第一篇：關于數列極限的兩個定義
關于數列極限的兩個定義
定義1．設有數列?an?，a 是有限常數。若對任意??0N，對任意正整
數n?N，有 an?a??，則稱數列?an?的極限是 a。
定義2．設有數列?an?，a 是有限常數。若對任意??0，對任意正整數
n?N，有 an?a??，則稱數列?an?的極限是 a
定義1 是課本第46面的原文，定義2 是我講課時用的。這兩個定義的區別只在對N的要求：定義1 要求N是正整數，而定義2只要求N是實數，這是很低的要求，故定義2比定義1較便于應用。
由于兩個定義對N的要求不同，易使人誤認為兩個定義界定的對象不一樣，即：兩個定義不等價。實際上，這兩個定義完全是等價的！為說明這兩個定義的等價性，我們需要兩個顯然的命題：
命題1．對于任意實數r均存在正整數n，使得n?r。
命題2．對于任意實數r，若正整數n，成立n?r，則對于每一個正整數m均有n?m?r。要證明定義1與定義2等價，我們只需證明這兩個定義界定的極限一樣即可。證明：設有數列?an?。
（1）若有限常數a是定義1 界定的極限，由于正整數N是實數，因此，常數a也
是定義2 界定的極限。
（2）若有限常數a是定義2 界定的極限，由定義2，對任意??0，存在實數N，對任意正整數n?N，有 an?a??；對于實數N，必有正整數M使得M?N（命題1）；當n?M時，必有n?N；故對于正整數M，當n?M時必有an?a??。因此，常數a也是定義1 界定的極限。
說明：（2）中的正整數M即是定義1 中的N。極限證明中關鍵是由 n?N 保證
an?a??，而不是N是否是正整數。
另，請大家注意課本p.55 的第1題，這個題對于幫助大家深入理解數列極限定義是有很大作用的。
第二篇：數列極限的定義
第十六教時
教材：數列極限的定義
目的：要求學生首先從實例（感性）去認識數列極限的含義，體驗什么叫無限地“趨
近”，然后初步學會用??N語言來說明數列的極限，從而使學生在學習數學中的“有限”到“無限”來一個飛躍。過程：
一、實例：1?當n無限增大時，圓的內接正n邊形周長無限趨近于圓周長
2?在雙曲線xy?1中，當x???時曲線與x軸的距離無限趨近于0
二、提出課題：數列的極限考察下面的極限
1? 數列1：
110,111
102,103,?,10
n,?①“項”隨n的增大而減少②但都大于0
③當n無限增大時，相應的項1
n可以“無限趨近于”常數0
2? 數列2：123n
2,3,4,?,n?1,?
①“項”隨n的增大而增大②但都小于1
③當n無限增大時，相應的項n
n?1可以“無限趨近于”常數1
3? 數列3：?1,11(?1)n
2,?3,?,n,?①“項”的正負交錯地排列，并且隨n的增大其絕對值減小
②當n無限增大時，相應的項(?1)n
n
可以“無限趨近于”常數
引導觀察并小結，最后抽象出定義：
一般地，當項數n無限增大時，無窮數列?an?的項an無限地趨近于某
個數a（即an?a無限地接近于0），那么就說數列?an?以a為極限，或者說a是數列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數列才有極限）
數列1的極限為0，數列2的極限為1，數列3的極限為0
三、例一（課本上例一）略
注意：首先考察數列是遞增、遞減還是擺動數列；再看這個數列當n無限
增大時是否可以“無限趨近于”某一個數。
練習：（共四個小題，見課本）
四、有些數列為必存在極限，例如：an?(?1)n?
或an?n都沒有極限。例二下列數列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？
1．a1?(?1)n1?(?1)n
n?22．an?2
3．an?an(a?R)
n
4．a1)n?1?3?5?
n?(?n5．an?5????? ?3??
解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限
2．?a2,0,22
n?：3,0,5,0,??極限為0
3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限
4．?a,?33
n?：32,14,??極限為0
5．?a????n
?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??
392781∴ 數列?an?的極限為5
五、關于“極限”的感性認識，只有無窮數列才有極限
六、作業：習題1
補充：寫出下列數列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1
n?
2n
3? ?
??
(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n
第三篇：數列極限的定義
Xupeisen110高中數學
教材：數列極限的定義（??N）
目的：要求學生掌握數列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數列的極限。過程：
一、復習：數列極限的感性概念
二、數列極限的??N定義
?
1n
3．小結：對于預先給定的任意小正數?，都存在一個正整數N，使得只要n?N 就
有an?0
4．抽象出定義：設?an?是一個無窮數列，a是一個常數，如果對于預先給定的任
意小的正數?，總存在正整數N，使得只要正整數n?N，就有an?a
Xupeisen110高中數學
記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時
n??
注意：①關于?：?不是常量，是任意給定的小正數
②由于?的任意性，才體現了極限的本質
③關于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于
例四1．lim
n??
證明
證明2：設?是任意給定的小正數
要使3n?1?3?? 只要
2n?1
12n?1
?
?
n?
54?
?
取N??5?1?當n?N時，3n?1?3??恒成立
?4?2?2n?12??
第四篇：數列極限的定義教案
第十七教時
教材：數列極限的定義（??N）
目的：要求學生掌握數列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數列的極限。過程：
一、復習：數列極限的感性概念
二、數列極限的??N定義
n
1．以數列??(?1)?n??為例
a111n:?1，?，???234 0 觀察：隨?n的增大，點越來越接近
2只要n充分大，表示點a(?1)n即：n與原點的距離an?0?n?0?1n可以充分小 進而：就是可以小于預先給定的任意小的正數 n
2．具體分析：(1)如果預先給定的正數是
1(?1)10，要使an?0?n?0?1n<110 只要n?10即可 即：數列??(?1)n??n??的第10項之后的所有項都滿足
(2)同理：如果預先給定的正數是1103，同理可得只要n?103即可(3)如果預先給定的正數是
110k(k?N*)，同理可得：只要n?10k即可
3．小結：對于預先給定的任意小正數?，都存在一個正整數N，使得只要n?N
就有an?0
4．抽象出定義：設?an?是一個無窮數列，a是一個常數，如果對于預先給定的任意小的正數?，總存在正整數N，使得只要正整數n?N，就有an?a
記為：limn??an?a 讀法：“?”趨向于
“n??” n無限增大時
注意：①關于?：?不是常量，是任意給定的小正數
②由于?的任意性，才體現了極限的本質
③關于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在
④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于
a，也可以擺動趨近于a
三、處理課本 例
二、例
三、例四
例三：結論：常數數列的極限是這個常數本身
例四 這是一個很重要的結論
四、用定義證明下列數列的極限：
1．lim2n?1n??2
2．lim3n?1n?1
n??2n?1?32 證明1：設?是任意給定的小正數
2n?12n?1?11n12n要使2n?? 即：2??
兩邊取對數 n?log1?
取 N???1?2?log2???
????介紹取整函數 2n?12n當n?N時，2n?1??恒成立
∴lim?1n??2n?1
證明2：設?是任意給定的小正數
要使
3n?11?512n?1?32?? 只要
2n?1?5
n?4??2 取N???51?3n?13?4??2??
當n?N時，2n?1?2??恒成立
∴lim3n?1n??2n?1?32
第五篇：函數與數列極限的定義區別
導讀：極限是研究函數最基本的方法，它描述的是當自變量變化時函數的變化趨勢.要由數列極限的定義自然地過渡到函數極限的定義,關鍵在于搞清楚 數列也是函數這一點.數列可看作一個定義域為自然數集的函數,其解析表達式為an=f(n).關鍵詞：極限，數列，函數 極限概念是數學分析中
最重要的概念，如連續、導數、積分等都要用極限來定義，而且由極限出發產生的極限方法，是數學分析的最基本的方法.更好的理解極限思想，掌握極限理論，應用極限方法是繼續學習數學分析的關鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質、方法等問題.數列極限的ε-N定義是極限理論的重點與核心.數列極限1．定義
設有數列{an}與常數A，如果對于任意給定的正數ε（不論它有多么小），總存在正整數N，使得當n>N時，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就稱常數A是數列{ an }的極限，或者稱數列{an}收斂于A，記作
讀作“當n趨于無窮大時，an的極限等于A或an趨于A”。數列極限存在，稱數列{an}為收斂數列，否則稱為發散數列.上述定義的幾何意義是：對于任何一個以A為中心，ε為半徑的開區間（A-ε,A+ε），總可以在數列{an}中找到某一項aN，使得其后的所有項都位于這個開區間內，而在該區間之外，最多只有{an}的有限項（N項）.對于正整數N 應該注意兩點：其一，N是隨著ε而存在的，一般來講，N隨著ε的減小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定義中只強調了正整數N的存在性，而并非找到最小的N，我們只關注第N項以后的各項均能保持與常數a的距離小于給定的任意小正數ε即可.2．性質 收斂數列有如下性質：（1）極限唯一性；（2）若數列{an}收斂，則{an}為有界數列；
（3）若數列{an}有極限A，則其任一子列{ank}也有極限A；
（4）保號性，即若極限A>0，則存在正整數N1，n>N1時an>0；
（5）保序性，即若，且A （1）自變量趨于有限值時函數的極限：- [論文網 ]函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義，如果對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得對于滿足不等式的一切x，對應的函數值f(x)都滿足不等式，則常數A為函數f(x)在x→x0時的極限，記作 上述定義的幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語言表述為 1對：任意以兩直線為邊界的帶形區域； 2總：總存在（以點x0位中心的）半徑； 3當時：當點x位于以點x0位中心的δ空心鄰域內時； 4有：相應的函數f(x)的圖像位于這個帶形區域之內.（2）自變量趨于無窮大時函數的極限：設函數f(x)在|x|大于某一正數時有定義，如果任給ε>0，總存在著正數Χ，使得對于適合不等式|x|>Χ的一切x，對應的函數值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<ε，則稱常數A為函數f(x)當x→∞時的極限，記作 并稱y=A為函數y=f(x)的圖形的水平漸近線.2．性質（1）極限唯一性；（2）局部有界性 若存在，則存在δ1>0，使得f(x)在去心鄰域內是有界的，當x趨于無窮大時，亦成立； （3）局部保號性 若，則存在δ1>0，使得時，f(x)>0，當x趨于無窮大時，亦成立； （4）局部保序性 若，且A 利用定義證明極限下面介紹用“ε-δ（或N）”證明極限的一般步驟.1.極限值為有限的情形： （1）給定任意小正數ε； （2）解不等式或，找δ或N； （3）取定δ或N； （4）令或，由或成立，推出或.2.極限值為無窮大的情形（僅以極限為+∞與自變量為例）： （1）給定任意大正數G；（2）解不等式；（3）取定；（4）令，由成立，推出.利用極限的定義證明問題關鍵是步驟（2），應該非常清楚從哪一種形式的不等式推起，最后得到一個什么形式的式子，由此即可找到所需要的（或N）.極限存在準則1．夾逼準則（1）數列極限的夾逼準則 如果數列{an}，{bn}及{cn}滿足下列條件： 1存在N，n>N時，bn≤an≤cn； 則數列{an}的極限存在，且.（2）函數極限的夾逼準則 （以x→x0和x→∞為例）如果 1（或|x|>M）時，有 2（或），則（或） （3）一個重要不等式 時，2．單調有界數列必有極限 3．柯西（Cauchy）極限存在準則 數列{an}收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數ε，存在著這樣的正整數N，使得當m，n>N時，有|xn-xm|<ε.數列極限與函數極限的聯系數列可看作一個定義域為自然數集的函數,當自變量從小到大依次取自然數時,便得到相應的一系列函數值, 其解析表達式為an=f(n)；函數是連續的,數列相當于一個函數中的一些獨立的點，表現在圖形上數列是無數的點，而函數是一段曲線；把數列中的n用x來替換后如果函數f(x)存在極限則數列也必定有極限，但是反之不成立。 數列{an}的極限一般都是指n的變化使得極限值的產生，而n是一個正整數，函數的極限中自變量x可以趨向任何值，由此可知函數的極限更廣泛。 計算極限的常用方法1.利用洛必達法則 三這是最常用的方法，主要針對未定型極限： 注意與其他工具（無窮小代換、變量代換、不定式因子的分離、各種恒等變形、泰勒公式等）相結合.2.利用已知極限 ?? 3.利用泰勒公式 4.利用迫斂性 5.利用定積分求和式極限 6.利用數列的遞推關系計算極限 7.利用級數的收斂性計算極限 8.利用積分中值定理計算極限 計算數列和函數極限的關鍵是綜合運用各種計算極限的方法，并不斷總結，才能較好地掌握計算極限的方法.極限概念是數學分析中最重要的概念，如連續、導數、積分等都要用極限來定義，而且由極限出- [論文網 ]發產生的極限方法，是數學分析的最基本的方法.更好的理解極限思想，掌握極限理論，應用極限方法是繼續學習數學分析的關鍵.本文將主要闡述極限的概念、性質、方法等問題.數列極限的ε-N定義是極限理論的重點與核心.數列極限1．定義 設有數列{an}與常數A，如果對于任意給定的正數ε（不論它有多么小），總存在正整數N，使得當n>N時，不等式|an-A|<ε 都成立，那么就稱常數A是數列{ an }的極限，或者稱數列{an}收斂于A，記作 讀作“當n趨于無窮大時，an的極限等于A或an趨于A”。大全，函數。大全，函數。數列極限存在，稱數列{an}為收斂數列，否則稱為發散數列.上述定義的幾何意義是：對于任何一個以A為中心，ε為半徑的開區間（A-ε,A+ε），總可以在數列{an}中找到某一項aN，使得其后的所有項都位于這個開區間內，而在該區間之外，最多只有{an}的有限項（N項）.對于正整數N 應該注意兩點：其一，N是隨著ε而存在的，一般來講，N隨著ε的減小而增大，但N不是唯一存在的；其二，定義中只強調了正整數N的存在性，而并非找到最小的N，我們只關注第N項以后的各項均能保持與常數a的距離小于給定的任意小正數ε即可.2．性質 收斂數列有如下性質： （1）極限唯一性； （2）若數列{an}收斂，則{an}為有界數列； （3）若數列{an}有極限A，則其任一子列{ank}也有極限A； （4）保號性，即若極限A>0，則存在正整數N1，n>N1時an>0； （5）保序性，即若，且A （1）自變量趨于有限值時函數的極限：函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定，如果對于任意給定的正數（無論它多么小），總存在正數，使得對于滿足不等式的一切x，對應的函數值f(x)都滿足不等式，則常數A為函數f(x)在xx0時的極限，記作 上述定義的幾何意義是：將極限定義中的四段話用幾何語言表述為 1對：任意以兩直線為邊界的帶形區域； 2總： 總存在（以點x0位中心的）半徑； 3當時：當點x位于以點x0位中心的δ空心鄰域內時； 4有：相應的函數f(x)的圖像位于這個帶形區域之內.（2）自變量趨于無窮大時函數的極限：設函數f(x)在|x|大于某一正數時有定義，如果任給ε>0，總存在著正數Χ，使得對于適合不等式|x|>Χ的一切x，對應的函數值f(x)都滿足不等式|f(x)-A|<ε，則稱常數A為函數f(x)當x→∞時的極限，記作 并稱y=A為函數y=f(x)的圖形的水平漸近線.2．性質 （1）極限唯一性； （2）局部有界性 若存在，則存在δ1>0，使得f(x)在去心鄰域內是有界的，當x趨于無窮大時，亦成立； （3）局部保號性 若，則存在δ1>0，使得時，f(x)>0，當x趨于無窮大時，亦成立； （4）局部保序性 若，且A 利用定義證明極限下面介紹用“ε-δ（或N）”證明極限的一般步驟.1.極限值為有限的情形： （1）給定任意小正數ε； （2）解不等式或，找δ或N； （3）取定δ或N； （4）令或，由或成立，推出或.2.極限值為無窮大的情形（僅以極限為+∞與自變量為例）： （1）給定任意大正數G； （2）解不等式； （3）取定δ； （4）令，由成立，推出.利用極限的定義證明問題關鍵是步驟（2），應該非常清楚從哪一種形式的不等式推起，最后得到一個什么形式的式子，由此即可找到所需要的δ（或N）.極限存在準則1．夾逼準則 （1）- [論文網 ]數列極限的夾逼準則 如果數列{an}，{bn}及{cn}滿足下列條件： 1存在N，n>N時，bn≤an≤cn； 2 則數列{an}的極限存在，且.（2）函數極限的夾逼準則 （以x→x0和x→∞為例）如果 1（或|x|>M）時，有 2（或），則（或） （3）一個重要不等式 時，2．單調有界數列必有極限 3．柯西（Cauchy）極限存在準則 數列{an}收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數ε，存在著這樣的正整數N，使得當m，n>N時，有|xn-xm|<ε.數列極限與函數極限的聯系數列可看作一個定義域為自然數集的函數,當自變量從小到大依次取自然數時,便得到相應的一系列函數值, 其解析表達式為an=f(n)；函數是連續的,數列相當于一個函數中的一些獨立的點，表現在圖形上數列是無數的點，而函數是一段曲線；把數列中的n用x來替換后如果函數f(x)存在極限則數列也必定有極限，但是反之不成立。大全，函數。 數列{an}的極限一般都是指n的變化使得極限值的產生，而n是一個正整數，函數的極限中自變量x可以趨向任何值，由此可知函數的極限更廣泛。 計算極限的常用方法1.利用洛必達法則 三這是最常用的方法，主要針對未定型極限： 注意與其他工具（無窮小代換、變量代換、不定式因子的分離、各種恒等變形、泰勒公式等）相結合.2.利用已知極限 ?? 3.利用泰勒公式 4.利用迫斂性 5.利用定積分求和式極限 6.利用數列的遞推關系計算極限 7.利用級數的收斂性計算極限 8.利用積分中值定理計算極限 計算數列和函數極限的關鍵是綜合運用各種計算極限的方法，并不斷總結，才能較好地掌握計算極限的方法.
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