大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練一（極限）

一、計算

解：因為

原式

又因為

所以。

二、計算

解：因為

所以。

三、計算

解：設(shè)，則

因為，所以。

四、計算

解：因為，所以

五、設(shè)數(shù)列定義如下

證明：極限。

證明：方法一、考慮函數(shù)，因為，當(dāng)時。

由此可得時，在上的最大值為，且在是遞增的。所以

……

……

……

……

由于，所以數(shù)列是單調(diào)有界的，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得存在。顯然。

現(xiàn)證明，用反證法證明，設(shè)，且，取，因為，所以存在整數(shù)，當(dāng)時有

由此可得正項級數(shù)收斂；

另一方面，由，級數(shù)發(fā)散，由比較判別法，正項級數(shù)發(fā)散，這是一個矛盾，所以。

方法二、考慮函數(shù)，因為，當(dāng)時。

由此可得時，在上的最大值為，且在是遞增的。所以

……

……

……

……

由夾逼準(zhǔn)則可得，又因為

所以數(shù)列是單調(diào)遞增的，利用斯托爾茨定理。

六、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且在每一個有限區(qū)間上是有界的，如果，證明：

證明：對于任取的，因為，所以存在當(dāng)時，有

取，令，則有

因為

……

……

所以

由于在每一個有限區(qū)間上是有界的，所以存在，當(dāng)時有

取，當(dāng)時有

由此可得。

七、