第一篇：數列極限的定義教案

第十七教時

教材：數列極限的定義（??N）

目的：要求學生掌握數列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數列的極限。過程：

一、復習：數列極限的感性概念

二、數列極限的??N定義

n

1．以數列??(?1)?n??為例

a111n:?1，?，???234 0 觀察：隨?n的增大，點越來越接近

2只要n充分大，表示點a(?1)n即：n與原點的距離an?0?n?0?1n可以充分小 進而：就是可以小于預先給定的任意小的正數 n

2．具體分析：(1)如果預先給定的正數是

1(?1)10，要使an?0?n?0?1n<110 只要n?10即可 即：數列??(?1)n??n??的第10項之后的所有項都滿足

(2)同理：如果預先給定的正數是1103，同理可得只要n?103即可(3)如果預先給定的正數是

110k(k?N*)，同理可得：只要n?10k即可

3．小結：對于預先給定的任意小正數?，都存在一個正整數N，使得只要n?N

就有an?0

4．抽象出定義：設?an?是一個無窮數列，a是一個常數，如果對于預先給定的任意小的正數?，總存在正整數N，使得只要正整數n?N，就有an?a

記為：limn??an?a 讀法：“?”趨向于

“n??” n無限增大時

注意：①關于?：?不是常量，是任意給定的小正數

②由于?的任意性，才體現了極限的本質

③關于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在

④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

a，也可以擺動趨近于a

三、處理課本 例

二、例

三、例四

例三：結論：常數數列的極限是這個常數本身

例四 這是一個很重要的結論

四、用定義證明下列數列的極限：

1．lim2n?1n??2

2．lim3n?1n?1

n??2n?1?32 證明1：設?是任意給定的小正數

2n?12n?1?11n12n要使2n?? 即：2??

兩邊取對數 n?log1?

取 N???1?2?log2???

????介紹取整函數 2n?12n當n?N時，2n?1??恒成立

∴lim?1n??2n?1

證明2：設?是任意給定的小正數

要使

3n?11?512n?1?32?? 只要

2n?1?5

n?4??2 取N???51?3n?13?4??2??

當n?N時，2n?1?2??恒成立

∴lim3n?1n??2n?1?32

第二篇：數列極限的定義

第十六教時

教材：數列極限的定義

目的：要求學生首先從實例（感性）去認識數列極限的含義，體驗什么叫無限地“趨

近”，然后初步學會用??N語言來說明數列的極限，從而使學生在學習數學中的“有限”到“無限”來一個飛躍。過程：

一、實例：1?當n無限增大時，圓的內接正n邊形周長無限趨近于圓周長

2?在雙曲線xy?1中，當x???時曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數列的極限考察下面的極限

1? 數列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項”隨n的增大而減少②但都大于0

③當n無限增大時，相應的項1

n可以“無限趨近于”常數0

2? 數列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項”隨n的增大而增大②但都小于1

③當n無限增大時，相應的項n

n?1可以“無限趨近于”常數1

3? 數列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項”的正負交錯地排列，并且隨n的增大其絕對值減小

②當n無限增大時，相應的項(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數

引導觀察并小結，最后抽象出定義：

一般地，當項數n無限增大時，無窮數列?an?的項an無限地趨近于某

個數a（即an?a無限地接近于0），那么就說數列?an?以a為極限，或者說a是數列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數列才有極限）

數列1的極限為0，數列2的極限為1，數列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數列是遞增、遞減還是擺動數列；再看這個數列當n無限

增大時是否可以“無限趨近于”某一個數。

練習：（共四個小題，見課本）

四、有些數列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a1?(?1)n1?(?1)n

n?22．an?2

3．an?an(a?R)

n

4．a1)n?1?3?5?

n?(?n5．an?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數列?an?的極限為5

五、關于“極限”的感性認識，只有無窮數列才有極限

六、作業：習題1

補充：寫出下列數列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n

第三篇：數列極限的定義

Xupeisen110高中數學

教材：數列極限的定義（??N）

目的：要求學生掌握數列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數列的極限。過程：

一、復習：數列極限的感性概念

二、數列極限的??N定義

?

1n

3．小結：對于預先給定的任意小正數?，都存在一個正整數N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設?an?是一個無窮數列，a是一個常數，如果對于預先給定的任

意小的正數?，總存在正整數N，使得只要正整數n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數學

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時

n??

注意：①關于?：?不是常量，是任意給定的小正數

②由于?的任意性，才體現了極限的本質

③關于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設?是任意給定的小正數

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當n?N時，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??

第四篇：關于數列極限的兩個定義

關于數列極限的兩個定義

定義1．設有數列?an?，a 是有限常數。若對任意??0N，對任意正整

數n?N，有 an?a??，則稱數列?an?的極限是 a。

定義2．設有數列?an?，a 是有限常數。若對任意??0，對任意正整數

n?N，有 an?a??，則稱數列?an?的極限是 a

定義1 是課本第46面的原文，定義2 是我講課時用的。這兩個定義的區別只在對N的要求：定義1 要求N是正整數，而定義2只要求N是實數，這是很低的要求，故定義2比定義1較便于應用。

由于兩個定義對N的要求不同，易使人誤認為兩個定義界定的對象不一樣，即：兩個定義不等價。實際上，這兩個定義完全是等價的！為說明這兩個定義的等價性，我們需要兩個顯然的命題：

命題1．對于任意實數r均存在正整數n，使得n?r。

命題2．對于任意實數r，若正整數n，成立n?r，則對于每一個正整數m均有n?m?r。要證明定義1與定義2等價，我們只需證明這兩個定義界定的極限一樣即可。證明：設有數列?an?。

（1）若有限常數a是定義1 界定的極限，由于正整數N是實數，因此，常數a也

是定義2 界定的極限。

（2）若有限常數a是定義2 界定的極限，由定義2，對任意??0，存在實數N，對任意正整數n?N，有 an?a??；對于實數N，必有正整數M使得M?N（命題1）；當n?M時，必有n?N；故對于正整數M，當n?M時必有an?a??。因此，常數a也是定義1 界定的極限。

說明：（2）中的正整數M即是定義1 中的N。極限證明中關鍵是由 n?N 保證

an?a??，而不是N是否是正整數。

另，請大家注意課本p.55 的第1題，這個題對于幫助大家深入理解數列極限定義是有很大作用的。

第五篇：數列極限教案

數列的極限教案

授課人：###

一、教材分析

極限思想是高等數學的重要思想。極限概念是從初等數學向高等數學過渡所必須牢固掌握的內容。

二、教學重點和難點

教學重點：數列極限概念的理解及數列極限??N語言的刻畫。

教學難點：數列極限概念的理解及數列極限??N語言的刻畫，簡單數列的極限進行證明。

三、教學目標

1、通過學習數列以及數列極限的概念，明白極限的思想。

2、通過學習概念，發現不同學科知識的融會貫通，從哲學的量變到質變的思想的角度來看待數列極限概念。

四、授課過程

1、概念引入

例子一：(割圓術)劉徽的割圓術來計算圓的面積。

.........內接正六邊形的面積為A1，內接正十二邊形的面積為A2......內接正6?2n?1形的面積為An.A1,A2,A3......An......?圓的面積S.用圓的內接正六n邊形來趨近，隨著n的不斷增加，內接正六n邊形的面積不斷

1接近圓的面積。

例子二：莊子曰“一尺之錘，日取其半，萬世不竭”。

第一天的長度1第二天的剩余長度 第二天的剩余長度

第四天的剩余長度 8

.....第n天的剩余長度n?1.......2

隨著天數的增加，木桿剩余的長度越來越短，越來越接近0。

這里蘊含的就是極限的概念。

總結：極限是變量變化趨勢結果的預測。例一中，內接正六n邊形的邊數不斷增加，多邊形的面積無限接近圓面積；例二中，隨著天數的不斷增加，木桿的剩余長度無限接近0.在介紹概念之前看幾個具體的數列：

111?1?（1）??: 1，,......； 23n?n?

???1?n?1111:?1，?，?,......；（2）??n2345??

（3）n2:1,4,9,16,......；

（4）??1?:?1,1,?1,1,......,??1?,......； nn????

我們接下來討論一種數列?xn?，在它的變化過程中，當n趨近于??時，xn不斷接近于某一個常數a。如隨著n的增大，（1），（2）中的數列越來越接近0；（3）

（4）中的數列卻沒有這樣的特征。

此處“n趨近于??時”，“xn無限接近于數a”主要強調的是“一個過程”和一種“接近”程度。

可是只憑定性的描述和觀察很難做到準確無誤，所以需要精確的，定量的數學語言來刻畫數列的概念。本節課的重點就是將數列的這樣一個特征用數學語言刻畫出來，并引入數列極限的概念。

2、內容講授

（定義板書）設?xn?是一個數列，a是實數。如果對于任意給定的數??0，總存在一個正整數N，當n?N時，都有xn?a??，我們稱a是數列?x

n?的極限，或者說數列?xn?收斂且收斂于數a。

寫作：limxn?a或xn?a?n????。

n???

如果數列沒有極限，就說數列是發散的。

注意：（1）理解定義中的“任意給定”?：?是代表某一個正數，但是這個數在選取時是任意的，選定以后就是固定的。不等式xn?a??是表示xn與a的接近程度，所以?可以任意的小。

（2）N的選取是與任意給定的?有關的。1?1?以數列??為例，欲若取??，則存在N?100，當n?Nxn?a??； 100n??

若取??1，則存在N?1000，當n?N時，xn?a??。1000

數列極限的??N語言：

limx

n???n?a????0,?N,n?Nxn?a??.數列極限的幾何解釋：

3、例題講解

n?2??1??1。例題1用數列極限的定義證明limn??nn

n?2??1?證明：設xn?，因為 nn

n?2??1?2??1?2???xn?1?nnnnn

???0，欲使xn???，只要22??即n?，n?

?2?我們取N????1，當n?N時，???

n?2??1?22?????.nnNn

n?2??1?所以lim?1.n??nn

?2?注：N的取法不是唯一的，在此題中，也可取N????10等。???

例題2 設xn?C（C為常數），證明limxn?C。n??

證明：任給的??0，對于一切正整數n，xn?C?C?C?0??，所以limxn?C。n??

小結：用定義證數列極限存在時,關鍵是任意給定?尋找N,但不必要求最小的N.五、課后作業