第一篇：數(shù)列極限定義的教學(xué)設(shè)計(jì)探討(科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào))

聯(lián)系方法：浙江杭州臨安浙江林學(xué)院理學(xué)院 顧慶鳳 郵編 311300 聯(lián)系電話：*** 郵箱：ganzhougirl@163.com

數(shù)列極限定義的教學(xué)過程設(shè)計(jì)探討?

顧慶鳳

（浙江林學(xué)院理學(xué)院，浙江臨安 311300）

摘要：數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，理解和掌握好數(shù)列極限的定義對(duì)大學(xué)生高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用，而數(shù)列極限定義中的符號(hào)關(guān)系復(fù)雜，不易理解。為幫助學(xué)生深刻理解數(shù)列極限的定義，我們這里對(duì)數(shù)列極限定義教學(xué)過程的設(shè)計(jì)進(jìn)行了探討。關(guān)鍵詞：數(shù)列；數(shù)列極限；描述性定義；?-N定義

數(shù)列極限是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是高等數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是研究微分學(xué)和積分學(xué)的必備工具，對(duì)它的理解和掌握關(guān)系到高等數(shù)學(xué)這門課的學(xué)習(xí)，也關(guān)系到對(duì)后繼課程理解的程度。另外，由于學(xué)生剛?cè)雽W(xué)不久的高等數(shù)學(xué)課就要接觸極限概念，而且數(shù)列極限的?-N定義中符號(hào)關(guān)系復(fù)雜，不易理解，如果不能理解好數(shù)列極限的?-N定義，這將會(huì)影響學(xué)生學(xué)習(xí)高數(shù)的信心。怎樣教數(shù)列極限，才能讓學(xué)生真正了解它的直觀背景，理解它的思想方法，而不至于只是形式地去“理解”它的定義，機(jī)械地去“掌握”它的方法呢？重要的是如何引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)列極限的描述性定義向?-N定義過渡和轉(zhuǎn)化。筆者總結(jié)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)列極限定義的教學(xué)過程進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)：

1.導(dǎo)入新知—-讓學(xué)生體會(huì)極限的思想方法及極限定義發(fā)生發(fā)展的過程

介紹我國古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)列極限思想所作的貢獻(xiàn)。如公元前四世紀(jì)，我國古代的哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話“一尺之錘，日取其半，萬事不竭”，這句話用數(shù)量形式加以描述，便得到每天截去一半所余的尺數(shù)是一個(gè)無窮等比數(shù)列1111?1?1，2,3,?,n?，然后啟發(fā)學(xué)生思考由無窮數(shù)列?n?的變化趨勢(shì)怎樣去解釋“萬世2222?2?不竭”的含義。通過思考，學(xué)生最后得出結(jié)論：“

1越來越接近0，但永遠(yuǎn)不等于0，所以n2萬世不竭。又介紹我國魏晉時(shí)期大數(shù)學(xué)家劉徽利用圓的內(nèi)接正多邊形來推算圓的面積的方法—割圓術(shù)，就是用到極限思想研究幾何問題。他首先作圓的內(nèi)接正六邊形，再作圓的內(nèi)接正十二邊形、內(nèi)接正二十四邊形、內(nèi)接正四十八邊形?，當(dāng)邊數(shù)無限增大時(shí)，從圖形上看，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，從數(shù)值上看，內(nèi)接正多邊形的面積無限接近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是該圓的面積。通過模擬割圓術(shù)，使學(xué)生比較具體的感受到“無窮數(shù)列的變化趨勢(shì)”，加深了學(xué)生對(duì)“變化趨勢(shì)”、“無限接近”、“極限”等感性的認(rèn)識(shí)。

2.無窮數(shù)列的概念—-讓學(xué)生理解數(shù)列也是一種函數(shù)，我們主要關(guān)心其變化趨勢(shì)

這里告訴學(xué)生：數(shù)列?xn?可以看作自變量為正整數(shù)n的函數(shù)，即xn?f(n),n?Z.?這樣后面函數(shù)極限定義的講解可以從數(shù)列極限定義自然地過度。然后，讓學(xué)生對(duì)數(shù)列 ?1 作者簡(jiǎn)介：顧慶鳳（1979.1）,女,碩士,講師,碩士,研究方向：排隊(duì)論。n?1??(?1)?nn?n?,??,(?1),2考察：當(dāng)n??時(shí)，這些數(shù)列分別無限接近多少。從而讓學(xué)?2??n?????生明白：對(duì)于數(shù)列?xn?，我們主要關(guān)心當(dāng)n無限增大時(shí)，數(shù)列xn無限接近什么？

3.通過觀察引出極限的描述性定義

通過第2部分的例子讓學(xué)生直觀地歸納出數(shù)列的描述性定義：“如果n無限增大時(shí)，數(shù)列xn無限接近于一個(gè)常數(shù)a，則稱該數(shù)列以a為極限，記作limxn?a或xn?a(n??).n??如果這樣的常數(shù)a不存在，則稱數(shù)列?xn?沒有極限。這里指出描述性定義易懂但不精確，科學(xué)的極限定義必須超越直觀與想象，在運(yùn)算和推理論證中具有可操作性，所以必須將“無限增大”、“無限接近”這些定性描述的語句轉(zhuǎn)換為定量的刻畫。

4.從極限的描述性定義向?-N定義轉(zhuǎn)化

結(jié)論“xn無限接近于一個(gè)常數(shù)a”的轉(zhuǎn)換：該語句等價(jià)于“距離xn?a可以任意小”，因此表達(dá)成“???0,xn?a??”，但此式的成立是以“n無限增大”為前提的，這個(gè)前提條件表達(dá)成“?N(某項(xiàng)數(shù))，當(dāng)n?N時(shí)”。所以“n無限增大時(shí)，數(shù)列xn無限接近于一個(gè)常數(shù)a”的轉(zhuǎn)換成：“???0,?N(某項(xiàng)數(shù))，當(dāng)n?N時(shí)，有xn?a??”。這相當(dāng)于說，???0,n?1,2,?N時(shí)不必有xn?a??，從N?1項(xiàng)起后面的所有項(xiàng)皆有xn?a??，即xN?1?a??，xN?2?a??，?。

5.?-N定義的進(jìn)一步分析

教師還須對(duì)?-N定義作進(jìn)一步的解釋，要指出：

①?是事先給定的任意小的正數(shù)，它具有兩重性。一是它的任意性，因此它不是一個(gè)固定的常數(shù)，它是用來刻畫xn無限接近于常數(shù)a的程度的；二是它的相對(duì)固定性，?一經(jīng)取定，就相對(duì)固定了下來，以便根據(jù)它去求出N。

②N的相對(duì)存在性。N由相應(yīng)的?確定，一般?越小，N越大，有時(shí)N也記成N(?),但并不意味著N由?唯一確定。N重要的是存在，而不在乎其大小。

③?與N的關(guān)系：?任意給定后，才能找到相應(yīng)的N，當(dāng)n滿足n?N時(shí)，才有xn?a??，其中N是?給定后才確定的。

6.從理性認(rèn)識(shí)又回歸感性認(rèn)識(shí)，對(duì)定義作出幾何解釋

介紹極限定義的幾何意義，將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為幾何語言：不管?多么小，總能找到一個(gè)正整數(shù)N，從N?1項(xiàng)開始后面的所有項(xiàng)xn都落在點(diǎn)a的?鄰域內(nèi)，在鄰域外最多只有有限項(xiàng)x1,x2,?,xN.通過對(duì)極限定義的幾何表達(dá)，學(xué)生對(duì)于圖像這樣的具體表現(xiàn)形式更容易接受和理解。

7.用極限的?-N定義來證明數(shù)列的極限

首先分析如何用?-N定義來證明limxn?a.任意給定了?之后，問題的關(guān)鍵就是找正

n??整數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)，就有xn?a??都成立。那么怎么找N呢？問題轉(zhuǎn)化為根據(jù)?去找N，也就是說，從不等式xn?a??出發(fā)，去解一個(gè)關(guān)于n的不等式，一定要推出n?h(?)的形式，這樣的[h(?)]就是我們要找的N。

n2然后師生按?-N定義證明極限lim?0;lim2?1;limqn?0,q?1。

n??n??n?1n??n1指出論證的目的是對(duì)任意給出的?考察相應(yīng)的N是否存在，總結(jié)解題步驟，初步學(xué)習(xí)證明數(shù)列極限的方法，其中涉及不等式適當(dāng)放大的技巧。

8.課余討論題

讓學(xué)生討論問題“?的功能可否用a?來替代，可否限制0???a(其中a為某正數(shù))，n?N可否寫成n?N？”，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)?，N的本質(zhì)。

9.布置作業(yè)

書后的習(xí)題約3到4題。

在這樣的教學(xué)過程中，極限的?-N定義的難度得到了合理的分解，學(xué)生循序漸進(jìn)，最終達(dá)到理解、掌握和運(yùn)用的目標(biāo)，為后繼學(xué)習(xí)準(zhǔn)備了必要的基本工具。

參考文獻(xiàn)：

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].上冊(cè).第六版.高等教育出版社.2007.[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南[M].上冊(cè).第六版.高等教育出版社.2007.[3]王家軍.高等數(shù)學(xué) [M].上冊(cè).第一版.中國農(nóng)業(yè)出版社.2009.

第二篇：數(shù)列極限的定義

第十六教時(shí)

教材：數(shù)列極限的定義

目的：要求學(xué)生首先從實(shí)例（感性）去認(rèn)識(shí)數(shù)列極限的含義，體驗(yàn)什么叫無限地“趨

近”，然后初步學(xué)會(huì)用??N語言來說明數(shù)列的極限，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“有限”到“無限”來一個(gè)飛躍。過程：

一、實(shí)例：1?當(dāng)n無限增大時(shí)，圓的內(nèi)接正n邊形周長(zhǎng)無限趨近于圓周長(zhǎng)

2?在雙曲線xy?1中，當(dāng)x???時(shí)曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數(shù)列的極限考察下面的極限

1? 數(shù)列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項(xiàng)”隨n的增大而減少②但都大于0

③當(dāng)n無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)1

n可以“無限趨近于”常數(shù)0

2? 數(shù)列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項(xiàng)”隨n的增大而增大②但都小于1

③當(dāng)n無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)n

n?1可以“無限趨近于”常數(shù)1

3? 數(shù)列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項(xiàng)”的正負(fù)交錯(cuò)地排列，并且隨n的增大其絕對(duì)值減小

②當(dāng)n無限增大時(shí)，相應(yīng)的項(xiàng)(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數(shù)

引導(dǎo)觀察并小結(jié)，最后抽象出定義：

一般地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，無窮數(shù)列?an?的項(xiàng)an無限地趨近于某

個(gè)數(shù)a（即an?a無限地接近于0），那么就說數(shù)列?an?以a為極限，或者說a是數(shù)列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數(shù)列才有極限）

數(shù)列1的極限為0，數(shù)列2的極限為1，數(shù)列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數(shù)列是遞增、遞減還是擺動(dòng)數(shù)列；再看這個(gè)數(shù)列當(dāng)n無限

增大時(shí)是否可以“無限趨近于”某一個(gè)數(shù)。

練習(xí)：（共四個(gè)小題，見課本）

四、有些數(shù)列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數(shù)列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a(chǎn)1?(?1)n1?(?1)n

n?22．a(chǎn)n?2

3．a(chǎn)n?an(a?R)

n

4．a(chǎn)1)n?1?3?5?

n?(?n5．a(chǎn)n?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數(shù)列?an?的極限為5

五、關(guān)于“極限”的感性認(rèn)識(shí)，只有無窮數(shù)列才有極限

六、作業(yè)：習(xí)題1

補(bǔ)充：寫出下列數(shù)列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n

第三篇：數(shù)列極限的定義

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數(shù)列的極限。過程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

?

1n

3．小結(jié)：對(duì)于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個(gè)無窮數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于預(yù)先給定的任

意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時(shí)

n??

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對(duì)的，是相對(duì)于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當(dāng)n?N時(shí)，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??

第四篇：數(shù)列極限教學(xué)設(shè)計(jì)

數(shù)列極限教學(xué)設(shè)計(jì)

復(fù)習(xí)目的：1.理解數(shù)列極限的概念，會(huì)用“”定義證明簡(jiǎn)單數(shù)列的極限。

2.掌握三個(gè)最基本的極限和數(shù)列極限的運(yùn)算法則的運(yùn)用。

3.理解無窮數(shù)列各項(xiàng)和的概念。

4.培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)算能力，提高學(xué)生分析問題，解決問

題的能力。

教學(xué)過程：

問題1：根據(jù)你的理解，數(shù)列極限的定義是如何描述的？

數(shù)列極限的定義：對(duì)于數(shù)列{an},如果存在一個(gè)常數(shù)A，無論事先指定多么小的正數(shù)，都能在數(shù)列中找到一項(xiàng)aN,使得這一項(xiàng)后的所有項(xiàng)與A的差的絕對(duì)值小于，（即當(dāng)n>N時(shí)，記<恒成立），則常數(shù)A叫數(shù)列{an}的極限。——“”定義。問題2：“作用？ 正數(shù)”定義中，的任意性起什么作用？，N的存在性又起什么的任意性和N的存在性是定義的兩個(gè)基本特征。

時(shí)，an趨近于A的無限性，即趨近程度的無（1）的任意性刻劃了當(dāng)

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性證明了這一無限趨近的可能性。

問題3：“

問題4：“”定義中的N的值是不是唯一？ ”定義中，<的幾何意義是什么？

因?yàn)? 即A-n,所以無論區(qū)間（A-，A+）多么小，當(dāng)n>N時(shí)，an對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在區(qū)間（A-

問題5：利用“，A+）內(nèi)。”定義來證明數(shù)列極限的關(guān)鍵是什么？ <恒成關(guān)鍵是對(duì)任意的要找到滿足條件的N。（條件是當(dāng)n>N時(shí)，立）。

問題6

：無窮常數(shù)數(shù)列有無極限？數(shù)列呢？數(shù)列

（<1）呢？

三個(gè)最基本的極限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（<1）。

問題7

：若=A，=B，則（）=？，（）=

？，=

？，=？。數(shù)列極限的運(yùn)算法則：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果兩個(gè)數(shù)列都有極限，那么這兩個(gè)數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，差，積，商組成新數(shù)列的極限分別等于它們極限的和，差，積，商。（各項(xiàng)作為除數(shù)的數(shù)列的極限不能為零)

問題8：（，）

=

++

+=0對(duì)嗎？ 運(yùn)算法則中的只能推廣到有限個(gè)的情形。

問題9：無窮數(shù)列各項(xiàng)和s是任何定義的？ s=,其中為無窮數(shù)列的前n項(xiàng)和，特別地，對(duì)無窮等比數(shù)列（<1），s=。注意它的含義和成立條件。例1

．用極限定義證明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．計(jì)算：

（++）=0，求實(shí)數(shù)a,b的值。+，例5．已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為

<1)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為1，公比為q（記=+++，若（-）=1，求d , q。

小結(jié)：本節(jié)課復(fù)習(xí)了數(shù)列極限的概念，運(yùn)算法則，三個(gè)最基本的極限，無窮數(shù)列各項(xiàng)和的概念，以及它們的運(yùn)用，主要是利用數(shù)列極限概念證明簡(jiǎn)單數(shù)列的極限，利用運(yùn)算法則求數(shù)列的極限，（包括已知極限求參數(shù)），求無窮數(shù)列各項(xiàng)和。

第五篇：數(shù)列極限的定義教案

第十七教時(shí)

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數(shù)列的極限。過程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

n

1．以數(shù)列??(?1)?n??為例

a111n:?1，?，???234 0 觀察：隨?n的增大，點(diǎn)越來越接近

2只要n充分大，表示點(diǎn)a(?1)n即：n與原點(diǎn)的距離an?0?n?0?1n可以充分小 進(jìn)而：就是可以小于預(yù)先給定的任意小的正數(shù) n

2．具體分析：(1)如果預(yù)先給定的正數(shù)是

1(?1)10，要使an?0?n?0?1n<110 只要n?10即可 即：數(shù)列??(?1)n??n??的第10項(xiàng)之后的所有項(xiàng)都滿足

(2)同理：如果預(yù)先給定的正數(shù)是1103，同理可得只要n?103即可(3)如果預(yù)先給定的正數(shù)是

110k(k?N*)，同理可得：只要n?10k即可

3．小結(jié)：對(duì)于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得只要n?N

就有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個(gè)無窮數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù)，如果對(duì)于預(yù)先給定的任意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

記為：limn??an?a 讀法：“?”趨向于

“n??” n無限增大時(shí)

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對(duì)的，是相對(duì)于?確定的，我們只要證明其存在

④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

a，也可以擺動(dòng)趨近于a

三、處理課本 例

二、例

三、例四

例三：結(jié)論：常數(shù)數(shù)列的極限是這個(gè)常數(shù)本身

例四 這是一個(gè)很重要的結(jié)論

四、用定義證明下列數(shù)列的極限：

1．lim2n?1n??2

2．lim3n?1n?1

n??2n?1?32 證明1：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

2n?12n?1?11n12n要使2n?? 即：2??

兩邊取對(duì)數(shù) n?log1?

取 N???1?2?log2???

????介紹取整函數(shù) 2n?12n當(dāng)n?N時(shí)，2n?1??恒成立

∴l(xiāng)im?1n??2n?1

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使

3n?11?512n?1?32?? 只要

2n?1?5

n?4??2 取N???51?3n?13?4??2??

當(dāng)n?N時(shí)，2n?1?2??恒成立

∴l(xiāng)im3n?1n??2n?1?32