ln?，n?n?ln?ln?, 取N?[](?1), 則當n?N時, 就有qn?0??, lnqlnq?limqn?0.n???0, q?1,?q?1,??, n

說明：當作公式利用：limq??

n??1, q?1,??不存在，q??1.?

第五篇：數列極限教案

數列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數學的重要思想。極限概念是從初等數學向高等數學過渡所必須牢固掌握的內容。

二、教學重點和難點

教學重點：數列極限概念的理解及數列極限??N語言的刻畫。

教學難點：數列極限概念的理解及數列極限??N語言的刻畫，簡單數列的極限進行證明。

三、教學目標

1、通過學習數列以及數列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學習概念，發現不同學科知識的融會貫通，從哲學的量變到質變的思想的角度來看待數列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術)劉徽的割圓術來計算圓的面積。

.........內接正六邊形的面積為A1，內接正十二邊形的面積為A2......內接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度

第四天的剩余長度 8

.....第n天的剩余長度n?1.......2

隨著天數的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。

這里蘊含的就是極限的概念。

總結：極限是變量變化趨勢結果的預測。例一中，內接正六n邊形的邊數不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數列?xn?，在它的變化過程中，當n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數列越來越接近0；（3）

（4）中的數列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數a”主要強調的是“一個過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準確無誤，所以需要精確的，定量的數學語言來刻畫數列的概念。本節課的重點就是將數列的這樣一個特征用數學語言刻畫出來，并引入數列極限的概念。

2、內容講授

（定義板書）設?xn?是一個數列，a是實數。如果對于任意給定的數??0，總存在一個正整數N，當n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數列?x

n?的極限，或者說數列?xn?收斂且收斂于數a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數列沒有極限，就說數列是發散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數，但是這個數在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關的。1?1?以數列??為例，欲若取??，則存在N?100，當n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當n?N時，xn?a??。1000

數列極限的??N語言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設xn?，因為 nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們取N????1，當n?N時，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設xn?C（C為常數），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對于一切正整數n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結：用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業