第一篇：近年華南理工大學線性代數試卷及答案

以下是四套近年的統考題，僅供參考．

試卷

（一）：

一.填空題（共20分）

1.若A*是6階方陣A的伴隨矩陣，且rank(A)?4,則rank(A*)?_______.2.設A???sin???cos??sin???，則A100?__________?cos??__________.3.設V?（?x1,x2,x3)T|2x1?x2?3x3?0?是R3的子空間，則V 的維數是__________.4.對稱矩陣A 的全部特征值為4,-5,3,2,若已知矩陣A??E為正定矩陣,則常數? 必須大于數值____________.?1??0?05.已知n階矩陣A?????0??0??10?00000????10?1?00????0??0?0??,??0,則矩陣A?????1??的逆是

__________________.二．選擇題（共20分）

1.若A,B是n 階方陣, 下列等式中恒等的表達式是（）

(A)(AB)2?AB；(B)(AB)?1?A?1B?1；(C）A?B?|A|?|B|；(D)(AB)*?B*A*.2.若A為n階方陣,則A為正交矩陣的充分必要條件不是()(A)A的列向量構成單位正交基；(B)A的行向量構成單位正交基；(C)A?1?AT；(D)detA??1.3.若V1是空間Rn的一個k維子空間,?1,?2,?,?k是V1的一組基;V2是空間R的一個k維子空間, ?1,?2,?,?k是V2的一組基,且m?n,k?m,k?n,則:m（）

(A)向量組?1,?2,?,?k可以由向量組?1,?2,?,?k線性表示；(B)向量組?1,?2,?,?k可以由向量組?1,?2,?,?k線性表示；

(C)向量組?1,?2,?,?k與向量組?1,?2,?,?k可以相互線性表示；(D)向量組?1,?2,?,?k與向量組?1,?2,?,?k不能相互線性表示.4.若?1,?2是實對稱方陣A的兩個不同特征根, ?1,?2是對應的特征向量,則以下命題哪一個不成立()(A)?1,?2都是實數；(B)?1,?2一定正交；

(C)?1??2有可能是A的特征向量；(D)?1??2有可能是A的特征根.5.已知A為n?1階方陣,且rank(A)?k,非齊次線性方程組AX?B的n?k?1個線性無關解為?1,?2,?,?n?k,?n?k?1, 則Ax?B的通解為().(A)c1?1?c2?2???cn?k?n?k；(B)c1?1?c2?2???cn?k?n?k?cn?k?1?n?k?1；

(C)c1(?1??n?k?1)?c2(?2??n?k?1)???cn?k(?n?k??n?k?1)；(D)c1(?1??n?k?1)?c2(?2??n?k?1)???cn?k(?n?k??n?k?1)??n?k?1.三.解下列各題(共25分)

1.若A為3階方陣,且A?.?1???1 2.設 A???1???1??11?1?1?1?11?1?1???1?2nA,A,求矩陣.??1?1??12, 求: A?1?A*

3.計算向量??(?1,2,4)T在基?1?(1,1,1)T,?2?(0,1,1)T,?3?(1,?1,1)T下的坐標.4.設向量組 ?1?(?2,1,0,3),?2?(1,?3,2,4),?3?(3,0,2,1),?4?(2,?2,4,6),TTTT

求向量組的一個最大線性無關組.?1??35.利用分塊矩陣方法,計算A??0??0?240000200??0?的逆矩陣.4??1??

四.證明題(8分)設n維向量組?1,?2,?,?n和向量組?1,?2,?,?n有關系

??1??2??3????n???2??1??3????n ??????n??1??2????n?1?問n維向量組?1,?2,?,?n和向量組?1,?2,?,?n是否同秩? 證明你的結論.五.(8分)二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1?3x2?3x3?2?x2x3,??0, 通過正交變換, 可將此二次型化為標準形f?y1?2y2?5y3,求參數?及所用正交變換.六.(8分)求線性方程組

??x1?x2?x3?x4?0? ?x1?x2?x3?3x4?1?1x?x?2x?3x??234?12?222222

的通解.七.(6分)解矩陣方程,并寫出解方程時初等矩陣的變換過程

?0??1?0?1000??1??0?X?0?1???00010??1??1???2?0???1?40?23??1? 0??八.(5分)設A是4階方陣,且A的特征根?1,?2,?3,?4互不相同,證明:(1)方陣A有四個線性無關的特征向量.(2)方陣A可以對角化.試卷

（二）：

一．計算下列各題：（每小題6分，共30分）

***176, 180?2?1??3??（1）162162（2）求2A2?3A?E2,其中A???1?

（3）已知向量組?1?(0,2,3)T,?2?(2,3,3)T,?3?(?1,2,t)T線性相關,求t.(4)求向量??(?1,2,4)T在基?1?(1,0,1)T,?2?(0,1,1)T,?3?(1,?2,1)T下的坐標.(5)設A???35??, 求A的特征值.???0?A?二.(8分)設?2?0?3001??0?,且AB?AT?B,求矩陣B.2??120c03b00a321?12?三.(8分)計算行列式:

00x

四.(8分)設有向量組

?1?(0,1,1,2,3),?2?(1,0,1,2,5),?3?(1,1,0,?2,?7),?4?(3,3,2,0,?6), TTTT 求該向量組的秩以及它的一個最大線性無關組.五.(8分)求下列方程組的通解以及對應的齊次方程組的一個基礎解系.?3x1?2x2?x3?x4?4x5?10,? ?2x1?x2?3x3?x4?x5?4，?7x?5x?x?2x?18.1345?六.(8分)求出把二次型f?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3化為標準形的正交變換,并求出使f為正定時參數a的取值范圍.222七.(10分)設三階實對稱矩陣A的特征值為3(二重根)、4(一重根),?1?(1,2,2)T是A的屬于特征值4的一個特征向量,求A.八.(10分)當a,b為何值時,方程組

?ax1?x2?x3?4,??x1?2bx2?3x3?10, ?x?3bx?3x?2,23?1 有惟一解、無窮多解、無解? 九．(10分)(每小題5分,共10分)證明下列各題

(1)設A是可逆矩陣, A~B, 證明B也可逆, 且A?1~B?1.(2)設?,?是非零n?1向量,證明?是n?n矩陣??T的特征向量.試卷(三):

一． 填空題（每小題4分，共20分）

?1?1．已知正交矩陣P使得PTAP??0?0?0?100??0?，則PTA2006(E?A)P?________?2??.2．設A為n階方陣，?1,?,?n為A的n個特征值，則 det(A2)?_________.3．設A是m?n矩陣，B是m維列向量，則方程組AX?B有無數多個解的充分必要條件是：_________.4．若向量組??(0,4,2)T,??(2,3,1)T,??(t,2,3)T的秩為2,則t?_____.1555512481?39?27, 則D(x)?0的全部根為:_________.5．D(x)?xxx23二． 選擇題（每小題4分，共20分）

0????1?0?1?00?100 1.行列式的值為().A.1 B.-1 n(n?1)n(n?1)C.(?1)2 D.(?1)2

2.對矩陣Am?n施行一次行變換相當于().A.左乘一個m階初等矩陣 B.右乘一個m階初等矩陣 C.左乘一個n階初等矩陣 D.右乘一個n階初等矩陣 3.若A為m?n矩陣,r(A)?r?n,M??X|AX?0,X?Rn?, 則().A.M是m維向量空間 B.M是n維向量空間 C.M是m?r維向量空間 D.M是n?r維向量空間 4.若n階方陣A滿足,A2?0, 則下列命題哪一個成立().A.r(A)?0 B.r(A)? C.r(A)?n2n2n2 D.r(A)?5.若A是n階正交矩陣,則下列命題哪一個不成立().A.矩陣AT為正交矩陣 B.矩陣A?1為正交矩陣 C.矩陣A的行列式是?1 D.矩陣A的特征值是?1

三.解下列各題（每小題6分,共30分）

1.若A為3階正交矩陣, A*為A的伴隨矩陣, 求det(A*).a1a1111a1111a.2.計算行列式 111?0? 3.設A??2?0?2000??0?,AB?A?B,求矩陣B.1?? 4.求向量組?1?(1,2,1,2)T,?2?(1,0,1,2)T,?3?(1,1,0,0)T,?4?(1,1,2,4)T的一個 最大無關組.5.求向量??(1,2,1)T在基??(1,1,1)T,??(0,1,1)T,??(1,?1,1)T下的坐標.四.(12分)求方程組 ?x1?x2?2x3?x4?x5?2? ?3x1?x2?2x3?7x4?3x5?2

?x?5x?10x?3x?x?62345?1 的通解(用基礎解系與特解表示).五.(12分)用正交變換化下列二次型為標準型, 并寫出正交變換矩陣

f(x1,x2,x3)?2x1x2?x2?x3?2x1x3 六.證明題(6分)設??0,?1,?2,??r是線性方程組AX??對應的齊次線性方程組的一個 基礎解系,?是線性方程組AX??的一個解, 求證?1??,?2??,?,?r??,?線性無關.試卷(四):

一.填空題（共20分）

1.設A是m?n矩陣，B 是m 維列向量，則方程組AX?B有唯一解的充分必要條件是： 2.已知E為單位矩陣, 若可逆矩陣P使得2P?1AP?P?1A2P?3E, 則當E?A可逆時, A3?

3.若t為實數, 則向量組α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3+t）的秩為: 4.若A為2009階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則A*= 5.設A為n階方陣，?1,?2,??????,?n是A的n個特征根，則?i?1nii?iE?A =

二.選擇題（共20分）

1.如果將單位矩陣E的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為P(j,i(k)),將矩陣Am?n的第i列乘k加到第j列相當于把A：

A, 左乘一個P(i,j(k));B，右乘一個P(i,j(k));C． 左乘一個P(j,i(k));D，右乘一個P(j,i(k)).2.若A為m×n 矩陣，B是m維非零列向量，r(A)?r?min{m,n}。集合nM?{X:AX?B,X?R}, 則

A，M 是m維向量空間，B，M是n-r維向量空間 A，M是m-r維向量空間，D，A，B，C都不對

3.若n階方陣A滿足 A2?3A?4E，則以下命題哪一個成立 A，A?E，B，r(A)?r(E)

C.detA?detE，D，r(A?E)?r(A?E)?n

4.若A是2n階正交矩陣，則以下命題哪一個一定成立：

A，矩陣A*A?1為正交矩陣，B，矩陣 2A?1為正交矩陣 C, 矩陣A?A*為正交矩陣，D，矩陣 A?A*為正交矩陣

?1????????????00?1?1?105.如果n階行列式?1????1的值為-1,那么n的值可能為：

A, 2007，B，2008 C, 2009, D，2000

三.判斷題(每小題4分, 共12分)(1)對線性方程組的增廣矩陣做初等變換,對應的線性方程組的解不變.()(2)實對稱矩陣的特征值為實數.()(3)如果矩陣的行列式為零, 那么這個矩陣或者有一行(列)的元素全為零, 或者有兩行(列)的元素對應成比例.()

四.解下列各題（每小題8分, 共16分）

?5??1??1??1?????????1．求向量????1?，在基?1??0?,?2??1?,?3??1?下的坐標.?1??0??1??3??????????1?2?2．設A??2???2?213?3331????4?n??n?n?,??1??計算detA

?1?1五.(10分)求矩陣A???0??1101011001??0?列向量組生成的子空間的一個標準正交基.1??1?六.證明題（6分）設A是m行n列矩陣, 如果線性方程組AX??對于任意m維向量?都有解，證明A的秩等于m.七、（10分）用正交變換化下列二次型為標準型，并寫出正交變換矩陣

f(x1,x2,x3)?2x1?4x1x2?3x2?4x2x3?4x3..22

2八、（6分）設矩陣A，B都是正定矩陣，證明矩陣A?B也是正定矩陣.

第二篇：線性代數4試卷及答案

線性代數（經管類）試題B 試卷滿分100分

考試時間120分鐘

(出卷人：廖磊)試卷說明：AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式。

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1．若行列式|A|=0，則A中（）A．必有一行全為0 C．有兩列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量組線性相關 D．所有元素全為0

a11a315a11?2a125a21?2a225a31?2a32a13a23，則D1的值為（）a33a23=3，D1=a212．設行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．設A，B，C，D均為n階矩陣，E為n階單位方陣，下列命題正確的是（）A．若A2?0，則A?0

B．若A2?A，則A?0或A?E C．若AB?AC，且A?0，則B?C

D．若AB?BA，則(A?B)?A?2AB?B

2224．設A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有（）A．A=B C．|A|=|B| ?1?A．?0?0?1001201??0? 0??1??2? 0??B．A=-B D．|A|2=|B|2

?1?B．?0?0??1?D．?2?3?1101231??1? 0??1??2?3??5．設3階方陣A的秩為2，則與A等價的矩陣為（）

?1?C．?2?0? 6.設A，B為同階可逆方陣，則下列等式中錯誤的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．設2階矩陣A＝，則A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．?a?cb??，則d??

8．設2階矩陣A＝??A．??C．???d??c?b?? a??b???a??A＝（）

??d?b?d??bc???a???c??a??＊

B．??

??d?c

D．??

9．設矩陣A＝，則A中()A．所有2階子式都不為零

B．所有2階子式都為零 C．所有3階子式都不為零

D．存在一個3階子式不為零

10．設?1,?2是??x1?x2?x3?1?2x1?x2?0，的兩個解，則（）

1A．?1??2是??2x1B．?1??2是??2x1C．2?1是??2xx?x2?x3?0?1?x2?0，的解，的解 x?x2?x3?0?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0，的解，的解 1D．2?2是??2x11．設?1,?2,?3,?均為n維向量，又?1,?2,?線性相關，?2,?3,?線性無關，則下列正確的是（）

A．?1,?2,?3線性相關 B．?1,?2,?3線性無關 C．?1可由?2,?3,?線性表示 D．?可由?1,?2線性表示

12．設向量?1?(a1,b1,c1),?2?(a2,b2,c2),?1?(a1,b1,c1,d1),?2?(a2,b2,c2,d2)，則下列命題中正確的是（）

A．若?1,?2線性相關，則必有?1,?2線性相關

B．若?1,?2線性無關，則必有?1,?2線性無關 C．若?1,?2線性相關，則必有?1,?2線性無關 D．若?1,?2線性無關，則必有?1,?2線性相關

13．設A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充分必要條件是()A．A的列向量組線性相關

B．A的列向量組線性無關 C．A的行向量組線性相關

D．A的行向量組線性無關

14．設α1，α2，α3，α4為向量空間V的一個基，則V的維數=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.設A與B是兩個相似n階矩陣，則下列說法錯誤．．的是（）A.A?B

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆陣P，使P-1AP=B

D.?E-A=?E-B

16．正交矩陣的行列式為（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩陣A＝的非零特征值為()A．

4B．

3C．

2D．1

18．當矩陣A滿足A2=A時，則A的特征值為（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)?x?y2.2的正慣性指數p為（）

B．1 D．3

22220.設有二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3,則f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.負定 D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi?0,i?1,2,3,則行列式a2b1a3b112322．三階行列式D?222，則A11?A12?A13?__________.451?3?A=?0?1?2??1?4??23.設,B=??1?0012??,則AB=__________.0?1114中元素9的代數余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k112?0,則k=___________.26．設A，B均為n階矩陣，(AB)?E，則(BA)=__________.?a11x1?a12x2?a13x3?0?27．若齊次線性方程組?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，則其系數行列式的值為

?ax?ax?ax?0322333?31122______________.?1?28.設矩陣A=?2?3?2t42??3?，若齊次線性方程組Ax=0有非零解，則數t=____________.5???1?29．設矩陣A=?0?0?0201??0?，矩陣B=A-E，則矩陣B的秩r(B)=______________.1??30.已知A有一個特征值-2,則B=A2+2E必有一個特征值___________.31.方程組x1?x2?x3?0的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α與β的內積為2，則數k=____________.33.設向量α=（b,12,12）T為單位向量，則數b=______________.34．設AX?0為一個4元齊次線性方程組，若?1,?2,?3為它的一個基礎解系，則秩（A）=_________.35．已知某個3元非齊次線性方程組Ax＝b的增廣矩陣A經初等行變換化為：，若方程組無解，則a的取值為

．

36．已知3維向量??(1,3,?1)T,??(?1,2,4)T，則內積(?,?)=____________.37.設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.38.設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.?1??2?1?2?101??0?3??39.矩陣A=所對應的二次型是___________.T40．設3元實二次型f(x1,x2,x3)?XAX經正交變換化成的標準形為f?3y1，則矩陣

2A的特征值為_________.三、計算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）

***241.計算四階行列式的值.42．設A=?3??0?1?2??1?4??,B=??1?0012??,求矩陣0?AB.?1?43.已知矩陣A=?1?0?0?111??3??0?，B=?1?02???0111??0?，4??（1）求A的逆矩陣A-1；（2）解矩陣方程AX=B.44．設A=?3??1?1?1002101??1?1??0??2?2??,求A?1.45.設??1?A=?0?0??1?,B=?0?0?1200??2?3??,且A,B,X滿足(E-B?1A)TBTX?E.求X,X?1.46．求向量組?1=（1，2，1，3），?2=（4，-1，-5，-6），?3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一個極大線性無關組.47．設向量組?1?(1,?1,0)，?2?(2,4,1)，?3?(1,5,1)，?4?(0,0,1)，求該向量組的秩，并判斷其線性相關性。

?x1?2x2?4x3?3?2x2?2x3?348．求線性方程組??2x?2x?6x?323?1?8?17??，2??的通解.49.設矩陣A=??（1）求矩陣A的特征值與對應的全部特征向量.（2）判定A是否可以與對角矩陣相似，若可以，求可逆矩陣P和對角矩陣?，使得P-1AP=?.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通過正交變換可化為標準形f＝y1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、證明題（本大題10分）

51.設?1,?2,?3是齊次方程組A x =0的基礎解系.證明：

?1??1,?2??1??2，?3??1??2??3一定是Ax =0的基礎解系．

52．設A，B均為正交矩陣，且A??B，試證A?B?0.?

321、AB??0??12??11????04?21001111012?32????00????***02146??0

?2???

322、（A,E）=?1???1?

1??1???30??0………………………..3分 ?1??1??0……….………………….1分 ?0??01001?21???1………………………2分 ??3??1???1………………………..1分 ??1??1?100?2??0100??001?1?2??1111?2??1??1?2???1010

??0100???02?21?1010??0100???00?21??1010??0100??001?1?2??1?2??0?1????2?111011

?1??1??1?2??……2分

所以A?11?2??1?1??2??…………………………………………1分

?1?2?

23、令A=（?1,?2,?3)=?1?3???1?0???0?0??4?9?9?184?1?5?61???3??4?………………………….2分 ?7???1???5??5?………………………………………………….2分 ?10????1?0???0?0??49001??5?0?………………………………………………………….2分 0???所以向量組?1,?2,?3的秩為2………………………………………….2分 極大線性無關組為??1,?2?或??1,?3?或??2,?3?……………………….2分

?124、(A,b)??0???2?12?02???0?242?22224263??3………………………………………………..2分 ?3???13????3?0???3???02104103?3??……………………………………2分 2?0??1???0??00102100?3??………………………………………………………….1分 2?0?所以非齊次方程的一般解為

?x1??2x3??3x??x?3?22?……………………………………………

1分

所以齊次方程組的一個特解為?*?0???3????2??0???…………………………..1分

??2?x??2x?13?對應的齊次方程組為?得基礎解系為?1???1…………….2分 ???x2??x3??1??所以原方程組的通解為???*?k1?1,其中k1為任意常數………………….1分

25、（1）項式A??E?8??172??=（??1)(??9)

所以特征值?1?1,?2?9…………………………………………………..1分

?7當?1?1時，A?E???17??1???1??01??0?

即x1??x2，所以特征向量為?1???………………………………..1分

?1?對應特征值?1?1全部特征向量為k1?1，k為任意非零常數………..1分

當?2?9時，A?9E???1??17??1????7??0??1??7?? 0??7?即x1?7x2，所以得到對應的特征向量?2???………………………..1分 ?1?對應特征值?2?9的全部特征向量為k2?2，k2為任意非零常數……….1分（2）因為矩陣A有兩不同的特征值1和9,(或者說存在兩個線性無關的特征向量

?1,?2),所以矩陣A可以對角化……………………………………………..2分

可逆矩陣P=(?1,?2),即?10??9???1P=??17??1?,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

?10?．．．．．．．．．．．．．．．１分 ?．9?且有P?1AP???0

2６、，所以對角矩陣為????0證明：首先，?1,?2,?3 的個數與所給的基礎解系?1,?2,?3個數相同，都為３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A?1?A?1?0,A?2?A(?1??2)?0,A?3?A(?1??2??3)?0

所以，?1,?2,?3都是方程組Ax =0的解………………………………………2 最后，根據提設條件可以寫出矩陣等式

?1?(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)0???01101??1………………………………………2分 ?1??1110111把它記為B?AP.因為標出矩陣的行列式P?00=1?0…….1分

P是可逆矩陣………………………………………………………..1分 所以，r(B)?r(A)?3，這說明?1,?2,?3線性無關………………………

2分

所以，?1,?2,?3必是Ax =0的基礎解系……………………………………….1分

***10?402100021??3分 21、解：D=002=

00012100210002***02?15??15??4分

??3分 =0001=00022、解：(1)?A?1?E??1???00?100100011?1122?10?111?1?1102011?1?211000100??1??0?0???1???00?100010?112?2?1?1?21?11?12?1211?100100??0??1分 ?1???1? ?0???0?1? ?0???00??1??0?0???1???0?1??1??2分 ?1???1??2???1?1?A?2???1????1A?1?1???1??2分 ?1??B?X?A?1(2）AX?B?方程兩邊同時左乘?2??X?2????1?1?21?1,得 A?1AX?AB??2分

?1??3???11??1????00111??5??0?4??4?????2?2?32?1?2???2??3分 ?3??

23、解： E?B?A?TBX?E?B(E?BT?A)?TX?E??B?A?X?E??3分

T??2???X??0????0???1?2???0??0??0200??0?1??T???????1?2??0???00200??0?1???1?1?2???0??0??0120?0??0???3分 ?1???0120X?1?0??0??1????1?2??0???00200??0??4分 ?1???1210??1210?????

24、解：令A???1450???0660???3分

?0111??0111??????121?

??011?000?0??1???3分 ?1??所以向量組的秩為3。因為未知數的個數大于向量組的秩，所以向量組線性相關。……4分 ?200???

25、解：f的矩陣為A??03a?

……2分

?0a3???2??03??a0a3???(2??)3??aa3??先求A的特征值，A??E?00

?(2??)(??6??9?a)?0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通過正交變換可化為標準形f＝y1＋2y2＋5y3，得 矩陣A的特征值為1，2，5。

……2分

將λ1=1代入（1）式，得

(2?1)(1?6*1?9?a)?0?a??2.??4分

四、證明題

26、證：由已知可知

AAT?E

BBT?E

……2分

AT2222A?B?AA?AB?E?AB?BB?AB TTTTT

?BT?AT?B?BT?ATB?A?BB

……4分 再由A??B，又正交陣的行列式為?1

……1分 不妨設A?1，則B??1

則 A?B??A?B，故A?B?0

……3分

第三篇：線性代數試卷及答案1

一、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案填在題中橫線上）

31（1）三階行列式

111311113111?______________________.1

3?12??121???（2）設A???,B??11?，則AB?______________________.?101??11???（3）已知??(1,2,3)T,??(1,1,1)T，則???T?_____.?500????1（4）設A??031?，則A?________.?021???

?12?13??1?????3?,???5?，且線性方程組Ax??無解，則a?_____.（5）設A??21

4?0a2?1???6?????

二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．計算n級行列式10

1111011?????1110111110。111?????

?202???2．設三階方陣A和B滿足關系式AB?2A?B,且A?040,求(A?E)?1。????202??

3．求下面線性方程組的通解

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?3x4?1

?x?x?2x?3x?0.534?1

2三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．設?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t)。

（1）問當t為何值時，向量組?1,?2,?3線性無關？

（2）當t為何值時，向量組?1,?2,?3線性相關？

（3）當向量組?1,?2,?3線性相關時，將?3表示為?1和?2的線性組合。

??x1?x2?x3?1?

2．?為何值時，線性方程組?x1??x2?x3??

?x?x??x??

23?12

（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多個解。

四、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

1．設b1?3a1?2a2,b2?a2?a3,b3?4a3?5a1，且a1,a2,a3線性無關，證明：向量組

b1,b2,b3也線性無關。

2．設A為n階可逆矩陣A的伴隨矩陣，證明：A?A

填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上）

**

n?

1?111??0.500?

????

22201?1????

?333??0?23?

??；??；2（1）48(2)；（3）（4）（5）?1

二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）1.解：

0111

11011111111

1101110111

?????11011

11101?????

1111011101

n?1n?1n?1?n?1n?11?

1?1111110

…………………………………………………….（6分）

01?11

10?11

?????

11?01

11?10

………….（3分）

??????

?(n?1)

?????

?(n?1)

000

1?1000

??

1000?1

……………………………………………..…….（9分）

?1?00

??????

??1?

?(?1)n?1(n?1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

?(A?E)(B?2E)?2E……….（5分）

?001?

1?(A?E)?1?(B?2E)??010??

2??100??…………………………………（5分）

3．解

對方程組的系數矩陣

A作初等行變換, 有

1??1?10?1?2???

???1?1?110?1?001?2???

2??1?11?31???

???00000?1????1?1?23??????2?

由此得基礎解系為

………（5分）

T

??(1,1,0,0)??(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

??(,0，0)T

特解為

（8分）

于是所求方程組的通解為

1212

x?k1?1?k2?2??, 其中1

k,k2,k

3為任意常數………….（10分）

三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．解：設有數組

k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0，k1(1,1,1)?k2(1,2,3)?k3(1,3,t)?(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程組

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,?k?3k?tk?0

23?

1其系數行列式

……………………………………（3分）

D?23?t?

53t………………………………………………………….（4分）

（1）當

t?5

時，D?0，方程組只有零解：

k1?k2?k3?0

。此時，向量組

?1,?2,?

3線性無

關。………………………………………………………………………………（5分）

（2）當

t?5時，D?0，方程組有非零解，即存在不全為0的常數k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0。此時，向量組

?1,?2,?3線性相關。……………….（5分）

（3）當

t?5時，方程組的系數矩陣的秩小于3。由左上角2階子式不為零可知，系數矩陣的秩等于2。因此，取方程組①的前2個方程

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,令

k3?1，解得k1?1,k2??2，即?1?2?2??3?0，從而?3???1?2?2。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

?11

1?1?0,11???1,?2時，方程組有唯一解。………………（5分）（1）即

?1???2??11?1??1

????

??1?1?????0??11????(1??)?

2??11???2??00(1??)(2??)?(1??)(1??)????，（2）

則當

???2時，方程組無解。…………………………………………….（5分）

??1???1??1?

??????x?k1?1??k2?0???0?

?0??1??0???????。??1（3）當時，方程組有無窮多個解，通解為

…………………………………….（5分）

四、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

?30?5?

?

210?b1,b2,b3???a1,a2,a3?????0?14???…………………….（4分）

1．證明：因為

且a1,a2,a3線性無關…………………………………………………………（6分）

?5210?22?0

又0?1

……………………………………………….（8分）

故向量組b1,b2,b3也線性無關………………………………………………….（10分）

*?1

2．證明：因為

A?AA…………………………………………….（4分）

|A*|?|A?1|?n

1?

所以

……………………… ……….（8 分）

?A

n?1

…

…………………………….10分）（

第四篇：線性代數試卷

廈門理工學院繼續教育學院20 第 學期期末試卷

線性代數（考試時間：120分鐘）

專業 姓名 層次形式 成績

一、選擇題（每小題4分，共16分）1.A，B為三階方陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E則().22?1?1?1(A)X?(A?B);(B)X?(A?B)(A?B)(C)X?(A?B)(A?B)(D)以上答案都不對.2.?1?1；

A、B、C為n階方陣，且AB?C,A、B、C的列向量組分別為?1,?2,???,?n；?1,?2,???,?n(A)；

?1,?2,???,?n.若

?1,?2,???,?n線性相關，則().?1,?2,???,?n線性相關;(B)

?1,?2,???,?n線性相關；

(C)（A）與(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.設A,B為三階矩陣，且r(A?3A?2E)?3，若r(B)?2則r(AB?B)?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)無法判斷． ???A??2?2?3??34.設三階矩陣

???????B???2????2???，?3?，其中?,?,?2,?3均為三維行向量，已知A?18，2B?2，則A?B?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空題（每小題4分，共16分）

?En?1?0AB?OB為n階非零矩陣，5.設A、，且A的階梯形為?1D?a1111b1111c1111n0??0?，則矩陣B的秩=.6.已知，則此行列式的所有代數余子式之和i,j?1?Aij?.1

?1A???0Tx?(1,1)?7.已知是1??a??的一個特征向量，則a?.8.為已知A是3階方陣，?1,?2,?3是三維線性無關的向量.若A?1??1??2，A?2??2??3，A?3??1??3，則A的行列式等于.三、計算下列各題（每小題7分，共28分）

01D?1?1101?11110?11??????111?01111?10.9.計算n階行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)?2x1?8x2?x3?2ax1x2222正定，求a的取值范圍.411.已知??(1,1,1),??(1,0,1)，且A???.求A.TTT

?2?A?0??2? 0301??1??0B?0????02??0?100??0?0??

12.已知矩陣X滿足AX?2B?BA?2X，求X．

四、解答下列各題（每小題14分，共28分）

?2x1?3x2?3x3?a?x1?x2?x3?1??3x?4x2?(a?2)x3?a?1x?2x?ax?12313.求a使方程組?1與?1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)?XAX?x1?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)??(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經正交變換所得的標準型，并寫出相應的正交矩陣.3

五.解答下列各題（每小題4分，共12分）

15.設?1,?2,???,?t是線性方程組Ax?O的基礎解系，向量?滿足A??b?O.證明?1,?2,???,?t,?線性無關.16.已知A是n階方陣且可對角化，問B?A?A?E可否對角化？證明你的結論.2 T17.已知A為n階矩陣.證明方程組Ax?O與AAx?O的解相同.

第五篇：線性代數試卷

線性代數試題

請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

選擇題部分

一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應代碼涂黑。錯涂、多涂或未涂均無分。1．設行列式A.－3 C.1 2．設4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設A為2階可逆矩陣，若A?1??B.2 D.4 a1a2b1acab?c?1，11??2，則111? b2a2c2a2b2?c2B.－1 D.3 ??1?3?A.??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.r=m時，Ax=0必有非零解 C.r

?，則A= ?25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設A為m×n矩陣，A的秩為r，則

B.r=n時，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.?0??8??1?C.?0??4? 0?8??212? 123??0?4??26? 63???1?B.?0?0??1?D.??4?0?0?8??212? 03???40??26? 63??═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非選擇題部分

注意事項：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

7．設A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=?8．設矩陣A=??12??，則A=______.?34?a12??a11a12??a11，B=???，且r(A)=1，則r（B）=______.?a21a22??a11?a21a12?a22?9．設向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，則β－2α=________． 10．設向量α=(3，－4)T，則α的長度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T線性無關，則數k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎解系中所含解向量的個數為______．

?122???100?????13．已知矩陣A=?212?與對角矩陣D=?0?10?相似，則數a=______ ?221??00a?????14．設3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，則實數t的取值范圍是______． ?x2?tx

3三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

a?b?c16．計算行列式D=2a2a2b2cb?a?c2b.2cc?a?b17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βαT=3，A=αTβ，求(1)數k的值；(2)A10． ?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=?231?，B=?00?，求矩陣X，使得AX=B.?340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一個極大線性無關組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關組線性表出．

?2x?3y?z?0?20．設線性方程組?2x?y?z?1，問：

?x?y??z?1?═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值時，方程組無解？

(2)λ取何值時，方程組有解？此時求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=?010?的全部特征值與特征向量．

?100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標準形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設向量組α1，α2線性無關，且β=clα1+c2α2，證明：當cl+c2≠1時，向量組β－α1,β－α2線性無關．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════