第一篇：線性代數試題4

試題二參考答案

一、1． √ 2． × 3.× 4． × 5． √

二、1.D 2.D 3．B 4.C 5.D

三、1．-5 2．-36 ?O3．??B?2A??O???1?O=??1A?1?2B??。O???14． 2 5． |A?1|3=?164。

6． R(A*B*)= 1 7．a?12

8．(1,?2,?1)T。9．y12?y22 10． t?n

四、1．

解：問題轉化為方程組求解問題

x1?x2?x3?1???2x1?(a?2)x2?(b?2)x3?3 ??3ax?(a?2b)x??323?

增廣矩陣

?1?A??2?0?1a?2?3a?1?b?2a?2b1??1??3???0?0?3???1a0?1?ba?b1??1? ?0?（1）a?0時,(若b=0則R(A)?1,R(A)?2,若b?0則R(A)?2,R(A)?3)方程組無解，即?不能用?1,?2,?3線性表示

（2）a?0,a?b?0時，R(A)?R(A)?3，方程組有唯一解，即?可由?1,?2,?3唯一地表示，求表示式：

?1?A?0??0?1a0?1?ba?b1??1??0???1?0??0?1a00011??1??0???1?0??0?01001?1a??10a? 10??1???(1?1)???2 1aa

（3）a?0,a?b?0時，R(A)?R(A)?2，?可由?1,?2,?3表示，但表示式不惟一，求表示式：

?1?A?0??0?1a0?1?a01??1??0???1?0??0?0101?1a??1?1a? 00??01???(1?1)??(?k)?2?k?3 1aa 其中k為任意常數。

2．解：(1)由題意

?2??4?22??T??????1?2?11???1?1?????2? ?1????2?11???T?的特征方程為

4???22?21???1?0，即?2(??6)?0 2?11??所求特征值為??0,0,6

??0時，特征向量(x1,x2,x3)T滿足方程

?4?22??x??0?????21?1??1???x2????2?11????x??0?? 3???0??

得??0對應的特征向量(0,1,1)T,(1,1,?1)T 同理得??6對應的特征向量(2,?1,1)T

（2）取正交陣

?12?036?Q??11?1??236? ?1?11??236???0?得QT?T?Q???0??? ?6??

3.解：(1)設R3中自然基為?1=(1, 0, 0), ?2=(0, 1, 0), 3=(0, 0, 1)

?4

則

??1?2?3????1?2?1??3?2??1?2330??0?1????1?2?3????1?2?3??3?1??4?5211??1??6??故

??1?2???1?3??1??3?2??1?2333??7?1???1?2?3?1??4?5211??1??6?????1?2??27??3?9??4??712012?41??9?8??基?1,?2,?3到?1,?2,?3的過渡矩陣為：

坐標變換公式：

這里

P?1??27?P?9??4??712012?41??9?8???y1??x1???1?y2?Px???2?y??x?3??3???????13????9???7??19?1310181?4??63??2??99??4?5

（2）向量??2?1??2??3在基?1,?2,?3下的坐標為：

（3）向量???1?2?2?4?3在基?1,?2,?3下的坐標為：

五、??13???9???7??19?1310181?4?1??156???63???????2??109???2???86?4???????99??4???27?9??4??712012?41??2??58??????9?1??11?????????8????1???12?證明:必要性

由l1,l2,l3交于一點得方程組 ?ax?2by?3c?0??bx?2cy?3a?0

有解 ?cx?2ay?3b?0?a2b2c2a3c1bcaca?0 b故 R(A)?R(A)?bc1bcac3a?0?(a?b?c)13b1由于11a??1[(b?a)?(c?b)?(a?c)]?0 2b222所以a?b?c?0

充分性：a?b?c?0?b??(a?c)所以ab2b2c?2(ac?b)?2[ac?(a?c)]??[a?c?(a?c)]?0

22222?R(A)?R(A)?2,因此方程組

?ax?2by?3c?0??bx?2cy?3a?0

有唯一解，即l1,l2,l3交于一點 ??cx?2ay?3b?0

第二篇：線性代數試題4

《線性代數》模擬試題一

一、選擇題：本大題共5小題：每小題4分，共20分。

1、下列（）是4階偶排列：

（A）4321

（B）4123

（C）1324

（D）2341

（A）2M

（B）?2M

（C）8M

（D）?8M

?z?0?kx?

2、如果?2x?ky?z?0有非零解，則（）

?kx?2y?z?0?

（A）k?0

（B）k??（C）k?（D）k??2

111111?x113、方程?0的所有根為（）

112?x11113?x

（A）0，1，2

（B）1，2，3

（C）0，1，2，3

（D）1，2，3，4

4、下列矩陣不一定為方陣的是（）

（A）對稱矩陣

（B）可逆矩陣

（C）n階矩陣的轉置矩陣

（D）線性方程組的系數矩陣

?

15、設A,B均是n階方陣，A?2,B??3，則2A*B?（）

2n?122n?1n

2（A）?

（B）(?1)332n?12n（C）?

（D）?

3二、計算、證明題：本大題共8小題：每小題10分，共80分。

a1?b1、計算n階行列式

a2a3?ananan?。a1a1?a1a2?ba3?a2a3?b??a2a1?1a1?a1a1?a3a2??an?ban?1an?1?an?1anan?anan?n。

2、計算n階行列式： Dn?a2?2??a2a2??an?1?n?1?a103、計算行列式?01?

34、求行列式5a1?a2?01040?00?00?。an1a2???01??an?1203中元素2與-2的代數余子式。?21?103??100?????225、已知A??021?,B??021?，求（1）(A?B)(A?B)，（2）A?B。

?001??301??????010??1?1?????

6、解矩陣方程AX?B?X，其中A???111?,B??20?。

??10?1??5?3?????

7、設A為m階對稱矩陣，B為m?n矩陣，證明：BAB為對稱矩陣。

8、設方陣A滿足A?2A?3I?O，證明：A?3I可逆，并求(A?3I)?1。2T《線性代數》模擬試題一 參考解答

三、選擇題：本大題共5小題：每小題4分，共20分。

1、（A）

2、（C）

3、（A）

4、（D）

5、（A）

四、計算、證明題：本大題共8小題：每小題10分，共80分。

?nai?ba2?ani?11an21、解：原式＝?ai?ba2?b?ani?1＝(?nabi?b)1a2????i?1???na?ba1a2i2?an?bi?110?0n＝(?1b?0nai?b)i?1???＝(?ai?b)bn?1。

i?110?ba1?1a2?an?1ana1?1a2a1a2?2?an?1an?122、解：Dn????? ???a1a2?an?1?n?1an?10a1a2?an?1an?n?10n1??aka2?an?1ank?0?1k2?00n?????n!(1??ak)。k?1k00?n?1000?0n0a10?0000a2?00n3、解：原式????????(?1)n(n?1)?ak。

000?0ak?1nn?1nn?1?

214、解：2的代數余子式為(?1)3?10403?0，-2的代數余子式為(?1)2?3?3453?29。

?an?an?

?an?b?an?1an?00???n?10?0n ??906??006?????

5、解：（1）??600?，（2）??300?。

??609???600??????3?1???

6、解：X??20?。

?1?1???

7、證明：因A?A，故(BTAB)T?BTAT(BT)T?BTAB，即BAB為對稱矩陣。

8、證明：由O?A2?2A?3I?(A?3I)(A?I)?6I得(A?3I)(A?I)??6I，從而TT11(A?3I)[?(A?I)]?I，所以(A?3I)???(A?I)。

《線性代數》模擬試題二

五、選擇題：本大題共5小題：每小題4分，共20分。

1、k?12?0的充分必要條件是（）

2k?1a11a12a22a32a132a112a122a322a222a132a33,那么D1?（）2a2

3（A）k??

1（B）k?3

（C）k??1且k?3

（D）k??1或k?3

2、如果D?a21a31a23?M?0,D1?2a31a332a

21（A）2M

（B）?2M

（C）8M

（D）?8M

3、若A為非奇異上三角形矩陣，則不為上三角形矩陣的是（）

（A）2A

（B）A

（C）A

（D）A

4、設A為三階矩陣，A?a，則其伴隨矩陣A*的行列式A*?（）

（A）a

（B）a

（C）a

（D）a

2342?1T?a11?

5、當A?（）時，A?a21?a?31a12a22a32a13??a11?3a31??a23???a21?a33???a31a12?3a32a22a32a13?3a33??a23?

?a33??100??10?3?????

（A）?010?

（B）?010?

??301??001??????00?3??100?????

（C）?010?

（D）?010?

?101??0?31?????

六、計算、證明題：本大題共8小題：每小題10分，共80分。

a1?

11、計算n階行列式： Dn?a2?an?1an?1?an?1anan?anan?n。

a1?a1a1a2?2??a2a2??an?1?n?1?a102、計算行列式?01a1?a2?010?00?00?。an1a2???01??an?1x13、已知f(x)?31112x1?13，求x的系數。

2x112x1x?14x?7102?4?0。x?64、求下列方程的根?245、設P?1AP?D,其中P?????1?4???10?3A???，求。,D????1??1?02??x0??uv??3?4?

6、設A???7y??,B???y2??,C???xv??，且A?2B?C?O，求x,y,u,v的值。

??????

7、設A為m階對稱矩陣，B為m?n矩陣，證明：BAB為對稱矩陣。

8、設方陣A滿足A?A,A??1,I為單位矩陣，證明：A?I?0。T?1T《線性代數》模擬試題二 參考解答

七、選擇題：本大題共5小題：每小題4分，共20分。

1、（C）

2、（D）

3、（D）

4、（B）

5、（B）

八、計算、證明題：本大題共8小題：每小題10分，共80分。

a1?

11、解：Dn?a2?an?1an?1?an?1anan?anan?na1?1a2??1 ???1?12?00?an?10?an0? 0na1?a1a1a2?2??a2a2n?an?1?n?1??n?1?01????00akk?1k0a2?2?00?an?10?an0?0n?n!(1??ak)。k?1kn?n?1?0002、解：原式??0n?1a10?0n0a2??00?00nn????(?1)(n?1)?ak。

k?10?0ann?1?21333、解：根據行列式的定義，f(x)是x的一個多項式函數，且最高次冪為x。顯然含x的項有兩項，即主對角線上4個元素之積x和對應于(?1)N(1243)a11a22a34a43的項?2x，所以多項式f(x)中x的系數為?1.333x?

14、解：方程左端??242x?1020x?7?4??22x?4x?20x?1?4?(x?2)(x?1)(x?1)，0x?2所以原方程化為(x?2)(x?1)(x?1)?0，它的根為x1?2,x2?1,x3??1。

5、解：A?(PDP)?PDP3?133?1?1112?????3?4??。??

6、解：x??5,y??6,u?4,v??2.TTTTTTT7、證明：因A?A，故(BAB)?BA(B)?BAB，即BAB為對稱矩陣。TT8、證明：由A?A得AA?I，于是 T?1TA?I?A?AAT?A(I?AT)??I?AT??(I?A)T??I?A

即2A?I?0，所以A?I?0。

第三篇：線性代數試題

線性代數試題(一)

一、填空（每題2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.設D為一個三階行列式，第三列元素分別為-2，3，1，其余子式分別為9，6，24，則D=。

3.關于線性方程組的克萊姆法則成立的條件是

，結論是。

4.n階矩陣A可逆的充要條件是，設A*為A的伴隨矩陣，則A-1=。

5.若n階矩陣滿足A2-2A-4I=0,則A-1=。

?1??1?????2??2??1234???3??3??1234??????4?????=，?4?6.=。7.設向量組?1,?2,?3線性相關，則向量組?1,?1,?2,?2,?3,?3一定線性。

A?1A*A8.設A三階矩陣，若=3，則= ,=。

9.n階可逆矩陣A的列向量組為?1,?2,??n，則r(?1,?2,??n)=。10.非齊次線性方程組Am?nX=b有解的充要條件是。

二、單項選擇題（10分，每題2分）

k?12k?1?0的充要條件是（）1．2。

（a）k?1（b）k?3（c）k??1,且k?3（d）k??1,或k?3 2.A,B,C為n階方陣，則下列各式正確的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,則A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,則A=B 3.設A為n階可逆矩陣，則下述說法不正確的是（）

A?1?0A?0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量組線性相關 4.設矩陣A=(aij)m?n，AX=0僅有零解的充要條件是（）(a)A的行向量組線性無關(b)A的行向量組線性相關(c)A的列向量組線性無關(d)A的列向量組線性相關

5.向量組 ?1,?2,??s的秩為r,則下述說法不正確的是（）(a)?1,?2,??s中至少有一個r個向量的部分組線性無關

(b)?1,?2,??s中任何r個向量的線性無關部分組與?1,?2,??s可互相線性表示

(c)?1,?2,??s中r個向量的部分組皆線性無關(d)?1,?2,??s中r+1個向量的部分組皆線性相關

三、判斷題（正確的劃√，錯誤的劃х，共10分，每題2分）1．5級排列41253是一個奇排列。（）

2．A為任意的m?n矩陣, 則ATA, AAT都是對稱矩陣。（）

3．?1,?2,??s線性無關，則其中的任意一個部分組都線性無關。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若兩個向量組可互相線性表示，則它們的秩相等。（）

四、計算n階行列式（12分）

xaaaxaaax???aaaaaa??????aaa?ax

?223????1?10???121??(13分)注：A不可逆，修改為 2．解矩陣方程AX=A+X,其中A=?23??2??1?10????122???

3．求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1)，?4?(3,5,2)的極大線性無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示。（10分）4．用消元法解下列方程組。（15分）

??x1?x2?x3?x4?1??x1?x2?x3?x4?0?1x?x?2x?2x??1234?2 ?

五、證明題（從下列三題中任選兩道, 每題5分，共10分）

1．設向量組?1,?2,?3線性無關，證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無關。（5分）

2．已知向量組?,?,?線性無關，而向量組?,?,?,?線性相關，試證明：（1）向量?一定可由向量組?,?,?線性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同階對稱矩陣，證明：AB為對稱矩陣的充要條件是A與B可交換。（5分）

線性代數試題(一)答案

一．(1).n(n?1)(2).–12 2xj?DJD(3).線性方程組的系數行列式D?0；方程組有唯一解且

?1?2??31*1A?(A?2I)A?0A4(4).；(5).(6).30，?41(7).相關(8).3, 9(9).n(10).234?468??6912??81216?

r?Ab??r?A?

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n?1[x?(n?1)a]?(x?a)(1).?3?2?1X???4?0??(2).3??1??23?0??4?12???

(3).極大線性無關組為?1,?2

?3??1??2;?4??1??2(4)全部解為： 12

1?1?TT,0??c1?1,1,0,0??c2?0,0,1,1??,0,2?2?(c1 ,c2為任意常數)五．略

線性代數試題及答案

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯癬多選或未選均無分。

1.設3階方陣A的行列式為2，則()

TA.-1 B.C.D.1

2.設 則方程 的根的個數為()A.0 B.1 C.2 D.3

3.設A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若 則必有()A.B.C.D.4.設A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是()A.B.C.D.5.設 其中 則矩陣A的秩為()A.0 B.1 C.2 D.3

6.設6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為()A.0 B.2 C.3 D.4

7.設向量α=(1，-2，3)與β=(2，k，6)正交，則數k為()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知線性方程組 無解，則數a=()A.B.0 C.D.1

9.設3階方陣A的特征多項式為 則()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3階實對稱矩陣 是正定矩陣，則A的3個特征值可能為()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.設行列式 其第3行各元素的代數余子式之和為__轉載自百分網http://www.tmdps.cn，請保留此標記________.12.設 則 __________.13.設A是4×3矩陣且 則 __________.14.向量組(1，2),(2，3)(3，4)的秩為__________.15.設線性無關的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關系為__________.16.設方程組 有非零解，且數 則 __________.17.設4元線性方程組 的三個解α1，α2，α3，已知 則方程組的通解是__________.18.設3階方陣A的秩為2，且 則A的全部特征值為__________.19.設矩陣 有一個特征值 對應的特征向量為 則數a=__________.20.設實二次型 已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規范形為__________.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

21.設矩陣 其中 均為3維列向量，且 求

22.解矩陣方程

23.設向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T問p為何值時，該向量組線性相關?并在此時求出它的秩和一個極大無關組.24.設3元線性方程組 ，(1)確定當λ取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解?

(2)當方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解(要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示).25.已知2階方陣A的特征值為 及 方陣

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 為標準形，并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27.設A是3階反對稱矩陣，證明|A|=0.線性代數B期末試題

一、判斷題(正確填T，錯誤填F。每小題2分，共10分)1． A是n階方陣，??R，則有?A??A。（）

?1?1?1AB?0(AB)?BA。（）2． A，B是同階方陣，且，則3．如果A與B等價，則A的行向量組與B的行向量組等價。()4．若A,B均為n階方陣，則當A?B時，A,B一定不相似。()?1,?2,?3,?4?線性相關，則??1,?2,?3?也線性相關。（）5．n維向量組?

二、單項選擇題（每小題3分，共15分）

1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??（A）?2．設向量組?1,?2,?3線性無關，則下列向量組中線性無關的是（）。

（A）?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1（C）?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3

?12(A?2E)?（）A?A?5E?03．設A為n階方陣，且。則

11(A?E)(A?E)(A)A?E(B)E?A(C)3(D)3

4．設A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無窮多解；

（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎解系含有n?m個線性無關解向量；（C）若A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解；（D）若A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個線性無關的特征向量，則（）

（A）A與B相似（B）A?B，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空題（每小題4分，共20分）

012n?10。1．n*A?13A?A?2．A為3階矩陣，且滿足3,則=______。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關或3．向量組，，無關）的，它的一個極大線性無關組是。

4． 已知?1,?2,?3是四元方程組Ax?b的三個解，其中A的秩R(A)=3，?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????，??，則方程組Ax?b的通解為。

?2?31??A??1a1????503??，且秩(A)=2，則a=

。5．設

四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。

?121??A??342????122??，求矩陣B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.設??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)，而A???，求A。

3.已知方程組 有無窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個正交變換將二次型化成標準型

222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，AB?BA是否為對稱矩陣？證明你的結論。

T2．設A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷AA是否為正定陣？證明你的結論。

第四篇：線性代數4試卷及答案

線性代數（經管類）試題B 試卷滿分100分

考試時間120分鐘

(出卷人：廖磊)試卷說明：AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式。

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1．若行列式|A|=0，則A中（）A．必有一行全為0 C．有兩列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量組線性相關 D．所有元素全為0

a11a315a11?2a125a21?2a225a31?2a32a13a23，則D1的值為（）a33a23=3，D1=a212．設行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．設A，B，C，D均為n階矩陣，E為n階單位方陣，下列命題正確的是（）A．若A2?0，則A?0

B．若A2?A，則A?0或A?E C．若AB?AC，且A?0，則B?C

D．若AB?BA，則(A?B)?A?2AB?B

2224．設A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有（）A．A=B C．|A|=|B| ?1?A．?0?0?1001201??0? 0??1??2? 0??B．A=-B D．|A|2=|B|2

?1?B．?0?0??1?D．?2?3?1101231??1? 0??1??2?3??5．設3階方陣A的秩為2，則與A等價的矩陣為（）

?1?C．?2?0? 6.設A，B為同階可逆方陣，則下列等式中錯誤的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．設2階矩陣A＝，則A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．?a?cb??，則d??

8．設2階矩陣A＝??A．??C．???d??c?b?? a??b???a??A＝（）

??d?b?d??bc???a???c??a??＊

B．??

??d?c

D．??

9．設矩陣A＝，則A中()A．所有2階子式都不為零

B．所有2階子式都為零 C．所有3階子式都不為零

D．存在一個3階子式不為零

10．設?1,?2是??x1?x2?x3?1?2x1?x2?0，的兩個解，則（）

1A．?1??2是??2x1B．?1??2是??2x1C．2?1是??2xx?x2?x3?0?1?x2?0，的解，的解 x?x2?x3?0?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0，的解，的解 1D．2?2是??2x11．設?1,?2,?3,?均為n維向量，又?1,?2,?線性相關，?2,?3,?線性無關，則下列正確的是（）

A．?1,?2,?3線性相關 B．?1,?2,?3線性無關 C．?1可由?2,?3,?線性表示 D．?可由?1,?2線性表示

12．設向量?1?(a1,b1,c1),?2?(a2,b2,c2),?1?(a1,b1,c1,d1),?2?(a2,b2,c2,d2)，則下列命題中正確的是（）

A．若?1,?2線性相關，則必有?1,?2線性相關

B．若?1,?2線性無關，則必有?1,?2線性無關 C．若?1,?2線性相關，則必有?1,?2線性無關 D．若?1,?2線性無關，則必有?1,?2線性相關

13．設A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充分必要條件是()A．A的列向量組線性相關

B．A的列向量組線性無關 C．A的行向量組線性相關

D．A的行向量組線性無關

14．設α1，α2，α3，α4為向量空間V的一個基，則V的維數=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.設A與B是兩個相似n階矩陣，則下列說法錯誤．．的是（）A.A?B

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆陣P，使P-1AP=B

D.?E-A=?E-B

16．正交矩陣的行列式為（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩陣A＝的非零特征值為()A．

4B．

3C．

2D．1

18．當矩陣A滿足A2=A時，則A的特征值為（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)?x?y2.2的正慣性指數p為（）

B．1 D．3

22220.設有二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3,則f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.負定 D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi?0,i?1,2,3,則行列式a2b1a3b112322．三階行列式D?222，則A11?A12?A13?__________.451?3?A=?0?1?2??1?4??23.設,B=??1?0012??,則AB=__________.0?1114中元素9的代數余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k112?0,則k=___________.26．設A，B均為n階矩陣，(AB)?E，則(BA)=__________.?a11x1?a12x2?a13x3?0?27．若齊次線性方程組?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，則其系數行列式的值為

?ax?ax?ax?0322333?31122______________.?1?28.設矩陣A=?2?3?2t42??3?，若齊次線性方程組Ax=0有非零解，則數t=____________.5???1?29．設矩陣A=?0?0?0201??0?，矩陣B=A-E，則矩陣B的秩r(B)=______________.1??30.已知A有一個特征值-2,則B=A2+2E必有一個特征值___________.31.方程組x1?x2?x3?0的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α與β的內積為2，則數k=____________.33.設向量α=（b,12,12）T為單位向量，則數b=______________.34．設AX?0為一個4元齊次線性方程組，若?1,?2,?3為它的一個基礎解系，則秩（A）=_________.35．已知某個3元非齊次線性方程組Ax＝b的增廣矩陣A經初等行變換化為：，若方程組無解，則a的取值為

．

36．已知3維向量??(1,3,?1)T,??(?1,2,4)T，則內積(?,?)=____________.37.設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.38.設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.?1??2?1?2?101??0?3??39.矩陣A=所對應的二次型是___________.T40．設3元實二次型f(x1,x2,x3)?XAX經正交變換化成的標準形為f?3y1，則矩陣

2A的特征值為_________.三、計算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）

***241.計算四階行列式的值.42．設A=?3??0?1?2??1?4??,B=??1?0012??,求矩陣0?AB.?1?43.已知矩陣A=?1?0?0?111??3??0?，B=?1?02???0111??0?，4??（1）求A的逆矩陣A-1；（2）解矩陣方程AX=B.44．設A=?3??1?1?1002101??1?1??0??2?2??,求A?1.45.設??1?A=?0?0??1?,B=?0?0?1200??2?3??,且A,B,X滿足(E-B?1A)TBTX?E.求X,X?1.46．求向量組?1=（1，2，1，3），?2=（4，-1，-5，-6），?3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一個極大線性無關組.47．設向量組?1?(1,?1,0)，?2?(2,4,1)，?3?(1,5,1)，?4?(0,0,1)，求該向量組的秩，并判斷其線性相關性。

?x1?2x2?4x3?3?2x2?2x3?348．求線性方程組??2x?2x?6x?323?1?8?17??，2??的通解.49.設矩陣A=??（1）求矩陣A的特征值與對應的全部特征向量.（2）判定A是否可以與對角矩陣相似，若可以，求可逆矩陣P和對角矩陣?，使得P-1AP=?.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通過正交變換可化為標準形f＝y1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、證明題（本大題10分）

51.設?1,?2,?3是齊次方程組A x =0的基礎解系.證明：

?1??1,?2??1??2，?3??1??2??3一定是Ax =0的基礎解系．

52．設A，B均為正交矩陣，且A??B，試證A?B?0.?

321、AB??0??12??11????04?21001111012?32????00????***02146??0

?2???

322、（A,E）=?1???1?

1??1???30??0………………………..3分 ?1??1??0……….………………….1分 ?0??01001?21???1………………………2分 ??3??1???1………………………..1分 ??1??1?100?2??0100??001?1?2??1111?2??1??1?2???1010

??0100???02?21?1010??0100???00?21??1010??0100??001?1?2??1?2??0?1????2?111011

?1??1??1?2??……2分

所以A?11?2??1?1??2??…………………………………………1分

?1?2?

23、令A=（?1,?2,?3)=?1?3???1?0???0?0??4?9?9?184?1?5?61???3??4?………………………….2分 ?7???1???5??5?………………………………………………….2分 ?10????1?0???0?0??49001??5?0?………………………………………………………….2分 0???所以向量組?1,?2,?3的秩為2………………………………………….2分 極大線性無關組為??1,?2?或??1,?3?或??2,?3?……………………….2分

?124、(A,b)??0???2?12?02???0?242?22224263??3………………………………………………..2分 ?3???13????3?0???3???02104103?3??……………………………………2分 2?0??1???0??00102100?3??………………………………………………………….1分 2?0?所以非齊次方程的一般解為

?x1??2x3??3x??x?3?22?……………………………………………

1分

所以齊次方程組的一個特解為?*?0???3????2??0???…………………………..1分

??2?x??2x?13?對應的齊次方程組為?得基礎解系為?1???1…………….2分 ???x2??x3??1??所以原方程組的通解為???*?k1?1,其中k1為任意常數………………….1分

25、（1）項式A??E?8??172??=（??1)(??9)

所以特征值?1?1,?2?9…………………………………………………..1分

?7當?1?1時，A?E???17??1???1??01??0?

即x1??x2，所以特征向量為?1???………………………………..1分

?1?對應特征值?1?1全部特征向量為k1?1，k為任意非零常數………..1分

當?2?9時，A?9E???1??17??1????7??0??1??7?? 0??7?即x1?7x2，所以得到對應的特征向量?2???………………………..1分 ?1?對應特征值?2?9的全部特征向量為k2?2，k2為任意非零常數……….1分（2）因為矩陣A有兩不同的特征值1和9,(或者說存在兩個線性無關的特征向量

?1,?2),所以矩陣A可以對角化……………………………………………..2分

可逆矩陣P=(?1,?2),即?10??9???1P=??17??1?,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

?10?．．．．．．．．．．．．．．．１分 ?．9?且有P?1AP???0

2６、，所以對角矩陣為????0證明：首先，?1,?2,?3 的個數與所給的基礎解系?1,?2,?3個數相同，都為３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A?1?A?1?0,A?2?A(?1??2)?0,A?3?A(?1??2??3)?0

所以，?1,?2,?3都是方程組Ax =0的解………………………………………2 最后，根據提設條件可以寫出矩陣等式

?1?(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)0???01101??1………………………………………2分 ?1??1110111把它記為B?AP.因為標出矩陣的行列式P?00=1?0…….1分

P是可逆矩陣………………………………………………………..1分 所以，r(B)?r(A)?3，這說明?1,?2,?3線性無關………………………

2分

所以，?1,?2,?3必是Ax =0的基礎解系……………………………………….1分

***10?402100021??3分 21、解：D=002=

00012100210002***02?15??15??4分

??3分 =0001=00022、解：(1)?A?1?E??1???00?100100011?1122?10?111?1?1102011?1?211000100??1??0?0???1???00?100010?112?2?1?1?21?11?12?1211?100100??0??1分 ?1???1? ?0???0?1? ?0???00??1??0?0???1???0?1??1??2分 ?1???1??2???1?1?A?2???1????1A?1?1???1??2分 ?1??B?X?A?1(2）AX?B?方程兩邊同時左乘?2??X?2????1?1?21?1,得 A?1AX?AB??2分

?1??3???11??1????00111??5??0?4??4?????2?2?32?1?2???2??3分 ?3??

23、解： E?B?A?TBX?E?B(E?BT?A)?TX?E??B?A?X?E??3分

T??2???X??0????0???1?2???0??0??0200??0?1??T???????1?2??0???00200??0?1???1?1?2???0??0??0120?0??0???3分 ?1???0120X?1?0??0??1????1?2??0???00200??0??4分 ?1???1210??1210?????

24、解：令A???1450???0660???3分

?0111??0111??????121?

??011?000?0??1???3分 ?1??所以向量組的秩為3。因為未知數的個數大于向量組的秩，所以向量組線性相關。……4分 ?200???

25、解：f的矩陣為A??03a?

……2分

?0a3???2??03??a0a3???(2??)3??aa3??先求A的特征值，A??E?00

?(2??)(??6??9?a)?0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通過正交變換可化為標準形f＝y1＋2y2＋5y3，得 矩陣A的特征值為1，2，5。

……2分

將λ1=1代入（1）式，得

(2?1)(1?6*1?9?a)?0?a??2.??4分

四、證明題

26、證：由已知可知

AAT?E

BBT?E

……2分

AT2222A?B?AA?AB?E?AB?BB?AB TTTTT

?BT?AT?B?BT?ATB?A?BB

……4分 再由A??B，又正交陣的行列式為?1

……1分 不妨設A?1，則B??1

則 A?B??A?B，故A?B?0

……3分

第五篇：線性代數試題及答案

線性代數習題和答案

第一部分

選擇題

(共28分)

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設矩陣A=?020?，則A-1等于（）

???003??1??

3A.?0??0??0120?0??0?

?1???

B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

?1?00??3?

C.?010??

1???00?2??

?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.B?C時A=0 D.|A|?0時B=C 4.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（）

A.A =0

C.A?0時B=C

A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.設兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關，則（）

A.有不全為0的數λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全為

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的數μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設矩陣A的秩為r，則A中（）

A.所有r-1階子式都不為0

C.至少有一個r階子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一個解

C.η1-η2是Ax=0的一個解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解 B.秩(A)=n-1

D.方程組Ax=0只有零解

12128.設Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的9.設n階方陣A不可逆，則必有（）

10.設A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量

B.如存在數λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值

C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設λ0是矩陣3是

A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬

0的線性無關的特征向量的個3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關

A的特征方程的3重根，A的屬于λ

B.k<3

D.k>3 數為k，則必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）

A.|A|2必為1

C.A-1=AT

B.|A|必為1

D.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）

A.A與B相似

B.A與B不等價

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

A.??23???34??34???26?

B.? ?100???

C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

第二部分

非選擇題（共72分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15.111356?

.92536?1?11???11?1?16.設A=?，B=??123??.則

??1?24?A+2B=

.17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=

.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為

.20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(

.3 / 7

21.設向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內積（α+β，α-β）=

.22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為

.23.設矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為

.24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數為3，則其規范形為

.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120???25.設A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT；

??240?26.試計算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數。

?1?2?1??24229.設矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ基礎解系.試證明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其導出組Ax=0的一個

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2線性無關。

?337?????1?37?

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T

?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

/ 7

=511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數為（2，1，1）.解二

考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數為（2，1，1）.29.解

對矩陣A施行初等行變換

?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

/ 7

2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的屬于特征值λ=1的2個線性無關的特征向量為

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經正交標準化，得η

1?，η

2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個特征向量為

??1/3?ξ=?1?3??，經單位化得η?2?

3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對角矩陣

D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.）

?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿秩。?0?001??經此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形

y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證

由假設Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設，ξ1，ξ2線性無關，所以l1=0，l2=0，從而

l0=0.所以η0，η1，η2線性無關。

/ 7，