華南理工大學期末考試

高等數學（下）A

一、單項選擇題（本大題共15分，每小題3分）

1.若在點處可微，則下列結論錯誤的是

（B）

(A）在點處連續；

(B)

在點處連續；

(C)

在點處存在；

(D)

曲面在點處有切平面

.2.二重極限值為（D）

(A）；

(B)；

(C)；

(D)不存在.3..已知曲面，則（B）

(A）；

(B)；

(C)；

(D)

4.已知直線和平面，則（B）

(A）在內；

(B)

與平行，但不在內；

(C)

與垂直；

(D)

與不垂直，與不平行（斜交）

.5、用待定系數法求微分方程的一個特解時，應設特解的形式

（B）

(A)

；（B）；（C）；（D）

二、填空題

（本大題共15分，每小題3本分）

１.，則

２.曲線L為從原點到點的直線段，則曲線積分的值等于

３.交換積分次序后，４.函數在點沿方向的方向導數為

5.曲面在點處的法線方程是

三、（本題7分）計算二重積分，其中是由拋物線及直線所圍成的閉區域

解：

四、（本題7分）計算三重積分，其中是由柱面及平面所圍成的閉區域

解：

五、（本題7分）計算，其中為旋轉拋物面的上側

解：

六、（本題7分）計算，其中為從點沿橢圓到點的一段曲線

解：

七、（本題6分）設函數，證明：1、在點處偏導數存在，2、在點處不可微

解：,極限不存在故不可微

八、（本題7分）設具有連續二階偏導數，求

解：

九、（本題7分）設是微分方程的一個解，求此微分方程的通解

解：，求得

從而通解為

十、（本題8分）在第一卦限內作橢球面的切平面，使該切平面與三個坐標平面圍成的四面體的體積最小，求切點的坐標

解：設切點，切平面方程為，四面體體積為

令

十一、（非化工類做，本題7分）求冪級數的收斂域及其和函數

解：收斂域上

十二、（非化工類做，本題7分）設函數以為周期，它在上的表達式為求的Fourier級數及其和函數在處的值

解：的Fourier級數為

和函數在處的值為0

十一、（化工類做，本題7分）已知直線和

證明：，并求由和所確定的平面方程

證：，故

由這兩條直線所確定的平面方程為

十二、（化工類做，本題7分）設曲線積分與路徑無關，其中連續可導，且，計算

解：