大學生數學競賽訓練四—級數

一、（20分）設

1）證明：

2）計算

證明：1）設，因為

所以，當時，為常數，即有

（注意這里利用了極限）

2）。

二、（15分）設在點的一個鄰域內有連續導數，且。

證明：因為，由連續性可得，由導數的連續性可得存在的一個鄰域內，這就說明當充分大時，數列是遞減的，并且，由萊布尼茨判別法可得，級數收斂；

由單調增可得，級數是正項級數，對函數在區間運用拉格朗日中值定理，存在有

當充分大時有，因為級數發散，由比較判別法，級數發散。

三、（15分）求級數的和。

解：因為

所以。

四、（15分）設是以為周期的連續函數，是的傅里葉系數，證明貝塞爾不等式

證明：因為，設，則有

以上利用了是正交系，所以

五、（20分）已知，求與軸所圍成圖形的面積。

解：

簡單計算可得僅有兩個解，并且當時，所以所求面積為

六、（15分）判斷級數的斂散性。

解：因為

由比較判別法可得，級數收斂，再用比較判別法可得級數收斂。