第一篇：線性代數(shù)較難試題

一、設(shè)A相似于對(duì)角陣，?0是A的特征值，X0是A對(duì)應(yīng)于?0的特征向量.證明：

(1)秩(A??0I)? 秩(A??0I)2；(2)不存在Y，使得(A??0I)Y?X0.證：(1)設(shè)A則A??0I故 ?=diag{?0,k,?0,?k?1，?n},?i??0,i?k?1，n.???0I,(A??0I)2(???0I)2.rank(A??0I)?rank(???0I)?rank(diag{0,k,0,?k?1??0，?n??0}

?n?k.同理，rank(A??0I)2?rank(???0I)2?rank(diag{0,k,0,(?k?1??0)2，(?n??0)2}

?n?k?rank(A??0I).（2）如存在Y，使得(A??0I)Y?X0，則

2(A??0I)，Y?(A??0I)0X??

由（1）知方程組(A??0I)2X??與(A??0I)X??同解。

從而(A??0I)Y??，即X0??，與X0為特征向量矛盾。

二、已知線性方程組An?nX?b 對(duì)任何b的取值都有解的充要條件是An?n為可逆陣。

證明：充分性:設(shè)A可逆，則對(duì)任意b，X?A?1b.必要性:

解法一: 當(dāng) b取遍所有基本向量組中的向量后, 原方程組都有解, 以這些解向量作為列向量構(gòu)做矩陣B, 顯然 AB=I, 其中 I 為單位陣, 故而

A可逆.解法二: 由題目假設(shè)知任何n維向量 b 都能由 A 的列向量組線性表出, 所以向量空間 Rn的維數(shù)不會(huì)超過(guò)A 的列向量組的秩, 由此得出: A的列向量組的秩為n, 即A可逆.三、設(shè)?,?為3元單位列向量，且?T??0，記A???T???T。證明：(1)齊次線性方程組AX?0有非零解；

?100?(2)A相似于矩陣?010?。????000??

四、設(shè)n階矩陣A滿(mǎn)足A2?A, r(A)?r(0?r?n)。(1)試確定A的特征值的取值范圍；(2)證明A一定可以相似對(duì)角化；(3)求行列式A?2I的值。

五、已知Rn中兩個(gè)非零向量：???a1,a2,?,an?,???b1,b2,?,bn?，TT其中n?2, b1?0，矩陣A???T。(1)求A2；

(2)求A的特征值和特征向量；

(3)判斷A是否可以相似對(duì)角化：若可以，請(qǐng)寫(xiě)出相似變換矩陣P和對(duì)角矩陣?；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由。

第二篇：線性代數(shù)試題

線性代數(shù)試題(一)

一、填空（每題2分，共20分）1.N(n12…(n-1))=。

2.設(shè)D為一個(gè)三階行列式，第三列元素分別為-2，3，1，其余子式分別為9，6，24，則D=。

3.關(guān)于線性方程組的克萊姆法則成立的條件是

，結(jié)論是。

4.n階矩陣A可逆的充要條件是，設(shè)A*為A的伴隨矩陣，則A-1=。

5.若n階矩陣滿(mǎn)足A2-2A-4I=0,則A-1=。

?1??1?????2??2??1234???3??3??1234??????4?????=，?4?6.=。7.設(shè)向量組?1,?2,?3線性相關(guān)，則向量組?1,?1,?2,?2,?3,?3一定線性。

A?1A*A8.設(shè)A三階矩陣，若=3，則= ,=。

9.n階可逆矩陣A的列向量組為?1,?2,??n，則r(?1,?2,??n)=。10.非齊次線性方程組Am?nX=b有解的充要條件是。

二、單項(xiàng)選擇題（10分，每題2分）

k?12k?1?0的充要條件是（）1．2。

（a）k?1（b）k?3（c）k??1,且k?3（d）k??1,或k?3 2.A,B,C為n階方陣，則下列各式正確的是（）(a)AB=BA(b)AB=0,則A=0或B=0(c)（A+B）（A-B）=A2-B2 d)AC=BC且C可逆,則A=B 3.設(shè)A為n階可逆矩陣，則下述說(shuō)法不正確的是（）

A?1?0A?0,(a)(b)(c)r(A)=n(d)A的行向量組線性相關(guān) 4.設(shè)矩陣A=(aij)m?n，AX=0僅有零解的充要條件是（）(a)A的行向量組線性無(wú)關(guān)(b)A的行向量組線性相關(guān)(c)A的列向量組線性無(wú)關(guān)(d)A的列向量組線性相關(guān)

5.向量組 ?1,?2,??s的秩為r,則下述說(shuō)法不正確的是（）(a)?1,?2,??s中至少有一個(gè)r個(gè)向量的部分組線性無(wú)關(guān)

(b)?1,?2,??s中任何r個(gè)向量的線性無(wú)關(guān)部分組與?1,?2,??s可互相線性表示

(c)?1,?2,??s中r個(gè)向量的部分組皆線性無(wú)關(guān)(d)?1,?2,??s中r+1個(gè)向量的部分組皆線性相關(guān)

三、判斷題（正確的劃√，錯(cuò)誤的劃х，共10分，每題2分）1．5級(jí)排列41253是一個(gè)奇排列。（）

2．A為任意的m?n矩陣, 則ATA, AAT都是對(duì)稱(chēng)矩陣。（）

3．?1,?2,??s線性無(wú)關(guān)，則其中的任意一個(gè)部分組都線性無(wú)關(guān)。（）

0004．行列式1001001001000=-1（）

5．若兩個(gè)向量組可互相線性表示，則它們的秩相等。（）

四、計(jì)算n階行列式（12分）

xaaaxaaax???aaaaaa??????aaa?ax

?223????1?10???121??(13分)注：A不可逆，修改為 2．解矩陣方程AX=A+X,其中A=?23??2??1?10????122???

3．求向量組?1?(2,4,2),?2?(1,1,0),?3?(2,3,1)，?4?(3,5,2)的極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。（10分）4．用消元法解下列方程組。（15分）

??x1?x2?x3?x4?1??x1?x2?x3?x4?0?1x?x?2x?2x??1234?2 ?

五、證明題（從下列三題中任選兩道, 每題5分，共10分）

1．設(shè)向量組?1,?2,?3線性無(wú)關(guān)，證明?1,?1??2,?1??2??3也線性無(wú)關(guān)。（5分）

2．已知向量組?,?,?線性無(wú)關(guān)，而向量組?,?,?,?線性相關(guān)，試證明：（1）向量?一定可由向量組?,?,?線性表示；（2）表示法是唯一的。（5分）

3． A,B是同階對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：AB為對(duì)稱(chēng)矩陣的充要條件是A與B可交換。（5分）

線性代數(shù)試題(一)答案

一．(1).n(n?1)(2).–12 2xj?DJD(3).線性方程組的系數(shù)行列式D?0；方程組有唯一解且

?1?2??31*1A?(A?2I)A?0A4(4).；(5).(6).30，?41(7).相關(guān)(8).3, 9(9).n(10).234?468??6912??81216?

r?Ab??r?A?

二．(1)C(2)D(3)D(4)C(5)C 三．(1)×(2)×(3)√(4)×(5)√ 四.n?1[x?(n?1)a]?(x?a)(1).?3?2?1X???4?0??(2).3??1??23?0??4?12???

(3).極大線性無(wú)關(guān)組為?1,?2

?3??1??2;?4??1??2(4)全部解為： 12

1?1?TT,0??c1?1,1,0,0??c2?0,0,1,1??,0,2?2?(c1 ,c2為任意常數(shù))五．略

線性代數(shù)試題及答案

說(shuō)明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)癬多選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)3階方陣A的行列式為2，則()

TA.-1 B.C.D.1

2.設(shè) 則方程 的根的個(gè)數(shù)為()A.0 B.1 C.2 D.3

3.設(shè)A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若 則必有()A.B.C.D.4.設(shè)A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是()A.B.C.D.5.設(shè) 其中 則矩陣A的秩為()A.0 B.1 C.2 D.3

6.設(shè)6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為()A.0 B.2 C.3 D.4

7.設(shè)向量α=(1，-2，3)與β=(2，k，6)正交，則數(shù)k為()

A.-10 B.-4 C.3 D.10

8.已知線性方程組 無(wú)解，則數(shù)a=()A.B.0 C.D.1

9.設(shè)3階方陣A的特征多項(xiàng)式為 則()

A.-18 B.-6 C.6 D.18

10.若3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 是正定矩陣，則A的3個(gè)特征值可能為()

A.-1，-2，-3 B.-1，-2，3

C.-1，2，3 D.1，2，3

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。

11.設(shè)行列式 其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為_(kāi)_轉(zhuǎn)載自百分網(wǎng)http://www.tmdps.cn，請(qǐng)保留此標(biāo)記________.12.設(shè) 則 __________.13.設(shè)A是4×3矩陣且 則 __________.14.向量組(1，2),(2，3)(3，4)的秩為_(kāi)_________.15.設(shè)線性無(wú)關(guān)的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關(guān)系為_(kāi)_________.16.設(shè)方程組 有非零解，且數(shù) 則 __________.17.設(shè)4元線性方程組 的三個(gè)解α1，α2，α3，已知 則方程組的通解是__________.18.設(shè)3階方陣A的秩為2，且 則A的全部特征值為_(kāi)_________.19.設(shè)矩陣 有一個(gè)特征值 對(duì)應(yīng)的特征向量為 則數(shù)a=__________.20.設(shè)實(shí)二次型 已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為_(kāi)_________.三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

21.設(shè)矩陣 其中 均為3維列向量，且 求

22.解矩陣方程

23.設(shè)向量組α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，α4=(3，2，-1，p+2)T問(wèn)p為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)?并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.24.設(shè)3元線性方程組 ，(1)確定當(dāng)λ取何值時(shí)，方程組有惟一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解?

(2)當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出該方程組的通解(要求用其一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).25.已知2階方陣A的特征值為 及 方陣

(1)求B的特征值;

(2)求B的行列式.26.用配方法化二次型 為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出所作的可逆線性變換.四、證明題(本題6分)27.設(shè)A是3階反對(duì)稱(chēng)矩陣，證明|A|=0.線性代數(shù)B期末試題

一、判斷題(正確填T，錯(cuò)誤填F。每小題2分，共10分)1． A是n階方陣，??R，則有?A??A。（）

?1?1?1AB?0(AB)?BA。（）2． A，B是同階方陣，且，則3．如果A與B等價(jià)，則A的行向量組與B的行向量組等價(jià)。()4．若A,B均為n階方陣，則當(dāng)A?B時(shí)，A,B一定不相似。()?1,?2,?3,?4?線性相關(guān)，則??1,?2,?3?也線性相關(guān)。（）5．n維向量組?

二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，共15分）

1．下列矩陣中，（）不是初等矩陣。

?001??100??100??100??010??000??020??01?2??????????100??(B)??010??(C)??001??(D)??001??（A）?2．設(shè)向量組?1,?2,?3線性無(wú)關(guān)，則下列向量組中線性無(wú)關(guān)的是（）。

（A）?1??2,?2??3,?3??1（B）?1,?2,?3??1（C）?1,?2,2?1?3?2（D）?2,?3,2?2??3

?12(A?2E)?（）A?A?5E?03．設(shè)A為n階方陣，且。則

11(A?E)(A?E)(A)A?E(B)E?A(C)3(D)3

4．設(shè)A為m?n矩陣，則有（）。

（A）若m?n，則Ax?b有無(wú)窮多解；

（B）若m?n，則Ax?0有非零解，且基礎(chǔ)解系含有n?m個(gè)線性無(wú)關(guān)解向量；（C）若A有n階子式不為零，則Ax?b有唯一解；（D）若A有n階子式不為零，則Ax?0僅有零解。

5．若n階矩陣A，B有共同的特征值，且各有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則（）

（A）A與B相似（B）A?B，但|A-B|=0（C）A=B

（D）A與B不一定相似，但|A|=|B|

三、填空題（每小題4分，共20分）

012n?10。1．n*A?13A?A?2．A為3階矩陣，且滿(mǎn)足3,則=______。

?1??0??2??1?????????1??1??2??4??234???????2??1??5??7??0?????????是線性（填相關(guān)或3．向量組，，無(wú)關(guān)）的，它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組是。

4． 已知?1,?2,?3是四元方程組Ax?b的三個(gè)解，其中A的秩R(A)=3，?1??4?????24?1????2??3????3??4????4???4????，??，則方程組Ax?b的通解為。

?2?31??A??1a1????503??，且秩(A)=2，則a=

。5．設(shè)

四、計(jì)算下列各題（每小題9分，共45分）。

?121??A??342????122??，求矩陣B。1．已知A+B=AB，且

Tn2.設(shè)??(1,?1,?1,1),??(?1,1,1,?1)，而A???，求A。

3.已知方程組 有無(wú)窮多解，求a以及方程組的通解。

4.求一個(gè)正交變換將二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型

222f(x1,x2,x3)?x1?2x2?2x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3

5． A，B為4階方陣，AB+2B=0，矩陣B的秩為2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩陣A的特征值；（2）A是否可相似對(duì)角化？為什么？；（3）求|A+3E|。

五．證明題（每題5分，共10分）。

1．若A是對(duì)稱(chēng)矩陣，B是反對(duì)稱(chēng)矩陣，AB?BA是否為對(duì)稱(chēng)矩陣？證明你的結(jié)論。

T2．設(shè)A為m?n矩陣，且的秩R(A)為n，判斷AA是否為正定陣？證明你的結(jié)論。

第三篇：線性代數(shù)試題及答案

線性代數(shù)習(xí)題和答案

第一部分

選擇題

(共28分)

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或未選均無(wú)分。1.設(shè)行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式

等于（）

A.m+n

C.n-m

B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設(shè)矩陣A=?020?，則A-1等于（）

???003??1??

3A.?0??0??0120?0??0?

?1???

B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?

?1?00??3?

C.?010??

1???00?2??

?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設(shè)矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）

B.6

A.–6

C.2

D.–2

B.B?C時(shí)A=0 D.|A|?0時(shí)B=C 4.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（）

A.A =0

C.A?0時(shí)B=C

A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于（）

B.2

/ 7

C.3

D.4

和λ1β1+λ6.設(shè)兩個(gè)向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關(guān)，則（）

A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0

B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0

C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0

D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0

s和不全為

s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss

s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ

s

0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（）

A.所有r-1階子式都不為0

C.至少有一個(gè)r階子式不等于0 是（）

A.η1+η2是Ax=0的一個(gè)解

C.η1-η2是Ax=0的一個(gè)解

A.秩(A)

C.A=0

B.η1+η2是Ax=b的一個(gè)解 D.2η1-η2是Ax=b的一個(gè)解 B.秩(A)=n-1

D.方程組Ax=0只有零解

12128.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（）

10.設(shè)A是一個(gè)n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（）

A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量

B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值

C.A的2個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量

D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設(shè)λ0是矩陣3是

A的3個(gè)互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬

0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關(guān)

A的特征方程的3重根，A的屬于λ

B.k<3

D.k>3 數(shù)為k，則必有（）

A.k≤3

C.k=3

/ 7

12.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.|A|2必為1

C.A-1=AT

B.|A|必為1

D.A的行（列）向量組是正交單位向量組

13.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（）

A.A與B相似

B.A與B不等價(jià)

C.A與B有相同的特征值

D.A與B合同

14.下列矩陣中是正定矩陣的為（）

A.??23???34??34???26?

B.? ?100???

C.?02?3????0?35??111???D.?120????102?

第二部分

非選擇題（共72分）

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫(xiě)解答過(guò)程，將正確的答案寫(xiě)在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。15.111356?

.92536?1?11???11?1?16.設(shè)A=?，B=??123??.則

??1?24?A+2B=

.17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=

.18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a=

.19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個(gè)不同的解，則它的通解為

.20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r(

.3 / 7

21.設(shè)向量α、β的長(zhǎng)度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內(nèi)積（α+β，α-β）=

.22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為

.23.設(shè)矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個(gè)特征向量，則α所對(duì)應(yīng)的特征值為

.24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為

.三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120???25.設(shè)A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT；

??240?26.試計(jì)算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設(shè)矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿(mǎn)足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。

?1?2?1??24229.設(shè)矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）；

（2）A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。30.設(shè)矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對(duì)角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

/ 7

2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫(xiě)出所用的滿(mǎn)秩線性變換。

四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）

32.設(shè)方陣A滿(mǎn)足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，ξ1，ξ基礎(chǔ)解系.試證明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ

答案：

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D

2.B

3.B

6.D

7.C

8.A

11.A

12.B

13.D

二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C

5.C 10.B

2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)

2均是Ax=b的解；

（2）η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。

?337?????1?37?

17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數(shù) 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4

三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分）

?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T

?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而

.|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300

/ 7

=511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解

AB=A+2B即（A-2E）B=A，而

（A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以

B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1????

????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112?

011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二

考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解

對(duì)矩陣A施行初等行變換

?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2?

/ 7

2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B(niǎo)是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）

30.解 A的屬于特征值λ=1的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量為

ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η

1?，η

2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個(gè)特征向量為

??1/3?ξ=?1?3??，經(jīng)單位化得η?2?

3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為

T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對(duì)角矩陣

D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.）

?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解

f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32

=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設(shè)??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數(shù)矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿(mǎn)秩。?0?001??經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形

y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證

由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證

由假設(shè)Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個(gè)解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即

（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設(shè)，ξ1，ξ2線性無(wú)關(guān)，所以l1=0，l2=0，從而

l0=0.所以η0，η1，η2線性無(wú)關(guān)。

/ 7，

第四篇：線性代數(shù)試題(B)

(101)北京理工大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院2007-2008學(xué)年第一學(xué)期

《線性代數(shù)》期末試卷(A卷)

教學(xué)站 學(xué)號(hào) 姓名 成績(jī)

一．填空題（每小題4分，共20分）

?x1??2?1?1．已知A??，則XTAX?_______； ,X??????13??x2?2．設(shè)向量?1?(0,1,1),?2?(0,t,2)線性相關(guān)，則t? _____；

3．設(shè)A是秩為1的3階矩陣，則齊次線性方程組AX=0 的基礎(chǔ)解系含_____個(gè)解；

?111???4．已知矩陣?001?，則其秩為_(kāi)_________；

?001???5．已知2是矩陣A的一個(gè)特征值，則 |2E?A|? __________。

二．選擇題（每小題4分，共20分）

1．設(shè)A與B是兩個(gè)同階可逆矩陣，則（）；

A．(A?B)?1?A?1?B?1

B．|A||B|?|B||A|

C．|A?B|?|A|?|B| D．AB?BA

2．設(shè)A是1?2矩陣，B是2階方陣，C是2?1矩陣，則（）A．ABC是1階方陣

B．ABC是2?1階矩陣

C．ABC是2階方陣

D．ABC是1?2階矩陣

3．已知向量組?1,?2,?3滿(mǎn)足?3?k1?1?k2?2，則（）A．k1,k2不全為零

B．?1,?2線性無(wú)關(guān) C．?3?0

D．?1,?2,?3線性相關(guān)

4．設(shè)?1,?2是非齊次線性方程組AX?b的兩個(gè)解，則下述說(shuō)法不正確的是（）； A．?1??2是導(dǎo)出組AX?0的1解

B．(?1??2)是AX?0的解

21C．?1??2是AX?b的解

D．(?1??2)是AX?b的解

5．設(shè)A是一個(gè)方陣，則（）；

A．由| A | = 0可得 A = 0

B．由| A | = 0可得 0是A的一個(gè)特征值

C．由| A | = 1可得 A = E

D．由| A | = 1可得 1是A的一個(gè)特征值

三．計(jì)算題（每小題10分，共50分）

131．計(jì)算行列式

3233333333

342．求解下列線性方程組

? x1?5x2?2x3??3???3x1? x2?4x3?2

? 5x?3x?6x??1123?用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解。

?011?????120?3．解矩陣方程 X?101??? ??110??02?1???

??110???4．已知矩陣A??1?10?，求A的特征值和特征向量。

?00?2???

5．求非退化線性替換，把實(shí)二次型

f(x1,x2,x3)??4x1x3?2x2x3

化為規(guī)范形。

四．其它（每小題5分，共10分）

1．設(shè)同階方陣A與B滿(mǎn)足AB?E，證明：|A||B|?1；

2．舉例說(shuō)明：由|A||B|?1不能導(dǎo)出AB?E。

第五篇：自考線性代數(shù)試題

全國(guó)2010年10月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類(lèi))試題 課程代碼：04184 說(shuō)明:在本卷中,AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。

1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則|-2AT|=（）A.-8 C.2 ?1?2.設(shè)矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=（）??B.-2 D.8 A.0 ?1?C.???1??

??B.(1,-1)1??1D.???1?1??

??3.設(shè)A為n階對(duì)稱(chēng)矩陣,B為n階反對(duì)稱(chēng)矩陣,則下列矩陣中為反對(duì)稱(chēng)矩陣的是（）A.AB-BA C.AB

B.AB+BA D.BA ?12?-14.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=??34??,則A=（）??A.?1 2?4?3????21?? ???12???34?? ??

B.?1 21 2?1?2????34?? ???42???31?? ??C.?1 2D.?5.下列矩陣中不是初等矩陣的是（）．．?101???A.?010? ?000????100???C.?030?

?001???

?001?

??B.?010?

?100????100???D.?010?

?201???═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第2

?1??3?????2???5?16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個(gè)解,且?1???,?1??3???,則該線性方程

37?????4??9?????組的通解是_________.?1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特征值,則矩陣3A必有一個(gè)特征值為_(kāi)________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對(duì)角矩陣為_(kāi)________.???1?2?T20.設(shè)矩陣A=???2k??,若二次型f=xAx正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.??

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)0121.求行列式D=201012210102的值.10?0?10???1?20?????22.設(shè)矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿(mǎn)足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設(shè)矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A-1;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A2+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第4

C.| A |=| B |

D.A與B有相同特征值

9.若向量α=（1，-2,1）與β=(2，3，t)正交，則t=（）A.-2 C.2

B.0 D.4 10.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的特征值分別為2,1,0，則（）A.A正定 C.A負(fù)定

B.A半正定 D.A半負(fù)定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）?3 ?2????2 1 ?1?11.設(shè)A=?0 1?,B=??，則AB=_________________.0 ?1 0???2 4???12.設(shè)A為3階方陣，且| A |=3，則| 3A-1 |=______________.13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.14.設(shè)α=（-1，2，2），則與α反方向的單位向量是_________________.15.設(shè)A為5階方陣，且r(A)=3，則線性空間W={x | Ax=0}的維數(shù)是______________.116.設(shè)A為3階方陣，特征值分別為-2，1，則| 5A-1 |=______________.217.若A、B為5階方陣，且Ax=0只有零解，且r(B)=3，則r(AB)=_________________.? 2 ?1 0???18.實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣??1 0 1 ?所對(duì)應(yīng)的二次型f(x1, x2, x3)=________________.? 0 1 1????1???1?????19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解α1=?2?，α2=? 2?且r(A)=2，則Ax=b的通解是_______________.?3?? 3??????1???20.設(shè)α=?2?，則A=ααT的非零特征值是_______________.?3???

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 21.計(jì)算5階行列式D=

0 0 2 0 0 1 0 0 0 222.設(shè)矩陣X滿(mǎn)足方程

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本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第6

A.PA C.QA

B.AP D.AQ

5.已知A是一個(gè)3×4矩陣，下列命題中正確的是（）A.若矩陣A中所有3階子式都為0，則秩（A）=2 B.若A中存在2階子式不為0，則秩（A）=2 C.若秩（A）=2，則A中所有3階子式都為0 D.若秩（A）=2，則A中所有2階子式都不為0 6.下列命題中錯(cuò)誤的是（）．．A.只含有一個(gè)零向量的向量組線性相關(guān) B.由3個(gè)2維向量組成的向量組線性相關(guān) C.由一個(gè)非零向量組成的向量組線性相關(guān) D.兩個(gè)成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)

7.已知向量組α1,α2,α3線性無(wú)關(guān)，α1,α2,α3，β線性相關(guān)，則（）A.α1必能由α2,α3，β線性表出 C.α3必能由α1,α2，β線性表出

B.α2必能由α1,α3，β線性表出 D.β必能由α1,α2,α3線性表出

8.設(shè)A為m×n矩陣，m≠n,則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是A的秩（）A.小于m C.小于n

B.等于m D.等于n

9.設(shè)A為可逆矩陣，則與A必有相同特征值的矩陣為（）A.AT C.A-1

B.A2 D.A

*22210.二次型f（x1,x2,x3）=x1?x2?x3?2x1x2的正慣性指數(shù)為（）

A.0 C.2

B.1 D.3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式***0的值為_(kāi)________________________.?1?13??20????,則ATB=____________________________.12.設(shè)矩陣A=,B=??201??01?????13.設(shè)4維向量??（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ滿(mǎn)足2??γ=3β，則γ=__________.114.設(shè)A為n階可逆矩陣，且|A|=?,則|A-1|=___________________________.n15.設(shè)A為n階矩陣，B為n階非零矩陣，若B的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組Ax=0的解，則|A|=__________________.═════════════════════════════════════════════════════════════════════

本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第8

??2?26.設(shè)矩陣A=?0???0?03a??0??1??-1?a的三個(gè)特征值分別為1，2，5，求正的常數(shù)a的值及可逆矩陣P，使PAP=?0????3??0??020?0??0?。??5??

四、證明題（本題6分）

27.設(shè)A，B，A+B均為n階正交矩陣，證明（A+B）-1=A-1+B-1。

全國(guó)2010年1月高等教育自學(xué)考試

說(shuō)明：本卷中，AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，αT表示向量α的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，A-1表示方陣A的逆矩陣，r（A）表示矩陣A的秩.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）

2x2y2z41.設(shè)行列式403?1,則行列式01?（）

3111111xyzA.2 3B.1 C.2

8D.32.設(shè)A，B，C為同階可逆方陣，則（ABC）-1=（）A.A-1B-1C-1 C.C-1A-1B-1

B.C-1B-1A-1 D.A-1C-1B-1

3.設(shè)α1，α2，α3，α4是4維列向量，矩陣A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，則|-2A|=（）A.-32 C.4

B.-4 D.32 4.設(shè)α1，α2，α3，α4 是三維實(shí)向量，則（）A.α1，α2，α3，α4一定線性無(wú)關(guān) C.α1，α2，α3，α4一定線性相關(guān)

B.α1一定可由α2，α3，α4線性表出 D.α1，α2，α3一定線性無(wú)關(guān)

5.向量組α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩為（）A.1 C.3

B.2 D.4 6.設(shè)A是4×6矩陣，r（A）=2，則齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)是（）

A.1 C.3

B.2 D.4 7.設(shè)A是m×n矩陣，已知Ax=0只有零解，則以下結(jié)論正確的是（）A.m≥n

B.Ax=b（其中b是m維實(shí)向量）必有唯一解

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本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第10

?a11??x1??1???x???1?1a117.設(shè)線性方程組????2???有無(wú)窮多個(gè)解，則a=_________.??11a????x3?????2??18.設(shè)n階矩陣A有一個(gè)特征值3，則|-3E+A|=_________.19.設(shè)向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α與β正交，則a=_________.2220.二次型f(x1,x2,x3)?4x2?3x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3的秩為_(kāi)________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）2321．計(jì)算4階行列式D=453456456756.78?2?31??-14?5222.設(shè)A=?，判斷A是否可逆，若可逆，求其逆矩陣A.????5?73??23.設(shè)向量α=（3，2），求（αTα）101.24.設(shè)向量組α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.（1）求該向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組；

（2）將其余向量表示為該極大線性無(wú)關(guān)組的線性組合.?x1?x2?2x4?0?25.求齊次線性方程組?4x1?x2?x3?x4?0的基礎(chǔ)解系及其通解.?3x?x?x?0123??32?2???26.設(shè)矩陣A=?0?10?，求可逆方陣P，使P-1AP為對(duì)角矩陣.??42?3??

四、證明題（本大題6分）

27.已知向量組α1,α2，α3，α4線性無(wú)關(guān)，證明：α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1線性無(wú)關(guān).═════════════════════════════════════════════════════════════════════

-本套試題共分11頁(yè)，當(dāng)前頁(yè)是第11