第一篇：淺論高等數學中的極限思想（最終版）

淺論高等數學中的極限思想

谷亮

（遼寧鐵道職業技術學院 遼寧 錦州 121000 中國）

摘要： 極限是高等數學最基本的概念之一，極限思想是近代數學的一種很重要的數學思想，是用極限概念分析問題和解決問題的一種數學思想，本文從極限的定義、極限思想的價值、教學中如何滲透極限思想幾個方面進行了簡要論述。

關鍵詞：高等數學，極限，極限思想、教學

一、極限的概念

1、數列極限：設{xn}為一個數列，a為一常數，若???0，總存在一個正整數N，使得

limxn?axn?a??{x}n?Nn當時，有，稱a是數列的極限。記作n??

2、函數極限：設函數f(x)在點a的某去心鄰域內有定義，A為一常數，若???0，總存在一個正數?，使得當的極限。記作x?a0?x?a??。

時，有

f(x)?A??，稱A是當x趨向于a時函數f(x)limf(x)?A??x?a,x?a,x???,x???，極限的定義類似。自變量變化過程還包括：在數學發展的過程中,出于不同需要,還引進了不同意義下的極限概念,比如在集論中引進了集列的上、下極限的概念,在無窮級數論中引進級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及在函數逼近論中引進了一致逼近、平均逼近等的極限概念.無論怎樣定義，其本質都是一樣的，都是從有限觀念發展到無限觀念的過程。

二、極限思想的價值

極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的關系，通過極限思想，我們可以從有限來認識無限，以直線近似代替曲線，以不變認識變化，從量變認識質變。因此，極限思想具有由此及彼的創新作用，極限思想方法也廣泛用于微分方程、積分方程、函數論、概率極限理論、微分幾何、泛函分析、函數逼近論、計算數學、力學等領域。

生活中也有這樣的例子：一張餅，第一天吃它的一半，第二天吃它的一半的一半，第三天吃它的一半的一半的一半，??如此這樣，這張餅能吃得完嗎？顯然是永遠吃不完的，雖然餅越來越小，但還是有的。只能說，這張餅的極限為零，但絕不是零。這就是一種極限思想的具體寫照。

極限思想不僅非常重要，它也是學生難以理解掌握的重要概念，它貫穿整個數學體系，是一種非常重要的數學思想，它是人類發現并解決數學問題的非常重要手段，它能很好地展現出數學的思維之美，在高等數學的教學過程中起著相當重要的作用，恰當的應用極限思想不僅可以將一些問題簡化，開辟解決問題的新途徑，通過分析、總結、歸納得出極限概念中各變量具有的變化特征和內在練習，分析變化過程中的各種規律，還可以培養學生的數學思維，提高學生解決問題的素質能力，因此，使學生能夠靈活運用極限思想有重要的意義。

三、將極限思想滲透到課堂教學中

1、課堂上介紹一些體現極限思想的典故

比如，中國古代的哲學家莊周在《莊子天下篇》中說:“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”，將木棰長度的變化歸結為一個無限的過程中去研究，我國古代數學家劉徽割圓術中“割之彌細,所失弦少,割之又割,以至于不可割,則與圓合體而無所失矣”，他用圓的內接正n邊形的邊長代替圓的周長,n越大,正n邊形的邊長就越接近圓的周長，這都蘊涵了極限思想。通過這些有趣的小故事，小典故，不僅讓學生回顧歷史，從中體驗和感受極限思想的妙處，還能激發學生學習高數的興趣和積極性。

2、講授新知識時滲透極限思想

在教學中，講授新知識的同時體現極限思想，這樣可以使學生對新知識有一個更好更深入的的理解，達到很好的教學效果。在教學中能夠滲透極限思想的地方有很多，比如求曲線上任一點的切線斜率、圓面積、變速運動物體的瞬時速度、曲邊梯形面積、曲頂柱體的體積等都是通過這種極限思想得以引入課題并解決問題的，還有空間集合體中圓柱、圓錐之間相互轉化，圓錐是圓柱的上底逐漸縮小的一種極限狀態，也體現了一種動態的極限思想。

3、體現極限思想的數學概念

高等數學中的許多概念都是利用極限來描述的，體現極限思想的數學概念比比皆是，不勝枚舉，下面就舉幾個這樣的例子：（1）函數連續的概念中就用到極限式：

x?x0limf(x)?f(x0)

（2）導數的概念中有極限式：

f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?y?lim?x?0?x?x?0?x

（3）定積分的概念也是通過分劃、取近似、求和、取極限得到的：a??bb?f(?)?x?f(x)dx?lim??0ii?1bbni

（4）無窮區間上的廣義積分的定義也是通過有限區間的定積分取極限得到的：?af(x)dx?lim?f(x)dxb??a，bb?????f(x)dx?lima????f(x)dxa，??0a??????f(x)dx?lim?f(x)dx?lim?f(x)dxa0

（5）級數的收斂性也是用極限式定義的：若級數

?un?1?nlimsn?s{s}n的部分和數列的極限n??存在，稱級數?un?1?n為收斂的，否則該級數稱為發散的。

（6）無窮小的定義也是用極限來描述的：若有x?alimf(x)?0，稱f(x)為此自變量的變化過程中的無窮小量。

（7）二元函數f(x,y)在有界閉區域D上的二重積分的定義也用到了極限，??f(x,y)d??lim?f(?,?)??Dd?0iii?1ni

（8）二元函數f(x,y)在曲線L上的第一型曲線積分也是用極限定義的：?Lf(x,y)ds?lim?f(?i,?i)?sid?0i?1n

（9）多元函數偏導數也是用極限來定義的，以二元函數為例，f(x,y)關于x的偏導數為：

f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?f?lim?x(x0,y0)?x?0?x，關于y的偏導數類似。

4、解決問題時利用極限思想

高等數學中的許多問題都是通過極限的思想方法來解決的，下面簡單的舉兩個例子。（1）如何求平面上曲邊梯形的面積？

計算梯形的面積公式是我們所熟知的，但曲邊梯形面積是不能依此求得的，可以通過極限思想方法，利用無限分割，以直代曲、用無數個小矩形面積無限逼近曲邊梯形的面積通過取極限最終來解決這個問題；（2）如何求圓面積？

我們可以設定情境，就是在不知圓面積公式的情況，是怎么考慮圓面積的，當然，也是利用極限思想方法，通過圓內接正多邊形，無限增加內接正多邊形的邊數，利用內接正多邊形的面積無限逼近圓面積的方法來解決的；

除了上述兩個問題，還有解決物體的瞬時速度、平面曲線的弧長、曲頂柱體的體積等問題都是利用極限思想方法來解決的。教師可以在教學中恰當選取問題，讓學生逐步緊跟教師思路，利用極限思想一步一步解決問題，不僅是教學效果事半功倍，還能增加學生對數學的學習興趣，提高學生用極限思想方法解決相關問題的能力。

四、結束語

綜上所述，極限思想是高等數學教學中的重點與難點，貫穿于整個高等數學體系，在教學中教師要有意識的將極限思想滲入其中，通過恰當的方法讓學生更好的理解極限的概念和極限的思想方法，讓學生體會到極限思想的作用和妙處，體會“以直代曲、化零為整、化圓為方、以不變代變、以有限找無限”等的極限思想，培養學生對數學的學習興趣，提高學生應用數學知識，利用極限思想方法解決各種問題。

參考文獻：

[1]陳剛、米平治.關于高等數學中的極限思想的研究 [J].工科數學.2001,6(17)[2]張魁元、趙建華，大學數學.北京：高等教育出版社,2004 [3]施紅英.對微積分“極限”思想方法教學的思考[J].甘肅廣播電視大學學報，2005（9）

第二篇：高等數學-極限

《高等數學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉載▼ 標簽： 分類： 數學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數消指數。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

（本文著作權歸個人所有，如需轉載請聯系本人。）

第三篇：高等數學極限總結

我的高等數學 學我所學，想我所想

【摘要】《高等數學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數學 極限 技巧

《高等數學》極限運算技巧

《高等數學》的極限與連續是前幾章的內容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環節。是“初等數學”向“高等數學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數值因為函數變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數在變量產生這種變化時的極限！

從數學式子上來講，逼近是指函數的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內容，高數部分所要求的極限內容基本可以全部解決。現在想來這不是什么海口，數學再難也是基本的內容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規律可循的！今天我寫的內容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

我的高等數學 學我所學，想我所想

1，連續函數的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續函數，是連續函數的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉化代換，即無窮大的倒數是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據做題的需要來進行）。

我的高等數學 學我所學，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數形式的（包含冪函數四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數時候我們優先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉換形式，即轉換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

我的高等數學 學我所學，想我所想

這也是需要轉換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數關系，所以這種轉換時比較簡單也是比較容易解決的。轉換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對數消指數。簡單來說，“ ”形式指數的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數消指數的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養則是對做題起到指導性的意義。如何培養，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

第四篇：高等數學極限復習題

高等數學復習資料二

川汽院專升本極限復習題

一 極限計算

二 兩個重要極限

三 用無窮小量和等價

第五篇：極限在高等數學中的地位

極限在高等數學中的地位

摘要：1821年柯西(1789―1857）在《分析教程》中，對極限概念的基本有了明確的敘述，并以極限概念為基礎，對“無窮小量”、級無窮數的“和”等概念給出了比較明確的定義。后經過波爾察諾、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托等人的卓越工作，又進一步把極限論建立在嚴格的實數理論基礎上，并且形成了描述極限過程的ε-δ語言。微積分理論基礎的嚴密化，使微積分躍進和擴展為現代數學的重要領域。本文將著重討極限思想在高等數學中的廣泛應用，從而體現極限在高等數學中的地位。

關鍵詞：極限的定義，極限在高等數學中的應用，極限思想對數學發展的影響。

Position limit in Higher Mathematics

Abstract: in 1821, Cauchy(1789-1857)in the “analysis” of the concept of limit, the basic with a clear narrative, and taking the limit concept as the foundation, to “infinitesimal”, infinite number of concepts such as “and” gives a clear definition.After the excellent work, Weierstrass, Dai Dejin Cantor Bolzano, et al., and further the limit theory establishment in the real theory on the basis of strict, and the formation of the description of limit process epsilon Delta language.Rigorous calculus theory, the calculus Yuejin and extended important field of modern mathematics.Widely used in this paper will focus on pleasing limit thought in higher mathematics, which reflects the position limit in higher mathematics.Keywords: definition of limit, limit in higher mathematics, limit effects of ideas on the development of mathematics.1 極限的定義

意即

使

不等式|Xn-a|<ε刻劃了Xn與a的無限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正數ε可以任意地小，說明Xn與a可以接近到任何程度。然而，盡管ε有其任意性，但一經給出正整數N，ε就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出ε，又ε既是任意小的正數，那么ε/2,ε的平方等等同樣也是任意該定義常稱為數列極限的 ε—N定義。

函數極限：分為x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，運用ε-δ定義，以x→Xo，f(x)在點Xo 以A為極限的定義是： 對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正數δ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對

得

小的正數，因此定義中不等式|Xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等來代替。同時，正由于ε是任意小正數，我們可限定ε小于一個確定的正數．另外，定義1中的Xn-a|<ε也可改寫成Xn-a|≦ε。數列極限與函數極限的定義

數列極限：設 {Xn} 為實數列，L 為定數．若對任給的正數 ε，總存在正整數N，使得當 n>N 時有∣Xn-a∣<ε 則稱數列{Xn} 收斂于L，定數 L稱為數列 {Xn} 的極限，并記作，或Xn→L（n→∞）讀作“當

n 趨于無窮大時，{Xn} 的極限等于 或 趨于 L”。若數列 {Xn} 沒有極限，則稱 {Xn} 不收斂，或稱 {Xn} 為發散數列。應的函數值f(x)都滿足不等式： |f(x)-A|<ε，那么常數A就叫做函數f(x)當 x→x。時的極限。極限在高等數學中的應用

3.1極限在微分，積分中的體現： 積分定義：設函數f(x)在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],?,(xi,b]，可知各區間的長度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,?，△xi=b-xi.在每個子區間（xi-1,xi）任取一點ξi(i=1,2,?,n），作和式（見右下圖），設λ=max{△x1，△x2,?，△xi}(即λ屬于最大的區間長度），則當λ→0時，該和式無限接近于某個常數，這個常數叫做函數f(x)在區間[a,b]的定積分，其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a，b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x 叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達式，∫ 叫做積分號。

微分定義： 設函數y = f(x)在x.的鄰域內有定義，x0及x0 + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x0 + Δx)? f(x0)可表示為 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依賴于Δx的常數），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數。因此，導數也叫做微商。應用實例：已知方法，就其微分解

：，應用極限極限思想

在剛才的討論中我們看到，無論是微分還是積分的定義，都用到了極限的思想，即當函數定義域內的某一變量，以一個非常非常小的值變化時，討論函數的各種變化。應用極限思想，形成了高等數學當中的微商、積分等互逆性計算。歸納導數、積分在極限思想的運用當中有以下共同特性：分割、近似及取極限。以上共同過程均是在分割并且細小化之后，應用中等數學之中的常量關系來處理高等數學微積分當中的變量關系問題，并通過極限思想以降低誤差，讓無法解決的無規律變化問題能夠聯系到極限思想，從而讓所計算出來的結果更加精確，這也就為解決問題提出了一種新思維，即應用運動與變化之方式來處理問題，從而展示出極限思想深刻的辯證性。總結

極限思想在很久的古代既已經產生，并在近代的微分和積分的定義,應用中得到了廣泛地展現。

(1)極限的精確定義對微積分的定義有重大意義。

(2)極限思想是微積分的基本思想。

(3)極限是高等數學研究基本問題的基

礎工具。

(4)極限的分析方法具有極大的實用性，是架立在抽象與實體，巨大與極小之間的一 座重要橋梁。6 [參考文獻] [1]施紅英.對微積分“極限”思想方法教學的思考[J].甘肅廣播電視大學學報，2005（9)..[1] Shi Hongying.Thinking on the teaching of calculus “limit” thinking method [J].Journal of Gansu Radio and Television University, 2005(9)[2]葉 林.極限思想的發展與微積分的建立[J].內蒙古民族大學學報(自然科學版)，2008.[2] leaf forest.Develop and calculus limit theory [J].Journal of Inner Mongolia University for the Nationalities(NATURAL SCIENCE EDITION), 2008 [3]翁祖蔭;;關于黎曼—斯蒂吉司積分的乘積型求積公式[J];浙江大學學報(工學版);1980年03期.[3] Weng heritage;Riemann Stieltjes integrals;a product type quadrature formula [J];Journal of Zhejiang University(Engineering and Technology Edition);1980 03 period [4]張開菊;;關于極限若干計算方法的研究[J];新課程(教研);2011年08期.[4] Zhang Kaiju;[J];Study on several methods for computing the limit;the new curriculum(Research);2011 08 period [5]丁進忠;;微元問題的處理方法[J];物理通報;2011年09期.[5] Ding Jinzhong;processing method;micro problem [J];physics Bulletin;2011 09 period