第一篇：微分方程習題答案

微分方程習題答案

習題基本要求：微分方程的階，判定一階齊次（非齊次）微分方程，微分方程的通解及特解，可分離變量微分方程及其通解，二階常系數微分方程的特征根及其三種不同形式的通解，選擇題

下列方程哪些是一階齊次微分方程？ dyy?y2?x2dyyy(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????(2?1?dxxdxxx2

2dy?y2(2)?xy???y不是齊次方程????dx1?x22

dyx2?y2dyxy?????(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??dy2x?y?4???dxx?y?

1y2()dyydy22dy???xy(5)y?x是齊次方程?dxdxdxxy?x2?1x21、微分方程y“+（yˊ）4-y3=0的階數是（B）

（A）1（B）2（C）3（D）

42、方程(y-3x)dx –(x+y)dy=0是（B）

（A）可分離變量微分方程（B）齊次方程

（C）一階非齊次線性微分方程（D）一階齊次線性微分方程

3、方程xdy+ydx=0的通解為（D）

（A）xy=1（B）xy=3（C）xy=-3（D）xy=C4、方程y”+ yˊ-2 y=0的通解為（C）

----（A）y=e2x+ex（B）y=Ce2x+ex（C）y=C1e2x+C2ex（D）y=e2x+Cex

填空題：

1、方程ydy+xdx=0的通解為22.通解為y=Cex的一階微分方程為yˊ-y=0.2、滿足條件y(0)=3的微分方程dy=2xydx的特解為y=3ex2.3、二階常系數齊次線性微分方程y“+p yˊ+q y=0的特征方程為r2-

4、微分方程y”-4y=0的通解為2x2x.-

5、微分方程y“-4yˊ-5y=0的通解為x5x6、微分方程y”-4yˊ+13y=0的通解為

7、微分方程y“+2yˊ+y=0的通解解答題

1、求可分離變量微分方程dy=xydx的通解。

解：（1）顯然y=0是微分方程的解；

（2）當y≠0時，方程可化為dydy?xdx，兩邊分別積分??xdx yy?

12x12得方程的解為lny?x?C1，即y?Ce2

212x2由（1）（2）可知微分方程的通解為y?Ce。

2、求微分方程ex-ydx=dy的通解。

解：方程可化為exdx=eydy，兩邊積分得∫exdx=∫eydy，于是微分方程的通解為ey = ex+C.3、求微分方程y”-2yˊ-3y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0，其根為r1=-1,r2=3，因此所求通解為y=C1ex+C2e3x4、求微分方程y“-5yˊ+6y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-5r+6=0,其根為r1=2,r2=3.因此所求通解為y=C1e2x+C2e3x。

5、求微分方程y”+2yˊ+y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2+2r+1=0,其根為r1=r2=-1.因此所求通解為y=(C1+C2x)ex.6、求微分方程y“-4yˊ+4y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-4r+4=0，其根為r1=r2=2，因此所求通解為y=(C1+C2x)e2x.7、求微分方程y”-2 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0，其根為r?

因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x)

8、求微分方程y"-4 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0,其根為r?

因此所求通解為y=e2x(C1cosx+C2sinx).?1?2i ?2?i

第二篇：微分方程教案

高等數學教案

第七章

微分方程

教學目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。

6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

7.求自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數的一階常系數線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數齊次線性微分方程；

4、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程；

教學難點：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質及解的結構定理；

3、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解。

高等數學教案

§7? 1 微分方程的基本概念

函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映? 利用函數關系又可以對客觀事物的規律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數關系? 但是根據問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數及其導數的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數來? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據導數的幾何意義? 可知未知函數y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數y?y(x)還應滿足下列條件?

x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數?

把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?

解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據題意? 反映制動階段列車運動規律的函數s?s(t)應滿足關系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數s?s(t)還應滿足下列條件?

t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt高等數學教案

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個概念?

微分方程? 表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數是一元函數的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數是多元函數的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(把函數代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數y??(x)在區間I上有n階連續導數? 如果在區間I上?

高等數學教案

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數? 且任意常數的個數與微分方程的階數相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗證? 函數 x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數的導數?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數是所給方程的解?

dtd2x?k2x?0

例4 已知函數x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件

dt

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

高等數學教案

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業：P298：4

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數)?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變為

?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗證函數y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數的導數的方程

高等數學教案

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數就是原方程的通解

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數? 則當Q(x,y)?0時? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數? 則當P(x,y)?0時? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或寫成y???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy? 另一端只含x的函數和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? ??高等數學教案

例1 求微分方程dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數? ?前的曲面號表示當t增加時M單調減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律M?M0e??t ?

例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數關系?

解

設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數)? 根據牛頓第二運

高等數學教案

動定律F?ma? 得函數v(t)應滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvmdv?dt?mg?kv?m? 兩邊積分? 得

?ln(mg?kv)?1kt?C?

m1?kC1?ktmgem?Ce即

v?(C??)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時間的函數關系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 12高等數學教案

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數f(x, y)可寫成 dxyy的函數? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

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求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyy??x?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變為

2duu?

u?x?

dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdx即

xdu?u?

dxu?1分離變量? 得

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或寫成ln|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉軸上一點O發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行? 求這旋轉曲面的方程?

解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發出的光線經點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM?

因為

OA?AP?OP?PMcot??OP?y?x?

y?高等數學教案

而

OM?x2?y2?

于是得微分方程y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問題歸結為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

ydydv?v2?1?

dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉所得旋轉曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉曲面方程?

例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?

解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向對岸? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt高等數學教案

另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問題歸結為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1?

dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過的軌跡方程為

haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2bbb?bya?x?[(Cy)?(Cy)a]?x?1[(Cy)1?a?(Cy)1?a]?

2C2bbb作業：P309：1（1）（3）（5），2

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§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

3齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

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dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數換成x的未知函數u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個非齊次線性方程?

先求對應的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

高等數學教案

y?C(x?1)2?

用常數變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數)? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出

dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L高等數學教案

?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?222222R??LR??L? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx高等數學教案

令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程a2dy?1?

dxx?y

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxuudu?dx?

u?1分離變量? 得

兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

高等數學教案

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質量為m的質點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質點位于原點? 且初速度為零? 求這質點的運動規律?

解 設x?x(t)表示在時刻t時質點的位置? 根據牛頓第二定律? 質點運動的微分方程為

m12141812121418d2x?F(t)?

2dt由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2m高等數學教案

其初始條件為x|t?0?0? dx|?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

于是所求質點的運動規律為 dx|?0?

dtt?0F012t3

x?(t?)? 0?t?T?

m26T

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

dy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

高等數學教案

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設y??p?有

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

高等數學教案

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?

給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數? x?x(t)?

設彈簧的彈性系數為c? 則恢復力f??cx?

又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

2dxdx

m2??cx???

dtdt

移項? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?

如果振動物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?

m

例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯組成的電路? 其中R、L、及C為常

高等數學教案

數? 電源電動勢是時間t的函數? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數?

設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdtdi?q?Ri?0?

dtC根據回路電壓定律? 得

E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LCdtdt2或寫成

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結構

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數?

齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

高等數學教案

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數的線性相關與線性無關?

設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區間I上的n個函數? 如果存在n個不全為零的常數k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數在區間I上線性相關? 否則稱為線性無關?

判別兩個函數線性相關性的方法?

對于兩個函數? 它們線性相關與否? 只要看它們的比是否為常數? 如果比為常數? 那么它們就線性相關? 否則就線性無關?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數軸上是線性相關的? 函數1? x? x2在任何區間(a, b)內是線性無關的?

定理2 如果如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數)是方程的通解?

例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 并寫出其通解?

解 因為

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因為對于任意兩個常數k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內是線性無關的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解?

高等數學教案

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 并寫出其通解?

解 因為

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因為比值e x/x 不恒為常數? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內是線性無關的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數?

二階非齊次線性方程解的結構?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程?

定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2

高等數學教案

是方程y???y?x2的通解?

定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數之和? 如

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數齊次線性微分方程

二階常系數齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數?

如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當選取r? 使y?erx

滿足二階常系數齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數方程r2?pr?q?0? 函數y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2高等數學教案

求出?

特征方程的根與通解的關系?

(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關的解?

這是因為?

函數y1?e因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解?

這是因為? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? r1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x是方程的解? 又不是常數?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解? 函數y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解?

函數y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2高等數學教案

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個根r1、r2?

第三步

根據特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對x求導? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?5?0?

高等數學教案

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數?

二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項的對應?

單實根r 對應于一項? Cerx ?

一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

高等數學教案

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數非齊次線性微分方程

二階常系數非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數?

二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式?

高等數學教案

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?1 次多項式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?2次多項式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?

解 這是二階常系數非齊次線性微分方程? 且函數f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???2y??3y?0?

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?b0x?b1?

高等數學教案

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??? b1??1? 于是求得所給方程的一個特解為

y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 121212高等數學教案

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[P(x)eli? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數非齊次線性微分方程 12121212高等數學教案

y???py??qy?f(x)的特解可設為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?

解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對應的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項的系數? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?

91349高等數學教案

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

第三篇：習題答案

第一章

1、心理的本質是什么？

答：（1）心理是大腦的機（2）心理是大腦對客觀現實的反映。

2、什么是心理發展？

答：心理發展是指個體從胚胎開始經歷各個年齡階段（兒童、少年、青年、中年、老年）一直到死亡的生命全程中心理的發展變化。

3、大學生心理發展的一般特點有那些？

答：（1）心理發展的過渡性（2）心理發展的可塑性（3）心理活動的兩極性（4）心理發展的階段性

4、實驗法與非實驗法的區別是什么？

5、測驗法與問卷法的區別是什么？

第二章

1、大學生心理健康的標準什么?

答:(1)能保持對學習的濃厚興趣和強烈的求知欲望(2)情緒協調,心境良好.(3)意志健全,熱愛生活,樂于工作(4)人格完整,悅納自我.2．影響大學生心理健康的因素有哪些?

答:影響大學生心理健康的因素是多方面的,其中主要原因有心理因素,個人因素,家庭因素,學校因素,社會因素等.3．大學生心理健康教育應遵循哪些原則?

答：從大學生心理健康指導思想出發，大學生心理健康應遵循以下原則：

(1)教育性原則（2）主體性原則（3）全體性和整體性原則(4)民主，平等的原則

（5）預防、發展重于矯治的原則

4．大學生心理健康教育的主要任務和內容是什么？41頁

答：

5．大學生心理健康教育開展的途徑和方法有哪些?

答：大學生心理健康教育要以課堂教學、課外教育指導為主要渠道和基本環節，形成課內與課外、教育與指導、咨詢與自助緊密結合的心理健康工作的網絡和體系。可采取以下具體形式：（1）在思想道德修養課中，科學安排有關心理健康教育的內容。

（2）開設大學生心理健康教育的選修課或專題講座、報告。

（3）結合教學工作過程，滲透對學生進行心理健康教育的內容。

（4）開展大學生心理輔導或咨詢工作。（包括：個體咨詢面談；團體咨詢；角色扮演）

（5）開展心理測評，建立心理檔案。

（6）加強校園文化建設，通過第二課堂活動，廣泛宣傳、普及心理健康知識，促進學生全面發展和健康成長。

6．大學生心理健康的預警機制由哪些層面工作來保證?

答:大學生健康預警是靠完整、嚴密的機制為保證而得以實現的，其工作重點是“及時發現”。

（1）定期普查（2）班級監控（3）院系參與（4）專業人員介入（5）學校統籌

7．如何發現大學生群體中易于發生心理危機的高危個體？52頁

8．如何促進和維護大學生心理健康?

答：我們認為，大學生心理健康水平和以下四個方面因素關系密切：個體所承受的壓力、自我的強度、應付壓力的技能、社會支持系統。一次，可以從四個方面因素著手，維護、促進大學生心理健康水平。

（1）調整認知，正確對待壓力與挫折。（2）營造積極的自我概念。（3）掌握有效的應對技能。（4）營造有力的社會支持系統。

9．大學生心理健康教育管理體系包括哪些方面

答：大學生心理健康教育管理體系要做到組織嚴密、職責分明、運轉良好，應主要包括管理機構組成、教育隊伍建設、教育教學設置、教育實施途徑、心理危機干預、管理制度建設和經驗交流與研討等幾個組成部分。

第三章

1．學習的三要素包括哪些？63頁

2．簡述學習理論(行為主義和認知學派至少各三種)？

3．如何理解學習策略？大學生學習策略不同于中學生學習策略的特點有哪些?

答：首先，學習策略是內隱的學習規則系統。第二，學習策略是具體的學習方法或技能。第三，學習策略是學習活動過程或步驟。第四，學習策略時學習的調控過程。第五，學習策略時學習方法和學習調控的有機統一。

與中小學生相比，大學生的自我意識提高，運用學習策略的能力增強，相應地在學習策略上表現出與中小學生不同的特點。（1）自主性選擇（2）個性化77頁

4．大學生常用的學習策略有哪些?

答：（1）閱讀策略----SQ3R法（分別代表瀏覽、提問、閱讀、背誦、復習）；PQ4R法（分別代表預習、提問、閱讀、反思、背誦、復習）（2）問題解決的IDEAL策略---識別、界定、探索、實施、審查

5、如何培養認知策略？80

6．什么是學習動機?說明學習動機與學習的關系？87--88

7．如何培養與激發大學生的學習動機?

第一，大學生學習動機的培養：

（1）明確學習目的，提升學習自主性。（2）幫助學生確立學習目標。（3）培養學生學習興趣，增強內在學習動機。（4）利用原有動機的遷移，使學生產生學習的需要。（5）培養學生的積極歸因。

第二，大學生學習動機的激發

（1）創設問題情境，激發求知欲。（2）充分利用學習結果的反饋與評價作用。（3）開展學習競賽活動。

8．大學生常見的學習心理問題有哪些？如何進行調適?93--98

第四章

1．談談你對智力含義的看法？為什么難以形成統一的智力定義?101--10

22．列舉幾種常用的智力測驗？

答：（1）比奈智力量表（2）韋氏智力量表（3）考夫曼智力量表（4）武德庫克—約翰遜任職能力測驗。

3．簡述皮亞杰、加德納、斯滕伯格智力理論的主要內容？105--107

4．簡述大學生智力發展的主要特點。

答：（1）流體智力達到高峰，晶體智力繼續上升

有研究者對大學生智力發展特征進行過以下描述

1）注意力集中，注意分配能力好。

2）觀察具有目的性和自覺性

3）記憶具有鮮明的個性色彩

4）思維的獨創性和想象的創造性顯著增強。

（2）辯證思維逐漸成熟

5談談你對大學生智力培養的看法？110

6．談談你對創造力含義的看法？113

7．列舉幾種常用的創造力測驗？

創造力的測量主要從創造性思維和創造性人格兩個方面進行的。

（1）創造性思維測驗有：托蘭斯創造性思維測驗；南加利福尼亞大學測驗；芝加哥大學創造力測驗；沃利奇—凱根測驗

（2）創造性人格測驗有：自我陳述法和投射技術測驗法

8．簡述吉爾福特創造力理論的主要內容。118

9．簡述大學生創造力發展的主要特點。

答：（1）處在創造心理的大覺醒時期，對創造充滿渴望和憧憬。

（2）傳統的習慣力束縛較少，敢想敢說敢做，不被權威名人所嚇倒，有一種“初生牛犢不怕虎”的精神

（3）創新意識強，敢于標新立異，思維活躍，心靈手巧，富有創造性，靈感豐富。

（4）在創造中已展露頭腳，孕育著更大的創造性。

不足：（1）想象豐富，但有時會脫離實際。

（2）思維敏捷，但不善于掌握創造性思維的方式，不能靈活的、全面的、辯證地看待問題，易鉆牛角尖。

（3）靈感迸發快，但不善于捕捉有價值的想法。

（4）具有創新的勇氣，但不善于利用周圍有利的條件，以注重自我的想法而忽視向他人求教，只重書本知識而忽視實踐經驗。

10．談談你對大學生創造力培養的看法。

答：（1）忠實自己的信念，不迷信權威

（2）激發熱情，尊重真理

（3）提供包容和民主的環境，培養自主性

（4）拓展教學內容，改善教學方法

（5）積極培養創造思維能力。

第五章

1、什么是情緒、情感?情緒與情感有什么異同?131

2．情緒與情感具有哪些功能?

答：適應的功能；動機的功能；組織的功能；信號的功能

3．人的情緒狀態一般分為哪幾種?

答：心境；激情；應激

4大學生的情緒、情感發展有什么特點?

答:豐富性和復雜性；波動性和兩極性；沖動性和爆發性；外顯性和內隱性。

5什么是情緒、情感教育?情緒、情感教育的目的是什么?143

6．情緒健康的標準有哪些?1427、大學生常見的情緒、情感問題有哪些?

答：常見的情緒問題有：焦慮、抑郁、憤怒、嫉妒。

常見的情感問題有：冷漠、社會責任感淡化、審美觀錯位

8、大學生常見的情緒、情感問題產生的原因是什么?

(1)外在的客觀原因：社會環境的影響；學校環境的影響；家庭因素的影響。

（2）自身原因：不能正確地認識自己；人際交際受挫；性和戀愛引起的情緒波動；重要的喪失。

9、什么是情商?情商與智商有什么關聯?152--15310、情商的高低與大學生的發展有什么關系?153--15411、什么是情緒調節?

答：我們認為情緒調節是指個體完成目標對情緒、情緒相關的行為、情緒誘發的情境進行的監控，評估、修正等調整過程，以適應外界情境和人際關系的需要。

12．大學生的情緒調節方式有哪些?156

13．大學生的情感教育應從哪些方面著手?

（1）教育學生做一個快樂的自己（2）激發大學生的積極情感（3）加強高級社會性情感的培養。

第六章

1、什么是品德? 比較品德和道德的聯系與區別?162—1632、簡述品德的心理結構？

答：品德的心理結構是指品德這種個體心理現象的組成成分，品德包含道德認識，道德情感、道德意識和道德行為幾種心理成分。品德具有整體性，品德結構中的道德認識，道德情感、道德意識和道德行為之間是相輔相成的、相互影響、相互作用的。道德情感是在道德認識的基礎上產生的，反過來又影響著道德認識的形成，道德認識和道德情感共同促成了道德動機的產生，并引發了一定的道德行為。道德意志對道德行為起調控作用。

3、簡述柯爾伯格的道德發展理論？1674、簡述當代大學生品德心理的發展特點？

答：（1）道德認識能力不斷增強（2）道德情感具有易感性和兩極性（3）道德意志逐步增強。（4）道德行為習慣逐漸養成。

5、談談你對大學生品德培養的看法？181—188

第七章

l怎樣理解自我和自我意識？192

答：嚴格的“自我”定義尚不存在，目前心理學可供參考的觀點：自我既是個人特征的集合，又是一定社會關系的反應，是個人生活歷程的寫照。狹義自我是指個體對自己心里活動的認識與控制；廣義自我指一切個體能夠稱之“我的”之總和。既包括個體的軀體、生理活動，也包括所有與個體有關的存在物，如事業、成就、名譽、地位、財產、權力等。

2．試分析自我意識的結構。

答：自我認識結構即自我認識、自我體驗和自我控制。其中自我認識是最基礎的部分，決定著自我體驗的主導心境以及自我控制的主要內容；自我體驗又強化著自我認識，決定了自我控制的行為力度；自我控制則是自我完善的實際途徑，對自我認識、自我體驗都有著調節作用。三方面整合一致，便形成了完整的自我意識。

3、試分析自我意識的內容。

答：無論是“主觀我”還是“客觀我”，都是圍繞著自我的具體方面形成和存在的，這些方面共同構成了自我意識的內容。

（1）生理自我、心理自我和社會自我（2）現實自我、鏡中自我和理想自我4、試論述大學生自我意識的發展特點。

答：大學生自我意識體現了特殊性、矛盾性、復雜性和可評估等特點。

大學生自我意識的特殊性體現在了時間上的特殊性，空間上的特殊性。大學生自我意識的矛盾性體現在獨立意向的矛盾性，自我評價的矛盾性，自我體驗的矛盾性，自我控制的矛盾性。大學生自我意識的復雜性體現在自我認識內容廣泛；自我認識途徑多樣；自我認識差異較大。

5．試分析大學生自我意識的完善途徑。

答：（1）正確的自我認知（2）客觀的自我評價（3）積極的自我提升（4）不斷的自我成長

6．大學生常見自我意識欠缺有哪些？如何調適？218—221

第八章

1、． 什么是人格？人格有哪些特征？

答：心理學上的不同人格內涵很多，但基本包含兩方面的意義：一是人們可以觀察到外顯的行為和品質，即個體在人生舞臺上所表現出的種種言行及其遵循的社會準則；另一是內隱的人格成分，即個體內在心理特征。一般認為人格是構成一個人的思想、情感及行為的特有綜合模式，這個獨特模式包含了一個人區別于他人的穩定而統一的心理品質。

2、氣質和性格有哪些學說 ？試分別敘述。224—2273、試述大學生人格發展的特點。2384、健全人格有哪些模式？

答：有“成熟者”模式；“機能健全著”模式；“創發者”模式；“綜合”模式；中國模式

5、試述大學生健全人格培養與塑造的途徑？

答：（1）了解自己的人格類型與特點（2）學會自我教育（3）增強挫折承受力（4）積極參與社會實踐，培養良好習慣；（5）擴大社會交往，建立良好的人際關系（6）其他途徑：在業余愛好中培養健全的人格；求助心理咨詢。

6、大學生常見人格問題有哪些？如何矯正？251

第四篇：習題答案

1．冰心原名_________，是著名的_________、_________、________、__________。2．冰心于l923年發表的兩部詩集是______、________，創作上受到印度詩人___________的影響，其詩歌作品，在當時吸引了很多青年的模仿。

3．“五四”以后進行新詩創作取得較高成就的除冰心之外，還有____ ___、_ __等，他們的代表作分別有《________》、《_________ 》等。

4．冰心的詩有豐富而深刻的哲理，并恰當地運用對比，如：“言論的花開得愈大，_____________。”

5．冰心早年藝術上，追求“___________”的境界，她的詩也具有這些特點。

6．“春江水暖鴨先知”是_______ 朝______________的詩句，在冰心筆下有著同樣的詩句：“人 在廊下，書在膝上，_____________。”

7．冰心在《繁星》里回憶童年的美好：“童年啊，_________，___________，__________。” 8．冰心的《繁星》詩中發人深省的格言式小詩觸目皆是，如“成功的花，_________!然而當初她的芽兒，___________，灑遍了犧牲的血雨。”

9．冰心的詩中洋溢著_________ 的哲學。

10．冰心的早期小說創作以“問題”小說為主，如_______、_________等。我們教材中學過冰心寫于

二十個世紀五六十年代的小說_____________。

11．冰心的著名散文有_____________、__________、__________等。

12．冰心是________派的代表詩人，這些詩特點是___________、__________、_________。

13．冰心是福建長樂人，出生于福州一個具有________、________ 的海軍軍官家庭。14．作者以“冰心”為筆名，在《__________》一文中，作了說明：一來是_______ ；二來是________。

15．冰心的小詩創作源于印度詩人_______的《____________》。

16．《繁星》是冰心的第 部詩集，詩集收入詩人________ 至_________所寫小詩_________首，最初發于北京的《__________》。

17．冰心的主要作品有：詩集《__________》、《__________》，短篇小說集《_________》、《________》，散文集《________》、《________》、《________ 》等。

18．《春水》收入詩人在________至________所寫的小詩________首。

19．《繁星》、《春水》中的詩篇表現出詩人對于________、________、________的見解。

20．詩集《繁星》、《春水》的名字的內涵是什么？

21．冰心，中國現代文學史上第一位著名女作家，她一步人文壇，便以宣揚“____ ____” 著稱。

22．冰心的詩集《繁星》、《春水》是人們公認的小詩最高成就，被茅盾稱為

“________”、“_________”。

參考答案

1．謝婉瑩；小說家；詩人；散文家；兒童文學家2．繁星；春水；泰戈爾3．郭沫若；徐志摩；鳳

凰涅槃；再別康橋4．行為的果子結得愈小

5．滿蘊著溫柔，微帶著憂愁6．宋；蘇軾；拂面的微風里，知道春來了7．是夢中的真；是真中的夢；是回憶時含淚的微笑8．人們只驚慕她現時的明艷；浸透了奮斗的淚泉9．愛

l0．《斯人獨憔悴》；《去國》；《小桔燈》ll．《寄小讀者》；《往事》；《笑》l2．小詩；短小；形式自由；富含哲理13．愛國；維新思想l4．我的文學生活；筆畫簡單好寫，瑩字的含義l5．泰戈爾；飛鳥集16．一；1919年冬；1921年秋；164；晨報副刊17．繁星；春水；超人；冬兒姑娘；寄小讀者；歸

來之后；櫻花贊l8．1922年3月；6月；l82 19．母愛；童真；自然20．繁星，代表著零星的思想；春水，是因為作者希望在不經意之時將思緒像春水一樣流入讀者心中21．愛的哲學22．繁星格；春水體

第五篇：習題及答案

1、去好呢 還是不去好呢

2、你看到什么了 孩子

3、我也不知道該不該去

4、能否更上一層樓 主要是看我們的努力程度怎么樣

5、再見吧 親愛的媽媽

6、全體立正

7、這孩子的嘴多巧 李阿姨說

8、冬冬 王老師來了 冬冬的媽媽說 還不快給王老師倒杯水

9、這回翻山使部隊養成了一種新的習慣 那就是用臉盆 飯盒子 茶缸煮飯 煮東西吃

10、她問我們餓了沒有 這一問正中了我們的心思

11、他時而默讀 時而朗讀 時而背誦

12、我在市場里買了桔子 蘋果 青菜 錘子 釘子等東西

13、張華考上了北京大學 在化學系學習李萍考進了中等技術學校 讀機械制造專業 我在百貨公司工作 我們都有光明的前途

14、人們常說的 開卷有益 讀書破萬卷 就是從這里來的

15、當時的情況是 開水沒有 水壺要洗 茶壸 茶杯要洗 火生了 茶葉也有了

16、推開門一看 呵 好在的雪呀 山川 河流 樹木 房屋 全都罩上了一層厚厚的白雪 萬里江山變成了粉妝玉砌的世界

17、不 不 你誤會了 他解釋著 我不是殘疾人 我是給別人送拐杖的 說著 他踢踢腿給老奶奶看 車上的人都笑了

18、圖書館里的書真多 梅林童話 上下五千年 十萬個為什么 我都喜歡看

19、她帶走了落葉 紙屑 塵土和果皮 留下了清新的空氣與潔凈的大地 啊 這不是王阿姨嗎 她是我原來的鄰居

20、他臉色蒼白 艱難地說 水 水 說著就昏過去了

21、他大聲地說 快離開我 咱們兩個不能都犧牲 要記住下功夫革命

22、大家就豐女老師的手指 齊聲輕輕地念了起來 我們 是 中國人 我們 愛 自己的 祖國

23、往前沒走多遠 就聽到小麗叫 快來呀 姐夫 我跑到跟前 扒開草叢一看 是個不大的水泡子 水面上波光粼粼仔細一看 挨挨擠擠地都是魚 我不禁叫起來 啊 這么多魚 他連忙脫掉鞋襪 跳進膝蓋深的水里逮起來

24、散會了 大家想想我是孩子 應該照顧 就把糖呀 蜜餞呀 橘子呀 拿過來給我說 帶回去吃吧 我連連擺手說不要 不要 我家里有 可是爸爸卻好像沒聽見我的話似的 不客氣地拿出塑料袋 把糖果一把把地裝進去 邊裝邊說 不拿白不拿

最佳答案

1、去好呢，還是不去好呢？

2、你看到什么了，孩子？

3、我也不知道該不該去。

4、能否更上一層樓，主要是看我們的努力程度怎么樣。

5、再見吧，親愛的媽媽！

6、全體立正!

7、“這孩子的嘴多巧！”李阿姨說

8、“冬冬，王老師來了。”冬冬的媽媽說，“還不快給王老師倒杯水！”

9、這回翻山使部隊養成了一種新的習慣，那就是用臉盆、飯盒子、茶缸煮飯、煮東西吃。

10、她問我們餓了沒有，這一問正中了我們的心思。

11、他時而默讀；時而朗讀；時而背誦。

12、我在市場里買了桔子、蘋果、青菜、錘子、釘子等東西。

13、張華考上了北京大學，在化學系學習；李萍考進了中等技術學校，讀機械制造專業；我在百貨公司工作。我們都有光明的前途。

14、人們常說的；開卷有益，讀書破萬卷。就是從這里來的。

15、當時的情況是：開水沒有，水壺要洗，茶壸、茶杯要洗，火生了，茶葉也有了。

16、推開門一看。呵，好在的雪呀！山川、河流、樹木、房屋。全都罩上了一層厚厚的白雪，萬里江山變成了粉妝玉砌的世界。

17、“不！不！你誤會了。”他解釋著，“我不是殘疾人，我是給別人送拐杖的。”說著，他踢踢腿給老奶奶看，車上的人都笑了。

18、圖書館里的書真多：《格林童話》《上下五千年》《十萬個為什么》，我都喜歡看。

19、她帶走了落葉、紙屑、塵土和果皮，留下了清新的空氣與潔凈的大地。啊！這不是王阿姨嗎？她是我原來的鄰居。

20、他臉色蒼白，艱難地說：“水！水！”說著就昏過去了。

21、他大聲地說：“快離開我！咱們兩個不能都犧牲！要記住下功夫革命！”

22、大家就豐女老師的手指，齊聲輕輕地念了起來：“我們，是，中國人，我們，愛，自己的，祖國！”

23、往前沒走多遠，就聽到小麗叫：“快來呀，姐夫！”我跑到跟前，扒開草叢一看，是個不大的水泡子，水面上波光粼粼仔細一看，挨挨擠擠地都是魚。我不禁叫起來：“啊！這么多魚！”他連忙脫掉鞋襪，跳進膝蓋深的水里逮起來。

24、散會了，大家想想我是孩子，應該照顧。就把糖呀、蜜餞呀、橘子呀。拿過來給我說；“帶回去吃吧！”我連連擺手說：“不要！不要！我家里有，可是爸爸卻好像沒聽見我的話似的，不客氣地拿出塑料袋，把糖果一把把地裝進去，邊裝邊說：“不拿白不拿。” 最后，讓一首標點符號歌使我們在教學中運用自如。

一，標點符號很重要，組成文章不可少。

該用哪種小符號，都要認真來思考。

意思未完用逗號，一句完了用句號。

喜怒哀樂感嘆號，提出問題用問號。

并列詞語用頓號，并列分句用分號。

提示下文用冒號，對話引用加引號。

書文名稱要標明，前后加上書名號。

有些意思要省掉，可以加個省略號。

轉折解釋破折號，表示注釋加括號。

標點符號用準確，文章清楚都稱好。

二、一句話完了，劃個小圓圈〔。〕

中間要停頓，圓點帶個尾〔，〕

并列詞語間，點個瓜子點〔、〕

總結導語前，上下兩圓點〔：〕

并列分句間，圓點加逗點〔；〕

疑問與發問，耳朵墜耳環〔？〕

命令打招呼，滴水下屋檐〔！〕

引文特殊詞，蝌蚪上下竄〔“”〕

轉折或注釋，一橫寫后邊〔——〕

意思說不完，六點緊相連〔??〕