大學生數學競賽訓練五—微分方程

一、（15分）設函數在上可導，且，對任給的滿足等式

1）求導數；

2）證明：當時，成立不等式：。

解：1）設，則有

當時有

兩邊關于求導得

解微分方程得

由條件可得，因此

2）當時，所以此時有；

又因為，當時，所以此時有，因此當時，有

二、（15分）設微分方程的兩個解滿足求此微分方程的通解。

解：1）如果為常數，則有

因為，所以，由此可得，此時方程變為

令，則有

2）如果不是常數，則有，代入原方程可得

（1）

（2）

由（1）、（2）可得

令，則有，解得，因為它們是線性無關的，所求通解為

三、（15分）有一個攀巖愛好者要攀登一個表面為的山巖，在攀巖時他總是沿著最陡峭的路線攀登，他的出發點在山下的一點處，求他攀登的路線方程。

解：設所求曲線在面上的投影為，則其切向量與函數的梯度平行，因此有

此為一階齊次方程，解得，由可得，再由題意得到

所求曲線方程為。

四、（15分）求方程的通解。

解：設，則有，原方程化為

解得

五、(15分)設，求在上的連續函數使得其在上滿足方程

及初值條件。

解：解方程得

當時，當時，由的連續性可得，又因為可得，所求函數為。

六、（15分）已知二元函數有二階連續的偏導數，并且滿足

證明：。

證明：因為二元函數有二階連續的偏導數，所以

由此可得。

七、