08-12年高等數學下考點分類
一、偏導數的幾何應用
1.[12]求曲面在點處的切平面和法線方程
解:
令，則
從而切點的法向量為
從而切平面為
法線方程為
2.[08]設是曲線在點處的切向量，求函數在該點沿的方向導數
解：方程組兩端對求導，得
把代入得，解得，于是在點處的切向量為，單位切向量為
所求方向導數為
3.[08]給定曲面為常數，其中有連續偏導數，證明曲面的切平面通過一個定點。
證：令，則
從而曲面在點處的切平面為，其中為動點。
顯然時成立，故切平面均過。
二、多元函數的極限、連續、可微
1.[12]證明函數在點不連續，但存在有一階偏導數。
證明：因為
與有關，故二重極限不存在，因而由連續定義函數在點不連續。
又，或，或
于是函數在點存在有一階偏導數。
2.[11]設函數。試證在點處是可微的解
用定義求出
3.[10]證明：在點(0,0)處連續，與存在，但在(0,0)處不可微。
解：（1）
4.[09]
5.[08]
函數在點處可微是它在該點偏導數與連續的必要
條件（填必要、充分或充要），又是它在該點有方向導數的充分
條件（填必要、充分或充要）
三、復合函數求導
1.[12]設，則
0
2.[12]設,則
3.[12]設,求
解
令，則，于是用公式得
4.[11]設,則
5.[11]設可微，且，則
6.[11]設，其中可微，證明
證明
由于
7.，將變換為下的表達式。
解：
8.[09]
9.[09]
設，其中函數具有二階連續偏導數，求。
解：
10.[09]
求由方程組所確定的及的導數及。
解：
11.[08]
設有連續偏導數，則
12.[08]
設，求
解：兩邊取微分，得
從而，四、多元函數的極值
1.[12]在曲面上找一點，使它到點的距離最短，并求最短距離。
解
設點為，則
等價于求在約束之下的最小值。令
且由
解得駐點，最短距離為
2.[11]若函數在點處取得極值，則常數
3.[11]設長方形的長、寬、高分別為，且滿足，求體積最小的長方體。
解
令，2
由，求出唯一駐點6
由問題的實際意義可知，當體積最小長方體的長、寬、高均為37
4.5.[09]
求函數在圓域的最大值和最小值。
解：方法一：當時，找駐點，得唯一駐點
當時，是條件極值，考慮函數，解方程組
可得
所求最大值為，最小值為。
方法二：設，則且，這變成一個簡單的線性規劃問題。最大值為4，最小值為。
方法三：圓域可寫成最大值為4，最小值為。
[08]
設，則它有極小值
五、梯度、方向導數
1.[12]函數在點處沿指向點方向的方向導數
2.3.[09]
求二元函數在點處沿方向的方向導數及梯度，并指出在該點沿哪個方向減少得最快？沿哪個方向值不變？
4.六、二重積分
1.[12]
設是所圍成的區域,則
2.[12]計算二重積分，其中
3.[12]設函數在內有連續的導數，且滿足。求
解
用極坐標
兩邊求導得，標準化為
于是
由得，故
4.[11]計算二重積分，其中D是頂點為的三角形閉區域。
解:
5.[09]
交換二次積分的積分次序：。
6.[09]
求錐面被柱面割下部分曲面面積。
解：
7.[09]（化工類做）
計算二重積分，其中為圓域。
8.[08]
交換二次積分的積分次序
9.[08]
求球面含在圓柱面內部的那部分面積
解：上半球面的部分為七、三重積分
1.[12]設為兩球的公共部分，計算三重積分
解
由
當時用垂直于軸的平面截區域得到截面為圓域，當時用垂直于軸的平面截區域得到截面為圓域，于是分段先二后一積分，得
2.[10]計算三重積分，其中是由所圍成的閉球體．
解：
4’
4’
3.[09]
計算。
解：此三重積分積分區域在面上的投影為，即圓域的上半部分，設此部分為，則
原式
4.[08]
計算三重積分，其中.是由單位球面圍成的閉區域.解：由對稱性
從而
八、曲線積分
1.[12]設是拋物線介于點與點之間的那一段弧段，則曲線積分
2.計算曲線積分，其中為擺線從點到點的弧。
解
由于
補兩條直線是逆向的閉曲線，故
原式
或由曲線積分與路徑無關，直接得
原式得
或取，由曲線積分與路徑無關，直接得，原式
或者由是全微分表達式，湊微分，因
及
得
原式
3.[11]假設L為圓的右半部分，則
4.[11]計算,其中是橢圓的正向一周解:
由格林公式
5.[11]計算曲線積分，其中表示第四象限內以為起點，為終點的光滑曲線
解
所求解問題與路徑無關，選折線
6.7.8.[10]計算
9..[10]計算
10.[09]
11.[09]
計算曲線積分，其中表示包含點在內的簡單閉曲線，沿逆時針方向。
解：在的內部作圓并取逆時針方向，的參數方程為
由格林公式有
12.[08]
計算曲線積分，其中表示第四象限內以為起點為終點的光滑曲線。
解：由于，從而只要路徑不經過直線，該曲線積分就與路徑無關
取路徑，九、曲面積分
1.[12]
計算曲面積分，式中是上半球面的上側
解
補一個平面，取下側，則原式
另法（看看:
歸一化，多次換元夠煩的）
即，上半球面指向上側法線為，從而,原式=
2.[12]
求曲面包含在圓柱面內那部分（記為）的面積。
解
記為在部分的面積，或者
3.計算,其中是平面被圓柱面截出的有限部分
解
由題意或
從而
4.計算曲面積分,其中為柱面介于與之間的在第一卦限部分的前側.解
補平面區域取上側，取下側，取左側，取后側。與原來曲面形成封閉曲面的外側,圍成由高斯公式
故
原式
5.[10]
計算
6.[10]
計算曲面積分其中為上半球面的上側。
7.[09]
向量場的散度為。
8.[09]
計算曲面積分，其中是半球面的上則。
解：設為，并取下則，是圍成的區域，由高斯公式得原式
9.[08]
向量場的散度為.向量場的旋度為.10.[08]
設曲面為柱面介于平面與部分的外側，則曲面積分
0，11.[08]計算曲面積分，其中是圓錐面位于平面之間下方部分的下側
解：取上側，則原式
十、微分方程
1.[12]求定解問題的解
解
標準化，由標準方程的解的公式，得
由初值條件，有，于是特解為
2.[12]求微分方程的通解
解
對應的齊次方程為，解得特征根
非齊次項，與標準形式比較，從而得是單根，從而，可設特解為，從而，代入原來的微分方程，得
即
于是根據解的結構定理得，所求通解為
3.[11]求微分方程的通解
解
方程即
4.[11]求微分方程的通解
解
對應的齊次方程的特征方程為
對照非齊次項的標準形式不是特征根，故
特解的待定形式為，代入非齊次方程，得
從而原方程的通解為
5.求解微分方程初值問題
解
是一個特解2
故通解為4
由，又
從而特解為6
6.[10]設都是方程的解，則該方程的通解為
7.[10]求微分方程的通解。
8.[10]求微分方程的通解。
9.[10]求微分方程
10.[10]
求微分方程的通解。
11.[09]
求如下初值問題的解
解：此為可降階微分方程第三種類型。
設，則，原方程化為
變量分離兩邊積分得
由可得
解可得，由可得
所求解為：。
12.[09]
求方程的通解。
解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解為
因為是單特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得
原方程通解為
13.[08]
求微分方程的通解
解：，14.[08]
計算滿足下述方程的可導函數，解：原方程兩端求導得
即，這是標準的一階線性微分方程
原方程令得，代入通解得，從而
15.[08]求解初值問題
解：方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，從而對應通解為
容易看出的一個特解為，因此原方程的通解為
從而，由初值條件可得。
因此
十一、級數
1.[12]判別無窮級數的收斂性。
解
由于，故
而是收斂的的級數的常數倍，從而收斂。由正項級數的比較判別法可知無窮級數收斂。
2.[12]求冪級數的收斂區間，并討論該區間端點處的收斂性。
解
比較標準冪級數，得，從而收斂半徑為，收斂區間為
當時冪級數化為正項級數，由于，從而與調和級數一樣發散；當時冪級數化為交錯級數，不絕對收斂，但，前一部分條件收斂，而后一部分減去的級數為正項級數，由于而收斂，從而由收斂級數的性質，當時冪級數收斂。
3.[12]將函數展開成的冪級數，并指出其收斂區間。
解
利用，從而
4.[11]求冪級數的收斂域.解
當時，由于，級數發散，3
當時，由于，由交錯級數的萊布尼茨判別法知該級數收斂，5
故冪級數收斂域為6
5.[11]將函數展開成麥克勞林級數，并確定其成立的區間.解
由于，3
從而7
6.[11]設函數是以為周期的函數，將其展開成余弦級數，并確定其成立的范圍。.解:，1
所以
7.[10]求冪級數的收斂域。
8.[10]將函數展開成邁克勞林級數，并確定其成立區
9.[10]
設函數是以為周期的周期函數，它在尚的表達式為，將其展開成傅里葉級數，并確定其成立范圍。
10.[09]
證明阿貝爾定理：如果冪級數收斂，則適合不等式的一切冪級數都絕對收斂；如果冪級數發散，則適合不等式的一切使冪級數發散。
11.[09]
將函數展成余弦級數。
12.[09]
求冪級數的收斂半徑和收斂域。
13.[08]
設且，試根據的值判定級數的斂散性。
14.[08]
設是周期為的周期函數，它在上的表達式為，試將展開成傅里葉級數。
15.[08]
設，證明滿足微分方程，并求。
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