第一篇：2008級(jí)線性代數(shù)試題和答案 A卷

經(jīng)濟(jì)學(xué)院本科生09-10學(xué)年第一學(xué)期線性代數(shù)期末考試試卷(A卷)

答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

一、填空題（每小題4分、本題共28分）

?1??11??????1.設(shè)A 為n 階方陣, A為其伴隨矩陣, detA?, 則det?A??15A? _____ ??4??3??2.已知?1,?2均為2維列向量, 矩陣A?(2?1??2,?1??2), B?(?1,?2).若行列式A?6, 則B? _____ 3.若r(?1,?2,?,?s,?)?r(?1,?2,?,?s)?k，r(?1,?2,?,?s,?)?k?1,則r(?1,?2,?,?s,?,?)= _____ 4.設(shè)A 為5階方陣, 且r(A)?4, 則齊次線性方程組Ax?0（A是A的伴隨矩陣）的基礎(chǔ)解系所包含的線性無(wú)關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為

_____

T5.設(shè)A?(aij)3?3是實(shí)正交矩陣, 且a11=1,b=(1,0,0),則線性方程組Ax?b的解是

**_____

2226.若使二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?4x3?2x1x2?2tx1x3為正定的, 則 t 的取值范圍是

_____ 7.設(shè)3階方陣A滿足A?2A?3E?0, 且0

_____ 答案：（1）(?1)n3

（2）-2

（3）

k +（4）

（5）(1,0,0)

（6）t?T2（7）3

二、單項(xiàng)選擇題（每小題4分、本題共28分）

1.設(shè)A為n階方陣, B是A經(jīng)過(guò)若干次矩陣的初等變換后所得到的矩陣, 則有（）(A)A?B

(B)A?B

(C)若A?0, 則一定有B?0

(D)若A?0, 則一定有B?0 32.設(shè)行列式D?20502?73420?202, 則第四行各元素代數(shù)余子式之和的值為（）02(A)28

(B)-28

(C)0

(D)336 3.設(shè)A為m階方陣, B為n階方陣, C???B??0A??, 則 C 等于（）?0?(A)AB

(B)?AB

(C)(?1)mnAB

(D)(?1)m?nAB 4.設(shè)n維列向量組?1,?2,??m(m?n)線性無(wú)關(guān), 則n維列向量組?1,?2,??m線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）

(A)向量組?1,?2,??m可由向量組?1,?2,??m線性表示

(B)向量組?1,?2,??m可由向量組?1,?2,??m線性表示

(C)矩陣(?1,?2,??m)與矩陣(?1,?2,??m)等價(jià)

(D)向量組?1,?2,??m與向量組?1,?2,??m等價(jià) 5．設(shè)A、B 為n階方陣, 且r(A)?r(B), 則（）

(A)r(A?B)?0

(B)r(A?B)?2r(A)(C)r(AB)?r(A)?r(B)

(D)r(AB)?2r(A)

?1??16.設(shè)矩陣A??1??1?111111111??4??1??0,B??1?0???01???000000000??0?, 則A與B（）0??0??（A）合同且相似

（B）合同但不相似

(C)不合同但相似

（D)不合同且不相似

7．設(shè)?1,?2是矩陣A的兩個(gè)不同的特征值, 對(duì)應(yīng)的特征向量分別為?1,?2, 則A(?1??2),?2線 性無(wú)關(guān)的充分必要條件是（）

（A）?1?0

（B）?2?0

(C)?1?0

(D)?2?0 答案：CCC CCA A

三、計(jì)算題（每小題8分、本題共32分）

a0a1a2?anb1d10?01．計(jì)算n+1階行列式 Dn?1?b20d2?0.?????bn00?dn解 分三種情況討論：

（1）當(dāng)d1,d2,?,dn全不為0時(shí)，D為箭型行列式且 naakbk0??a1a2?ank?1dcbj1?dcjnD?????j0kd10?000d2?0?(a0??akbk)d1d2?dn;k?1dk?????000?dn（2）當(dāng)d1,d2,?,dn中只有一個(gè)為0時(shí)，不妨假設(shè)di?0，則

aia1?ai?1a0ai?1?an0dd1?b11??????c1?cD????i?1?0ddi?1bi?1i?1??b??aibii0?d?di?1i?1?????0bnd?n??aibid1?di?1di?1?dn（3）當(dāng)d1,d2,?,dn中有兩個(gè)以上為0時(shí)，顯然D?0.?n綜合以上三種情況，我們有D???(aakbk0??)d1d2?dn;dk?0(k?1,2,...,n)?k?1dak??ibid1d2...di?1di?1?dn;?i,di?02.設(shè)矩陣A滿足關(guān)系式(2E?C?1B)AT?C?1, 其中

??12?3?2???1201?B??012?3?120???0012??,C??0?0012??, 求A？ ?0001????0001??解

在等式(2E?C?1B)AT?C?1等號(hào)兩邊同時(shí)乘以C, 得A??(2C?B)?1?T, ??1234??02C?B??0123??1?21?01?21????0012??,(2C?B)1???00??0001???1?2??0001??dn, A?(2C?B)?1??T00?1??210???1?21?1?2?00?0??.0??1??x1?x2?2x3?3x4?0?x?3x?5x?2x??1?12343．設(shè)線性方程組 ?

x?x?ax?4x?134?12??x1?7x2?10x3?7x4?b（1）問(wèn)：a, b取何值時(shí), 線性方程組無(wú)解、有解?（2）當(dāng)線性方程組有解時(shí), 試用基礎(chǔ)解系表示通解.解

設(shè)題中線性方程組為Ax?b.用消元法, 對(duì)線性方程組Ax?b的增廣矩陣A施以行初等變換，化為階梯形矩陣：

?1?1?2??1?3?5A??11a??1710?由此可知：

3247０??1??－１?初等行變換?０???????１０???０ｂ????1?23２３１０a－１０００００??１? ?０??ｂ－４?當(dāng)b≠4時(shí),r(A)?r(A)線性方程組Ax?b無(wú)解;當(dāng)b=4時(shí), 恒有r(A)?r(A)線性方程組Ax?b有解.若a?1,r(A)?r(A)?3,方程組有無(wú)窮多個(gè)解，通解為：1171(，0,0)T?k(?,?,0,1)T

k為任意實(shí)數(shù) 2222若a?1,r(A)?r(A)?2,方程組有無(wú)窮多個(gè)解，通解為：

111371(，0,0)T?k1(,?,1,0)T?k2(?,?,0,1)T

k1、k2為任意實(shí)數(shù) 222222?324??012??????1*4．設(shè)矩陣A??202?,Q??101?,B?QAQ, 求B?2010E的特征值和特征?423??123?????向量.其中A是A 的伴隨矩陣, E 為3階單位矩陣.解

計(jì)算A的特征多項(xiàng)式 *??3?2?E?A??2??4?2?4?2?(??8)(??1)2.??3故A 的特征值為?1?8,?2??3??1.因?yàn)锳???i?8,若AX??X,則A*X?*

A?X.所以A*的特征值為1,-8,-8.由于B?Q?1A*Q與A相似, 相似矩陣有相同的特征值，所以

B?2010E的特征值為：2011，2002，2002.下面求特征向量, 因?yàn)锽(QX)?(QAQ)(QX)?QAX??1?1*?1?1*|A|?Q?1X,我們有矩陣B的屬于量為Q?1X A?的特征向量為Q?1X, 因此矩陣B?2010E的屬于

A??2010的特征向第三步 求出A 的全部特征向量

?2????對(duì)于?1?8，求解線性方程組(8E?A)x?0得特征向量 ?1?1?.?2???對(duì)于?2??3??1，求解線性方程組(?E?A)x?0得特征向量

?1??1??????2??0?,?3???2?.??1??0?????第四步 求出B?2010E 的全部特征向量，即計(jì)算Q?1?1,Q?1?2,Q?1?3.11???1??3???1?????????2?2222?????1?????1?1?1Q???1?11?,Q?1???1?,Q?2???2?,Q?3??1?,?0??11?1??3??3?????????22???2??2?綜合以上分析我們有：

?1?????2?矩陣B?2010E屬于特征值2011的特征向量為k??1?，k為任意實(shí)數(shù)

?7??2????3??????2?2????屬于特征值2002的特征向量為 k1??2??k2?1?,k1、k2為任意實(shí)數(shù)

?0??3????2???

四、證明題（每題6分，共12分）1.已知向量組?1,?2?,?s,?s?1(s?1)線性無(wú)關(guān), 向量組?1,?2?,?s可表示為?i??i?ti?i?1(i?1,2,?,s), 其中ti是實(shí)數(shù).證明?1,?2?,?s線性無(wú)關(guān).證明

用定義.假設(shè)存在 s 個(gè)數(shù)k1,k2?,ks, 使 k1?1?k2?2???ks?s?0, 即

k1(?1?t1?2)?k2(?2?t2?3)???ks(?s?ts?s?1)?0, 也就是

k1?1?(k1t1?k2)?2?(k2t21?k3)?3????(ks?1ts?1?ks)?s?ksts?s?1?0.又因?yàn)?1,?2?,?s,?s?1(s?1)線性無(wú)關(guān), 所以上式中系數(shù)部分都為0, 即

k1?0??kt?k?0112???

解得 k1?k2???ks?0, 故?1,?2?,?s線性無(wú)關(guān).??kt?k?0?s?1s?1s??ksts?022.設(shè)n 階矩陣 A 滿足A?A?2E?0且A?E.證明A相似于對(duì)角矩陣.2證

由A?A?2E?0可得(E?A)(2E?A)?0?(?2E?A)(A?E)

(1)可得A 的特征值為 1或-2，要證明A相似于對(duì)角矩陣，也就是A可以對(duì)角化，即要證明A 有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

由（1）式有 r(2E?A)?r(A?E)?r(2E?A)?r(E?A)?n，（2）又(2E?A)?(A?E)?E可得r(2E?A)?r(A?E)?n

（3）

綜合（2）和（3）有r(2E?A)?r(A?E)?n，不妨假設(shè)r(2E?A)?r,r(A?E)?n?r,則矩陣2E+A 有 r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，由（1）式中第一個(gè)等號(hào)知這r 個(gè)列向量也是特征值1的特征向量；同理由（1）式中第二個(gè)等號(hào)可知矩陣 A-E 的n-r 個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量是 特征值-2 的特征向量。于是矩陣A有r+（n-r）=n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。故A可以對(duì)角化.

第二篇：線性代數(shù)試題及答案

線性代數(shù)習(xí)題和答案

第一部分

選擇題

(共28分)

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設(shè)矩陣A=?020?，則A-1等于（）

???003??1??

3A.?0??0??0120?0??0?

?1???

B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

?1?00??3?

C.?010??

1???00?2??

?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設(shè)矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.B?C時(shí)A=0 D.|A|?0時(shí)B=C 4.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（）

A.A =0

C.A?0時(shí)B=C

A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.設(shè)兩個(gè)向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關(guān)，則（）

A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全為

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（）

A.所有r-1階子式都不為0

C.至少有一個(gè)r階子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一個(gè)解

C.η1-η2是Ax=0的一個(gè)解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一個(gè)解 D.2η1-η2是Ax=b的一個(gè)解 B.秩(A)=n-1

D.方程組Ax=0只有零解

12128.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（）

10.設(shè)A是一個(gè)n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量

B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值

C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設(shè)λ0是矩陣3是

A的3個(gè)互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬

0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關(guān)

A的特征方程的3重根，A的屬于λ

B.k<3

D.k>3 數(shù)為k，則必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.|A|2必為1

C.A-1=AT

B.|A|必為1

D.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（）

A.A與B相似

B.A與B不等價(jià)

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

A.??23???34??34???26?

B.? ?100???

C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

第二部分

非選擇題（共72分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫(xiě)解答過(guò)程，將正確的答案寫(xiě)在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。15.111356?

.92536?1?11???11?1?16.設(shè)A=?，B=??123??.則

??1?24?A+2B=

.17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a=

.19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為

.20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r(

.3 / 7

21.設(shè)向量α、β的長(zhǎng)度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內(nèi)積（α+β，α-β）=

.22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為

.23.設(shè)矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個(gè)特征向量，則α所對(duì)應(yīng)的特征值為

.24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為

.三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120???25.設(shè)A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT；

??240?26.試計(jì)算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設(shè)矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。

?1?2?1??24229.設(shè)矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。30.設(shè)矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫(xiě)出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，ξ1，ξ基礎(chǔ)解系.試證明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。

?337?????1?37?

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數(shù) 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T

?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

/ 7

=511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二

考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解

對(duì)矩陣A施行初等行變換

?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

/ 7

2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B(niǎo)是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的屬于特征值λ=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η

1?，η

2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個(gè)特征向量為

??1/3?ξ=?1?3??，經(jīng)單位化得η?2?

3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對(duì)角矩陣

D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.）

?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設(shè)??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數(shù)矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿秩。?0?001??經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形

y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證

由假設(shè)Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個(gè)解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設(shè)，ξ1，ξ2線性無(wú)關(guān)，所以l1=0，l2=0，從而

l0=0.所以η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。

/ 7，

第三篇：線性代數(shù)試題及答案

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)A為三階方陣且A.-108 B.-12 則（D）

C.12 D.108 2.如果方程組A.-2 B.-1 C.1 D.2 有非零解,則 k=（B）

3.設(shè)A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是（D）

A.AB=BA B.C.D.4.設(shè)A為四階矩陣，且則（C）

A.2 B.4 C.8 D.12 5.設(shè)可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）線性表示，則下列向量中只能是(B)A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）

6.向量組α1，α2，…，αs 的秩不為s(s)的充分必要條件是（C）

A.α1，α2，…，αs 全是非零向量 B.α1，α2，…，αs 全是零向量

C.α1，α2，…，αs中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表出

D.α1，α2，…，αs 中至少有一個(gè)零向量

7.設(shè)A為m矩陣，方程AX=0僅有零解的充分必要條件是（C）

A.A的行向量組線性無(wú)關(guān) B.A的行向量組線性相關(guān) C.A的列向量組線性無(wú)關(guān) D.A的列向量組線性相關(guān)

8.設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（D）

A.B.秩（A）=秩（B）

C.存在可逆陣P，使P-1AP=B D.E-A=E-B 9.與矩陣A=相似的是（A）

A.B.C.D.10.設(shè)有二次型則（C）

A.正定 B.負(fù)定 C.不定 D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

11.若則k=_______1/2____.12.設(shè)A=,B=則AB=___________.13.設(shè)A=, 則A-1=

14.設(shè)A為3矩陣,且方程組A x=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)解向量,則秩(A)= _____1______.15.已知A有一個(gè)特征值-2,則B=A+2E必有一個(gè)特征值___6_________.16.方程組的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量組α1 =(1,0,0)α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩陣A=的全部特征向量是.19.設(shè)三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則=__-16_________.20.矩陣A=所對(duì)應(yīng)的二次型是.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21.計(jì)算四階行列式的值.=

22.設(shè)A=,求A.A =

23.設(shè)A=,B=,且A,B,X滿足(E-BA)求X,X

(E-BA)

X= =

X==

24.求向量組α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.α1 α2 α4 為極大無(wú)關(guān)組。

25.求非齊次方程組的通解

通解

26.設(shè)A=,求P使為對(duì)角矩陣.=

P= =

四、證明題（本大題共1小題,6分）

27.設(shè)α1，α2，α3 是齊次方程組A x =0的基礎(chǔ)解系.證明α1，α1+α2，α1 +α2 +α3也是Ax =0的基礎(chǔ)解系．（答案~~略）

線性代數(shù)B期末試題

一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每小題2分，共10分)1．A是n階方陣，??R，則有?A??AAB?0。（）

2．A，B是同階方陣，且3．如果4．若

?1?1?1(AB)?BA。（），則A與B等價(jià)，則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。

（）A,B均為n階方陣，則當(dāng)A?B時(shí)，A,B一定不相似。

（）5．n維向量組??1,?2,?3,?4?線性相關(guān)，則??1,?2,?3?也線性相關(guān)。（）

二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??010??000??020????????100??(B)??010??(C)??001??(D)（A）?2．設(shè)向量組（A）（C）

?100??01?2?????001??

?1,?2,?3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線性無(wú)關(guān)的是（）。

?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1 ?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3）

?12(A?2E)?（A?A?5E?03．設(shè)A為n階方陣，且。則(A)A?E(B)E?A(C)11(A?E)(A?E)33(D)

4．設(shè)A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無(wú)窮多解；

A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解； A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

B，但|A-B|=0（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎(chǔ)解系含有n?m個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量；

（C）若（D）若5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則（）

（A）A與B相似（B）A?（C）A=B（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空題（每小題4分，共20分）

012?nn?101．。

2．A為3階矩陣，且滿足A?3,則A?1=______，3A*?。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關(guān)或無(wú)關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是。3．向量組，，?1??4?????2?4??1??2??3????3??4????4???4??R(A)??，Ax?b的三個(gè)解，其中A的秩??，則方程組Ax?b的通解為。=3，4． 已知?1,?2,?3是四元方程組

?2?31?A???1a1?5．設(shè)???503??，且秩(A)=2，則a=。

四、計(jì)算下列各題（每小題9分，共45分）。

??121?A??342?1．已知A+B=AB，且?22??1??，求矩陣B。2.設(shè)??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)，而A??T?，求An。

??x1?x2?ax3??1??x?1?x2?2x3??1??x?ax3.已知方程組?12?x3?a2有無(wú)窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型

f(x,x22212,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對(duì)稱矩陣，B是反對(duì)稱矩陣，AB?BA是否為對(duì)稱矩陣？證明你的結(jié)論。

2．設(shè)A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷ATA是否為正定陣？證明你的結(jié)論。

2）A是否可相似對(duì)角化？為什么？；（7

3）

第四篇：線性代數(shù)試題及答案

04184線性代數(shù)（經(jīng)管類）一、二、單選題

1、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做題結(jié)果：A 參考答案：D

2、B:d A:abcd C:6 D:0 做題結(jié)果：A 參考答案：D

3、B:15 A:18 C:12 D:24 做題結(jié)果：A 參考答案：B

4、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做題結(jié)果：A 參考答案：D

6、B:15 A:18 C:12 D:24 做題結(jié)果：A 參考答案：B 20、B:k A:k-1 C:1 D:k+1 做題結(jié)果：A 參考答案：B

21、行列式D如果按照第n列展開(kāi)是

【

】

A.,C.,D.做題結(jié)果：A ,B.參考答案：A

22、關(guān)于n個(gè)方程的n元齊次線性方程組的克拉默法則，說(shuō)法正確的是

【

】

B:如果行列式不等于0，則方程組A:如果行列式不等于0，則方程組必有

只有零解

無(wú)窮多解

C:如果行列式等于0，則方程組必有唯D:如果行列式等于0，則方程組必一解 有零解 做題結(jié)果：A

參考答案：B

23、已知三階行列D中的第二列元素依次為1、2、3，它們的余子式分別為-1、1、2，則D的值為。

【

】

B:-7 A:-3 C:3 D:7 做題結(jié)果：A 參考答案：A

24、B:1 A:0 C:-2 D:2 做題結(jié)果：A 參考答案：C

25、B:d A:abcd C:6 D:0 做題結(jié)果：A 參考答案：D

26、A:a≠2

B:a≠0

C:a≠2或a≠0 D:a≠2 且a≠0 做題結(jié)果：A 參考答案：D

27、A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：B

參考答案：B

28、B:16|A| A:-2|A| C:2|A| D:|A| 做題結(jié)果：A 參考答案：B

29、下面結(jié)論正確的是

【

】

A:含有零元素的矩陣是零矩陣 做題結(jié)果：A

B:零矩陣都是方陣

C:所有元素都是零的矩陣是零矩陣 D:若A，B都是零矩陣，則A=B

參考答案：C 30、設(shè)A是n階方程，λ為實(shí)數(shù)，下列各式成立的是

【

】

C.做題結(jié)果：C ,D.參考答案：C

31、A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：B

參考答案：

B

32、設(shè)A是4×5矩陣，r（A）=3，則▁▁▁▁▁。【

】

A:A中的4階子式都不為0

B:A中存在不為0的4階子式

C:A中的3階子式都不為0 D:A中存在不為0的3階子式 做題結(jié)果：A

參考答案：D

33、A:a=3，b=-1，c=1，d=3

B:a=-1，b=3，c=1，d=3 C:a=3，b=-1，c=0，d=3 D:a=-1，b=3，c=0，d=3 做題結(jié)果：A

參考答案：C

34、設(shè)A是m×n矩陣，B是s×t矩陣，且ABC有意義，則C是▁▁矩陣。

A:n×s B:m×t

C:t×m D:s×n

做題結(jié)果：A 參考答案：A

35、含有零向量的向量組▁▁▁

【

】

A:可能線性相關(guān)

B:必線性相關(guān)

C:可能線性無(wú)關(guān) D:必線性無(wú)關(guān) 做題結(jié)果：A 參考答案：B

36、對(duì)于齊次線性方程組的系數(shù)矩陣化為階梯形時(shí)▁▁▁。

【

A:只能進(jìn)行行變換

B:只能進(jìn)行列變換

】

】

【

C:不能進(jìn)行行變換 D:可以進(jìn)行行和列變換 做題結(jié)果：B

參考答案：A

37、非齊次線性方程組中，系數(shù)矩陣A和增廣矩陣（A，b）的秩都等于4，A是（）4×6矩陣，則▁▁。

【

】

B:方程組有無(wú)窮多解

A:無(wú)法確定方程組是否有解 C:方程組有唯一解 做題結(jié)果：B

D:方程組無(wú)解 參考答案：B

38、n元非齊次線性方程組Ax=b有兩個(gè)解a、c，則a-c是▁▁▁的解。

【

】

B:Ax=0 A:2Ax=b C:Ax=a D:Ax=c 做題結(jié)果：B 參考答案：B

39、設(shè)A是m行n列的矩陣,r(A)=r，則下列正確的是

【

】

B:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)A:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)

數(shù)不可能為n-r 數(shù)可能為n-r C:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)D:Ax-0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)數(shù)一定為n-r 數(shù)不確定 做題結(jié)果：C

參考答案：C 40、向量組A的任何一個(gè)部分組▁▁由該向量組線性表示。

【

】

B:一定不能

A:都能

C:不一定能 D:不確定 做題結(jié)果：A 參考答案：A

41、（-1,1）能否表示成（1,0）和（2,0）的線性組合？若能則表出系數(shù)為▁▁。【

】

B:不能

A:能，1、1 C:能，-

1、1 D:能，1、-1 做題結(jié)果：A 參考答案：B

42、若m×n矩陣C中n個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，則C的秩▁▁▁。

【

】

A:大于m B:大于n C:等于n D:等于m 做題結(jié)果：C 參考答案：C

43、下列矩陣中不是二次型的矩陣的是

【

】

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：A

44、A.,B.,C.參考答案：C ,D.做題結(jié)果：C

參考答案：C

45、B:x=1 A:x=2.5 C:x=-2.5 D:x=0 做題結(jié)果：D 參考答案：A

46、B:（-3，0，2）

A:（2，1，1）

C:（1，1，0）D:（0，-1，0）做題結(jié)果：B 參考答案：B

47、下列矩陣中不是階梯形矩陣的是

【

】

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D

參考答案：B

48、B:15 A:14 C:10 D:24 做題結(jié)果：D 參考答案：A

49、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做題結(jié)果：D 參考答案：C 50、B:-2k A:k-1 C:2k D:k+1 做題結(jié)果：B 參考答案：C

51、B:-2k A:k-1 C:2k D:k+1 做題結(jié)果：B 參考答案：C

52、關(guān)于n個(gè)方程的n元非齊次線性方程組的克拉默法則，下列說(shuō)法正確的是

【

】

B:如果行列式等于0，則方程組只A:如果行列式等于0，則方程組必有

有零解

無(wú)窮多解

C:如果行列式不等于0，則方程組必D:如果行列式不等于0，則方程組有唯一解 必有零解 做題結(jié)果：A

參考答案：C

53、已知三階行列D中的第二行元素依次為1、2、3，它們的余子式分別為-

1、1、-2，則D的值為▁▁。【 】

B:-7 A:9 C:-9 D:7 做題結(jié)果：A 參考答案：A

54、B:1 A:-1 C:-8 D:8 做題結(jié)果：A 參考答案：C

55、A:a=2 B:a=0 C:a=2或a=0 D:a=2且a=0 做題結(jié)果：A 參考答案：C

56、A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：B

57、已知A是三階矩陣，則|-2A|=▁▁。

A:-2|A| B:8|A| C:2|A| D:-8|A| 做題結(jié)果：B 參考答案：D

58、下面結(jié)論不正確的是

【

C.參考答案：A

【

】

】做題結(jié)果：C 參考答案：A

59、設(shè)A是n階方陣，λ為實(shí)數(shù)，下列各式成立的是

【

】

B.做題結(jié)果：C ,C.,D.參考答案：C 60、A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：C

參考答案：A 61、設(shè)A是3×4矩陣，r（A）=3，則▁▁▁。

【

】

B:A中存在不為0的3階子式

A:A中的4階子式都不為0 C:A中的3階子式都不為0 D:A中存在不為0的4階子式 做題結(jié)果：B

參考答案：B 62、B:a=-2,b=1,c=0,d=-2 A:a=2,b=-1,c=0,d=-2 C:a=2,b=-1,c=0,d=2 D:a=2,b=1,c=0,d=2 做題結(jié)果：B

參考答案：D 63、兩個(gè)向量線性相關(guān)，則▁▁▁。

【

】

B:其中一個(gè)為零向量

A:對(duì)應(yīng)分量不成比例

C:對(duì)應(yīng)分量成比例 D:兩個(gè)都不是零向量 做題結(jié)果：B

參考答案：C 64、若矩陣A是行最簡(jiǎn)形矩陣，則▁▁▁。

【

】

B:矩陣A不一定是階梯形矩陣

A:矩陣A必沒(méi)有零行

C:矩陣A必有零行 D:矩陣A的非零行中第一個(gè)不等于零的元素都是1 做題結(jié)果：B

參考答案：D 65、非齊次線性方程組Ax=b中，系數(shù)矩陣A和增廣矩陣(A b)的秩都等于3，A是3×4矩陣，則▁▁▁。

【

】

B:無(wú)法確定方程組是否有解

A:方程組有無(wú)窮多解

C:方程組有唯一解 D:方程組無(wú)解 做題結(jié)果：B

參考答案：A 66、A.,C.,D.做題結(jié)果：D

參考答案：B 67、B:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)A:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)

數(shù)不可能為2 數(shù)可能為2 C:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)D:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)數(shù)一定為2 數(shù)不確定 做題結(jié)果：D

參考答案：C 68、（3,-2）能否表示成（1,0）和（0,1）的線性組合？若能則表出系數(shù)為。

B:不能

A:能，2、-3 C: 能，-

3、2 D:能，3、-2 做題結(jié)果：B 參考答案：D 69、B:大于n A:等于m C:等于n D:大于m 做題結(jié)果：D 參考答案：A 70、下列矩陣中是二次型的矩陣的是

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D

參考答案：

B 71、B:a=-4 A:a=2 C:a=-2 D:a=4 做題結(jié)果：D 參考答案：A 72、B:(-3,0,2)A:(-2,0,1)C:(1,1,0)D:(0,-1,3)做題結(jié)果：D 參考答案：D 74、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做題結(jié)果：B 參考答案：A 75、B:3k A:k-1 C:-3k D:k+1 做題結(jié)果：D 參考答案：B 76、關(guān)于n個(gè)方程的n元非齊次線性方程組的克拉默法則，下列說(shuō)法不正確的是

【

】

B:如果行列式等于0，則方程組可A:如果行列式等于0，則方程組可能有

能無(wú)解

無(wú)窮多解

C:如果行列式不等于0，則方程組必有D:如果行列式不等于0，則方程組唯一解 必有零解 做題結(jié)果：A

參考答案：D 77、已知三階行列D中的第二列元素依次為-1、3、2，它們的余子式分別為

1、-

1、2，則D的值為

【

】

B:-7 A:6 C:-6 D:7 做題結(jié)果：A 參考答案：C 78、當(dāng)a=

時(shí)，行列式的值為零。

【

】

B:6 A:-6 C:-2 D:2 做題結(jié)果：A 參考答案：A 79、行列式的值等于。

【

】

B:0 A:abcd C:d D:6 做題結(jié)果：A 參考答案：B 80、行列式≠0的充要條件是

【

】

B:a≠-1或a≠1

A:a≠-1 C:a≠1 D:a≠-1且a≠1

做題結(jié)果：A 參考答案：C 81、已知A是三階矩陣，則ㄧ-3Aㄧ=。

【

】

B:27∣A∣

A:-3∣A∣

C:3∣A∣ D:-27∣A∣ 做題結(jié)果：A 參考答案：D 82、下面結(jié)論不正確的是

【

】

B:零矩陣都是方陣

A:上三角矩陣都是方陣

C:對(duì)稱矩陣都是方陣 D:可逆矩陣都是方陣 做題結(jié)果：A

參考答案：B 83、設(shè)A是2×3矩陣，r(A)=2，則。

【

】

A:A中的2階子式都不為0

B:A中存在不為0的3階子式

C:A中的3階子式都不為0 D:A中存在不為0的2階子式 做題結(jié)果：C

參考答案：D 84、設(shè)A是s×t矩陣，B是m×n矩陣，且ACB有意義，則C是

矩陣。

【

】

A:t×m B:m×t

C:n×s D:s×n

做題結(jié)果：C 參考答案：A 85、對(duì)于含有零向量的向量組，下列說(shuō)法正確的是

【

A:可能線性相關(guān)

B:必線性相關(guān)

C:可能線性無(wú)關(guān) D:必線性無(wú)關(guān) 做題結(jié)果：C 參考答案：B 86、對(duì)于非齊次線性方程組的增廣矩陣化為行階梯型時(shí)。

【

】

A:不能進(jìn)行行變換

B:可以進(jìn)行行變換和列變換

C:只能進(jìn)行行變換 D:只能進(jìn)行列變換 做題結(jié)果：A

參考答案：C 87、齊次線性方程組Ax=0中，系數(shù)矩陣A的秩等于2，A是3×4矩陣，】 則

。【

】

B:方程組有無(wú)窮多解

A:方程組有非零解

C:方程組只有零解 D:方程組有唯一解 做題結(jié)果：C

參考答案：A 88、設(shè)δ是齊次線性方程組Ax=0的解，λ是任意實(shí)數(shù)，則λδ是

的解。

【

】

B:Ax=ζ

A:λAx=ζ

C:Ax=λζ D:Ax=0 做題結(jié)果：C 參考答案：D 89、設(shè)A是4行5列的矩陣，r(A)=4，則下列正確的是

【

】

B:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)A:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)

數(shù)不可能為1 數(shù)可能為1 C:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)D:Ax=0的基礎(chǔ)解系中的解向量的個(gè)數(shù)一定為1 數(shù)不確定 做題結(jié)果：A

參考答案：C 90、（-2,3）能否表示成（-1,0）和（2,0）的線性組合？若能則表出系數(shù)為

。【

】

B:能，2、3 A:能，-

2、-3 C:能，2、-3 D:不能 做題結(jié)果：A 參考答案：D 91、若3×4矩陣C中3個(gè)行向量線性無(wú)關(guān)，則C的秩。

【

】

A:大于3 B:等于3 C:等于4 D:大于4 做題結(jié)果：A 參考答案：B 92、已知矩陣有一個(gè)特征值為0，則。

【

A:b=-2 B:b=3 C:b=2 D:b=-3 做題結(jié)果：B 參考答案：A 93、設(shè)β可由向量α1=(0,1,0)，α2=(1,0,0)線性表示，則下列向量中β只能是【

】

A:(3,0,1)B:(-3,0,2)C:(2,3,0)D:(0,-1,2)做題結(jié)果：D 參考答案：C 100、行列式D如果按照第n列展開(kāi)是

【

】

】

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D 101、計(jì)算。

【

】

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：C 102、【

】

參考答案：A

參考答案：B

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D 103、下列矩陣中不是二次型的矩陣的是

【

】

A.,B.做題結(jié)果：D 104、下列矩陣中不是階梯形矩陣的是

【

】 ,C.,D.參考答案：C

參考答案：C

A.,B.做題結(jié)果：D 105、下面結(jié)論不正確的是

C.做題結(jié)果：D 參考答案：A 106、下列矩陣中是二次型的矩陣的是

【

】

A.,B.做題結(jié)果：D ,C.【

】 ,C.,D.參考答案：B ,D.參考答案：

B

107、下列矩陣中是階梯形矩陣的是

【

】

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D 108、A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D 109、A.,B.參考答案：A

參考答案：B ,C.,D.做題結(jié)果：D

參考答案：A

110、A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D

參考答案：A 111、下列矩陣中不是二次型的矩陣的是

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D

參考答案：C 112、A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：D 113、下列矩陣中是階梯型矩陣的是

A.,B.,C.,D.做題結(jié)果：C 三、填空題 四、綜合題 94、求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

參考答案：D

參考答案：B

95、判定向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由： α1=(1,1,1)，α2=(0,2,5)，α3=(1,3,6)

做題結(jié)果： 23 參考答案：

96、求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，并寫(xiě)出通解。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

97、判定向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由： α=(1,-1,0)，β=(2,1,1)，γ=(1,3,-1)

做題結(jié)果： 123 參考答案：

98、做題結(jié)果： 123 參考答案：

99、判定向量組是線性相關(guān)還是線性無(wú)關(guān)，并說(shuō)明理由：

β1=(-1,3,1),β2=(2,1,0),β3=(1,4,1)做題結(jié)果： 123 參考答案：

五、計(jì)算題

5、求矩陣的逆矩陣。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

7、做題結(jié)果： 123 參考答案：

8、設(shè)矩陣，求出A的所有特征值和特征向量。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

9、求矩陣的秩。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

10、求矩陣的逆矩陣。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

11、用降階法計(jì)算行列式

做題結(jié)果： 123 參考答案：

12、已知行列式，寫(xiě)出元素a12的代數(shù)余子式A12，并求出A12的值。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

13、做題結(jié)果： 123 參考答案：

14、設(shè)矩陣，求出A的所有特征值和特征向量。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

15、求矩陣的秩。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

16、用降階法計(jì)算行列式

做題結(jié)果： 123 參考答案：

17、已知行列式，寫(xiě)出元素a32的代數(shù)余子式A32，并求出A32的值。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

18、設(shè)矩陣，求出A的所有特征值和特征向量。

做題結(jié)果： 123 參考答案：

19、求矩陣的秩。

做題結(jié)果： 123 參考答案： 73、用降階法計(jì)算行列式

做題結(jié)果： 123 參考答案：

第五篇：2006~2007線性代數(shù)試題1答案

一、選擇題： [教師答題時(shí)間：2 分鐘]（每小題 3 分，共 12分）①A ②D

③A

④B

二、填空題： [教師答題時(shí)間：4分鐘]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 線性相關(guān)

③ 0

④-8

三、計(jì)算題 [教師答題時(shí)間： 6 分鐘]（共16分）

1、aDn?b?bba?b......??1bb?aba?bba?b?0n?1a?(n?1)b?a?(n?1)b?a?(n?1)b......??bb（4分）?a......??b0?ba?b......??bb?a解: ?[a?(n?1)b]1?11

＝[a?(n?1)b]0?0（2分）a?b＝[a?(n?1)b](a?b)（2分）

2、?1解：A???3?1???00?2240?112?1??1???2??02?2011?1012?1??(3分）5??14???(3分）??5?0? 4??5(2分）??2?

四、綜合題 [教師答題時(shí)間： 7 分鐘]（共15分）

驏1??(a1,a2,a3,a4)=?1????-2桫驏1瓏瓏?瓏0瓏瓏瓏瓏0桫驏1??解：??0????0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16驏2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以極大無(wú)關(guān)組是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五題、綜合題 [教師答題時(shí)間： 8 分鐘]（共10分）

?1?解:?A,b???1?1????1???0?0?11??????(??3)11??11??112????0????0???(1??)?(4分）2??(??2??1)???2∴當(dāng)?＝－3時(shí)，線性方程組無(wú)解（2分）

當(dāng)??0且???3時(shí)，線性方程組有唯一解（2分）當(dāng)?＝0時(shí)，線性方程組有無(wú)窮解（2分）六題、解答題 [教師答題時(shí)間： 5 分鐘]（共10分）

?1?A?3??5??1??0??0?010?253?2??5(2分）??3???1?0??0??210?2??1(2分）?0??0??1(2分）?0??

?0??0?????∴通解為x=c-1(2分），故基礎(chǔ)解系為c-1(2分）?????1??1?????七題、解答題 [教師答題時(shí)間：10 分鐘]（共12分）??3解：?E－ A?0121?2?4??10??1=(??1)(??4??5)(2分）所以A的特征值為?1?1,?2??3?i?2(2分）?4?當(dāng)??1，E?A?0??1?120?2??1???4?0????00??0100???2?0???0???所以??1對(duì)應(yīng)的特征向量為C12(C1?0)(3分）???1?????1?i???i?2時(shí)，A-?E=0???1??1??0??1?i?0i?11i?3??1???4?0????0?2???1?i?10010??4???i?3?2i?3??2i?2?0??

??i?3???所以??i?2時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量為C2?2i?2(C2?0)(3分）????1??顯然A不能相似對(duì)角化(2分）八題、證明題 [教師答題時(shí)間： 7 分鐘]（共13分）

?1?1)證明：（?1，?，?）＝（?，?，?）22312?3?0??1?設(shè)K=2??0?0231??0,顯然K?0,∴K可逆（2分）?3??0231??0（2分）?3??-1 ∴（?1，?，?）=（?，?，2?）K2313

故?1，?，?與?，?，2?等3價(jià)，而?，?，?2線性3無(wú)關(guān)2311∴?1，?，?線性無(wú)關(guān)（3分）232)證明：因?yàn)锳為正交陣，故A??1,而A?0，∴A??1(2分）E＋A＝AA＋A?AA＋E?AA＋E??E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT