三、（本題8分）求函數在圓域上的最大值與最小值.解：先求圓內部的駐點得駐點，---------2’

再求圓周上的有約束極值，令

則

若則必有矛盾，若則必有或--------------------------------------5’

由于

從而要求的最大值為4，最小值為---------------------------------------------------1’

四、（本題8分）求錐面被柱面割下部分的曲面面積..解:-------------------------2’

=---------------6’

五、（本題8分）計算

解:原式--------------------2’

------------------------------------4’

--------------------------------------------------------2’

六、（本題8分）計算曲面積分，其中為半球面的上側.補面,取上側------------1’

--------------1’

------------------------------------3’

-------------------------------------------3’

七、（本題7分）計算曲線積分,其中表示包含點在內的簡單閉曲線，沿逆時針方向.解:-----------------2’，逆時針----------3’

----------------------------------------------------------------------2’

八、（本題7分）求如下初值問題的解

.解:由于方程不顯含,故令,則,從而,方程化為,-----------------2’

即

兩端積分得

.---------------3’

代入初始條件可知,.于是，即

兩端積分并代入初始條件,則無論右端為正號,還是負號,其結果均為

------------------2’

十一、（非化工類做）（本題7分）將函數展開成余弦級數.解

由于，-----------------2’

--------------2’

所以

-------------3

十二、（非化工類做）（本題6分）求冪級數的收斂半徑和收斂域.解:

收斂半徑3----------------------4’

收斂域(-3,3)-------------------------2’

十、（化工類做）（本題6分）計算二重積分,其中

是圓域：.---------------------1’

--------------3’

------------------------------2’

十一、（化工類做）（本題7分）求由方程組

所確定的及的導數及.解：由已知

十二、（化工類做）（本題6分）求二元函數在點沿方向的方向導數及梯度，并指出在該點沿那個方向減少得最快？沿那個方向的值不變？

解：---------2’，----------------2’

在該點沿梯度相反方向，即方向減少得最快；-----------------1’

沿與梯度垂直的那個方向，即方向的值不變---------------1’