第一篇：08線性代數試題

08-09學年線性代數試題

一、填空題（每小題2分，共10分）

1、設?1,?2,?3均為3維列向量，記B?(?1,2?2?3?1,4?3??2??1), 若|A|?2,則|B|?

_______.?1?A?

2、設?1?1?a?10?1a?12??2?，且R(A)?2，則a?_______.2??

3、??_______時，向量組?1?(1,2,3)T，?2?(2,3,1)T，?3?(1,3,?)T線性相關.4、設齊次線性方程組Ax?o的一個基礎解系為?1?(1,?1,2)T，?2?(0,3,1)T，則R(A)?_______.??

5、已知三階方陣A的特征值為2，3，4，Aij為|A|中元素aij的代數余子式，則A11?A22?A33?_______.二、單項選擇題（每小題2分，共10分）

1、設n階方陣A經初等變換可化為B，則（）

（A）|A|?|B|；（B）R(A)?R(B)；（C）Ax?o與Bx?o同解；（D）若A可逆，則A?1?B?1.2、設A是3階可逆方陣，將A的第1行與第3行交換得B，再把B的第2行加到第3行得到C，則滿足PA?C的可逆陣P為（）

?0?（A）?1?1?1000??0??0?;（B）?0?11???0111??0??0?;（C）?1?00???1010??0??0?;（D）?1?01???1001??0?.1??????

3、已知n(n?3)維向量?1,?2,?3線性無關，則下列向量組線性無關的是（）（A）?1??2,?2??3,?3??1;（B）2?1?4?2,?2?2??3,?3??1;（C）??1??2,2?2,?1??2?3?3;（D）?1?2?2,2?2?3?3,3?3??1.4、設A為n階方陣，且Ax?o有無窮多解，則AATx?o（）（A）有無窮多解;（B）僅有零解;（C）有有限個解;（D）無解.5、設A為3階方陣，其特征值為1，-1，2，則下列矩陣中可逆的是（）

（A）E?A;（B）2E?A;（C）E?A;（D）2E?A.????

三、計算題（每小題6分，共18分）

***

211、計算行列式D4?.?4?

2、設A??1??1?2123??0?，且AB?A?2B,求矩陣B.3??

3、求下列向量組的秩與一個極大無關組

?1??0??2??1??????????1??2??0??1??1???, ?2???, ?3???, ?4???

2130?????????2??5???1??4?????????

四、（本大題共2小題，第一小題4分，第二小題10分，共14分）

1、設n階方陣A的行列式等于0，元素a21的代數余子式A21?0,求齊次線性方程組Ax?o的通解.?x1?x2?2x3?3x4?0??x1?4x3?x4??

12、對于線性方程組 ?

?3x1?2x2?ax3?7x4??1?x1?x2?6x3?x4?b???問當a,b取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解，并求有無窮多解時的通解.五、（本題滿分8分）

?1?設矩陣A???1?1?24a?3???3?有一個2重特征值，求a的值，并討論A是否可以相似對角化.5??

六、（本題滿分10分）

已知二次型f(x1,x2,x3)?8x12?7x22?8x32?8x1x2?2x1x3?8x2x3通過正交變換x?Py化為標準形f?9y1?9y2?ay3222??，試求常數a及所用的正交變換矩陣P.七、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

1、設n維列向量?1,?2,…,?m中的前m?1個列向量線性無關，后m?1個列向量線性相關，證明：?m可以由?1,?2,…,?m?1線性表示.2、設n階方陣A,B滿足AB?BA，且A有n個互不相同的特征值.證明：A的特征向量都是B的特征向量.參考答案：

一、1.16 ；2.0或-1；3.8；4.1；5.26

二、1.(B);2.(B);3.(C);4.(A);5.(D)?3?B??2??2??8?912?6???6?；3.?1,?2,?49?????o

三、1.D4?14； 2.為向量的一個極大無關組.四、1.x?k(A21,A22,?,A2n)T,k?R為Ax?1??1（1）B??3??1?102?1?2?4a?6317?1?的通解；

1100?22a?803200??1?0??b?2??0

2.0??1???1??0??0?1????0b???

①當a??8,b??2，方程組無解；②當a??8,b??2，方程組有無窮多解；

③當a??8,b??2，方程組無解；④當a??8,b??2，方程組有無窮多解.故當a?R,b?2，方程組無解，當a?R,b?2方程組有無窮多解，無論a,b取何值方程組都不會有唯一解.?1??0（2）當a??8,b??2時B??0??0??1??0當a??8,b??2時B??0??0?11001100?22a?80?22a?80320032000??1??1??0??00?????00??0??1??1??0??00????00???2??010001000010?420012001200?1???1????1???1?，x????0?0??????0??0??1???1?，x0??0??0??1?????2?.k?0????1?????1??4???1????????1???2???2? ???k?k1?2?0?1?0????????0??0??1???????03??1?233???21?103???21?

1五、【解】|?E?A|?1?1??4?a??4?a??3?a?1

??5??5??5?(??2)??3?a?13??5?(??2)(??8??18?3a)2

2∵A有一個2重特征值，∴若??2為A的2重特征值，則??8??18?3a?(??2)(??6)23，a??2；

若??2不是A的2重特征值，則?24?22?8??18?3a?(??4)2，a??.當a??2時，?1?A???1?1??3?????3?，解方程組(2E?A)x?o5?? ?1?2E?A??1??1??2?223??1??3???0?0?3????2003??2????0?，?1??1??0?0??????3???，?2??0??1???為屬于??2的兩個線性無關的特征向量，設?3為屬于?23?6的特征向量，?1,?2,?3線性無關，矩陣A可相似對角化.當a??時，?1?A???1?1?24?2/3?3?????3?，解方程(4E?A)x?o5??

?3?4E?A??1??1??202/33??1??3???0?0?1???0?22/33??1???6???0?02???0103??3?0????3???，?1???3??1???為屬于??4的特征向量，所以矩陣A只存在兩個線性無關的特征向量，A不能相似對角化.?8?A??4??1?4?74?1??4?8??

六、【解】二次型對應的矩陣為，?1??2?，?3?a為矩陣A的特征值，∵?1??2??3?tr(A)，∴a??9.??當?1??2?9時，解方程組(9E?A)x?o

?1?9E?A???4?1??416?41??1???4???0?01????4001??0?0???4???，?1??1??0?????1???，?2??0?為屬于?1??2?9?1????4???1????1??1???4?17?0??17?????的線性無關的特征向量，將其正交化，令?4????p1??1??1??0???，??1?????4?(?2,p1)?p2??2???p1??0??(p1,p1)17?1???，將其單位化，e1?1?p1?p1??4?1???1?17???0?，e2?1?p2?p2???1??1??4?334???17?

?3??9時，解方程組(?9E?A)x?o

??17??9E?A???4?1??4?2?41??1???4???0?0?17???010?1??1????4?，?3???4??1?0??????為屬于?3??9的特征向量.單位化 ?1??11?e????4令3??，3?332???1????則P?(e1,e2,e3)???????4171170?***17??32?4?為所求的正交變換矩陣.??32?1??32?

1七、1.【證明】 ∵ ?1,?2,…,?m?1線性無關，∴?2,?3,…,?m?1線性無關.∵ ?2,?3,…,?m線性相關，∴?m可由向量組?2,?3,…,?m?1線性表示.從而?m可以由?1,?2,…,?m?1線性表示.2.【證明】設?1,?2,?,?n為矩陣A的兩兩互異特征值，p1,p2,?,pn分別為它們對應的特征向量，則有

?????????Api??ipi，i?1,2,?,n，則B(Api)?B(?ipi)??iBpi，∵AB?BA，∴A(Bpi)??i(Bpi)，如果Bpi?o，則由??????于有Bpi?0pi，pi為矩陣B的屬于特征值0的特征向量，如果Bpi?o，則Bpi為矩陣A的屬于?i的特征向

???量，由于?1,?2,?,?n兩兩不等，所以存在數k使Bpi?kpi，pi為矩陣B的屬于特征值k的特征向量.由i的任

???意性知，矩陣A的任意特征向量都是矩陣B的特征向量.

第二篇：試題8(天津大學線性代數試題)（本站推薦）

試題8(天津大學線性代數試題)

一、單項選擇題（本題12分，每小題3分）

2221．二次型f(x1,x2,x3)?2x1?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的標準形為 2222222222（A）10y3；（B）y1；（C）?y1；（D）y1.?y2?10y3?y2?10y3?y2?10y32．若?1,?2,?,?m(m?2)線性相關，那么向量組內（）可由向量組的其余向量線性表示.（A）任何一個向量;（B）沒有一個向量;（C）至少有一個向量;（D）至多有一個向量.3．設A為正交矩陣，?j是A的第j列，則?j與?j的內積為（A）0;（B）1

;（C）2

;（D）3.4．設A???12?*A，則等于 ??34??1?2??1?3??42??4?2?;（B）;（C）;（D）????.???31?31?34?24????????（A）?

二、填空題（本題12分，每小題4分）

1．設向量??(1,a,b)與向量?1?(2,2,2),?2?(3,1,3)都正交，則a?_____，b?____.'?122．設A,B為3階方陣，且A??1,B?2，則2(AB)?____.?12?1???3．設矩陣A??2?31?，則齊次線性方程組AX?0的解空間的維數是____.?41?1????422???'?

1三、（本題15分）設A??242?，求一正交矩陣C，使得CAC?CAC為對角形.?224???

四、（本題8分）已知三階方陣A的特征值為3，2，1，它們對應的特征向量為

?2??2??0???????X1??2?,X2??2?,X3??2?，求A.?0??2??2???????

五、（本題15分）問a,b為何值時，下列方程組有解，并求出方程組的通解.?x1?x2?x3?x4?x5?1,?3x?2x?x?x?3x?0,?12345 ?x2?2x3?2x4?6x5?3,???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b.六、（本題10分）設向量組

?1?(1,?2,?1,?2,2),?2?(4,1,2,1,3),1?3?(2,5,4,?1,0),?4?(1,1,1,1,).3（1）證明向量組?1,?2,?3,?4線性相關；

（2）求向量組?1,?2,?3,?4的一個極大線性無關組；（3）將其余向量表示成此極大線性無關組的線性組合.七、（本題12分）

設E11???10??01??00??00?,E?,E?,E??12??21??22??和 ?00??00??10??01??11??11??11??10?B1???,B2???,B3??,B??4??

11100000????????是R2?2的兩組基，定義?(A)?A?2?2?10?2?2.,A?R??02?（1）試證：?是R上的線性變換.（2）求由基E11,E12,E21,E22到基B1,B2,B3,B4的過渡矩陣.（3）求?在基B1,B2,B3,B4下的矩陣.八、（本題8分）設B是n階可逆矩陣，A是n階方陣，且滿足A?AB?B?0，試證明A與A?B均為可逆矩陣.九、（本題8分）設三階實對稱矩陣A的特征值為?1??2?（1）證明：2E?A是可逆矩陣；

（2）設B?(A)?4A?4E，試證B是正定矩陣.*2**221,?3??4.2

第三篇：線性代數試題

線性代數試題(一)

一、填空（每題2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.設D為一個三階行列式，第三列元素分別為-2，3，1，其余子式分別為9，6，24，則D=。

3.關于線性方程組的克萊姆法則成立的條件是

，結論是。

4.n階矩陣A可逆的充要條件是，設A*為A的伴隨矩陣，則A-1=。

5.若n階矩陣滿足A2-2A-4I=0,則A-1=。

?1??1?????2??2??1234???3??3??1234??????4?????=，?4?6.=。7.設向量組?1,?2,?3線性相關，則向量組?1,?1,?2,?2,?3,?3一定線性。

A?1A*A8.設A三階矩陣，若=3，則= ,=。

9.n階可逆矩陣A的列向量組為?1,?2,??n，則r(?1,?2,??n)=。10.非齊次線性方程組Am?nX=b有解的充要條件是。

二、單項選擇題（10分，每題2分）

k?12k?1?0的充要條件是（）1．2。

（a）k?1（b）k?3（c）k??1,且k?3（d）k??1,或k?3 2.A,B,C為n階方陣，則下列各式正確的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,則A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,則A=B 3.設A為n階可逆矩陣，則下述說法不正確的是（）

A?1?0A?0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量組線性相關 4.設矩陣A=(aij)m?n，AX=0僅有零解的充要條件是（）(a)A的行向量組線性無關(b)A的行向量組線性相關(c)A的列向量組線性無關(d)A的列向量組線性相關

5.向量組 ?1,?2,??s的秩為r,則下述說法不正確的是（）(a)?1,?2,??s中至少有一個r個向量的部分組線性無關

(b)?1,?2,??s中任何r個向量的線性無關部分組與?1,?2,??s可互相線性表示

(c)?1,?2,??s中r個向量的部分組皆線性無關(d)?1,?2,??s中r+1個向量的部分組皆線性相關

三、判斷題（正確的劃√，錯誤的劃х，共10分，每題2分）1．5級排列41253是一個奇排列。（）

2．A為任意的m?n矩陣, 則ATA, AAT都是對稱矩陣。（）

3．?1,?2,??s線性無關，則其中的任意一個部分組都線性無關。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若兩個向量組可互相線性表示，則它們的秩相等。（）

四、計算n階行列式（12分）

xaaaxaaax???aaaaaa??????aaa?ax

?223????1?10???121??(13分)注：A不可逆，修改為 2．解矩陣方程AX=A+X,其中A=?23??2??1?10????122???

3．求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1)，?4?(3,5,2)的極大線性無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示。（10分）4．用消元法解下列方程組。（15分）

??x1?x2?x3?x4?1??x1?x2?x3?x4?0?1x?x?2x?2x??1234?2 ?

五、證明題（從下列三題中任選兩道, 每題5分，共10分）

1．設向量組?1,?2,?3線性無關，證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無關。（5分）

2．已知向量組?,?,?線性無關，而向量組?,?,?,?線性相關，試證明：（1）向量?一定可由向量組?,?,?線性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同階對稱矩陣，證明：AB為對稱矩陣的充要條件是A與B可交換。（5分）

線性代數試題(一)答案

一．(1).n(n?1)(2).–12 2xj?DJD(3).線性方程組的系數行列式D?0；方程組有唯一解且

?1?2??31*1A?(A?2I)A?0A4(4).；(5).(6).30，?41(7).相關(8).3, 9(9).n(10).234?468??6912??81216?

r?Ab??r?A?

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n?1[x?(n?1)a]?(x?a)(1).?3?2?1X???4?0??(2).3??1??23?0??4?12???

(3).極大線性無關組為?1,?2

?3??1??2;?4??1??2(4)全部解為： 12

1?1?TT,0??c1?1,1,0,0??c2?0,0,1,1??,0,2?2?(c1 ,c2為任意常數)五．略

線性代數試題及答案

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯癬多選或未選均無分。

1.設3階方陣A的行列式為2，則()

TA.-1 B.C.D.1

2.設 則方程 的根的個數為()A.0 B.1 C.2 D.3

3.設A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若 則必有()A.B.C.D.4.設A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是()A.B.C.D.5.設 其中 則矩陣A的秩為()A.0 B.1 C.2 D.3

6.設6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為()A.0 B.2 C.3 D.4

7.設向量α=(1，-2，3)與β=(2，k，6)正交，則數k為()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知線性方程組 無解，則數a=()A.B.0 C.D.1

9.設3階方陣A的特征多項式為 則()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3階實對稱矩陣 是正定矩陣，則A的3個特征值可能為()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.設行列式 其第3行各元素的代數余子式之和為__轉載自百分網http://www.tmdps.cn，請保留此標記________.12.設 則 __________.13.設A是4×3矩陣且 則 __________.14.向量組(1，2),(2，3)(3，4)的秩為__________.15.設線性無關的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關系為__________.16.設方程組 有非零解，且數 則 __________.17.設4元線性方程組 的三個解α1，α2，α3，已知 則方程組的通解是__________.18.設3階方陣A的秩為2，且 則A的全部特征值為__________.19.設矩陣 有一個特征值 對應的特征向量為 則數a=__________.20.設實二次型 已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規范形為__________.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

21.設矩陣 其中 均為3維列向量，且 求

22.解矩陣方程

23.設向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T問p為何值時，該向量組線性相關?并在此時求出它的秩和一個極大無關組.24.設3元線性方程組 ，(1)確定當λ取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解?

(2)當方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解(要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示).25.已知2階方陣A的特征值為 及 方陣

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 為標準形，并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27.設A是3階反對稱矩陣，證明|A|=0.線性代數B期末試題

一、判斷題(正確填T，錯誤填F。每小題2分，共10分)1． A是n階方陣，??R，則有?A??A。（）

?1?1?1AB?0(AB)?BA。（）2． A，B是同階方陣，且，則3．如果A與B等價，則A的行向量組與B的行向量組等價。()4．若A,B均為n階方陣，則當A?B時，A,B一定不相似。()?1,?2,?3,?4?線性相關，則??1,?2,?3?也線性相關。（）5．n維向量組?

二、單項選擇題（每小題3分，共15分）

1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??（A）?2．設向量組?1,?2,?3線性無關，則下列向量組中線性無關的是（）。

（A）?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1（C）?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3

?12(A?2E)?（）A?A?5E?03．設A為n階方陣，且。則

11(A?E)(A?E)(A)A?E(B)E?A(C)3(D)3

4．設A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無窮多解；

（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎解系含有n?m個線性無關解向量；（C）若A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解；（D）若A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個線性無關的特征向量，則（）

（A）A與B相似（B）A?B，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空題（每小題4分，共20分）

012n?10。1．n*A?13A?A?2．A為3階矩陣，且滿足3,則=______。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關或3．向量組，，無關）的，它的一個極大線性無關組是。

4． 已知?1,?2,?3是四元方程組Ax?b的三個解，其中A的秩R(A)=3，?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????，??，則方程組Ax?b的通解為。

?2?31??A??1a1????503??，且秩(A)=2，則a=

。5．設

四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。

?121??A??342????122??，求矩陣B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.設??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)，而A???，求A。

3.已知方程組 有無窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個正交變換將二次型化成標準型

222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，AB?BA是否為對稱矩陣？證明你的結論。

T2．設A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷AA是否為正定陣？證明你的結論。

第四篇：線性代數試題及答案

線性代數習題和答案

第一部分

選擇題

(共28分)

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設矩陣A=?020?，則A-1等于（）

???003??1??

3A.?0??0??0120?0??0?

?1???

B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

?1?00??3?

C.?010??

1???00?2??

?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.B?C時A=0 D.|A|?0時B=C 4.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（）

A.A =0

C.A?0時B=C

A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.設兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關，則（）

A.有不全為0的數λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全為

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的數μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設矩陣A的秩為r，則A中（）

A.所有r-1階子式都不為0

C.至少有一個r階子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一個解

C.η1-η2是Ax=0的一個解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解 B.秩(A)=n-1

D.方程組Ax=0只有零解

12128.設Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的9.設n階方陣A不可逆，則必有（）

10.設A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量

B.如存在數λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值

C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設λ0是矩陣3是

A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬

0的線性無關的特征向量的個3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關

A的特征方程的3重根，A的屬于λ

B.k<3

D.k>3 數為k，則必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）

A.|A|2必為1

C.A-1=AT

B.|A|必為1

D.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）

A.A與B相似

B.A與B不等價

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

A.??23???34??34???26?

B.? ?100???

C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

第二部分

非選擇題（共72分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15.111356?

.92536?1?11???11?1?16.設A=?，B=??123??.則

??1?24?A+2B=

.17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=

.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為

.20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(

.3 / 7

21.設向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內積（α+β，α-β）=

.22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為

.23.設矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為

.24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數為3，則其規范形為

.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120???25.設A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT；

??240?26.試計算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數。

?1?2?1??24229.設矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ基礎解系.試證明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其導出組Ax=0的一個

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2線性無關。

?337?????1?37?

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T

?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

/ 7

=511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數為（2，1，1）.解二

考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數為（2，1，1）.29.解

對矩陣A施行初等行變換

?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

/ 7

2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的屬于特征值λ=1的2個線性無關的特征向量為

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經正交標準化，得η

1?，η

2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個特征向量為

??1/3?ξ=?1?3??，經單位化得η?2?

3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對角矩陣

D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.）

?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿秩。?0?001??經此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形

y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證

由假設Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設，ξ1，ξ2線性無關，所以l1=0，l2=0，從而

l0=0.所以η0，η1，η2線性無關。

/ 7，

第五篇：線性代數試題(B)

(101)北京理工大學遠程教育學院2007-2008學年第一學期

《線性代數》期末試卷(A卷)

教學站 學號 姓名 成績

一．填空題（每小題4分，共20分）

?x1??2?1?1．已知A??，則XTAX?_______； ,X??????13??x2?2．設向量?1?(0,1,1),?2?(0,t,2)線性相關，則t? _____；

3．設A是秩為1的3階矩陣，則齊次線性方程組AX=0 的基礎解系含_____個解；

?111???4．已知矩陣?001?，則其秩為__________；

?001???5．已知2是矩陣A的一個特征值，則 |2E?A|? __________。

二．選擇題（每小題4分，共20分）

1．設A與B是兩個同階可逆矩陣，則（）；

A．(A?B)?1?A?1?B?1

B．|A||B|?|B||A|

C．|A?B|?|A|?|B| D．AB?BA

2．設A是1?2矩陣，B是2階方陣，C是2?1矩陣，則（）A．ABC是1階方陣

B．ABC是2?1階矩陣

C．ABC是2階方陣

D．ABC是1?2階矩陣

3．已知向量組?1,?2,?3滿足?3?k1?1?k2?2，則（）A．k1,k2不全為零

B．?1,?2線性無關 C．?3?0

D．?1,?2,?3線性相關

4．設?1,?2是非齊次線性方程組AX?b的兩個解，則下述說法不正確的是（）； A．?1??2是導出組AX?0的1解

B．(?1??2)是AX?0的解

21C．?1??2是AX?b的解

D．(?1??2)是AX?b的解

5．設A是一個方陣，則（）；

A．由| A | = 0可得 A = 0

B．由| A | = 0可得 0是A的一個特征值

C．由| A | = 1可得 A = E

D．由| A | = 1可得 1是A的一個特征值

三．計算題（每小題10分，共50分）

131．計算行列式

3233333333

342．求解下列線性方程組

? x1?5x2?2x3??3???3x1? x2?4x3?2

? 5x?3x?6x??1123?用導出組的基礎解系表示通解。

?011?????120?3．解矩陣方程 X?101??? ??110??02?1???

??110???4．已知矩陣A??1?10?，求A的特征值和特征向量。

?00?2???

5．求非退化線性替換，把實二次型

f(x1,x2,x3)??4x1x3?2x2x3

化為規范形。

四．其它（每小題5分，共10分）

1．設同階方陣A與B滿足AB?E，證明：|A||B|?1；

2．舉例說明：由|A||B|?1不能導出AB?E。