第一篇：高等數(shù)學(xué)-11章無(wú)窮級(jí)數(shù)大法師

高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

第十一章

無(wú)窮級(jí)數(shù)

教學(xué)目的： 花飄萬(wàn)家雪花飄萬(wàn)家雪花飄萬(wàn)家雪李斐莉雪模壓花飄萬(wàn)家雪花飄萬(wàn)家雪

1．理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念，掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2．掌握幾何級(jí)數(shù)與P級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。

3．掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會(huì)用根值判別法。4．掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。

5．了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。6．了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。

7．理解冪級(jí)數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。8．了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分），會(huì)求一些冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會(huì)由此求出某些常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

9．了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。

10．掌握ex,sinx,cosx，ln(1?x)和(1?a)?的麥克勞林展開式，會(huì)用它們將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。

11.了解傅里葉級(jí)數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理，會(huì)將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)，會(huì)寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和的表達(dá)式。教學(xué)重點(diǎn) ：

1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別；

3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法；

4、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域；

5、e,sinx,cosx，ln(1?x)和(1?a)的麥克勞林展開式；

6、傅里葉級(jí)數(shù)。教學(xué)難點(diǎn)：

1、比較判別法的極限形式；

2、萊布尼茨判別法；

3、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂；

4、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)；

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5、泰勒級(jí)數(shù)；

6、傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。

§11? 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)? 給定一個(gè)數(shù)列

u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ??

則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?

?叫做常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)? 簡(jiǎn)稱常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)? 記為?un? 即

n?1?

?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)?

?

級(jí)數(shù)的部分和? 作級(jí)數(shù)?un的前n項(xiàng)和

n?1n

sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

i?1?稱為級(jí)數(shù)?un的部分和?

n?1?

級(jí)數(shù)斂散性定義? 如果級(jí)數(shù)?un的部分和數(shù)列{sn}有極限s? 即limsn?s?

n?1n???則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)?un收斂? 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和?

n?1并寫成

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?

s??un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

n?1?如果{sn}沒有極限? 則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)?un發(fā)散?

n?1?n?1?n?

1余項(xiàng)? 當(dāng)級(jí)數(shù)?un收斂時(shí)? 其部分和s n是級(jí)數(shù)?un的和s的近似值? 它們之間的差值

rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ?

?叫做級(jí)數(shù)?un的余項(xiàng)?

n?1

例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ?

n?0?的斂散性? 其中a?0? q叫做級(jí)數(shù)的公比?

例1 討論等比級(jí)數(shù)?aqn(a?0)的斂散性?

n?0?

解 如果q?1? 則部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當(dāng)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閘imsn?? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn收斂? 其和為?

1?q1?qn??n?0

當(dāng)|q|>1時(shí)? 因?yàn)閘imsn??? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

n??n?0?

如果|q|?1? 則當(dāng)q?1時(shí)? sn ?na??? 因此級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

n?0?高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

當(dāng)q??1時(shí)? 級(jí)數(shù)?aqn成為

n?0?

a?a?a?a? ? ? ??

時(shí)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零?

所以sn的極限不存在? 從而這時(shí)級(jí)數(shù)?aqn也發(fā)散?

n?0??a

綜上所述? 如果|q|?1? 則級(jí)數(shù)?aq收斂? 其和為? 如果|q|?1? 則級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

1?qn?0n?0n?

僅當(dāng)|q|?1時(shí)? 幾何級(jí)數(shù)?aqna?0)收斂? 其和為n?0?a?

1?q

例2 證明級(jí)數(shù)

1?2?3?? ? ??n?? ? ? 是發(fā)散的?

證 此級(jí)數(shù)的部分和為

sn?1?2?3? ? ? ? ?n?n(n?1)2?

顯然? limsn??? 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的?

n??

例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)

1111??? ? ? ? ?? ? ? ?

1?22?33?4n(n?1)的收斂性?

解 由于

un?因此

sn?1111??? ? ? ? ? 1?22?33?4n(n?1)111???

n(n?1)nn?1

?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?1212131n11)?1?n?1n?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

從而

limsn?lim(1?1)?1?

n??n??n?1所以這級(jí)數(shù)收斂? 它的和是1?

例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)?

解 因?yàn)?/p>

sn?1111??? ? ? ? ? 1?22?33?4n(n?1)1的收斂性?

n?1n(n?1)?

?(1?1)?(1?1)? ? ? ? ?(1?1)?1?1?

223nn?1n?1從而

limsn?lim(1?n??n??1)?1?

n?1所以這級(jí)數(shù)收斂? 它的和是1?

提示? un?

二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

?n?1?n?1111???

n(n?1)nn?

1性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)?kun也收斂? 且其和為ks?

?n?1?n?1

性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則級(jí)數(shù)?kun也收斂? 且其和為ks?

?n?1?n?1

性質(zhì)1 如果?un?s? 則?kun?ks?

?n?1?n?1

這是因?yàn)? 設(shè)?un與?kun的部分和分別為sn與?n? 則

lim?n?lim(ku1?ku2? ? ? ? kun)?klim(u1?u2? ? ? ? un)?klimsn?ks?

n??n??n??n??高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

?這表明級(jí)數(shù)?kun收斂? 且和為ks?

n?1

性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級(jí)數(shù)?(un?vn)也收斂? 且其和為s???

n?1n?1n?1????n?1?n?1?n?

1性質(zhì)2 如果?un?s、?vn??? 則?(un?vn)?s???

這是因?yàn)? 如果?un、?vn、?(un?vn)的部分和分別為sn、?n、?n? 則

n?1n?1n?1???

lim?n?lim[(u1?v1)?(u2?v2)? ? ? ? ?(un?vn)]

n??n??

?lim[(u1?u2? ? ? ? ?un)?(v1?v2? ? ? ? ?vn)]

n??

?lim(sn??n)?s???

n??

性質(zhì)

3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)? 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性?

比如? 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)10000?級(jí)數(shù)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)?un收斂? 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂? 且其和不變?

n?

1應(yīng)注意的問題? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂? 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂?

例如? 級(jí)數(shù)

1?1)+1?1)+? ? ?收斂于零? 但級(jí)數(shù)1?1?1?1?? ? ?卻是發(fā)散的?

推論? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散? 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散?

級(jí)數(shù)收斂的必要條件?

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?

性質(zhì)5 如果?un收斂? 則它的一般項(xiàng)un 趨于零? 即limun?0?

n?1n?0?

性質(zhì)5 如果?un收斂? 則limun?0?

n?1n?0?

證

設(shè)級(jí)數(shù)?un的部分和為sn? 且limsn?s? 則

n?1n??

limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0?

n?0n??n??n??

應(yīng)注意的問題? 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件?

例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù)

?1111?1??? ? ? ? ?? ? ? ? 是發(fā)散的?

23nn?1n1是發(fā)散的?

nn?1??

例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù)?

證 假若級(jí)數(shù)?1收斂且其和為s? sn是它的部分和?

nn?1?顯然有l(wèi)imsn?s及l(fā)ims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??n??n??

但另一方面?

s2n?sn?1111111?? ? ? ? ???? ? ? ? ???

n?1n?22n2n2n2n21必定發(fā)散?

nn?1?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)?n??

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§11? 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

?

定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界?

n?1?n?1?n?1?n?

1定理2(比較審斂法)設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 且un?vn(n?1? 2? ? ? ?)? 若級(jí)數(shù)?vn收斂?

?n?1?n?1?n?1則級(jí)數(shù)?un收斂? 反之? 若級(jí)數(shù)?un發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?vn發(fā)散?

定理2(比較審斂法)?n?1?n?1

設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 且un?vn(k?0? ?n?N)?

?n?1?n?1?n?1?n?1

若?vn收斂? 則?un收斂? 若?un發(fā)散? 則?vn發(fā)散?

設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 且un?kvn(k?0? ?n?N)? 若級(jí)數(shù)?vn收斂? 則級(jí)數(shù)?un收斂? 反之? 若級(jí)數(shù)?un發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?vn發(fā)散?

證

設(shè)級(jí)數(shù)?vn收斂于和?? 則級(jí)數(shù)?un的部分和

n?1n?1??

sn?u1?u2? ? ? ? ?un?v1? v2? ? ? ? ?vn??(n?1, 2, ? ? ?)?

?即部分和數(shù)列{sn}有界? 由定理1知級(jí)數(shù)?un收斂?

n?1?n?1?n?1

反之? 設(shè)級(jí)數(shù)?un發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?vn必發(fā)散? 因?yàn)槿艏?jí)數(shù)

?n?1?n?1?vn收斂? 由上已證明的結(jié)論? 將有級(jí)數(shù)?un也收斂? 與假設(shè)矛盾?

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證

僅就un?vn(n?1? 2? ? ? ?)情形證明? 設(shè)級(jí)數(shù)?vn收斂? 其和為?? 則級(jí)數(shù)?un的部分和

sn?u1? u2? ? ? ? ? un?v1?v2? ? ? ? ?vn??(n?1, 2, ? ? ?)?

即部分和數(shù)列{sn}有界? 因此級(jí)數(shù)?un收斂?

反之? 設(shè)級(jí)數(shù)?un發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?vn必發(fā)散? 因?yàn)槿艏?jí)數(shù) ?vn收斂? 由上已證明的結(jié)論? 級(jí)數(shù)?un也收斂? 與假設(shè)矛盾?

?n?1?n?1?n?1

推論 設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果級(jí)數(shù)?vn收斂? 且存在自然數(shù)N? 使當(dāng)n?N時(shí)有?n?1?n?1un?kvn(k?0)成立? 則級(jí)數(shù)?un收斂? 如果級(jí)數(shù)?vn發(fā)散? 且當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立? 則級(jí)?數(shù)?un發(fā)散?

n?1

例1 討論p?級(jí)數(shù)

?

?n?111111?1???? ? ? ? ?? ? ? ?

pppppn234n的收斂性? 其中常數(shù)p?0?

例1 討論p?級(jí)數(shù)??n?11(p?0)的收斂性?

np??1111

解 設(shè)p?1? 這時(shí)p?? 而調(diào)和級(jí)數(shù)?發(fā)散? 由比較審斂法知? 當(dāng)p?1時(shí)級(jí)數(shù)?p發(fā)nnn?1nn?1n散?

設(shè)p?1? 此時(shí)有

nn111111?dx?dx?[?](n?2, 3, ? ? ?)?

??n?1npn?1xpp?1(n?1)p?1np?1np?對(duì)于級(jí)數(shù)?[n?211?p?1]? 其部分和 p?1(n?1)n12]?[p?112p?1?]? ? ? ? ?[p?111np?1?11]?1??

(n?1)p?1(n?1)p?1

sn?[1?3高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

因?yàn)閘imsn?lim[1?n??n??1]?1?

p?1(n?1)?111所以級(jí)數(shù)?[收斂? 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知? 級(jí)數(shù)當(dāng)p?1時(shí)?]?pp?1p?1nn?2(n?1)n?1n?收斂?

綜上所述? p?級(jí)數(shù)?1p當(dāng)p?1時(shí)收斂? 當(dāng)p?1時(shí)發(fā)散?

n?1?n

解 當(dāng)p?1時(shí)? 1p?1? 而調(diào)和級(jí)數(shù)?1發(fā)散? 由比較審斂法知?

nnn?1n??當(dāng)p?1時(shí)級(jí)數(shù)?n?11發(fā)散?

np

當(dāng)p?1時(shí)?

?nn111111?dx?dx?[?](n?2, 3, ? ? ?)?

??pppp?1p?1n?1n?1p?1nnx(n?1)n而級(jí)數(shù)?[n?211?]是收斂的? 根據(jù)比較審斂法的推論可知?

p?1p?1(n?1)n?級(jí)數(shù)?n?11當(dāng)p?1時(shí)收斂? np提示?

?級(jí)數(shù)?[n?211?]的部分和為 p?1p?1(n?1)n12]?[p?112p?1?]? ? ? ? ?[p?111np?1?11]?1??

(n?1)p?1(n?1)p?1

sn?[1?3因?yàn)閘imsn?lim[1?n??n??1]?1?

p?1(n?1)?所以級(jí)數(shù)?[n?211?]收斂?

p?1p?1(n?1)n高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

p?級(jí)數(shù)的收斂性?

p?級(jí)數(shù)?1p當(dāng)p?1時(shí)收斂? 當(dāng)p?1時(shí)發(fā)散?

n?1?n?

例2 證明級(jí)數(shù)?n?11n(n?1)是發(fā)散的?

證 因?yàn)?n(n?1)?1(n?1)2?1?

n?1?而級(jí)數(shù)?n?11111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是發(fā)散的?

n?123n?1根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的?

定理3(比較審斂法的極限形式)?n?1?n?1

設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果limunvn?l(0?l???)?

n???n?1?n?1則級(jí)數(shù)?un和級(jí)數(shù)?vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散?

定理3(比較審斂法的極限形式)?n?1?n?1

設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

(1)如果limn??unvnunvn?n?1?n?1?l(0?l???)? 且級(jí)數(shù)?vn收斂? 則級(jí)數(shù)?un收斂?

(2)如果limn???l?0或limn??unvn?n?1?n?1???? 且級(jí)數(shù)?vn發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?un發(fā)散?

定理3(比較審斂法的極限形式)

設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

(1)如果lim(un/vn)?l(0?l???)? 且?vn收斂? 則?un收斂?

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(2)如果lim(un/vn)?l(0?l???)? 且?vn發(fā)散? 則?un發(fā)散?

證明 由極限的定義可知? 對(duì)??1l? 存在自然數(shù)N? 當(dāng)n?N時(shí)? 有不等式 l?u1113l?n?l?l?

即lvn?un?lvn?

222vn2再根據(jù)比較審斂法的推論1? 即得所要證的結(jié)論?

例3 判別級(jí)數(shù)?sin1的收斂性?

n?1?nsin

解 因?yàn)?limn??1?n?1? 而級(jí)數(shù)1發(fā)散?

?1n?1nn?根據(jù)比較審斂法的極限形式? 級(jí)數(shù)?sinn?11發(fā)散?

n?

例4 判別級(jí)數(shù)?ln(1?n?11)的收斂性?

n2ln(1?

解 因?yàn)?limn??1)?21n?1? 而級(jí)數(shù)收斂?

?21n?1n2n?根據(jù)比較審斂法的極限形式? 級(jí)數(shù)?ln(1?n?11)收斂?

2n

定理4(比值審斂法? 達(dá)朗貝爾判別法)?

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于??

n?1

limn??un?1un???

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)??1(或limn??un?1un??)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)? ?1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

定理4(比值審斂法? 達(dá)朗貝爾判別法)?

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un滿足limn?1un?1un??? 則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂?

n??當(dāng)??1(或limn??un?1un??)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)? ?1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

?

定理4(比值審斂法? 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果

n?1limn??un?1un???

則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)??1(或limn??un?1un??)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)? ?1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

例5 證明級(jí)數(shù)1??是收斂的?

解 因?yàn)?limn??1111?? ? ? ? ?? ? ? ? 11?21?2?31?2?3 ? ? ?(n?1)un?1un? limn??1?2?3 ? ? ?(n?1)1?2?3 ? ? ? n? limn??1?0?1?

n根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?

例6 判別級(jí)數(shù)11?21?2?3n!?2?? ? ? ? ?? ? ? ? 的收斂性?

3n10101010

解 因?yàn)?limn??un?1un(n?1)!10nn?1? lim?? lim???

n?1n!n??10n??10根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散?

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例7 判別級(jí)數(shù)?1的收斂性?

(2n?1)?2nn???

解 limn??un?1un? limn??(2n?1)?2n(2n?1)?(2n?2)?1?

這時(shí)??1? 比值審斂法失效? 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性?

?111?2? 而級(jí)數(shù)?

因?yàn)槭諗? 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?

2(2n?1)?2nnn?1n?111?2? 而級(jí)數(shù)?

解 因?yàn)槭諗? 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?

2(2n?1)?2nnnn?1

提示? limn??un?1un? limn??(2n?1)?2n(2n?1)?(2n?2)??1? 比值審斂法失效?

因?yàn)?11?2? 而級(jí)數(shù)(2n?1)?2nn?n?11收斂? 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?

n

2定理5(根值審斂法? 柯西判別法)

設(shè)?un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于??

n?1?

limn??nun???

n則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)??1(或limn??un???)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

定理5(根值審斂法? 柯西判別法)?

若正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un滿足limn?1nn??un??? 則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂?

當(dāng)??1(或limn??nun???)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

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定理5(根值審斂法? 柯西判別法)?

設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果

n?1

limn??nun???

n則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)??1(或limn??un???)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

例8 證明級(jí)數(shù)1?12?13? ? ? ? ?1n? ? ? ? 是收斂的?

23n并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差?

解 因?yàn)?limn??nun? limnn??11? lim?0?

nn??nn所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?

以這級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為

|rn|?

?

?111??? ? ? ?

(n?1)n?1(n?2)n?2(n?3)n?3111??? ? ? ? ?

(n?1)n?1(n?1)n?2(n?1)n?31?

n(n?1)n?

例6判定級(jí)數(shù)?n?12?(?1)n2n的收斂性?

解 因?yàn)?/p>

limn??nun?lim1n12?(?1)n??

2n??2所以? 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂?

定理6(極限審斂法)

設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

n?1?

(1)如果limnun?l?0(或limnun???)? 則級(jí)數(shù)?un發(fā)散?

n??n???n?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

(2)如果p?1? 而limnpun?l(0?l???)? 則級(jí)數(shù)?un收斂?

n???n?1

例7 判定級(jí)數(shù)?ln(1?12)的收斂性?

n?1?n

解 因?yàn)閘n(1?12)~12(n??)? 故

nn

limn2un?limn2ln(1?12)?limn2?12?1?

n??n??nn??n根據(jù)極限審斂法? 知所給級(jí)數(shù)收斂?

例8 判定級(jí)數(shù)?n?1(1?cos?)的收斂性?

n?1?n

解 因?yàn)?/p>

limn??3n2un?limn??3n2n?1(1?cos?n)?limn2n??n?11?212?()???

n2n2根據(jù)極限審斂法? 知所給級(jí)數(shù)收斂?

二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù)? 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的?

交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為?(?1)n?1un? 其中un?0?

n?1??

例如? ?(?1)n?1n?111?cosn? 不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)?

是交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 但?(?1)n?1nnn?1?

定理6（萊布尼茨定理）

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)?(?1)n?1un滿足條件?

n?1?

(1)un?un?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

(2)limun?0?

n??則級(jí)數(shù)收斂? 且其和s?u1? 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|?un?1?

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定理6（萊布尼茨定理）

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)?(?1)n?1un滿足?(1)un?un?1?(2)limun?0?

n??n?1?則級(jí)數(shù)收斂? 且其和s?u1? 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|?un?1?

簡(jiǎn)要證明? 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn?

由s2n?(u1?u2)?(u3?u4)? ? ? ? ?(u2n 1?u2n)?

及

s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)? ? ? ? ?(u2n?2?u2n?1)?u2n

看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n?u1)? 所以收斂?

設(shè)s2n?s(n??)? 則也有s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??)? 所以sn?s(n??)? 從而級(jí)數(shù)是收斂的? 且sn?u1?

因?yàn)?|rn|?un?1?un?2?? ? ?也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 所以|rn|?un?1?

例9 證明級(jí)數(shù)?(?1)n?1 收斂? 并估計(jì)和及余項(xiàng)?

n?1?1n

證

這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足

(1)un?111??un?1(n?1, 2,? ? ?)?

(2)limun?lim?0?

nn?1n??n??n1?

n?1由萊布尼茨定理? 級(jí)數(shù)是收斂的? 且其和s?u1?1? 余項(xiàng)|rn|?un?1?

三、絕對(duì)收斂與條件收斂?

絕對(duì)收斂與條件收斂?

?n?1?n?1?n?

1若級(jí)數(shù)?|un|收斂? 則稱級(jí)數(shù)?un絕對(duì)收斂? 若級(jí)數(shù)?un

?n?1?n?1收斂? 而級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散? 則稱級(jí)?un條件收斂?

?

例10 級(jí)數(shù)?(?1)n?1n?11n?11是絕對(duì)收斂的? 而級(jí)數(shù)是條件收斂的?

(?1)?2nnn?1?高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

?n?1?n?1

定理7 如果級(jí)數(shù)?un絕對(duì)收斂? 則級(jí)數(shù)?un必定收斂?

值得注意的問題?

?n?1?n?1

如果級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散? 我們不能斷定級(jí)數(shù)?un也發(fā)散?

?

但是? 如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散?

n?1?則我們可以斷定級(jí)數(shù)?un必定發(fā)散?

n?1?這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零? 從而un也不趨向于零? 因此級(jí)數(shù)?un也是發(fā)散的?

n?1

例11 判別級(jí)數(shù)?sinna的收斂性?

2n?1n??1sinna1

解 因?yàn)閨? 而級(jí)數(shù)是收斂的?

|??2nn2n2n?1sinnasinna所以級(jí)數(shù)?|也收斂? 從而級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?

|?22nnn?1n?1???

例12 判別級(jí)數(shù)?(?1)nn?111n2(1?)的收斂性?

nn

2解? 由|un|?11n2111(1?)? 有l(wèi)imn|un|?lim(1?)n?e?1?

nn2n??n2n??2?可知limun?0? 因此級(jí)數(shù)?(?1)nn??n?111n2(1?)發(fā)散?

n2n

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§ 11? 3 冪級(jí)數(shù)

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)? 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}? 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? ? ? ? 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)?

記為?un(x)?

n?1?

收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)?

對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0? 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x0)收斂? 則稱

n?1?點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)?un(x)的收斂點(diǎn)?

若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x0)發(fā)散? 則稱

n?1?n?1??點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)?un(x)的發(fā)散點(diǎn)?

n?

1收斂域與發(fā)散域?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域? 所

n?1?有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域?

和函數(shù)?

在收斂域上? 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?

n?1?s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和函數(shù)? 并寫成s(x)??un(x)?

n?1n?1??

∑un(x)是?un(x)的簡(jiǎn)便記法? 以下不再重述?

n?1?

在收斂域上? 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?

s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和函數(shù)? 并寫成s(x)?∑un(x)?

這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域?

部分和?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)?

n?1?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)? 即

sn(x)? u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)?

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在收斂域上有l(wèi)imsn(x)?s(x)或sn(x)?s(x)(n??)?

n??

余項(xiàng)?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差

n?1?

rn(x)?s(x)?sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的余項(xiàng)?

n?1?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn(x)? 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn(x)?s(x)?sn(x)?

在收斂域上有l(wèi)imrn(x)?0?

n??

二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性

冪級(jí)數(shù)?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù)? 這種形式的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)? 它的形式是

a0?a1x?a2x2? ? ? ? ?anxn? ? ? ? ?

其中常數(shù)a0? a1? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù)?

冪級(jí)數(shù)的例子?

1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ? ?

1?x?121x? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?

2!n!

注? 冪級(jí)數(shù)的一般形式是

a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2? ? ? ? ?an(x?x0)n? ? ? ? ?

經(jīng)變換t?x?x0就得a0?a1t?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ?

冪級(jí)數(shù)

1?x?x?x? ? ? ? ?x? ? ? ?

可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù)? 當(dāng)|x|?1時(shí)它是收斂的? 當(dāng)|x|?1時(shí)? 它是發(fā)散的? 因此它的收斂 域?yàn)??1? 1)? 在收斂域內(nèi)有

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?

1?x23n

定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)?anxn當(dāng)x?x0(x0?0)時(shí)收斂? 則適合不等式

n?0?高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

|x|?|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂? 反之? 如果級(jí)數(shù)?anxn當(dāng)

n?0?x?x0時(shí)發(fā)散? 則適合不等式|x|?|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散?

定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)∑anx當(dāng)x?x0(x0?0)時(shí)收斂? 則適合不等式 |x|?|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?

反之? 如果級(jí)數(shù)∑anxn當(dāng) x?x0時(shí)發(fā)散? 則適合不等式|x|?|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散?

提示? ∑anx是n

nn?0?anxn的簡(jiǎn)記形式?

?n??

證

先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)?anx的收斂點(diǎn)? 即級(jí)數(shù)?anxn收斂? 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件? 有n?0n?0nlimanx0?0? 于是存在一個(gè)常數(shù)M? 使

n??| anx0n |?M(n?0, 1, 2, ? ? ?)?

這樣級(jí)數(shù)n?0?anxn的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值

xnxxn?n|?|anx0|?||n?M?||n?

x0x0x0??|anxnn|?|anx0??xnn因?yàn)楫?dāng)|x|?|x0|時(shí)? 等比級(jí)數(shù)?M?||收斂? 所以級(jí)數(shù)?|anx|收斂? 也就是級(jí)數(shù)?anxn絕對(duì)x0n?0n?0n?0收斂?

簡(jiǎn)要證明

設(shè)∑anxn在點(diǎn)x0收斂? 則有anx0n?0(n??)? 于是數(shù)列{anx0n}有界? 即存在一個(gè)常數(shù)M? 使| anx0n |?M(n?0, 1, 2, ? ? ?)?

因?yàn)? |anxnn| ? |anx0xnxxn?n| ? |anx0|?||n ?M?||n?

x0x0x0?而當(dāng)|x|?|x0|時(shí)? 等比級(jí)數(shù)?M?|n?0xnnn

|收斂? 所以級(jí)數(shù)∑|anx|收斂? 也就是級(jí)數(shù)∑anx絕對(duì)收斂?

x0

定理的第二部分可用反證法證明? 倘若冪級(jí)數(shù)當(dāng)x?x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級(jí)數(shù)收斂? 則根據(jù)本定理的第一部分? 級(jí)數(shù)當(dāng)x?x0時(shí)應(yīng)收斂? 這與所設(shè)矛盾? 定理得證?

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推論

如果級(jí)數(shù)?anxn不是僅在點(diǎn)x?0一點(diǎn)收斂? 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂? 則必有一n?0?個(gè)完全確定的正數(shù)R存在? 使得

當(dāng)|x|?R時(shí)? 冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂?

當(dāng)|x|?R時(shí)? 冪級(jí)數(shù)發(fā)散?

當(dāng)x?R與x??R時(shí)? 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

收斂半徑與收斂區(qū)間? 正數(shù)R通常叫做冪級(jí)數(shù)數(shù)?nn?0?anxn的收斂半徑? 開區(qū)間(?R? R)叫做冪級(jí)

??n?0?anx的收斂區(qū)間? 再由冪級(jí)數(shù)在x??R處的收斂性就可以決定它的收斂域? 冪級(jí)數(shù)?anxnn?0的收斂域是(?R, R)(或[?R, R)、(?R, R]、[?R, R]之一?

規(guī)定? 若冪級(jí)數(shù)?anx只在x?0收斂? 則規(guī)定收斂半徑R?0 ? 若冪級(jí)數(shù)?anxn對(duì)一切x都n?0n?0?n?收斂? 則規(guī)定收斂半徑R???? 這時(shí)收斂域?yàn)???, ??)?

定理2

如果lim|n??an?1an|??? 其中an、an?1是冪級(jí)數(shù)?anxn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)? 則這冪級(jí)數(shù)的收斂

n?0?半徑

? ?? ??0??1 ??0?

R??????0 ????

定理2

如果冪級(jí)數(shù)?anxn系數(shù)滿足lim|n?0n???an?1an|??? 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑

? ?? ??0??1R? ??0?

?????0 ????

定理2

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

如果lim|n??an?1an|??? 則冪級(jí)數(shù)?anxn的收斂半徑R為?

n?0?當(dāng)??0時(shí)R?1?? 當(dāng)??0時(shí)R???? 當(dāng)????時(shí)R?0?

an?1xn?1anxnan?1an

簡(jiǎn)要證明? lim|n??|?lim|n??|?|x| ??|x|?

(1)如果0?????? 則只當(dāng)?|x|?1時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂? 故R?

(2)如果??0? 則冪級(jí)數(shù)總是收斂的? 故R????

(3)如果????? 則只當(dāng)x?0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂? 故R?0?

例1 求冪級(jí)數(shù)

1??

n?1?(?1)?n?1nxnx2x3n?1x?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?

n23n的收斂半徑與收斂域?

例1 求冪級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?1xn的收斂半徑與收斂域?

n1a

解

因?yàn)?? lim|n?1|? limn?1?1?

n??an??1nn所以收斂半徑為R?1??1?

?

當(dāng)x?1時(shí)? 冪級(jí)數(shù)成為?(?1)n?1n?1?1? 是收斂的?

n

1當(dāng)x??1時(shí)? 冪級(jí)數(shù)成為?(?)? 是發(fā)散的? 因此? 收斂域?yàn)??1, 1]?

nn?1

例2 求冪級(jí)數(shù)?1?x?1nx n?0n!?12131x?x? ? ? ? ?xn? ? ? ? 2!3!n!的收斂域?

例2 求冪級(jí)數(shù)?1nx的收斂域? n!n?0高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ?高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

1a(n?1)!n!

解

因?yàn)?? lim|n?1| ? lim ? lim?0?

n??an??n??(n?1)!1nn!所以收斂半徑為R???? 從而收斂域?yàn)???, ??)?

例3 求冪級(jí)數(shù)?n!xn的收斂半徑?

n?0?

解 因?yàn)?/p>

?? lim|n??an?1an| ? lim(n?1)!n!n??????

所以收斂半徑為R?0? 即級(jí)數(shù)僅在x?0處收斂?

例4 求冪級(jí)數(shù)??(2n)!2n?0(n!)x2n的收斂半徑?

解 級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng)? 定理2不能應(yīng)用? 可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑?

冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為un(x)?(2n)!(n!)2x2n?

因?yàn)?lim|n??un?1(x)un(x)| ?4|x|2?

當(dāng)4|x|2?1即|x|?111時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)4|x|2?1即|x|?時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 所以收斂半徑為R?? 222[2(n?1)]!(n!)22提示?

un?1(x)un(x)x2(n?1)??(2n?2)(2n?1)(n?1)2x2?

x2n

例5 求冪級(jí)數(shù)??(x?1)n2nn的收斂域?

?n?1tn

解 令t?x?1? 上述級(jí)數(shù)變?yōu)?n?

n?12n

因?yàn)??? lim|n??an?1an2n?n1| ?n?1??

2?(n?1)2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

所以收斂半徑R?2?

?(?1)1

當(dāng)t?2時(shí)? 級(jí)數(shù)成為?? 此級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)t??2時(shí)? 級(jí)數(shù)成為?? 此級(jí)數(shù)收斂? 因此級(jí)nnn?1n?1?tn數(shù)?n的收斂域?yàn)?2?t?2? 因?yàn)?2?x?1?2? 即?1?x?3? 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?1, 3)?

n?12n?

三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)冪級(jí)數(shù)?anx及n?0?nn?0?bnxn分別在區(qū)間(?R, R)及(?R?, R?)內(nèi)收斂? 則在(?R, R)與(?R?, R?)中??較小的區(qū)間內(nèi)有 加法? 減法? n?0??anx??bnx??(an?bn)xn?

n?0?n?0?nn?n?nn?0?anx??bnx??(an?bn)xn?

n?0n?0nn

設(shè)冪級(jí)數(shù)∑anx及∑bnx分別在區(qū)間(?R, R)及(?R?, R?)內(nèi)收斂? 則在(?R, R)與(?R?, R?)中較小的區(qū)間內(nèi)有

加法? ∑anx?∑bnx ?∑(an?bn)x ?

減法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ?

乘法?(?anxn)?(?bnxn)?a0b0?(a0b1?a1b0)x?(a0b2?a1b1?a2b0)x2? ? ? ?

n?0n?0??nnn

?(a0bn?a1bn?1? ? ? ? ?anb0)xn? ? ? ?

性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)?

n?0?

如果冪級(jí)數(shù)在x?R(或x??R)也收斂? 則和函數(shù)s(x)在(?R, R](或[?R, R))連續(xù)?

性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積? 并且有逐項(xiàng)積分公式

n?0?

?0xs(x)dx??(?anxn)dx?0n?0x?n?0??0?xanxndx?n?0n?1??anxn?1(x?I)?

逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑?

性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(?R? R)內(nèi)可導(dǎo)? 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式

n?0?

s?(x)?(?anxn)??n?0?n?0?(anxn)???n?1?nanxn?1(|x|?R)?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

?高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑?

性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)∑anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)?

性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)∑anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積? 并且有逐項(xiàng)積分公式

?0xs(x)dx??(?anx)dx?0n?0x?nn?0??0?xanxdx?nn?0n?1??anxn?1(x?I)?

逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑?

性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)∑anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(?R? R)內(nèi)可導(dǎo)? 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式

s?(x)?(?anxn)??n?0?n?0?(anx)???nn?0?nanxn?1(|x|?R)?

?逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑?

例6 求冪級(jí)數(shù)?1xn的和函數(shù)?

n?0n?1??

解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?1? 1)?

設(shè)和函數(shù)為s(x)? 即s(x)?

在xs(x)?1xn? x?[?1? 1)? 顯然s(0)?1?

n?0n?1?1n?1x的兩邊求導(dǎo)得 n?1n?0??

[xs(x)]??n?0?(??11xn?1)???xn??

n?11?xn?0對(duì)上式從0到x積分? 得

xs(x)??1dx??ln1(?x)?

01?xx1???ln(1?x)0?|x|?11于是? 當(dāng)x ?0時(shí)? 有s(x)??ln(1?x)? 從而s(x)??x?

x? 1 x?0?x?11n?1x??[?xn?1]?dx

因?yàn)閤s(x)??0n?0n?1n?0n?1?

??0x?n?0?xndx??1dx??ln1(?x)?

01?xx所以? 當(dāng)x?0時(shí)? 有s(x)??1ln(1?x)?

x高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

1???ln(1?x)0?|x|?1從而 s(x)??x?

? 1 x?0?

例6 求冪級(jí)數(shù)?1xn的和函數(shù)?

n?0n?1??

解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?1? 1)?

設(shè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x)? 即s(x)?

顯然S(0)?1? 因?yàn)?/p>

xs(x)?x?11n?1x?[xn?1]?dx ???0n?0n?1n?0n?1x??1xn? x?[?1? 1)?

n?0n?1?

??0n?0?xndx??1dx??ln1(?x)(?1?x?1)?

01?xx所以? 當(dāng)0?|x|?1時(shí)? 有s(x)??1ln(1?x)?

x1???ln(1?x)0?|x|?1從而 s(x)??x?

? 1 x?0?

由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性? S(?1)?lim?S(x)?ln2?

x??11???ln(1?x)x?[?1, 0)?(0, 1)

綜合起來(lái)得s(x)??x?

?? 1 x?0提示? 應(yīng)用公式?F?(x)dx?F(x)?F(0)? 即F(x)?F(0)??F?(x)dx? 001?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ? 1?xxx

例7 求級(jí)數(shù)??(?1)nn?1的和?

n?0

解

考慮冪級(jí)數(shù)?1xn? 此級(jí)數(shù)在[?1, 1)上收斂? 設(shè)其和

n?0n?1高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ?高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

?函數(shù)為s(x)? 則s(?1)??(?1)nn?1?

n?0?(?1)1

1在例6中已得到xs(x)?ln(1?x)? 于是?s(?1)?ln2? s(?1)?ln? 即??ln?

22n?0n?1n

§11? 4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

一、泰勒級(jí)數(shù)

要解決的問題? 給定函數(shù)f(x)? 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級(jí)數(shù)”? 就是說(shuō)? 是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù)? 它在某區(qū)間內(nèi)收斂? 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)?

如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù)? 我們就說(shuō)? 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)? 或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(x)能展開成冪級(jí)數(shù)? 而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x)?

泰勒多項(xiàng)式? 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)? 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?

?f(n?1)f??(x0)2!(x?x0)2? ? ? ?

f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)?

其中Rn(x)?(?)(n?1)!(x?x0)n?1(?介于x與x0之間)?

泰勒級(jí)數(shù)? 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f?(x)? f??(x)? ? ? ? ?

f(n)(x)? ? ? ? ? 則當(dāng)n??時(shí)? f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式

pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?成為冪級(jí)數(shù)

f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)?2f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n

f???(x0)3!(x?x0)? ? ? ? ?3f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ?

這一冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)?

顯然? 當(dāng)x?x0時(shí)? f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0)?

需回答的問題? 除了x?x0外? f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂? 如果收斂? 它是否一定收斂于f(x)?

定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)? 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n?0時(shí)的極限為零? 即

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

n??limRn(x)?0(x?U(x0))?

證明

先證必要性? 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù)? 即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ? ?

又設(shè)sn?1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n?1項(xiàng)的和? 則在U(x0)內(nèi)sn?1(x)? f(x)(n??)?

而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)? 于是R n(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??)?

再證充分性? 設(shè)Rn(x)?0(n??)對(duì)一切x?U(x0)成立?

因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?R n(x)? 于是sn?1(x)?f(x)?R n(x)?f(x)?

即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂? 并且收斂于f(x)?

麥克勞林級(jí)數(shù)? 在泰勒級(jí)數(shù)中取x0?0? 得

f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ??

此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)?

展開式的唯一性? 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 那么這種展式是唯一的? 它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致?

這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0?0的某鄰域(?R? R)內(nèi)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 即

f(x)?a0?a1x?a2x2? ? ? ? ?anxn ? ? ? ? ?

那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)? 有 f ?(x)?a1?2a2x?3a3x2? ? ? ??nanxn?1? ? ? ? ?

f ??(x)?2!a2?3?2a3x? ? ? ? ? n?(n?1)anxn?2 ? ? ? ? ?

f ???(x)?3!a3? ? ? ??n?(n?1)(n?2)anxn?3 ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ? f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)? ? ? 2an?1x ? ? ? ? ?

于是得

a0?f(0)? a1?f ?(0)? a2?f??(0)2!? ? ? ?? an?f(n)(0)n!? ? ? ??

應(yīng)注意的問題? 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)? 但是? 反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0?0的某鄰域內(nèi)收斂? 它卻不一定收斂于f(x)? 因此? 如果f(x)在點(diǎn)x0?0處具有各階導(dǎo)數(shù)? 則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái)? 但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂? 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察?

二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

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展開步驟?

第一步

求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)? f ?(x)? f ??(x)? ? ? ? ? f(n)(x)? ? ? ? ?

第二步

求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x?0 處的值?

f(0)? f ?(0)? f ??(0)? ? ? ? ? f(n)(0)? ? ? ? ?

第三步

寫出冪級(jí)數(shù)

f(0)?f?(0)x?并求出收斂半徑R?

第四步

考察在區(qū)間(?R? R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)?0(n??)?

limRn(x)?limn??f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ? ?

f(n?1)(?)n??(n?1)!xn?

1是否為零? 如果Rn(x)?0(n??)? 則f(x)在(?R? R)內(nèi)有展開式

f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ?(?R?x?R)?

例1 將函數(shù)f(x)?ex展開成x的冪級(jí)數(shù)?

解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)?e(n?1? 2? ? ? ?)? 因此f

1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ??

2!n!(n)

x

(n)

(0)?1(n?1? 2? ? ? ?)? 于是得級(jí)數(shù)

它的收斂半徑R????

對(duì)于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)? 有

n?1e?n?1|x||x|x| ?e?

|Rn(x)| ?|?

(n?1)!(n?1)!|x|n?1?0? 所以 lim|Rn(x)|?0? 從而有展開式 而 limn??(n?1)!n??

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!

例2 將函數(shù)f(x)?sin x 展開成x的冪級(jí)數(shù)?

解 因?yàn)閒(n)(x)?sin(x?n? ?)(n?1? 2?

? ? ?)?

2所以f(n)(0)順序循環(huán)地取0? 1? 0? ?1? ? ? ?((n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)? 于是得級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

x?x3x5x2n?1?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ??

3!5!(2n?1)!它的收斂半徑為R????

對(duì)于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)? 有

sin[??(n?1)?2(n?1)!]xn?1 |Rn(x)| ?|因此得展開式

|x|n?1?0(n ??)?

| ?(n?1)!2n?1x3x5n?1x

sinx?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

3!5!(2n?1)!

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!

例3 將函數(shù)f(x)?(1? x)m展開成x的冪級(jí)數(shù)? 其中m為任意常數(shù)?

解? f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為

f ?(x)?m(1?x)m?1?

f ??(x)?m(m?1)(1?x)m?2?

? ? ? ? ? ? ? ? ??

f(n)(x)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)(1?x)m?n?

? ? ? ? ? ? ? ? ??

所以

f(0)?1? f ?(0)?m? f ??(0)?m(m?1)? ? ? ?? f(n)(0)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)? ? ? ? 于是得冪級(jí)數(shù)

1?mx?可以證明

(1?x)m?1?mx?

間接展開法?

例4 將函數(shù)f(x)?cos x展開成x的冪級(jí)數(shù)?

解

已知

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

sinx?x?3!5!(2n?1)!m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ? ?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?

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對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得

2nx2x4nx

cosx?1??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

2!4!(2n)!

例5 將函數(shù)f(x)?1展開成x的冪級(jí)數(shù)?

1?x

2解 因?yàn)??1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)?

1?x把x換成?x2? 得

124n2n?1?x?x? ? ? ? ?(?1)x? ? ? ?(?1?x?1)? 1?x2注? 收斂半徑的確定? 由?1??x2?1得?1?x?1?

例6 將函數(shù)f(x)?ln(1?x)展開成x的冪級(jí)數(shù)?

解

因?yàn)閒?(x)?1?

1?x?1而是收斂的等比級(jí)數(shù)?(?1)nxn(?1?x?1)的和函數(shù)?

1?xn?0

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)nxn? ? ? ? ?

1?x所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分? 得

ln1(?x)?x?x2x3x4xn?1??? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(?1?x?1)?

234n?1xx00

解?

f(x)?ln(1?x)??[ln(1?x)]?dx??x?nn?1dx 1?xxn???0[?(?1)x]dx??(?1)(?1?x?1)?

n?1n?0n?0n

上述展開式對(duì)x?1也成立? 這是因?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)當(dāng)x?1時(shí)收斂? 而ln(1?x)在x?1處有定義且連續(xù)?

例7 將函數(shù)f(x)?sin x展開成(x?

解

因?yàn)?/p>

sinx?sin[并且有 ?4?(x??4)的冪級(jí)數(shù)?

?4)]?2??[cos(x?)?sin(x?)]?

244高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

?1?1?

cosx(?)?1?(x?)2?(x?)4? ? ? ?(???x???)?

42!44!4??1?1?

sinx(?)?(x?)?(x?)3?(x?)5? ? ? ?(???x???)?

443!45!4所以

sinx?2?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3? ? ? ?](???x???)?

242!43!

4例8 將函數(shù)f(x)?

解 因?yàn)?/p>

f(x)?1展開成(x?1)的冪級(jí)數(shù)?

x2?4x?3111111?????

2x?1x?1(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)x?4x?34(1?)8(1?)24 nn1?1?n(x?1)n(x?1)??(?1)

??(?1)4n?08n?02n4n

?n?0?(?1)n(?12n?2?122n?3)(x?1)n(?1?x?3)?

提示?

1?x?2?(x?1)?2(1?x?1x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?)? 24n?1x?1n(x?1)??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0221?2n?1x?1n(x?1)??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0441?4收斂域的確定? 由?1?

展開式小結(jié)? x?1x?1?1和?1??1得?1?x?3?

241?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)? 1?x高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!sinx?x?x3x5x2n?1?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?(???x???)? 3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 2!4!(2n)!ln(1?x)?x?x2x3x4xn?1??? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(?1?x?1)? 234n?1m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?(1?x)m?1?mx?

§11? 5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用

一、近似計(jì)算

5例1 計(jì)算240的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?

5?

4例1 計(jì)算240的近似值(誤差不超過(guò)10)?

解

因?yàn)?240?5243?3?3(1?所以在二項(xiàng)展開式中取m?

511/5)?

3411? x??4? 即得 53111?411?4?91240?3(1??4?2?8?3?12? ? ? ?)?

535?2!35?3!3這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快? 取前兩項(xiàng)的和作為5240的近似值? 其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為

|r2|?3（?3?

?1?411?4?911?4?9?141?????? ? ? ?)52?2!3853?3!31254?4!3161?41112?[1??()? ? ? ? ]

818152?2!3861111?8????

125325?27?40200001?8111)?

534高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 于是取近似式為5240?3(1??高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過(guò)10? 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)? 然后四舍五入? 因此最后得

5?4240?2.9926?

例2 計(jì)算ln 2的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?

例2 計(jì)算ln 2的近似值(誤差不超過(guò)10)?

解

在上節(jié)例5中? 令 x?1可得

ln2?1?1?1? ? ? ? ?(?1)n?11? ? ? ?.23n?4

如果取這級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值? 其誤差為

|rn|?1.n?1為了保證誤差不超過(guò)10?4? 就需要取級(jí)數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.這樣做計(jì)算量太大了? 我們必需用收斂較快的級(jí)數(shù)來(lái)代替它.把展開式

n?1x2x3x4nx

ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)234n?1中的x換成?x ? 得

ln(1?x)??x?x2x3x4??? ? ? ?(1?x?1)? 234兩式相減? 得到不含有偶次冪的展開式?

ln令1?x11?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5? ? ? ?)(?1?x?1)? 1?x35111?x?2? 解出x?? 以x?代入最后一個(gè)展開式? 得

331?x13111111??5??7? ? ? ?)? 333537 ln2?2(??如果取前四項(xiàng)作為ln2的近似值? 則誤差為

|r4|?2(?

?111111????? ? ? ?)9391***12[1??()? ? ? ? ] 11993高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

?2111.???3111?14?***3于是取 ln2?2(1?1?13?1?15?1?17)? 同樣地? 考慮到舍入誤差? 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)?

1?0.33333? 1?13?0.01235? 1?15?0.00082? 1?17?0.00007?

3335373因此得

ln 2?0?6931?

例3 利用sinx?x?1x3 求sin9?的近似值? 并估計(jì)誤差?

3!解

首先把角度化成弧度?

9??從而

?180?9(弧度)??3?20(弧度)?

1?sin??20203!20??? ?

?20其次? 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度? 在sin x 的冪級(jí)數(shù)展開式中令x?1??1???1??????

sin????????? ? ? ? ? 20203!?20?5!?20?7!?20?? 得

??357等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 且各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)減少? 取它的前兩項(xiàng)之和作為sin似值? 起誤差為

1??11?(0.2)5?

|r2|??? ???5!?20?120300000????0.003876因此取

?0.157080? ??20?20?5?20的近?3于是得

sin9??0?15643? 這時(shí)誤差不超過(guò)10?

例4 計(jì)算定積分

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 ?5高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

2??120e?xdx 的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001（取120??0.56419）?

例4 求積分x2??e?xdx的近似值(誤差不超過(guò)10)?

22?4

解 將e的冪級(jí)數(shù)展開式中的x換成?x? 得到被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

e?x2?1??(?x2)1!n?(?x2)22!?(?x2)33!? ? ? ?

x2n

??(?1)(???x???).n!n?0于是? 根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積? 得

2?1??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdx n?0? ?(1?111??? ? ? ?).22?324?5?2!26?7?3!前四項(xiàng)的和作為近似值? 其誤差為

|r4|?所以

2111??

?2?9?4!900008??122e?xdx0?1?(1?111??)?0.5295?

22?324?5?2!26?7?3!

例5 計(jì)算積分

?01sinxxdx 的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?

例5 計(jì)算?1sinx0xdx的近似值(誤差不超過(guò)10)?

?4

解 由于limsinx?1? 因此所給積分不是反常積分? 如果定義被積函數(shù)在x?0處的值為1? 則x?0x高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

它在積分區(qū)間[0? 1]上連續(xù).展開被積函數(shù)? 有

sinxx2x4x6

?1???? ? ? ?(???x???)?

x3!5!7!在區(qū)間[0? 1]上逐項(xiàng)積分? 得

?01sinx111dx?1???? ? ? ? ?

x3?3!5?5!7?7!因?yàn)榈谒捻?xiàng)

11?

?7?7!30000所以取前三項(xiàng)的和作為積分的近似值?

?01sinxxdx?1?11??0.9461?

3?3!5?5!

二、歐拉公式

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)? 設(shè)有復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

(u1?iv1)?(u2?iv2)? ? ? ??(un?ivn)? ? ? ?

其中un ? vn(n?1? 2? 3? ? ? ?)為實(shí)常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù)? 如果實(shí)部所成的級(jí)數(shù)

u1?u2 ? ? ? ? ?un? ? ? ? 收斂于和u? 并且虛部所成的級(jí)數(shù)?

v1?v2? ? ? ? ?vn? ? ? ?

收斂于和v? 就說(shuō)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u?iv?

絕對(duì)收斂?

2如果級(jí)?(un?ivn)的各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)?un收斂?

?vnn?1n?1??則稱級(jí)數(shù)?(un?ivn)絕對(duì)收斂?

n?1?

復(fù)變量指數(shù)函數(shù)? 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ?

2!n!高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

可以證明此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的? 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)e? 在復(fù)平面上我們用它來(lái)定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)? 記為ez ? 即

ez?1?z?1z2? ? ? ? ?1zn? ? ? ? ?

2!n!x

歐拉公式? 當(dāng)x?0時(shí)? z?iy ? 于是

eiy?1?iy?1(iy)2? ? ? ? ?1(iy)n? ? ? ?

2!n!

?1?iy?1y2?i1y3?1y4?i1y5? ? ? ?

2!3!4!5!

?(1?1y2?1y4? ? ? ?)?i(y?1y3?1y5? ? ? ?)

2!4!3!5!

?cos y?isin y?

把y定成x得

e?cos x?i sin x?

這就是歐拉公式?

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式? 復(fù)數(shù)z可以表示為

z?r(cos? ?isin?)?rei? ?

其中r?|z|是z的模? ? ?arg z是z的輻角?

三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系?

因?yàn)閑ix?cos x?i sin x? e?ix?cos x?i sin x? 所以

e+e?2cos x?

e?e?2isin x?

cosx?11ix(e?e?ix)? sinx?(eix?e?ix)?

22iix?ixx?ixix這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式?

復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?

ez1?z2?ez1?ez2?

特殊地? 有ex?iy ?ex ei y ?ex(cos y? isin y)?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

§11.7 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù)

三角函數(shù)系的正交性

三角級(jí)數(shù)? 級(jí)數(shù)

1a0??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1稱為三角級(jí)數(shù)? 其中a0? an? bn(n ? 1? 2? ? ? ?)都是常數(shù)?

三角函數(shù)系?

1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x? ? ? ?? cos nx? sin nx? ? ? ?

三角函數(shù)系的正交性? 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[??? ?]上的積分等于零? 即

????cosnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxsinnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?

???coskxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?

???1?????2?????三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[????]上的積分不等于零? 即

dx?2??

?2cosnxdx??(n ?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx??2(n ?1? 2? ? ? ?)?

二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)

問題? 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 且能展開成三角級(jí)數(shù)?

f(x)?a02??(akcoskx?bksinkx)?

k?1?高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

那么系數(shù)a0? a1? b1? ? ? ? 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分? 則

?????f(x)cosnxdx???a02??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]?

k?1???????類似地???f(x)sinnxdx?bn??

傅里葉系數(shù)?

a0?

an?

bn?1?1???????????f(x)dx?

??1?(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)cosnxdxf(x)sinnxdx?(n ?1? 2? ? ? ?)?

?系數(shù)a0? a1? b1? ? ? ? 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)?

傅里葉級(jí)數(shù)? 三角級(jí)數(shù)

a02??(ancosnx?bnsinnx)

n?1?稱為傅里葉級(jí)數(shù)? 其中a0? a1? b1? ? ? ?是傅里葉系數(shù)?

問題? 一個(gè)定義在(??? ??)上周期為2?的函數(shù)f(x)? 如果它在一個(gè)周期上可積? 則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)? 然而? 函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂? 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來(lái)說(shuō)? 這兩個(gè)問題的答案都不是肯定的?

定理(收斂定理? 狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 如果它滿足? 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)? 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn)? 則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂? 并且

當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)? 級(jí)數(shù)收斂于f(x)?

當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)? 級(jí)數(shù)收斂于[f(x?0)?f(x?0)]?

例1 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[??? ?)上的表達(dá)式為

f(x)????1 ???x?0

0 ?x???高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

12高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?k?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續(xù)? 在其它點(diǎn)處連續(xù)? 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂? 并且當(dāng)x?k?時(shí)收斂于

1[f(x?0)?f(x?0)]?1(?1?1)?0?

22當(dāng)x?k?時(shí)級(jí)數(shù)收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)計(jì)算如下?

an?1?1????????f(x)cosnxdx?f(x)sinnxdx?1?1???(?1)cosnxdx???01?cosnxdx?0(n ?0? 1? 2? ? ? ?)?

???001?

bn?

???(?1)sinnxdx?1??01?sinnxdx

?1cosnx01cosnx?1[]???[?]0?[1?cosn??cosn??1] ?n?nn?4?? n?1, 3, 5, ? ? ?2n

?[1?(?1)]??n?

n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)?4?[sinx?11sin3x? ? ? ? ?sin2(k?1)x? ? ? ? ]

32k?

1(???x???? x ?0? ??? ?2?? ? ? ?)?

例2 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[????)上的表達(dá)式為

f(x)???x ???x?0

0 0?x???將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù).解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續(xù)? 因此? f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x?(2k?1)?處收斂于

11?[f(x?0)?f(x?0)]?(0??)???

222在連續(xù)點(diǎn)x(x?(2k?1)?)處級(jí)數(shù)收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)計(jì)算如下?

a0?1?????f(x)dx?1????0xdx?? ??

2高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

an?1?????f(x)cosnxdx?1????0xcosnxdx?1xsinnxcosnx01[?]?(1?cosn?)??22?nnn??2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?

??n2?

??0 n?2, 4, 6, ? ? ?

bn?

?1????n?f(x)sinnxdx?1????xsinnxdx0?1?[?xcosnxsinnx0cosn? ?]????nnn2(?1)n?1(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)??

??4?(2?cosx?sinx)?121sin2x?(2cos3x?sin3x)233?121sin4x?(2cos5x?sin5x)? ? ? ?(???x??? ? x ???? ?3?? ? ? ?)? 455?

周期延拓? 設(shè)f(x)只在[????]上有定義? 我們可以在[??? ?)或(??? ?]外補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義? 使它拓廣成周期為2?的周期函數(shù)F(x)? 在(??? ?)內(nèi)? F(x)?f(x).例3 將函數(shù)

f(x)??展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

解 所給函數(shù)在區(qū)間[??? ?]上滿足收斂定理的條件? 并且拓廣為周期函數(shù)時(shí)? 它在每一點(diǎn)x處都連續(xù)? 因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在[??? ?]上收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)為?

a0?

an?1??x ? ??x?0

x 0 ? x????1????????f(x)dx?1????0(?x)dx?11??0?xdx???

1?2f(x)cosnxdx?????0(?x)cosnxdx???0?xcosnxdx

??4 n?1, 3, 5, ? ? ??

?2(cosn??1)??n2?

n??0 n?2, 4, 6, ? ? ??

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

bn?1?????f(x)sinnxdx?1????0(?x)sinnxdx?1??0?xsinnxdx?0(n ?1? 2? ? ? ?)?

于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)? ??4(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(???x??)?

2?35

三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)? f(x)cos nx是奇函數(shù)? f(x)sin nx是偶函數(shù)? 故傅里葉系數(shù)為

an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

bn?2??0?f(x)sinnxdx(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

因此奇數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)

?bnsinnx?

n?1?

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)? f(x)cos nx是偶函數(shù)? f(x)sin nx是奇函數(shù)? 故傅里葉系數(shù)為

an?2??0?f(x)cosnxdx(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?0(n?1? 2? ? ? ?)?

因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)

a02??ancosnx?

n?1?

例4 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[??? ?)上的表達(dá)式為f(x)?x? 將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

解 首先? 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)不連續(xù)? 因此f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x?(2k?1)?收斂于f(x)? 在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)收斂于

11[f(??0)?f(???0)]?[??(??)]?0?

其次? 若不計(jì)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 則f(x)是周期為2?的奇函數(shù)? 于是 an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)? 而

bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?xsinnxdx

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

?2

?2[?xcosnx?sinnx]0??2cosnx?(?1)n?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

2nn?nnf(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)?2(sinx?sin2x?sin3x? ? ? ? ?(?1)n?1sinnx? ? ? ?

23n

(???x??? ? x???? ?3? ? ? ? ?)?

例5 將周期函數(shù)u(t)?E|sin1t|展開成傅里葉級(jí)數(shù)? 其中E是正的常數(shù)?

解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)? 因此u(t)的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂于u(t)?

因?yàn)閡(t)是周期為2?的偶函數(shù)? 所以bn?0(n?1? 2? ? ? ?)? 而

an?2??0?u(t)cosntd?t?2??0?t Esincosntdt2

?E??011[sinn(?)t?sinn(?)t]dt

2211cosn(?)tcosn(?)tE2?2]?

?[?011?n?n?22

??4E(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

2(4n?1)?所以u(píng)(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

4E11

u(t)?(??cosnt)(???t???)?

?2n?14n2?1?

奇延拓與偶延拓? 設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[0? ?]上并且滿足收斂定理的條件? 我們?cè)陂_區(qū)間(??? 0)內(nèi)補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義? 得到定義在(??? ?]上的函數(shù)F(x)? 使它在(??? ?)上成為奇函數(shù)(偶函數(shù))? 按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過(guò)程稱為奇延拓(偶延拓)? 限制在(0? ?]上? 有F(x)?f(x)?

例6 將函數(shù)f(x)?x?1(0?x??)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)?

解

先求正弦級(jí)數(shù)? 為此對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓?

bn?2??0?f(x)sinnxdx?2??0?(x?1)sinnxdx?2?[?xcosnxsinnxcosnx???]0 2nnn高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

?2???2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?2n(1??cosn??cosn?)???

??

2n??? n?2, 4, 6, ? ? ?n?函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)展開式為

x?1?2[(??2)sinx??sin2x?1(??2)sin3x??sin4x? ? ? ? ](0?x??)?

?234在端點(diǎn)x?0及x??處? 級(jí)數(shù)的和顯然為零? 它不代表原來(lái)函數(shù)f(x)的值?

再求余弦級(jí)數(shù)? 為此對(duì)f(x)進(jìn)行偶延拓?

an?2??0?f(x)cosnxdx?2??0?(x?1)cosnxdx?2?[?xsinnxcosnxsinnx???]0 nnn20 n?2, 4, 6, ? ? ? ??

?2(cosn??1)??4?

?2 n?1, 3, 5, ? ? ? n???n?2

a0? 2??0?2x2?(x?1)dx?[?x]0???2

?2函數(shù)的余弦級(jí)數(shù)展開式為

x?1?

§11? 8 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

我們所討論的周期函數(shù)都是以2?為周期的? 但是實(shí)際問題中所遇到的周期函數(shù)? 它的周期不一定是2?? 怎樣把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級(jí)數(shù)呢？

問題? 我們希望能把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級(jí)數(shù)? 為此我們先把周期為2l的周期函數(shù)f(x)變換為周期為2?的周期函數(shù)?

令x?l ?411?1?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(0?x??)?

2?35?t及f(x)?f(l?t)?F(t)? 則F(t)是以2?為周期的函數(shù)?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

這是因?yàn)镕(t?2?)?f[l(t?2?)]?f(lt?2l)?f(lt)?F(t)?

???于是當(dāng)F(t)滿足收斂定理的條件時(shí)? F(t)可展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

F(t)?其中

an?a02??(ancosnt?bnsinnt)?

n?1?????1?F(t)cosntdt?(n?0? 1? 2? ? ? ?)? bn?F(t)sinntdt(n?1? 2? ? ? ?)?

????1?從而有如下定理?

定理 設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件? 則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)?a0n?xn?x??(ancos?bnsin)?

2n?1lln?xdx(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

ln?xdx(n?1? 2? ? ? ?)?

l?其中系數(shù)an ? bn 為

an??f(x)cosl?l

bn??f(x)sinl?l

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)?

n?x

f(x)??bnsin?

ln?1?1l1l其中bn?2ln?xf(x)sindx(n ? 1? 2? ? ? ?)?

?0ll

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)?

f(x)?其中an?2lla0?n?x??ancos?

2n?1ln?x?0f(x)cosldx(n ? 0? 1? 2? ? ? ?)?

例1 設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù)? 它在[?2? 2)上的表達(dá)式為

f(x)???0 ?2?x?0(常數(shù)k?0)?

k 0?x?2?將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

解

這里l?2?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

an?1?kcosn?xdx?[ksinn?x]0?0(n?0)?

022n?2

a0?1?0dx?1?kdx?k?

2?220021

bn?22k?? n?1, 3, 5, ? ? ? n?xkn?x2kksindx?[?cos]?(1?cosn?)? n??0?02n?2n???0 n?2, 4, 6, ? ? ?2于是

?x13?x15?x

f(x)?k?2k(sin?sin?sin? ? ? ?)

2?23252(???x???? x?0? ?2? ?4?

? ? ?? 在x?0? ?2? ?4? ? ? ? 收斂于k)?

2?pxl 0?x??2展開成正弦級(jí)數(shù)?

例2

將函數(shù)M(x)??2p(l?x)l? ?x?l22?

解

對(duì)M(x)進(jìn)行奇延拓? 則

an?0(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?lllp(l?x)n?x22pxn?xn?xM(x)sindx?[sindx?sindx]?

l?0??ll02l2l2l對(duì)上式右邊的第二項(xiàng)? 令t?l?x? 則

l0ptn?(l?t)22pxn?x

bn?[?sindx??lsin(?dt)]

l02l2l2ll22pxn?xn?tn?12ptsindx?(?1)?sindt]?

?[?002l2ll當(dāng)n?2? 4? 6? ? ? ?時(shí)? bn?0? 當(dāng)n?1? 3? 5? ? ? ?時(shí)?

bn?于是得

M(x)?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 4p2l?l202pln?xn?xsindx?22sin?

l2n?2pl?2(sin?xl?13?x15?xsin?sin? ? ? ?)(0?x?l)?

22ll35高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 §11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

第二篇：高等數(shù)學(xué)講義- 無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三）

高等數(shù)學(xué)講義--

無(wú)窮級(jí)數(shù)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三)

第八章

無(wú)窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)三）

引言：所謂無(wú)窮級(jí)數(shù)就是無(wú)窮多項(xiàng)相加，它與有限項(xiàng)相加有本質(zhì)不同，歷史上曾經(jīng)對(duì)一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)問題引起爭(zhēng)論。例如：

ΛΛ+-++-+-+1)1(1111n

歷史上曾有三種不同看法，得出三種不同的“和”

第一種

0)11()11()11(=+-++-+-ΛΛ

第二種

1)11()11()11(1=-------ΛΛ

第三種

設(shè)S

n

=+-++-+-+ΛΛ1)1(1111

則[]S

=+-+--Λ11111,1S

S

=-,12=S

1=

S

這種爭(zhēng)論說(shuō)明對(duì)無(wú)窮多項(xiàng)相加，缺乏一種正確的認(rèn)識(shí)。

1)

什么是無(wú)窮多項(xiàng)相加？如何考慮？

2)

無(wú)窮多項(xiàng)相加，是否一定有“和”？

3)

無(wú)窮多項(xiàng)相加，什么情形有結(jié)合律，什么情形有交換律等性質(zhì)。因此對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)的基本概

念和性質(zhì)需要作詳細(xì)的討論。

§

8.1

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（甲）

內(nèi)容要點(diǎn)

一、基本概念與性質(zhì)

1.基本概念

無(wú)窮多個(gè)數(shù)ΛΛ，，,321n

u

u

u

u

依次相加所得到的表達(dá)式ΛΛ+++++=∑∞

=n

n

n

u

u

u

u

u

3211

稱

為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（簡(jiǎn)稱級(jí)數(shù)）。

∑===n

k

k

n

u

S

123n

u

u

u

u

++++L

（Λ,3,2,1=n）稱為級(jí)數(shù)的前n

項(xiàng)的部分和，{}),3,2,1(Λ=n

S

n

稱為部分和數(shù)列。

S

u

S，u

S，S

n

n

n

n

n

n

==∑∑∞=∞

=∞

→1

1)(lim

記以且其和為是收斂的則稱級(jí)數(shù)存在若

n

n

S

∞

→lim

若不存在，則稱級(jí)數(shù)∑∞

=1

n

n

u

是發(fā)散的，發(fā)散級(jí)數(shù)沒有和的概念。

（注：在某些特殊含義下可以考慮發(fā)散級(jí)數(shù)的和，但在基礎(chǔ)課和考研的考試大綱中不作這種要求。）

2．基本性質(zhì)

（1）

如果

∑∑∑∑∑∞=∞

=∞=∞

=∞=++1

1)(,n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

v

b

u

a，bv

au，b，a

v

u

且等于收斂則為常數(shù)皆收斂和

（2）

在級(jí)數(shù)中增加或減少或變更有限項(xiàng)則級(jí)數(shù)的收斂性不變。

（3）

收斂級(jí)數(shù)具有結(jié)合律，也即對(duì)級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)所得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，而且其和不

變。發(fā)散級(jí)數(shù)不具有結(jié)合律，引言中的級(jí)數(shù)可見是發(fā)散的，所以不同加括號(hào)后得到級(jí)數(shù)的情形就不同。

（4）

級(jí)數(shù)

∑∞

=1

n

n

u

收斂的必要條件是

0lim

=∞

→n

n

u

（注：引言中提到的級(jí)數(shù)

∑∞

=+-1

1,)

1(n

n

具有∞→n

lim

()不存在1

1+-n，因此收斂級(jí)數(shù)的必要條件不滿

足，∑∞

=1

n

()

1+-n

發(fā)散。調(diào)和級(jí)數(shù)

∑

∞

=1

n

n

1滿足∞→n

lim

但,01=n

∑∞

=1n

n

1卻是發(fā)散的，所以滿足收斂級(jí)數(shù)的必要條件∞

→n

lim

0=n

u，而

∑

∞

=1

n

n

u

收斂性尚不能確定。）

3．兩類重要的級(jí)數(shù)

（1）等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）

∑∞

=0n

n

ar

()0≠a

當(dāng)1∑∞

=0n

n

ar

r

a

-=

1收斂

當(dāng)1≥r

時(shí)，∑∞

=0

n

n

ar

發(fā)散

（2）p

一級(jí)數(shù)

∑∞

=11n

p

n

當(dāng)p>1時(shí)，∑∞

=11n

p

n

收斂，當(dāng)p

≤1時(shí)∑∞

=11

n

p

n

發(fā)散

（注：p>1時(shí)，∑∞=11

n

p

n的和一般不作要求，但后面用特殊的方法可知∑∞

=1n

6122

π=n）

二、正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法

()Λ,3,2,10=≥n

u

n

若則∑∞

=1

n

n

u

稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這時(shí)(){}n

n

n

S

n

S

S

所以Λ,3,2,11=≥+是單調(diào)

加數(shù)列，它是否收斂就只取決于n

S

是否有上界，因此

∑

∞

=1

n

n

n

S

u

?收斂有上界，這是正項(xiàng)級(jí)數(shù)

比較判別法的基礎(chǔ)，從而也是正項(xiàng)級(jí)數(shù)其它判別法的基礎(chǔ)。

1.比較判別法

如果皆成立時(shí)當(dāng)設(shè)，u，cv

N

n

c

n

n

0,0>≥≥>∑∞=1

n

n

v

收斂，則∑∞=1

n

n

u

收斂；如果∑∞

=1

n

n

u

發(fā)散，則

∑∞

=1

n

n

v

發(fā)散。

2.比較判別法的極限形式

設(shè)),3,2,1(,0,0Λ=≥≥n

v

u

n

n

若∞

→n

lim

A

v

u

n

n

=

1)

當(dāng)0∑∞

=1n

n

u

與

∑∞

=1

n

n

v

同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。

2)

當(dāng)A=0時(shí)，若

∑∞

=1

n

n

v

收斂，則

∑∞

=1

n

n

u

收斂。

3)

當(dāng)A=+∞時(shí)，若

∑∞

=1

n

n

u

收斂，則

∑∞

=1

n

n

v

收斂。

3．比值判別法（達(dá)朗倍爾）

設(shè)n

u

>0，而∞

→n

lim

ρ=+n

n

u

u

1）

當(dāng)ρ∑∞

=1

n

n

u

收斂

2）

當(dāng)ρ>1時(shí)(包括ρ=+∞)，則

∑∞

=1

n

n

u

發(fā)散

3）

當(dāng)ρ=1時(shí)，此判別法無(wú)效（注：如果∞

→n

lim

n

n

u

u

+不存在時(shí)，此判別法也無(wú)法用）

4．根值判別法（柯西）

設(shè)n

u

≥0，而∞

→n

lim

ρ=n

n

u

1）

當(dāng)ρ∑∞

=1

n

n

u

收斂

2）

當(dāng)ρ>1時(shí)(包括ρ=+∞)，則∑∞

=1

n

n

u

發(fā)散

3）

當(dāng)ρ=1時(shí)，此判別法無(wú)效

事實(shí)上，比值判別法和根值判別法都是與等比級(jí)數(shù)比較得出相應(yīng)的結(jié)論，應(yīng)用時(shí)，根據(jù)所給級(jí)數(shù)的形狀有不同的選擇，但它們?cè)讦?1情形下都無(wú)能為力。數(shù)學(xué)上有更精細(xì)一些的判別法，但較復(fù)雜，對(duì)考研來(lái)說(shuō)不作要求。

三、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其萊布尼茲判別法

1．交錯(cuò)級(jí)數(shù)概念

若n

u

>0,∑

∞

=1

n

n

n

u

1)1(+-稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。

2．萊布尼茲判別法

設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)

∑

∞

=1

n

n

n

u

1)1(+-滿足：

1）≤+1n

u

n

u),3,2,1(Λ=n

2)

∞

→n

lim

n

u

=0，則

∑

∞

=1

n

n

n

u

1)

1(+-收斂，且0=1

n

n

n

u

1)1(+-四、絕對(duì)收斂與條件收斂

1．定理

若

∑

∞

=1

n

n

u

收斂，則∑∞

=1

n

n

u

一定收斂；反之不然。

2．定義

若

∑

∞

=1n

n

u

收斂，則稱∑∞

=1

n

n

u

為絕對(duì)收斂；

若

∑

∞

=1

n

n

u

收斂，而∑∞=1

n

n

u

發(fā)散，則稱∑∞

=1

n

n

u

為條件收斂。

3．有關(guān)性質(zhì)

1）絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)具有交換律，也即級(jí)數(shù)中無(wú)窮多項(xiàng)任意交換順序，得到級(jí)數(shù)仍是絕對(duì)收斂，且其和不變。

2）條件收斂級(jí)數(shù)的正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的級(jí)數(shù)，即∑

∞

=1

n

21（n

u

+n

u）或∑∞

=1

n

21（n

u

—n

u）一定是發(fā)散的。

4．一類重要的級(jí)數(shù)

設(shè)

∑

∞

=1

n

ρ

n

n

1)1(+-

1）

當(dāng)ρ>1時(shí)，∑

∞

=1

n

ρ

n

n

1)1(+-是絕對(duì)收斂的2）

當(dāng)0∑

∞

=1

n

ρ

n

n

1)1(+-是條件收斂的3）

當(dāng)ρ≤0時(shí)，∑

∞

=1

n

ρ

n

n

1)1(+-是發(fā)散的（乙）

典型例題

一、主要用部分和數(shù)列的極限討論級(jí)數(shù)的斂散性

例1．

判定下列級(jí)數(shù)斂散性，若收斂并求級(jí)數(shù)的和。

1）

∑

∞

=1

n)

1()1(1

+++n

n

n

n

2）

∑

∞

=1

n

n

n

1）解：

∑

∞

=1

n)

1()1(1

+++n

n

n

n的=

n

S

∑

=n

k

1)

1()1(1

+++k

k

k

k

=

n

S

∑

=n

k

()()

??

?

??

?-++-+2

1)1()

1(k

k

k

k

k

k

=

∑

=n

k

1)111（+-=+-n

k

k

Θ∞→n

lim

=n

S

∴∑

∞

=1

n

1)

1()1(1

=+++n

n

n

n，收斂

2）解：=

n

S

n

n

225232132-++++Λ

①

21=n

S

14322

12232252321+-+-++++n

n

n

n

Λ

②

①-②得21=n

S

1322

2)212121(221+--++++n

n

n

Λ

=1112

223212)211(21++-+-=---+n

n

n

n

n

Θ∞

→n

lim

=n

S

∴∑

∞

=1

n

n

n

2-=3，收斂

例2

設(shè)數(shù)列{}

∑∞

=--1

1)(n

n

n

n，a

a

n，na

證明收斂級(jí)數(shù)收斂∑∞

=0

n

n

a

收斂

證：由題意可知∞

→n

lim

存在A

na

n

=

∞

→n

lim

=n

S

∞

→n

lim

∑=-=-n

k

k

k

S

a

a

k

1)(存在而=n

S)()(3)(2)(1231201--++-+-+-n

n

a

a

n

a

a

a

a

a

a

Λ

=∑-=-

n

k

k

n

a

na

因此，=∑-=1

0n

k

k

a

n

n

S

na

∞

→n

lim

=∑-=1

n

k

k

a

∞

→n

lim

-n

na

∞

→n

lim

=n

S

S

A

于是級(jí)數(shù)

∑∞

=0

n

n

a

=S

A

-是收斂的二、主要用判別法討論級(jí)數(shù)的斂散性

例1．

設(shè)級(jí)數(shù)

∑

∞

=1

n)0(≥n

n

a

a

收斂，則∑

∞

=1

n

n

a

n

收斂

解：

n

a

n)1(212

2n

a

n

a

n

n

+≤=（幾何平均值≤算術(shù)平均值）

已知

∑

∞

=1

n

收斂故收斂收斂)1

(2112

12n

a，n，a

n

n

n

n

+∑∑∞

=∞

=

再用比較判別法，可知

∑

∞

=1

n

n

a

n

收斂

例2．

正項(xiàng)數(shù)列{}n

a

單調(diào)減少，且

∑

∞

=1

n

n

n

a)1(-發(fā)散，問∑∞

=1

n

n

n

a)1

1（+是否收斂？并說(shuō)明理由。

解：知根據(jù)萊布尼茲判別法可如果存在又單調(diào)減少,0lim,0==∴≥∞

→a，a

a，a

n

n

n

Θ

∑

∞

=1

n

(1)0,n

n

a

a

-∴>收斂,與假設(shè)矛盾,這樣，n

n

n

n

a

a

a

a)1

1()11(,11111+≤+∑

∞

=1

n

n

a)11(+收斂和比較判別法可知∑∞

=1

n

n

n

a)11（+收斂。

例3．

設(shè)?

=4

tan

π

xdx

a

n

n

（1）求

∑

∞

=1

n

n

a

a

n

n

2++的值。

（2）證明：對(duì)任意正常數(shù),0>λ∑∞

=1

n

λ

n

a

n

收斂。

證明：（1）n

a

a

n

n

2++n

=

?

+40

2)tan

1(tan

π

dx

x

x

n

n

1=?

tan

tan

π

x

xd

n)

1(1

+=

n

n

∑

∞

=1

n

n

a

a

n

n

2++=∑∞

=1n)

1(1+n

n

=1

（2）?=40tan

π

xdx

a

n

n

1n

t

dt

t

=+?

+≤

n

dt

t

n

λn

a

n

1)1(1+∴>+,11λΘ∑

∞

=1

n

1+λn

收斂，由比較判別法可知

∑

∞

=1

n

λ

n

a

n

收斂。

例4．

設(shè)有方程并證明證明方程有唯一正實(shí)根正整數(shù)其中，01n

n

x，n

nx

x

=-+

當(dāng)α>1時(shí)，級(jí)數(shù)

∑

∞

=1

n

αn

x

收斂。

:()1n

n

f

x

x

nx

=+-證記

10()0n

x

f

x

nx

n

α-＇>=+>當(dāng)時(shí),[)()0,.n

f

x

+∞故在上單調(diào)增加

(0)10,(1)0,n

n

f

f

n

=-100n

n

n

n

x

nx

x

+-=>由與知

0,n

n

n

x

x

n

n

()n

n

α∞

=∑而正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,所以當(dāng)α>1時(shí)，級(jí)數(shù)

∑

∞

=1

n

αn

x

收斂。

§

8.2

冪級(jí)數(shù)

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)及其收斂域與和函數(shù)（數(shù)學(xué)一）

1．函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

設(shè))(x

u

n),3,2,1(Λ=n

皆定義在區(qū)間I

上，則∑

∞

=1

n)(x

u

n

稱為區(qū)間I

上的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。

2．收斂域

設(shè)I

∈0x，如果常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

∑

∞

=1n)(0x

u

n

收斂，則稱0x

是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞

=1

n)(x

u

n的收斂點(diǎn)，如果

∑

∞

=1

n)(0x

u

n

發(fā)散，則稱0x

是∑∞

=1

n)(x

u

n的發(fā)散點(diǎn)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑∞

=1

n)(x

u

n的所有收斂點(diǎn)構(gòu)成的集

合就稱為收斂域。所有發(fā)散點(diǎn)構(gòu)成的集合你為發(fā)散域。

3．和函數(shù)

在∑

∞

=1

n)(x

u

n的收斂域的每一點(diǎn)都有和，它與x

有關(guān)，因此=)(x

S

∑∞

=1

n)(x

u

n，∈x

收斂域

稱)(x

S

為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

∑

∞

=1

n)(x

u

n的和函數(shù)，它的定義域就是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域。

二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域

1．冪級(jí)數(shù)概念

∑∞

=0

n

n

a

n

x

x)(0-稱為)(0x

x

-的冪級(jí)數(shù)，),2,1,0(Λ=n

a

n

稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，是常數(shù)，當(dāng)0

0=x

時(shí)，∑∞

=0

n

n

a

n

x

稱為x的冪級(jí)數(shù)。一般討論∑∞

=0

n

n

a

n

x

有關(guān)問題，作平移替換就可以得出有關(guān)

∑∞

=0

n

n

a

n

x

x)(0-的有關(guān)結(jié)論。

2．冪級(jí)數(shù)的收斂域

冪級(jí)數(shù)

∑∞

=0

n

n

a

n

x的收斂域分三種情形：

（1）

收斂域?yàn)?,(+∞-∞，亦即

∑∞

=0

n

n

a

n

x

對(duì)每一個(gè)x

皆收斂，我們稱它的收斂半徑+∞=R

（2）

收斂域僅為原點(diǎn)，除原點(diǎn)外冪級(jí)數(shù)∑∞

=0

n

n

a

n

x

皆發(fā)散，我們稱它的收斂半徑0=R。

（3）

收斂域?yàn)?/p>

(][)[]R，R

R

R

R

R

R

R

R

我們稱它的收斂半徑為中的一種或或或，,),(----)0(+∞所以求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R

非常重要，（1）（2）兩種情形的收斂域就確定的。而（3）的情形，還需討論R

±兩點(diǎn)上的斂散性。

lim

()(),(,n

n

n

n

n

n

a

l

a

l

R

l

a

l

+→∞

=+∞=+∞==+∞如果包括或包括則收斂半徑若

0,0),R

l

R

===+∞則若則如果上述兩極限不成立,那么就要用其它方法求收斂

.半徑,后面有所討論

三、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)

1．四則運(yùn)算

設(shè)

∑∞

=0

n

n

a

n

x

∑∞

=21),(;),(n

n

n

R

x

x

g

x

b

R

x

x

f),min()

()()())((),min(),()()(210

000

210R

R

x

x

g

x

f

x

b

a

b

a

b

a

x

b

x

a

R

R

x

x

g

x

f

x

b

a

n

n

n

k

n

k

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

=-∞

=∞

=∞

=ΛΛ則2.分析性質(zhì)

設(shè)冪級(jí)數(shù)

∑∞

=0

n

n

a

n

x的收斂半徑R

0，S(x)

=

∑∞

=0

n

n

a

n

x

為和函數(shù)，則有下列重要性質(zhì)。

（1）且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式內(nèi)可導(dǎo)在，R

R

x

S),()(-

=＇)(x

S

∑∑∑∞=∞

=-∞==＇=＇0

10)()(n

n

n

n

n

n

n

n

n

x

na

x

a

x

a

求導(dǎo)后冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變，因此得出

公式為內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)在，R

R

x

S),()(-),3,2,1(,)1()1()()

(ΛΛ==-k

R

x

x

a

k

n

n

n

x

S

k

n

k

n

n

k

（2）內(nèi)有逐項(xiàng)積分公式在),()(R

R

x

S

∑?∑

?∞=∞

=++==00

01

1)(n

x

n

n

n

n

n

x

x

n

a

dt

t

a

dt

t

S

且這個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑也不變。

（3）若

∑∞

=0

n

n

a

n

x

:)()(則有下列性質(zhì)成立在，R

R

x

x

S

-==

(i)

()

lim

()(lim

()())n

n

n

n

x

R

x

R

n

n

S

x

a

R

S

x

a

R

-+∞

∞

→→-====-∑∑成立成立

(ii)))(1)((1)(0

01001?∑?∑-∞

=+∞

=+-+-=+=R

n

n

n

R

n

n

n

R

n

a

dx

x

S

R

n

a

dx

x

S

成立成立

(iii)

∑∞

=--=11)(n

n

n

R

R

x

x

na

不一定收斂在11

().(())n

n

n

na

x

S

R

S

R

∞

--

+

=＇＇=-∑也即不一定成立

()n

n

n

a

x

x

R

R

∞

==-∑如果在發(fā)散,那么逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)

1()n

n

n

na

x

x

R

R

∞

-==-∑在一定發(fā)散,而逐項(xiàng)積分后的級(jí)數(shù)

().1n

n

n

a

x

x

R

R

n

∞

+==-+∑在有可能收斂

四、冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的基本方法

1．把已知函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式（§

8.3將討論）反過(guò)來(lái)用。

下列基本公式應(yīng)熟背：

01(1)

11n

n

x

x

x

∞

==

0(2)!

n

x

n

x

e

x

n

∞

==21

0(3)(1)sin,(21)!n

n

n

x

x

x

n

+∞

=-=20

(4)(1)cos,(2)!n

n

n

x

x

x

n

∞

=-=1

(5)(1)ln(1),(11)1n

n

n

x

x

x

n

+∞

=-=+-1

(1)(1)

(6)1(1),11()!

n

n

n

x

x

x

n

ααααα∞

=--++=+-L

為實(shí)常數(shù)

2、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法以及等比級(jí)數(shù)求和公式

3、用逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分方法化為和函數(shù)的微分方程從而求出微分方程的解。

五、利用冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)得出有關(guān)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和

（乙）典型例題

例1

求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。

（1）

∑∞

=+0)12(n

n

n

x

（2）∑∞

=+-0

21)1(n

n

n

n

x

解：（1）可求出收斂半徑R=1,收斂域?yàn)椋?1，1）

()(21)2n

n

n

n

n

n

S

x

n

x

nx

x

∞∞∞

====+=+∑∑∑

1101

21x

n

n

x

nt

dt

x

∞-=＇

??=+??-??

∑?

11122111n

n

x

x

x

x

x

x

x

∞=＇＇

?

=+=+?---?∑

211(1,1)(1)1(1)x

x

x

x

x

x

+=

+=

∈----

（2）可以從求出和函數(shù)后，看出其收斂域

[]2

200

(1)2(1)()11n

n

n

n

n

n

S

x

x

x

n

n

∞

∞==+--==++∑∑

1(1)441n

n

n

n

n

n

n

x

x

x

n

∞∞

∞

====+-++∑∑∑

120

()(1),()41,1n

n

n

n

S

x

n

x

S

x

x

x

x

∞

∞

===+==

1()41n

n

S

x

x

n

∞

==+∑

()(1)11x

x

n

n

n

n

x

S

t

dt

n

t

dt

x

x

x

∞∞

+===+==12

()()11(1)x

S

x

x

x

x

＇∴==

11301

1(1)()()441n

n

n

n

n

x

xS

x

x

n

n

-∞

∞

+==--==-+∑∑

4ln(1)

(11)x

x

=---≤11

(1)ln(1)

(11)n

n

n

t

t

t

n

-∞

=-=+--l

l

dx

x

g

x

f

g

f，x

l

n

x

l

n

x

l

x

l

x

l

x

l

l

l

l

Λ

Λπππππ

π

1cos

1sin

0(1,2,)l

l

l

l

n

n

dx

xdx

n

l

l

ππ--?=?==??L

sin

cos

0,(,1,2,)l

l

m

n

x

xdx

m

n

l

l

ππ

-==?L

cos

cos

sin

sin

0(,1,2，)l

l

l

l

m

n

m

n

x

xdx

x

xdx

m

n

m

n

l

l

l

l

ππππ--===≠??L

且

.故稱這個(gè)三角函數(shù)系是正交的二、傅里葉系數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)

[]()2(0)，f

x

l

l

l

l

>-設(shè)以為周期或只定義在上的可積函數(shù)

1()cos,0,1,2,l

n

l

n

a

f

x

xdx

n

l

l

π-==?L

令

1()sin,0,1,2,l

n

l

n

b

f

x

xdx

n

l

l

π-==?L,().n

n

a

b

f

x

則稱為的傅里葉系數(shù)

01(cos

sin)2n

n

n

a

n

n

a

x

b

x

l

l

ππ

∞=++∑三角級(jí)數(shù)

[]()(2，)f

x

l

l

l

-稱為的傅里葉級(jí)數(shù)關(guān)于周期為或只在01()~(cos

sin)2n

n

n

a

n

n

f

x

a

x

b

x

l

l

ππ

∞=++∑記以

(),f

x

值得注意在現(xiàn)在假設(shè)條件下有傅里葉系數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)的相關(guān)概念但并,()f

x

不知道傅里葉級(jí)數(shù)是否收斂更不知道傅里葉級(jí)數(shù)是否收斂于

三、狄利克雷收斂定理

[]()，f

x

l

l

-設(shè)在上定義且滿足

[](1)(),f

x

l

l

-在上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)

[](2)(),f

x

l

l

-在上只有有限個(gè)極值點(diǎn)

[]01(),(cos

sin)(),2n

n

n

a

n

n

f

x

l

l

a

x

b

x

S

x

l

l

ππ

∞=-++=∑則在上的傅里葉級(jí)數(shù)收斂且

[][](),(,)()1

()(0)(0),(,)()21

(0)(0),2

f

x

x

l

l

f

x

S

x

f

x

f

x

x

l

l

f

x

f

l

f

l

x

l

?

?∈-??=++-∈-???-++-=±??當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)

當(dāng)為的第一類間斷點(diǎn)當(dāng)

我們把上述兩個(gè)條件稱為狄利克雷條件

四、正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)

[]1.()2，.f

x

l

l

l

-設(shè)以為周期或在上定義且滿足狄利克雷條件

(1)(),0(0,1,2,)n

f

x

a

n

==L

如果是奇函數(shù)則

02()sin

(1,2,)l

n

n

b

f

x

xdx

n

l

l

π==?L

而

()f

x

這時(shí)的傅里葉級(jí)數(shù)為正弦級(jí)數(shù)

(2)(),0(1,2,3)n

f

x

b

n

==L

如果是偶函數(shù)則

02()cos

(0,1,2,)l

n

n

a

f

x

xdx

n

l

l

π==?L

而

().f

x

這時(shí)的傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)

[][]2.()0，0，,f

x

l

l

設(shè)在上定義且在上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)只有有限個(gè)極值點(diǎn)[]()0,f

x

l

那么在上可以有下列兩個(gè)傅里葉展開式

01(1)

()~cos

2n

n

a

n

f

x

a

l

π∞=+∑

02()cos

(0,1,2,)l

n

n

a

f

x

xdx

n

l

l

π

==?L

其中

(2)

()~sin,(1,2,3)n

n

n

f

x

b

x

n

l

π

∞

==∑L

02()sin

l

n

n

b

f

x

xdx

l

l

π

=?其中

[][)[](1),()0，0;(2),()0,f

x

l

l

f

x

l

-因?yàn)樵谥邢喈?dāng)于從按偶函數(shù)擴(kuò)充定義到在中相當(dāng)于從[)[],0,0，l

l

-按奇函數(shù)擴(kuò)充定義到得出傅里葉級(jí)數(shù)只在上因此為余弦級(jí)數(shù)或正弦級(jí)數(shù)

..都可以至于這些級(jí)數(shù)收斂的和函數(shù)仍按狄利克雷收斂定理的結(jié)論

()乙典型例題

1.()10,51510f

x

x

x

=-≤≤例把展成以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)

51:(10)cos

n

n

a

x

xdx

π

=-?解

512cos

cos

555n

n

xdx

x

xdx

ππ=-??

1055sin

sin

()cos

n

n

n

x

x

x

x

n

n

n

π

π

π

πππ=--?

0=

00,.n

a

n

a

=∴推演過(guò)程中沒有意義要重新求

05

(10)05a

x

dx

=-=?

5110(10)sin

(1)(1,2,)55n

n

n

b

x

xdx

n

n

ππ

=-=-=?L

(1)()10sin

(515)5

n

n

n

f

x

x

x

x

n

π

π∞

=-=-=

2.()2(11)2,f

x

x

x

=+-≤≤例將函數(shù)展成以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)并由此求級(jí)數(shù)

.n

n

∞

=∑的和

:()2，f

x

x

=+解為偶函數(shù)只能展成余弦級(jí)數(shù)即

00

0,2(2)5,n

b

a

x

dx

==+=?

(2)cos()2cos

1n

a

x

n

x

dx

x

n

xdx

ππ=+=??

2(cos

1)

(1,2,)n

n

n

ππ-=

=L

[]1,1,-因?yàn)樗o函數(shù)在上滿足狄氏收斂定理故

[]22

152(cos

1)

2cos(),1,12n

n

x

n

x

n

πππ∞=-+=+-∑

54cos(21)2(21)k

k

x

k

ππ

∞

=+=-+∑

0054

110,2,2(21)(21)8k

k

x

k

k

ππ

∞

∞

===?=-?=++∑∑當(dāng)時(shí)上式又

222221010

1111111(21)(2)(21)4n

k

k

k

n

n

k

k

k

n

∞

∞∞∞

∞======+=+++∑∑∑∑∑

1014143(21)386n

k

n

k

ππ∞

∞====?=+∑∑故

[]3.()，,(),:n

n

f

x

a

b

f

x

ππ-例設(shè)在上可積為的傅里葉系數(shù)試證

222

011()()2N

n

n

n

a

a

b

f

x

dx

π

ππ

=++≤∑?

:N

證明只需證明對(duì)任意正整數(shù)都有

222

011()()2N

n

n

n

a

a

b

f

x

dx

π

ππ

=++≤∑?

01

()(cos

sin)2N

N

n

n

n

a

S

x

a

nx

b

nx

==++∑令

()2

0()()N

f

x

S

x

dx

f

x

dx

π

π

ππ--≤-=???

???

2()()()N

N

f

x

S

x

dx

S

x

dx

π

π

π

π

---+?

?

222

22220211()2()()22N

N

n

n

n

n

n

n

a

a

f

x

dx

a

b

a

b

π

π

ππ-==?=-+++++?∑∑?

2222021()()2N

n

n

n

a

a

b

f

x

dx

π

π

π

=∴++≤∑?

小橋流水人家，古道西風(fēng)瘦馬。夕陽(yáng)西下，斷腸人在天涯。

第三篇：大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 競(jìng)賽訓(xùn)練 級(jí)數(shù)

大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練四—級(jí)數(shù)

一、（20分）設(shè)

1）證明：

2）計(jì)算

證明：1）設(shè)，因?yàn)?/p>

所以，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)，即有

（注意這里利用了極限）

2）。

二、（15分）設(shè)在點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。

證明：因?yàn)椋蛇B續(xù)性可得，由導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性可得存在的一個(gè)鄰域內(nèi)，這就說(shuō)明當(dāng)充分大時(shí)，數(shù)列是遞減的，并且，由萊布尼茨判別法可得，級(jí)數(shù)收斂；

由單調(diào)增可得，級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，對(duì)函數(shù)在區(qū)間運(yùn)用拉格朗日中值定理，存在有

當(dāng)充分大時(shí)有，因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法，級(jí)數(shù)發(fā)散。

三、（15分）求級(jí)數(shù)的和。

解：因?yàn)?/p>

所以。

四、（15分）設(shè)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，是的傅里葉系數(shù)，證明貝塞爾不等式

證明：因?yàn)椋O(shè)，則有

以上利用了是正交系，所以

五、（20分）已知，求與軸所圍成圖形的面積。

解：

簡(jiǎn)單計(jì)算可得僅有兩個(gè)解，并且當(dāng)時(shí)，所以所求面積為

六、（15分）判斷級(jí)數(shù)的斂散性。

解：因?yàn)?/p>

由比較判別法可得，級(jí)數(shù)收斂，再用比較判別法可得級(jí)數(shù)收斂。

第四篇：高等數(shù)學(xué)教案ch 11 無(wú)窮級(jí)數(shù)

x?

5、泰勒級(jí)數(shù)；

6、傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。

§11? 1 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)

一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)? 給定一個(gè)數(shù)列

u1? u2? u3? ? ? ?? un? ? ? ??

則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

u1 ? u2 ? u3 ? ? ? ?? un ? ? ? ?

?叫做(常數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù)? 簡(jiǎn)稱(常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)? 記為?un?

n?1?即

?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ? 其中 ?n?1?n?1

余項(xiàng)? 當(dāng)級(jí)數(shù)?un收斂時(shí)? 其部分和s n是級(jí)數(shù)?un的和s的近似值? 它們之間的差值

?

rn?s?sn?un?1?un?2? ? ? ?叫做級(jí)數(shù)?un的余項(xiàng)?

n?1

例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù))

?aqn?a?aq?aq2? ? ? ? ?aqn? ? ? ?

n?0?的斂散性? 其中a?0? q叫做級(jí)數(shù)的公比?

解 如果q?1? 則部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna????

1?q1?q1?q?aa

當(dāng)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閘imsn?? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn收斂? 其和為?

1?q1?qn??n?0

當(dāng)|q|>1時(shí)? 因?yàn)閘imsn??? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

n??n?0?

如果|q|?1? 則當(dāng)q?1時(shí)? sn ?na??? 因此級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

n?0?

當(dāng)q??1時(shí)? 級(jí)數(shù)?aqn成為

n?0?

a?a?a?a? ? ? ??

時(shí)|q|?1時(shí)? 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零?

所以sn的極限不存在? 從而這時(shí)級(jí)數(shù)?aqn也發(fā)散?

n?0??a

綜上所述? 如果|q|?1? 則級(jí)數(shù)?aq收斂? 其和為? 如果|q|?1? 則級(jí)數(shù)?aqn發(fā)散?

1?qn?0n?0n?

僅當(dāng)|q|?1時(shí)? 幾何級(jí)數(shù)?aqna?0)收斂? 其和為n?0?a?

1?q

例2 證明級(jí)數(shù)

1?2?3?? ? ??n?? ? ?

是發(fā)散的?

證 此級(jí)數(shù)的部分和為

sn?1?2?3? ? ? ? ?n?n(n?1)2?

顯然? limsn??? 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的?

n??

例3 判別無(wú)窮級(jí)數(shù)

解 由于

un?因此

sn?1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 的收斂性?

1?22?33?4n(n?1)111???

n(n?1)nn?11111??? ? ? ? ? 1?22?33?4n(n?1)

?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?從而

limsn?lim(1?n??n??1212131n11)?1?n?1n?11)?1?

n?1所以這級(jí)數(shù)收斂? 它的和是1?

二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

?n?1?n?1性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)?kun也收?n?1?n?1斂? 且其和為ks?(如果級(jí)數(shù)?un收斂于和s? 則級(jí)數(shù)?kun也收斂? 且其和為ks?)?n?1?n?

1這是因?yàn)? 設(shè)?un與?kun的部分和分別為sn與?n? 則

lim?n?lim(ku1?ku2? ? ? ? kun)?klim(u1?u2? ? ? ? un)?klimsn?ks?

n??n??n??n?? ?這表明級(jí)數(shù)?kun收斂? 且和為ks?

n?1

性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)?un、?vn分別收斂于和s、?? 則級(jí)數(shù)?(un?vn)也收斂? 且其和為n?1n?1n?1???s???

這是因?yàn)? 如果?un、?vn、?(un?vn)的部分和分別為sn、?n、?n? 則

n?1n?1n?1???

lim?n?lim[(u1?v1)?(u2?v2)? ? ? ? ?(un?vn)]

n??n??

?lim[(u1?u2? ? ? ? ?un)?(v1?v2? ? ? ? ?vn)]

n??

?lim(sn??n)?s???

n??

性質(zhì)

3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng)? 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性?

比如? 級(jí)數(shù)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)1111??? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

1?22?33?4n(n?1)級(jí)數(shù)10000?級(jí)數(shù)111?? ? ? ? ?? ? ? ? 也是收斂的?

3?44?5n(n?1)?

性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)?un收斂? 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂? 且其和不n?1變?

應(yīng)注意的問題? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂? 則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂?

例如? 級(jí)數(shù)

(1?1)+(1?1)+? ? ?收斂于零? 但級(jí)數(shù)1?1?1?1?? ? ?卻是發(fā)散的?

推論? 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散? 則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散?

級(jí)數(shù)收斂的必要條件?

?

性質(zhì)5 如果?un收斂? 則它的一般項(xiàng)un 趨于零? 即limun?0?

n?1n?0?

（性質(zhì)5的等價(jià)命題：若limun?0，則級(jí)數(shù)?un發(fā)散）

n?0n?1?

證

設(shè)級(jí)數(shù)?un的部分和為sn? 且limsn?s? 則

n?1n??

limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0?

n?0n??n??n??

應(yīng)注意的問題? 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件?

例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù)

?1111?1??? ? ? ? ?? ? ? ? 是發(fā)散的?

23nn?1n1收斂且其和為s? sn是它的部分和?

nn?1??

證 假若級(jí)數(shù)?顯然有l(wèi)imsn?s及l(fā)ims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??n??n??

但另一方面?

s2n?sn?1111111?? ? ? ? ???? ? ? ? ???

n?1n?22n2n2n2n21必定發(fā)散?

nn?1?故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)?n??

§11? 2 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法

正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

?

定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)?un收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界?

n?1?n?1?n?1?n?

1定理2(比較審斂法)設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 且un?vn(n?1? 2? ? ? ?)? 若級(jí)數(shù)?vn收?n?1?n?1?n?1斂? 則級(jí)數(shù)?un收斂? 反之? 若級(jí)數(shù)?un發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?vn發(fā)散?

證

設(shè)級(jí)數(shù)?vn收斂于和?? 則級(jí)數(shù)?un的部分和

n?1n?1??

sn?u1?u2? ? ? ? ?un?v1? v2? ? ? ? ?vn??(n?1, 2, ? ? ?)?

?即部分和數(shù)列{sn}有界? 由定理1知級(jí)數(shù)?un收斂?

n?1?n?1?n?1

反之? 設(shè)級(jí)數(shù)?un發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?vn必發(fā)散? 因?yàn)槿艏?jí)數(shù)

?n?1?n?1?vn收斂? 由上已證明的結(jié)論? 將有級(jí)數(shù)?un也收斂? 與假設(shè)矛盾?

?n?1?n?1?n?1

推論 設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果級(jí)數(shù)?vn收斂? 且存在自然數(shù)N? 使當(dāng)n?N時(shí)?n?1?n?1有un?kvn(k?0)成立? 則級(jí)數(shù)?un收斂? 如果級(jí)數(shù)?vn發(fā)散? 且當(dāng)n?N時(shí)有un?kvn(k?0)成立?

?則級(jí)數(shù)?un發(fā)散?

n?1

例1 討論p?級(jí)數(shù)

?

?n?111111?1???? ? ? ? ?? ? ? ?

pppppn234n 的收斂性? 其中常數(shù)p?0?

解 設(shè)p?1? 這時(shí)1p?1? 而調(diào)和級(jí)數(shù)?1發(fā)散? 由比較審斂法知? 當(dāng)p?1時(shí)級(jí)數(shù)?1pnnn?1nn?1n發(fā)散?

設(shè)p?1? 此時(shí)有

nn111111?dx?dx?[?p?1](n?2, 3, ? ? ?)?

??pppp?1n?1nn?1xp?1(n?1)nn???對(duì)于級(jí)數(shù)?[n?211?]? 其部分和 p?1p?1(n?1)n12]?[p?112p?1?]? ? ? ? ?[p?111np?1?11?

]?1?p?1p?1(n?1)(n?1)

sn?[1?3因?yàn)閘imsn?lim[1?n??n??1]?1?

p?1(n?1)?111所以級(jí)數(shù)?[收斂? 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知? 級(jí)數(shù)當(dāng)p?1?]?pp?1p?1nn?2(n?1)n?1n?時(shí)收斂?

?

綜上所述? p?級(jí)數(shù)?n?11當(dāng)p?1時(shí)收斂? 當(dāng)p?1時(shí)發(fā)散?

pn1?

例2 證明級(jí)數(shù)?n?1n(n?1)是發(fā)散的?

證 因?yàn)?n(n?1)?1(n?1)2?1?

n?1?而級(jí)數(shù)?n?11111??? ? ? ? ?? ? ? ? 是發(fā)散的?

n?123n?1根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的?

?n?1?n?1

定理3(比較審斂法的極限形式)

設(shè)?un和?vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

(1)如果limn??unvnunvn?n?1?n?1?l(0?l???)? 且級(jí)數(shù)?vn收斂? 則級(jí)數(shù)?un收斂?

(2)如果limn???l?0或limn??unvn?n?1?n?1???? 且級(jí)數(shù)?vn發(fā)散? 則級(jí)數(shù)?un發(fā)散?

例3 判別級(jí)數(shù)?sin1的收斂性?

n?1?nsin

解 因?yàn)?limn??1?n?1? 而級(jí)數(shù)1發(fā)散?

?1n?1nn?根據(jù)比較審斂法的極限形式? 級(jí)數(shù)?sinn?11發(fā)散?

n?

例4 判別級(jí)數(shù)?ln(1?n?11)的收斂性?

n2ln(1?

解 因?yàn)?limn??1)?21n?1? 而級(jí)數(shù)收斂?

?21n?1n2n?根據(jù)比較審斂法的極限形式? 級(jí)數(shù)?ln(1?n?11)收斂?

n2?

定理4(比值審斂法? 達(dá)朗貝爾判別法)設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果

n?1limn??un?1un???

則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)??1(或limn??un?1un??)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)? ?1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

例5 證明級(jí)數(shù)1??是收斂的?

解 因?yàn)?limn??1111?? ? ? ? ?? ? ? ? 11?21?2?31?2?3 ? ? ?(n?1)un?1un? limn??1?2?3 ? ? ?(n?1)1?2?3 ? ? ? n? limn??1?0?1?

n根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?

1?2?3n!

例6 判別級(jí)數(shù)1?1?2?? ? ? ? ?? ? ? ? 的收斂性?

23n10101010

解 因?yàn)?limn??un?1un(n?1)!10nn?1? lim?? lim???

n?1n!n??10n??10根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散?

例7 判別級(jí)數(shù)?1的收斂性?

(2n?1)?2nn???

解 limn??un?1un? lim(2n?1)?2nn??(2n?1)?(2n?2)?1?

這時(shí)??1? 比值審斂法失效? 必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性?

?111?2? 而級(jí)數(shù)?

因?yàn)槭諗? 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?

2(2n?1)?2nnn?1n

定理5(根值審斂法? 柯西判別法)

設(shè)?un是正項(xiàng)級(jí)數(shù)? 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于??

n?1?

limnn??un???

n則當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)??1(或limn??un???)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)??1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散?

例8 證明級(jí)數(shù)1?111?3? ? ? ? ?n? ? ? ? 是收斂的?

223n 并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差?

解 因?yàn)?limn??nun? limnn??11? lim?0?

nnn??n所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂?

以這級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為

|rn|?

?

?111??? ? ? ? n?1n?2n?3(n?1)(n?2)(n?3)111??? ? ? ? ?

(n?1)n?1(n?1)n?2(n?1)n?31?

n(n?1)n?

例6判定級(jí)數(shù)?n?12?(?1)n2n的收斂性?

解 因?yàn)?/p>

limn??nun?lim1n12?(?1)n??

2n??2所以? 根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂?

定理6

(極限審斂法)

設(shè)?un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)?

n?1?

(1)如果limnun?l?0(或limnun???)? 則級(jí)數(shù)?un發(fā)散?

n??n???n?1?

(2)如果p?1? 而limnpun?l(0?l???)? 則級(jí)數(shù)?un收斂?

n??n?1?

例7 判定級(jí)數(shù)?ln(1?n?11)的收斂性?

2n

解 因?yàn)閘n(1?11)~(n??)? 故 n2n2n??

limn2un?limn2ln(1?n??121)?limn?2?1?

n??n2n根據(jù)極限審斂法? 知所給級(jí)數(shù)收斂?

?

例8 判定級(jí)數(shù)?n?1(1?cosn?1?n)的收斂性?

解 因?yàn)?/p>

limn??3n2un?limn??3n2n?1(1?cos?n)?limn2n??n?11?212?()???

n2n2根據(jù)極限審斂法? 知所給級(jí)數(shù)收斂?

二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法

交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù)? 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的?

交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為?(?1)n?1un? 其中un?0?

n?1??

例如? ?(?1)n?1n?111?cosn? 不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)?

是交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 但?(?1)n?1nnn?1?

定理6（萊布尼茨定理）

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)?(?1)n?1un滿足條件?

n?1?

(1)un?un?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

(2)limun?0?

n??則級(jí)數(shù)收斂? 且其和s?u1? 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|?un?1?

簡(jiǎn)要證明? 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn?

由s2n?(u1?u2)?(u3?u4)? ? ? ? ?(u2n 1?u2n)?

及

s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)? ? ? ? ?(u2n?2?u2n?1)?u2n

看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n?u1)? 所以收斂?

設(shè)s2n?s(n??)? 則也有s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??)? 所以sn?s(n??)? 從而級(jí)數(shù)是收斂的? 且sn?u1?

因?yàn)?|rn|?un?1?un?2?? ? ?也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 所以|rn|?un?1?

例9 證明級(jí)數(shù)?(?1)n?1 收斂? 并估計(jì)和及余項(xiàng)?

n?1?1n

證

這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足

(1)un?1?1?un?1(n?1, 2,? ? ?)?

(2)limun?lim1?0?

nn?1n??n??n由萊布尼茨定理? 級(jí)數(shù)是收斂的? 且其和s?u1?1? 余項(xiàng)|rn|?un?1?

1三、絕對(duì)收斂與條件收斂?

絕對(duì)收斂與條件收斂?

?n?1?n?1?n?1n?1?

若級(jí)數(shù)?|un|收斂? 則稱級(jí)數(shù)?un絕對(duì)收斂? 若級(jí)數(shù)?un

?n?1?n?1收斂? 而級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散? 則稱級(jí)?un條件收斂?

例10 級(jí)數(shù)?(?1)n?1?n?11n?11是絕對(duì)收斂的? 而級(jí)數(shù)是條件收斂的?

(?1)?2nnn?1?n?1??n?

1定理7 如果級(jí)數(shù)?un絕對(duì)收斂? 則級(jí)數(shù)?un必定收斂?

值得注意的問題?

?n?1?n?1

如果級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散? 我們不能斷定級(jí)數(shù)?un也發(fā)散?

?

但是? 如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)?|un|發(fā)散?

n?1?則我們可以斷定級(jí)數(shù)?un必定發(fā)散?

n?1?這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零? 從而un也不趨向于零? 因此級(jí)數(shù)?un也是發(fā)散的?

n?1

例11 判別級(jí)數(shù)?sinna的收斂性?

2nn?1?

1na1

解 因?yàn)閨sin2|?2? 而級(jí)數(shù)?2是收斂的?

nnn?1nnasinna所以級(jí)數(shù)?|sin2絕對(duì)收斂?

|也收斂? 從而級(jí)數(shù)?2nn?1n?1n

2例12 判別級(jí)數(shù)?(?1)n1n(1?1)n的收斂性?

????n?12n2

解? 由|un|?1n(1?1)n? 有l(wèi)imn2nn??|un|?111lim(1?)n?e?1?

2n??n2可知limun?0? 因此級(jí)數(shù)?(?1)nn??n?1?11n2(1?)發(fā)散?

nn2

§ 11? 3 冪級(jí)數(shù)

一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)? 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}? 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式

u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)? ? ? ? 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)?

記為?un(x)?

n?1?

收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn)?

對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0? 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x0)收斂? 則稱

n?1?點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)?un(x)的收斂點(diǎn)?

若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x0)發(fā)散? 則稱

n?1?n?1??點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)?un(x)的發(fā)散點(diǎn)?

n?

1收斂域與發(fā)散域?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域? 所

n?1? 有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域?

和函數(shù)?

在收斂域上? 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?

n?1?s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和函數(shù)? 并寫成s(x)??un(x)?

n?1n?1??

∑un(x)是?un(x)的簡(jiǎn)便記法? 以下不再重述?

n?1?

在收斂域上? 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x)?

s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和函數(shù)? 并寫成s(x)?∑un(x)?

這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域?

部分和?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)?

n?1?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x)? 即

sn(x)? u1(x)?u2(x)?u3(x)? ? ? ? ?un(x)?

在收斂域上有l(wèi)imsn(x)?s(x)或sn(x)?s(x)(n??)?

n??

余項(xiàng)?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差

n?1?

rn(x)?s(x)?sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)?un(x)的余項(xiàng)?

n?1?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn(x)? 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn(x)?s(x)?sn(x)?

在收斂域上有l(wèi)imrn(x)?0?

n??

二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性

冪級(jí)數(shù)?

函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù)? 這種形式的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù)? 它的形式是

a0?a1x?a2x2? ? ? ? ?anxn? ? ? ? ?

其中常數(shù)a0? a1? a2? ? ? ? ? an ? ? ? ?叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù)?

冪級(jí)數(shù)的例子?

1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ? ?

1?x?121x? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?

2!n!

注? 冪級(jí)數(shù)的一般形式是

a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2? ? ? ? ?an(x?x0)n? ? ? ? ?

經(jīng)變換t?x?x0就得a0?a1t?a2t2? ? ? ? ?antn? ? ? ? ?

冪級(jí)數(shù)

1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn ? ? ? ?

可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù)? 當(dāng)|x|?1時(shí)它是收斂的? 當(dāng)|x|?1時(shí)? 它是發(fā)散的? 因此它的收斂

域?yàn)??1? 1)? 在收斂域內(nèi)有

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?xn? ? ? ? ?

1?x

定理1(阿貝爾定理)如果級(jí)數(shù)?anxn當(dāng)x?x0(x0?0)時(shí)收斂? 則適合不等式

n?0?|x|?|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂? 反之? 如果級(jí)數(shù)?anxn當(dāng)

n?0?x?x0時(shí)發(fā)散? 則適合不等式|x|?|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散?

證

先設(shè)x0是冪級(jí)數(shù)?anx的收斂點(diǎn)? 即級(jí)數(shù)?anxn收斂? 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件?

n?0n?0n有l(wèi)imanx0?0? 于是存在一個(gè)常數(shù)M? 使 n??n?n?| anx0 |?M(n?0, 1, 2, ? ? ?)?

這樣級(jí)數(shù)n?0?anxn的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值

xnxnxnn|?|ax|?||?M?||?

n0nx0x0x0??n|anxn|?|anx0???xnn因?yàn)楫?dāng)|x|?|x0|時(shí)? 等比級(jí)數(shù)?M?||收斂? 所以級(jí)數(shù)?|anx|收斂? 也就是級(jí)數(shù)?anxn絕

x0n?0n?0n?0對(duì)收斂?

定理的

例1 求冪級(jí)數(shù)

n?1?(?1)?n?1nxnx2x3n?1x?x??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?

n23n的收斂半徑與收斂域?

1a

解

因?yàn)?? lim|n?1|? limn?1?1?

n??an??1nn所以收斂半徑為R?1??1?

?

當(dāng)x?1時(shí)? 冪級(jí)數(shù)成為?(?1)n?1n?1?1? 是收斂的?

n

1當(dāng)x??1時(shí)? 冪級(jí)數(shù)成為?(?)? 是發(fā)散的? 因此? 收斂域?yàn)??1, 1]?

nn?1

例2 求冪級(jí)數(shù)?1?x?1nx n!n?0?12131x?x? ? ? ? ?xn? ? ? ? 2!3!n!的收斂域?

1a(n?1)!n!? lim?0?

解

因?yàn)?? lim|n?1| ? limn??an??n??(n?1)!1nn!所以收斂半徑為R???? 從而收斂域?yàn)???, ??)?

例3 求冪級(jí)數(shù)?n!xn的收斂半徑?

n?0?

解 因?yàn)?/p>

?? lim|n??an?1an| ? lim(n?1)!n!n??????

所以收斂半徑為R?0? 即級(jí)數(shù)僅在x?0處收斂?

例4 求冪級(jí)數(shù)??(2n)!2n?0(n!)x2n的收斂半徑?

解 級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng)? 定理2不能應(yīng)用? 可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑?

冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為un(x)?(2n)!(n!)2x2n?

因?yàn)?lim|n??un?1(x)un(x)| ?4|x|2?

當(dāng)4|x|?1即|x|?21112時(shí)級(jí)數(shù)收斂? 當(dāng)4|x|?1即|x|?時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散? 所以收斂半徑為R?? 222[2(n?1)]!x2(n?1)?(2n?2)(2n?1)(n?1)2[(n?1)!]2?提示?

(2n)!2nun(x)x(n!)2un?1(x)x2?

例5 求冪級(jí)數(shù)??(x?1)n2nn的收斂域?

tn?

nn?12n?n?1

解 令t?x?1? 上述級(jí)數(shù)變?yōu)?an?1an

因?yàn)??? lim|n??2n?n1| ?n?1??

2?(n?1)2所以收斂半徑R?2?

?(?1)1

當(dāng)t?2時(shí)? 級(jí)數(shù)成為?? 此級(jí)數(shù)發(fā)散? 當(dāng)t??2時(shí)? 級(jí)數(shù)成為?? 此級(jí)數(shù)收斂? 因此

nn?1nn?1?tn級(jí)數(shù)?n的收斂域?yàn)?2?t?2? 因?yàn)?2?x?1?2? 即?1?x?3? 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?1, 3)?

n?12n?

三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算

設(shè)冪級(jí)數(shù)?anx及n?0?nn?0?bnxn分別在區(qū)間(?R, R)及(?R?, R?)內(nèi)收斂? 則在(?R, R)與(?R?, R?)?中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法? 減法? n?0??anx??bnx??(an?bn)xn?

n?0?n?0?nn?n?n?n?0?anx??bnx??(an?bn)xn?

n?0n?0

設(shè)冪級(jí)數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(?R, R)及(?R?, R?)內(nèi)收斂? 則在(?R, R)與(?R?, R?)中較

小的區(qū)間內(nèi)有

加法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ?

減法? ∑anxn?∑bnxn ?∑(an?bn)xn ?

乘法?(?anx)?(?bnxn)?a0b0?(a0b1?a1b0)x?(a0b2?a1b1?a2b0)x2? ? ? ?

nn?0n?0??

?(a0bn?a1bn?1? ? ? ? ?anb0)xn? ? ? ?

性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)?

n?0?

如果冪級(jí)數(shù)在x?R(或x??R)也收斂? 則和函數(shù)s(x)在(?R, R](或[?R, R))連續(xù)?

性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積? 并且有逐項(xiàng)積分公式

n?0?

?0xs(x)dx??(?anx)dx?0n?0x?nn?0??0anxdx???xn?ann?0n?1xn?1(x?I)?

逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑?

性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)?anxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(?R? R)內(nèi)可導(dǎo)? 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式

n?0?

s?(x)?(?anx)??n?0?nn?0?(anx)???nanxn?1(|x|?R)?

n?1?n?逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑?

例6 求冪級(jí)數(shù)?1xn的和函數(shù)?

n?0n?1??

解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇?1? 1)?

設(shè)和函數(shù)為s(x)? 即s(x)?

在xs(x)?1xn? x?[?1? 1)? 顯然s(0)?1?

n?0n?1?1n?1x的兩邊求導(dǎo)得 n?1n?0???11n?1x)???xn?

[xs(x)]???(?

n?11?xn?0n?0?對(duì)上式從0到x積分? 得

xs(x)??1dx??ln1(?x)?

01?xx

1???ln(1?x)0?|x|?11于是? 當(dāng)x ?0時(shí)? 有s(x)??ln(1?x)? 從而s(x)??x?

x? 1 x?0?x?11n?

1因?yàn)閤s(x)??x??[?xn?1]?dx

0n?0n?1n?0n?1?

??x?0n?0?xndx??0x1dx??ln1(?x)?

1?x所以? 當(dāng)x?0時(shí)? 有s(x)??1ln(1?x)?

x1???ln(1?x)0?|x|?1從而 s(x)??x?

? 1 x?0?

例7 求級(jí)數(shù)??(?1)nn?1?的和?

n?0

解

考慮冪級(jí)數(shù)?1xn? 此級(jí)數(shù)在[?1, 1)上收斂? 設(shè)其和

n?0n?1?函數(shù)為s(x)? 則s(?1)??(?1)nn?1?

n?0?(?1)11?ln?

在例6中已得到xs(x)?ln(1?x)? 于是?s(?1)?ln2? s(?1)?ln? 即?22n?0n?1n

§11? 4 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

一、泰勒級(jí)數(shù)

要解決的問題? 給定函數(shù)f(x)? 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級(jí)數(shù)”? 就是說(shuō)? 是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù)? 它在某區(qū)間內(nèi)收斂? 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x)?

如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù)? 我們就說(shuō)? 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù)? 或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(x)能展開成冪級(jí)數(shù)? 而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x)?

泰勒多項(xiàng)式? 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)? 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)2? ? ? ?

?f(n?1)f(n)(x0)n!(x?x0)n?Rn(x)?

其中Rn(x)?(?)(n?1)!(x?x0)n?1(?介于x與x0之間)?

泰勒級(jí)數(shù)? 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f?(x)? f??(x)? ? ? ? ?

f(n)(x)? ? ? ? ? 則當(dāng)n??時(shí)? f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式

pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?成為冪級(jí)數(shù)

f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)?2f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n

f???(x0)3!(x?x0)? ? ? ? ?3f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ?

這一冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù)?

顯然? 當(dāng)x?x0時(shí)? f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0)?

需回答的問題? 除了x?x0外? f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂? 如果收斂? 它是否一定收斂于f(x)?

定理

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)? 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n?0時(shí)的極限為零? 即

n??limRn(x)?0(x?U(x0))?

證明

先證必要性? 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù)? 即

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?f??(x0)2!(x?x0)? ? ? ? ?2f(n)(x0)n!(x?x0)n? ? ? ? ?

又設(shè)sn?1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n?1項(xiàng)的和? 則在U(x0)內(nèi)sn?1(x)? f(x)(n??)?

而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)? 于是R n(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??)?

再證充分性? 設(shè)Rn(x)?0(n??)對(duì)一切x?U(x0)成立?

因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)?sn?1(x)?R n(x)? 于是sn?1(x)?f(x)?R n(x)?f(x)?

即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂? 并且收斂于f(x)?

麥克勞林級(jí)數(shù)? 在泰勒級(jí)數(shù)中取x0?0? 得

f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ??

此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)?

展開式的唯一性? 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 那么這種展式是唯一的? 它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致?

這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0?0的某鄰域(?R? R)內(nèi)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 即

f(x)?a0?a1x?a2x? ? ? ? ?anx? ? ? ? ?

那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)? 有 f ?(x)?a1?2a2x?3a3x2? ? ? ??nanxn?1? ? ? ? ?

f ??(x)?2!a2?3?2a3x? ? ? ? ? n?(n?1)anx

n?2

2n

? ? ? ? ?

f ???(x)?3!a3? ? ? ??n?(n?1)(n?2)anxn?3 ? ? ? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

? ? ? f(n)(x)?n!an?(n?1)n(n?1)? ? ? 2an?1x ? ? ? ? ?

于是得

a0?f(0)? a1?f ?(0)? a2?f??(0)2!? ? ? ?? an?f(n)(0)n!? ? ? ??

應(yīng)注意的問題? 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù)? 那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)? 但是? 反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0?0的某鄰域內(nèi)收斂? 它卻不一定收斂于f(x)? 因此? 如果f(x)在點(diǎn)x0?0處具有各階導(dǎo)數(shù)? 則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái)? 但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂? 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察?

二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

展開步驟?

是否為零? 如果Rn(x)?0(n??)? 則f(x)在(?R? R)內(nèi)有展開式

f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2!x? ? ? ? ?2f(n)(0)n!xn? ? ? ?(?R?x?R)?

例1 將函數(shù)f(x)?ex展開成x的冪級(jí)數(shù)?

解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(x)?e(n?1? 2? ? ? ?)? 因此f

1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ??

2!n!(n)

x

(n)

(0)?1(n?1? 2? ? ? ?)? 于是得級(jí)數(shù)

它的收斂半徑R????

對(duì)于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)? 有

n?1e?n?1|x||x|x| ?e?

|Rn(x)| ?|?

(n?1)!(n?1)!|x|n?1?0? 所以 lim|Rn(x)|?0? 從而有展開式 而 limn??(n?1)!n??

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!

例2 將函數(shù)f(x)?sin x 展開成x的冪級(jí)數(shù)?

解 因?yàn)閒(n)(x)?sin(x?n? ?)(n?1? 2?

? ? ?)?

2所以f(n)(0)順序循環(huán)地取0? 1? 0? ?1? ? ? ?((n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)? 于是得級(jí)數(shù)

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ??

x?3!5!(2n?1)!它的收斂半徑為R????

對(duì)于任何有限的數(shù)x、?(?介于0與x之間)? 有

sin[??(n?1)?2(n?1)!]xn?1 |Rn(x)| ?|因此得展開式

|x|n?1| ??0(n ??)?

(n?1)!2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

sinx?x?3!5!(2n?1)!

ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!

例3 將函數(shù)f(x)?(1? x)展開成x的冪級(jí)數(shù)? 其中m為任意常數(shù)?

解? f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為

f ?(x)?m(1?x)m?1?

f ??(x)?m(m?1)(1?x)

? ? ? ? ? ? ? ? ??

f(n)(x)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)(1?x)m?n?

? ? ? ? ? ? ? ? ??

所以

f(0)?1? f ?(0)?m? f ??(0)?m(m?1)? ? ? ?? f(n)(0)?m(m?1)(m?2)? ? ?(m?n?1)? ? ? ? 于是得冪級(jí)數(shù)

1?mx?可以證明

(1?x)m?1?mx?

間接展開法?

例4 將函數(shù)f(x)?cos x展開成x的冪級(jí)數(shù)?

解

已知

2n?1x3x5n?1x?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)?

sinx?x?3!5!(2n?1)!m?2m?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ? ?

m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?

對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得

cosx?1?x2x4x2n?? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(???x???)?

2!4!(2n)!1展開成x的冪級(jí)數(shù)?

1?x

2例5 將函數(shù)f(x)?

解 因?yàn)?1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)?

1?x把x換成?x? 得

1?1?x2?x4? ? ? ? ?(?1)nx2n? ? ? ?(?1?x?1)? 21?x注? 收斂半徑的確定? 由?1??x2?1得?1?x?1?

例6 將函數(shù)f(x)?ln(1?x)展開成x的冪級(jí)數(shù)?

解

因?yàn)閒?(x)?1?

1?x而1是收斂的等比級(jí)數(shù)1?xn?0?(?1)nxn(?1?x?1)的和函數(shù)? ?

1?1?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)nxn? ? ? ? ?

1?x所以將上式從0到x逐項(xiàng)積分? 得

n?1x2x3x4nx

ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)?

234n?

1解?

f(x)?ln(1?x)??[ln(1?x)]?dx??0xx01dx 1?xxn?1

??[?(?1)x]dx??(?1)(?1?x?1)?

0n?1n?0n?0xnnn??

上述展開式對(duì)x?1也成立? 這是因?yàn)樯鲜接叶说膬缂?jí)數(shù)當(dāng)x?1時(shí)收斂? 而ln(1?x)在x?1處有定義且連續(xù)?

例7 將函數(shù)f(x)?sin x展開成(x?

解

因?yàn)?/p>

sinx?sin[并且有

cosx(?

sinx(?所以

sinx??4?(x??4)的冪級(jí)數(shù)?

?4)]?2??[cos(x?)?sin(x?)]?

244?44)?1?1?1?(x?)2?(x?)4? ? ? ?(???x???)?

2!44!4?)?(x??4)?1?1?(x?)3?(x?)5? ? ? ?(???x???)?

3!45!42?1?1?[1?(x?)?(x?)2?(x?)3? ? ? ?](???x???)?

242!43!

4例8 將函數(shù)f(x)?

解 因?yàn)?/p>

f(x)?1展開成(x?1)的冪級(jí)數(shù)?

x2?4x?3111111?????

2x?1x?1(x?1)(x?3)2(1?x)2(3?x)x?4x?34(1?)8(1?)24 nn1?1?n(x?1)n(x?1)

??(?1)??(?1)n4n?08n?024n

?n?0?(?1)n(?12n?2?122n?3)(x?1)n(?1?x?3)?

提示?

1?x?2?(x?1)?2(1?x?1)?3?x?4?(x?1)?4(1?x?1)?

24n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0221?2n?1x?1n(x?1)

??(?1)(?1??1)?

nx?1n?0441?4收斂域的確定? 由?1?

展開式小結(jié)? x?1x?1?1和?1??1得?1?x?3?

241?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ?(?1?x?1)? 1?xex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ?(???x???)?

2!n!sinx?x?x3x5x2n?1?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?(???x???)? 3!5!(2n?1)!2nx2x4nxcosx?1??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(???x???)? 2!4!(2n)!ln(1?x)?x?x2x3x4xn?1??? ? ? ? ?(?1)n? ? ? ?(?1?x?1)? 234n?1m(m?1)2!x2? ? ? ? ?m(m?1)? ? ?(m?n?1)n!xn? ? ? ?(?1?x?1)?(1?x)m?1?mx?

§11? 5 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的應(yīng)用

一、近似計(jì)算

例1 計(jì)算5240的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?

解

因?yàn)?240?5243?3?3(1?14)1/5?

3所以在二項(xiàng)展開式中取m?1? x??14? 即得

5111?411?4?91240?3(1??4?2?8?3?12? ? ? ?)?

535?2!35?3!3這個(gè)級(jí)數(shù)收斂很快? 取前兩項(xiàng)的和作為5240的近似值? 其誤差(也叫做截?cái)嗾`差)為

|r2|?3（?3?

?1?411?4?911?4?9?141?8?3?12??16? ? ? ?)245?2!35?3!35?4!31?41112?[1??()? ? ? ? ] 2881815?2!361111?8????

125325?27?40200001?8111)?

534于是取近似式為5240?3(1??為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截?cái)嗾`差之和不超過(guò)10?4? 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)? 然后四舍五入? 因此最后得

5240?2.9926?

例2 計(jì)算ln 2的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?

解

在上節(jié)例5中? 令 x?1可得

ln2?1?111?? ? ? ? ?(?1)n?1? ? ? ?.23n

如果取這級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和作為ln2的近似值? 其誤差為

|rn|?1.n?1為了保證誤差不超過(guò)10?4? 就需要取級(jí)數(shù)的前10000項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算.這樣做計(jì)算量太大了? 我們必需用收斂較快的級(jí)數(shù)來(lái)代替它.把展開式

n?1x2x3x4nx

ln1(?x)?x???? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?(?1?x?1)234n?1中的x換成?x ? 得

x2x3x ln(1?x)??x???? ? ? ?(1?x?1)?

234兩式相減? 得到不含有偶次冪的展開式?

ln1?x11?ln1(?x)?ln1(?x)?2(x?x3?x5? ? ? ?)(?1?x?1)? 1?x3533令1?x?2? 解出x?1? 以x?1代入最后一個(gè)展開式? 得

1?x

ln2?2(??13111111????? ? ? ?)? 333535737如果取前四項(xiàng)作為ln2的近似值? 則誤差為

|r4|?2(?

?111111????13? ? ? ?)***[1??()? ? ? ? ]

9931?2111???.11970000031?14?3913111111????)? 333535737于是取 ln2?2(??同樣地? 考慮到舍入誤差? 計(jì)算時(shí)應(yīng)取五位小數(shù)?

1111111? ?3?0.01235? ?5?0.00082? ?7?0.00007? ?0.333333335373因此得

ln 2?0?6931?

例3 利用sinx?x?解

首先把角度化成弧度?

9??從而

x求sin9?的近似值? 并估計(jì)誤差?

3!?180?9(弧度)??3?20(弧度)?

1?sin??20203!20??? ?

其次? 估計(jì)這個(gè)近似值的精確度? 在sin x 的冪級(jí)數(shù)展開式中令x??? 得

201??1???1??????

sin????????? ? ? ? ? 20203!?20?5!?20?7!?20???357等式右端是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)? 且各項(xiàng)的絕對(duì)值單調(diào)減少? 取它的前兩項(xiàng)之和作為sin?的近似值? 起誤差為

1??11

|r2|??? ?(0.2)5????5!?20?120300000????0.003876 因此取 ?0.157080? ??20?20?520?3于是得

sin9??0?15643? 這時(shí)誤差不超過(guò)10?5?

例4 計(jì)算定積分

x2??120e?xdx 的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001（取

21??0.56419）?

解 將e的冪級(jí)數(shù)展開式中的x換成?x? 得到被積函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式

e?x2?1??(?x2)1!?(?x2)22!?(?x2)33!? ? ? ?

??(?1)nn?0x2n(???x???).n!于是? 根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)可積? 得

2?1??122e?xdx0?2???1?2[(?1)n0n?0x2n2]dx?n!?(?1)n22n?n!?0xdx n?0?1

?(1?111??? ? ? ?).2462?32?5?2!2?7?3!前四項(xiàng)的和作為近似值? 其誤差為

|r4|?所以

21111??

?2?9?4!900008??20e?x2dx?1?(1?12?32??42??52!16)?0.52? 0 5?2?73!1

例5 計(jì)算積分

?01sinxxdx 的近似值? 要求誤差不超過(guò)0?0001?

解 由于limsinx?1? 因此所給積分不是反常積分? 如果定義被積函數(shù)在x?0處的值為1?

x?0x則它在積分區(qū)間[0? 1]上連續(xù).展開被積函數(shù)? 有

sinxx2x4x6

?1???? ? ? ?(???x???)?

x3!5!7!在區(qū)間[0? 1]上逐項(xiàng)積分? 得

?01sinx111dx?1???? ? ? ? ?

x3?3!5?5!7?7!因?yàn)?收斂于和v? 就說(shuō)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂且和為u?iv?

絕對(duì)收斂?

2如果級(jí)?(un?ivn)的各項(xiàng)的模所構(gòu)成的級(jí)數(shù)?un收斂?

?vnn?1n?1??則稱級(jí)數(shù)?(un?ivn)絕對(duì)收斂?

n?1?

復(fù)變量指數(shù)函數(shù)? 考察復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ?

2!n!x 可以證明此級(jí)數(shù)在復(fù)平面上是絕對(duì)收斂的? 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)e? 在復(fù)平面上我們用它來(lái)定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)? 記為ez ? 即

ez?1?z?121z? ? ? ? ?zn? ? ? ? ?

2!n!

歐拉公式? 當(dāng)x?0時(shí)? z?iy ? 于是

eiy?1?iy?

?1?iy?

?(1?11(iy)2? ? ? ? ?(iy)n? ? ? ? 2!n!12111y?iy3?y4?iy5? ? ? ? 2!3!4!5!121411y?y? ? ? ?)?i(y?y3?y5? ? ? ?)2!4!3!5!

?cos y?isin y?

把y定成x得

e?cos x?i sin x?

這就是歐拉公式?

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式? 復(fù)數(shù)z可以表示為

z?r(cos? ?isin?)?rei? ?

其中r?|z|是z的模? ? ?arg z是z的輻角?

三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系?

因?yàn)閑?cos x?i sin x? e?cos x?i sin x? 所以 ix?ixix

e+e?2cos x?

e?e?2isin x?

cosx?1(eix?e?ix)? sinx?1(eix?e?ix)?

22iix?ixx?ix這兩個(gè)式子也叫做歐拉公式?

復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)?

ez1?z2?ez1?ez2?

特殊地? 有ex?iy ?ex ei y ?ex(cos y? isin y)?

§11.7 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù)

三角函數(shù)系的正交性

三角級(jí)數(shù)? 級(jí)數(shù) a0??(ancosnx?bnsinnx)

2n?1?稱為三角級(jí)數(shù)? 其中a0? an? bn(n ? 1? 2? ? ? ?)都是常數(shù)?

三角函數(shù)系?

1? cos x? sin x? cos 2x? sin 2x? ? ? ?? cos nx? sin nx? ? ? ?

三角函數(shù)系的正交性? 三角函數(shù)系中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[??? ?]上的積分等于零? 即

???cosnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx?0(n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?)?

???sinkxsinnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?

????

???coskxcosnxdx?0(k? n?1? 2? ? ? ?? k?n)?

???1??2?三角函數(shù)系中任何兩個(gè)相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[????]上的積分不等于零? 即

dx?2??

2???cosnxdx??(n ?1? 2? ? ? ?)?

???sinnxdx???2(n ?1? 2? ? ? ?)?

二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)

問題? 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 且能展開成三角級(jí)數(shù)?

f(x)?a02??(akcoskx?bksinkx)?

k?1?那么系數(shù)a0? a1? b1? ? ? ? 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分? 則

????f(x)cosnxdx????a02??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]?

k?1???????類似地???f(x)sinnxdx?bn??

傅里葉系數(shù)?

a0?

an?

bn?1?1???????????f(x)dx?

f(x)cosnxdx?(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)sinnxdx?(n ?1? 2? ? ? ?)? ??1?系數(shù)a0? a1? b1? ? ? ? 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù)?

傅里葉級(jí)數(shù)? 三角級(jí)數(shù)

a02??(ancosnx?bnsinnx)

n?1? 稱為傅里葉級(jí)數(shù)? 其中a0? a1? b1? ? ? ?是傅里葉系數(shù)?

問題? 一個(gè)定義在(??? ??)上周期為2?的函數(shù)f(x)? 如果它在一個(gè)周期上可積? 則一定可以作出f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)? 然而? 函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂? 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來(lái)說(shuō)? 這兩個(gè)問題的答案都不是肯定的?

定理(收斂定理? 狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 如果它滿足? 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè) 1 f(x)?4[sinx?sin3x? ? ? ? ?sin2(k?1)x? ? ? ? ]

?32k?1

(???x???? x ?0? ??? ?2?? ? ? ?)?

例2 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[????)上的表達(dá)式為

f(x)???x ???x?0

0 0?x???將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù).解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)處不連續(xù)? 因此? f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x?(2k?1)?處收斂于

11?[f(x?0)?f(x?0)]?(0??)???

222在連續(xù)點(diǎn)x(x?(2k?1)?)處級(jí)數(shù)收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)計(jì)算如下?

a0?1?????f(x)dx?1????0xdx?? ?? 2an?1?????f(x)cosnxdx?1????0xcosnxdx?1xsinnxcosnx01[?]?(1?cosn?)??22?nnn??2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?

??n2?

??0 n?2, 4, 6, ? ? ?

bn?

?1????n?f(x)sinnxdx?1????0xsinnxdx?1?[?xcosnxsinnx0cosn??]?? ??nnn2(?1)n?1(n ?1? 2? ? ? ?)?

f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)??

??4?(2?cosx?sinx)?121sin2x?(2cos3x?sin3x)233?121sin4x?(2cos5x?sin5x)? ? ? ?(???x??? ? x ???? ?3?? ? ? ?)? 455?

周期延拓? 設(shè)f(x)只在[????]上有定義? 我們可以在[??? ?)或(??? ?]外補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義? 使它拓廣成周期為2?的周期函數(shù)F(x)? 在(??? ?)內(nèi)? F(x)?f(x).

例3 將函數(shù)

f(x)??展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

解 所給函數(shù)在區(qū)間[??? ?]上滿足收斂定理的條件? 并且拓廣為周期函數(shù)時(shí)? 它在每一點(diǎn)x處都連續(xù)? 因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)在[??? ?]上收斂于f(x)?

傅里葉系數(shù)為?

a0?

an?1??x ? ??x?0

x 0 ? x????1????????f(x)dx?1????(?x)dx???0101?xdx???

1?2f(x)cosnxdx?????0(?x)cosnxdx???0?

xcosnxdx??4 n?1, 3, 5, ? ? ??

?2(cosn??1)??n2?

n??0 n?2, 4, 6, ? ? ??

bn?1?????f(x)sinnxdx?1????0(?x)sinnxdx?1??0?xsinnxdx?0(n ?1? 2? ? ? ?)?

于是f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)?

三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)? f(x)cos nx是奇函數(shù)? f(x)sin nx是偶函數(shù)? 故傅里葉系數(shù)為

an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

bn?2 ?411?(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(???x??)?

2?35??0?f(x)sinnxdx(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

因此奇數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)

?bnsinnx?

n?1?

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)? f(x)cos nx是偶函數(shù)? f(x)sin nx是奇函數(shù)? 故傅里葉系數(shù)為

an?2??0?f(x)cosnxdx(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?0(n?1? 2? ? ? ?)?

因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)

a02??ancosnx?

n?1?

例4 設(shè)f(x)是周期為2?的周期函數(shù)? 它在[??? ?)上的表達(dá)式為f(x)?x? 將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

解 首先? 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)不連續(xù)? 因此f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)x?(2k?1)?收斂于f(x)? 在點(diǎn)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)收斂于

11[f(??0)?f(???0)]?[??(??)]?0?

其次? 若不計(jì)x?(2k?1)?(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)? 則f(x)是周期為2?的奇函數(shù)? 于是 an?0(n?0? 1? 2? ? ? ?)? 而

bn?

?2?2?0?f(x)sinnxdx?2??0?xsinnxdx

?[?xcosnxsinnx?22?]??cosnx?(?1)n?1(n?1? 2? 3? ? ? ?)?

02nnnnf(x)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)?2(sinx?111sin2x?sin3x? ? ? ? ?(?1)n?1sinnx? ? ? ? 23n

(???x??? ? x???? ?3? ? ? ? ?)?

例5 將周期函數(shù)u(t)?E|sin1t|展開成傅里葉級(jí)數(shù)? 其中E是正的常數(shù)?

解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件? 它在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)? 因此u(t)的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂于u(t)?

因?yàn)閡(t)是周期為2?的偶函數(shù)? 所以bn?0(n?1? 2? ? ? ?)? 而

an?2??0?u(t)cosntd?t?2??0?tEsincosntdt

?E??011[sinn(?)t?sinn(?)t]dt 11cosn(?)tcosn(?)tE2?2]?

?[?011?n?n?22

??4E(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

(4n2?1)?所以u(píng)(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

u(t)?4E(1??1cosnt)(???t???)?

2?2n?14n?1

奇延拓與偶延拓? 設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間[0? ?]上并且滿足收斂定理的條件? 我們?cè)陂_區(qū)間(??? 0)內(nèi)補(bǔ)充函數(shù)f(x)的定義? 得到定義在(??? ?]上的函數(shù)F(x)? 使它在(??? ?)上成為奇函數(shù)(偶函數(shù))? 按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過(guò)程稱為奇延拓(偶延拓)? 限制在(0? ?]上? 有F(x)?f(x)?

例6 將函數(shù)f(x)?x?1(0?x??)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)?

解

先求正弦級(jí)數(shù)? 為此對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行奇延拓?

bn?2???0?f(x)sinnxdx?2??0?(x?1)sinnxdx?2?[?xcosnxsinnxcosnx???]0 nnn2?2???2 n?1, 3, 5, ? ? ? ?2n(1??cosn??cosn?)???

??

2n??? n?2, 4, 6, ? ? ?n?函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)展開式為

x?1?2?[(??2)sinx??2sin2x?1?(??2)sin3x?sin4x? ? ? ? ](0?x??)?

34在端點(diǎn)x?0及x??處? 級(jí)數(shù)的和顯然為零? 它不代表原來(lái)函數(shù)f(x)的值?

再求余弦級(jí)數(shù)? 為此對(duì)f(x)進(jìn)行偶延拓?

an?2??0?f(x)cosnxdx?2??0?(x?1)cosnxdx?2?[?xsinnxcosnxsinnx???]0 2nnn0 n?2, 4, 6, ? ? ? ??

?2(cosn??1)??4?

?2 n?1, 3, 5, ? ? ? n???n?2

a0?2??0?(x?1)dx?2x2?[?x]0???2 ?2

函數(shù)的余弦級(jí)數(shù)展開式為

x?1? ??1?4(cosx?2cos3x?2cos5x? ? ? ?)(0?x??)?

2?35

§11? 8 周期為2l的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

我們所討論的周期函數(shù)都是以2?為周期的? 但是實(shí)際問題中所遇到的周期函數(shù)? 它的周期不一定是2?? 怎樣把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級(jí)數(shù)呢？

問題? 我們希望能把周期為2l的周期函數(shù)f(x)展開成三角級(jí)數(shù)? 為此我們先把周期為2l的周期函數(shù)f(x)變換為周期為2?的周期函數(shù)?

令x?l?t及f(x)?f(ll?t)?F(t)? 則F(t)是以2?為周期的函數(shù)?

lt?2l)?f(lt)?F(t)? 這是因?yàn)镕(t?2?)?f[?(t?2?)]?f(??于是當(dāng)F(t)滿足收斂定理的條件時(shí)? F(t)可展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

F(t)?其中

an?a02??(ancosnt?bnsinnt)?

n?1?????1?F(t)cosntdt?(n?0? 1? 2? ? ? ?)? bn?F(t)sinntdt(n?1? 2? ? ? ?)?

????1?從而有如下定理?

定理 設(shè)周期為2l的周期函數(shù)f(x)滿足收斂定理的條件? 則它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為

f(x)?a0n?xn?x??(ancos?bnsin)?

2n?1ll?其中系數(shù)an ? bn 為

an??f(x)cosl?l1ln?xdx(n?0? 1? 2? ? ? ?)?

l

bln?xn?1l??lf(x)sinldx(n?1? 2? ? ? ?)?

當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)?

?f(x)??binn?xns? n?1l

其中b2l?ln?0f(x)sinn?xldx(n ? 1? 2? ? ? ?)?

當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)?

f(x)?a0?2??an?xncos?

n?1l其中a2n??ln?xl0f(x)cosldx(n ? 0? 1? 2? ? ? ?)?

例1 設(shè)f(x)是周期為4的周期函數(shù)? 它在[?2? 2)上的表達(dá)式為

f(x)???0 ?2?x?0(常數(shù)k?0)??k 0?x?2

將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)?

解

這里l?2?

a12?20kcosn?x2dx?[kn?sinn?xn?2]20?0(n?0)?

a?102?0?20dx?12?20kdx?k?

2?2k

b1n?2?0ksinn?x2dx?[?kn?cosn?x2]2k? 0?n?(1?cosn?)??n???0 于是

f(x)?k2?2k?(sin?x2?13sin3?x2?15sin5?x2? ? ? ?)(???x???? x?0? ?2? ?4?

? ? ?? 在x?0? ?2? ?4? ? ? ? 收斂于

k2)?

? px 0?l

例2 將函數(shù)M(x)??x??22展開成正弦級(jí)數(shù)?

?p(l?x)?2 l2?x?l

n?1, 3, 5, ? ? ? n?2, 4, 6, ? ? ?

解

對(duì)M(x)進(jìn)行奇延拓? 則

an?0(n?0? 1? 2? 3? ? ? ?)?

bn?2lllp(l?x)n?x22pxn?xn?xM(x)sindx?[sindx?sindx]?

l?0??0ll2l2l2l對(duì)上式右邊的