第一篇：線性代數C答案

線性代數模擬題

一．單選題.1.設五階行列式aij?m，依下列次序對aij進行變換后，其結果是（A）． 交換第一行與第五行，再轉置，用2乘所有的元素，再用-3乘以第二列加于第三列，最后用4除第二行各元素．

（A）8m；

(B)?3m；

(C)?8m；

(D)

1m． 4?3x?ky?z?0?4y?z?0有非零解，則（D）2.如果方程組?． ?kx?5y?z?0?（A）k?0或k?1；（B）k?1或k?2；（C）k??1或k?1；（D）k??1或k??3． 3.設A，B，C，I為同階矩陣，若ABC?I，則下列各式中總是成立的有（A）．（A）BCA?I；

(B)ACB?I；

(C)BAC?I；

(D)CBA?I． 4.設A，B，C為同階矩陣，且A可逆，下式（A）必成立．（A）若AB?AC，則B?C；

(B)若AB?CB，則A?C；

(C)若AC?BC，則A?B；

(D)若BC?O，則B?O． 5.若向量組?1,?2,....,?s的秩為r，則（D）（A）必定r

(D)向量組中任意個r?1向量必定線性相關

6.設向量組?1,?2,?3線性無關，則下列向量組線性相關的是（C）

(A)?1??2,?2??3,?3??1;

(B)?1,?1??2,?3??2??1;?1??2,?2??3,?3??1;(D)?1??2,2?2??3,3?3??1.(C)

7.設A、B為n階矩陣，且A與B相似，I為n階單位矩陣，則（D）(a)λI-A＝λI-B(b)A與B有相同的特征值和特征向量

(c)A與B都相似于一個對角矩陣(d)kI-A與kI-B相似（k是常數）

8.當（C）時，A為正交矩陣，其中 A????ab?? ??0c?(a)a=1,b=2,c=3;(b)a=b=c=1;(c)a=1,b=0,c=-1;(d)a=b=1,c=0.9.已知向量組?1,?2,?3,?4線性無關，則向量組（A）(A)(B)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1線性無關;?1??2,?2??3,?3??4,?4??1線性無關;

(C)?1??2,?2??3,?3??4,?4??1線性無關;?1??2,?2??3,?3??4,?4??1線性無關.?a1?A?b1?c?1a2b2c2a3??a1?3c1??b3???b1?c3???c1a2?3c2b2c2a3?3c3??b3?． c3??(D)10.當A?（B）時，有

?100??10?3??00?3??100?????????（A）?010?；（B）?010?；（C）?010?；（D）?010?．

??301??001??101??0?31?????????二．計算題或證明題

1.設A～B,試證明

－－(1)Am～Bm(m為正整數)（2）如A可逆，則B也可逆，且A1～B1

-1參考答案：（1）因為A～B，則存在B=PAP。

（PAP）?（PAP）（PAP）…（PAP）=PAP 所以B?得到Am～Bm

-1（2）因為A～B，則存在B=PAP。所以B?1－m?1m?1?1?1?1m-11-1?（P?1AP）?P?1A?（P?1）

－得到A1～B1

22.如n階矩陣A滿足A=A，證明：A的特征值只能為0或-1。參考答案：

設Ax??x,則有Ax??x,兩式相減得到，（A?A）x?(???)x。2222因為A2?A，因此?2??=0，得到：?=0,1（題目好像有問題）

3.當a、b取何值時，下列線性方程組無解、有唯一解、有無窮多解？有解時，求其解．

?x1?2x2?2x3?2x4?1?x2?x3?x4?1?

?

x?x?x?3x?a234?1??x1?x2?x3?5x4?b參考答案：

對增廣矩陣B=（A，b）作初等行變換把它變為行階梯形矩陣，有

?12?22?01?1?1?B??11?13??1?1151??12?221??1????1??01?1?11??0~~a??0?111a?1??0????b??0?333b?1??02?221??1?1?11?

000a??000b?2?所以當a?0或b?-2時，方程組無解。不存在唯一解的情況。

?x1??1?k2?x?1?k?k?當a=0, b = －2時有無窮解解?212k

?x3?1??x4?k24.判斷向量?能否被?1,?2,?3線性表出，若能寫出它的一種表示法．

???8?????2???3???5?????3??，???7??,???5?????6?? ??7?1??2???,?3??????10???1??0??3????3?????2?????1??參考答案：

???23?5?8??031?2?2?01?(??7?5?6?3??0?5?274?6?0?51,?2,3,??)???~??~???103?7??3?2?1?1???0?103??7?0?2?101???1?10?0?2???01?9?11?03?7?~?00?72?9??1?9?11????1???103?7?~00?72?9?

?00?28?11????0?00?28?11??得到R(?1,?2,?3)?3，而R(?1,?2,?3,?)?4 所以?不能被?1,?2,?3線性表示。

5.若方陣A可逆，則A的伴隨矩陣A*也可逆，并求出A*的逆矩陣． 參考答案：

證明：（1）方陣A可逆，得到A?0，由AA*?AE?A*?AA?1?A*?An?1?0，得到A*可逆。

（2）A*?AA?1??A*??1??AA?1??1?1AA

9?273?10?11?46

??7??11

第二篇：線性代數模擬試題C及答案

模擬試題C 一．填空或選擇填空（每小題4分）

?12?2??，B為三階非零矩陣，且AB?0,則4a11．設A??a? ????3?11??2．已知二次型f??2x1?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?2tx2x3經正交變換化為標準形f??y1?y2?10y3，則t?

3．設A,B均為n階可逆矩陣，則下列結論成立的是（a）AB?BA;

（b）存在可逆矩陣P,使P?1AP?B；

（c）存在可逆矩陣P和Q,使PAQ?B

（d）存在可逆矩陣C，使CTAC?B

4．設向量?1，?2，?3線性無關，則下列向量組中線性無關的是（a）?1??2,?2??3,?3??1;（b）?1??2,?2??3,?1??2??3;（c）?1??2,?2??3,?1?2?2??3;（d）?1??2,?2??3,?3??1.5．設m個方程的n次齊次線性方程組為Ax?b，且rankA?r則下列結論中正確的是

（a）r?n時，Ax?b有唯一解；（b）m?n時，Ax?b有唯一解；

Ax?b有無窮多解；（c）r?n時，222222（d）r?m時，Ax?b有解。二．（10分）已知n階方陣

1?1?11??

A?????1?n???n1?n???n1?????

??11??11???1求detA?1

?101??滿足BA?2E?B?2A2,求矩陣B 020三．（10分）已知A??????301??四．（10分）設四維向量空間V的兩個基（Ⅰ）：（Ⅱ）：?1,?2,?3,?4?1,?2,?3,?4和滿足

??1?2?2??

3?

??2???34?2??1?2?2??3 ???2?2?3??41．求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣C：

2．求向量???1?2?2?3?3?4?4在基（Ⅱ）下的坐標。

?x1?x2?0五．（13分）設四元齊次線性方程組（Ⅰ）為?，又知一齊次線性方程

x?x?04?2組（Ⅱ）的通解為k1(0,1,1,0)T?k2(?1,2,2,1)T。

1．求線性方程組（Ⅰ）的基礎解系及通解；

2．問線性方程組（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，則求出所有的非零公共解；若沒有，則說明理由。

?2?12??的一個特征向量為T5a3六．（13分）已知矩陣A??。x?(1,1,?1)?????1b?2??1．求a,b之值及特征向量x所對應的特征值； 2．A能否與對角矩陣相似？說明理由。

七．（15分）已知二次型f(x1,x2,x3)?5x1?5x2?tx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩為2。

1．求參數t；

2．用正交變換將二次型f化為標準形，并寫出所用的正交變換； 3．指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何種二次曲面。

222八．（9分）

1、設A是n非零實矩陣，AT是A的轉置矩陣，A*是A的伴隨矩陣。若AT?A*,試證：detA?0

2、設有矩陣Am?n和An?m，且m

答案

一、1．－1；2．4；3．（c）；4．（b）；5．（d）。二．（－1）n(n?1)21 n?1(n?1)??40?2???三．?0?40?

??60?4???四．1．由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為

?4－210???8－421??

C＝?

1002????－2100???2．?在基（Ⅱ）下的坐標為（3，10，9，0）。五．見例4－14。

六．1．由Ax??x,得a??3,b?0,???1；

2．－1是A的三重特征值，而對應－1只有一個線性無關的特征向量，從而A不能相似對于角矩陣、七．1．t＝3；

?1??6?x1?????12．正交變換?x2????x??6?3??2??6121201??3??y1?1???22?y化二次型為f?4y?9y??23； ?23???1??y3??3?3．f?1為橢圓柱面

八．1．由AT?A*知，aij?Aij，其中Aij是detA中元素aij的代數余子式；又A是非零實矩陣，不防設A中ai0j0?0，將A按第i0行展開，得

detA?ai01Ai01???ai0j0Aioj0???ai0nAi0n?ai01???ai0j0???ai0n?0

2222．由m?rankEm?rank(AB)?rankA?m知，rankA?m,故A的行向量組線性無關。

第三篇：線性代數習題答案

習題 三（A類）

1.設α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.設3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判別下列向量組的線性相關性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關；（2）線性相關；（3）線性無關；（4）線性相關.5.設α１,α２,α3線性無關，證明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也線性無關.證明：設

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，即

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.由?1,?2,?3線性無關，有

?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3線性無關.6.問a為何值時，向量組

?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a)

'''線性相關，并將?3用?1,?2線性表示.13?1223?7(5?a),當a=5時，?3?a117解：A?23?1?17?2.7.作一個以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關, 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，?1?10）線性無關，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個行向量.所以方陣可為??1??10?10010000??0?.0??1?

8.設?1,?2,?,?s的秩為r且其中每個向量都可經?1,?2,?,?r線性表出.證明：?1,?2,?,?r為?1,?2,?,?s的一個極大線性無關組.【證明】若

?1,?2,?,?r

(1)線性相關，且不妨設

?1,?2,?,?t(t

(2)是(1)的一個極大無關組，則顯然（2）是?1,?2,?,?s的一個極大無關組，這與?1,?2,?,?s的秩為r矛盾，故?1,?2,?,?r必線性無關且為?1,?2,?,?s的一個極大無關組.9.求向量組?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關組.【解】把?1,?2,?3按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.?1?1A???1??k11k11??1??20????01???1??01??1??010????0k?10???1?k1?k??011??1??010????0k?10???01?k??011k?1001??0? 1??0?當k=1時，?1,?2,?3的秩為2,?1,?3為其一極大無關組.當k≠1時，?1,?2,?3線性無關，秩為3，極大無關組為其本身.10.確定向量?3?(2,a,b),使向量組?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3與向量組?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3線性表出.【解】由于

?0?A?(?1,?2,?3)?1???1?1?B?(?1,?2,?3)?1???01211111??1??0?0????1???02??1??a?0???b???01102?100???1;?0??2??,b?a?2??

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

?0?c?(?1,?2,?3,?3)?1???112110?12??1??a?0???b???0210010?? ,2?b?a?2??a要使?3可由?1,?2,?3線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設要求，即?3=(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個極大線性無關組.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣Α，應用初等行變換將Α化為最簡形矩陣B，則 11??1 0 ??1 4 1???1 4 1??1 4 1?9?????5?????0 1 ?2 ?1 ?30 ?9 ?55????????A??9???0 1 ??B

?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5?9?0 0 0???????0 0 0?????0 0 0??3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??????0 0 0?5可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列線性無關，由于Α的列向量組與B的對應的列向量有相同的線性組合關系，故與B對應的Α的第1，2列線性無關，即α1,α2是該向量組的一個極大無關組.（2）同理，? 6 1 1 7??0-11 55 7??1 2-9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10-11 55 7??????? 1 2-9 0???1 2-9 0???0-8 40 1?????????1 3-6 ?10 5-15-10 5-15-1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2-9 0?7?0 1-5-?11?45?0 0 0-11??240 0 10 ?11??0 0 0 0????1 2-9 0??1 0 0 0???????0 1-5 00 1 0 0????????0 0 10 0???0 0 1 0??B?????0 0 0 10 0 0 1??????0 0 0 0??0 0 0 0?????????

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4個列向量線性無關,即α1,α2,α3,α4是該向量組的極大無關組.(3)同理，?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0-4-4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取線性無關組α1,α3,α5為該向量組的一個極大無關組.12.求下列向量組的一個極大無關組,并將其余向量用此極大無關組線性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成Α,應用初等行變換化為最簡形式.3??1 0 1?1-1 5-1????1-1 5-1??1-1 5-1?2????7??????1 1-2 30 2-7 47??????0 1-2 2???0 1-2??B, A?????3-1 8 1??0 2-7 4?2?0 0 0 0???????0 0 0 0?????0 0 0 0??1 3-9 7??0 4-14 8 ??0 0 0 0?????可知,α1,α2為向量組的一個極大無關組.?x1?x2?5?37?x1?x2??2設α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2??

22?3x1?x2?8?x?3x??9?12?x1?x2??1??x1?x2?3設α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2

?3x1?x2?1?x?3x?7?12所以a3?32a1?72a2,a4?a1?2a2.?1 1 1 4-3??1 1 1 4-3??1 0 2 1-2???????1-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1????????B(2)同理, A???2 1 3 5-5??0-1 1-3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0??????可知, α

1、α2可作為Α的一個極大線性無關組，令α3=x1α1+x2α?x1?x2?1可得：?即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, x?x?3?12?x1?x2?4可得：?即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, ?x1?x2??2?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αx?x??1?122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.設向量組?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能經?1,?2,?,?s線性表出.證明?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s等價.【解】設向量組

?1,?2,?,?m

(1)與向量組

?1,?2,?,?s

(2)的極大線性無關組分別為

?1,?2,?,?r

(3)和

?1,?2,?,?r

(4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即

r?i??aj?1ij?j(i?1,2,?,r).因（4）線性無關，故（3）線性無關的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.14.設向量組α1,α2,…,αs的秩為r1,向量組β1,β2,…,βt的秩為r2,向量組α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩為r3,試證:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.證明：設αs1,…，?Sr1為α1,α2,…，αs的一個極大線性無關組, βt1,βt2,…,?t為β1，r2β2,…,βt的一個極大線性無關組.μ1，…，?r為α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3個極大線性無關組，則α

s1，…，?S和βt1，…，β

r1tr2

可分別由μ1，…，?r線性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2線性表示及線性無關性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量組α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡形式： ?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,從而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關組.?25?75(1)??75??***42043??1??1320?；

(2)??2134???48??11201213025?141???1?.3???1???1????2【解】(1)矩陣的行向量組??的一個極大無關組為?1,?2,?3;

??3?????4???1????2(2)矩陣的行向量組??的一個極大無關組為?1,?2,?4.??3?????4?17.集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否構成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)則

????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).因為

(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空間.18.試證：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把?1,?2,?3排成矩陣A=(?1,?2,?3),則

1A?1010101??2?0, 1所以?1,?2,?3線性無關，故?1,?2,?3是R3的一個基，因而?1,?2,?3生成的向量空間恰為R3.19.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生的向量空間的一組基及其維數.【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01112343411214??1??50????06???4??01?1023?2041?1114??1???30????02???4??01?1003?2001?1104???3 ?,2??0?∴?1,?2,?4是一組基，其維數是3維的.20.設?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),證明: L(?1,?2)?L(?1,?2).【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010112?1330??1??10????0?1????1??01?1002?3000??1 ?,0??0?由此知向量組?1,?2與向量組?1,?2的秩都是2，并且向量組?1,?2可由向量組?1,?2線性表出.由習題15知這兩向量組等價，從而?1,?2也可由?1,?2線性表出.所以

L(?1,?2)?L(?1,?2).21.在R3中求一個向量?，使它在下面兩個基

(1)?1?(1,0,1),(2)?1?(0,?1,1),?2?(?1,0,0)?2?(1,?1,0)?3?(0,1,1)?3?(1,0,1)

下有相同的坐標.【解】設?在兩組基下的坐標均為(x1,x2,x3)，即

?x1??x1???????(?1,?2,?3)x2?(?1,?2,?3)x2,???????x3???x3???1?0???1?1000??x1??0????1x2??1????1????1?x3???1?101??x1????0x2???1????x3??

即

?1?1???0?210?1??x1????x?0, 1??2?0????x3??求該齊次線性方程組得通解

x1?k,x2?2k,x3??3k

(k為任意實數)故

??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).22.驗證?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)為R3的一個基，并把?1?(5,0,7), ?2?(?9,?8,?13)用這個基線性表示.【解】設

A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2)，又設

?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3, 即

?x11?(?1,?2)?(?1,?2,?3)x21???x31x12??x22, ?x32??記作

B=AX.則

?1?(A?B)??1???0?1?0???***?2507?9??r2?r1???8????13???1?0???0233?1?0???0342010557001?9?r2?r3????17?r?2?r3??13??23?13???3??2???9??作初等行變換??13???????4??

因有A?E,故?1,?2,?3為R3的一個基，且

?2?(?1,?2)?(?1,?2,?3)3????13???3, ??2??即

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.（B類）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.設向量組α1,α2,α3線性相關,向量組α2,α3,α4線性無關,問:(1)α1能否由α2,α3線性表示?證明你的結論.(2)α4能否由α1,α2,α3線性表示?證明你的結論.解：(1)由向量組α1，α2，α3線性相關，知向量組α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4線性無關，所以α2, α3線性無關，故α2, α3是α1, α2, α3的極大線性無關組，所以α1能由α2, α3線性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3線性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的極大線性無關組,所以α4可由α2，α3線性表示.與α2，α3，α4線性無關矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1線性相關,但其中任意

n個向量都線性無關,證明:必存在n+1個全不為零的數k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.證明:因為α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1線性相關，所以存在不全為零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，則k2α2+…+kn+1αn個向量都性線無關，則k2=…=kn+1=0,矛盾.從k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1個全不為零的數k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.設A是n×m矩陣,B是m×n矩陣,其中n＜m,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關.證明：由第2章知識知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小結所給矩陣秩的性質，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關.

第四篇：線性代數習題答案

綜合練習一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er?2,s?5,t?8或r?5,s?8,t?2或r?8,s?2,t?5.01Fi?2,j?1.01G?12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序數為k2;當k為偶數時,排列為偶排列,當k為奇數時,排列為奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)?(aa1222a13a1411?a22?a33?a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x?18.01Nf?(x)g?(x)s?(x).01O?1.f??(x)g??(x)s??(x)02AB、D.02B?3.02C6.02Dx?0,?1,?2.02E(?1)n?1(n?1)xn.02F(12?13?????1)n!.02G(?1)n(n?1)2nn?1(n?1)n.2.02H(?1)n?1(na?x)xn?1.02I(?1)n[(??1)n??n].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa?0,b?0.4403G?1,?3.03Ha?bii03If(x)?2x2?3x?1.i?1i?1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1?a?a2)(1?a)3.04Bn?1.04Cx1x2...xn?1(1?a1x1?a2x2?...?anxn).04Dx1x2...xn[1?a(1x?1?...?1.1x2xn)]04E(x?1)n..49.04F1?(?1)a1?(?1)2a2an1?...?(?1)anan?1...a2a1?n04G?(n?1)?當a??,??n?1??n?1?????當a??.05A0.05B?1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H?9,18.06An!(n?1)!(n?2)!...2!1!.06B?(cos?).4ij1i?cos?j07A(1?x)2(10?x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E?2.08Fa?0且b??b/4.08Gf(x)?2x2?3x?1.08H甲、乙、丙三種化肥各需3千克,5千克,15千克.綜合練習二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a?2n).01N(A?B)(A?B).01S(2)A2?49(A2?E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(?1)n?1n?1k2(n?1)!.(2)(?1)n?1n!(k?1,2,?,n).01V兩年后在崗職工668人,培訓人員334人.01W即晴天概率為146256,陰天的概率為6248256,下雨天的概率為256.?xn?x4??260?01X??1??y???023/2??1/200????xn?.???y?n?1??n??y?????zn?1?????01/40?????zn???4??236??z???22?4???01?2102A498?22?42??.02B2n?1??02??42???01?21??.02C???2?22???02?42???22?2??.??1nn(n?1)???2.4n?14n00?02D?2???01n??.02E?n?1n?1?42.400??????001???002nn.2n?1??.?0002n??.50.?100?02FA?????200??6?1?.由于A5?A.?1???1000?03A(1)(?1)n?11(2)???1200??n!A.?0?230?.?00?34??(3)?A?6E.(4)12(E?B).(5)B??(E?2A)?1.?10103BB????5?10??E.03D?1??211??.03C(2)A2?A??5(A?2E).03EA?1?1(A?3E).(A?4E)?1110?6(A?E).03FB?1??114(5A2?3A?E).03G(EA?BA)?1?B(E?AB)?1B?1.03HB?1?110(A2?3A?4E).03I(E?AB)?1?E?A(E?BA)?1B.??1000?1/21/200??03NA?1???????0??03O1?122??????21?2??.??1/2?1/61/39?1/8?5/24?1/121/4????2?21????00?201?00?34??03P??0??0012?3?????3?1000?????52000??03Q?(A1?A2A?41A3)?1?A?11A2(A4?A3A?11A2)?1????A?1?1?1(A?4A3(A1?A2A4A3)4?A3A?11A2)?1?.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)?1/3;(6)576;(7)3.04B10804F??5?2?1??220??????101??.04G??A??0A(b??TA?1?)???,05AD.05C2.05D當a?1且b?2,r(A)?4;當a?1且b?2時,r(A)?2;.51.當a?1,b?2或a?1,b?2時,r(A)?3.05E當c??1,并且a??1或b?0時,r(A)?1;當c??1,a??1且b?0時,r(A)?3;當c??1,但a??1或b?0時,r(A)?3;當c??1,a??1且b?0時,r(A)?2.05F當a?b?0時,r(A)?0;當a?b?0時,r(A)?1;當a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n?1;當a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n.05G11?n.05Hr[(A*)*]???n,如果r(A)?n,?0,如果r(A)?n.??1111???1010?05K??11?1?1???05L??010?4??1?11?1??.??1?1?11???0010???.?0002????2?400???1100?05M???2?200???05N???1220??0022??.???00?12???0?233??.?00?34??05OA.?02?111?06A?1??321???.06B???202??.?030???5?2?2??31?1?06C??4?3?2?06D????22?.3???19/21?3/2?.?21?112???300?1?06E??????020??.06F???21????001????.?1?21??01?21???0?30?06G???00?3??????300?.?.52.綜合訓練三01AC.01BB.01CB.01Dt?1.01Ea?2b.01F(1)當t?5時,?1,?2,?3線性相關;(2)當t?5時,?1,?2,?3線性無關;(3)?3???1?2?2.01G(1)當a?1時,?1,?2,?3線性相關;(2)當b?2且a?1時,?可由?i唯一的表出:????1?2?2;當b?2且a?1時,?可由?i線性表出:??(?2t?1)?1?(t?2)?2?t?3,其中t是任意常數.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t?5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)當a??2時,?不能用?1,?2,?3線性表出;(2)當a??2且a?1時,?有唯一的表達式:???a?11(a?1a?2??a?2?)212?a?2?3;當a?1時,??(1?k?l)?1?k?2?l?3,?k,l.02J(1)若??0且???3,?可由?1,?2,?3唯一線性表示;(2)若??0,?可由?1,?2,?3線性表示,但不唯一;(3)若???3,?不能由?1,?2,?3線性表示.02K(1)當b?2時,?不能由?1,?2,?3線性表出;(2)當b?2,a?1時,?可唯一表示為????1?2?2;當b?2,a?1時,?可表示為???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3()k為任意常數.02L(1)當a??1,b?0時,?不能表示成?1,?2,?3,?4的線性組合;(2)當a??1時,?有唯一表示式:???2ba?1?a?b?1b1?a?1?2?a?1?3?0.?402M(1)當a??4時,?可由?1,?2,?3唯一線性表出..53.(2)當a??4時,?不能由?1,?2,?3線性表示.(3)當a??4且3b?c?1時,?可由?1,?2,?3線性表出,但不唯一:??t?1?(2t?b?1)?2?(2b?1)?3(t為任意常數).02N不等價.03AD.03B1.03C?n.03D(1)R(?1,?2,?3,?4)?2;向量組的一個極大無關組為?2,?4;?1?2(?2??4),?3??2?3?4;(2)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關組為?1,?3,?5;?2??1?3?5,?4??1??3??5;(3)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關組為?1,?2,?3;?4??1??2??3,?5??1??2?0.?3.03ER(?1,?2,?3,?4,?5)?3.03Fa?15,b?5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct?1.??x1y11?04D4.04E矩陣?xy??221??????的秩小于3.??xny?n1???1????14????2???22?04F(1)C??????3?,(C?R);(2)k1????7???0??k?0?12?,(k1,k2?R);??2???0?15???????2????3/2????3/4?(3)C??????1??3/2??C2??1???7/4??0?,(C1,C2?R).??0?????1??04G(1)無解;(2)(1/2,2,?1/2,0)T?k(1/2,0,?1/2,1)T,其中k為任意常數;(3)(514,?3314,0,7)T?k(?1,?1,2,0)T.(k為任意常數);.54.(4)C131(?7,177,1,0,0)T?C(10191112?7,7,0,1,0)T?C3(7,?7,0,0,1)T?(2,?3,0,0,0)T,(C1,C2,C3?R).04H(1)?1,?2,?3是所給方程組的基礎解系.(2)?1,?2,?3不是所給方程組的基礎解系.?1?04I當??1時,有解,解為????1????k??1??2??,其中k為任意常數.?0????1??04J(1)當??1且???45時,方程組有唯一解;?1?當??1時,其通解為????1????k?0??1??,其中k?0???為任意實數;?1??當???45時,原方程組無解;(2)當???2且??1時,方程組唯一解;當???2時,方程組無解;當??1時,方程組有無窮多組解.全部解為???2??????1???k??1???1?0??k???0?12?????0???0?1?,其中k1,k2是任意常數.?04K(1)當a?0時,方程組無解;??x1?2/a,當a?0,b?3時,方程組有唯一解:???x2?1,??x3?0;???x1?2/a,當a?0,b?3時,方程組有無窮多解:???x2?1?3t,(t?R).?2??x3?t.(2)當a?0或a?0時b?4,方程組無解;方程組不可能有唯一解;當a?0且b?4時,方程組有無窮多解.通解是.55.(6,?4,0,0,0)T?k1(?2,1,1,0,0)T?k2(?2,1,0,1,0)T?k3(?6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意實數.(3)當a??1,b?36時,方程組無解;當a??1,a?6時,方程組有唯一解,x(b?36)a?1,x??12?(a?4)(b?36)1?6?2a?1,xb?3623?0,x4?a?1;當a??1,b?36時,方程組有無窮多解,通解為(6,?12,0,0)T?k(?2,5,0,1)T.k為任意常數;當a?6時,方程組有無窮多解,通解是(1(114?2b),?1(12?2b),0,1(b?T77736))?k(?2,1,1,0)T.04L(1)當a?b,b?c,c?a時,方程組僅有零解x1?x2?x3?0.(2)當a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k1(1,?1,0)T(k1為任意常數).當a?c?b時,方程組有無窮多組解,全部解為k2(1,0,?1)T(k2為任意常數).當b?c?a時,方程組有無窮多組解,全部解為k3(0,1,?1)T(k3為任意常數).當a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k4(?1,1,0)T?k5(?1,0,1)T(k4,k5為任意常數).??2????104M(1)方程組有無窮多組解,通解為??4???????1??k?(k為任意常數?5?0????2?).?1??(2)當m?2,n?4,t?6時,方程組(I),(II)同解.04Na?2,t?4.04O非零公共解為t(?1,1,1,1)T.(t為任意常數)04P原來至少要有3121個桃子,最后還剩下1020個桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G??1.05H1..56.05I(1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T,其中k是任意實數.05J(?3,2,0)T?k(?1,1,1)T.(k為任意常數)05K通解為(?9,1,2,11)T?k1(?10,6,?11,11)T?k2(8,4,?11,?11)T05L3m?2n.05M?2.??1/2??0?05N通解為?1/2???1????k???,其中k為任意常數.?0??1????1??1???05O(1)?1可由?2,?3,?4線性表出.(2)?4不能用?1,?2,?3線性表出.?x1??k2t,06A(2)通解是??x2?k2,其中t是任意實數.??x3?t,06B通解是(a8,4,?2,1)T1?2a2?4a3,a2?2a3,a3,0)T?k(?,其中k是任意實數.06E方程組的唯一解為(ATA)?1ATb.06L(II)的通解為c1(a11,a12,...,a1,2n)T?c2(a21,a22,...,a2,2n)T?...?cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn為任意常數.綜合練習四??1/2???1/6????1/(23)?01A?45.01B?1???1/2???2????1/6????;?3??1/(23)??.?0?;?0???2/6??0???1/(23)??3/2??02A(1)?1?0,?2?2,?3?3,???1/2??k???1?0對應特征向量為1??1/2??,?1??.57.??1???1?2?2對應特征向量為k2???,?0???1???3對應特征向量為k??33?1?.??1??(2)?1?8,?2??3??1,?2??1?8對應特向量為k1???1??,其中k1為任意非零常數.?2???1???2??3??1對應特征向量為k2???0?1???k3???2??,其中k2,k3是不全為??1????0??零的實數.?(3)??1????0??1??2??3?2全部特征向量為k1?2???k2?0?,(k1,k2不全為零).?0????1??02BA的特征值是1,2,2a?1,?a?2??2??1?對應的特征向量依次是k??????1?3??,k2?2?,k3?1?.(k1,k2,k3全不為0).?0????1????a?1??02CA的特征值??2(二重)及??0,??2對應特征向量為k1(0,1,0)T?k2(1,0,1)T.??0對應特征向量為k3(1,0,?1)T.02D(1)當b?0時,A的特征值為?1??2????n?a,則任一非零向量均為其特征向量.(2)當b?0時,A的特征值為?1??2????n?1?a?b,?n?a?(n?1)b當?1????n?1?a?b對應特征向量為??1?1????1??1k1??0??0??0??????k2??1???kn?1??0??????0?,?0???????1??.58.??1???a?(n?1)b對應特征向量為k?1??nn??,(kn?0).?????1??02Ea?2,b??3,c?2,?0?1.??2n?2?1??1?02F1??12n?2??1??2n2?3n?1??????.???1?1?2n?2???02GA與B特征值相同但不相似.?02Ha?7,b??2,P???1?5??11??22?02I?1???10?2??.?0?.1????013??02Ja??1,b?8,c??10.02K(1)|?E?A|??4?a34??a23??a2??a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k?(2)?2i(i?1,2,?,n);i(i?1,2,?,n);(3)?ki?i(i?1,2,?,n);(4)?i(i?1,2,?,n);(5)1?(i?1,2,?,n);(6)|A|1,2,?,n);i?(i?i(7)f(?i),(i?1,2,?,n).03E?|A|???2??1.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全為零.??0對應特征向量為k1?1?k1?1?...?kn?1?n?1(k1,k2,...,k3不全為零的任意常數).03L3,2,?2.03M(1)P?1AP全部特征值是?1,??12,?,?n.P?i是P?1AP的屬于?i的特征向量..59.(2)(P?1AP)T全部特征值是??11,?2,?,?n.PT?i是(PAP)T的屬于?i的特征向量.03P??1(n?1重),??3,??1對應特征向量為k1(?y2,y1,0,?,0)T?k2(?y3,0,y1,?,0)T???kn?1(?yn,0,0,?,y1)T,k1,k2,?,kn?1不全為0,??3對應特征向量為kn(x1,x2,?,xn)T,kn?0.??04AD.04B?54?6??3?33??.??7?68??04C(1)a??3,b?0,???1.(2)A不能相似于對角陣.?4?04D當a?1時,A?1?116?114???.?44?2??當a?11???14?1022?2時,A?30??10?55???.?22519???13?25?04E(1)?3?k(1,0,1)T(2)A?1??6??2102?.(k);?為任意非零常數?5213????011?04F??1/20?1/2??000?04G???.?10?1???1/20?1/2????.?1?10???111?04H??111??.04IA?P?P?1?P(2E)P?1?2E.??111????54?04J?6??3?33???.?7?68??04OA的特征值是2與1(n?1重)..60.X1?(1,1,?,1)T是A屬于??2的特征向量,X2?(?1,1,0,?,0)T,X3?(?1,0,1,?,0)T,?,Xn?(?1,0,0,?,1)TA屬于??1的特征向量.??1?1?1??1??2n2n2n??A?1????11?1??1??2n2n2n??????.??????12n?112n?1?2n??05A0.05BA能對角化.05CA能對角化.???1??1?05D(1)??1???2?(2)???;?1??;(3)???3????1??1????;??2???1????(4)???1?(5)A?2?.??;不能對角化;(6)?2??0?????4???05E令P???212??100???,則????1??1????.?011????0??21?005F(1)T?1???2?40?3??212??,T?1AT???010???1?22?????00?2?.????1?11??263??(2)T???1?11???1??3??3???263?,TAT??.????011??6???63????111???236?05GP???12???0??0??36?,P?1AP??1??.??111????4???236??.61.??221???5353??05HQ???142???5353?,QTAQ??2???2???.??7??05?2????353??05Ia??1,b??3.A能對角化.05J?0??1,a??3,b?0.A不能相似于對角陣.??1????1????05Kx?y?0.05L?111??111??.05MA~???????111???1?.??0????????????9?05N????1?05PA~B.?0?.??001?05Q(1)x?0,y??2;(2)P???210??.???11?1??06An!.06B?6.06C?(2n?3)！.06Dk(k?2)2.06FO.06EE.?3n?13n?106G(1)??(2)6n?1???3?1??2?3n?12?3n?1???;??93??;???(3)?100??1?3n?1?2?3n1?3n??.??1?3n?2?2?3n2?3n??06Hx100?5100?1.06Ix5100?3?2100?13.n06Ja?1?n??5?6??3??,nlim??an??5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是綜合練習五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.??00101F??010??.01Gy2?1?y22?y23.100???01H(1)f?z21?z22,相應的線性變換為z?Py?(P?1112P1)x.P1????010???,P?1002??013??,?001?????001????x1??(2)z2?z22???11?1/2??z1?12?z3.相應的線性變換??x2????x3???1?1?2????z2??.?001/2????z3???100(3)f??12y222?2y3相應的線性變換x????????110???1/21/21??y,??x1?01I??x?1??21?2????y1???2?01Jc?3,4y21?9y22.???3??122??y2?x3??2?21????y?3??111???263?01Ka??2,b??3.x?Cy,C????111???263?,???21??0??63?01Lf(x)?x2221,x2,x31?2x2?x3?2x1x2?2x2x3?4x1x3.切平面方程為2x1?x2?x3?1.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(?2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)??2;(2)???1.??101??22??411?02I????0,P???010??02NB?1??3???141?????11?.?114?.??0?22??.63.綜合練習六01A(1)V1是向量空間.(2)V2是向量空間.01B(1)W1不是子空間.(2)W2是子空間.dimW2?2.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一組基.(3)W3是子空間,dimW3?2.(?1,1,0),(2,0,1)是W3的一組基.(4)W4不是子空間.(5)W5不是子空間.01CW1?W2是V的子空間,W1?W2不一定是V的子空間.T02B??511??4,14,?4,?4??.?02C坐標變換公式為?x1??1?1?1??x1???x1???21?2??x1???x2??????102????x?2??或??x???????3??2???00?1??x2?x??0?10????x?3????x?3????11?1????x3???在所給定的兩組基下具有相同坐標的全部向量為k??3????2??,k??3?為任意實數.?T02D(1)(3,4,4)T;(2)??11?2,?5,13?2??.?02E(???5/21/2??1,?2)?(?1,?2,?3)????3/23/2??.?5/25/2??02F??(1,?2,?2)T時,?坐標乘積的極大值是18.?002G(1)A?1??100???1100????0?110??.?10?11??(2)所求非零向量??0??1?0??2?0??3?k?4?k?4(k為非零任意常數).02H(1)??111???011??;(2)??001??1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,?3?(0,0,1)T;(3)A???1?1????.02I(1,1,?,1).??3??.64.a11?a12??03A?a21?a22?a11?a12?a31?a32??a2203C(1)??a12?a?32a21a11a31a23?a13??;a33??a12a22?a12a32a13?a23?a13??.a33???0?11??03B??020?.?2?10????a11?a21(2)??k?a?31ka12a22ka32a13?a23??;k?a33???a11?a21a11?a12?a21?a22(3)??a21?a31a21?a22?a31?a32?aa31?a32?31a11?a12?a13?a21?a22?a23?a21?a22?a23?a31?a32?a33???a31?a32?a33?.65.

第五篇：線性代數試題及答案

線性代數習題和答案

第一部分

選擇題

(共28分)

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設矩陣A=?020?，則A-1等于（）

???003??1??

3A.?0??0??0120?0??0?

?1???

B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

?1?00??3?

C.?010??

1???00?2??

?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.B?C時A=0 D.|A|?0時B=C 4.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（）

A.A =0

C.A?0時B=C

A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.設兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關，則（）

A.有不全為0的數λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全為

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的數μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設矩陣A的秩為r，則A中（）

A.所有r-1階子式都不為0

C.至少有一個r階子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一個解

C.η1-η2是Ax=0的一個解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解 B.秩(A)=n-1

D.方程組Ax=0只有零解

12128.設Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的9.設n階方陣A不可逆，則必有（）

10.設A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量

B.如存在數λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值

C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設λ0是矩陣3是

A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬

0的線性無關的特征向量的個3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關

A的特征方程的3重根，A的屬于λ

B.k<3

D.k>3 數為k，則必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）

A.|A|2必為1

C.A-1=AT

B.|A|必為1

D.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）

A.A與B相似

B.A與B不等價

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

A.??23???34??34???26?

B.? ?100???

C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

第二部分

非選擇題（共72分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15.111356?

.92536?1?11???11?1?16.設A=?，B=??123??.則

??1?24?A+2B=

.17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=

.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為

.20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(

.3 / 7

21.設向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內積（α+β，α-β）=

.22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為

.23.設矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為

.24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數為3，則其規范形為

.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120???25.設A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT；

??240?26.試計算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數。

?1?2?1??24229.設矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形

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2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ基礎解系.試證明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其導出組Ax=0的一個

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2線性無關。

?337?????1?37?

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T

?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

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=511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數為（2，1，1）.解二

考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數為（2，1，1）.29.解

對矩陣A施行初等行變換

?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

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2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的屬于特征值λ=1的2個線性無關的特征向量為

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經正交標準化，得η

1?，η

2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個特征向量為

??1/3?ξ=?1?3??，經單位化得η?2?

3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對角矩陣

D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.）

?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿秩。?0?001??經此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形

y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證

由假設Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設，ξ1，ξ2線性無關，所以l1=0，l2=0，從而

l0=0.所以η0，η1，η2線性無關。

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