第一篇：線性代數習題答案
綜合練習一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er?2,s?5,t?8或r?5,s?8,t?2或r?8,s?2,t?5.01Fi?2,j?1.01G?12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序數為k2;當k為偶數時,排列為偶排列,當k為奇數時,排列為奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)?(aa1222a13a1411?a22?a33?a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x?18.01Nf?(x)g?(x)s?(x).01O?1.f??(x)g??(x)s??(x)02AB、D.02B?3.02C6.02Dx?0,?1,?2.02E(?1)n?1(n?1)xn.02F(12?13?????1)n!.02G(?1)n(n?1)2nn?1(n?1)n.2.02H(?1)n?1(na?x)xn?1.02I(?1)n[(??1)n??n].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa?0,b?0.4403G?1,?3.03Ha?bii03If(x)?2x2?3x?1.i?1i?1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1?a?a2)(1?a)3.04Bn?1.04Cx1x2...xn?1(1?a1x1?a2x2?...?anxn).04Dx1x2...xn[1?a(1x?1?...?1.1x2xn)]04E(x?1)n..49.04F1?(?1)a1?(?1)2a2an1?...?(?1)anan?1...a2a1?n04G?(n?1)?當a??,??n?1??n?1?????當a??.05A0.05B?1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H?9,18.06An!(n?1)!(n?2)!...2!1!.06B?(cos?).4ij1i?cos?j07A(1?x)2(10?x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E?2.08Fa?0且b??b/4.08Gf(x)?2x2?3x?1.08H甲、乙、丙三種化肥各需3千克,5千克,15千克.綜合練習二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a?2n).01N(A?B)(A?B).01S(2)A2?49(A2?E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(?1)n?1n?1k2(n?1)!.(2)(?1)n?1n!(k?1,2,?,n).01V兩年后在崗職工668人,培訓人員334人.01W即晴天概率為146256,陰天的概率為6248256,下雨天的概率為256.?xn?x4??260?01X??1??y???023/2??1/200????xn?.???y?n?1??n??y?????zn?1?????01/40?????zn???4??236??z???22?4???01?2102A498?22?42??.02B2n?1??02??42???01?21??.02C???2?22???02?42???22?2??.??1nn(n?1)???2.4n?14n00?02D?2???01n??.02E?n?1n?1?42.400??????001???002nn.2n?1??.?0002n??.50.?100?02FA?????200??6?1?.由于A5?A.?1???1000?03A(1)(?1)n?11(2)???1200??n!A.?0?230?.?00?34??(3)?A?6E.(4)12(E?B).(5)B??(E?2A)?1.?10103BB????5?10??E.03D?1??211??.03C(2)A2?A??5(A?2E).03EA?1?1(A?3E).(A?4E)?1110?6(A?E).03FB?1??114(5A2?3A?E).03G(EA?BA)?1?B(E?AB)?1B?1.03HB?1?110(A2?3A?4E).03I(E?AB)?1?E?A(E?BA)?1B.??1000?1/21/200??03NA?1???????0??03O1?122??????21?2??.??1/2?1/61/39?1/8?5/24?1/121/4????2?21????00?201?00?34??03P??0??0012?3?????3?1000?????52000??03Q?(A1?A2A?41A3)?1?A?11A2(A4?A3A?11A2)?1????A?1?1?1(A?4A3(A1?A2A4A3)4?A3A?11A2)?1?.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)?1/3;(6)576;(7)3.04B10804F??5?2?1??220??????101??.04G??A??0A(b??TA?1?)???,05AD.05C2.05D當a?1且b?2,r(A)?4;當a?1且b?2時,r(A)?2;.51.當a?1,b?2或a?1,b?2時,r(A)?3.05E當c??1,并且a??1或b?0時,r(A)?1;當c??1,a??1且b?0時,r(A)?3;當c??1,但a??1或b?0時,r(A)?3;當c??1,a??1且b?0時,r(A)?2.05F當a?b?0時,r(A)?0;當a?b?0時,r(A)?1;當a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n?1;當a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n.05G11?n.05Hr[(A*)*]???n,如果r(A)?n,?0,如果r(A)?n.??1111???1010?05K??11?1?1???05L??010?4??1?11?1??.??1?1?11???0010???.?0002????2?400???1100?05M???2?200???05N???1220??0022??.???00?12???0?233??.?00?34??05OA.?02?111?06A?1??321???.06B???202??.?030???5?2?2??31?1?06C??4?3?2?06D????22?.3???19/21?3/2?.?21?112???300?1?06E??????020??.06F???21????001????.?1?21??01?21???0?30?06G???00?3??????300?.?.52.綜合訓練三01AC.01BB.01CB.01Dt?1.01Ea?2b.01F(1)當t?5時,?1,?2,?3線性相關;(2)當t?5時,?1,?2,?3線性無關;(3)?3???1?2?2.01G(1)當a?1時,?1,?2,?3線性相關;(2)當b?2且a?1時,?可由?i唯一的表出:????1?2?2;當b?2且a?1時,?可由?i線性表出:??(?2t?1)?1?(t?2)?2?t?3,其中t是任意常數.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t?5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)當a??2時,?不能用?1,?2,?3線性表出;(2)當a??2且a?1時,?有唯一的表達式:???a?11(a?1a?2??a?2?)212?a?2?3;當a?1時,??(1?k?l)?1?k?2?l?3,?k,l.02J(1)若??0且???3,?可由?1,?2,?3唯一線性表示;(2)若??0,?可由?1,?2,?3線性表示,但不唯一;(3)若???3,?不能由?1,?2,?3線性表示.02K(1)當b?2時,?不能由?1,?2,?3線性表出;(2)當b?2,a?1時,?可唯一表示為????1?2?2;當b?2,a?1時,?可表示為???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3()k為任意常數.02L(1)當a??1,b?0時,?不能表示成?1,?2,?3,?4的線性組合;(2)當a??1時,?有唯一表示式:???2ba?1?a?b?1b1?a?1?2?a?1?3?0.?402M(1)當a??4時,?可由?1,?2,?3唯一線性表出..53.(2)當a??4時,?不能由?1,?2,?3線性表示.(3)當a??4且3b?c?1時,?可由?1,?2,?3線性表出,但不唯一:??t?1?(2t?b?1)?2?(2b?1)?3(t為任意常數).02N不等價.03AD.03B1.03C?n.03D(1)R(?1,?2,?3,?4)?2;向量組的一個極大無關組為?2,?4;?1?2(?2??4),?3??2?3?4;(2)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關組為?1,?3,?5;?2??1?3?5,?4??1??3??5;(3)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關組為?1,?2,?3;?4??1??2??3,?5??1??2?0.?3.03ER(?1,?2,?3,?4,?5)?3.03Fa?15,b?5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct?1.??x1y11?04D4.04E矩陣?xy??221??????的秩小于3.??xny?n1???1????14????2???22?04F(1)C??????3?,(C?R);(2)k1????7???0??k?0?12?,(k1,k2?R);??2???0?15???????2????3/2????3/4?(3)C??????1??3/2??C2??1???7/4??0?,(C1,C2?R).??0?????1??04G(1)無解;(2)(1/2,2,?1/2,0)T?k(1/2,0,?1/2,1)T,其中k為任意常數;(3)(514,?3314,0,7)T?k(?1,?1,2,0)T.(k為任意常數);.54.(4)C131(?7,177,1,0,0)T?C(10191112?7,7,0,1,0)T?C3(7,?7,0,0,1)T?(2,?3,0,0,0)T,(C1,C2,C3?R).04H(1)?1,?2,?3是所給方程組的基礎解系.(2)?1,?2,?3不是所給方程組的基礎解系.?1?04I當??1時,有解,解為????1????k??1??2??,其中k為任意常數.?0????1??04J(1)當??1且???45時,方程組有唯一解;?1?當??1時,其通解為????1????k?0??1??,其中k?0???為任意實數;?1??當???45時,原方程組無解;(2)當???2且??1時,方程組唯一解;當???2時,方程組無解;當??1時,方程組有無窮多組解.全部解為???2??????1???k??1???1?0??k???0?12?????0???0?1?,其中k1,k2是任意常數.?04K(1)當a?0時,方程組無解;??x1?2/a,當a?0,b?3時,方程組有唯一解:???x2?1,??x3?0;???x1?2/a,當a?0,b?3時,方程組有無窮多解:???x2?1?3t,(t?R).?2??x3?t.(2)當a?0或a?0時b?4,方程組無解;方程組不可能有唯一解;當a?0且b?4時,方程組有無窮多解.通解是.55.(6,?4,0,0,0)T?k1(?2,1,1,0,0)T?k2(?2,1,0,1,0)T?k3(?6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意實數.(3)當a??1,b?36時,方程組無解;當a??1,a?6時,方程組有唯一解,x(b?36)a?1,x??12?(a?4)(b?36)1?6?2a?1,xb?3623?0,x4?a?1;當a??1,b?36時,方程組有無窮多解,通解為(6,?12,0,0)T?k(?2,5,0,1)T.k為任意常數;當a?6時,方程組有無窮多解,通解是(1(114?2b),?1(12?2b),0,1(b?T77736))?k(?2,1,1,0)T.04L(1)當a?b,b?c,c?a時,方程組僅有零解x1?x2?x3?0.(2)當a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k1(1,?1,0)T(k1為任意常數).當a?c?b時,方程組有無窮多組解,全部解為k2(1,0,?1)T(k2為任意常數).當b?c?a時,方程組有無窮多組解,全部解為k3(0,1,?1)T(k3為任意常數).當a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k4(?1,1,0)T?k5(?1,0,1)T(k4,k5為任意常數).??2????104M(1)方程組有無窮多組解,通解為??4???????1??k?(k為任意常數?5?0????2?).?1??(2)當m?2,n?4,t?6時,方程組(I),(II)同解.04Na?2,t?4.04O非零公共解為t(?1,1,1,1)T.(t為任意常數)04P原來至少要有3121個桃子,最后還剩下1020個桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G??1.05H1..56.05I(1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T,其中k是任意實數.05J(?3,2,0)T?k(?1,1,1)T.(k為任意常數)05K通解為(?9,1,2,11)T?k1(?10,6,?11,11)T?k2(8,4,?11,?11)T05L3m?2n.05M?2.??1/2??0?05N通解為?1/2???1????k???,其中k為任意常數.?0??1????1??1???05O(1)?1可由?2,?3,?4線性表出.(2)?4不能用?1,?2,?3線性表出.?x1??k2t,06A(2)通解是??x2?k2,其中t是任意實數.??x3?t,06B通解是(a8,4,?2,1)T1?2a2?4a3,a2?2a3,a3,0)T?k(?,其中k是任意實數.06E方程組的唯一解為(ATA)?1ATb.06L(II)的通解為c1(a11,a12,...,a1,2n)T?c2(a21,a22,...,a2,2n)T?...?cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn為任意常數.綜合練習四??1/2???1/6????1/(23)?01A?45.01B?1???1/2???2????1/6????;?3??1/(23)??.?0?;?0???2/6??0???1/(23)??3/2??02A(1)?1?0,?2?2,?3?3,???1/2??k???1?0對應特征向量為1??1/2??,?1??.57.??1???1?2?2對應特征向量為k2???,?0???1???3對應特征向量為k??33?1?.??1??(2)?1?8,?2??3??1,?2??1?8對應特向量為k1???1??,其中k1為任意非零常數.?2???1???2??3??1對應特征向量為k2???0?1???k3???2??,其中k2,k3是不全為??1????0??零的實數.?(3)??1????0??1??2??3?2全部特征向量為k1?2???k2?0?,(k1,k2不全為零).?0????1??02BA的特征值是1,2,2a?1,?a?2??2??1?對應的特征向量依次是k??????1?3??,k2?2?,k3?1?.(k1,k2,k3全不為0).?0????1????a?1??02CA的特征值??2(二重)及??0,??2對應特征向量為k1(0,1,0)T?k2(1,0,1)T.??0對應特征向量為k3(1,0,?1)T.02D(1)當b?0時,A的特征值為?1??2????n?a,則任一非零向量均為其特征向量.(2)當b?0時,A的特征值為?1??2????n?1?a?b,?n?a?(n?1)b當?1????n?1?a?b對應特征向量為??1?1????1??1k1??0??0??0??????k2??1???kn?1??0??????0?,?0???????1??.58.??1???a?(n?1)b對應特征向量為k?1??nn??,(kn?0).?????1??02Ea?2,b??3,c?2,?0?1.??2n?2?1??1?02F1??12n?2??1??2n2?3n?1??????.???1?1?2n?2???02GA與B特征值相同但不相似.?02Ha?7,b??2,P???1?5??11??22?02I?1???10?2??.?0?.1????013??02Ja??1,b?8,c??10.02K(1)|?E?A|??4?a34??a23??a2??a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k?(2)?2i(i?1,2,?,n);i(i?1,2,?,n);(3)?ki?i(i?1,2,?,n);(4)?i(i?1,2,?,n);(5)1?(i?1,2,?,n);(6)|A|1,2,?,n);i?(i?i(7)f(?i),(i?1,2,?,n).03E?|A|???2??1.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全為零.??0對應特征向量為k1?1?k1?1?...?kn?1?n?1(k1,k2,...,k3不全為零的任意常數).03L3,2,?2.03M(1)P?1AP全部特征值是?1,??12,?,?n.P?i是P?1AP的屬于?i的特征向量..59.(2)(P?1AP)T全部特征值是??11,?2,?,?n.PT?i是(PAP)T的屬于?i的特征向量.03P??1(n?1重),??3,??1對應特征向量為k1(?y2,y1,0,?,0)T?k2(?y3,0,y1,?,0)T???kn?1(?yn,0,0,?,y1)T,k1,k2,?,kn?1不全為0,??3對應特征向量為kn(x1,x2,?,xn)T,kn?0.??04AD.04B?54?6??3?33??.??7?68??04C(1)a??3,b?0,???1.(2)A不能相似于對角陣.?4?04D當a?1時,A?1?116?114???.?44?2??當a?11???14?1022?2時,A?30??10?55???.?22519???13?25?04E(1)?3?k(1,0,1)T(2)A?1??6??2102?.(k);?為任意非零常數?5213????011?04F??1/20?1/2??000?04G???.?10?1???1/20?1/2????.?1?10???111?04H??111??.04IA?P?P?1?P(2E)P?1?2E.??111????54?04J?6??3?33???.?7?68??04OA的特征值是2與1(n?1重)..60.X1?(1,1,?,1)T是A屬于??2的特征向量,X2?(?1,1,0,?,0)T,X3?(?1,0,1,?,0)T,?,Xn?(?1,0,0,?,1)TA屬于??1的特征向量.??1?1?1??1??2n2n2n??A?1????11?1??1??2n2n2n??????.??????12n?112n?1?2n??05A0.05BA能對角化.05CA能對角化.???1??1?05D(1)??1???2?(2)???;?1??;(3)???3????1??1????;??2???1????(4)???1?(5)A?2?.??;不能對角化;(6)?2??0?????4???05E令P???212??100???,則????1??1????.?011????0??21?005F(1)T?1???2?40?3??212??,T?1AT???010???1?22?????00?2?.????1?11??263??(2)T???1?11???1??3??3???263?,TAT??.????011??6???63????111???236?05GP???12???0??0??36?,P?1AP??1??.??111????4???236??.61.??221???5353??05HQ???142???5353?,QTAQ??2???2???.??7??05?2????353??05Ia??1,b??3.A能對角化.05J?0??1,a??3,b?0.A不能相似于對角陣.??1????1????05Kx?y?0.05L?111??111??.05MA~???????111???1?.??0????????????9?05N????1?05PA~B.?0?.??001?05Q(1)x?0,y??2;(2)P???210??.???11?1??06An!.06B?6.06C?(2n?3)！.06Dk(k?2)2.06FO.06EE.?3n?13n?106G(1)??(2)6n?1???3?1??2?3n?12?3n?1???;??93??;???(3)?100??1?3n?1?2?3n1?3n??.??1?3n?2?2?3n2?3n??06Hx100?5100?1.06Ix5100?3?2100?13.n06Ja?1?n??5?6??3??,nlim??an??5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是綜合練習五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.??00101F??010??.01Gy2?1?y22?y23.100???01H(1)f?z21?z22,相應的線性變換為z?Py?(P?1112P1)x.P1????010???,P?1002??013??,?001?????001????x1??(2)z2?z22???11?1/2??z1?12?z3.相應的線性變換??x2????x3???1?1?2????z2??.?001/2????z3???100(3)f??12y222?2y3相應的線性變換x????????110???1/21/21??y,??x1?01I??x?1??21?2????y1???2?01Jc?3,4y21?9y22.???3??122??y2?x3??2?21????y?3??111???263?01Ka??2,b??3.x?Cy,C????111???263?,???21??0??63?01Lf(x)?x2221,x2,x31?2x2?x3?2x1x2?2x2x3?4x1x3.切平面方程為2x1?x2?x3?1.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(?2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)??2;(2)???1.??101??22??411?02I????0,P???010??02NB?1??3???141?????11?.?114?.??0?22??.63.綜合練習六01A(1)V1是向量空間.(2)V2是向量空間.01B(1)W1不是子空間.(2)W2是子空間.dimW2?2.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一組基.(3)W3是子空間,dimW3?2.(?1,1,0),(2,0,1)是W3的一組基.(4)W4不是子空間.(5)W5不是子空間.01CW1?W2是V的子空間,W1?W2不一定是V的子空間.T02B??511??4,14,?4,?4??.?02C坐標變換公式為?x1??1?1?1??x1???x1???21?2??x1???x2??????102????x?2??或??x???????3??2???00?1??x2?x??0?10????x?3????x?3????11?1????x3???在所給定的兩組基下具有相同坐標的全部向量為k??3????2??,k??3?為任意實數.?T02D(1)(3,4,4)T;(2)??11?2,?5,13?2??.?02E(???5/21/2??1,?2)?(?1,?2,?3)????3/23/2??.?5/25/2??02F??(1,?2,?2)T時,?坐標乘積的極大值是18.?002G(1)A?1??100???1100????0?110??.?10?11??(2)所求非零向量??0??1?0??2?0??3?k?4?k?4(k為非零任意常數).02H(1)??111???011??;(2)??001??1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,?3?(0,0,1)T;(3)A???1?1????.02I(1,1,?,1).??3??.64.a11?a12??03A?a21?a22?a11?a12?a31?a32??a2203C(1)??a12?a?32a21a11a31a23?a13??;a33??a12a22?a12a32a13?a23?a13??.a33???0?11??03B??020?.?2?10????a11?a21(2)??k?a?31ka12a22ka32a13?a23??;k?a33???a11?a21a11?a12?a21?a22(3)??a21?a31a21?a22?a31?a32?aa31?a32?31a11?a12?a13?a21?a22?a23?a21?a22?a23?a31?a32?a33???a31?a32?a33?.65.
第二篇：線性代數習題答案
習題 三（A類）
1.設α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)
2.設3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)
=(1,2,3,4)3.（1）×
（2）×
（3）√
（4）×
（5）×
4.判別下列向量組的線性相關性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關；（2）線性相關；（3）線性無關；（4）線性相關.5.設α１,α２,α3線性無關，證明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也線性無關.證明：設
k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，即
(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.由?1,?2,?3線性無關，有
?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3線性無關.6.問a為何值時，向量組
?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a)
'''線性相關，并將?3用?1,?2線性表示.13?1223?7(5?a),當a=5時，?3?a117解：A?23?1?17?2.7.作一個以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關, 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，?1?10）線性無關，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個行向量.所以方陣可為??1??10?10010000??0?.0??1?
8.設?1,?2,?,?s的秩為r且其中每個向量都可經?1,?2,?,?r線性表出.證明：?1,?2,?,?r為?1,?2,?,?s的一個極大線性無關組.【證明】若
?1,?2,?,?r
(1)線性相關，且不妨設
?1,?2,?,?t(t (2)是(1)的一個極大無關組，則顯然（2）是?1,?2,?,?s的一個極大無關組，這與?1,?2,?,?s的秩為r矛盾，故?1,?2,?,?r必線性無關且為?1,?2,?,?s的一個極大無關組.9.求向量組?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關組.【解】把?1,?2,?3按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.?1?1A???1??k11k11??1??20????01???1??01??1??010????0k?10???1?k1?k??011??1??010????0k?10???01?k??011k?1001??0? 1??0?當k=1時，?1,?2,?3的秩為2,?1,?3為其一極大無關組.當k≠1時，?1,?2,?3線性無關，秩為3，極大無關組為其本身.10.確定向量?3?(2,a,b),使向量組?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3與向量組?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3線性表出.【解】由于 ?0?A?(?1,?2,?3)?1???1?1?B?(?1,?2,?3)?1???01211111??1??0?0????1???02??1??a?0???b???01102?100???1;?0??2??,b?a?2?? 而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又 ?0?c?(?1,?2,?3,?3)?1???112110?12??1??a?0???b???0210010?? ,2?b?a?2??a要使?3可由?1,?2,?3線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設要求，即?3=(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個極大線性無關組.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)； (3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣Α，應用初等行變換將Α化為最簡形矩陣B，則 11??1 0 ??1 4 1???1 4 1??1 4 1?9?????5?????0 1 ?2 ?1 ?30 ?9 ?55????????A??9???0 1 ??B ?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5?9?0 0 0???????0 0 0?????0 0 0??3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??????0 0 0?5可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列線性無關，由于Α的列向量組與B的對應的列向量有相同的線性組合關系，故與B對應的Α的第1，2列線性無關，即α1,α2是該向量組的一個極大無關組.（2）同理，? 6 1 1 7??0-11 55 7??1 2-9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10-11 55 7??????? 1 2-9 0???1 2-9 0???0-8 40 1?????????1 3-6 ?10 5-15-10 5-15-1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2-9 0?7?0 1-5-?11?45?0 0 0-11??240 0 10 ?11??0 0 0 0????1 2-9 0??1 0 0 0???????0 1-5 00 1 0 0????????0 0 10 0???0 0 1 0??B?????0 0 0 10 0 0 1??????0 0 0 0??0 0 0 0????????? 可知R(Α)=R(B)=4,Α的4個列向量線性無關,即α1,α2,α3,α4是該向量組的極大無關組.(3)同理，?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0-4-4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取線性無關組α1,α3,α5為該向量組的一個極大無關組.12.求下列向量組的一個極大無關組,并將其余向量用此極大無關組線性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成Α,應用初等行變換化為最簡形式.3??1 0 1?1-1 5-1????1-1 5-1??1-1 5-1?2????7??????1 1-2 30 2-7 47??????0 1-2 2???0 1-2??B, A?????3-1 8 1??0 2-7 4?2?0 0 0 0???????0 0 0 0?????0 0 0 0??1 3-9 7??0 4-14 8 ??0 0 0 0?????可知,α1,α2為向量組的一個極大無關組.?x1?x2?5?37?x1?x2??2設α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2?? 22?3x1?x2?8?x?3x??9?12?x1?x2??1??x1?x2?3設α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2 ?3x1?x2?1?x?3x?7?12所以a3?32a1?72a2,a4?a1?2a2.?1 1 1 4-3??1 1 1 4-3??1 0 2 1-2???????1-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1????????B(2)同理, A???2 1 3 5-5??0-1 1-3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0??????可知, α 1、α2可作為Α的一個極大線性無關組，令α3=x1α1+x2α?x1?x2?1可得：?即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, x?x?3?12?x1?x2?4可得：?即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, ?x1?x2??2?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αx?x??1?122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.設向量組?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能經?1,?2,?,?s線性表出.證明?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s等價.【解】設向量組 ?1,?2,?,?m (1)與向量組 ?1,?2,?,?s (2)的極大線性無關組分別為 ?1,?2,?,?r (3)和 ?1,?2,?,?r (4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即 r?i??aj?1ij?j(i?1,2,?,r).因（4）線性無關，故（3）線性無關的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.14.設向量組α1,α2,…,αs的秩為r1,向量組β1,β2,…,βt的秩為r2,向量組α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩為r3,試證: max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.證明：設αs1,…，?Sr1為α1,α2,…，αs的一個極大線性無關組, βt1,βt2,…,?t為β1，r2β2,…,βt的一個極大線性無關組.μ1，…，?r為α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一 3個極大線性無關組，則α s1，…，?S和βt1，…，β r1tr2 可分別由μ1，…，?r線性表示，所 3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r可由α 3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2線性表示及線性無關性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量組α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡形式： ?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,從而1+3a=0，即a=- 13.16.求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關組.?25?75(1)??75??***42043??1??1320?； (2)??2134???48??11201213025?141???1?.3???1???1????2【解】(1)矩陣的行向量組??的一個極大無關組為?1,?2,?3; ??3?????4???1????2(2)矩陣的行向量組??的一個極大無關組為?1,?2,?4.??3?????4?17.集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否構成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)則 ????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).因為 (x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空間.18.試證：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把?1,?2,?3排成矩陣A=(?1,?2,?3),則 1A?1010101??2?0, 1所以?1,?2,?3線性無關，故?1,?2,?3是R3的一個基，因而?1,?2,?3生成的向量空間恰為R3.19.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生的向量空間的一組基及其維數.【解】因為矩陣 A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01112343411214??1??50????06???4??01?1023?2041?1114??1???30????02???4??01?1003?2001?1104???3 ?,2??0?∴?1,?2,?4是一組基，其維數是3維的.20.設?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),證明: L(?1,?2)?L(?1,?2).【解】因為矩陣 A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010112?1330??1??10????0?1????1??01?1002?3000??1 ?,0??0?由此知向量組?1,?2與向量組?1,?2的秩都是2，并且向量組?1,?2可由向量組?1,?2線性表出.由習題15知這兩向量組等價，從而?1,?2也可由?1,?2線性表出.所以 L(?1,?2)?L(?1,?2).21.在R3中求一個向量?，使它在下面兩個基 (1)?1?(1,0,1),(2)?1?(0,?1,1),?2?(?1,0,0)?2?(1,?1,0)?3?(0,1,1)?3?(1,0,1) 下有相同的坐標.【解】設?在兩組基下的坐標均為(x1,x2,x3)，即 ?x1??x1???????(?1,?2,?3)x2?(?1,?2,?3)x2,???????x3???x3???1?0???1?1000??x1??0????1x2??1????1????1?x3???1?101??x1????0x2???1????x3?? 即 ?1?1???0?210?1??x1????x?0, 1??2?0????x3??求該齊次線性方程組得通解 x1?k,x2?2k,x3??3k (k為任意實數)故 ??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).22.驗證?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)為R3的一個基，并把?1?(5,0,7), ?2?(?9,?8,?13)用這個基線性表示.【解】設 A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2)，又設 ?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3, 即 ?x11?(?1,?2)?(?1,?2,?3)x21???x31x12??x22, ?x32??記作 B=AX.則 ?1?(A?B)??1???0?1?0???***?2507?9??r2?r1???8????13???1?0???0233?1?0???0342010557001?9?r2?r3????17?r?2?r3??13??23?13???3??2???9??作初等行變換??13???????4?? 因有A?E,故?1,?2,?3為R3的一個基，且 ?2?(?1,?2)?(?1,?2,?3)3????13???3, ??2??即 ?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.（B類） 1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0 7.設向量組α1,α2,α3線性相關,向量組α2,α3,α4線性無關,問:(1)α1能否由α2,α3線性表示?證明你的結論.(2)α4能否由α1,α2,α3線性表示?證明你的結論.解：(1)由向量組α1，α2，α3線性相關，知向量組α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4線性無關，所以α2, α3線性無關，故α2, α3是α1, α2, α3的極大線性無關組，所以α1能由α2, α3線性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3線性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的極大線性無關組,所以α4可由α2，α3線性表示.與α2，α3，α4線性無關矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1線性相關,但其中任意 n個向量都線性無關,證明:必存在n+1個全不為零的數k1,k2,…,kn,kn+1,使 k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.證明:因為α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0 n+1=0，由任意 n+1線性相關，所以存在不全為零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，則k2α2+…+kn+1αn個向量都性線無關，則k2=…=kn+1=0,矛盾.從k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1個全不為零的數k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.設A是n×m矩陣,B是m×n矩陣,其中n＜m,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關.證明：由第2章知識知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小結所給矩陣秩的性質，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關. 第六章 二次型 ??B1?與???合同.AB?2??2? 證：因為A1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1?C1TAC11，1．設方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明?T 因為A2與B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2?C2A2C2.?A 1令 C???C1???，則C可逆，于是有 C2?T1??C1?B1??C1TAC??A1??C11 ???????????TBC2??A2CAC?2????222???A1??B1?即 ?與???合同.AB?2??2? 2．設A對稱，B與A合同，則B對稱 證：由A對稱，故A?A.因B與A合同，所以存在可逆矩陣C，使B?CAC，于是 TTA?T?1??C?C?2???CA2?BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B 即B為對稱矩陣.3．設A是n階正定矩陣，B為n階實對稱矩陣，證明：存在n階可逆矩陣P，使PTAP與PTBP均為對角陣.證：因為A是正定矩陣，所以存在可逆矩陣M，使 MTAM?E 記B1?MBM，則顯然B1是實對稱矩陣，于是存在正交矩陣Q，使 TQTB1Q?D?diag(?1,?,?n) 其中?1,?,?n為B1?MTBM的特征值.令P=MQ，則有 PTAP?E,PTBP?D A,B同時合同對角陣.4．設二次型f??(ai?1mi11令A?(aij)m?n，則二次型f的秩等于r(A).x???ainxn)2，證：方法一 將二次型f寫成如下形式： f??(ai1x1???aijxj???ainxn)2 i?1m設Ai=(ai1,?,aij,?,ain) (i?1,?,m) ·107· ?a11?a1j?a1n??A1?????????????則 A??ai1?aij?ain???Ai? ?????????????a????m1?amj?amj??Am??A1??????mTTTT于是 AA?(A1,?,Ai,?,Am)?Ai???AiTAi ??i?1????A??m??ai1??????mm22故 f??(ai1x1???aijxj???ainxn)=?[(x1,?xj,?xn)?aij?] ??i?1i?1????a??in??ai1??x1??x1????????????????mmT =?[(x1,?xj,?xn)?aij?(ai1,?aij,?ain)?xj?]=(x1,?xj,?xn)(?AiAi)?xj? ??????i?1i?1??????????a??x??x??in??n??n? =X(AA)X 因為AA為對稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)． T方法二 設yi?ai1x1???ainxn,i?1,?,n.記Y?(y1,?,ym)，于是 Y?AX，其中X?(x1,?,xn)T，則 2f??yi2?y12???ym?YTY?XT(ATA)X.i?1m 因為AA為對稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)． T 5．設A為實對稱可逆陣，f?xAx為實二次型，則A為正交陣?可用正交變換將f化成規范形.證：?設?i是A的任意的特征值，因為A是實對稱可逆矩陣，所以?i是實數，且?i?0,i?1,?,n.因為A是實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，在正交變換X?PY下，f化為標準形，· ·108即 f?XTAX?YT(PTAP)Y?YTDY?YTdiag(?1,?,?i,?,?n)Y 2??1y1 （*）????iyi2????nyn 因為A是正交矩陣，顯然D?PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n)也是正交矩陣，由D為對角實矩陣，故?i2?1即知?i只能是?1或?1，這表明（*）恰為規范形.?因為A為實對稱可逆矩陣，故二次型f的秩為n.設在正交變換X?QY下二次型f化成規范形，于是 22?YDY f?XTAX?Y(QTAQ)Y?y1???yr2?yr2?1???ynT其中r為f的正慣性指數，D?diag(1,?,1,?1,?,?1).TT 顯然D是正交矩陣，由D?QAQ，故A?QDQ，且有AA?AA?E，故ATT是正交矩陣.6．設A為實對稱陣，|A|?0，則存在非零列向量ξ，使ξTAξ?0.證：方法一 因為A為實對稱陣，所以可逆矩陣P，使 PTAP?D?diag(?1,?,?i,?,?n) 其中?i(i?1,?,n)是A的特征值，由|A|?0，故至少存在一個特征值?k，使?k?0，?0??????取ξ?P?1?，則有 ??????0?????1??0??0????????????????TT??1???k?0 ，1,?0?,0)?k ξAξ?(0,?,1,?,0)PAP?1??(0?????????????????0?????n??????0? 方法二（反證法） T 若?X?0，都有XAX?0，由A為實對稱陣，則A為半正定矩陣，故|A|?0與|A|?0矛盾.222 7．設n元實二次型f?XAX，證明f在條件x1?x2???xn?1下的最大值恰T為方陣A的最大特征值． 解：設?1,?2,?,?n是f的特征值，則存在正交變換X?PY，使 f?XTAX?YT(PTAP)Y??1y12??2y2????nyn設?k是?1,?2,?,?n中最大者，當XX?x1?x2???xn?1時，有 ·109· T22222XTX?YTPTPY?YTY?y12?y2???yn?1 因此 2222f??1y12??2y2????nyn ??k(y12?y2???yn)??k 222這說明在x1=1的條件下f的最大值不超過?k． ?x2???xn 設 Y0?(y1,?,yk,?,yn)T?(0,?,0,1,0,?.0)T 則 Y0TY0?1 222f??1y12??2y2????kyk????nyn??k 令X0?PY0，則 TX0X0?Y0TY?1 并且 Tf(X0)?X0AX0?Y0T(PTAP)Y0??k 222這說明f在X0達到?k，即f在x1?x2???xn?1條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值． 8．設A正定，P可逆，則PAP正定.證：因為A正定，所以存在可逆矩陣Q，使A?QTQ，于是 PAP?PQQP?(QP)QP，顯然QP為可逆矩陣，且 TTTTT(PTAP)T?(QP)TQP?PTAP，即PTAP是實對稱陣，故PTAP正定.9．設A為實對稱矩陣，則A可逆的充分必要條件為存在實矩陣B，使AB+BA正定． 證：先證必要性 取B?A，因為A為實對稱矩陣，則 ?1TAB?BTA?E?(A?1)TA?2E 當然AB?BA是正定矩陣． 再證充分性，用反證法． 若A不是可逆陣，則r（A） 因為A是實對稱矩陣，B是實矩陣，于是有 TTTX0(AB?BTA)X0?(AX0)TBX0?X0B(AX0)?0 這與ABAB?BA是正定矩陣矛盾． 10．設A為正定陣，則A?A?3A仍為正定陣.證：因為A是正定陣，故A為實對稱陣，且A的特征值全大于零，易見A,A,A2*?1A?A?3A全是實對稱矩陣，且它們的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩陣，2*T2*?12*?1?1為實對稱陣.對?X?0，有 XT(A2?A*?3A?1)X?XTA2X?XTA*X?XTA?1X?0 · ·110 即 A?A?3A的正定矩陣.11．設A正定，B為半正定，則A?B正定.T 證：顯然A,B為實對稱陣，故A?B為實對稱陣.對?X?0，XAX?0，2*?1XTBX?0，因XT(A?B)X?0，故A?B為正定矩陣.12．設n階實對稱陣A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，則AB正定.證：設A,B的特征值分別為?i,?i(i?1,?,n).由題設知?i?0,?i?0,i?1,?,n.PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n) 為PiA的特征向量，i?1,?,n.因為A是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣P?(P1,?,Pi,?,Pn)，使 即 AP,ii??iP 由已知條件Pi也是B的特征向量，故 BPi??iPii?1,?i,?,n 因此 ABPi?A?iPi?(?i?i)Pi，這說明?i?i是AB的特征值，且?i?i?0，i?1,?,n.又因為 ABP?Pdiag(?1?1,?,?i?i,?,?n?n),PT?P?1.故 AB?Pdiag(?1?1,?,?i?i,?,?n?n)P，顯然AB為實對稱陣，因此AB為正定矩陣.13．設A?(aij)n?n為正定矩陣，b1,b2,?,bn為非零實數，記 B?(aijbbij)n?n 則方陣B為正定矩陣． 證：方法一 因為A是正定矩陣，故A為對稱矩陣，即aij?aji，所以aijbibj?ajibjbi，這說明B是對稱矩陣，顯然 ?a11?b21abb1?anbb1221n1???b1?0??a11?a1n??b1?0?2abbab?abb2121222n2n?2? B??=?????????????? ????0?b??a?a??0?b???n??n1nn??n???abbabb?abb???nnnn??n1n1n2n1 對任給的n維向量X?(x1,?,xn)?0，因b1,b2,?,bn為非零實數，所以 T(b1x1,?,bnxn)T?0，又因為A是正定矩陣，因此有 ?b1?0??a11?a1n??b1?0?TT XBX?X???????????????X ?0?b??a?a??0?b?n??n1nn??n???a11?a1n??b1x1? =(b1x1,?,bnxn)?????????0 ?a?a??bx?nn??nn??n1即B是正定矩陣． ·111· 方法二 記 ?a11b12a12b1b2?a1nb1bn??abbab2?abb?2n2n? B??2121222??????abbabb?abb?nnnn??n1n1n2n1則因為A是實對稱矩陣，顯然B是實對稱矩陣，?b1?0? B的k階順序主子陣Bk可由A的階順序主子陣分別左，右相乘對角陣?????而 ?0?b?n??得到，即 ?b1?0??a11?a1k??b1?0?Bk???????????????? ?0?b??a?a??0?b?k??k1kk??k??計算Bk的行列式，有 Bk??bi2Ak?0 i?1n故由正定矩陣的等價命題知結論正確． 14．設A為正定矩陣，B為實反對稱矩陣，則A?B?0.證：因為M是n階實矩陣，所以它的特征值若是復數，則必然以共軛復數形式成對出現；將M的特征值及特征向量寫成復數形式，進一步可以證明對于n階實矩陣M，如果對任意非零列向量X，均有 XTMX?0 可推出M的特征值(或者其實部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之積，故必有M?0 ． 因為A是正定矩陣，B是反對稱矩陣，顯然對任意的 非零向量X，均有 XT(A?B)X?0,而A+B顯然是實矩陣，故A?B?0.T 15．設A是n階正定矩陣，B為n?m矩陣，則r(BAB)=r(B)． T 證：考慮線性方程組BX?0與BABX?0，顯然線性方程組BX?0 的解一定是BTABX?0的解． TT 考慮線性方程組BABX?0，若X0是線性方程組BABX?0的任一解，因此有BTABX0?0． 上式兩端左乘X0有 T(BX0)TA(BX0)?0 · ·112 T 因為A是正定矩陣，因此必有BX0?0，故線性方程組BX?0與 BABX?0是同解方程組，所以必有r(BAB)= r(B).16．設A為實對稱陣，則存在實數k，使|A?kE|?0.證：因為A為實對稱陣，則存在正交矩陣P，使 TP?1AP?diag(?1,?,?i,?,?i).其中?i為A的特征值，且為實數，i?1,?,2.于是 A?Pdiag(?1,?,?i,?,?n)P?1 ?1?k? |A?kE|?|P|?i?k?|P|??(?i?k) ?1i?1n?n?k取k?max{|?i|?1}，則1?i?n|?(??k)?0，故 |A?kE?ii?1n0.17．設A為n階正定陣，則對任意實數k?0，均有|A?kE|?kn.證：因為A為正定矩陣，故A為實對稱陣，且A的特征值?i?0,i?1,?,n.則存在正交矩陣P，使 ??1???????1?,PAP???i???????n???于是對任意k?0，有 ?1?k?|P| |A?kE?|??1???????P?1 A?P??i???????n????i?k?P|?1?|?(?i?k)??k?kn.i?1i?1nn?n?k 18．設A為半正定陣，則對任意實數k?0，均有|A?kE|?0.證：因為A為半正定矩陣，故A為實對稱矩陣，且A的特征值?i?0，i?1,?,n.則存在正交矩陣P，使 PAP?diag?1(?,于是對任意k?0，有 |A?kE?|P||di?a1g?(k??,i?k,? ?1?i,?,?n,，A)?Pdiag(?1,?,?i,?,?n)P?1 ?n,?k,P?1?|?(?|i?k)?kn?0.)i?1n·113· 19．A為n階實矩陣，?為正實數，記B??E?AA，則B正定.T 證：BT?(?E?ATA)T??E?AA?B，故B是實對稱矩陣.T 對?X?0，有(X,X)?0,(AX,AX)?0，因此有 AX??(X,X)?AX(AX,?)0 XTBX?XT(?E?ATA)X??XTX?XTAT故 B??E?AA為正定矩陣.20．A是m?n實矩陣，若AA是正定矩陣的充分必要條件為A是列滿秩矩陣． 證：先證必要性 方法一 設AA 是正定矩陣，故?X0?0，有 TX0(ATA)X0?(AX0)T(AX0)?0 由此AX0?0，即線性方程組AX?0僅有零解，所以r(A)=n，即A是列滿秩矩陣． TTT方法二 因為AA 是正定矩陣，故r(AA)=n，由于 TTn?r(ATA)?r(A)?n 所以r(A)=n． 即A是列滿秩矩陣． 再證充分性：因A是列滿秩矩陣，故線性方程組僅有零解，?X?0，X為實向量，有AX?0．因此 XT(ATA)X?(AX)T(AX)?(AX,AX)?0 顯然AA 是實對稱矩陣，所以AA 是正定矩陣． 21．設A為n階實對稱陣，且滿足A?6A?4E?0，則A為正定陣.證：設?為A的任意特征值，ξ為A的屬于特征值?的特征向量，故ξ?0，則 2TTAξ??ξ,2A2ξ??2ξ 由 A?6A?4E?0 有 Aξ?6Aξ?4ξ?0 2(?2?6??4)ξ?0 2由 ξ?0，故 ??6??4?0.??3?5?0.因為A為實對稱矩陣，故A為正定陣.22．設三階實對稱陣A的特征值為1,2,3，其中1,2對應的特征向量分別為ξ1?(1,0,0)T,ξ2?(0,1,1)T，求一正交變換X?PY，將二次型f?XTAX化成標準形.解：設ξ3?(x1,x2,x3)T為A的屬于特征值3的特征向量，由于A是實對稱矩陣，故ξ1,ξ2,ξ3滿足正交條件 ?1?x1?0?x2?0?x3?0 ?0?x?1?x?1?x?023?1 解之可取ξ3?(0,1,?1)，將其單位化有 · ·11 411T1?1T,),P3?(0，)2222???100???11?? 令 P?(P1,P2,P3)??0.?22??11??0???22??則在正交變換X?PY下，將f化成標準形為 P1?(1,0,0)T,P2?(0,22 f?XTAX?YT(PTAP)Y?y12?2y2?3y 323．設 ?1?22???A???24a? ?2a4???2二次型f?XTAX經正交變換X?PY化成標準形f?9y3，求所作的正交變換.2解：由f的標準形為f?9y3，故A的特征值為?1??2?0,?3?9.??1故 |?E?A|?2?2?a??2(??9) ??4?22?2?1??4?a2 令??0，則 2解之 a??4.?4?a?0 ?2?a?4?1?22???由此 A???24?4? ?2?44??? 對于?1??2?0有 ??12?2??1?22????? 0E?A??2?44???000? ??24?4??000?????可得A的兩個正交的特征向量 ?2???2?????ξ1??2?,ξ2??1? ?1??2????? ·115· ?1???對于?3?9，可得A的特征向量為??2? ?2???將特征向量單位化得 ?2???2??1?1??1??1??P1??2?,P2??1?,P3???2? 3??3??3??12?????2??2?21?1??則P?(P1,P2,P3)??21?2?為正交矩陣，3???122??2?21?1??正交變換X?PY為X??21?2?Y.3???122? 注：因特征向量選擇的不同，正交矩陣P不惟一.222 24．已知二次型f?x1?2x2?(1?k)x3?2kx1x2?2x1x3正定，求k.解：二次型的表示矩陣 1??1k??A??k20? ?101?k????1k2??0??k?2?0由A正定，應有A的各階順序主子式全大于0.故 ?k2，即?.2??|A|?0?k(k?k?2)?0?解之 ?1?k?0.222 25．試問：三元方程3x1?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x1?x2?x3?0，在三維空間中代表何種幾何曲面.222 解：記f?3x1?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x1?x2?x3 ?311??x1??x1???????則 f?(x1,x2,x3)?131??x2??(?1,?1,?1)?x2? ?113??x??x????3??3??311??? 設 A??131?.?113???2則|?E?A|?(??2)(??5).故A的特征值為?1??2?2,?3?5.· ·116 對于?1??2?2，求得特征向量為 ??1???ξ1??1?,?0???由Schmidt正交化得 ??1???ξ2??0?.?1?????1???β1??1?,?0????1???2???1β2????.?2???1???????1???對于?3?5得特征向量ξ3??1?，標準化得 ?1????1??1??1?????????632???????1??1??1?P1??,P??,P?23???? ?26???3????2??1??0??????????6??3?11??1????263??11??1 令 P?(P1,P2,P3)???? 63??221??0??63??則在正交變換X?PY下 22f?2y12?2y2?5y3?3y3 于是f?0為 22y12?2y2?5(y3?323)? 102022為橢球面.26．求出二次型f?(?2x1?x2?x3)?(x1?2x2?x3)?(x1?x2?2x3)的標準形及相應的可逆線性變換.解：將括號展開，合并同類項有 ·117· 222222 f?4x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?2x2x3?x12?4x2?x3?4x1x2?2x1x3?4 2x3x222 ?x1?x2?4x3?2x1x2?4x1x3?4x2x3 22222 ?6x1?6x2?6x3?6x1x2?6x1x3?6x2x3?6(x12?x2?x3?x1x2?x1x3?x2x3) 1132323119x2?x3)2?x2?x3?x2x3]?6(x1?x2?x3)2?(x2?x3)2 2244222211?y?x?x??11222x3? 令 ?y2?x2?x3 ?y?x3?3?11??1???y1??22??x1???????1?1即 y2??0??x2? ???y??001??x3??3??????? ?6[(x1?則可逆變換為 ?1?x1??????x2???0?x??0?3???在此可逆線性變換下f的標準形為 1?12??y1????11??y2? 01??y3?????92y2.2f?6y12? 27．用初等變換和配方法分別將二次型 222 （1）f1??x1?3x2?2x4?4x1x2?4x1x4?2x2x4 （2）f2?2x1x2?6x2x3?2x1x3 化成標準形和規范形，并分別寫出所作的合同變換和可逆變換.解：先用配方法求解 （1）f1?(?x1?4x1x2?4x1x4)?3x2?2x4?2x2x4 ??(x1?2x2?2x4)?x2?6x4?6x2x4??(x1?2x2?2x4)?(x2?3x4)?3x4 222222222?y1?x1?2x2?2x4?y?x?3x?224 令 ? 即 y?x3?3??y4?x4?x1?y1?2y2?4y4?x?y?3y?224 ?x?y3?3??x4?y4 · ·118 ?1204???0103? 令 P???0010???0001???? 則二次型f經可逆線性變換x?Py化成標準形 f1??y12?y2?3y4?y1?z1?z1?y1?y?z?z?y22?2??2 若再令 ? 即 ?y3?z3 z?y3??3?y?3z?z?3y?4444?3??1???1??? 令 Q??1??3????3??222則原二次型f1經可逆線性變換x?PQz化成規范形f1??y1.?y2?y4?x1?y1?y2? （2）先線性變換?x2?y1?y2 ?x?y3?3原二次型化成 2222 f2?2(y1?y2)?6y1y3?6y2y3?2y1y3?2y2y3?2y1?2y2?4y1y3?8y2y3 222 ?2(y1?y3)2?2y2 ?2(y1?y3)2?2(y2?2y3)2?6y3?8y2y3?2y3?z1?y1?y3?y1?z1?z3?110??101??????? 令?z2?y2?2y3，即?y2?z2?2z3.令P1??1?10?，P2??012? ?z?y?y?z?001??001?????33?3?3則原二次型f2經可逆線性變換x?P1P2z化成標準形 f2?2z12?2z2?6z3??z1??w1?2z1????? 若再令?w2?2z2 即 ?z2???w?6z3???3?z3??? 2w122w2 26w36·119· ?2???2????2 令 Q??? 2???6?????6??則原二次型f2經可逆線性變換x?P1P2Qw化成規范形 22.f2?w12?w2?w3 用初等變換法求解 ??12?2?3? （1）設A??00???21???12?2?3? (A?E4)??00???21?0?2??01? 00??02??***0?2010002000?***00???1??0?r2?2?r1?0????0?c2?2?c1?0????21???0???1??0?r4?3?r2?0????c4?3?c2??00???01???00?0?10?0 01?0?3?30?3?010?301000?2100?***000?***100??0? 0??1??0??0? ?0?1????10?r4?(?2)?r1?01 ?????c4?(?2)?c1?00??0?3???10?1?01?r33??00 ???1?c3?3??00?120?20000?1T433000??10?100???2100????2100?? 令 P1?，P2??0010? ?001?0????3?430??43?130????3??3222則原二次型f1經過可逆線性變換x?P1y化成標準形f1??y1?y2?3y3.二次型經過可逆線性變換x?P2z化成規范形f1??z1?z2?z4.· ·120 222T?011??? （2）設A??10?3? ?1?30???110?0?01?0??r3?(?1)?r2?0?301?????0c3?(?1)?c2??1 (A?E3)??1?1?3000?1?0???100?3?360??010? 0?11??10?01 ???r3?3?r1c3?3?c1??010100??100010??21r1?r2?c1?c2??1000?0063?11?????????0063?200110? ????r12?(??2)?r1?111?c1?0?0?2?(?2)?c1??2220?? ?0063?11????1001120??1 ?????2?r1?21,2?c11?2?r2,2?c???0?10?162220?? 6?r23,6?c3?????00162?66?66???11T?0???110?T?? 令 P11??221????0?，P?112???0???22?22??3?11?????66??2?666??則原二次型f2經過可逆線性變換x?P1y化成標準形 f?2y212221?2y2?6y3 二次型經過可逆線性變換x?P2z化成規范形 f2222?z1?z2?z3 28．用三種不同方法化下列二次型為標準形和規范形.（1）f2221?2x1?3x2?4x2x3?3x3 （2）f22222?x1?x2?x3?x4?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4 解：先用配方法求解 00?10?11? ???121· · 42522x2x3)?3x3?2x12?3(x2?x3)2?x3 333?y1?x1?x1?y1??22?? 令 ?y2?x2?x3 即 ?x2?y2?y3 33?????y3?x3?x3?y3?100???2 令 P??01?? ?3??001??? （1）f1?2x1?3(x2?22則二次型f1經可逆線性變換x?Py化成標準形 2f1?2y12?3y2?52y3 3?2z1??y1?2?z1?2y1???3??z2 若再令 ?z2?3y2 即 ?y2?3??15??z?15y33y?z3??33?5???2???2????3 令 Q??? 3???15????5???原二次型f1經可逆線性變換x?PQz化成規范形 22.f1?z12?z2?z3 （2）f2?(x1?2x1x2?2x1x4)?x2?x3?x4?2x2x3?2x3x4 ?(x1?x2?x4)2?x3?2x2x3?2x3x4?2x2x4 2 ?(x1?x2?x4)2?(x3?x2?x4)2?(x2?2x4)2?3x4 2222?y1?x1?x2?x4?y?x?2x?224 令 ? 即 ?y3??x2?x3?x4??y4?x4 · ·122 ?x1?y1?y2?y4?x?y?2y?224 ??x3?y2?y3?y4??x4?y4?1?1?010?1??02 令 P?????0111? ??0001???則二次型f2經可逆線性變換x?Py化成標準形 f2?y22?3y22?y12?y34 ???z1?y1?y1?z1? 若再令 ??z2?y2 即 ?y2?z2?z?y 3?y 3??3?z3?z4?3y4???y4?33z4??1??1?? 令 Q???1? ???3??3?? 原二次型f?PQz化成規范形f22222經可逆線性變換x2?z1?z2?z3?z4.用初等變換法求解 ?20 （1）設A??0??032?? ??023????20010???200100? (A?E??03)??03201??????0r?(?233)?r2c(?2??030010?3????02300??13)?c2??52??0030?31????100100?1?2?? ?????12?r112?c1??010010?3?r1?? 23?c215?35?r15?35?c3??21515??0010?155?? 123· · ??10?1 令 P1??0?2?0?3??0??0?,?1??T????P2??????1200?01321515?0???0? ?15??5?22T則原二次型f1經過可逆線性變換x?P1y化成標準形f1?2y1?3y2?222可逆線性變換x?P2z化成規范形f1?z1.?z2?z352y3.二次型經過3?110?1???11?10? （2）設A???0?111????1011????10?1100?0?1??11?100100?? (A?E4)? ?0?1110010????10110001?????100?11000??10001???00?11?110000?11?1r2?(?1)?r1r4?r1??? ?????????c2?(?1)?c1?0?1110010?c4?c1?0?1110????11110001???01101????10001000??10001???00?11?11000001?1r3?r2r3?r4??? ????????c3?c2?0?1?12?1110?c3?c4?00320???01201001???01201????10001000??10001???0001?110002010r3?(?2)?r2r2?r4??? ?????????c3?(?2)?c2?00302?111?c2?c4?00302???01001001???01001????10001000???020001011??r4?(?)?r22 ??????00302?111? 1c4?(?)?c2??2111??1?0?000???222? · ·124 000??100? 010??001??000??100? 111??001??000??101? ?111??001???1??0?11?r2?c222 ???????11?0?r3?c333?2?r42?c4??0??***??01233220033000?10??1??1?2??0? 令 P1??2333? ??333???1??22??0?22?12222f?y?2y?3y?y4.f2可則原二次型f2可經可逆線性變換x?P化成標準形y212312經可逆線性變換x?P2z化成規范形 222 f2?z12?z2?z3?z4?1T?000??0??101??? P2??23?111??311??0??22??2??0??1?2??3? 3??2??2?00102T用正交變換法求解 ?200??? （1）f1的矩陣為A??032?，?023?????200由 |?E?A|?知A的特征值為1,2,5.00??3?2?2?(??1)(??2)(??5)，??3??100??x1??0??x1??0??0?????????????對?1?1，解?0?2?2??x2???0?，得?x2??k?1?，取T1??1?，單位化 ??1??0?2?2??x??0??x???1??????3????3??????0????000??x1??0??x1??1??1?2?????????????P??0x?k0P1??，對?2?2，解?0?1?2??x?，得，取22?0?，?2??????2??0??x??0??0?2???0???1?????3??????x3???2??????2? ·125· 0??x1??0??30??????對?3?5解?02?2??x2???0?，得?0?22??x??0????3????x1??0??0???????x?k1T? 取32?1?，單位化得?????1??x??1????3??????P3??????????00???2??2，令 P??22???2?2????2??2100?0??2?，則P為正交陣，經正交變換X?PY，?2?2??2?222原二次型f化為f?XTAX?y1.?2y2?5y3?110?1???11?10? （2）f2的矩陣為 A???0?111????1011??????1?101?1??110由 |?E?A|??(??1)(??3)(??1)2 01??1?110?1??1知A的特征值為?1,3,1,1.?x1???2?101??x1?0???1??1??????x???????x?1?2100?122??????, 得 ???k??，取T???1?對?1??1，解?1?x3??01?????1???1?2?1??x3?0??????????1???x???1??x10?1?20???4??????4????1??2????21?????1?2??單位化得P1??對?2?3，解?，?01?????2??1?1????2??10210??x1?0?????10??x2?0??21???x3?0?????1?2??x4?0?1???, 得 ????x1???1?????x2???k??1?.?x3??1????1???x?????4? · ·126 ?1???2????1?? 取 T?1?????1?2?2???? ?1?單位化得 P2????1?.??1?????2?1???2?? 對?3??4?1，解 ??0?101??x1??x1???1010?????0??1??x0??x????0??20???2????,得 ??010?1??10?10????x3??x???0????x???k1????k?1? 3?1?2?0?4??0???x?4????0??????1?????1?? 取 T3??0????0?,T4??1??，?1????0????0???1?????2??0??2??? 再令 P?0???2?3??,P??2??2?4?0? ?????2??2?0?????2????11??2?2220?????112? 令 P??2?202?????112，則P為正交陣，經正交變換X?PY，0??222????11?2202?2??原二次型f化為 f?XTAX??y22221?3y2?y3?y4.29．判斷下列二次型正定，負定還是不定.（1）f2221??2x2?6x2?4x3?2x1x2?2x1x3 127· · 解：二次型f1的矩陣為 1???21??A??1?60? ?10?4???A的各階順序全子式 ?2?0,?211?6?2?11?0,1111?60??38?0.0?4所以二次型f1是負定二次型.2222 （2）f2?x1?3x2?9x3?19x4?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4 解：二次型f2的矩陣為 ?1?121????130?3? A???209?6???1?3?619????A的各階順序主子式 1?1211?121?1?130?31?0,?2?0，?130?6?0，?24?0 ?13209?62091?3?619所以二次型f2是正定二次型.2222 （3）f3?x1?x2?14x3?7x4?6x1x3?4x1x4?4x2x3 解：二次型f3的矩陣為 ?103?01?2?A??3?214??200?A的各階順序主子式 2??0? 0??7??20??33?0.071?0,1031001?2?1?0，01?2?1?0，013?2143?214200103所以二次型f3是不定二次型.222 30．求一可逆線性變換X?CY，把二次型f1?2x1?5x2?4x3?2x1x2?4x1x3化成 · ·128規范形fy22?y21?1?y23，同時也把二次型 f32?2x222x21?3x2?3?2x1x3?2x1x3?4x2x3 化成標準形f2222?k1y1?k2y2?k3y3.解：記f1?XTAX，其中 ?A??2?1?2???150???204? ????200??2?1?2??????150???09?1?r?A???204?3?r1?r1r?1?2?0?12??E?????100????2?2??? ??c3?c1c12?c1??111?2??010???001???2???010???001????200?00??9??110??00????r1?1?02216?2?001??025????r2?03?9r2?9?r2?3??3?1?c2?3?66?9c2??1110????r3?4c1?1??22??29?21???2?c2?23??0?c3?013?436???9????001??03?????04????125??266???取 P???021?36?，則PTAP?E ??????00?4???記 fT2?XBX，其中 129· · ?3?0?1?2???B??03?2? ??1?22???????100???2?12?5???31???20?266?則 BT?22????03?2??21?1?PBP??0?63??? ?????0?1?22??36??513????3???664???????00??4????31?11??220??2??125?266????34422? ?????252??42??021??????13?2??6????36???444? ??1??11???23???003???????4???121??22?42????312? ?1?4??13?2???1B2 ??2?22??4??其中 B?312?2???13?2?? ???2?22??顯然B都是實對稱矩陣，它們的特征值為11,B24倍的關系，特征向量相同.??3?1?20(??33)?1?2?(4) |?E?B2|??1??32?1?(??3)?2??(??42)??22??20?2?(?4)??4則B2的特征值為??0,?2??3?4，故B1的特征值為0,1,1.以下求B2的特征向量.·130 · 0?1??1??????2?2????11?? 對于?1?0，求得α1??，單位化后???1??2??2? ??1????1???????2????2? 對于??1???α??2??3?4，求得α2?1,?3??0??0? ????1?? 由Schmidt標準正交化后得 ??1???2??1??2????1??2???13???2?,??? ??0???2??????1???2?????111??222? 令 Q?(??11?1,?2,?3)??2?1??22?.??11???202?? 則Q為正交矩陣，且有 ?0?QTB(PTBP)Q???1?1Q?QT? ??1????125??11??266??1???2??12?22 令 C?PQ??1??2?1?023?1???6????1222????3????1??221?3?00?4??1?0???22????42于是 QTPTAPQ?QTEQ?E 27?362?1?3?1?62?03??42??131· · 即 CAC?E T?0???CTBC??1? ?1???在可逆線性變換X?CY下 f1?y12?y2?y322.f2?y2?y3（注：經驗算本題所得C是正確的，需要注意的是C并不惟一） 31．求一可逆線性變換X?PY，將二次型f化成二次型g.22f?2x12?9x2?3x3?8x1x2?4x1x3?10x2x3 22g?2y12?3y2?6y3?4y1y2?4y1y3?8y2y3 4?2??2?2?2?2?????9?5?，g?YTBY，B???234? 解：f?XTAX，A??4??2?53???246????? 將A,B分別作合同變換如下： ?24?2??200??200???????49?501?1010??????2?2r1?0?11?r?r?000??A???2?53?rr3?r132?????? ?????c2?2c1?????? c3?c2?E??100?c3?c1?1?21??1?2?1??010??010??011?????001???001???001???????? 在可逆線性變換X?C1Z下 f?2z12?z2?1?2?1???C1??011? ?001????2??20??4??012?r1?026?rr3?r1??????2?c10?cc3?c1?11?010?????001?? 其中 ?2?2???23?B???24?????E??10?01??00?22在可逆線性變換Y?C2Z下g?2z1?z2.· ·132 0??2??2??04?r3?r2?0??????1?c3?c2?1?00?????01??0101100??0?0?? ?1??2??1???11?1???其中 C2??01?2? ?001????1由 Z?C2Y得 ?1X?C1Z?C1C2Y ?1?2?1??11?1??1?3?6????????1101?2?003令 P?C1C2?01?????? ?001??001??001???????22在可逆線性變換X?PY下f?g?2z1.?z2 32．A是正定矩陣，AB是實對稱矩陣，則AB是正定矩陣的充分必要條件是B的特征值全大于零． 證：先證必要性． 設? 為B的任一特征值，對應的特征向量為X,則X?0, 且有 ?1BX??X 用XA左乘上式有 TXT(AB)X??XTAX 因為AB，A都是正定矩陣，故 XT(AB)X?0,于是??0，即B的特征值全大于零． 再證充分性． XTAX?0 因為A是正定矩陣，所以A合同于單位矩陣，故存在可逆矩陣P，使 PTAP?E （1） 由AB是對稱矩陣，知P(AB)P也是實對稱矩陣，因此存在正交矩陣Q，使 TQT[PT(AB)P]Q?D?diag(?1,?,?i,?,?n) （2） 即有 (QPA)B(PQ)?D?diag?(1,?,?i,?,?n) （3） 其中?1,?,?i,?,?n是P(AB)P的特征值． 在（1）的兩端左乘Q，右乘Q有 TTTTQT(PTAP)Q?E即(QTPTA)(PQ)?E TT這說明(QPA)與(PQ)互逆，也就是說 (QTPTA)?(PQ)?1 將上式代入（3），說明矩陣B與對角陣D相似，故它們的特征值相等；由條件知B的特征值全大于零，因此對角陣D的特征值也全大于零． 由（2）知AB與D合同，因此AB的特征值全大于零． ·133· T 33．設A,B為n階實正定陣，證明：存在可逆陣P，使PAP?E且PTBP?diag(?1,?2,?,?n)，其中?1??2????n?0為|?A?B|?0的n個實根.證：因A正定，故存在可逆矩陣P1，使 TP1AP1?E 因B正定，故存在可逆矩陣P2，使 B?P2TP2 于是 TTTTP1BP1?P1P2P2P1?(P2P1)(P2P1) 易見P1BP1為正定矩陣，不妨設它的特征值為 T?1??2????n?0.TTTT則 |?E?PBP|?|?PAP?PBP|?|P|111111|?A?B||P1| T故 |?E?P1BP1|?0?|?A?B|?0 即 ?1??2????n?0為|?A?B|?0的幾個實根.由 P1BP1為正定陣，知其為實對稱矩陣，所以存在正交矩陣Q，使 TQT(P1BP1)Q?diag(?1,?2,?,?n)T 令 P?P，則 1Q PTAP?E,PTBP?diag(?1,?2,?,?n) 34．設A為n階實正定陣，B為n階實半正定陣，則|A?B|?|A|.證：因為A是n階正定矩陣，所以存在n階可逆矩陣C，使得 CTAC?E.T 因為B是n階半正定陣，則CBC仍是實對稱半正定陣，故存在正交陣Q，使得 Q?1(CTBC)Q?QT(CTBC)Q?D?diag(?1,?,?i,?,?n) 其中 ?i?0,i?1,?n,為CTBC的特征值，且有 QT(CTAC)Q?E 令P?CQ，則P為可逆矩陣，于是 PTAP?E,PTBP?D PT(A?B)P?PTAP?PTBP?E?D 上式兩端取行列式，得 |P||A?B||P|?|E?D|??(1??i)?1?|PT||A||P| Ti?1n因 |P|?|P|?0，故 |A?B|?|A|.35．設A,B均為實正定陣，證明：方程|?A?B|?0的根全大于0.證：由33題知|?E?P1BP1|?0?|?A?B|?0.其中P1BP1為正交矩陣，它的特征值?i?0，i?1,?,n，故|?A?B|?0的根全大于0.· ·134TTT 36．設A為n階正定矩陣，試證：存在正定矩陣B，使A?B． 證：因為A是正定矩陣，所以是實對稱矩陣，于是存在正交矩陣P，使 2??1???2?P-1AP?PTAP?D??? ?????n???其中?1,?2,?,?n 令?i?為A的n個特征值，它們全大于零． ?i(i?1,2,?,n), 則 2???1??1???1???1?2?????2?????2??22??D????????? ??????????????????2??????n??n?n??n?????1???1???????22T???PT 而 A?PDP?P?????????????n??n????1???1???????22?PTP??PT ?P?????????????n?n?????1???2?T 令 B=P??P ??????n??2顯然B為正定矩陣，且A?B． 37．設A為n階可逆實方陣，證明：A可表示為一個正定陣與一正交陣的乘積． T 證：因為A是n階可逆實方陣，故AA是正定矩陣，所以存在n階正定矩陣B，使 ATA?B2.于是有 (AB?1)T(AB?1)?(B?1)TATAB?1?(B?1)TB2B?1?E 這說明AB是正交陣.令 AB?Q 則 A?QB，其中Q是正交矩陣，B是正定矩陣.38．A、B 為n階正定矩陣，則AB也為n階正定矩陣的充分必要條件是： AB=BA，即A與B可交換． ·135· ?1?1證：方法一 先證必要性． 由于A、B、AB都是正定矩陣，所以知它們都是對稱矩陣，因此有 AT?A,BT?B,(AB)T?AB 于是 AB?(AB)T?BTAT?BA 即A與B可交換． 再證充分性． 由條件AB=BA得 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB 因此AB是對稱矩陣． 因為A,B是正定矩陣，故它們皆為實對稱矩陣，且有可逆矩陣P、Q，使 A?PTP,B?QTQ 于是 AB?PTPQTQ 上式左乘Q，右乘Q?1得 Q(AB)Q?1?QPTPQT?(PQT)T(PQT) 這說明AB與對稱矩陣(PQT)T(PQT)相似；因為PQT是可逆矩陣，故矩陣(PQT)T(PQT)是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零． 綜合上述知AB正定． 方法二 必要性同方法一，以下證明充分性． 由條件AB=BA得 (AB)T?(BA)T?ATBT?AB 因此AB是對稱矩陣． 由于A正定，所以存在可逆矩陣Q，使 A=QQ 于是 TTTT? ?E?AB??E?QQB??E?QQBQ(Q) T ??QTE(QT)?1?QT(QBQT)(QT)?1?QT?E?QBQT(QT)?1??E?QBQTT ?E?AB?0??E?QBQT?0 這說明AB與QBQ有相同的特征值． 因為B是正定矩陣，易見QBQ也是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零． · ·136 T綜合上述知AB正定． 39．設A、B為實對稱矩陣，且A為正定矩陣，證明：AB的特征值全是實數． 證：因為A是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使A?QTQ，于是有 ?E?AB??E?QTQB??E?QT(QBQT)(QT)?1?Q?E?QBQ(Q)即|?E?AB|?0?|?E?QBQT|?0.TTTT?1??E?QBQT 因為B是實對稱矩陣，所以QBQ也是實對稱矩陣，因此它的特征值都是實數，故AB的特征值也都是實數． 40．設A是正定矩陣，B是實反對稱矩陣，則AB的特征值的實部為零． 證：因為A是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使A?QTQ ?E?AB??E?QTQB??E?QT(QBQT)(QT)?1?Q?E?QBQ(Q)AB的特征值實部也為零． TTT?1??E?QBQT 因為B是實反對稱矩陣，所以QBQT也是實反對稱矩陣，因此它的特征值實部為零，故 41．設A是正定矩陣，B是半正定的實對稱矩陣，則AB的特征值是非負的實數． 證：由于A是正定的，所以A也是正定的，于是存在可逆矩陣P，使得A因此 ?1?1?PTP，?E?AB?A?A?1?B?A?PTP?B?APT?E?(PT)?1BP?1P ?APTP?E?(PT)?1BP?1?AA?1?E?(PT)?1BP?1??E?(PT)?1BP?1??E?(P?1)TBP?1 ?1T?1即?E?AB?0??E?(P)BP?0.由于B是半正定的實對稱矩陣，故(P)BP?1T?1是半正定的實對稱矩陣，因此?E?(P?1)TBP?1?0的根是非負實數．于是?E?AB?0的根也是非負實數，即AB的特征值是非負的實數． 42．求證實二次型f(x1,?,xn)? 證：二次型的矩陣為 ??(krs?r?s)xx的秩和符號差與k無關． rsr?1s?1nn2k?33k?4?k?2?2k?34k?46k?5?6k?59k?6A??3k?4?????nk?(n?1)2nk?(n?2)3nk?(n?3)? ?nk?(n?1)??2nk?(n?2)??3nk?(n?3)? ???2?nk?2n??·137· 對矩陣A作合同變換，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同時把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到與矩陣A合同的矩陣B為 ?2??(n?1)?0?0?0?0? ????0?0??k?2,?2,??(n?1)倍依次加到第1，3，對矩陣B作合同變換，即把B的第2行的2k?2,?2,??(n?1)倍依次加到第1，3，4，…，n4，…，n行上；同時把B的第2列的2列上，得到與矩陣B合同的矩陣C為 ?k?2??1B???2?????(n?1)??100?0?0??1C??0????0??100?0000?0?0??0??0? ????0??由合同變換的傳遞性，故A與C合同，于是原二次型可經可逆線性變換化簡成 f(x1,?,xn)??2y1y2 ?y1?z1?z2?再作可逆線性變換 ?y2?z1?z2?y?zi?i于是二次型f化成規范形 (i?3,?,n)2 f(x1,?,xn)??2z12?2z 2顯然二次型f(x1,?,xn)的秩為2，符號差為0，它們的值均與k無關． 43．設二次型f?a時，二次型f正定． 證：二次型 f的矩陣A的各階順序主子式的值與它的階數n的奇偶性有關： （1）當n=2m+1時，二次型f的矩陣為 ?xi?1n2i?bi?n?i?1?xxinn?i?1，其中a、b為實數，問a、b滿足什么條件 b??a??????ab??A??a? ba???????ba??? · ·138它的各階順序主子式為 a,?,am?1,am(a2?b2),am?1(a2?b2)2,?,a(a2?b2)m （2）當n=2m時，二次型f的矩陣為 b??a??????ab? A??ba???????ba???它的各階順序主子式為 a,?,am,am?1(a2?b2),am?2(a2?b2)2,?,(a2?b2)m 綜合（1），（2）可知：當a?0且a2?b2時，二次型f是正定的． 44．設A為n階實對稱矩陣，r(A)=n,Aij是A?(aij)n?n中元素aij的代數余子式 nnAijxixj(i,j?1,2,?,n)，二次型f(x1,x2,?,xn)???i?1j?1A?1 （1）記X?(x1,x2,?,xn)T，把f(x1,x2,?,xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f（X）的矩陣為A． （2）二次型g(X)?XAX與f(X)的規范形是否相同？說明理由． 證：方法一 （1）因為A是實對稱矩陣，故AijT?Aji．由r(A)=n, 故A可逆，且 A?1?1*A A二次型f(x1,x2,?,xn)的矩陣形式為 ?A11A21?An1??x1?1?AA?An2??x2?f(X)?(x1,x2,?,xn)?1222???? ???A???AA?A????x?nn??n??1n2n?1?1?1TT?1?1從而(A)?(A)?A.故A也是實對稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為A． ?1?1T?1T?1?1 （2）因為(A)AA?(A)E?A，所以A與A合同，于是二次型g(X)?XTAX與f(X)有相同的規范形． 方法二 （1）同證法１ （2）對二次型g(X)?XAX作可逆線性變換，X?AY, 其中 T?1Y?(y1,y2,?,yn)T,則 T?1T?1T?1?1TT?1?1 g(X)?XAX?(AY)A(AY)=Y(A)AAY=Y(A)AAY=YAY T?1由此可知A與A合同，二次型g(X)?XAX與f(X)有相同的規范形． ·139· ?1T 45．試說明二次型 f(x1,x2,x3)?(x1?x2?x3)2?[ax1?(a?d1)x2?(a?2d1)x3]2 +n?[(a?d)xii?22 ?(a?2d)x?(a?3d)x]1i2i3當d1?0時，無論n為何值，f(x1,x2,x3)的秩均為2． 解：f?XT(ATA)X，其中 ?1??aA??a?d2????a?dn?1a?d1a?2d2?a?2dn1??a?2d1?a?3d2? ???a?3dn???111??0d12d1?行對矩陣A作行的初等變換，可得A????000?.????????000??? 所以當d1?0時，A的秩為2，這與n的取值無關，因此二次型f的秩為2． 46．已知A是n階正定矩陣，令二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX?xn的矩陣為B，求證：（1）B是正定矩陣；（2）B?A． 證：（1）設 ?a11?aA??21????an1?a11?a21則 B?????a?n1a12?a1n??a22?a2n?，aij?aji ????an2?ann?a12?a1n?a22?a2n?? ???an2?ann?1?? 顯然B為實對稱矩陣，且B與A的前n-1階順序主子式完全相同，由于A是正定矩陣，故它的各階順序主子式全大于零，因此B的前n-1階順序主子式也全大于零． 現考慮B的第n階順序主子式即它的行列式，有 a11a B?21?an1可見B是正定矩陣． · ·140a12?a1na11?a1n?1a22?a2n??+ an?11?an?1n?1??an2?annan1?ann?10?=A?An?1?0 （*）01 （2）由（*）即知B?A． 47．設n元實二次型f?XTAX，?1,?2,?,?n 是A的特征值，且?1??2????n． 證明：對于任一實維列向量X有?1XTX?XTAX??nXTX.證：設?1,?2,?,?n是f的特征值，則存在正交變換X=PY，使 f?XTAX?YT(PTAP)Y??1y12??2y2????nyn 由已知條件?1??2????n，有 ?1YTY?f?XTAX??nYTY （1） 又因為P是正交矩陣，于是有 XTX?YTPTPY?YTY 將此結果代入（1）即為 ?1XTX?XTAX??nXTX 48．證明：若二次型??ai?1i?1nnijxixj?XTAX是正定二次型，則 a11a21f(y1,y2,?,yn)??an1y1是負定二次型． a12a22?an2y2?a1n?a2n??ann?yny1y2? yn0 證：因為f 是正定二次型，故它的表示矩陣A是正定矩陣，因此A是可逆矩陣，作可逆線性變換Y=AZ．對上述行列式的列作消法變換，將第j列的-zj(j?1,2,?,n)倍加入第n+1列，其中Z?(z1,z2,?,zn)T,則 a11a21 f(y1,y2,?,yn)??an1y1a12a22?an2y2?a1n?a2n??ann?yny1a11y2a21???ynan10y1a12a22?an2y2?a1n0?a2n0 ???ann0?yn?(y1z1?y2z2??ynzn)TTTT ??A(y1z1?y2z2??ynzn)=?AYZ=?AZAZ=?AZAZ 因為A是正定矩陣，所以?A<0，可見f(y1,y2,?,yn)是負定二次型． 49．設A是正定矩陣，則 （1）A?annAn?1，其中An?1是A的n-1階順序主子式； （2）A?a11a22?ann． 解：（1）因為A是正定矩陣，故 ·141· ?a11a12?a1n?1??a21a22?a2n?1?An?1??? ??????a?a?an?1n?1??n?11n?12也是正定矩陣，于是由48題知 a11?a1n?1y1??? fn?1(y1,y2,?,yn?1)= an?11?an?1n?1yn?1y1?yn?10是負定二次型，因此由行列式的加法運算有 a11?a1n?1a1na11?a1n?1?????A??an?11?an?1n?1an?1nan?11?an?1n?1an1?ann?10an1?ann?1其中An?1為A的順序主子式． ?0??fn?1(a1n,a2n,?,an?1n)?annAn?1 0ann當a1n,a2n,?,an?1n中至少有一個不為零時，fn?1(a1n,a2n,?,an?1n)<0 A 50．設P?(pij)n?n是n階可逆矩陣，求證：P222??(p12j?p2j???pnj).j?1n?p11p21?pn??1p???pp?p1222n2p?? 證：PTP????????????pp?p2nnn??pn?1nTpp21?1pn11?pn???pn?22????p2nn?12?n2??pi1?i?11??2?????*???pi?1n2i?*???2? ????n2?pin??i?1? 因為P是可逆矩陣，故PP是正定矩陣，由49題的結論（2），有 22PP??(?p)??(p12j?p2j???pnj)T2ijj?1i?1j?12nnn顯然 PP?P，所以有PT222??(p12j?p2j???pnj).j?1n · ·142 線性代數習題及答案(復旦版)[] 線性代數習題及答案習題一 1.求下列各排列的逆序數.(1)341782659； (2)987654321； (3)n(n?1)…321； (4)13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2.【解】 (1)τ(341782659)=11; (2)τ(987654321)=36; (3)τ(n(n?1)…32221)= 0+1+2 +…+(n?1)=; (4)τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).2.略.見教材習題參考答案.3.略.見教材習題參考答案.4.本行列式的展開式中包含和的項.解： 設，其中分別為不同列中對應元素的行下標，則展開式中含項有 展開式中含項有.5.用定義計算下列各行列式.(1)； (2).【解】(1)D=(?1)τ(2314)4!=24; (2)D=12.6.計算下列各行列式.(1)； (2)； (3)； (4).【解】(1); (2); 7.證明下列各式.(1)； (2)； (3) (4)； (5).【證明】(1) (2) (3)首先考慮4階范德蒙行列式: 從上面的4階范德蒙行列式知，多項式f(x)的x的系數為 但對（*）式右端行列式按第一行展開知x的系數為兩者應相等，故 (4)對D2n按第一行展開，得 據此遞推下去，可得 (5)對行列式的階數n用數學歸納法.當n=2時，可直接驗算結論成立，假定對這樣的n?1階行列式結論成立，進而證明階數為n時結論也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成兩個n階行列式相加： 但由歸納假設 從而有 8.計算下列n階行列式.(1) (2)； (3).(4)其中 ； (5).【解】(1)各行都加到第一行，再從第一行提出x+(n?1),得 將第一行乘（?1）后分別加到其余各行，得 (2)按第二行展開 (3)行列式按第一列展開后，得 (4)由題意，知 .(5) .即有 由 得.9.計算n階行列式.【解】各列都加到第一列，再從第一列提出，得 將第一行乘（?1）后加到其余各行，得 10.計算階行列式（其中）..【解】行列式的各列提取因子,然后應用范德蒙行列式.11.已知4階行列式;試求與，其中為行列式的第4行第j個元素的代數余子式.【解】 同理 12.用克萊姆法則解方程組.(1) (2) 【解】方程組的系數行列式為 故原方程組有惟一解，為 13.λ和μ為何值時，齊次方程組 有非零解? 【解】要使該齊次方程組有非零解只需其系數行列式 即 故或時，方程組有非零解.14.問：齊次線性方程組 有非零解時，a,b必須滿足什么條件？ 【解】該齊次線性方程組有非零解 ，a,b需滿足 即(a+1)2=4b.15.求三次多項式，使得 【解】根據題意，得 這是關于四個未知數的一個線性方程組，由于 故得 于是所求的多項式為 16.求出使一平面上三個點位于同一直線上的充分必要條件.【解】設平面上的直線方程為 ax+by+c=0(a,b不同時為0)按題設有 則以a,b,c為未知數的三元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件為 上式即為三點位于同一直線上的充分必要條件.習題 二 1.計算下列矩陣的乘積.（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）.【解】 (1) (2); (3)(10);(4) (5); (6).2.設，求(1);(2)；(3)嗎? 【解】(1) (2) (3)由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.3.舉例說明下列命題是錯誤的.(1)若，則； (2)若，則或；(3)若，則.【解】 (1)以三階矩陣為例，取,但A≠0(2)令,則A2=A,但A≠0且A≠E(3)令 則AX=AY,但X≠Y.4.設, 求A2，A3，…，Ak.【解】 5.，求并證明：.【解】 今歸納假設 那么 所以，對于一切自然數k,都有 6.已知，其中 求及.【解】因為|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得 而 7.設，求||.解：由已知條件，的伴隨矩陣為 又因為，所以有，且，即 于是有 .8.已知線性變換 利用矩陣乘法求從到的線性變換.【解】已知 從而由到的線性變換為 9.設，為階方陣，且為對稱陣，證明：也是對稱陣.【證明】因為n階方陣A為對稱陣，即A′=A, 所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故也為對稱陣.10.設A，B為n階對稱方陣，證明：AB為對稱陣的充分必要條件是AB=BA.【證明】已知A′=A,B′=B，若AB是對稱陣，即(AB)′=AB.則 AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,則(AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB為對稱陣.11.A為n階對稱矩陣，B為n階反對稱矩陣，證明：(1)B2是對稱矩陣.(2)AB?BA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.【證明】 因A′=A,B′= ?B,故 (B2)′=B′2B′= ?B2(?B)=B2;(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′ = ?BA?A2(?B)=AB?BA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′ = ?BA+A2(?B)= ?(AB+BA).所以B2是對稱矩陣，AB?BA是對稱矩陣，AB+BA是反對稱矩陣.12.求與A=可交換的全體二階矩陣.【解】設與A可交換的方陣為,則由 =, 得.由對應元素相等得c=0,d=a,即與A可交換的方陣為一切形如的方陣，其中a,b為任意數.13.求與A=可交換的全體三階矩陣.【解】由于 A=E+, 而且由 可得 由此又可得 所 以 即與A可交換的一切方陣為其中為任意數.14.求下列矩陣的逆矩陣.(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)，未寫出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】 (1); (2);(3); (4);(5); (6).15.利用逆矩陣，解線性方程組 【解】因,而 故 16.證明下列命題： (1)若A，B是同階可逆矩陣，則（AB）*=B*A*.(2)若A可逆，則A*可逆且（A*）?1=（A?1）*.(3)若AA′=E,則（A*）′=(A*)?1.【證明】（1）因對任意方陣c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同階，故可得 |A|2|B|2B*A*=|AB|E(B*A*) =(AB)*AB(B*A*)=(AB)*A(BB*)A* =(AB)*A|B|EA*=|A|2|B|(AB)*.∵ |A|≠0,|B|≠0, ∴ (AB)*=B*A*.(2)由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,從而(A?1)*=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A.于是 A*(A?1)*=|A|A?12|A|?1A=E, 所以 (A?1)*=(A*)?1.(3)因AA′=E，故A可逆且A?1=A′.由(2)(A*)?1=(A?1)*,得(A*)?1=(A′)*=(A*)′.17.已知線性變換 求從變量到變量的線性變換.【解】已知 且|A|=1≠0,故A可逆，因而 所以從變量到變量的線性變換為 18.解下列矩陣方程.(1)； (2)； (3)； (4).【解】(1)令A=;B=.由于 故原方程的惟一解為 同理 (2)X=; (3)X=; (4)X= 19.若(k為正整數)，證明： .【證明】作乘法 從而E?A可逆，且 20.設方陣A滿足A2－A－2E＝O，證明A及A＋2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1.【證】因為A2?A?2E=0, 故 由此可知，A可逆，且 同樣地 由此知，A+2E可逆，且 21.設，,求.【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A.而 即A?2E可逆，故 22.設.其中，求.【解】因可逆，且故由 得 23.設次多項式，記,稱為方陣的次多項式.(1)，證明 ，； (2)設，證明，.【證明】 (1)即k=2和k=3時，結論成立.今假設 那么 所以，對一切自然數k，都有 而 (2)由(1)與A=P ?1BP,得 B=PAP ?1.且 Bk=(PAP ?1)k= PAkP ?1, 又 24.，證明矩陣滿足方程.【證明】將A代入式子得 故A滿足方程.25.設階方陣的伴隨矩陣為，證明：(1)若｜｜＝０，則｜｜＝０； (2).【證明】（1）若|A|=0，則必有|A*|=0，因若| A*|≠0，則有A*(A*)?1=E,由此又得 A=AE=AA*(A*)?1=|A|(A*)?1=0，這與| A*|≠0是矛盾的，故當|A| =0，則必有| A*|=0.(2)由A A*=|A|E，兩邊取行列式，得 |A|| A*|=|A|n, 若|A|≠0，則| A*|=|A|n?1 若|A|=0,由(1)知也有 | A*|=|A|n?1.26.設 .求(1);(2);(3)；(4)｜｜k(為正整數).【解】 (1); (2);(3); (4).27.用矩陣分塊的方法，證明 下列矩陣可逆，并求其逆矩陣.（1）； （2）; （3）.【解】(1)對A做如下分塊 其中 的逆矩陣分別為 所以A可逆，且 同理(2)(3) 習題 三 1.略.見教材習題參考答案.2.略.見教材習題參考答案.3.略.見教材習題參考答案.4.略.見教材習題參考答案.5.，證明向量組線性相關.【證明】因為 所以向量組線性相關.6.設向量組線性無關，證明向量組也線性無關，這里 【證明】 設向量組線性相關，則存在不全為零的數使得 把代入上式，得.又已知線性無關，故 該方程組只有惟一零解，這與題設矛盾，故向量組線性無關.7.略.見教材習題參考答案.8..證明：如果，那么線性無關.【證明】已知,故R(A)=n,而A是由n個n維向量 組成的，所以線性無關.9.設是互不相同的數，r≤n.證明：是線性無關的.【證明】任取n?r個數tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n階范德蒙行列式 從而其n個行向量線性無關，由此知其部分行向量也線性無關.10.設的秩為r且其中每個向量都可經線性表出.證明：為的一個極大線性無關組.【證明】若 (1)線性相關，且不妨設 (t (2)是(1)的一個極大無關組，則顯然（2）是的一個極大無關組，這與的秩為r矛盾，故必線性無關且為的一個極大無關組.11.求向量組=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關組.【解】把按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.當k=1時，的秩為為其一極大無關組.當k≠1時，線性無關，秩為3，極大無關組為其本身.12.確定向量,使向量組與向量組=(0,1,1), =(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由線性表出.【解】由于 而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又 要使可由線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設要求，即=(2,2,0).13.設為一組n維向量.證明：線性無關的充要條件是任一n維向量都可經它們線性表出.【證明】充分性: 設任意n維向量都可由線性表示，則單位向量，當然可由它線性表示，從而這兩組向量等價，且有相同的秩，所以向量組的秩為n，因此線性無關.必要性：設線性無關，任取一個n維向量,則線性相關，所以能由線性表示.14.若向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組α１,α２,α３線性表出，也可由向量組β１,β２,β３,β４線性表出，則向量組α１,α２,α３與向量組β１,β２,β３,β４等價.證明：由已知條件，且向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組α１,α２,α３線性表出，即兩向量組等價，且 ，又，向量組（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量組β１,β２,β３,β４線性表出，即兩向量組等價，且，所以向量組α１,α２,α３與向量組β１,β２,β３,β４等價.15.略.見教材習題參考答案.16.設向量組與秩相同且能經線性表出.證明與等價.【解】設向量組(1)與向量組(2)的極大線性無關組分別為(3)和(4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即 因（4）線性無關，故（3）線性無關的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出,即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.17.設A為m3n矩陣，B為s3n矩陣.證明：.【證明】因A,B的列數相同，故A,B的行向量有相同的維數，矩陣可視為由矩陣A擴充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量線性表示，故 同理 故有 又設R(A)=r,是A的行向量組的極大線性無關組,R（B）=k, 是B的行向量組的極大線性無關組.設是中的任一行向量，則若屬于A的行向量組，則可由表示，若屬于B的行向量組，則它可由線性表示，故中任一行向量均可由,線性表示，故 所以有.18.設A為s3n矩陣且A的行向量組線性無關，K為r3s矩陣.證明：B＝KA行無關的充分必要條件是R(K)=r.【證明】設 A=(As,Ps3(n?s)), 因為A為行無關的s3n矩陣，故s階方陣As可逆.()當B=KA行無關時，B為r3n矩陣.r=R(B)=R(KA)≤R(K)，又K為r3s矩陣R(K)≤r,∴ R(K)=r.()當r=R(K)時，即K行無關，由B=KA=K(As,Ps3(n?s))=(KAs,KPs3(n?s))知R(B)=r,即B行無關.19.略.見教材習題參考答案.20.求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關組.(1)； (2).【解】(1)矩陣的行向量組的一個極大無關組為;(2)矩陣的行向量組的一個極大無關組為.21.略.見教材習題參考答案.22.集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否構成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設)則 因為 所以,故是向量空間.23.試證：由,生成的向量空間恰為R3.【證明】把排成矩陣A=(),則 , 所以線性無關，故是R3的一個基，因而生成的向量空間恰為R3.24.求由向量所生的向量空間的一組基及其維數.【解】因為矩陣 ∴是一組基，其維數是3維的.25.設,證明:.【解】因為矩陣 由此知向量組與向量組的秩都是2，并且向量組可由向量組線性表出.由習題15知這兩向量組等價，從而也可由線性表出.所以.26.在R3中求一個向量，使它在下面兩個基 下 有相同的坐標.【解】設在兩組基下的坐標均為()，即 即 求該齊次線性方程組得通解(k為任意實數)故 27.驗證為R3的一個基，并把 用這個基線性表示.【解】設 又設 , 即 記作 B=AX.則 因有,故為R3的一個基，且 即.習題四 1.用消元法解下列方程組.(1) (2)【解】(1) 得 所以 (2)① ② ③ 解②?①32得 x2?2x3=0 ③?① 得 2x3=4 得同解方程組 ④ ⑤ ⑥ 由⑥得 x3=2, 由⑤得 x2=2x3=4, 由④得 x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得 (x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T.2.求下列齊次線性方程組的基礎解系.(1) (2) (3) (4)【解】(1) 得同解方程組 得基礎解系為.(2)系數矩陣為 ∴ 其基礎解系含有個解向量.基礎解系為 (3) 得同解方程組 取得基礎解系為 (?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0).(4)方程的系數矩陣為 ∴ 基礎解系所含解向量為n?R(A)=5?2=3個 取為自由未知量 得基礎解系 3.解下列非齊次線性方程組.(1) (2)(3) (4)【解】 （1）方程組的增廣矩陣為 得同解方程組 (2)方程組的增廣矩陣為 得同解方程組 即 令得非齊次線性方程組的特解 xT=(0，1，0，0)T.又分別取 得其導出組的基礎解系為 ∴ 方程組的解為 (3) ∴ 方程組無解.(4)方程組的增廣矩陣為 分別令 得其導出組的解為 令, 得非齊次線性方程組的特解為：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程組的解為 其中為任意常數.4.某工廠有三個車間，各車間相互提供產品（或勞務），今年各車間出廠產量及對其它車間的消耗如下表所示.車間 消耗系數 車間 1 2 3 出廠產量（萬元）總產量（萬元）1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6 x3 表中第一列消耗系數0.1,0.2,0.5表示第一車間生產1萬元的產品需分別消耗第一，二，三車間0.1萬元，0.2萬元，0.5萬元的產品；第二列，第三列類同，求今年各車間的總產量.解：根據表中數據列方程組有 即 解之 5.取何值時，方程組 (1)有惟一解，(2)無解，(3)有無窮多解，并求解.【解】方程組的系數矩陣和增廣矩陣為 |A|=.(1)當≠1且≠?2時，|A|≠0，R(A)=R(B)=3.∴ 方程組有惟一解 （2）當=?2時，R(A)≠R(B),∴ 方程組無解.(3)當=1時 R(A)=R(B)<3,方程組有無窮解.得同解方程組 ∴ 得通解為 6.齊次方程組 當取何值時，才可能有非 零解?并求解.【解】方程組的系數矩陣為 |A|= 當|A|=0即=4或=?1時，方程組有非零解.(i)當=4時，得同解方程組 (ii)當=?1時, 得 ∴()T=k2(?2,?3,1)T.k∈R 7.當a,b取何值時，下列線性方程組無解，有惟一解或無窮多解？在有解時，求出其解.（1） (2)【解】方程組的增廣矩陣為(1) (i)當b≠?52時,方程組有惟一解 (ii)當b=?52,a≠?1時，方程組無解.(iii)當b=?52，a=?1時，方程組有無窮解.得同解方程組(*)其導出組的解為 非齊次線性方程組（*）的特解為 取x4=1，∴ 原方程組的解為 (2) (i)當a?1≠0時，R(A)=R()=4,方程組有惟一解.(ii)當a?1=0時,b≠?1時，方程組R(A)=2 取 ∴ 得方程組的解為 8.設，求一秩為2的3階方陣B使AB=0.【解】設B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)為列向量, 由 為Ax=0的解.求=0的解.由 得同解方程組 ∴ 其解為 取 則 9.已知是三元非齊次線性方程組Ax=b的解，且R(A)=1及 求方程組Ax=b的通解.【解】Ax=b為三元非齊次線性方程組 R(A)=1Ax=0的基礎解系中含有3?R(A)=3?1=2個解向量.由為Ax=b的解為Ax=0的解, 且線性無關為Ax=0的基礎解系.又 ∴ 方程組Ax=b的解為 10.求出一個齊次線性方程組，使它的基礎解系由下列向量組成.(1) (2)【解】 (1)設齊次線性方程組為Ax=0 由為Ax=0的基礎解系，可知 令 k1=x2 ，k2=x3 Ax=0即為x1+2x2?3x3=0.(2)A()=0A的行向量為方程組為的解.即的解為 得基礎解系為=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T A= 方程為 11.設向量組=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，?1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5） 問：（1）a，b為何值時，不能由，，線性表出？ （2）a，b為何值時，可由，，惟一地線性表出？并寫出該表出式.（3）a，b為何值時，可由，，線性表出，且該表出不惟一？并寫出該表出式.【解】(*) (1)不能由，，線性表出方程組（*）無解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0.(2)可由，，惟一地線性表出方程組(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1.(*)等價于方程組 (3)可由，，線性表出，且表出不惟一方程組（*）有無數解，即有 a+1=0,b=0a=?1,b=0.方程組（*）為常數.∴ 12.證明：線性方程組有解的充要條件是.【解】 方程組有解的充要條件，即R(A)=4=R(A)得證.13.設是非齊次線性方程組Ax=b的一個解，是對應的齊次線性方程組的一個基礎解系.證明 （1）線 性無關； （2）線性無關.【 證明】(1)線性無關 成立, 當且僅當ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0 ∵為Ax=0的基礎解系 由于.由于為線性無關 ∴線性無關.(2)證線性無關.成立 當且僅當ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0 即 由(1)可知，線性無關.即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且 ∴線性無關.14.設有下列線性方程組（Ⅰ）和(Ⅱ) （Ⅰ） (Ⅱ) (1)求方程組（Ⅰ）的通解； (2)當方程組（Ⅱ）中的參數m,n,t為何值時，（Ⅰ）與(Ⅱ)同解？ 解：（1）對方程組（Ⅰ）的增廣矩陣進行行初等變換 由此可知系數矩陣和增廣矩陣的秩都為3，故有解.由方程組（*） 得方程組（*）的基礎解系 令，得方程組（Ⅰ）的特解 于是方程組（Ⅰ）的通解為，k為任意常數。 (2)方程組（Ⅱ）的增廣矩陣為 系數矩陣與增廣矩陣的秩均為3，令 (**)方程組（**）的基礎解系為 當時，當時，方程組（Ⅱ）與方程組（Ⅰ）同解，則，故有 把m，n代入方程組，同時有 ，即t = 6.也就是說當m=2，n=4，t=6時，方程組（Ⅱ）與方程組（Ⅰ）同解.習題五 1.計算.【解】 2.把下列向量單位化.(1)＝（3，0，－1，4）； (2)＝（5，1，－2，0）.【解】 3.利用施密特正交化方法把下列向量組正交化.(1)1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′; (2)1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0)【解】 4.試證，若n維向量與正交，則對于任意實數k，l，有k與l正交.【證】與正交.∴ 與正交.5.下列矩陣是否為正交矩陣.【解】 (1)A′A≠E, ∴A不是正交矩陣 (2)A′A=EA為正交矩陣 6.設x為n維列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求證H是對稱的正交矩陣.【證】 ∴ H為對稱矩陣.∴ H是對稱正交矩陣.7.設A與B都是n階正交矩陣，證明AB也是正交矩陣.【證】A與B為n階正交矩陣A′A=EB′B=E(AB)(AB)′=AB2(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩陣.8.判斷下列命題是否正確.(1)滿足Ax＝x的x一定是A的特征向量； (2)如果x1，…，xr是矩陣A對應于特征值的特征向量.則k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A對應于的特征向量； (3)實矩陣的特征值一定是實數.【解】 (1)╳.Ax=x,其中當x=0時成立，但x=0不是A的特征向量.(2)╳.例如：E333x=x特征值=1, 的特征向量有 則不是E333的特征向量.(3)╳.不一定.實對稱矩陣的特征值一定是實數.9.求下列矩陣的特征值和特征向量.【解】(1) 當時，為得解 對應的特征向量為.當時，其基礎解系為,對應的特征 向量為 ∴ 特征值為 (i)當時，其基礎解系為 ∴ 對應于=2的特征向量為 且使得特征向量不為0.(ii)當時, , 解得方程組的基礎解系為 ∴ 對應于的特征向量為 特征值為(i)當時，得基礎解系為 對應的特征向量為(ii)當時，其基礎解系為(2,?2,1)′, 所以與對應的特征向量為(iii)當時，其基礎解系為(2,1,?2)′ ∴ 與對應的特征向量為 ∴ A的特征值為1,2.(i)當時，其基礎解系為(4,?1,1,0)′.∴ 其對應的特征向量為k2(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0.(ii)當時，其基礎解系為：（1,0,0,0）′.∴ 其對應的特征向量為 10.設3階方陣A的特征值為λ1＝1，λ2＝0，λ3＝－1，對應的特征向量依次為 求矩陣A.【解】 由于為不同的特征值線性無關，則有 可逆 11.設3階實對稱矩陣A的特征值為－1，1，1，與特征值－1對應的特征向量x＝（－1，1，1）′，求A.【解】對應的特征向量為x1=(?1,1,1)T,設對應的特征向量為x2=(x1,x2,x3)T,A為實對稱矩陣，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0.得方程組的基礎解系為 可知為對應的特征向量.將正交化得 =(?1,1,1)T, 單位化：;=(1,1,0)T，;則有 12.若n階方陣滿足A2＝A，則稱A為冪等矩陣，試證，冪等矩陣的特征值只可能是1或者是零.【證明】設冪等矩陣的特征值為，其對應的特征向量為x.由A2=A可知 所以有或者=1.13.若A2＝E，則A的特征值只可能是±1.【證明】設是A的特征值，x是對應的特征向量.則Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x(2?1)x=0, 由于x為的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1.14.設λ1,λ2是n階矩陣A的兩個不同的特征根，1,2分別是A的屬于λ1, λ2的特征向量，證明1+2不是A的特征向量.證明：假設1+2是A的屬于特征根λ的特征向量，則 A（1+2）=λ（1+2）=λ1+λ2.又 A（1+2）= A1+ A 2=λ11+λ22 于是有 （λ?λ1）1+（λ?λ2）2 =0 由于，1與2線性無關，故λ?λ1=λ?λ2=0.從而與矛盾，故1+2不是A的特征向量.15.求正交矩陣T，使T－１AT為對角矩陣.【解】 (i)當時，方程組的基礎解系為(?2,1,0)T,(2,0,1)T.(ii)當時，其基礎解系為.取,單位化為, 取，取，使正交化.令 單位化 得.(i)當時，其基礎解系為 正交化得 單位化得 (ii)當時，其基礎解系為 單位化得 (i)當時，其基礎解系為 由于()=0,所以正交.將它們單位化得 (ii)當時，其基礎解系為=(1,?1,?1,1)T, 單位化得 (iii)當時，其基礎解系為=(?1,?1,1,1)T, 單位化為 (i)當=2時，其基礎解系為=(2,1,?2)T, 單位化得 ,(ii)當=5時，=(2,1,2)T.其基礎解系為=(2,?2,1)T .單位化得.(iii)當=?1時, , 其基礎解系為=(1,2,2)T, 單位化得 , 得正交陣 16.設矩陣與相似.(1)求x與y； (2)求可逆矩陣P，使P－1AP=B.【解】(1)由A~B可知，A有特征值為?1,2,y.由于?1為A的特征值，可知.將x=0代入|A?E|中可得 可知y= ?2.(2)(i)當=?1時，其基礎解系為 =(0,?2,1)T, = ?1對應的特征向量為 =(0,?2,1)T.(ii)當=2時，其基礎解系為 =(0,1,1)T 所以=2對應的特征向量為 =(0,1,1)T(ⅲ)當=?2時, , 其基礎解系為 =(?2,1,1)T, 取可逆矩陣 則 17.設，求A100.【解】 特征值為(i)當時，其基礎解系為 (ii)當時，其基礎解系為(?1,1,2)T.令,則 18.將下列二次型用矩陣形式表示.(1)； (2)； (3).【解】(1)(2)(3) 19.寫出二次型 的矩陣.【解】 20.當t為何值時，二次型的秩為2.【解】 21.已知二次型經過正交變換化為標準型，求參數a,b及所用的正交變換矩陣.【解】由題知 二次型矩陣 當時，即有 2ab=0.當時，當時，(ⅰ)當時，得基礎解系為=(1,0,?1)T, 單位化 (ⅱ)當時，其基礎解系為=(0,1,0)T.(iii)當時，其基礎解系為=(1,0,1)T.單位化得 得正交變換矩陣 22.用配方法把下列二次型化為標準型，并求所作變換.【解】 令 由于 ∴ 上面交換為可逆變換.得 令為可逆線性變換 令為可逆線性交換 所作線性交換為 23.用初等變換法化下列二次型為標準型，并求所作變換.【解】(1) (2)二次型矩陣為 24.設二次型 (1)用正交變換化二次型為標準型； (2)設A為上述二次型的矩陣，求A5.【解】(1)二次型的矩陣為 求得A的特征值.對于，求解齊次線性方程組(A?E)x=0，得基礎解系為 將正交單位化得 對于，求解方程組(A+2E)x=0, 得基礎解系為將單位化得 于是 即為所求的正交變換矩陣，且(2)因為所以 故 25.求正交變換，把二次曲面方程化成標準方程.【解】的矩陣為 (1)當時，其基礎解系為 正交化得 單位化得 (2)當時,.其基礎解系為.單位化得 正交變換矩陣 為所求正交變換.得 二次曲面方程的標準方程為 26.判斷下列二次型的正定性.【解】(1)矩陣為 ∴ 二次型為負定二次型.(2)矩陣 ∴ 二次型為正定二次型.(3)矩陣為 ∴ 為正定二次型.27.t滿足什么條件時，下列二次型是正定的.【解】(1)二次型的矩陣為 可知時，二次型為正定二次型.(2)二次型的矩陣為 當t滿足時，二次型為正定二次型.28.假設把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f＞0，問f是否必然正定? 【解】錯，不一定.當為實二次型時,若≠0，都使得f>0,則f為正定二次型.29.試證：如果A,B都是n階正定矩陣，則A+B也是正定的.【證】A,B是正定矩陣，則存在正定二次型 = xTAx = xTBx 且A′=A，B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B 有 = xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 ∴ A+B為正定.30.試證：如果A是n階可逆矩陣，則A′A是正定矩陣.【證】A可逆(A′A)′= A′2(A′)′= A′A A′A = A′E A 可知A′A與E合同 A′A正定.31.試證：如果A正定，則A′,A－１，A*都是正定矩陣.【證】A正交，可知A′=A 可逆陣C，使得A=C′EC.(i)A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC ∴ A′與E合同，可知A′為正定矩陣.(ii)(A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1為對稱矩陣.由A正交可知，A為點對稱矩陣 其特征值設為且有>0(i=1,2,…,n)Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi 可知A?1的特征值為，(i=1,2,…,n)∴ A?1正定.(iii)由A*=|A|2A?1可知 (A′)1=|A|2(A?1)′=|A|2A?1=A* 由(ii)可知A?1為正定矩陣即存在一個正定二次型 = xTA?1x 有>0 ∵ A正交|A|>0 = xTA*x=xT2|A|2A?1x=|A|2(xTA?1x)即有時，xTA?1x>0 ∵ |A|>0,即有 = xTA*x >0 ∴ A*為正定矩陣.習題 六 1.檢驗以下集合對于所指的線性運算是否構成實數域上的線性空間.(1)2階反對稱(上三角)矩陣，對于矩陣的加法和數量乘法；(2)平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數量乘法： k2； (3)2階可逆矩陣的全體，對于通常矩陣的加法與數量乘法； (4)與向量(1，1，0)不平行的全體3維數組向量，對于數組向量的加法與數量乘法.【解】（1）是.由于矩陣加法和數量乘法滿足線性空間定義中的1?8條性質，因此只需考慮反對稱（上三角）矩陣對于加法和數量乘法是否封閉即可.下面僅對反對稱矩陣驗證：設A，B均為2階反對稱矩陣，k為任一實數，則(A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B),(kA)′=kA′=k(?A)=?(kA), 所以2階反對稱矩陣的全體對于矩陣加法和數量乘法構成一個線性空間.（2）否.因為(k+l)2,而,所以這種數量乘法不滿足線性空間定義中的第7條性質.（3）否.因為零矩陣不可逆（又因為加法和數量乘法都不封閉）.（4）否.因為加法不封閉.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它們之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不屬于這個集合.2.設U是線性空間V的一個子空間，試證：若U與V的維數相等，則U＝Ｖ.【證明】設U的維數為m，且是U的一個基，因UV,且V的維數也是m，自然也是V的一個基，故U=V.3.設是n維線性空間Vn的線性無關向量組，證明Vn中存在向量使成為Vn的一個基(對n?r用數學歸納法).【證明】對差n?r作數學歸納法.當n?r=0時，結論顯然成立.假定對n?r=k時，結論成立，現在考慮n?r=k+1的情形.因為向量組還不是V的一個基，它又是線性無關的，所以在V中必存在一個向量不能由線性表出，把添加進去所得向量組 ，必定還是線性無關的，此時n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k.由歸納法假設, ,可以擴充為整個空間的一個基.根據歸納法原理，結論普遍成立.4.在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1), ＝(1,1,0,0), ＝(0,1,－1,－1)下的坐標.【解】設向量在基下的坐標為(),則 即為 解之得()=(1,0,?1,0).5.在R３中，取兩個基 ＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)； ＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)，試求到的過渡矩陣與坐標變換公式.【解】取R３中一個基（通常稱之為標準基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有 所以由基到基的過渡矩陣為 坐標變換公式為 其中()與（）為同一向量分別在基與下的坐標.6.在R4中取兩個基 (1)求由前一個基到后一個基的過渡矩陣； (2)求向量()在后一個基下的坐標； (3)求在兩個基下有相同坐標的向量.【解】(1) 這里A就是由基到基的過渡矩陣.(2)設,由于()=()A?1,所以 因此向量在基下的坐標為 (3)設向量在這兩個基下有相同的坐標,那么 即 也就是 解得,其中為任一非零實數.7.證明3階對稱矩陣的全體S構成線性空間，且S的維數為6.【證明】首先，S是非空的（∵0∈S）,并且A,B∈S,k∈R,有(A+B)′=A′+B′=A+B(kA)′=kA′=kA.這表明S對于矩陣的加法和數量乘法是封閉的.其次，這兩種矩陣運算滿足線性空間定義中的18條性質.故S是線性空間.不難驗證，下列6個對稱矩陣.構成S的一個基，故S的維數為6.8.說明平面上變換的幾何意義，其中 (1)； (2)； (3)； (4).【解】,T把平面上任一點變到它關于y軸對稱的點.,T把平面上任一點變到它在y軸的投影點.,T把平面上任一點變到它關于直線x=y對稱的點.,T把平面上任一點變到它繞原點按順時針方向旋轉90°后所對應的點.9.設V是n階對稱矩陣的全體構成的線性空間［維數為］，給定n階方陣P，變換 T(A)＝P′AP，A∈Ｖ 稱為合同變換，試證合同變換T是V中的線性變換.【證明】因為A,B∈V,k∈R,有 T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A).所以T是線性空間V的一個線性變換.10.函數集合 V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a 1,a0∈R｝ 對于函數的加法與數乘構成3維線性空間，在其中取一個基 1＝x2ex, 2＝2xex, 3＝3ex，求微分運算D在這個基下的矩陣.【解】 即 因此D在基下的矩陣為.11.2階對稱矩陣的全體 對于矩陣的加法與數乘構成3維線性空間，在Vn中取一個基 (1)在V3中定義合同變換 求在基下的矩陣及T的秩與零度.(2)在V3中定義線性變換 求T在基下的矩陣及T的像空間與T的核.【解】(1) 由此知，T在基下的矩陣為 顯然M的秩為3，故這線性變換T的秩為3，零度為0.(2) 即 T()=()M, 其中就是T在基下的矩陣.顯然有 所以 T(V3)=L(T(A1))=L(A1+A2+A3).最后求出T?1(0).設A=x1A1+x2A2+x3A3∈T ?1(0),那么T(A)=0，即 也就是()MX=0,它等價于齊次方程組MX=0，解之得基礎解系(2,?1,0),(1,0,?1).故T ?1(0)=L(2A1?A2,A1?A3).習題 七 1.求下列矩陣的Smith標準型.【解】(1)對矩陣作初等變換，得 即為所求.(2)對矩陣作初等變換得 即為所求.(3)不難看出，原矩陣的行列式因子為 所以不變因子為 故所求的Smith標準形是(4)對矩陣作初等變換，得 即為所求.2.求下列矩陣的不變因子.【解】(1)顯然，原矩陣中左下角的二階子式為1，所以 D1=1, D2=1, D3=(2)3.故所求的不變因子為 d1=1, d2=1, d3=(2)3.(2)當b≠0時，且在矩陣中右上角的三階子式 而,所以D3=1.故所求的不變因子為 d1=d2=d3=1, d4= [(+a)2+b2]2.3.證明的不變因子為 d1(λ)=…=dn-1(λ)=1,dn(λ)=λn+a1λn?1+…+an-1λ+an.【證明】由于該矩陣中右上角的n-1階子式等于非零常數(-1)n-1,所以 D1()=D2()=…=Dn-1()=1.而該矩陣的行列式為 Dn()=n+a1n-1+…+an-1+an, 故所給矩陣的全部不變因子為 d1()=…=dn-1()=1, dn()=n+a1n-1+…+an-1+an.4.證明（a為任一非零實數）相似.【證明】 記 經計算得知，E-A與E-B的行列式因子均為D1=D2=1,D3=(-0)3,所以它們的不變因子也相同，即為d1=d2=1,d3=(-0)3,故A與B相似.5.求下列復矩陣的若當標準型.【解】設原矩陣為A.對A的特征矩陣作初等變換，得 于是A的全部初等因子為.故A的若當標準形是 (2)設原矩陣為A.對A的特征矩陣作初等變換，得 所以A的全部初等因子為.故A的若當標準形是 習題一 1.計算下列排列的逆序數 1）9級排列 134782695； 2）n級排列 n(n?1)?2。1 解：（1）?(134782695)?0?4?0?0?4?2?0?0?0?10 ； （2）?[n(n?1)?21]?(n?1)?(n?2)???1?0?2.選擇i和k，使得： 1）1274i56k9成奇排列； 2）1i25k4897為偶排列。 解：（1）令i?3,k?8，則排列的逆序數為：?(127435689)?5，排列為奇排列。從而i?3,k?8。 （2）令i?3,k?6，則排列的逆序數為：?(132564897)?5，排列為奇排列。與題意不符，從而i?6,k?3。3.由定義計算行列式 n(n?1)。2a11a21 a31a41a51 aaaaa1222324252000aa000a53a43000。a5a4444555解：行列式＝j1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，因為j1,j2,j3至少有一個大于3，所以a1j1a2j2a3j3中至少有一數為0，從而a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0。 4.計算行列式： 40?211）?131； 2） 122?41?14?1111； 3） 1?111011?***； 07a213279b24）；5）21284c1?5?12525d2146416(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2。2(c?3)(d?3)2解：（1）－40 ；（2）－16 ；（3）0 ；（4）－1008 ；（5）0。 5.計算n階行列式： xy0?001230xy?001?1000x?0002?2 1）； 2）?????????000?xy000y00?0x000?n?1n?00?00； ????2?n0?n?11?n1?a1111?a2 3）??11x????y122?21222?21（ai?0）； 4）223?2。??????1?an222?n?00y0?000x?00xy?00解：（1）原式=x??????(?1)n?1y0x?00（按第一列展00?xy?????00?0x00?xy開） =xn?(?1)n?1yn。n(n?1)2320?1000?2（2）行列式=???000000?n?1n?00?00（后n?1列和加到第一列，????2?n0?01?n再按第一列展開） n(n?1)(?1)(?2)?(1?n) =2(n?1)! =(?1)n?1。 2111?101?a11?111?a2?1（第一行第一列為添加的部分，注意（3）行列式=0?????011?1?an此時為n?1級行列式） 111?0???1c1?1c21?00a11c1?c3a 2??r2?r1r3?r1?1a1?1??1?011???a1an00?01a10010??1000a2?rn?1?r11?c1?cn?1an??a2?0 0?an?????an =(1?11???)a1a2?an。a1an122?200?0r2?r11r3?r10（4）行列式?101??rn?r1?????100?n?222?21?02?10=1?(?1)（按第二行展開）????00?n?2??2(n?2)!。提高題 1.已知n級排列j1j2?jn?1jn的逆序數為k，求排列jnjn?1?j2j1的逆序數。解：設原排列j1j2?jn?1jn中1前面比1大的數的個數為k1，則1后面比1大的數的個數為(n?1)?k1，于是新排列jnjn?1?j2j1中1前比1大的個數為(n?1)?k1個；依此類推，原排列j1j2?jn?1jn中數i前面比i大的數的個數為ki，則新排列jnjn?1?j2j1中n)?1i前比in?大的個數為 (n?i)?ki個記?(j1?j2n?jkj1?k2???k1，?k故新排列的逆序數為 n(n?1)?k。2[(n?1)?k1]?[(n?2)?k2]??[(n?(n?1)?kn?1]?1?2??(n?1)?k?2.由行列式定義計算 2xx121x1?14 f(x)?中x與x3的系數，并說明理由。 32x1111x解： 由于行列式定義中的每一項來自于不同行和不同列的n個元素的乘積。而該行列式中每個元素最高含x的一次項，因此x4的項只能由對角線上的元素乘積所得到x4，故x4的系數為(?1)?(1234)?2＝2。 同樣的考慮可得x3的系數為(?1)?(2134)＝－1。 1xx21a1a1223.設P(x)?1a2a2???21an?1an?1?????xn?1a1n?1n?1，其中ai互不相同。a2?n?1an? 11）說明P(x)是一個n?1次多項式； 2）求P(x)?0的根。 解：1)把P(x)按第一行展開得：P(x)?A11?1?A12?x???A1n?xn?1。11而A1n??1a1a2??a1n?2n?2?a2?0，所以P(x)是一個n?1次多項式。 ??n?2an?1?an?1根據范德蒙行列式 P(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an?1)(a1?a2)?(a1?an)(a2?a3)?(a2?an?1)?(an?2?an?1) 2)因為x?ai（i?1,2,?,n?1）代入P(x)中有兩行元素相同，所以行列式為零，從而P(x)?0的根為a1,a2,?,an?1。 習題二解答 1.計算 1）?x1x2?a11?x3??a21?a?31a12a22a32a13??x1????a23??x2? ； ?a33????x3??0??10??；求 A2、A3、A4。2）已知A???10???10??222解：1）a11x1 ； ?(a12?a21)x1x2?(a13?a31)x1x3?a22x2?(a23?a32)x2x3?a33x3?0??0??0???????000000? ；A3??? ；A4???。 2）A2???100??000??000???????10010000000???????311??11?1?????2.設 1）A??212?，B??2?10?，求 AB?BA。 ?101??123??????abc??1ac????? 2）A??cba?，B??1bb?，求 AB。 ?111??1ca??????a?b?ca2?b2?c2?22?2???2解：1）?20 ；2）?a?b?c0?b?2ac??4?4?2??3a?b?c???3.設A是n階實方陣，且A?A?0。證明A?0。 b2?2ac?222?a?b?c?。a?b?c???a11a12?a21a22證明：設A???????an1an2????a1n??a11a21??a2n?a12a22，則A??????????ann??a1na2n????an1??an2?。從而。???ann?2?a121?a2?21???an1?222?a?a???a1222n2A?A??????????????????0。 ????222??a1n?a2n???ann?222222222所以a11?a21???an1?a12?a22???an2?a1n?a2n???ann?0。因為aij為實數，故aij?0（i,j?1,2,?,n）。即A?0。 ?a1???a2?，a,a,?,a互不相同。證明與A可交換的矩陣只4.設A??n??12???an??能為對角矩陣。 ?b11b12?b21b22?證明：設與A可交換的矩陣為B??????bn1bn2?a1b11a1b12?a2b21a2b22 ??????anbn1anbn2????b1n??b2n?，由AB?BA得： ???bnn??anb1n???anb2n?。?????anbnn??a1b1n??a1b11a2b12???a2b2n??a1b21a2b22??????????anbnn??a1bn1a2bn2即 aibij?ajbij（i,j?1,2,?,n）。由于a1,a2,?,an互不相同，所以i?j時，?b110?0b22bij?0。故B???????0bn2?0??0??。即B為對角矩陣。?????0?5.證明任一方陣可表示成一對稱矩陣和一反對矩陣之和。證明：設A為方陣，記B?(A?A?)2，C?(A?A?)2，則可知B為對稱矩陣，C為反對稱矩陣。且A?B?C。 6.設f(?)?am?m???a1??a0，定義f(A)?amAm???a1A?a0E，其中A?211???是n階方陣。已知f(?)??2???1，A??312?，計算f(A)。?1?10????513???解：f(A)?A2?A?E??803?。??21?2???7.已知方陣A滿足A2?A?7E?0。證明A及A?2E可逆，并求它們的逆矩陣。 證明：由A2?A?7E?0，可得：A(A?E)?7E。所以A可逆，且A?1?(A?E)。7同理由A2?A?7E?0，可得：(A?3E)(A?2E)?E。所以A?2E可逆，且(A?2E)?1?A?3E。 8.求下列矩陣的逆陣： ?211??223??13??? ；3）?1?10? ； 1）? ；2）121??????21???121??112??????1111??21?????11?1?121? ；5）??。4）??1?11?1??21?????1?1?112?????1??5解：1）??2??53??3?1?1??1?4?3??5 ；2）1??13?1? ；3）?1?5?3? ； ????4?1???1?13???164???????5??1111??8?42?1????8?42?1?11?1?1?1??。4）；5） 8?4?4?1?11?1?16?????1?1?118?????422???9.已知A??120?，且AB?A?2B，求B。??123????010??1??1?121?，解：由AB?A?2B，可得B?(A?2E)A。又(A?2E)???2??1?3?1???120??所以B?(A?2E)?1A???152??。?2?6?1???10.設A是n階方陣，如果對任意n?1矩陣X均有AX?0。證明A?0。 ?a11a12?a21a22?證明：記A??????an1an2????a1n??1????a2n?0??，取X?，由AX?0，可得ai1?0 ?0??????ann??0?（i?1,2,?,n）。同理可得aij?0（i,j?1,2,?,n）。從而A?0。11.已知4階方陣A的行列式A?5，求A*。 解：因為 AA??AE，兩邊取行列式有 AA??A。所以 A*?53?125。 4?A12.設A，B分別為m，n階可逆方陣，證明分塊矩陣??C證明：因為 A，B可逆，所以 A?0，B?0。故 0? ?可逆，并求逆。 B?A0?AB?0，從而CB?A??C0??X11可逆。記??B??X21X12??A?是?CX22??0??A的逆，則??B??C0??X11?B???X21X12???E，X22?AX11?E?X11?A?1???AX12?0?A0?X12?0??于是?，解得?。故矩陣??的逆為?1?1CB???X21??BCA?CX11?BX21?0?1???CX12?BX22?E?X22?B?A?1??1?1??BCA0??。?1B?A??1?1?1?，其中A，C存在，求X。0??013.設X???C?0解：因為 ??CA??0C?1??0X??E，所以????0??A?10??CA??0C?1??。?的逆為??10?0??A14.求下列矩陣的秩： ?224114??32?1?3????1?1?302?1??? ； 1）?2?13 ；2）1???121113??705?1?????312?2?1?1???1aa2? 3）?1bb2?1cc2?a3??b3?。c3??解：1）2。2）4。3）當a?b?c時，秩為1；當a,b,c有某兩個相等時，秩為2；當a,b,c互不相等時，秩為3。 提高題 1.秩為r的矩陣可表示為r個秩為1的矩陣之和。 證明：設矩陣A的秩r，由推論1?結果可知：存在可逆矩陣P和Q使得?EPAQ??r?00??1?Er，即 A?P??0??00??10??Ir?1?I1 Q?P[???????0??00??00??1其中? ]Q，0?Ik（k?1,2,?,r）表示第k行k列元素為 1、其余元素為0的r階方陣。記A?1[??Ik0??1k?P?00? ]Q（k?1,2,?,r），則?Ak的秩為1，且A?A1???Ak。2.設m?n矩陣A的秩為1，證明： ?a11）A可表示成???????b1?b?n?； ?am??2）A2?kA(k是一個數)。 證明：1）因為A的秩為1，所以存在某元素aij?0。記A的第i行元素為?b1,?,bn?，則A的任一行向量可由第i行線性表示（否則與i行向量線性無關，與A的秩為1矛盾）。記a1,?,an依次為第1行、?、第n行的表示系數，則有?A??a1??????b1?bn?。 ??am???a12）由1）A????????b1?bn?，所以 ??am???A2?[?a1???????b?a1???]?(b?a1??1?bn?][????b1?bn?1a1???bnan)????b1???am????am????am???a1? ?k??????b?b?1n?（其中k?b1a1???bnan）。 ?am????1? 設A是n階方陣，X是n?1矩陣?1?3.??，證明： ????1?? 1）AX的第i個元素等于A的第i行元素之和； 2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常數a，則A?1的每一行元素之和也相等。 bn??a11a12?a21a22證明：1）記A???????an1an2????a1n??a11?a12???a1n????a2n?a?a???a21222n?，則AX??。 ????????ann?a?a???ann??n1n2?a???a 2）若A的每一行元素之和等于常數a，由1）AX????aX，由于A??????a?可逆，所以a?0。從而A?1X?11X，即A?1的每一行元素之和等于常數。aa4.證明： 1）上（下）三角矩陣的乘積仍是上（下）三角矩陣； 2）可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣。證明：1）記A?aij??n?n，B?bjk??n?n為上三角矩陣，C?AB。則i?j?k時，aij?0，bjk?0。對任意s，當i?s時，ais?0，當k?i?s時bsk?0，即任意s，aisbsk?0。從而i?k時，cik?ai1b1j???aisbsk???ainbnk?0。故上三角矩陣的乘積仍是上三角矩陣。同理可證明下三角矩陣的情形。 ?a11a12?0a22? 2）對可逆的上三角矩陣A?????0?0?a11a12?0a22?對于?A?E??????0?0變換 ????a1n??a2n?，aii?0（i?1,2,?,n），???ann?????a1na2n?ann?10?0???01?0?，先進行第二類初等行 ????????00?1?1，再作第三類初等行變換把左邊變成單位矩陣時，右邊ri（i?1,2,?,n）aii即為上三角矩陣。亦即可逆的上三角矩陣的逆仍是上三角矩陣。5.已知實三階方陣A滿足：1）aij?Aij；2）a33??1。求A。解：因為AA??AE，所以AA??A。由于aij?Aij，從而有A??A??A。于是A?0或A?1。 若A?0，則AA??AA??0，由于A為實三階方陣，由習題3可得A?0。此與a33??1矛盾。從而A?1。 6.設A?E?????，其中?是n?1非零矩陣。證明： 1）A2?A的充分必要條件是?????1； 2）當?????1時，A是不可逆矩陣。 證明：1）若A2?A，即有E?(????2)?????E?????。又?是n?1非零矩陣，所以???是n?n非零矩陣，從而?????2?1，即?????1。以上每步可逆，故命題成立。 2）當?????1時，由1），A2?A。若A可逆，則可得A?0，矛盾。故A是不可逆矩陣。 7.設A，B分別是n?m、m?n矩陣，證明：3EmAB?En?AB?Em?BA。EnB?En?AB；En?Em0??Em證明：因為???A?AEn????Em又??AB??Em???En??0B?Em，所以?En?AB?AB??Em0??Em?BAB?Em????，所以AEn???AE0En?n????B?Em?BA。從而命En題成立。 8.A，B如上題，??0。證明：?En?AB??n?m?Em?BA。 0??Em??Em??證明：由于??0，可得1?A???AE?n??????EmB?????En???0?B??，所以 1En?AB?????EmAB?En?Em0B??m?n?En?AB； 1En?AB???Em又??AB??Em0???Em?BAB??Em????，故AEn???AE0En?n????B??Em?BA。從而En?En?AB??n?m?Em?BA。第三篇：線性代數二次型習題及答案
第四篇：線性代數習題及答案復旦版
第五篇：線性代數附錄答案習題1和習題2
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