一。偏導數的幾何應用

1.[2012]

求曲面在點處的切平面和法線方程

解

令，則

從而切點的法向量為

從而切平面為

法線方程為

3、[07]曲線在點的切線方程為.4.[07]（化工類做）在曲面上求出切平面，使所得的切平面與平面平行。

解：曲面的法向量應與平面平面的法向量平行，從而有，由于切點在曲面上

因此切平面為

5.[2006]已知直線和平面則（B）

A、在內

B、與平行，但不在內

C、與垂直

D、不與垂直，不與平行

6.[2006]曲面在點處的法線方程是

7.[2006]（化工類做）

已知直線和，證明：，并求由所確定的平面方程。

證明：直線上任取兩點，則是的方向向量；的一個方向向量為，因為，所以

設所確定的平面方程為，它經過點和點，所以

所求方程為

二。多元函數

1.【2012】設，則

0

2.【2012】設,則

3.【2012】

函數在點處沿指向點方向的方向導數

4.【2012】證明函數在點不連續，但存在有一階偏導數

解

因為

與有關，故二重極限不存在，因而由連續定義函數在點不連續。

又，或，或

于是函數在點存在有一階偏導數。

5.【2012】設,求

解

令，則，于是用公式得

6.[2012]

在曲面上找一點，使它到點的距離最短，并求最短距離。

解

設點為，則

等價于求在約束之下的最小值。令

且由

解得駐點，最短距離為

（令計算起來更加方便，舍去駐點，）

7.[2011]

8.[2011]

9.【2011】設函數有二階連續偏導數,求函數的二階混合偏導數.10.【2011】求二元函數在點處沿方向的方向導數及梯度，并指出在該點沿哪個方向減少得最快？沿哪個方向的值不變？

11.【2011】求函數的極值.12.[2010]

13.[2010]

14.[2010]

15.[2010]

16.[2009]

17.[2009]

18.[2009]

設，其中函數具有二階連續偏導數，求。

解：

19.[2009]

求函數在圓域的最大值和最小值。

解：方法一：當時，找駐點，得唯一駐點

當時，是條件極值，考慮函數，解方程組

可得

所求最大值為，最小值為。

方法二：設，則且，這變成一個簡單的線性規劃問題。最大值為4，最小值為。

方法三：圓域可寫成最大值為4，最小值為。

20.[2009]

（化工類做）

求由方程組所確定的及的導數及。

21.[2009]

（化工類做）

求二元函數在點處沿方向的方向導數及梯度，并指出在該點沿哪個方向減少得最快？沿哪個方向值不變？

22、[2008]

函數在點處可微是它在該點偏導數與連續的必要

條件（填必要、充分或充要），又是它在該點有方向導數的充分

條件（填必要、充分或充要）

23、[2008]

設有連續偏導數，則

24、[2008]（化工類做，即不學級數一章的同學做）給定曲面為常數，其中有連續偏導數，證明曲面的切平面通過一個定點

證：令，則

從而曲面在點處的切平面為，其中為動點。

顯然時成立，故切平面均過。證畢

25、[2008]（化工類做，即不學級數一章的同學做）設是曲線在點處的切向量，求函數在該點沿的方向導數

解：方程組兩端對求導，得

把代入得，解得，于是在點處的切向量為，單位切向量為

所求方向導數為

26、[2008]

設，求

解：兩邊取微分，得

從而，27、[2008]

設，則它有極小值

28、[2008]

設長方形的長、寬、高滿足，求體積最小的長方體。

解：令

則，從而

再由即約束條件，可得，從而

由問題的實際意義可知，當體積最小長方體的長、寬、高均為3。

29、[2007]

設，則

30、[2007]

已知，則

031、[2007]

函數在點處沿從點到點方向的方向導數是

32、[2007]設，其中具有二階連續偏導數，求.解：

33、[2007]（化工類做）證明函數在原點處可微，但在點處不連續

解：由定義

同理

由于

從而函數在原點處可微。

當

由于不存在，因此在點處由于不存在而不連續。

34、[2007]（化工類做）設是由方程所確定的函數，其中可導，求

解：對方程兩邊取微分得

即

35、[2007]求在約束條件下的最大值和最小值

解：令

則

由于最值一定存在，所以最大值為3，最小值為

36.[2006]

若在點處可微，則下列結論錯誤的是（B）

A、在點處連續

B、在點處連續

C、在點處存在D、曲面在點處有切平面

37.[2006]

二重極限值為（D）

A、0

B、1

C、D、不存在38.[2006]，則

39.[2006]

函數在點沿方向的方向導數為

40.[2006]

設函數

證明：1）在點處偏導數存在2）在點處不可微

證明：1）因為

所以在點處偏導數存在2）因為

當取時

隨之不同極限值也不同，即

所以此函數在處不可微。

41.[2006]

設，具有連續二階偏導數，求

解：，42.[2006]

在第一卦限內作橢球面的切平面，使該切平面與三坐標平面所圍成的四面體的體積最小，求切點的坐標。

解：設為橢球面上在第一象限的一點，過此點的切平面方程為

化成截距式方程

此切平面與坐標面圍成四面體的體積為。（下面我們去掉下標0）

要求滿足條件的最小值，只需求滿足條件的最大值。

由拉格朗日乘數法，只需求以下函數的駐點

得

由此得，所以

當時，有最小體積，最小體積為。

切點坐標為。

三。二重積分

1.[2012]

設是所圍成的區域,則

2.[2012]

計算二重積分，其中

解

被積函數有

而積分區域關于對稱，取

從而

3.[2012]設函數在內有連續的導數，且滿足。求

解

用極坐標

兩邊求導得，標準化為

于是

由得，故

4.[2011]

5.[2011]

交換二次積分的積分次序：。

6.[2009]

求錐面被柱面割下部分曲面面積。

解：

7.[2009]（化工類做）

計算二重積分，其中為圓域。

8、[2008]

交換二次積分的積分次序

9、[2008]

求球面含在圓柱面內部的那部分面積

解：上半球面的部分為

10、[2007]

計算二重積分.是由所圍成的閉區域

解：作圖知

11.[2006]

交換積分次序后，12.[2006]

計算二重積分其中是由拋物線及直線所圍成的閉區域。

解：原式

四。三重積分

1.[2012]

設為兩球的公共部分，計算三重積分

解

由

當時用垂直于軸的平面截區域得到截面為圓域，當時用垂直于軸的平面截區域得到截面為圓域，于是分段先二后一積分，得

2.【2011】對于任何不自交的光滑閉曲面上的單位外法向量,所圍成的區域,證明:

3.[2010]

計算三重積分

4.[2009]

計算。

解：此三重積分積分區域在面上的投影為，即圓域的上半部分，設此部分為，則

原式

5、[2008]

計算三重積分，其中.是由單位球面圍成的閉區域

解：由對稱性

從而

6、[2007]

計算三重積分，其中.由所確定

解：由交線（舍去）

于是投影區域為，柱坐標下為

7.[2006]

計算三重積分，其中是由柱面及平面圍成的閉區域。

解：方法一：利用柱面坐標計算,原式

方法二、截片法,原式

五。曲線積分

1.[2012]

設是拋物線介于點與點之間的那一段弧段，則曲線積分

2.[2012]

計算曲線積分，其中為擺線從點到點的弧。

解

由于

補兩條直線是逆向的閉曲線，故

原式

或由曲線積分與路徑無關，直接得

原式得

或取，由曲線積分與路徑無關，直接得，原式

或者由是全微分表達式，湊微分，因

及

得

原式

3.[2011]

4.【2011】計算

5.[2011]

6.[2010]

7.[2010]

計算

8.[2010]

(化工類做)計算

9.[2009]

10.[2009]

計算曲線積分，其中表示包含點在內的簡單閉曲線，沿逆時針方向。

解：在的內部作圓并取逆時針方向，的參數方程為

由格林公式有

11、[2008]

計算曲線積分，其中表示第四象限內以為起點為終點的光滑曲線。

解：由于，從而只要路徑不經過直線，該曲線積分就與路徑無關

取路徑，12、[2007]

設為取逆時針方向的圓周，則曲線積分

13、[2007]設L為直線上由點到點之間的一段，則曲線積分.14.[2006]

曲線為原點到點的直線段，則曲線積分的值等于

15.[2006]

計算，其中為從點沿橢圓到點的一段。

解：原式

16.[2006]

設曲線積分與路徑無關，其中連續可導，且，計算。

解：，由得，所以

六。曲面積分

1.[2012]

計算曲面積分，式中是上半球面的上側.解

補一個平面，取下側，則原式

另法（看看:

歸一化，多次換元夠煩的）

即，上半球面指向上側法線為，從而,原式=

2.[2012]

求曲面包含在圓柱面內那部分（記為）的面積。

解

記為在部分的面積，或者

3.【2011】計算

4.【2011】計算曲面積分

5.[2010]

計算

6.[2010]

計算曲面積分

7.[2009]

向量場的散度為。

8.[2009]

計算曲面積分，其中是半球面的上則。

解：設為，并取下則，是圍成的區域，由高斯公式得

原式

9、[2008]

向量場的散度為.向量場的旋度為.10、[2008]

設曲面為柱面介于平面與部分的外側，則曲面積分

0，11、[2008]計算曲面積分，其中是圓錐面位于平面之間下方部分的下側

解：取上側

則原式

12、[2007]

計算，其中為半球的上側

解：令取下側。則為半球體的外側，由高斯公式

原式

（用對稱性可以簡化計算）

13、[2007]

計算，其中為拋物面

解：，投影區域為

由對稱性，原式

14.[2006]已知曲面的方程為，則（B）

A、B、C、1

D、分析：

15.[2006]計算，其中為旋轉拋物面的上側。

解：方法一、利用兩類曲面積分的聯系

對應側的法向量為

原式=

方法二、利用高斯公式，補充曲面并取下側

原式

七。微分方程

1.[2012]

求定解問題的解

解

標準化，由標準方程的解的公式，得

由初值條件，有，于是特解為

2.[2012]

求微分方程的通解

解

對應的齊次方程為，解得特征根

非齊次項，與標準形式比較，從而得是單根，從而，可設特解為，從而，代入原來的微分方程，得

即

于是根據解的結構定理得，所求通解為

3.[2012]

設函數在內有連續的導數，且滿足。求

解

用極坐標

兩邊求導得，標準化為

于是

由得，故

4.【2011】求微分方程的通解.5.[2011]

6.【2011】(化工類做)求微分方程的通解.7.[2010]

8.[2010]

9.[2010]

.[2010]

(化工類做)求微分方程

11.[2010]

(化工類做)

12.[2009]

求如下初值問題的解

解：此為可降階微分方程第三種類型。

設，則，原方程化為

變量分離兩邊積分得

由可得

解可得，由可得

所求解為：。

13.[2009]

求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解為

因為是單特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得

原方程通解為

14、[2008]

求微分方程的通解

解：，15、[2008]

計算滿足下述方程的可導函數，解：原方程兩端求導得

即，這是標準的一階線性微分方程

原方程令得，代入通解得，從而

16、[2008]（化工類做）求解初值問題

解：方程對應的齊次方程為，它的特征方程為，特征根為，從而對應通解為

容易看出的一個特解為，因此原方程的通解為

從而，由初值條件可得。

因此

17、[2007]

求微分方程的通解.解：原式可以化為一階線性微分方程

由公式

18、[2007]

設具有二階連續導數，且是全微分方程，求其此全微分方程的通解。

解：由全微分方程的條件知

有特解有形式，代入原方程得

從而通解

由初值條件

因此

原方程即為

即

19.[2006]

用待定系數法求微分方程的一個特解時，應設特解的形式（B）

A、B、C、D、20.[2006]

設是微分方程的一個解，求此微分方程的通解。

解：因為，原方程為

這是一個一階線性微分方程，其通解為

八。級數

1.[2012]

判別無窮級數的收斂性。

解

由于，故

而是收斂的的級數的常數倍，從而收斂。由正項級數的比較判別法可知無窮級數收斂。

2.[2012]

求冪級數的收斂區間，并討論該區間端點處的收斂性。

解

比較標準冪級數，得，從而收斂半徑為，收斂區間為

當時冪級數化為正項級數，由于，從而與調和級數一樣發散；當時冪級數化為交錯級數，不絕對收斂，但，前一部分條件收斂，而后一部分減去的級數為正項級數，由于而收斂，從而由收斂級數的性質，當時冪級數收斂。

3.[2012]

將函數展開成的冪級數，并指出其收斂區間。

解

利用，從而

4.【2011】(非化工類做)

5.【2011】(非化工類做)

6.【2011】(非化工類做)

7.[2010]

(非化工類做)

8.[2010]

(非化工類做)

9.[2010]

(非化工類做)

10.[2009]

（非化工類做）

證明阿貝爾定理：如果冪級數收斂，則適合不等式的一切冪級數都絕對收斂；如果冪級數發散，則適合不等式的一切使冪級數發散。

11.[2009]

（非化工類做）

將函數展成余弦級數。

12.[2009]

（非化工類做）

求冪級數的收斂半徑和收斂域。

13.[2008]

設且，試根據的值判定級數的斂散性。

14.[2008]

設是周期為的周期函數，它在上的表達式為，試將展開成傅里葉級數。

15.[2008]

設，證明滿足微分方程，并求。

16.[2007]（非化工類做）

求冪級數的收斂域及其和函數。

17、[2007]（非化工類做）

將函數展成的冪級數。

18、[2007]（非化工類做）

證明:在區間上等式