第一篇：全國自考?xì)v年線性代數(shù)試題及答案.2012

全國自考?xì)v年線性代數(shù)試題及答案.2012

課程代碼：02198

說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，A表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

0?1011?1中元素a21的代數(shù)余子式A21=（）0T

*1．3階行列式aij?1?1A．-2 B．-1 C．-1 D．2 2．設(shè)n階可逆矩陣A、B、C滿足ABC=E，則B-1=（）A．A-1C-1 C．AC

?0?3．設(shè)3階矩陣A=?0?0?100B．C-1A-1 D．CA

0??21?，則A的秩為（）0??A．0 C．2 4．設(shè)矩陣A=??A．P1P2A=B ?a11?a21a12??a21?a11?，B=??a22?a11??B．1 D．3

a22?a12??0?，P1=??1?a12??1??1??，P=2?10???0??，則必有（）1??B．P2P1A=B C．AP1P2=B D．AP2P1=B

5．設(shè)向量組α1, α2, α3, α4線性相關(guān)，則向量組中（）A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合

C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合

6．設(shè)α1, α2, α3, α4是一個(gè)4維向量組，若已知α4可以表為α1, α2, α3,的線性組合，且表示法惟一，則向量組α1, α2, α3, α4的秩為（）A．1

B．2 C．3 D．4 7．設(shè)α1, α2, α3是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（）

A．α1, α2, α1+α2 B．α1, α2, α1-α2 C．α1+α2, α2+α3, α3+α1

D．α1-α2，α2-α3，α3-α1

8．設(shè)A為3階矩陣，且2A?3E=0，則A必有一個(gè)特征值為（）

A．-C．2332 B．-D．0?422332

?2?9．設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A=?0?0?22A．z12+z2+z3 0??T2?，則3元二次型f(x1,x2,x3)=xAx的規(guī)范形為（）?1??22B．z12+z2-z3

2C．z12+z2 2D．z12-z2

10．設(shè)2元二次型f(x1,x2)=xTAx正定，則矩陣A可取為（）A．????2?11?? ?2???2? ??1?B．???2??1?1?2?1?? 2??2? ??1?C．???1??2D．??

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=___________。

a112a124a226a323a139a33a11a31a12a22a32a13a23=___________。a3312.已知3階行列式2a213a316a23=6，則a2113.設(shè)A=???1??12?2?，則A-2A+E=___________。0???1?

32?

?，則A=___________。4??14.設(shè)A為2階矩陣，將A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩陣B.若B=???0?15.設(shè)3階矩陣A=?0?3?0231??-12?，則A=___________。3??16.設(shè)向量組a1=(a,1,1),a2=(1,-2,1),a3=(1,1,-2),線性相關(guān)，則數(shù)a=___________。17.3元齊次線性方程組???x1?x2?0?x2?x3?0的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個(gè)數(shù)為___________。

18.已知3階矩陣A的特征值為0，-2，3，且矩陣B與A相似，則B?E=___________。

19.設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1，2，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1,1)T，α2=(1,k)T，則數(shù)k=___________。

20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩陣A=___________。

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

1111?a111?a111?a11121.計(jì)算4階行列式111?a.22.設(shè)2階矩陣A=???3?22??0，P=???11???1?*，矩陣B滿足關(guān)系式PB=AP，計(jì)算行列式B.?1??23.求向量組α1=(1,1,1,3)T，α2=(-1,-3,5,1)T，α3=(3,2,-1,4)T，α4=(-2,-6,10,2)T的一個(gè)極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表示.?ax1?x2?x3?0?24.設(shè)3元齊次線性方程組?x1?ax2?x3?0，?x?x?ax?023?1（1）確定當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有非零解；

（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解.?2?25.設(shè)矩陣B=?3?4?0101??3?，5??（1）判定B是否可與對(duì)角矩陣相似，說明理由；

（2）若B可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣∧和可逆矩陣P，使P-1BP=∧.226.設(shè)3元二次型f(x1,x2,x3)=x12+2x2+x32-2x1x2-2x2x3，求正交變換x=Py，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（本大題6分）

?a1?27.設(shè)矩陣A=?0?0?0a200??0?，其中a1,a2,a3互不相同，證明：與A可交換的矩陣只能為對(duì)角矩陣.a3??

第二篇：自考線性代數(shù)試題

全國2010年10月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題 課程代碼：04184 說明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則|-2AT|=（）A.-8 C.2 ?1?2.設(shè)矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=（）??B.-2 D.8 A.0 ?1?C.???1??

??B.(1,-1)1??1D.???1?1??

??3.設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣,B為n階反對(duì)稱矩陣,則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是（）A.AB-BA C.AB

B.AB+BA D.BA ?12?-14.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=??34??,則A=（）??A.?1 2?4?3????21?? ???12???34?? ??

B.?1 21 2?1?2????34?? ???42???31?? ??C.?1 2D.?5.下列矩陣中不是初等矩陣的是（）．．?101???A.?010? ?000????100???C.?030?

?001???

?001?

??B.?010?

?100????100???D.?010?

?201???═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁，當(dāng)前頁是第2

?1??3?????2???5?16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個(gè)解,且?1???,?1??3???,則該線性方程

37?????4??9?????組的通解是_________.?1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣3A必有一個(gè)特征值為_________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對(duì)角矩陣為_________.???1?2?T20.設(shè)矩陣A=???2k??,若二次型f=xAx正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.??

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)0121.求行列式D=201012210102的值.10?0?10???1?20?????22.設(shè)矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設(shè)矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A-1;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A2+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁，當(dāng)前頁是第4

C.| A |=| B |

D.A與B有相同特征值

9.若向量α=（1，-2,1）與β=(2，3，t)正交，則t=（）A.-2 C.2

B.0 D.4 10.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值分別為2,1,0，則（）A.A正定 C.A負(fù)定

B.A半正定 D.A半負(fù)定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）?3 ?2????2 1 ?1?11.設(shè)A=?0 1?,B=??，則AB=_________________.0 ?1 0???2 4???12.設(shè)A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A-1 |=______________.13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.14.設(shè)α=（-1，2，2），則與α反方向的單位向量是_________________.15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W={x | Ax=0}的維數(shù)是______________.116.設(shè)A為3階方陣，特征值分別為-2，1，則| 5A-1 |=______________.217.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_________________.? 2 ?1 0???18.實(shí)對(duì)稱矩陣??1 0 1 ?所對(duì)應(yīng)的二次型f(x1, x2, x3)=________________.? 0 1 1????1???1?????19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=?2?，α2=? 2?且r(A)=2，則Ax=b的通解是_______________.?3?? 3??????1???20.設(shè)α=?2?，則A=ααT的非零特征值是_______________.?3???

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21.計(jì)算5階行列式D=

0 0 2 0 0 1 0 0 0 222.設(shè)矩陣X滿足方程

═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁，當(dāng)前頁是第6

A.PA C.QA

B.AP D.AQ

5.已知A是一個(gè)3×4矩陣，下列命題中正確的是（）A.若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩（A）=2 B.若A中存在2階子式不為0，則秩（A）=2 C.若秩（A）=2，則A中所有3階子式都為0 D.若秩（A）=2，則A中所有2階子式都不為0 6.下列命題中錯(cuò)誤的是（）．．A.只含有一個(gè)零向量的向量組線性相關(guān) B.由3個(gè)2維向量組成的向量組線性相關(guān) C.由一個(gè)非零向量組成的向量組線性相關(guān) D.兩個(gè)成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)

7.已知向量組α1,α2,α3線性無關(guān)，α1,α2,α3，β線性相關(guān)，則（）A.α1必能由α2,α3，β線性表出 C.α3必能由α1,α2，β線性表出

B.α2必能由α1,α3，β線性表出 D.β必能由α1,α2,α3線性表出

8.設(shè)A為m×n矩陣，m≠n,則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩（）A.小于m C.小于n

B.等于m D.等于n

9.設(shè)A為可逆矩陣，則與A必有相同特征值的矩陣為（）A.AT C.A-1

B.A2 D.A

*22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1?x2?x3?2x1x2的正慣性指數(shù)為（）

A.0 C.2

B.1 D.3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。11.行列式***0的值為_________________________.?1?13??20????,則ATB=____________________________.12.設(shè)矩陣A=,B=??201??01?????13.設(shè)4維向量??（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ滿足2??γ=3β，則γ=__________.114.設(shè)A為n階可逆矩陣，且|A|=?,則|A-1|=___________________________.n15.設(shè)A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，則|A|=__________________.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁，當(dāng)前頁是第8

??2?26.設(shè)矩陣A=?0???0?03a??0??1??-1?a的三個(gè)特征值分別為1，2，5，求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P，使PAP=?0????3??0??020?0??0?。??5??

四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A，B，A+B均為n階正交矩陣，證明（A+B）-1=A-1+B-1。

全國2010年1月高等教育自學(xué)考試

說明：本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，αT表示向量α的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，A-1表示方陣A的逆矩陣，r（A）表示矩陣A的秩.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）

2x2y2z41.設(shè)行列式403?1,則行列式01?（）

3111111xyzA.2 3B.1 C.2

8D.32.設(shè)A，B，C為同階可逆方陣，則（ABC）-1=（）A.A-1B-1C-1 C.C-1A-1B-1

B.C-1B-1A-1 D.A-1C-1B-1

3.設(shè)α1，α2，α3，α4是4維列向量，矩陣A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，則|-2A|=（）A.-32 C.4

B.-4 D.32 4.設(shè)α1，α2，α3，α4 是三維實(shí)向量，則（）A.α1，α2，α3，α4一定線性無關(guān) C.α1，α2，α3，α4一定線性相關(guān)

B.α1一定可由α2，α3，α4線性表出 D.α1，α2，α3一定線性無關(guān)

5.向量組α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩為（）A.1 C.3

B.2 D.4 6.設(shè)A是4×6矩陣，r（A）=2，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)是（）

A.1 C.3

B.2 D.4 7.設(shè)A是m×n矩陣，已知Ax=0只有零解，則以下結(jié)論正確的是（）A.m≥n

B.Ax=b（其中b是m維實(shí)向量）必有唯一解

═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁，當(dāng)前頁是第10

?a11??x1??1???x???1?1a117.設(shè)線性方程組????2???有無窮多個(gè)解，則a=_________.??11a????x3?????2??18.設(shè)n階矩陣A有一個(gè)特征值3，則|-3E+A|=_________.19.設(shè)向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α與β正交，則a=_________.2220.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩為_________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）2321．計(jì)算4階行列式D=453456456756.78?2?31??-14?5222.設(shè)A=?，判斷A是否可逆，若可逆，求其逆矩陣A.????5?73??23.設(shè)向量α=（3，2），求（αTα）101.24.設(shè)向量組α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.（1）求該向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組；

（2）將其余向量表示為該極大線性無關(guān)組的線性組合.?x1?x2?2x4?0?25.求齊次線性方程組?4x1?x2?x3?x4?0的基礎(chǔ)解系及其通解.?3x?x?x?0123??32?2???26.設(shè)矩陣A=?0?10?，求可逆方陣P，使P-1AP為對(duì)角矩陣.??42?3??

四、證明題（本大題6分）

27.已知向量組α1,α2，α3，α4線性無關(guān)，證明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無關(guān).═════════════════════════════════════════════════════════════════════

-本套試題共分11頁，當(dāng)前頁是第11

第三篇：線性代數(shù)歷年考試試題

東 北 大 學(xué) 考 試 試 卷（A卷）2006-2007學(xué)年第2學(xué)期課程名稱：線性代數(shù)

一單項(xiàng)選擇題（本題共5小題，每小題4分，共20分）

1.設(shè)?1,?2,?3,?1,?2都是四維列向量，且四階行列式|?1,?2,?3,?1|?m，|?1,?2,?2,?3|?n，則四階行列式|?3,?2,?1，(?1??2)|等于 [ ].(A)m?n(B)?(m?n)(C)n?m(D)m?n

2.設(shè)n階矩陣A，B，C滿足ABC?E，則下列一定正確的是 [ ].(A)ACB?E(B)BAC?E(C)CBA?E(D)CAB?E

3.向量組?1,?2,?,?r線性相關(guān)的充分必要條件是 [ ].(A)向量組中至少有一個(gè)向量可由其它向量線性表示；(B)向量組中任一向量都可由其它向量線性表示；(C)向量組中任一向量都不能由其它向量線性表示；(D)向量組中至少有一個(gè)向量不能由其它向量線性表示；

4.設(shè)?1,?2是非齊次線性方程組Ax?b的兩個(gè)不同的解，?1,?2是其導(dǎo)出組Ax?0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則線性方程組Ax?b的通解可表示為 [ ].11(?1??2)?k1?1?k2(?1?2?2)(?1??2)?k1?1?k2(?1??2)22(A)(B)

(C)(?1??2)?k1?1?k2?2(D)(?1??2)?k1?1?k2?2

5.設(shè)n階矩陣A與B相似，則下列不正確的是 [ ].22(A)A?B(B)A??E?B??E(C)A?E?B?E(D)A與B相似

二填空題（本題共5小題，每小題4分，共20分；將正確答案填在題中括號(hào)內(nèi)。）

2AB1.設(shè)A,B都是n階矩陣，且|A|=2,|B|??3，則

?1=()。

10??1?a??A??11?a0??002???的秩R(A)?2,則a?()。2.設(shè)矩陣?1???1???0???2????1???2???1???2??2??????的過渡矩陣 ??R3.從向量空間的基，到基，?1??1??1??1?為()。

4.設(shè)R(A)?2，且線性方程組Ax?b無解，則R(A?b)?()。

222f(x,x,x)?x?2x?3x123?2tx1x2是正定的，則t滿足條件()。5.設(shè)二次型1231

2三、計(jì)算行列式（10分）D?342341341241 23?230????

1四、設(shè)A??120?，且ABA?6A?BA，求矩陣B（10分）.?003???TTTT??(1,0,?1,1)??(1,1,1,1)??(1,2,3,1)??(1,3,5,1)312

4五、討論向量組，,的線性相關(guān)性，并求其秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組(10分)。六?為何值時(shí)線性方程組：

?x1?x2?x3?x4?1?2x?x?3x?2x?2?1234??x1?4x2?5x4????3x1?3x2?5x3?5x4?3

有解？在有解時(shí)求該方程組的通解（10分）。設(shè)V是RV2?2上所有對(duì)稱矩陣組成的線性空間，試求出V的一組基，并求

?12??12???A??21??在此組基下的矩陣(10分)。21????22f(x1,x2,x3)?2x12?x2?x3?2x2x3化成標(biāo)準(zhǔn)形，并說明上線性變換?(A)???

八、求一正交變換，將二次型f(x1,x2,x3)?1表示何種二次曲面(10分)。

線性代數(shù)試題 2008.5

一、計(jì)算下列各題(每小題5分, 共30分)

1、設(shè)?1,?2,?,?都是3維列向量，且行列式|A|?|?1,2?2,?|?a，|B|?|?2,?1,?|?b，求行列式C?|?1,2?2,???|.?100???*?1A2、設(shè)的逆矩陣A??220?, 求A的伴隨矩陣A.?333???TTTT??(1,?1,3,2)??(1,1,1,1)??(1,2,?1,1)??(1,0,1,2)31243、設(shè)，，求向量組?1,?2,?3,?4的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)向量組。

?11?1??x1??1???????

4、已知線性方程組?211??x2???2?有解，但解不唯一，求a,b的值。

?1a1??x??b????3???T?10??01?2?2?(A)?AR??

5、求線性空間的線性變換在基E11??,E?12?00??00??，?????00??00?TA???,下的矩陣，其中是A的轉(zhuǎn)置矩陣。E21??E?22?10??01?????222f?x?x?5x?2tx1x2?2x1x3?4x2x3是正定二次型。123t6、問為何值時(shí)，二次型1?a23412?a34123?a4234?a

二、(10分)計(jì)算行列式

1三、(10分)求解下面矩陣方程中的矩陣X

?010??100??12?1????????100?X?011???102??001??001??134???????

?x1?x3?x4?2?x?x?2x?x?1?3

4四、(10分)求線性方程組?12的通解，并用對(duì)應(yīng)齊次線性方程組基礎(chǔ)?2x1?x2?x3?2x4?3??3x1?x2?3x4?5解系表示通解。

?1a1??300?????

五、(10分)已知矩陣A??ab0?與B??030?相似，求a,b的值.?411??00?1?????222f(x,x,x)?2x?x?x?2x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形 x?Qy12312

3六、12分)求出正交變換，使化二次型

七、(8分)記R是R上所有2?3矩陣，按矩陣加法、數(shù)與矩陣乘法構(gòu)成的R上的線???0V??????x3性空間，集合2?32?3x10x2???x?x?x?0,x,x,x,x?R??1241234x4???，證明：V是R的線性子空間，并求V的一組基和維數(shù)。

八、（10分）證明題：

（1）設(shè)向量組?1,?2,?,?s線性無關(guān)，向量組?1,?2,?,?s,?線性相關(guān)，證明向量?可由向量組?1,?2,?,?s線性表示且表示式唯一。（2）設(shè)A?(aij)Ta?1b?(1,0,0)3?311是實(shí)正交矩陣，且，向量，證明線性方程組Ax?b有唯一解x?b。

東 北 大 學(xué) 期 末 考 試 試 卷2008-2009學(xué)年第1學(xué)期：線性代數(shù)

一、單項(xiàng)選擇題（本題4小題，每小題3分，共12分；在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題中括號(hào)內(nèi)）

1、設(shè)A,B都是n階非零矩陣，且AB?O，則必有（）.(A)A?O或B?O；(B)A?B?O；(C)A?0或B?0 ；(D)A?B?0.2、設(shè)A是n階矩陣，A?0An?1，A是A的伴隨矩陣，則

An*

A*=（）

(A)1；(B)；(C)

；(D)A.3、n階矩陣A具有n個(gè)不同的特征值，是A與對(duì)角矩陣相似的（）

A 充分必要條件B充分但非必要條件C 必要但非充分條件D既非充分也非必要條件.4、設(shè)A是m?n階矩陣，B是n?m階矩陣，則齊次線性方程組(AB)x?0（）A當(dāng)n?m時(shí)僅有零解B當(dāng)n?m時(shí)必有非零解C當(dāng)m?n時(shí)僅有零解D當(dāng)m?n時(shí)必有非零解

二、填空（本題6個(gè)小題，每小題3分，共18分；將正確的答案填在題中括號(hào)內(nèi)）

1、設(shè)4階矩陣A?(?,?2,?3,?4)，B?(?,?2,?3,?4)，其中?,?,?2,?3,?4,均為 4維列向量，已知A?4，B?1，則A?B?（）.??111?1????1?1?11??A??A5????1?1?11?????111?1??，則 ?

2、設(shè)

??????

3、設(shè)P[i?j(k)]表示把n階單位矩陣的第j行的k倍加到第i行的得到的初等矩陣，則(P[i?j(k)])?1=（）..222f(x,x,x)?3x?3x?9x?10x1x2?12x1x3?12x2x3的秩是（）.1231234、已知二次型?0?0B???0??05、設(shè)矩陣00300?1020??0?2??2?，矩陣A與B相似，則R(A?E)?R(A?3E)?（）

1(A2)?

16、設(shè)??2是可逆矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣3有一個(gè)特征值等于（）.?423???A??110???123???，求矩陣B n

三、（10）設(shè)階矩陣A與B滿足條件AB?A?2B，已知矩陣

1333?33233?3Dn?3333?33334?3?????3333?n?x1?x2?kx3?4,?2??x1?kx2?x3?k,?x?x?2x??43?1

2四、（10分）計(jì)算行列式

五、（12分）已知線性方程組

問k為何值時(shí)，方程組有唯一解，無解，有無窮多解？ 并求出有無窮多解時(shí)的通解.???1??2??3，六、（12分）（1）設(shè)向量組?1,?2,?3線性無關(guān)，證明向量組???1,???2,???3TTTT??(1,2,1,3),??(4,?1,?5,?6),??(1,?3,?4,?7),?,?1,0)，234?(2,1也線性無關(guān).（2）設(shè)1試判斷該向量組的線性相關(guān)性，并給出其一個(gè)極大線性無關(guān)組。

七、（10分）設(shè)A?R，記(1)S(A)是Rn×nn×nS(A)??B:B?Rn×n，AB?0?，證明： 的一個(gè)子空間；(2)設(shè)秩(A)?r，求S(A)的一組基和維數(shù).222f?3x?3x?6x?8x1x2?4x1x3?4x2x3 12

3八、（16分）用正交變換化二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形，給出所用的正交變換，并判斷該二次型的正定性，給出判別的理由.

第四篇：全國2012年1,4,7月自考線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題及答案詳解

全國2012年1月自考《線性代數(shù)(經(jīng)管類)》試題

課程代碼：04184

說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||?||表示向量?的長度，?表示向量?的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.T

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

a111．設(shè)行列式a21a31a12a22a32a133a11a23=2，則?a31a33a21?a313a12?a32a22?a323a13?a33=（）a23?a33A．-6 C．3

B．-3 D．6 2．設(shè)矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（）A．E+A-1 C．E+A

B．E-A D．E-A-1

3．設(shè)矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（）

??A?A．?可逆，且其逆為?-1?B???B??A?C．??可逆，且其逆為?-1B???AA-1?? ?B-1?? ?B．???A??不可逆 B??-1?B??A-1?A?D．??可逆，且其逆為?B???4．設(shè)?1，?2，…，?k是n維列向量，則?1，?2，…，?k線性無關(guān)的充分必要條件是

（）

A．向量組?1，?2，…，?k中任意兩個(gè)向量線性無關(guān) B．存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量組?1，?2，…，?k中存在一個(gè)向量不能由其余向量線性表示 D．向量組?1，?2，…，?k中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示 5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,則???=（）A．（0，-2，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T

B．（-2，0，-1，1）T D．（2，-6，-5，-1）T

6．實(shí)數(shù)向量空間V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（）A．1 C．3

B．2 D．4 7．設(shè)?是非齊次線性方程組Ax=b的解，?是其導(dǎo)出組Ax=0的解，則以下結(jié)論正確的是

（）

A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解

B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解

118．設(shè)三階方陣A的特征值分別為，3，則A-1的特征值為（）

241A．2,4，3111B．,，24311C．，3

241D．2,4,3 9．設(shè)矩陣A=2?1，則與矩陣A相似的矩陣是（）

1?1A．?123

01B．102 ?2111C． D．?21

10．以下關(guān)于正定矩陣敘述正確的是（）A．正定矩陣的乘積一定是正定矩陣 C．正定矩陣的行列式一定大于零

二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案，錯(cuò)填、不填均無分。

11．設(shè)det(A)=-1，det(B)=2，且A，B為同階方陣，則det((AB)3)=__________．

12?23，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=__________． 12．設(shè)3階矩陣A=4t3?11B．正定矩陣的行列式一定小于零 D．正定矩陣的差一定是正定矩陣

13．設(shè)方陣A滿足Ak=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A-1=__________． 14．實(shí)向量空間Rn的維數(shù)是__________．

15．設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎(chǔ)解系中含解向量的個(gè)數(shù)為__________． 16．非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________．

17．設(shè)?是齊次線性方程組Ax=0的解，而?是非齊次線性方程組Ax=b的解，則A(3??2?)=__________．

18．設(shè)方陣A有一個(gè)特征值為8，則det（-8E+A）=__________．

19．設(shè)P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列向量，則||Px||=__________．

22?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正慣性指數(shù)是__________． 20．二次型f(x1,x2,x3)?x12?5x

2三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）11?1?1?1?421．計(jì)算行列式24?6124221． 1222．設(shè)矩陣A=35，且矩陣B滿足ABA-1=4A-1+BA-1，求矩陣B．

23．設(shè)向量組?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量通過極大線性無關(guān)組表示出來．

?14324．設(shè)三階矩陣A=?253，求矩陣A的特征值和特征向量．

2?4?2

25．求下列齊次線性方程組的通解．

?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?23026．求矩陣A=031?14?206?11的秩．

001210

四、證明題（本大題共1小題，6分）

a1127．設(shè)三階矩陣A=a21a31a12a22a32a13a23的行列式不等于0，證明： a33?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?線性無關(guān)．

?a??a??a??31??32??33?

全國2012年4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)試題 課程代碼：02198 說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題1分，共10分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。?120?1．設(shè)矩陣A???120??，則A*中位于第1行第2列的元素是（）??003??A．-6 B．-3 C．3

D．6 a11a12a13?a112a12?3a132．設(shè)行列式a21a22a23=2，則?a212a22?3a23=（）a31a32a33?a312a32?3a33A．-12 B．-6 C．6

D．12 3．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=3，則|(-A)-1|=（）A．-3

B．?13

C．13

D．3

?14．設(shè)A為3階矩陣，P=?00??210??，則用P左乘A，相當(dāng)于將A（）??001??A．第1行的2倍加到第2行 B．第1列的2倍加到第2列 C．第2行的2倍加到第1行

D．第2列的2倍加到第1列

5．已知4×3矩陣A的列向量組線性無關(guān)，則AT的秩等于（）A．1 B．2 C．3

D．4 6．齊次線性方程組??x1?2x2?3x3?0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為（??x2?x3?x4?0

A．1 B．2 C．3

D．4）7．設(shè)4階矩陣A的秩為3，?1,?2為非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，c為任意常數(shù)，則該方程組的通解為（）A．?221?c?1??2 B．

?1??2?c?1

C．?1??21?c?2 D．

?1??22?c?1

??100?8．若矩陣A與對(duì)角矩陣D=??0?10??相似，則A3=（）??001??A．E B．D C．-E

D．A

9．設(shè)A是n階方陣，且|5A+3E|=0，則A必有一個(gè)特征值為（A．?53

B．?35

C．3

D．553

10．二次型f(x,x22212,x3)?2x1?3x2?4x3?6x1x2?10x2x3的矩陣是（?235?

?260?A．??330?B．???

?0310??

?504????004???230??C．??335?D．?260??6310???

?

?054????0104??

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11111．行列式246=________.41636））

12．設(shè)矩陣A=??48??1?4?B=,??,則AB=________.?12?14?????001??100?

???13．設(shè)3階矩陣A的秩為2，矩陣P=??010?，Q=?010?，若矩陣B=QAP，?100??101?????則r(B)=________.14．已知向量組?1?(1,k,?3),?2?(2,4,?6)線性相關(guān)，則數(shù)k=________.15．向量組?1?(1,1,1,1),?2?(1,2,3,4),?3?(0,1,2,3)的秩為________.?10002???16．非齊次線性方程組Ax=b的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為?01002?，則方程組的?0012?2???通解是________.17．設(shè)?1,?2是5元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=________.18．設(shè)A為3階矩陣，且|A|=6，若A的一個(gè)特征值為2，則A*必有一個(gè)特征值為________.19．設(shè)A為3階矩陣，若A的三個(gè)特征值分別為1，2，3，則|A|=________.2220．實(shí)二次型f(x1,x2,x3)?3x12?4x2的規(guī)范形為________.?5x

3三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

3?421．計(jì)算行列式D=125?1253?3

2010?34?220???22．設(shè)A=?213?，矩陣X滿足關(guān)系式AX=A+X，求X.?010???23．設(shè)?,?,?2,?3,?4均為4維列向量，A?(?,?2,?3,?4)和B?(?,?2,?3,?4)為4階方陣.若行列式|A|=4，|B|=1，求行列式|A+B|的值.24．已知向量組?1?(1,2,?1,1)T,?2?(2,0,t,0)T,?3?(0,?4,5,?2)T,?4?(3,?2,t?4,?1)T（其中t為參數(shù)），求向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.?x1?x2?2x3?x4?3?25．求線性方程組?x1?2x2?x3?x4?2的通解.?2x?x?5x?4x?7234?1（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）

2226．設(shè)二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，求正交變換x=Py，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（本大題6分）

27．證明與對(duì)稱矩陣合同的矩陣仍是對(duì)稱矩陣.全國2012年7月自學(xué)考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題

課程代碼:04184

第五篇：2009年4月自考線性代數(shù)(經(jīng)管)試題和答案

全國2009年4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184 說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的鐵。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

0?1011?1中元素a21的代數(shù)余了式A21=（）01．3階行列式aij=1?1A．-2 B．-1

C．1

D．2 ?a11?2．設(shè)矩陣A=??a?21a12??a21?a11??，B=????aa22?11?a22?a12??01??10??????，P=，P=???，則必有（）1?2??10??11?a12??????A．P1P2A=B

B．P2P1A=B

C．AP1P2=B A．A-1C-

1B．C-1A-1

C．AC

D．CA

D．AP2P1=B

3．設(shè)n階可逆矩陣A、B、C滿足ABC=E，則B-1=（）?010??????4．設(shè)3階矩陣A=001?，則A2的秩為（）

???????000?A．0

B．1 C．2

D．3 5．設(shè)?1,?2,?3,?4是一個(gè)4維向量組，若已知?4可以表為?1,?2,?3的線性組合，且表示法惟一，則向量組?1,?2,?3,?4的秩為（）

A．1

B．2

C．3

D．4 6．設(shè)向量組?1,?2,?3,?4線性相關(guān)，則向量組中（）A．必有一個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 C．必有三個(gè)向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個(gè)向量都可以表為其余向量的線性組合

7．設(shè)?1,?2,?3是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則下列解向量組中，可以作為該方程組基礎(chǔ)解系的是（）A．?1,?2,?1??2 C．?1,?2,?1??2

B．?1??2,?2??3,?3??1 D．?1??2,?2??3,?3??1

?20???8．若2階矩陣A相似于矩陣B=??，E為2階單位矩陣，則與矩陣E-A相似的矩陣是（）

?2?3?????10???10???10??10?????????A．? B． C． D．?????? ??14??1?4???24???2?4?????????0??20????9．設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A=?0?42?，則3元二次型f(x1,x2,x3)=xTAx的規(guī)范形為（）???????02?1?2222222222A．z1 B．z1C．z1 D．z1 ?z2?z3?z2?z3?z2?z210．若3階實(shí)對(duì)稱矩陣A=（aij）是正定矩陣，則A的正慣性指數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

a112a123a13a11a12a22a32a13a23=_______________.a3311．已知3階行列式2a214a223a316a326a23=6，則a219a33a3112．設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=__________________.?12???213．設(shè)A=??，則A-2A+E=____________________.??10????12???14.設(shè)A為2階矩陣，將A的第2列的（-2）倍加到第1列得到矩陣B.若B=??，則A=______________.?34????001?????15.設(shè)3階矩陣A=?022?，則A-1=_________________.???????333?16.設(shè)向量組?1=（a,1,1）,?2=（1,-2,1）, ?3=（1,1,-2）線性相關(guān)，則數(shù)a=________.17.已知x1=(1,0,-1)T, x2=(3,4,5)T是3元非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次線性方程組Ax=0有一個(gè)非零解向量?=__________________.18.設(shè)2階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為1，2，它們對(duì)應(yīng)的特征向量分別為?1=(1，1)T, ?2=(1，k)T，則數(shù)k=_____________________.19.已知3階矩陣A的特征值為0，-2，3，且矩陣B與A相似，則|B+E|=_________.20.二次型f(x1,x2,x3)=(x1-x2)2+(x2-x3)2的矩陣A=_____________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

1x230中元素a12的代數(shù)余子式A12=8，求元素a21的代數(shù)余子式A21的值.21.已知3階行列式aij=x5?1

4??11???11?????22.已知矩陣A??，B=??,矩陣X滿足AX+B=X，求X.???10??02?????

23.求向量組?1=(1,1,1,3)T，?2=(-1,-3,5,1)T，?3=(3,2,-1,4)T，?4=(-2,-6,10,2)T的一個(gè)極大無關(guān)組，并將向量組中的其余向量用該極大無關(guān)組線性表出.?ax1?x2?x3?0???24.設(shè)3元齊次線性方程組?x1?ax2?x3?0，????x1?x2?ax3?0（1）確定當(dāng)a為何值時(shí)，方程組有非零解；

（2）當(dāng)方程組有非零解時(shí)，求出它的基礎(chǔ)解系和全部解.?201??????25.設(shè)矩陣B=313?，???????405?（1）判定B是否可與對(duì)角矩陣相似，說明理由；

（2）若B可與對(duì)角矩陣相似，求對(duì)角矩陣?和可逆矩陣P，使P-1BP=?

22226.設(shè)3元二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?x3?2x1x2?2x2x3,求正交變換x=Py,將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.四、證明題（本題6分）

27.已知A是n階矩陣，且滿足方程A2+2A=0,證明A的特征值只能是0或-2.