第一篇：線性代數試題及答案

線性代數（經管類）試題答案

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1.設A為三階方陣且A.-108 B.-12 則（D）

C.12 D.108 2.如果方程組A.-2 B.-1 C.1 D.2 有非零解,則 k=（B）

3.設A、B為同階方陣，下列等式中恒正確的是（D）

A.AB=BA B.C.D.4.設A為四階矩陣，且則（C）

A.2 B.4 C.8 D.12 5.設可由向量α1 =（1，0，0）α2 =（0，0，1）線性表示，則下列向量中只能是(B)A.（2，1，1）B.（-3，0，2）C.（1，1，0）D.（0,-1,0）

6.向量組α1，α2，…，αs 的秩不為s(s)的充分必要條件是（C）

A.α1，α2，…，αs 全是非零向量 B.α1，α2，…，αs 全是零向量

C.α1，α2，…，αs中至少有一個向量可由其它向量線性表出

D.α1，α2，…，αs 中至少有一個零向量

7.設A為m矩陣，方程AX=0僅有零解的充分必要條件是（C）

A.A的行向量組線性無關 B.A的行向量組線性相關 C.A的列向量組線性無關 D.A的列向量組線性相關

8.設A與B是兩個相似n階矩陣，則下列說法錯誤的是（D）

A.B.秩（A）=秩（B）

C.存在可逆陣P，使P-1AP=B D.E-A=E-B 9.與矩陣A=相似的是（A）

A.B.C.D.10.設有二次型則（C）

A.正定 B.負定 C.不定 D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

11.若則k=_______1/2____.12.設A=,B=則AB=___________.13.設A=, 則A-1=

14.設A為3矩陣,且方程組A x=0的基礎解系含有兩個解向量,則秩(A)= _____1______.15.已知A有一個特征值-2,則B=A+2E必有一個特征值___6_________.16.方程組的通解是_____ __ c 1 _+__ c 2 __.17.向量組α1 =(1,0,0)α2 =(1,1,0), α3 =(-5,2,0)的秩是_______2____.18.矩陣A=的全部特征向量是.19.設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則=__-16_________.20.矩陣A=所對應的二次型是.三、計算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21.計算四階行列式的值.=

22.設A=,求A.A =

23.設A=,B=,且A,B,X滿足(E-BA)求X,X

(E-BA)

X= =

X==

24.求向量組α1 =(1,-1,2,4)α2 =(0,3,1,2), α3 =(3,0,7,14), α4 =(2,1,5,6), α5 =(1,-1,2,0)的一個極大線性無關組.α1 α2 α4 為極大無關組。

25.求非齊次方程組的通解

通解

26.設A=,求P使為對角矩陣.=

P= =

四、證明題（本大題共1小題,6分）

27.設α1，α2，α3 是齊次方程組A x =0的基礎解系.證明α1，α1+α2，α1 +α2 +α3也是Ax =0的基礎解系．（答案~~略）

線性代數B期末試題

一、判斷題(正確填T，錯誤填F。每小題2分，共10分)1．A是n階方陣，??R，則有?A??AAB?0。（）

2．A，B是同階方陣，且3．如果4．若

?1?1?1(AB)?BA。（），則A與B等價，則A的行向量組與B的行向量組等價。

（）A,B均為n階方陣，則當A?B時，A,B一定不相似。

（）5．n維向量組??1,?2,?3,?4?線性相關，則??1,?2,?3?也線性相關。（）

二、單項選擇題（每小題3分，共15分）

1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??010??000??020????????100??(B)??010??(C)??001??(D)（A）?2．設向量組（A）（C）

?100??01?2?????001??

?1,?2,?3線性無關，則下列向量組中線性無關的是（）。

?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1 ?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3）

?12(A?2E)?（A?A?5E?03．設A為n階方陣，且。則(A)A?E(B)E?A(C)11(A?E)(A?E)33(D)

4．設A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無窮多解；

A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解； A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

B，但|A-B|=0（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎解系含有n?m個線性無關解向量；

（C）若（D）若5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個線性無關的特征向量，則（）

（A）A與B相似（B）A?（C）A=B（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空題（每小題4分，共20分）

012?nn?101．。

2．A為3階矩陣，且滿足A?3,則A?1=______，3A*?。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關或無關）的，它的一個極大線性無關組是。3．向量組，，?1??4?????2?4??1??2??3????3??4????4???4??R(A)??，Ax?b的三個解，其中A的秩??，則方程組Ax?b的通解為。=3，4． 已知?1,?2,?3是四元方程組

?2?31?A???1a1?5．設???503??，且秩(A)=2，則a=。

四、計算下列各題（每小題9分，共45分）。

??121?A??342?1．已知A+B=AB，且?22??1??，求矩陣B。2.設??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)，而A??T?，求An。

??x1?x2?ax3??1??x?1?x2?2x3??1??x?ax3.已知方程組?12?x3?a2有無窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個正交變換將二次型化成標準型

f(x,x22212,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對稱矩陣，B是反對稱矩陣，AB?BA是否為對稱矩陣？證明你的結論。

2．設A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷ATA是否為正定陣？證明你的結論。

2）A是否可相似對角化？為什么？；（7

3）

第二篇：線性代數試題及答案

線性代數習題和答案

第一部分

選擇題

(共28分)

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內。錯選或未選均無分。1.設行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設矩陣A=?020?，則A-1等于（）

???003??1??

3A.?0??0??0120?0??0?

?1???

B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

?1?00??3?

C.?010??

1???00?2??

?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.B?C時A=0 D.|A|?0時B=C 4.設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（）

A.A =0

C.A?0時B=C

A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.設兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關，則（）

A.有不全為0的數λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全為0的數λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全為

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的數μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設矩陣A的秩為r，則A中（）

A.所有r-1階子式都不為0

C.至少有一個r階子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一個解

C.η1-η2是Ax=0的一個解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解 B.秩(A)=n-1

D.方程組Ax=0只有零解

12128.設Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的9.設n階方陣A不可逆，則必有（）

10.設A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量

B.如存在數λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值

C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設λ0是矩陣3是

A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬

0的線性無關的特征向量的個3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關

A的特征方程的3重根，A的屬于λ

B.k<3

D.k>3 數為k，則必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.設A是正交矩陣，則下列結論錯誤的是（）

A.|A|2必為1

C.A-1=AT

B.|A|必為1

D.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）

A.A與B相似

B.A與B不等價

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

A.??23???34??34???26?

B.? ?100???

C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

第二部分

非選擇題（共72分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內。錯填或不填均無分。15.111356?

.92536?1?11???11?1?16.設A=?，B=??123??.則

??1?24?A+2B=

.17.設A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.設向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=

.19.設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為

.20.設A是m×n矩陣，A的秩為r(

.3 / 7

21.設向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內積（α+β，α-β）=

.22.設3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為

.23.設矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為

.24.設實二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數為3，則其規范形為

.三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120???25.設A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT；

??240?26.試計算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數。

?1?2?1??24229.設矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標準形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫出所用的滿秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ基礎解系.試證明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其導出組Ax=0的一個

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2線性無關。

?337?????1?37?

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

三、計算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T

?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

/ 7

=511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數為（2，1，1）.解二

考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數為（2，1，1）.29.解

對矩陣A施行初等行變換

?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

/ 7

2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的屬于特征值λ=1的2個線性無關的特征向量為

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經正交標準化，得η

1?，η

2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個特征向量為

??1/3?ξ=?1?3??，經單位化得η?2?

3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對角矩陣

D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.）

?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿秩。?0?001??經此變換即得f(x1，x2，x3)的標準形

y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證

由假設Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設，ξ1，ξ2線性無關，所以l1=0，l2=0，從而

l0=0.所以η0，η1，η2線性無關。

/ 7，

第三篇：線性代數試題及答案

04184線性代數（經管類）一、二、單選題

1、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做題結果：A 參考答案：D

2、B:d A:abcd C:6 D:0 做題結果：A 參考答案：D

3、B:15 A:18 C:12 D:24 做題結果：A 參考答案：B

4、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做題結果：A 參考答案：D

6、B:15 A:18 C:12 D:24 做題結果：A 參考答案：B 20、B:k A:k-1 C:1 D:k+1 做題結果：A 參考答案：B

21、行列式D如果按照第n列展開是

【

】

A.,C.,D.做題結果：A ,B.參考答案：A

22、關于n個方程的n元齊次線性方程組的克拉默法則，說法正確的是

【

】

B:如果行列式不等于0，則方程組A:如果行列式不等于0，則方程組必有

只有零解

無窮多解

C:如果行列式等于0，則方程組必有唯D:如果行列式等于0，則方程組必一解 有零解 做題結果：A

參考答案：B

23、已知三階行列D中的第二列元素依次為1、2、3，它們的余子式分別為-1、1、2，則D的值為。

【

】

B:-7 A:-3 C:3 D:7 做題結果：A 參考答案：A

24、B:1 A:0 C:-2 D:2 做題結果：A 參考答案：C

25、B:d A:abcd C:6 D:0 做題結果：A 參考答案：D

26、A:a≠2

B:a≠0

C:a≠2或a≠0 D:a≠2 且a≠0 做題結果：A 參考答案：D

27、A.,B.,C.,D.做題結果：B

參考答案：B

28、B:16|A| A:-2|A| C:2|A| D:|A| 做題結果：A 參考答案：B

29、下面結論正確的是

【

】

A:含有零元素的矩陣是零矩陣 做題結果：A

B:零矩陣都是方陣

C:所有元素都是零的矩陣是零矩陣 D:若A，B都是零矩陣，則A=B

參考答案：C 30、設A是n階方程，λ為實數，下列各式成立的是

【

】

C.做題結果：C ,D.參考答案：C

31、A.,B.,C.,D.做題結果：B

參考答案：

B

32、設A是4×5矩陣，r（A）=3，則▁▁▁▁▁。【

】

A:A中的4階子式都不為0

B:A中存在不為0的4階子式

C:A中的3階子式都不為0 D:A中存在不為0的3階子式 做題結果：A

參考答案：D

33、A:a=3，b=-1，c=1，d=3

B:a=-1，b=3，c=1，d=3 C:a=3，b=-1，c=0，d=3 D:a=-1，b=3，c=0，d=3 做題結果：A

參考答案：C

34、設A是m×n矩陣，B是s×t矩陣，且ABC有意義，則C是▁▁矩陣。

A:n×s B:m×t

C:t×m D:s×n

做題結果：A 參考答案：A

35、含有零向量的向量組▁▁▁

【

】

A:可能線性相關

B:必線性相關

C:可能線性無關 D:必線性無關 做題結果：A 參考答案：B

36、對于齊次線性方程組的系數矩陣化為階梯形時▁▁▁。

【

A:只能進行行變換

B:只能進行列變換

】

】

【

C:不能進行行變換 D:可以進行行和列變換 做題結果：B

參考答案：A

37、非齊次線性方程組中，系數矩陣A和增廣矩陣（A，b）的秩都等于4，A是（）4×6矩陣，則▁▁。

【

】

B:方程組有無窮多解

A:無法確定方程組是否有解 C:方程組有唯一解 做題結果：B

D:方程組無解 參考答案：B

38、n元非齊次線性方程組Ax=b有兩個解a、c，則a-c是▁▁▁的解。

【

】

B:Ax=0 A:2Ax=b C:Ax=a D:Ax=c 做題結果：B 參考答案：B

39、設A是m行n列的矩陣,r(A)=r，則下列正確的是

【

】

B:Ax=0的基礎解系中的解向量的個A:Ax=0的基礎解系中的解向量的個

數不可能為n-r 數可能為n-r C:Ax=0的基礎解系中的解向量的個D:Ax-0的基礎解系中的解向量的個數一定為n-r 數不確定 做題結果：C

參考答案：C 40、向量組A的任何一個部分組▁▁由該向量組線性表示。

【

】

B:一定不能

A:都能

C:不一定能 D:不確定 做題結果：A 參考答案：A

41、（-1,1）能否表示成（1,0）和（2,0）的線性組合？若能則表出系數為▁▁。【

】

B:不能

A:能，1、1 C:能，-

1、1 D:能，1、-1 做題結果：A 參考答案：B

42、若m×n矩陣C中n個列向量線性無關，則C的秩▁▁▁。

【

】

A:大于m B:大于n C:等于n D:等于m 做題結果：C 參考答案：C

43、下列矩陣中不是二次型的矩陣的是

【

】

A.,B.,C.,D.做題結果：A

44、A.,B.,C.參考答案：C ,D.做題結果：C

參考答案：C

45、B:x=1 A:x=2.5 C:x=-2.5 D:x=0 做題結果：D 參考答案：A

46、B:（-3，0，2）

A:（2，1，1）

C:（1，1，0）D:（0，-1，0）做題結果：B 參考答案：B

47、下列矩陣中不是階梯形矩陣的是

【

】

A.,B.,C.,D.做題結果：D

參考答案：B

48、B:15 A:14 C:10 D:24 做題結果：D 參考答案：A

49、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做題結果：D 參考答案：C 50、B:-2k A:k-1 C:2k D:k+1 做題結果：B 參考答案：C

51、B:-2k A:k-1 C:2k D:k+1 做題結果：B 參考答案：C

52、關于n個方程的n元非齊次線性方程組的克拉默法則，下列說法正確的是

【

】

B:如果行列式等于0，則方程組只A:如果行列式等于0，則方程組必有

有零解

無窮多解

C:如果行列式不等于0，則方程組必D:如果行列式不等于0，則方程組有唯一解 必有零解 做題結果：A

參考答案：C

53、已知三階行列D中的第二行元素依次為1、2、3，它們的余子式分別為-

1、1、-2，則D的值為▁▁。【 】

B:-7 A:9 C:-9 D:7 做題結果：A 參考答案：A

54、B:1 A:-1 C:-8 D:8 做題結果：A 參考答案：C

55、A:a=2 B:a=0 C:a=2或a=0 D:a=2且a=0 做題結果：A 參考答案：C

56、A.,B.,C.,D.做題結果：B

57、已知A是三階矩陣，則|-2A|=▁▁。

A:-2|A| B:8|A| C:2|A| D:-8|A| 做題結果：B 參考答案：D

58、下面結論不正確的是

【

C.參考答案：A

【

】

】做題結果：C 參考答案：A

59、設A是n階方陣，λ為實數，下列各式成立的是

【

】

B.做題結果：C ,C.,D.參考答案：C 60、A.,B.,C.,D.做題結果：C

參考答案：A 61、設A是3×4矩陣，r（A）=3，則▁▁▁。

【

】

B:A中存在不為0的3階子式

A:A中的4階子式都不為0 C:A中的3階子式都不為0 D:A中存在不為0的4階子式 做題結果：B

參考答案：B 62、B:a=-2,b=1,c=0,d=-2 A:a=2,b=-1,c=0,d=-2 C:a=2,b=-1,c=0,d=2 D:a=2,b=1,c=0,d=2 做題結果：B

參考答案：D 63、兩個向量線性相關，則▁▁▁。

【

】

B:其中一個為零向量

A:對應分量不成比例

C:對應分量成比例 D:兩個都不是零向量 做題結果：B

參考答案：C 64、若矩陣A是行最簡形矩陣，則▁▁▁。

【

】

B:矩陣A不一定是階梯形矩陣

A:矩陣A必沒有零行

C:矩陣A必有零行 D:矩陣A的非零行中第一個不等于零的元素都是1 做題結果：B

參考答案：D 65、非齊次線性方程組Ax=b中，系數矩陣A和增廣矩陣(A b)的秩都等于3，A是3×4矩陣，則▁▁▁。

【

】

B:無法確定方程組是否有解

A:方程組有無窮多解

C:方程組有唯一解 D:方程組無解 做題結果：B

參考答案：A 66、A.,C.,D.做題結果：D

參考答案：B 67、B:Ax=0的基礎解系中的解向量的個A:Ax=0的基礎解系中的解向量的個

數不可能為2 數可能為2 C:Ax=0的基礎解系中的解向量的個D:Ax=0的基礎解系中的解向量的個數一定為2 數不確定 做題結果：D

參考答案：C 68、（3,-2）能否表示成（1,0）和（0,1）的線性組合？若能則表出系數為。

B:不能

A:能，2、-3 C: 能，-

3、2 D:能，3、-2 做題結果：B 參考答案：D 69、B:大于n A:等于m C:等于n D:大于m 做題結果：D 參考答案：A 70、下列矩陣中是二次型的矩陣的是

A.,B.,C.,D.做題結果：D

參考答案：

B 71、B:a=-4 A:a=2 C:a=-2 D:a=4 做題結果：D 參考答案：A 72、B:(-3,0,2)A:(-2,0,1)C:(1,1,0)D:(0,-1,3)做題結果：D 參考答案：D 74、B:-1 A:-3 C:1 D:3 做題結果：B 參考答案：A 75、B:3k A:k-1 C:-3k D:k+1 做題結果：D 參考答案：B 76、關于n個方程的n元非齊次線性方程組的克拉默法則，下列說法不正確的是

【

】

B:如果行列式等于0，則方程組可A:如果行列式等于0，則方程組可能有

能無解

無窮多解

C:如果行列式不等于0，則方程組必有D:如果行列式不等于0，則方程組唯一解 必有零解 做題結果：A

參考答案：D 77、已知三階行列D中的第二列元素依次為-1、3、2，它們的余子式分別為

1、-

1、2，則D的值為

【

】

B:-7 A:6 C:-6 D:7 做題結果：A 參考答案：C 78、當a=

時，行列式的值為零。

【

】

B:6 A:-6 C:-2 D:2 做題結果：A 參考答案：A 79、行列式的值等于。

【

】

B:0 A:abcd C:d D:6 做題結果：A 參考答案：B 80、行列式≠0的充要條件是

【

】

B:a≠-1或a≠1

A:a≠-1 C:a≠1 D:a≠-1且a≠1

做題結果：A 參考答案：C 81、已知A是三階矩陣，則ㄧ-3Aㄧ=。

【

】

B:27∣A∣

A:-3∣A∣

C:3∣A∣ D:-27∣A∣ 做題結果：A 參考答案：D 82、下面結論不正確的是

【

】

B:零矩陣都是方陣

A:上三角矩陣都是方陣

C:對稱矩陣都是方陣 D:可逆矩陣都是方陣 做題結果：A

參考答案：B 83、設A是2×3矩陣，r(A)=2，則。

【

】

A:A中的2階子式都不為0

B:A中存在不為0的3階子式

C:A中的3階子式都不為0 D:A中存在不為0的2階子式 做題結果：C

參考答案：D 84、設A是s×t矩陣，B是m×n矩陣，且ACB有意義，則C是

矩陣。

【

】

A:t×m B:m×t

C:n×s D:s×n

做題結果：C 參考答案：A 85、對于含有零向量的向量組，下列說法正確的是

【

A:可能線性相關

B:必線性相關

C:可能線性無關 D:必線性無關 做題結果：C 參考答案：B 86、對于非齊次線性方程組的增廣矩陣化為行階梯型時。

【

】

A:不能進行行變換

B:可以進行行變換和列變換

C:只能進行行變換 D:只能進行列變換 做題結果：A

參考答案：C 87、齊次線性方程組Ax=0中，系數矩陣A的秩等于2，A是3×4矩陣，】 則

。【

】

B:方程組有無窮多解

A:方程組有非零解

C:方程組只有零解 D:方程組有唯一解 做題結果：C

參考答案：A 88、設δ是齊次線性方程組Ax=0的解，λ是任意實數，則λδ是

的解。

【

】

B:Ax=ζ

A:λAx=ζ

C:Ax=λζ D:Ax=0 做題結果：C 參考答案：D 89、設A是4行5列的矩陣，r(A)=4，則下列正確的是

【

】

B:Ax=0的基礎解系中的解向量的個A:Ax=0的基礎解系中的解向量的個

數不可能為1 數可能為1 C:Ax=0的基礎解系中的解向量的個D:Ax=0的基礎解系中的解向量的個數一定為1 數不確定 做題結果：A

參考答案：C 90、（-2,3）能否表示成（-1,0）和（2,0）的線性組合？若能則表出系數為

。【

】

B:能，2、3 A:能，-

2、-3 C:能，2、-3 D:不能 做題結果：A 參考答案：D 91、若3×4矩陣C中3個行向量線性無關，則C的秩。

【

】

A:大于3 B:等于3 C:等于4 D:大于4 做題結果：A 參考答案：B 92、已知矩陣有一個特征值為0，則。

【

A:b=-2 B:b=3 C:b=2 D:b=-3 做題結果：B 參考答案：A 93、設β可由向量α1=(0,1,0)，α2=(1,0,0)線性表示，則下列向量中β只能是【

】

A:(3,0,1)B:(-3,0,2)C:(2,3,0)D:(0,-1,2)做題結果：D 參考答案：C 100、行列式D如果按照第n列展開是

【

】

】

A.,B.,C.,D.做題結果：D 101、計算。

【

】

A.,B.,C.,D.做題結果：C 102、【

】

參考答案：A

參考答案：B

A.,B.,C.,D.做題結果：D 103、下列矩陣中不是二次型的矩陣的是

【

】

A.,B.做題結果：D 104、下列矩陣中不是階梯形矩陣的是

【

】 ,C.,D.參考答案：C

參考答案：C

A.,B.做題結果：D 105、下面結論不正確的是

C.做題結果：D 參考答案：A 106、下列矩陣中是二次型的矩陣的是

【

】

A.,B.做題結果：D ,C.【

】 ,C.,D.參考答案：B ,D.參考答案：

B

107、下列矩陣中是階梯形矩陣的是

【

】

A.,B.,C.,D.做題結果：D 108、A.,B.,C.,D.做題結果：D 109、A.,B.參考答案：A

參考答案：B ,C.,D.做題結果：D

參考答案：A

110、A.,B.,C.,D.做題結果：D

參考答案：A 111、下列矩陣中不是二次型的矩陣的是

A.,B.,C.,D.做題結果：D

參考答案：C 112、A.,B.,C.,D.做題結果：D 113、下列矩陣中是階梯型矩陣的是

A.,B.,C.,D.做題結果：C 三、填空題 四、綜合題 94、求齊次線性方程組的基礎解系與通解。

做題結果： 123 參考答案：

參考答案：D

參考答案：B

95、判定向量組是線性相關還是線性無關，并說明理由： α1=(1,1,1)，α2=(0,2,5)，α3=(1,3,6)

做題結果： 23 參考答案：

96、求齊次線性方程組的基礎解系，并寫出通解。

做題結果： 123 參考答案：

97、判定向量組是線性相關還是線性無關，并說明理由： α=(1,-1,0)，β=(2,1,1)，γ=(1,3,-1)

做題結果： 123 參考答案：

98、做題結果： 123 參考答案：

99、判定向量組是線性相關還是線性無關，并說明理由：

β1=(-1,3,1),β2=(2,1,0),β3=(1,4,1)做題結果： 123 參考答案：

五、計算題

5、求矩陣的逆矩陣。

做題結果： 123 參考答案：

7、做題結果： 123 參考答案：

8、設矩陣，求出A的所有特征值和特征向量。

做題結果： 123 參考答案：

9、求矩陣的秩。

做題結果： 123 參考答案：

10、求矩陣的逆矩陣。

做題結果： 123 參考答案：

11、用降階法計算行列式

做題結果： 123 參考答案：

12、已知行列式，寫出元素a12的代數余子式A12，并求出A12的值。

做題結果： 123 參考答案：

13、做題結果： 123 參考答案：

14、設矩陣，求出A的所有特征值和特征向量。

做題結果： 123 參考答案：

15、求矩陣的秩。

做題結果： 123 參考答案：

16、用降階法計算行列式

做題結果： 123 參考答案：

17、已知行列式，寫出元素a32的代數余子式A32，并求出A32的值。

做題結果： 123 參考答案：

18、設矩陣，求出A的所有特征值和特征向量。

做題結果： 123 參考答案：

19、求矩陣的秩。

做題結果： 123 參考答案： 73、用降階法計算行列式

做題結果： 123 參考答案：

第四篇：2006~2007線性代數試題1答案

一、選擇題： [教師答題時間：2 分鐘]（每小題 3 分，共 12分）①A ②D

③A

④B

二、填空題： [教師答題時間：4分鐘]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 線性相關

③ 0

④-8

三、計算題 [教師答題時間： 6 分鐘]（共16分）

1、aDn?b?bba?b......??1bb?aba?bba?b?0n?1a?(n?1)b?a?(n?1)b?a?(n?1)b......??bb（4分）?a......??b0?ba?b......??bb?a解: ?[a?(n?1)b]1?11

＝[a?(n?1)b]0?0（2分）a?b＝[a?(n?1)b](a?b)（2分）

2、?1解：A???3?1???00?2240?112?1??1???2??02?2011?1012?1??(3分）5??14???(3分）??5?0? 4??5(2分）??2?

四、綜合題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共15分）

驏1??(a1,a2,a3,a4)=?1????-2桫驏1瓏瓏?瓏0瓏瓏瓏瓏0桫驏1??解：??0????0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16驏2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以極大無關組是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五題、綜合題 [教師答題時間： 8 分鐘]（共10分）

?1?解:?A,b???1?1????1???0?0?11??????(??3)11??11??112????0????0???(1??)?(4分）2??(??2??1)???2∴當?＝－3時，線性方程組無解（2分）

當??0且???3時，線性方程組有唯一解（2分）當?＝0時，線性方程組有無窮解（2分）六題、解答題 [教師答題時間： 5 分鐘]（共10分）

?1?A?3??5??1??0??0?010?253?2??5(2分）??3???1?0??0??210?2??1(2分）?0??0??1(2分）?0??

?0??0?????∴通解為x=c-1(2分），故基礎解系為c-1(2分）?????1??1?????七題、解答題 [教師答題時間：10 分鐘]（共12分）??3解：?E－ A?0121?2?4??10??1=(??1)(??4??5)(2分）所以A的特征值為?1?1,?2??3?i?2(2分）?4?當??1，E?A?0??1?120?2??1???4?0????00??0100???2?0???0???所以??1對應的特征向量為C12(C1?0)(3分）???1?????1?i???i?2時，A-?E=0???1??1??0??1?i?0i?11i?3??1???4?0????0?2???1?i?10010??4???i?3?2i?3??2i?2?0??

??i?3???所以??i?2時對應的特征向量為C2?2i?2(C2?0)(3分）????1??顯然A不能相似對角化(2分）八題、證明題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共13分）

?1?1)證明：（?1，?，?）＝（?，?，?）22312?3?0??1?設K=2??0?0231??0,顯然K?0,∴K可逆（2分）?3??0231??0（2分）?3??-1 ∴（?1，?，?）=（?，?，2?）K2313

故?1，?，?與?，?，2?等3價，而?，?，?2線性3無關2311∴?1，?，?線性無關（3分）232)證明：因為A為正交陣，故A??1,而A?0，∴A??1(2分）E＋A＝AA＋A?AA＋E?AA＋E??E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT

第五篇：線性代數試題A答案

2006-2007學年第二學期線性代數試題A卷參考答案及評分標準

一．填空題（本題滿分12分，每小題3分）

?1?20?0??25??111、1；

2、?3；

3、A?00?3?1??00?3?0??0?2?；

4、2 ?3?1??3?

二、選擇題（本題滿分12分，每小題3分，．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內）1．C；2．C；3．A；

4、B 三．計算行列式（本題滿分6分）解1 10Dn?001?110010?00?111000?11?100010100200?03??1?00?0100?00n

3?1??011????????????分

?n?1?n

3分

解2 10Dn?001?110010?00?111000?Dn?1?1

3分 ?1??011?????????11?n

3分

四．（本題滿分12分）

解：

⑴ 由等式A?B?AB，得A?B?AB?E?E，即

?A?E??B?E??E

3分 因此矩陣A?E可逆，而且?A?E??B?E．

2分

?1

⑵ 由⑴知，A?E??B?E?，即A??B?E??E

?1?1

A??B?E??E

或A?B(B?E)?1

2分 ?1??0?10?30100?????????1??200???010????3?001??001???0????????1?1????3?0??1210?0??0? 2分 ?2???1200?0?100?????0???010?

3分 ???1??001???五．（本題滿分14分）

解：

110??1?11?01??0221???

A???0?1a?3?2b??0???321a?1???01110?1221??

4分 0a?10b?1??00a?10?所以，⑴ 當a?1時，rA?r?A??4，此時線性方程組有唯一解．2分

⑵ 當a?1，b??1時，r?A??2，rA?3，此時線性方程組無解．2分

⑶ 當a?1，b??1時，rA?r?A??2，此時線性方程組有無窮多組解．2分

此時，原線性方程組化為

???????x1?x2?x3?x4?0 ??x2?2x3?2x4?1因此，原線性方程組的通解為

?x1?x3?x4?1?x??2x?2x?1?234 ?x?x3?3?x4?x4?或者寫為 ?x1??1??1???1??x???2???2??1?2???k???k?????

4分 ?x3?1?1?2?0??0??????????0??1??0??x3?六．（本題滿分12分）

3??解 A??E??101202??1??2????3???，2分

03??所以得特征值?1?2,?2??3?3

2分

?101???對 ?1?2，解方程組?A?2E?x?0，由A?2E???101?，得特征向量

?001????0????1??1?

?0????0???所以對應 ?1?2的全部特征向量為c1?1?,c1?0

3分

?0????0?1對 ?2??3?3，解方程組?A?3E?x?0，由A?3E????0?01?1?10?r?1?1????0?0100?0???00???，???1??1?????得特征向量 ?2???1?,全部特征向量為c2??1?,c2?0

3分

?0??0?????A沒有三個線性無關的特征向量，所以不能對角化.2分

七．（本題滿分12分）

?1??

解：

f的矩陣為A???4??12??1??2? ．…………2分 4??因此，二次型f為正定二次型．?矩陣A為正定矩陣．?矩陣A的各階順序主子式全大于零．…………2分

而矩陣A的各階順序主子式分別為D1?1?0，D2?1??4??2，…………2分

?41

D3?A????12??4???1????2? ．…………2分 44?12所以，二次型f為正定二次型．?D2?4??2?0，且D3??4???1????2??0

由 D2?4??2?0，得 ?2???2 ．

由 D3??4???1????2??0，得 ?2???1 ．

因此，得 ?2???1 ．

即，二次型f為正定二次型．? ?2???1…………4分

八．（本題滿分8分）

已知三維向量空間的一組基為

α1??1，1，0?，α2??1，0，1?，α3??0，1，1?

求向量β??2，0，0?在上述基下的坐標．

解：

設向量β在基?α1，α2，α3?下的坐標為?x1，x2，x3?，則有

x1α1?x2α2?x3α3??，2分

寫成線性方程組的形式，有

?1??1??0??2?????????x1?1??x2?0??x3?1???0?

2分 ?0??1??1??0?????????即

?x1?x2?2??x1?x3?0，?x?x?03?2得唯一解x1?1，x2?1，x3??1，3分，1，?1?．

1分 因此所求坐標為?1九．（本題滿分12分）

證法1：記A?(?1,?2,?,?m),B?(?1,?2,?,?m,?)，顯然r(A)?r(B).1°因為?1,?2,?,?m線性無關，知r(A)?m

1分 2°因為?1,?2,?,?m,?線性相關，知r(B)?m?1 1分

因此r(B)?m，1分

Ax?(?1,?2,?,?m)x?b有解且唯一。

2分

則?可由?1,?2,?,?m表示，且表示法唯一。

1分

證法2：∵?1,?2,?,?m,?線性相關，∴存在不全為零的數k1,k2,?,km,k，使得

……………………………… 2分 k1?1?k2?2??? km?m?k??0，若k=0，則k1?1?k2?2??? km?m?0，∵

?1,?2,?,?m線性無關，?k1?k2???km?0矛盾。∴k≠0 ???kk1k?1?2?2???m?m?l1?1?l2?2???lm?m …………2分 kkk若又有b?j1?1?j2?2???jm?m

?0??l1?j1??1??l2?j2??2????lm?jm??m ?l1?j1，l2?j2，?，lm?jm

即?可由?1,?2,?,?m線性表示，且表示法唯一.…………2分