第一篇：線性代數試題文檔_B

線性代數題庫成卷樣例一

B卷

院系：_______________________________

專業：_________________________________ 班級：_______________________________

任課教師：_____________________________ 姓名：_______________________________

學號：_________________________________ 考試說明 1.此卷為示例試卷

2.本試卷包含5個大題，23個小題。全卷滿分100分，考試用時120分鐘。

一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題后橫線上。本大題共30分，共計10小題，每小題3.0分）

1.n 階 方 陣 A 能 與 對 角

矩 陣 相 似 的 充 分 必 要 條 件 是______

A.A 的 特 征 向 量 兩 兩 正 交.￡

B.A 的 n 個 特 征 值

互 不 相 等.C.A 是 實 對 稱

矩 陣.D.A 具 有n 個

線 性 無 關 的 特 征 向 量 2.設 F???3??13??,E(1,2)是 交 換 單 位 矩 陣 的 第 1,2 行(列)所 得 的 2 ??12?2階

初 等 方 陣, 則 E(1,2)F

等 于 ______

A.??132??.?32?1?

B.??213??.?132???3?12??.?123?

C.?

D.??246??.3?12??3.n 階 矩 陣 A 具 有 n 個 不 同 特 征 值 是 A 與 對 角 矩 陣 相 似 的______

A.即 非 充 分 也 非 必 分 條 件。

B.充 分 而 非 必 要 條 件

C.充 分 必 要 條 件，D.必 要 而 非 充 分 條 件，224.二 次 型 f?2x1?x2?4x1x2?4x2x3 的 秩 等 于______

A.3

B.1

C.0

D.2 5.與 向 量

則 ?1??2,2,2? , ?2??3,1,3?

都 正 交 的 一 個 向 量 ???1,?,??，u?______

A.2

B.1

C.0

D.-1 6.關 于 二 次 型

f(x,y,z?)確判斷是______

2x?1020y?2z?2x?y正z 定 性 的 正 x? z的 y

A.不 定 的 B.負 定 的 C.正 定 的.D.半 正 定 的

?x1?7.設A?x2???x3______ b1b2b3c1??y1?yc2?,B???2?c3???y3b1b2b3c1?c2??, 且 ?A??2,?B???7,則?A?B? 等 于c3??

A.?20

B.-5

C.5

D.-10 8.二 次 型 f?x1,x2,x3??x1?2x2?3x3?2x1x2?2x2x3 的 標 準 形 是______

222 2 2

2A.y?y2222

B.?y1

?y2?2y3222

C.y1 ?2?2y322

D.y1

?y29.設 三 階 方 陣 A 的 三 個 特 征 值 為?1??2?1,?3?2, 向 量

則 ?1?(1,2,2)?,?2?(2,1,?2)n 及 ?3??1??2?(3,3,0)?

都 是 A 的 特 征 向 量，下 述 結 論 正 確 的 是______

A.題 設 諸 條 件 互 不 相 容.B.?1,?2 是 屬 于 特 征 值?1?1 的 特 征 向 量, 而

?3 是 屬 于 特 征

值

?3?2的特 征 向 量

C.?1,?2,?

3都 是 屬 于 特 征 值

?1?1 的 特 征 向 量.￡

D.由

題 設

條 件 不 能 得 出 肯 定

判 斷.10.若 方 程 組Am?nX?B(m?n)對 于 任 意m 維 列 向 量B都 有 解，則______

A.R(A)?m.B.R(A)?m.C.R(A)?n.D.R(A)?n.二、填空題（將正確答案填在題中橫線上。本大題共10分，共計5小題，每小題2.0分）

22211.二 次 型 f(x1,x2,x3,x4)?x1 的 矩 陣 表 ?8x1x3?12x1x4?3x2?16x2x3?7x4達 式 為 f(x1,x2,x3,x4)=_____________________________________________.1212.設 二 階 方 陣 A 的 特 征 值 為

1、，且 A 與 B 相 似，則 B 的 特 征 值 為___________。

13.設 三 階 可 逆 矩 陣 A 的 特 征 值 是

1、_______________。

1?1、2，則A的 特 征 值 為3 3

22214.二 次 型 f?x1,x2??5x1?2x2?4x1x2 在 x12?x2?

1的 條 件 下 的 最 大 值

等 于_____。

15.設 A???,?1,?2?,B???,??1,??2? , 其 中?,?,?1,?

2均是三 維 列 向 量，? ,?是 兩 不 為 零 的 實 數，若 A?a,B?b,則A?B?___________________.三、概念題（解答下列各題。本大題共20分，共計4小題。）16.（5.0分）

A,B 均為 n 階 方 陣，且 A~B("~ 表 示 相 似), 求 證: A?~B?.17.（4.0分）

**

設A 是n 階 方 陣(n?2), 且A?2，A 為A 的 伴 隨 矩 陣,求?A.18.（5.0分）

設?1,?2,? 是 齊 次 線 性 方 程 組AX?0 的 基 礎 解 系，問?1??2,?2?2?3,?3?3?1 是 否 也 是 它 的 基 礎 解 系? 為 什 么??

19.（6.0分）

a11a22a21a1

2設 D?a33a41a44a43a32a31a24a42a13a14a34a2

3, 問a11a22a33a44,a32a12a44a34,a21a22a23a24, 是 不

是 D的展 開 式 中 的 乘 積 項 ? 如 果 是D 的 項，則 它 在D 中 的 符 號 是 什 么？

四、計算題（解答下列各題。本大題共30分，共計3小題。）20.（6.0分）

設 ?1??2,?1,3,1? , ?2??4,?2,5,4? , ?3??2,?1,4,?1? ，試 討 論 向 量 組?1,?2,?3 的 線 性 相 關 性。

21.（12.0分）

?1??

3設 矩 陣 A??0??5?1214112311???x1???1?3?,X???? , 求 齊 次 線 性 方 程 組 AX?0

?26?x???5??3?1?的 解

空 間 V 的 維 數。

22.（12.0分）

求向 量

??(1,2,1,1)在 基 ?1?(1,1,1,1),?2?(1,1,?1,?1),?3?(1,?1,1,?1)，?4?(1,?1,?1,1)下 的坐 標。

五、證明題（證明下列各題。本大題共10分，共計1小題。）23.（10.0分）

abbbbbabbb

證 明

bbabb?(a?b)4(a?4b)bbbabbbbba 5

第二篇：線性代數試題(B)

(101)北京理工大學遠程教育學院2007-2008學年第一學期

《線性代數》期末試卷(A卷)

教學站 學號 姓名 成績

一．填空題（每小題4分，共20分）

?x1??2?1?1．已知A??，則XTAX?_______； ,X??????13??x2?2．設向量?1?(0,1,1),?2?(0,t,2)線性相關，則t? _____；

3．設A是秩為1的3階矩陣，則齊次線性方程組AX=0 的基礎解系含_____個解；

?111???4．已知矩陣?001?，則其秩為__________；

?001???5．已知2是矩陣A的一個特征值，則 |2E?A|? __________。

二．選擇題（每小題4分，共20分）

1．設A與B是兩個同階可逆矩陣，則（）；

A．(A?B)?1?A?1?B?1

B．|A||B|?|B||A|

C．|A?B|?|A|?|B| D．AB?BA

2．設A是1?2矩陣，B是2階方陣，C是2?1矩陣，則（）A．ABC是1階方陣

B．ABC是2?1階矩陣

C．ABC是2階方陣

D．ABC是1?2階矩陣

3．已知向量組?1,?2,?3滿足?3?k1?1?k2?2，則（）A．k1,k2不全為零

B．?1,?2線性無關 C．?3?0

D．?1,?2,?3線性相關

4．設?1,?2是非齊次線性方程組AX?b的兩個解，則下述說法不正確的是（）； A．?1??2是導出組AX?0的1解

B．(?1??2)是AX?0的解

21C．?1??2是AX?b的解

D．(?1??2)是AX?b的解

5．設A是一個方陣，則（）；

A．由| A | = 0可得 A = 0

B．由| A | = 0可得 0是A的一個特征值

C．由| A | = 1可得 A = E

D．由| A | = 1可得 1是A的一個特征值

三．計算題（每小題10分，共50分）

131．計算行列式

3233333333

342．求解下列線性方程組

? x1?5x2?2x3??3???3x1? x2?4x3?2

? 5x?3x?6x??1123?用導出組的基礎解系表示通解。

?011?????120?3．解矩陣方程 X?101??? ??110??02?1???

??110???4．已知矩陣A??1?10?，求A的特征值和特征向量。

?00?2???

5．求非退化線性替換，把實二次型

f(x1,x2,x3)??4x1x3?2x2x3

化為規范形。

四．其它（每小題5分，共10分）

1．設同階方陣A與B滿足AB?E，證明：|A||B|?1；

2．舉例說明：由|A||B|?1不能導出AB?E。

第三篇：《線性代數B》教學大綱

《線性代數B》教學大綱

課程中文名稱：線性代數B

課程性質: 必修 課程英文名稱：Linear Algebra B

總學時：32學時

其中課堂教學32學時 先修課程：初等數學

面向對象：部分工科專業學生（包括部分文科專業）開課系(室)：數學科學系

一.課程性質、目的和要求

線性代數是理工科及財經管理類本科生必需掌握的一門基礎課。通過本課程的學習使學生掌握行列式的計算、矩陣理論、向量組基本概念，會用矩陣理論求解線性方程組、及用線性方程組解的結構理論討論矩陣的對角化，使學生掌握本課程的基本理論和方法，培養和提高邏輯思維和分析問題解決問題的能力，并為學習相關課程與進一步擴大知識面奠定必要的、必需的基礎。

二、課程內容及學時分配 1.行列式(5學時)教學要求:了解行列式的定義、掌握行列式的基本性質。會應用行列式性質和行列式按行（列）展開定理計算行列式。

重點：行列式性質

難點：行列式性質和行列式按行（列）展開定理的應用 2.矩陣（8學時）

教學要求:理解矩陣的概念、掌握單位矩陣、對角矩陣與對稱矩陣的性質。掌握矩陣的線性運算、乘法、方陣行列式、轉置的定義及其運算規律。理解逆矩陣的概念及其性質，熟練掌握逆矩陣的求法。熟練掌握矩陣的初等變換及其應用。理解矩陣秩的概念并掌握其求法。了解滿秩矩陣的定義及其性質。了解分塊矩陣及其運算。

重點：矩陣的線性運算、矩陣的乘法、逆矩陣的求法、矩陣的初等變換 難點：矩陣的秩，矩陣的分塊 3.向量組（6學時）

教學要求:理解n維向量的概念及其運算。理解向量組的線性相關、線性無關和線性表示等概念，了解并會用向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法。了解向量組的極大線性無關組和秩的概念，并會求向量組的秩。了解向量的內積、長度與正交等概念，會用施米特正交化方法把向量組正交規范化。了解規范正交基、正交矩陣的概念，以及它們的性質。

重點：n維向量的概念、線性相關、線性無關、極大線性無關組、向量組秩的概念 難點：線性無關的相關證明、向量組秩的概念、施米特正交化。4.線性方程組（7學時）教學要求:掌握克萊姆法則。理解非齊次（齊次）線性方程組有解（有非零解）的充分必要條件。理解非齊次（齊次）線性方程組解的結構與通解（基礎解系與通解）等概念。熟練掌握用初等變換法解線性方程組。

重點：初等變換法解線性方程組、解結構理論 難點：解結構理論及應用 5.相似矩陣（6學時）

教學要求:理解矩陣的特征值與特征向量的概念，會求矩陣的特征值和特征向量；理解相似矩陣的概念、性質與矩陣可相似對角化的條件。了解實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質，掌握用相似變換化實對稱矩陣為對角矩陣的方法。了解正交變換的概念及其性質。

重點：矩陣的特征值、特征向量，方陣的對角化。難點：方陣的對角化及相關應用。

三、說明

本大綱參照原國家教委頒發的高等學校線性代數課程教學要求編制，還參考2002年全國碩士研究生入學統一考試線性代數課程考試大綱。根據不同專業的特點和需要，內容和側重點可有所不同。教學方法以講課為主。課程考試以閉卷考試形式；考查課可選用其它方式。行列式、矩陣、特征值、特征向量都是非常重要的知識，在學時有限的情況下，對這些內容應該重點講解，務使學生理解和掌握。

四、推薦教材及參考書 教材：

《線性代數》（第一版）蘇德礦 裘哲勇主編 高等教育出版 參考書：

《線性代數簡明教程》（第二版）陳維新編著 科學出版社 《線性代數》（第四版）同濟大學數學教研室編 高等教育出版社 《線性代數》 清華大學編 高等教育出版社 《高等代數》 北京大學編 高等教育出版社

執筆：江仁宜

審稿：胡覺亮

審定：浙江理工大學理學院教學委員會

2008.10 2

第四篇：線性代數試題

線性代數試題(一)

一、填空（每題2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.設D為一個三階行列式，第三列元素分別為-2，3，1，其余子式分別為9，6，24，則D=。

3.關于線性方程組的克萊姆法則成立的條件是

，結論是。

4.n階矩陣A可逆的充要條件是，設A*為A的伴隨矩陣，則A-1=。

5.若n階矩陣滿足A2-2A-4I=0,則A-1=。

?1??1?????2??2??1234???3??3??1234??????4?????=，?4?6.=。7.設向量組?1,?2,?3線性相關，則向量組?1,?1,?2,?2,?3,?3一定線性。

A?1A*A8.設A三階矩陣，若=3，則= ,=。

9.n階可逆矩陣A的列向量組為?1,?2,??n，則r(?1,?2,??n)=。10.非齊次線性方程組Am?nX=b有解的充要條件是。

二、單項選擇題（10分，每題2分）

k?12k?1?0的充要條件是（）1．2。

（a）k?1（b）k?3（c）k??1,且k?3（d）k??1,或k?3 2.A,B,C為n階方陣，則下列各式正確的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,則A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,則A=B 3.設A為n階可逆矩陣，則下述說法不正確的是（）

A?1?0A?0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量組線性相關 4.設矩陣A=(aij)m?n，AX=0僅有零解的充要條件是（）(a)A的行向量組線性無關(b)A的行向量組線性相關(c)A的列向量組線性無關(d)A的列向量組線性相關

5.向量組 ?1,?2,??s的秩為r,則下述說法不正確的是（）(a)?1,?2,??s中至少有一個r個向量的部分組線性無關

(b)?1,?2,??s中任何r個向量的線性無關部分組與?1,?2,??s可互相線性表示

(c)?1,?2,??s中r個向量的部分組皆線性無關(d)?1,?2,??s中r+1個向量的部分組皆線性相關

三、判斷題（正確的劃√，錯誤的劃х，共10分，每題2分）1．5級排列41253是一個奇排列。（）

2．A為任意的m?n矩陣, 則ATA, AAT都是對稱矩陣。（）

3．?1,?2,??s線性無關，則其中的任意一個部分組都線性無關。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若兩個向量組可互相線性表示，則它們的秩相等。（）

四、計算n階行列式（12分）

xaaaxaaax???aaaaaa??????aaa?ax

?223????1?10???121??(13分)注：A不可逆，修改為 2．解矩陣方程AX=A+X,其中A=?23??2??1?10????122???

3．求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1)，?4?(3,5,2)的極大線性無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示。（10分）4．用消元法解下列方程組。（15分）

??x1?x2?x3?x4?1??x1?x2?x3?x4?0?1x?x?2x?2x??1234?2 ?

五、證明題（從下列三題中任選兩道, 每題5分，共10分）

1．設向量組?1,?2,?3線性無關，證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無關。（5分）

2．已知向量組?,?,?線性無關，而向量組?,?,?,?線性相關，試證明：（1）向量?一定可由向量組?,?,?線性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同階對稱矩陣，證明：AB為對稱矩陣的充要條件是A與B可交換。（5分）

線性代數試題(一)答案

一．(1).n(n?1)(2).–12 2xj?DJD(3).線性方程組的系數行列式D?0；方程組有唯一解且

?1?2??31*1A?(A?2I)A?0A4(4).；(5).(6).30，?41(7).相關(8).3, 9(9).n(10).234?468??6912??81216?

r?Ab??r?A?

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n?1[x?(n?1)a]?(x?a)(1).?3?2?1X???4?0??(2).3??1??23?0??4?12???

(3).極大線性無關組為?1,?2

?3??1??2;?4??1??2(4)全部解為： 12

1?1?TT,0??c1?1,1,0,0??c2?0,0,1,1??,0,2?2?(c1 ,c2為任意常數)五．略

線性代數試題及答案

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯癬多選或未選均無分。

1.設3階方陣A的行列式為2，則()

TA.-1 B.C.D.1

2.設 則方程 的根的個數為()A.0 B.1 C.2 D.3

3.設A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若 則必有()A.B.C.D.4.設A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是()A.B.C.D.5.設 其中 則矩陣A的秩為()A.0 B.1 C.2 D.3

6.設6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為()A.0 B.2 C.3 D.4

7.設向量α=(1，-2，3)與β=(2，k，6)正交，則數k為()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知線性方程組 無解，則數a=()A.B.0 C.D.1

9.設3階方陣A的特征多項式為 則()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3階實對稱矩陣 是正定矩陣，則A的3個特征值可能為()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.設行列式 其第3行各元素的代數余子式之和為__轉載自百分網http://www.tmdps.cn，請保留此標記________.12.設 則 __________.13.設A是4×3矩陣且 則 __________.14.向量組(1，2),(2，3)(3，4)的秩為__________.15.設線性無關的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關系為__________.16.設方程組 有非零解，且數 則 __________.17.設4元線性方程組 的三個解α1，α2，α3，已知 則方程組的通解是__________.18.設3階方陣A的秩為2，且 則A的全部特征值為__________.19.設矩陣 有一個特征值 對應的特征向量為 則數a=__________.20.設實二次型 已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規范形為__________.三、計算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

21.設矩陣 其中 均為3維列向量，且 求

22.解矩陣方程

23.設向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T問p為何值時，該向量組線性相關?并在此時求出它的秩和一個極大無關組.24.設3元線性方程組 ，(1)確定當λ取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解?

(2)當方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解(要求用其一個特解和導出組的基礎解系表示).25.已知2階方陣A的特征值為 及 方陣

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 為標準形，并寫出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27.設A是3階反對稱矩陣，證明|A|=0.線性代數B期末試題

一、判斷題(正確填T，錯誤填F。每小題2分，共10分)1． A是n階方陣，??R，則有?A??A。（）

?1?1?1AB?0(AB)?BA。（）2． A，B是同階方陣，且，則3．如果A與B等價，則A的行向量組與B的行向量組等價。()4．若A,B均為n階方陣，則當A?B時，A,B一定不相似。()?1,?2,?3,?4?線性相關，則??1,?2,?3?也線性相關。（）5．n維向量組?

二、單項選擇題（每小題3分，共15分）

1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??（A）?2．設向量組?1,?2,?3線性無關，則下列向量組中線性無關的是（）。

（A）?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1（C）?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3

?12(A?2E)?（）A?A?5E?03．設A為n階方陣，且。則

11(A?E)(A?E)(A)A?E(B)E?A(C)3(D)3

4．設A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無窮多解；

（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎解系含有n?m個線性無關解向量；（C）若A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解；（D）若A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個線性無關的特征向量，則（）

（A）A與B相似（B）A?B，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空題（每小題4分，共20分）

012n?10。1．n*A?13A?A?2．A為3階矩陣，且滿足3,則=______。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關或3．向量組，，無關）的，它的一個極大線性無關組是。

4． 已知?1,?2,?3是四元方程組Ax?b的三個解，其中A的秩R(A)=3，?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????，??，則方程組Ax?b的通解為。

?2?31??A??1a1????503??，且秩(A)=2，則a=

。5．設

四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。

?121??A??342????122??，求矩陣B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.設??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)，而A???，求A。

3.已知方程組 有無窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個正交變換將二次型化成標準型

222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對角化？為什么？；（3）求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，AB?BA是否為對稱矩陣？證明你的結論。

T2．設A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷AA是否為正定陣？證明你的結論。

第五篇：線性代數試題及答案

線性代數習題和答案

第一部分

選擇題

(共28分)

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設矩陣A=?020?，則A-1等于（）

???003??1??

3A.?0??0??0120?0??0?

?1???

B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

?1?00??3?

C.?010??

1???00?2??

?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.B?C時A=0 D.|A|?0時B=C 4.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（）

A.A =0

C.A?0時B=C

A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.設兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關，則（）

A.有不全為0的數λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全為

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的數μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設矩陣A的秩為r，則A中（）

A.所有r-1階子式都不為0

C.至少有一個r階子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一個解

C.η1-η2是Ax=0的一個解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解 B.秩(A)=n-1

D.方程組Ax=0只有零解

12128.設Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的9.設n階方陣A不可逆，則必有（）

10.設A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量

B.如存在數λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值

C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設λ0是矩陣3是

A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬

0的線性無關的特征向量的個3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關

A的特征方程的3重根，A的屬于λ

B.k<3

D.k>3 數為k，則必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）

A.|A|2必為1

C.A-1=AT

B.|A|必為1

D.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）

A.A與B相似

B.A與B不等價

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

A.??23???34??34???26?

B.? ?100???

C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

第二部分

非選擇題（共72分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15.111356?

.92536?1?11???11?1?16.設A=?，B=??123??.則

??1?24?A+2B=

.17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=

.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為

.20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(

.3 / 7

21.設向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內積（α+β，α-β）=

.22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為

.23.設矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為

.24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數為3，則其規范形為

.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120???25.設A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT；

??240?26.試計算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數。

?1?2?1??24229.設矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ基礎解系.試證明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其導出組Ax=0的一個

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2線性無關。

?337?????1?37?

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T

?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

/ 7

=511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數為（2，1，1）.解二

考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數為（2，1，1）.29.解

對矩陣A施行初等行變換

?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

/ 7

2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的屬于特征值λ=1的2個線性無關的特征向量為

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經正交標準化，得η

1?，η

2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個特征向量為

??1/3?ξ=?1?3??，經單位化得η?2?

3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對角矩陣

D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.）

?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿秩。?0?001??經此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形

y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證

由假設Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設，ξ1，ξ2線性無關，所以l1=0，l2=0，從而

l0=0.所以η0，η1，η2線性無關。

/ 7，