第一篇：線性代數(shù)試題1（推薦）

線性代數(shù)試題

課程代碼：02198

說明：|A|表示方陣A的行列式

一、單項選擇題(在每小題的四個備選答案中，選出一個正確答案，并將正確答案的序號填在題干的括號內(nèi)。每小題2分，共24分)1.若A是（），則A必為方陣.A.分塊矩陣

B.可逆矩陣 C.轉(zhuǎn)置矩陣

D.線性方程組的系數(shù)矩陣

*-12.設(shè)n階方陣A，且｜A｜≠0，則(A)=（）.A.1|A|A

B.D.1|A|A* A C.｜A-1｜A-1

1|A|*3.設(shè)向量組M為四維向量空間R4的一個基，則（）必成立.A.M由四個向量組成 B.M由四維向量組成

C.M由四個線性無關(guān)的四維向量組成 D.M由四個線性相關(guān)的四維向量組成

4.已知β1=3α1-α２，β2=α1+5α2，β3=-α1+4α2，α1，α2為非零向量，則向量組β1，β2，β3的秩（）.A.>3

B.<3 C.=3

D.=0 5.設(shè)向量α1=(3,0,-2)T，α2=(2,-1,-5)T，β=(1,-2,k)T，則k=（）時，β才能由α1,α2線性表示.A.–2

B.–4 C.–6

D.-8 6.設(shè)n階方陣A，秩(A)=r

C.任意r個行向量都構(gòu)成最大無關(guān)組

D.任意一個行向量都可由其他r個行向量線性表示

7.設(shè)非齊次線性方程組Ax=b有唯一解，A為m×n矩陣，則必有（）.A.m=n

B.秩(A)=m C.秩(A)=n

D.秩(A)

浙02198# 線性代數(shù)試題 9.A為實對稱矩陣，Ax1=λ1x1，Ax2=λ2x2，且λ1≠λ2，則(x1，x2)=（）.A.1

B.–1 C.0

D.2 10.若（），則A∽B.A.｜A｜=｜B｜

B.秩(A)=秩(B)C.A與B有相同的特征多項式

D.n階矩陣A與B有相同的特征值，且n個特征值各不相同 11.正定二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩陣為A，則（）必成立.A.A的所有順序主子式為非負數(shù)

B.A的所有特征值為非負數(shù) C.A的所有順序主子式大于零

D.A的所有特征值互不相同 12.設(shè)A，B為n階矩陣，若（），則A與B合同.A.存在n階可逆矩陣P、Q，且PAQ=B B.存在n階可逆矩陣P，且P-1AP=B C.存在n階正交矩陣Q，且Q-1AQ=B D.存在n階方陣C、T，且CAT=B

二、填空題(每空2分，共24分)00010100001001.行列式001=______.?1???2.設(shè)A=?2??3???，則AAT=______.3.向量組α1=(1,1,1,1),α2=(0,1,1,1),α3=(0,0,1,1)的一個最大無關(guān)組是______.4.非零n維向量α1,α2線性無關(guān)的充要條件是______.5.三維向量空間R3的一個基為(1，2，3)，(-4，5，6)，(7，-8，9)，R3中向量α在該基下的坐標為(-2，0，1)，則α=______.6.線性方程組Ax=0解向量的一個最大無關(guān)組為x1，x2，…，xt，則Ax=0的解向量x=_____.7.設(shè)m×n矩陣A，且秩(A)=r，D為A的一個r+1階子式，則D=______.8.已知P-1AP=B，且｜B｜≠0，則?0?9.矩陣A=?0?1?0101??0?0??|A||B|=______.的所有特征值為________.10.二次型f(x1,x2,x3)的矩陣A有三個特征值1，-1，2，該二次型的標準形為______.浙02198# 線性代數(shù)試題 11.二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+x32，該二次型的負慣性指數(shù)等于______.??1?12.與矩陣A=?0?1?0001??0?對應(yīng)的二次型是______.0??

三、計算題(每小題7分，共42分)1.已知???2??10??3??X=?01???a11??，求矩陣?1??a2a21?a2a2a31?a3a3a3X.1?a4a4a4a42.計算行列式a1a11?a1

3.t取何值時，向量組α1=(1,2,3),α2=(2,2,2)，α3=(3,0,t)線性相關(guān)，寫出一個線性相關(guān)的關(guān)系式.?x1?4x2?x3?2x4?0?4.方程組?2x1?x2?3x3?x4?0是否有非零解?若有，求其結(jié)構(gòu)解.?3x?6x?7x?023?15.已知二階方陣A的特征值為4，-2，其對應(yīng)的特征向量分別為(1，1)T，(1，-5)T，求矩陣A.6.求一個正交變換，把f(x1,x2)=2x12+2x1x2+2x22化成標準形，并判斷f(x1,x2)是否正定.四、證明題(每小題5分，共10分)1.若對稱矩陣A為非奇異矩陣，則A-1也是對稱矩陣.2.設(shè)n階矩陣A，且A2=E，試證A的特征值只能是1或-1.浙02198# 線性代數(shù)試題

第二篇：05-06-2線性代數(shù)試題A答案1

二、求矩陣?5??2?0??0?210000850??0?3??2??的逆陣（10分）

解

設(shè)5A???2?2?? ?8B??1???53?------------2分

2???1則

?1? 83??2?3?----------6分 52???1?2?B?1???52????58?A?1???21???25?????????于是

?5?2?0?0?210000850??1?200??10???A???A?1????2500?????3??B?1??B????002?3?2?00?58????1-------10分

三、T設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3? 已知?1? ?2? ?3

T是它的三個解向量? 且 ?1?(2? 3? 4? 5)? ?2??3?(1? 2? 3? 4)?求該方程組的通解?（12分）

解：由于方程組中未知數(shù)的個數(shù)是4? 系數(shù)矩陣的秩為3? 所以對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有一個向量?

且由于?1? ?2? ?3均為方程組的解? 由非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)得

2?1?(?2??3)?(?1??2)?(?1??3)?(3? 4? 5? 6)T

為其基礎(chǔ)解系向量------10分

故此方程組的通解為：

x?k(3? 4? 5? 6)T?(2? 3? 4? 5)T?(k?R)?---------------------12分

四、TT已知R的兩個基為

TTTT3a1?(1? 1? 1)? a2?(1? 0? ?1)? a3?(1? 0? 1)； b1?(1? 2? 1)? b2?(2? 3? 4)? b3?(3? 4? 3)? 求由基a1? a2? a3到基b1? b2? b3的過渡矩陣P?（12分）解：設(shè)e1? e2? e3是三維單位坐標向量組? 則

?1?111?-------?111?------4分(a1, a2, a3)?(e1, e2, e3)?100?(e1, e2, e3)?(a1, a2, a3)?100??1?11??1?11?????于是

?111??123?---------------------------10分 ?123?-----------??????(b1, b2, b3)?(e1, e2, e3)234?(a1, a2, a3)?100??234??143??1?11??143????????1由基a1? a2? a3到基b1? b2? b3的過渡矩陣為

?111??123??234??-----------------------12分

P??100??234???0?10??1?11??143???10?1????????

1五、設(shè) ???x1?x2?x3?1問?為何值時? 此方程組（1）有唯一解（2）無解（3）有無窮多解?（15分）?x1??x2?x3??2??x1?x2??x3??解

?----------6分 ??111?11??2r????B?1?1?~ 0??11???(1??)??11??2?????00(1??)(2??)(1??)(??1)2?

(1)要使方程組有唯一解? 必須R(A)?3? 因此當??1且???2時方程組有唯一解.-----9分

(2)要使方程組無解? 必須R(A)?R(B)? 故

(1??)(2??)?0?(1??)(??1)2?0?

因此???2時? 方程組無解?--------------12分

(3)要使方程組有有無窮多個解? 必須R(A)?R(B)?3? 故

(1??)(2??)?0?(1??)(??1)2?0?

因此當??1時? 方程組有無窮多個解.-15分

六、（1）判定向量組(?1? 3? 1)?(2? 1? 0)?(1? 4? 1)是線性相關(guān)

還是線性無關(guān)；（2）試用施密特法把向量組TTT?111? 正交化（16分）。??(a1, a2, a3)??124??139???解：(1)以所給向量為列向量的矩陣記為A? 因為

??121?r??121?r??121?---------------------------6分

A??314?~?077?~?011??101??022??000???????

所以R(A)?2小于向量的個數(shù)? 從而所給向量組線性相關(guān)----------------------------8分（2）根據(jù)施密特正交化方法?

?1?--------

1?-----------------------------8分 ?1?-----------[b1,a3][b2,a3]1?[b1,a2]?b1?a1??1?????b?a?b?b??2b2?a2?b1?03312?1???[b,b][b,b]3?1?[b1,b1]1122???1???

七、已知3階矩陣A的特征值為?1,2,3? 求A3?5A2?7A?（10分）

解

令?(?)??3?5?2?7??-----2分 則?(-1)?-13? ?(2)?2? ?(3)?3是?(A)的特征值?--------6分 故 |A3?5A2?7A|?|?(A)|??(1)??(2)??(3)?-13?2?3?-78?------------------------------10分

求一個正交變換將二次型解

二次型的矩陣為f(x1,x2,x3)?2x1?3x2?3x3?4x2x3化成標準形（15分）

222由 ?200?--------------------2分 A??032??023??? 2??00A??E?03??2?(2??)(5??)(1??)023??得A的特征值為?1?2? ?2?5? ?3?1-------------------------5分

當?1?2時, 解方程(A?2E)x?0? 由

?

?000??012?A?2E??012?~?001??021??000?????得特征向量(1? 0? 0)T? 取p1?(1? 0? 0)T------------------7分

當?2?5時? 解方程(A?5E)x?0? 由

??300??100?A?5E??0?22?~?01?1??02?2??000?????得特征向量(0? 1? 1)T? 取

?

p2?(0, 1, 1)T--------9分

22?100??100?A?E??022?~?011??022??000??????

當?3?1時? 解方程(A?E)x?0? 由

得特征向量(0? ?1? 1)T? 取------11分 p3?(0, ?1, 1)T22

于是有正交矩陣T?(p1? p2? p3)和正交變換x?Ty? 使 f?2y12?5y22?y32-----------15分

第三篇：線性代數(shù)試題

線性代數(shù)試題(一)

一、填空（每題2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.設(shè)D為一個三階行列式，第三列元素分別為-2，3，1，其余子式分別為9，6，24，則D=。

3.關(guān)于線性方程組的克萊姆法則成立的條件是

，結(jié)論是。

4.n階矩陣A可逆的充要條件是，設(shè)A*為A的伴隨矩陣，則A-1=。

5.若n階矩陣滿足A2-2A-4I=0,則A-1=。

?1??1?????2??2??1234???3??3??1234??????4?????=，?4?6.=。7.設(shè)向量組?1,?2,?3線性相關(guān)，則向量組?1,?1,?2,?2,?3,?3一定線性。

A?1A*A8.設(shè)A三階矩陣，若=3，則= ,=。

9.n階可逆矩陣A的列向量組為?1,?2,??n，則r(?1,?2,??n)=。10.非齊次線性方程組Am?nX=b有解的充要條件是。

二、單項選擇題（10分，每題2分）

k?12k?1?0的充要條件是（）1．2。

（a）k?1（b）k?3（c）k??1,且k?3（d）k??1,或k?3 2.A,B,C為n階方陣，則下列各式正確的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,則A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,則A=B 3.設(shè)A為n階可逆矩陣，則下述說法不正確的是（）

A?1?0A?0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量組線性相關(guān) 4.設(shè)矩陣A=(aij)m?n，AX=0僅有零解的充要條件是（）(a)A的行向量組線性無關(guān)(b)A的行向量組線性相關(guān)(c)A的列向量組線性無關(guān)(d)A的列向量組線性相關(guān)

5.向量組 ?1,?2,??s的秩為r,則下述說法不正確的是（）(a)?1,?2,??s中至少有一個r個向量的部分組線性無關(guān)

(b)?1,?2,??s中任何r個向量的線性無關(guān)部分組與?1,?2,??s可互相線性表示

(c)?1,?2,??s中r個向量的部分組皆線性無關(guān)(d)?1,?2,??s中r+1個向量的部分組皆線性相關(guān)

三、判斷題（正確的劃√，錯誤的劃х，共10分，每題2分）1．5級排列41253是一個奇排列。（）

2．A為任意的m?n矩陣, 則ATA, AAT都是對稱矩陣。（）

3．?1,?2,??s線性無關(guān)，則其中的任意一個部分組都線性無關(guān)。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若兩個向量組可互相線性表示，則它們的秩相等。（）

四、計算n階行列式（12分）

xaaaxaaax???aaaaaa??????aaa?ax

?223????1?10???121??(13分)注：A不可逆，修改為 2．解矩陣方程AX=A+X,其中A=?23??2??1?10????122???

3．求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1)，?4?(3,5,2)的極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。（10分）4．用消元法解下列方程組。（15分）

??x1?x2?x3?x4?1??x1?x2?x3?x4?0?1x?x?2x?2x??1234?2 ?

五、證明題（從下列三題中任選兩道, 每題5分，共10分）

1．設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān)，證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無關(guān)。（5分）

2．已知向量組?,?,?線性無關(guān)，而向量組?,?,?,?線性相關(guān)，試證明：（1）向量?一定可由向量組?,?,?線性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同階對稱矩陣，證明：AB為對稱矩陣的充要條件是A與B可交換。（5分）

線性代數(shù)試題(一)答案

一．(1).n(n?1)(2).–12 2xj?DJD(3).線性方程組的系數(shù)行列式D?0；方程組有唯一解且

?1?2??31*1A?(A?2I)A?0A4(4).；(5).(6).30，?41(7).相關(guān)(8).3, 9(9).n(10).234?468??6912??81216?

r?Ab??r?A?

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n?1[x?(n?1)a]?(x?a)(1).?3?2?1X???4?0??(2).3??1??23?0??4?12???

(3).極大線性無關(guān)組為?1,?2

?3??1??2;?4??1??2(4)全部解為： 12

1?1?TT,0??c1?1,1,0,0??c2?0,0,1,1??,0,2?2?(c1 ,c2為任意常數(shù))五．略

線性代數(shù)試題及答案

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯癬多選或未選均無分。

1.設(shè)3階方陣A的行列式為2，則()

TA.-1 B.C.D.1

2.設(shè) 則方程 的根的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3

3.設(shè)A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若 則必有()A.B.C.D.4.設(shè)A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是()A.B.C.D.5.設(shè) 其中 則矩陣A的秩為()A.0 B.1 C.2 D.3

6.設(shè)6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為()A.0 B.2 C.3 D.4

7.設(shè)向量α=(1，-2，3)與β=(2，k，6)正交，則數(shù)k為()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知線性方程組 無解，則數(shù)a=()A.B.0 C.D.1

9.設(shè)3階方陣A的特征多項式為 則()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3階實對稱矩陣 是正定矩陣，則A的3個特征值可能為()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.設(shè)行列式 其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為__轉(zhuǎn)載自百分網(wǎng)http://www.tmdps.cn，請保留此標記________.12.設(shè) 則 __________.13.設(shè)A是4×3矩陣且 則 __________.14.向量組(1，2),(2，3)(3，4)的秩為__________.15.設(shè)線性無關(guān)的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關(guān)系為__________.16.設(shè)方程組 有非零解，且數(shù) 則 __________.17.設(shè)4元線性方程組 的三個解α1，α2，α3，已知 則方程組的通解是__________.18.設(shè)3階方陣A的秩為2，且 則A的全部特征值為__________.19.設(shè)矩陣 有一個特征值 對應(yīng)的特征向量為 則數(shù)a=__________.20.設(shè)實二次型 已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為__________.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

21.設(shè)矩陣 其中 均為3維列向量，且 求

22.解矩陣方程

23.設(shè)向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T問p為何值時，該向量組線性相關(guān)?并在此時求出它的秩和一個極大無關(guān)組.24.設(shè)3元線性方程組 ，(1)確定當λ取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解?

(2)當方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解(要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).25.已知2階方陣A的特征值為 及 方陣

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 為標準形，并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27.設(shè)A是3階反對稱矩陣，證明|A|=0.線性代數(shù)B期末試題

一、判斷題(正確填T，錯誤填F。每小題2分，共10分)1． A是n階方陣，??R，則有?A??A。（）

?1?1?1AB?0(AB)?BA。（）2． A，B是同階方陣，且，則3．如果A與B等價，則A的行向量組與B的行向量組等價。()4．若A,B均為n階方陣，則當A?B時，A,B一定不相似。()?1,?2,?3,?4?線性相關(guān)，則??1,?2,?3?也線性相關(guān)。（）5．n維向量組?

二、單項選擇題（每小題3分，共15分）

1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??（A）?2．設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān)，則下列向量組中線性無關(guān)的是（）。

（A）?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1（C）?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3

?12(A?2E)?（）A?A?5E?03．設(shè)A為n階方陣，且。則

11(A?E)(A?E)(A)A?E(B)E?A(C)3(D)3

4．設(shè)A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無窮多解；

（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎(chǔ)解系含有n?m個線性無關(guān)解向量；（C）若A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解；（D）若A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個線性無關(guān)的特征向量，則（）

（A）A與B相似（B）A?B，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空題（每小題4分，共20分）

012n?10。1．n*A?13A?A?2．A為3階矩陣，且滿足3,則=______。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關(guān)或3．向量組，，無關(guān)）的，它的一個極大線性無關(guān)組是。

4． 已知?1,?2,?3是四元方程組Ax?b的三個解，其中A的秩R(A)=3，?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????，??，則方程組Ax?b的通解為。

?2?31??A??1a1????503??，且秩(A)=2，則a=

。5．設(shè)

四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。

?121??A??342????122??，求矩陣B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.設(shè)??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)，而A???，求A。

3.已知方程組 有無窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個正交變換將二次型化成標準型

222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，AB?BA是否為對稱矩陣？證明你的結(jié)論。

T2．設(shè)A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷AA是否為正定陣？證明你的結(jié)論。

第四篇：2006~2007線性代數(shù)試題1答案

一、選擇題： [教師答題時間：2 分鐘]（每小題 3 分，共 12分）①A ②D

③A

④B

二、填空題： [教師答題時間：4分鐘]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 線性相關(guān)

③ 0

④-8

三、計算題 [教師答題時間： 6 分鐘]（共16分）

1、aDn?b?bba?b......??1bb?aba?bba?b?0n?1a?(n?1)b?a?(n?1)b?a?(n?1)b......??bb（4分）?a......??b0?ba?b......??bb?a解: ?[a?(n?1)b]1?11

＝[a?(n?1)b]0?0（2分）a?b＝[a?(n?1)b](a?b)（2分）

2、?1解：A???3?1???00?2240?112?1??1???2??02?2011?1012?1??(3分）5??14???(3分）??5?0? 4??5(2分）??2?

四、綜合題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共15分）

驏1??(a1,a2,a3,a4)=?1????-2桫驏1瓏瓏?瓏0瓏瓏瓏瓏0桫驏1??解：??0????0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16驏2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以極大無關(guān)組是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五題、綜合題 [教師答題時間： 8 分鐘]（共10分）

?1?解:?A,b???1?1????1???0?0?11??????(??3)11??11??112????0????0???(1??)?(4分）2??(??2??1)???2∴當?＝－3時，線性方程組無解（2分）

當??0且???3時，線性方程組有唯一解（2分）當?＝0時，線性方程組有無窮解（2分）六題、解答題 [教師答題時間： 5 分鐘]（共10分）

?1?A?3??5??1??0??0?010?253?2??5(2分）??3???1?0??0??210?2??1(2分）?0??0??1(2分）?0??

?0??0?????∴通解為x=c-1(2分），故基礎(chǔ)解系為c-1(2分）?????1??1?????七題、解答題 [教師答題時間：10 分鐘]（共12分）??3解：?E－ A?0121?2?4??10??1=(??1)(??4??5)(2分）所以A的特征值為?1?1,?2??3?i?2(2分）?4?當??1，E?A?0??1?120?2??1???4?0????00??0100???2?0???0???所以??1對應(yīng)的特征向量為C12(C1?0)(3分）???1?????1?i???i?2時，A-?E=0???1??1??0??1?i?0i?11i?3??1???4?0????0?2???1?i?10010??4???i?3?2i?3??2i?2?0??

??i?3???所以??i?2時對應(yīng)的特征向量為C2?2i?2(C2?0)(3分）????1??顯然A不能相似對角化(2分）八題、證明題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共13分）

?1?1)證明：（?1，?，?）＝（?，?，?）22312?3?0??1?設(shè)K=2??0?0231??0,顯然K?0,∴K可逆（2分）?3??0231??0（2分）?3??-1 ∴（?1，?，?）=（?，?，2?）K2313

故?1，?，?與?，?，2?等3價，而?，?，?2線性3無關(guān)2311∴?1，?，?線性無關(guān)（3分）232)證明：因為A為正交陣，故A??1,而A?0，∴A??1(2分）E＋A＝AA＋A?AA＋E?AA＋E??E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT

第五篇：線性代數(shù)較難試題

一、設(shè)A相似于對角陣，?0是A的特征值，X0是A對應(yīng)于?0的特征向量.證明：

(1)秩(A??0I)? 秩(A??0I)2；(2)不存在Y，使得(A??0I)Y?X0.證：(1)設(shè)A則A??0I故 ?=diag{?0,k,?0,?k?1，?n},?i??0,i?k?1，n.???0I,(A??0I)2(???0I)2.rank(A??0I)?rank(???0I)?rank(diag{0,k,0,?k?1??0，?n??0}

?n?k.同理，rank(A??0I)2?rank(???0I)2?rank(diag{0,k,0,(?k?1??0)2，(?n??0)2}

?n?k?rank(A??0I).（2）如存在Y，使得(A??0I)Y?X0，則

2(A??0I)，Y?(A??0I)0X??

由（1）知方程組(A??0I)2X??與(A??0I)X??同解。

從而(A??0I)Y??，即X0??，與X0為特征向量矛盾。

二、已知線性方程組An?nX?b 對任何b的取值都有解的充要條件是An?n為可逆陣。

證明：充分性:設(shè)A可逆，則對任意b，X?A?1b.必要性:

解法一: 當 b取遍所有基本向量組中的向量后, 原方程組都有解, 以這些解向量作為列向量構(gòu)做矩陣B, 顯然 AB=I, 其中 I 為單位陣, 故而

A可逆.解法二: 由題目假設(shè)知任何n維向量 b 都能由 A 的列向量組線性表出, 所以向量空間 Rn的維數(shù)不會超過A 的列向量組的秩, 由此得出: A的列向量組的秩為n, 即A可逆.三、設(shè)?,?為3元單位列向量，且?T??0，記A???T???T。證明：(1)齊次線性方程組AX?0有非零解；

?100?(2)A相似于矩陣?010?。????000??

四、設(shè)n階矩陣A滿足A2?A, r(A)?r(0?r?n)。(1)試確定A的特征值的取值范圍；(2)證明A一定可以相似對角化；(3)求行列式A?2I的值。

五、已知Rn中兩個非零向量：???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?，TT其中n?2, b1?0，矩陣A???T。(1)求A2；

(2)求A的特征值和特征向量；

(3)判斷A是否可以相似對角化：若可以，請寫出相似變換矩陣P和對角矩陣?；若不可以，請說明理由。