大學生數學競賽訓練三—積分學
一、（15分）計算。
解：原式
二、（20分）設曲面和球面
1）求位于內部的面積
2）設，求位于內部的體積。
解：1）解方程組得
方法二、。
2）此為旋轉體的體積
方法二、三、（15分）求，其中為球面，并取外側。
解：對應外側的單位法向量為
由對稱性可得，所以。
四、（15分）設函數具有二階導數，且，函數在區間上連續，證明：
證明：利用泰勒公式，對任取的有
其中在之間，因為，所以我們有
取，則有
兩邊在上關于可得
五、（15分）計算。
解：設，則有，又因為，所以。
方法二、原式
六、（20分）設具有二階連續偏導數，光滑曲線是區域的邊界，證明：
其中是沿曲線外法向量的方向導數。
證明：設曲線的單位外法向量為，則曲線的正方向（逆時針方向）對應的單位切向量為，因為
所以。
七、
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