第一篇：線性代數英文試卷(習題)

ZheJiang University Of Science And Technology Civil Engineering 14 Final Test

Linear Algebra Final Test(15.06)

Cautions:[1]You are allowed to finish this test within 60 minutes.[2]Fill the answer in the question paper in part.1 1.Filling Blanks(45 points)姓名：x[1]figure out the value of the following determinant A=

xyx?yx?yxy?______________

x?yy學號：班級： ?32?T??102??[2]Here are two matrix,A??01?,B???010?????14???T,please find AB=____________,BA=______________.[3]A known matrix B satisfies the following equation,B2-B-2E=0,if B,B+2E are nonsingular,thus(B+2E)-1=___________ [4]Pick up the vectors which are linearly independent__________ ①(-2,1)T,(1,3)T,(2,4)T ②2,x2,x,2x+3

③x+2,x+1,x2-1

④(1,2)T,(-1,1)T

?12?2???[5]A?4t3?.if B is a nonzero 3x3 matrix,AB=0,thus t=________ ??3?11???O?A[6]|A|=|B|=|C|=2,and they’re all 3*3 matrix,find the value of D=2(B)?1C=____________

3[7]Judge whether ?200??253?????A??052?，B??050? have the same eigenvalues______(‘Y’OR’N’),if yes,please find ?004??004????? them=_____________[8]find matrix X,which satisfies the equation

?1?1??21?,X=___________

X??????24??12??50?????[9]find the eigenvectors of A=?18? ,______________________2.Solve problems(55 points)[1]A,B are 3x3 matrix,and they satisfy the equation

AB?2A?B，and

?002???B??040?，findA?E.?200???[2]If ?12?A???，find a matrix U?21?，making U?1AU?? exist.(Tip:?is a diagonal matrix).ZheJiang University Of Science And Technology Civil Engineering 14 Final Test

?2x1?x2?x3?x4?1?3?[3]The equation is?3x1?2x2?x3?3x4?4,find its general solution;

[4]A=?4??x?4x?3x?5x??2?0234?1??04?30000100?find 0??4???1?A?1 and A*.?1??111?????[5]??0is one of eigenvectors of matrixA?m?1?1，?????1??1?1n?????（1）find the eigenvalue α,then figure out the value of m,n；

（2）Judge whether matrix A can be diagonalizable;if yes,please find a matrix diagonal matrix).U,making U?1AU?? exist.(Tip:?is a

?1??1??1??1??1???????????[6]The array of vectors β,α are given,?1?0,?2?m,?3?1 ,?1?1,?2?2.They have the same rank of

???????????1??3??2??0??n???????????matrix,meanwhile,?3is linearly independent with?1,?2，find the value of

m,n.----------------Draft paper Area-------------ZheJiang University Of Science And Technology Civil Engineering 14 Final Test

Answer of Liner Algebra(2015.06)

3.-0.25(A-3E)

4.[4]

5.t=-3 1.Filling blanks(each question with 5 marks)1.2xy(x+y)

?301???50????2.AB???,BA??214?

101???602???6.27/8

7.Y 2,5,4

8.X????0.50?? ???1.51?

9.(-3,1)T,(0,1)T 2.Solve questions(each question with 8-10 marks)1.A-E=2(B-2E)-1(FIND THE EXACT ANSWER BY YOURSELF)

?1??6??0?0??????????015???7??????513.X?α????0???7??β??

?7????7?0?0??4?????9???????0??0?????7??7?2.U=????0.50???

11??

4.?C?1A???O??1O?-1?

A*=|A|xA ?1?B?

5.[1]Eigenvalue is 2,m=n=1 6.M=2,n=1

[2]U consists of 3 eigenvectors whose eigenvalue are 1.2.-2

第二篇：線性代數試卷

廈門理工學院繼續教育學院20 第 學期期末試卷

線性代數（考試時間：120分鐘）

專業 姓名 層次形式 成績

一、選擇題（每小題4分，共16分）1.A，B為三階方陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E則().22?1?1?1(A)X?(A?B);(B)X?(A?B)(A?B)(C)X?(A?B)(A?B)(D)以上答案都不對.2.?1?1；

A、B、C為n階方陣，且AB?C,A、B、C的列向量組分別為?1,?2,???,?n；?1,?2,???,?n(A)；

?1,?2,???,?n.若

?1,?2,???,?n線性相關，則().?1,?2,???,?n線性相關;(B)

?1,?2,???,?n線性相關；

(C)（A）與(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.設A,B為三階矩陣，且r(A?3A?2E)?3，若r(B)?2則r(AB?B)?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)無法判斷． ???A??2?2?3??34.設三階矩陣

???????B???2????2???，?3?，其中?,?,?2,?3均為三維行向量，已知A?18，2B?2，則A?B?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空題（每小題4分，共16分）

?En?1?0AB?OB為n階非零矩陣，5.設A、，且A的階梯形為?1D?a1111b1111c1111n0??0?，則矩陣B的秩=.6.已知，則此行列式的所有代數余子式之和i,j?1?Aij?.1

?1A???0Tx?(1,1)?7.已知是1??a??的一個特征向量，則a?.8.為已知A是3階方陣，?1,?2,?3是三維線性無關的向量.若A?1??1??2，A?2??2??3，A?3??1??3，則A的行列式等于.三、計算下列各題（每小題7分，共28分）

01D?1?1101?11110?11??????111?01111?10.9.計算n階行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)?2x1?8x2?x3?2ax1x2222正定，求a的取值范圍.411.已知??(1,1,1),??(1,0,1)，且A???.求A.TTT

?2?A?0??2? 0301??1??0B?0????02??0?100??0?0??

12.已知矩陣X滿足AX?2B?BA?2X，求X．

四、解答下列各題（每小題14分，共28分）

?2x1?3x2?3x3?a?x1?x2?x3?1??3x?4x2?(a?2)x3?a?1x?2x?ax?12313.求a使方程組?1與?1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)?XAX?x1?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)??(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經正交變換所得的標準型，并寫出相應的正交矩陣.3

五.解答下列各題（每小題4分，共12分）

15.設?1,?2,???,?t是線性方程組Ax?O的基礎解系，向量?滿足A??b?O.證明?1,?2,???,?t,?線性無關.16.已知A是n階方陣且可對角化，問B?A?A?E可否對角化？證明你的結論.2 T17.已知A為n階矩陣.證明方程組Ax?O與AAx?O的解相同.

第三篇：線性代數試卷

線性代數試題

請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

選擇題部分

一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應代碼涂黑。錯涂、多涂或未涂均無分。1．設行列式A.－3 C.1 2．設4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設A為2階可逆矩陣，若A?1??B.2 D.4 a1a2b1acab?c?1，11??2，則111? b2a2c2a2b2?c2B.－1 D.3 ??1?3?A.??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.r=m時，Ax=0必有非零解 C.r

?，則A= ?25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設A為m×n矩陣，A的秩為r，則

B.r=n時，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.?0??8??1?C.?0??4? 0?8??212? 123??0?4??26? 63???1?B.?0?0??1?D.??4?0?0?8??212? 03???40??26? 63??═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非選擇題部分

注意事項：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

7．設A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=?8．設矩陣A=??12??，則A=______.?34?a12??a11a12??a11，B=???，且r(A)=1，則r（B）=______.?a21a22??a11?a21a12?a22?9．設向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，則β－2α=________． 10．設向量α=(3，－4)T，則α的長度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T線性無關，則數k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎解系中所含解向量的個數為______．

?122???100?????13．已知矩陣A=?212?與對角矩陣D=?0?10?相似，則數a=______ ?221??00a?????14．設3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，則實數t的取值范圍是______． ?x2?tx

3三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

a?b?c16．計算行列式D=2a2a2b2cb?a?c2b.2cc?a?b17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βαT=3，A=αTβ，求(1)數k的值；(2)A10． ?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=?231?，B=?00?，求矩陣X，使得AX=B.?340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一個極大線性無關組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關組線性表出．

?2x?3y?z?0?20．設線性方程組?2x?y?z?1，問：

?x?y??z?1?═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值時，方程組無解？

(2)λ取何值時，方程組有解？此時求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=?010?的全部特征值與特征向量．

?100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標準形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設向量組α1，α2線性無關，且β=clα1+c2α2，證明：當cl+c2≠1時，向量組β－α1,β－α2線性無關．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第四篇：線性代數 試卷

浙江大學2008-2009學年秋冬學期 《線性代數I》課程期末考試試卷及參考答案

?2x1?1．解線性方程組?x1?x?1?5x2?2x2?4x2?4x3?x3?6x3?x4?x4?2x4?x5?x5?x5??3?5。?10解：略。

2．線性變換T:?2??2的定義是

T(x,y)?(3x?y,x?3y).設B?{(1,1),(1,?1)},B??{(2,4),(3,1)}。（a）證明B,B?是?2的兩組基。

（b）給出T關于基B的矩陣表示A和T關于基B?的矩陣表示A?。（c）求矩陣Q使A??Q?1AQ。

（a）證明：先證明B線性無關（略）。因為B所含的向量個數?2?dim?2，所以B是?2的一組基。B?類似可證。

（b）解：由定義即可（略）。

（c）解：矩陣Q是基B到基B?的過渡矩陣，由定義求之即可。

?00???103．設矩陣A??0?1?????00?n?2。解：

0?a1??0?0a2?0?0a3?。求行列式A?tI，其中I是n階單位陣，?????0??1an??0t?1A?tI?0?0000t?0000?0??0?000?ta1a2a3??1t?an?10??1t?an0?000?tn?antn?1???a2t?a1tn?1?antn?2???a3t?a2tn?2?antn?3???a4t?a3?t2?ant?an?1t?anRn?1?tRn?100?Rn?2?tRn?10?10???R1?tR2?00?00?

0?00??1?tn?antn?1???a2t?a14．令V為由全部在閉區間[0,1]上連續的實函數構成的集合，即

V?{f:[0,1]??|f連續}（a）給出V的向量加法和數乘法使V成為線性空間。（b）證明(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內積。

01（a）解：對?f,g?V,????，定義

f?g:[0,1]??f(x)?g(x)，??f:x?[0,1]?x??(f(x))驗證上面定義的加法和數乘法使V成為線性空間。（b）證明：對?f,g,h?V,????，有

(f,g)??f(x)g(x)dx??g(x)f(x)dx?(g,f);0011(?f,g)???f(x)g(x)dx???f(x)g(x)dx??(f,g);0011(f?g,h)??(f(x)?g(x))h(x)dx??f(x)h(x)dx??g(x)h(x)dx?(f,h)?(g,h);000111(f,f)??f2(x)dx?001所以(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內積。

015．設映射D:?[x]5??[x]5用D(f)?f?來定義，其中f?是f的導數。（a）證明D是線性變換。

（b）給出D的核，他的一組基和維數。（c）給出D的像，他的一組基和維數。（a）證明：對

?f?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4,g?b0?b1x?b2x2?b3x3?b4x4??[x]5,????，有

D(f?g)?D((a0?b0)?(a1?b1)x?(a2?b2)x2?(a3?b3)x3?(a4?b4)x4)?(a1?b1)?2(a2?b2)x?3(a3?b3)x2?4(a4?b4)x3?D(f)?D(g),D(?f)?D(?a0??a1x??a2x??a3x??a4x)??a1?2?a2x?3?a3x2?4?a4x3??D(f)所以D是線性變換。

234

（b）D的核kerD??，f?1是他的一組基，他的維數dimkerD?1。（c）D的像ImD??[x]4，1,x,x2,x3是他的一組基，他的維數dimImD?4。

?112???6．判斷實矩陣A???121?是否可對角化。若A可對角化，求矩陣Q使Q?1AQ?013???是對角矩陣D，并給出矩陣Q?1和D。解：略。

27．實二次型f:?2??的定義是f(x1,x2)?2x12?5x2?4x1x2。

（a）給出對應于f的實對稱矩陣A。

（b）給出A在相合（即合同）意義下的標準形（或規范形）。

（c）給出f的正慣性指數和負慣性指數，并判斷f是否正定或者負定。解：略。

8．設?,?是線性變換T:V?V的兩個互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量。如果av?bw是T的特征向量，證明a?0或者b?0。證明：因為av?bw是T的特征向量，所以存在T的特征值?使得T(av?bw)??(av?bw)。因為v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以?av??bw?T(av?bw)?aT(v)?bT(w)?a?v?b?w，即a(???)v?b(???)w?0。因為?,?是線性變換T:V?V的兩個互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以v,w線性無關。所以a(???)?0,b(???)?0。

如果a?0，則有???。因為?,?互異，所以????0，進而b?0。所以有a?0或者b?0。

9．證明或舉反例否定下面命題。

V)?dim(W，)則任何線性映射（a）若有限維線性空間V,W滿足dim(T:V?W都不是同構。

答：正確。因為T:V?W是同構?dim(V)?dim(W)。

（b）若方陣A,B有相同的特征多項式，則A和B是相似的。

?10?答：錯誤。例如A???,B?E2，則他們的特征多項式相同，均為

11??f(?)?(??1)2，但A和B不相似，因為A不可對角化。

（c）若可逆方陣A相合于方陣B，則他們的逆矩陣A?1,B?1也是相合的。

答：正確。這是因為：若可逆方陣A相合于方陣B，則存在可逆矩陣CT?1使得B?CTAC，進而B?1?(CTAC)?1?C?1A?1(C)?C?1A?1(C?1)T，即A?1,B?1相合。

（d）實正交矩陣一定可對角化。

?cos?答：錯誤。比如A???sin??sin???的特征多項式為cos??f(?)??2?2?cos??1，所以沒有實特征根，當然也不能對角化。

第五篇：線性代數習題冊

線 性 代 數

習

題

冊

江蘇師范大學科文學院

第一章矩陣

重點掌握：矩陣的運算；行列式的計算；元素的代數余子式和伴隨矩陣的定義；可逆矩陣的性質和逆矩陣的求法；矩陣秩的求法等。

一、逆矩陣

對于記作，若有． 為可逆矩陣

；

滿足，則稱

為可逆矩陣，且

為的逆矩陣，運算律：（1）對于可逆為可逆矩陣．

可逆, 且，有

．

．，取（2）可逆，可逆，且．

對于（3）對于，取與，取都可逆，有

可逆，且，有

． ．

．

（4）對于可逆，取

可逆, 且，有

．

．

（5）（6）可逆與都可逆

．

．

二、矩陣的初等變換

初等變換 行變換 列變換 ① 對調 ② 數乘

, 記作

③ 倍加

經過初等變換得到初等矩陣：

．

（1）

（2）

（3）定理

設（1）對（2）對是

矩陣，則

進行一次行初等變換，相當于用一個階的初等矩陣左乘；.進行一次列初等變換，相當于用一個階的初等矩陣右乘求逆矩陣的初等變換法：

（都是初等矩陣）

由此可得：對（矩陣的位置）成為

施行“初等行變換”，當前列 時，則后

列（的位置）為

．

三、矩陣的秩

1、子式：在中, 選取行與

列, 位于交叉處的 個數按照原來的 的一個階子式, 記作

個．

． 相對位置構成階行列式, 稱為 對于給定的, 不同的2、矩陣的秩：在中，若

；

階子式總共有(1)有某個階子式(2)所有的 稱

階子式

（如果有，或者

階子式的話）． ．

階梯矩陣.的秩為，記作定理 任意一個矩陣，均可以經過一系列行初等變換化為定理 初等變換不改變矩陣的秩.定理 階矩陣可逆

.典型習題練習

＊1設是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與

等價的矩陣是（）

A． B．

C． D．

2．設3階陣A．0 B．1 C．

2＊3如果A 4設階方陣D．3，則的秩為（）

可逆，則下列結論正確的是（）

； C

； D 的行向量線性相關。； B 是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與等價的矩陣是____________。＊5設為三階方陣，且，則____________。

＊6設為三階方陣，的行列式

____________。，則

___________。＊7．已知三階方陣8．設矩設矩陣，矩陣，則矩陣的秩=____________。

9．設矩陣＊10設n階可逆矩陣，矩陣

滿足，則矩陣，則的秩=____________。

=____________。

11．3階矩陣，則的秩為____________。

12矩陣，則行列式=____________。

13＊14已知三階方陣

。的行列式，則。

15已知矩陣，則=____________。

＊16設矩陣，則的特征值為____________。

17計算行列式

＊18計算行列式

＊19計算行列式。

20計算行列式

＊21設

，求。

＊22設，求。

＊23設，求。

＊24設，求。

＊25設

26已知

＊27證明：如果矩陣

階矩陣滿足，求 ,求證：可逆，并求的逆。

是可逆對稱矩陣，則也是對稱矩陣。

第二章線性方程組

重點掌握：向量組間的線性關系：線性相關和線性無關；向量組極大無關組和秩的求法，線性方程組基礎解系的求法等。

一、線性方程組

一、克拉姆（Cramer）法則

定理（克拉姆法則）如果含有個方程的元線性方程組

（1）的系數行列式

則方程組（1）有唯一解，并且

其中是將系數行列式的第列元

元線性方程組

換成常數項

后得到的行列式.定理 如果如果含有個方程的的系數行列式，則方程組（2）僅有零解.二、解線性方程組的消元法

定理（1）（2）若, 有解有解時，若

；，則有唯一解；

個自由未知量．，則有無窮多組解，此時，一般解中有定理(1)

僅有零解

；

(2)

由于對推論 如果矩陣

有非零解[即有無窮多個解]有，由此得到

．

元齊次線性方程組

必有非零解.中，方程的個數少于未知量的個數，即，則方程組特別地，對于含有個方程的元齊次線性方程組

由定理2.2和定理2.4可以得到

定理 齊次線性方程組

有非零解

．

三、向量及其線性運算

1．向量的線性組合 設維向量，及（為正整數），若有數組，稱為的線性組合，或稱

可由向量組

線性表示．

使得

2．線性相關與線性無關 對維向量組，若有數組

則稱向量組

線性相關，否則稱為線性無關．，僅當數組

稱向量組向量組線性無關，否則稱為線性相關． 線性相關

元齊次線性方程組

全為0時，才有

不全為0，使得

線性無關：對維向量組

（1）

有非零解.向量組特別地，當向量組

線性無關

元齊次線性方程組（1）僅有零解.時，由定理2.5可推出： 線性相關

方程組（1）的系數行列式

向量組

線性無關

方程組（1）的系數行列式

四、向量組的秩

極大線性無關組：設向量組為（1）在（2）在都可以表為則稱的秩，記作：秩中有個向量中有，若

線性無關；

個向量的話）．[即

中每一個向量

個向量線性相關（如果有的線性組合] 為向量組的一個極大線性無關組，簡稱為極大無關組，稱為向量組

．[即極大無關組所含的向量個數] 向量組的秩與矩陣的秩的關系 設

(1)(2)當（1）（2）時，有

線性相關線性無關線性相關線性無關

； ．

； ．

五、線性方程組解的結構

1、齊次線性方程組 不妨設的基礎解系 的一般解為

()

依次令

可求得 因為（1）（2）所以，?，線性無關，是解空間的一個基，稱為齊次方程組

解的結構 的一個基礎解系．

2、非齊次線性方程組設 的一個基礎解系為 的特解為，一般解為，則有

()

六、若標準正交基

為向量空間，的一個基，（1）正交化：取，，為正交向量組（兩兩正交），且與向量組（2）單位化，取

等價．

則向量組為的一個標準正交基．

典型習題練習

＊1．設向量組

線性相關，則向量組中（）

A．必有一個向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合 C．必有三個向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個向量都可以表為其余向量的線性組合 ＊2．下列結論不正確的是（）A 如果B 如果，?，?，則，?，線性相關；

線性相關，則其中某個向量是其它向量的線性組合；

C 向量組的任何一個向量可由它的極大無關組線性表示；

D 如果一個向量組線性無關，則它的任何一個部分向量組也線性無關。

＊3．設向量組

線性無關，則向量組（）A．均不為零向量 B．任意兩個向量不成比例

C．任意s-1個向量線性無關 D．任意一個向量均不能由其余s-1個向量線性表示 ＊4.設向量，則下列向量是單位向量的是（）

A． B．

C．

D．

5．設為3階非奇異矩陣，則齊次線性方程組：的解為_________________.＊6．設是一個4維向量組，若已知

可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為____________。

5．如果＊7．若有非零解，則=____________。

元齊次線性方程組的系數矩陣的秩，則它的基礎解系含解向量的個數為____________。

8.已知向量組

＊9．已知向量組，的秩為2，則數____________.，,（1）求向量組的秩；（2）求向量組的一個極大無關組。

＊10已知向量組，,（1）求向量組的秩；（2）求向量組的一個極大無關組。

＊11試確定

的值，使齊次方程組有非零解，并求方程組的解。

＊12已知向量組 ,判斷，是否可以表示為其余向量的線性組合。若可以，求其表示式。

＊13已知向量組 ,14．證明：包含零向量的向量組一定線性相關。，判別向量組是否線性相關。如果現行相關，將其中一個向量表為其余向量的線性組合。

第四章 矩陣的特征值和特征向量

重點掌握：矩陣的特征值和特征向量的計算；矩陣的特征值和特征向量的性質；相似矩陣矩陣對角化問題等。

一、特征值與特征向量

對階矩陣稱為，若有數

和

維列向量

滿足，則稱數

為的特征值，非零向量的屬于特征值的特征向量．

說明：

1、特征向量

2、階方陣值，即滿足方程，特征值問題是對方陣而言的． 的特征值，就是使齊次線性方程組的都是矩陣的特征值．

有非零解的

3、稱以記

4、設（1）（2）特征方程：

有非零解

．

或者

為未知數的一元次方程，它是階方陣的為的特征方程． 的特征多項式．

次多項式，稱其為方陣的特征值為，則有

；

特征矩陣：

或者 特征多項式：特征值和特征向量的性質

定理 設是階矩陣，則

與

有相同的特征值．

定理 階矩陣定理

設可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零． 的互異特征值為

線性無關．，與之對應的特征向量依次為，則向量組注意：

1、屬于不同特征值的特征向量是線性無關的．

2、屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量．

3、矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；一個特征向量不能屬于不同的特征值．

定理

設無關的特征向量為的互異特征值為，重數依次為，則向量組

線性無關．

定理

設（1）（2）

． 0是的特征值． , 則 ；

． 的特征值

；，則，對應的線性推論

一元多項式：矩陣多項式：定理 設(1)(2)[注] 一般結論：若 為的全體特征值為

． ,則的全體特征值

二、相似矩陣及其性質

對于或稱是階方陣和，若有可逆矩陣

．，使得，則稱矩陣

與

相似，的相似矩陣，記作相似矩陣的性質 性質1

與

[

與

有相同的特征多項式]； 的特征值相同．

推論 若階方陣與對角形矩陣

相似，則性質2 即是的個特征值．

（．

為正整數）．

性質3

[相似矩陣一定等價，顯然有相等的秩；反之不然] 性質4 單位矩陣的相似矩陣就是其本身．

性質5 性質6 性質7 若，且

與

可逆

．

即相似矩陣或都可逆或都不可逆．當它們都可逆時，它們的逆矩陣也相似．

相似對角化

若方陣對能夠與一個對角矩陣相似，稱，若可找到可逆矩陣，使

可對角化．

為對角矩陣，這就稱為把方陣階方陣對角化． 定理 階方陣推論 如果似．[其中[注] 可對角化的有個線性無關的特征向量．

]互不相等，則

．] 的特征值． 可對角化．，重數依次為，有個線性無關的特征向量． 的每一個

重特征值，則

可對

與對角陣

相階矩陣個特征值[的主對角線的元依次為的主對角元素為有個互異特征值的全體互異特征值為推論1 推論2 設角化的充要條件是，對應于每個特征值定理 階矩陣特征矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是對于

． 的秩為定理 也可以敘述為：階矩陣重特征值，齊次線性方程組

與對角矩陣相似的充分必要條件是對于的基礎解系中恰含有的每一個

個向量．

三、實對稱矩陣的特征值和特征向量

1．實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質 定理

實對稱矩陣的特征值都是實數．[即

] 定理 實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交．

2、正交矩陣 實矩陣（1）（2）滿足是正交矩陣是正交矩陣

時，稱為正交矩陣．

． ．

（3）即

是正交矩陣，的列向量組是兩兩正交的單位向量．

（4）是正交矩陣，即的行向量組是兩兩正交的單位向量． 定理 [設為階實對稱矩陣]是以的存在正交矩陣，使得

[即]．其中即，設為

個特征值為對角元素的對角矩陣．，使得

成為對角矩陣． 一定有個線性無關的階實對稱矩陣，則存在正交矩陣，若

是推論 設特征向量． 的重特征值, 則對應于特征值

3、實對稱矩陣對角化方法——利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法 根據上述結論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為： ① 求② 由的特征值；，求出的特征向量；

③ 將特征向量正交化；

④ 將特征向量單位化．

典型習題練習

1.已知矩陣A．C．2．設 B． D．與對角矩陣，則

相似，則（）

為3階矩陣，且必有一個特征值為（）

A． B．

C． D． ＊3．設矩陣A．1 C．3 B．2 D．4，則的線性無關的特征向量的個數是（）

＊4.設3階實對稱矩陣的特征值為，則 __________。

5．已知為矩陣的重特征值，則的另一特征值為____________。

＊6．已知三階方陣7．已知3階矩陣的特征值為的特征值為，則且矩陣

與

________。相似，則

_________.＊8求矩陣的全部特征值及對應的全部特征向量。

＊9．求矩陣的全部特征值及對應的全部特征向量。

＊10設矩陣

＊11設矩陣，求可逆矩陣，使為對角矩陣。，求可逆矩陣，使為對角矩陣。

＊12矩陣

13證明：如果矩陣

與，求可逆矩陣，使為對角矩陣。

相似，則 與相似 14：證明：如果矩陣

與相似，則 =。

第四章 二次型

重點掌握：二次型及其矩陣；矩陣的合同的性質；二次型標準型與規范型的求法；二次型正，負慣性指數和秩的計算等。一、二次型的矩陣表示

含有個變量

稱為元二次型，簡稱為二次型．

：稱：稱只含有平方項的二次型

稱為二次型的標準形（或法式）．

1．矩陣表示：令，則，于是

為實二次型（本章只討論實二次型）為復二次型 的二次齊次多項式

其中，．即，（2）

其中為對稱矩陣，因為（）．

2、標準形：

對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形． 二次型的標準形的矩陣為

3、合同矩陣： 對于同于．記為定理 ∽∽為對稱矩陣，若有可逆矩陣．

． 為可逆矩陣，若，即

與

合同，則

亦為

使得, 則稱矩陣

與

合同，或

合定理 設對稱矩陣．

二、化二次型為標準形

1．正交變換法 說明：

1、二次型經可逆變換

2、要使二次型經可逆變換

后，其秩不變，但的矩陣由

變為

；

變成標準形，就是要使

也就是要使稱為對角矩陣．，總有正交矩陣，使

由于對任意的實對稱矩陣此結論應用于二次型，有，即．把定理

任給二次型準形

（），總有正交變換，使化為標

其中是的矩陣的特征值．

用正交變換化二次型為標準形的具體步驟：、將二次型表成矩陣形式、求出 的所有特征值，求出；

；，記

；、求出對應于特征值的特征向量、將特征向量；

正交化，單位化，得、作正交變換

2、配方法，則得的標準形．

用正交變換化二次型為標準形，其特點是保持幾何形狀不變． 問題：有沒有其它方法，也可以把二次型化為標準形？

問題的回答是肯定的．下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法． 拉格朗日配方法的步驟：、若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進行，直到都配成平方項為止，經過非退化線性變換，就得到標準形；、若二次型中不含有平方項，但是，則先作可逆線性變換

（且化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方．

定理 對于實二次型

定理 對于實對稱矩陣, 存在可逆矩陣, 使得 , 存在可逆變換）, 使得

3、初等變換法

求可逆矩陣 可逆, 使得

：（是初等矩陣）

典型習題練習

1設2元二次型

正定，則矩陣

可取為（）

A． B．

C．2 二次型A．1 B．2 C．3 D．4 D． 的秩為（）若3階實對稱矩陣 是正定矩陣，則的正慣性指數為__________。＊4實二次型的正慣性指數=__________。

＊5矩陣

對應的二次型 __________。