第一篇：線性代數試卷(網上1)

線 性 代 數 試 卷(A)

一、選擇題（每題3分，共15分）

?1a?12???若矩陣A??0?1a2?的秩r(A)?2,則a的值為_____________?10?12???1.(A)0(B)0或-1(C)-1(A)AT??(D)-1或者1(B)-AT*設A為正交矩陣，且|A|??1,則A?_____________ 2.(C)A????(D)-A

TT3.設?,?是n維列向量,???0,n階方陣A?E???,n?3，則在A的 n個特征值中,必然______________

(A)有n個特征值等于1(B)有n?1個特征值等于1(C)有1個特征值等于1(D)沒有1個特征值等于1

r(A)?r(B),則______________ 4.設A,B為n階方陣，且秩相等，既(A)r(A－B)?0(B)r(A?B)?2r(A)(C)r(A,B)?2r(A)(D)r(A,B)?r(A)?r(B)

___ 5.設矩陣Am?n的秩r(A)?n,則非齊次線性方程組Ax?b__________(A)一定無解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有無窮多解

二、填空題（每題3分，共15分）

**|A|?2|2A|=_____________ nA1.設是階方陣A的伴隨矩陣，行列式，則

2.D中第二行元素的代數余子式的和

1111j?1?A42j=__________ ,其中

D =

212f(xx,x)?x?4x?2x?2ax1x1?2x2x3正定,則實常數 1,231233.已知實二次型

a的取值范圍為________________

1?11111?11111?1AB?________________BA4.2n階行列式 ,其中n階矩陣 ?a0?0??0?0b?????0a?00?b0????A??B??????????0??????00?a??b?00???

??

?101???020??，?101?nn?1?而n?2為正整數，則A?2A?______ 5.設A=?

三、計算題(每題9分,共54分)1.計算n階行列式

x1?mx2x3?xnx1x2?mx3?xnDn???????x1x2x3?xn?m

?200??600??????1?1AX?BA?ABX?0，其中,A??0?10?,B??012??001??021????? X2.求矩陣使

?2x1?x2?a3x3?a4x4?d1??x1?2x2?b3x3?b4x4?d2?cx?cx?2x?3x?d22343有三個解向量 3.設非齊次線性方程組?11?2??3??1????????11???2????1??4???2?????????????

?1＝?1?，?2＝?1?，?3＝?2?

求此方程組系數矩陣的秩,并求其通解(其中ai,bj,ck,dt為已知常數)

4.已知實二次型 f(x1,x2,x3)=2x1?3x2?3x3?2?x2x3(??0)經過正交

222y?2y?5yX?QY123變換,化為標準形,求實參數?及正交矩陣Q

?x1?x2?x3?3x4?0?2x?x?3x?5x?1?1234??3x1?2x2?ax3?7x4?1??x1?x2?3x3?x4?b，問a,b各取何值時，線性

2225.設線性方程組為

方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解

446.在四元實向量構成的線性空間R中,求a使?1,?2,?3,?4為R的基,并求由基?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的過渡矩陣P,其中

四、證明題(每題8分,共16分)1.設 ?1,?2,?3 是歐氏空間V的標準正交基,證明: 13也是V的標準正交基

?1??1??1??1?????????011???????1??1????2????3????4???0011?????????0??0??0??1??? ?? ?? ?? ?1???1???1??1??????????111???????0??1????2???3????4???a2?a?00?????????1??1??0??0??? ?? ?? ??

?1?(2?1?2?2??3)?2?(2?1??2?2?3)?3?(?1?2?2?2?3)1313

T2.設f?XAX是n元實二次型,有n維實列向量X1,X2,使X1AX1?0，TTX2AX2?0, 證明:存在n維列實向量X0?0,使X0AX0=0

T

第二篇：線性代數試卷及答案1

一、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案填在題中橫線上）

31（1）三階行列式

111311113111?______________________.1

3?12??121???（2）設A???,B??11?，則AB?______________________.?101??11???（3）已知??(1,2,3)T,??(1,1,1)T，則???T?_____.?500????1（4）設A??031?，則A?________.?021???

?12?13??1?????3?,???5?，且線性方程組Ax??無解，則a?_____.（5）設A??21

4?0a2?1???6?????

二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．計算n級行列式10

1111011?????1110111110。111?????

?202???2．設三階方陣A和B滿足關系式AB?2A?B,且A?040,求(A?E)?1。????202??

3．求下面線性方程組的通解

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?3x4?1

?x?x?2x?3x?0.534?1

2三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．設?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t)。

（1）問當t為何值時，向量組?1,?2,?3線性無關？

（2）當t為何值時，向量組?1,?2,?3線性相關？

（3）當向量組?1,?2,?3線性相關時，將?3表示為?1和?2的線性組合。

??x1?x2?x3?1?

2．?為何值時，線性方程組?x1??x2?x3??

?x?x??x??

23?12

（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多個解。

四、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

1．設b1?3a1?2a2,b2?a2?a3,b3?4a3?5a1，且a1,a2,a3線性無關，證明：向量組

b1,b2,b3也線性無關。

2．設A為n階可逆矩陣A的伴隨矩陣，證明：A?A

填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上）

**

n?

1?111??0.500?

????

22201?1????

?333??0?23?

??；??；2（1）48(2)；（3）（4）（5）?1

二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）1.解：

0111

11011111111

1101110111

?????11011

11101?????

1111011101

n?1n?1n?1?n?1n?11?

1?1111110

…………………………………………………….（6分）

01?11

10?11

?????

11?01

11?10

………….（3分）

??????

?(n?1)

?????

?(n?1)

000

1?1000

??

1000?1

……………………………………………..…….（9分）

?1?00

??????

??1?

?(?1)n?1(n?1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

?(A?E)(B?2E)?2E……….（5分）

?001?

1?(A?E)?1?(B?2E)??010??

2??100??…………………………………（5分）

3．解

對方程組的系數矩陣

A作初等行變換, 有

1??1?10?1?2???

???1?1?110?1?001?2???

2??1?11?31???

???00000?1????1?1?23??????2?

由此得基礎解系為

………（5分）

T

??(1,1,0,0)??(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

??(,0，0)T

特解為

（8分）

于是所求方程組的通解為

1212

x?k1?1?k2?2??, 其中1

k,k2,k

3為任意常數………….（10分）

三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．解：設有數組

k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0，k1(1,1,1)?k2(1,2,3)?k3(1,3,t)?(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程組

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,?k?3k?tk?0

23?

1其系數行列式

……………………………………（3分）

D?23?t?

53t………………………………………………………….（4分）

（1）當

t?5

時，D?0，方程組只有零解：

k1?k2?k3?0

。此時，向量組

?1,?2,?

3線性無

關。………………………………………………………………………………（5分）

（2）當

t?5時，D?0，方程組有非零解，即存在不全為0的常數k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0。此時，向量組

?1,?2,?3線性相關。……………….（5分）

（3）當

t?5時，方程組的系數矩陣的秩小于3。由左上角2階子式不為零可知，系數矩陣的秩等于2。因此，取方程組①的前2個方程

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,令

k3?1，解得k1?1,k2??2，即?1?2?2??3?0，從而?3???1?2?2。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

?11

1?1?0,11???1,?2時，方程組有唯一解。………………（5分）（1）即

?1???2??11?1??1

????

??1?1?????0??11????(1??)?

2??11???2??00(1??)(2??)?(1??)(1??)????，（2）

則當

???2時，方程組無解。…………………………………………….（5分）

??1???1??1?

??????x?k1?1??k2?0???0?

?0??1??0???????。??1（3）當時，方程組有無窮多個解，通解為

…………………………………….（5分）

四、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

?30?5?

?

210?b1,b2,b3???a1,a2,a3?????0?14???…………………….（4分）

1．證明：因為

且a1,a2,a3線性無關…………………………………………………………（6分）

?5210?22?0

又0?1

……………………………………………….（8分）

故向量組b1,b2,b3也線性無關………………………………………………….（10分）

*?1

2．證明：因為

A?AA…………………………………………….（4分）

|A*|?|A?1|?n

1?

所以

……………………… ……….（8 分）

?A

n?1

…

…………………………….10分）（

第三篇：線性代數試卷

廈門理工學院繼續教育學院20 第 學期期末試卷

線性代數（考試時間：120分鐘）

專業 姓名 層次形式 成績

一、選擇題（每小題4分，共16分）1.A，B為三階方陣，矩陣X滿足AXA?BXB?BXA?AXB?E則().22?1?1?1(A)X?(A?B);(B)X?(A?B)(A?B)(C)X?(A?B)(A?B)(D)以上答案都不對.2.?1?1；

A、B、C為n階方陣，且AB?C,A、B、C的列向量組分別為?1,?2,???,?n；?1,?2,???,?n(A)；

?1,?2,???,?n.若

?1,?2,???,?n線性相關，則().?1,?2,???,?n線性相關;(B)

?1,?2,???,?n線性相關；

(C)（A）與(B)都成立；(D)(A)或(B)成立.3.設A,B為三階矩陣，且r(A?3A?2E)?3，若r(B)?2則r(AB?B)?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)無法判斷． ???A??2?2?3??34.設三階矩陣

???????B???2????2???，?3?，其中?,?,?2,?3均為三維行向量，已知A?18，2B?2，則A?B?().(A)1 ；(B)2；

(C)3；(D)4.二、填空題（每小題4分，共16分）

?En?1?0AB?OB為n階非零矩陣，5.設A、，且A的階梯形為?1D?a1111b1111c1111n0??0?，則矩陣B的秩=.6.已知，則此行列式的所有代數余子式之和i,j?1?Aij?.1

?1A???0Tx?(1,1)?7.已知是1??a??的一個特征向量，則a?.8.為已知A是3階方陣，?1,?2,?3是三維線性無關的向量.若A?1??1??2，A?2??2??3，A?3??1??3，則A的行列式等于.三、計算下列各題（每小題7分，共28分）

01D?1?1101?11110?11??????111?01111?10.9.計算n階行列式

10.若二次型

1f(x1,x2,x3)?2x1?8x2?x3?2ax1x2222正定，求a的取值范圍.411.已知??(1,1,1),??(1,0,1)，且A???.求A.TTT

?2?A?0??2? 0301??1??0B?0????02??0?100??0?0??

12.已知矩陣X滿足AX?2B?BA?2X，求X．

四、解答下列各題（每小題14分，共28分）

?2x1?3x2?3x3?a?x1?x2?x3?1??3x?4x2?(a?2)x3?a?1x?2x?ax?12313.求a使方程組?1與?1有公共解，并求公共解.14.已知二次型

f(x1,x2,x3)?XAX?x1?x3?2ax1x2?2x1x3?2bx2x3T22的秩為2，Tf(x1,x2,x3)??(1,1,1)是A的特征向量.（1）求a,b的值；（2）求經正交變換所得的標準型，并寫出相應的正交矩陣.3

五.解答下列各題（每小題4分，共12分）

15.設?1,?2,???,?t是線性方程組Ax?O的基礎解系，向量?滿足A??b?O.證明?1,?2,???,?t,?線性無關.16.已知A是n階方陣且可對角化，問B?A?A?E可否對角化？證明你的結論.2 T17.已知A為n階矩陣.證明方程組Ax?O與AAx?O的解相同.

第四篇：線性代數試卷

線性代數試題

請考生按規定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上。

說明：在本卷中，AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。

選擇題部分

一、單項選擇題（本大題共5小題，每小題2分，共10分）

在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其選出并將“答題紙”的相應代碼涂黑。錯涂、多涂或未涂均無分。1．設行列式A.－3 C.1 2．設4階矩陣A的元素均為3，則r(A)= A.1 C.3 3．設A為2階可逆矩陣，若A?1??B.2 D.4 a1a2b1acab?c?1，11??2，則111? b2a2c2a2b2?c2B.－1 D.3 ??1?3?A.??

?2?5???5?3?C.?? ??21?A.r=m時，Ax=0必有非零解 C.r

?，則A= ?25??1B.??2??5D.??23?? 5?3?? ?1?4．設A為m×n矩陣，A的秩為r，則

B.r=n時，Ax=0必有非零解 D.r

2225．二次型f(xl，x2,x3)=x1?2x2?3x3?8x1x3?12x2x3的矩陣為

?1?A.?0??8??1?C.?0??4? 0?8??212? 123??0?4??26? 63???1?B.?0?0??1?D.??4?0?0?8??212? 03???40??26? 63??═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 2

非選擇題部分

注意事項：

用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將答案寫在答題紙上，不能答在試題卷上。

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）6．設A為3階矩陣，且|A|=2，則|2A|=______．

7．設A為2階矩陣，將A的第1行加到第2行得到B，若B=?8．設矩陣A=??12??，則A=______.?34?a12??a11a12??a11，B=???，且r(A)=1，則r（B）=______.?a21a22??a11?a21a12?a22?9．設向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，則β－2α=________． 10．設向量α=(3，－4)T，則α的長度||α||=______．

11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T線性無關，則數k的取值必滿足______.12．齊次線性方程組xl+x2+x3=0的基礎解系中所含解向量的個數為______．

?122???100?????13．已知矩陣A=?212?與對角矩陣D=?0?10?相似，則數a=______ ?221??00a?????14．設3階矩陣A的特征值為－1，0，2，則|A|=______．

22215．已知二次型f(x1,x2,x3)=x1正定，則實數t的取值范圍是______． ?x2?tx

3三、計算題（本大題共7小題，每小題9分，共63分）

a?b?c16．計算行列式D=2a2a2b2cb?a?c2b.2cc?a?b17．已知向量α=（1，2，k），β=?1，?，且βαT=3，A=αTβ，求(1)數k的值；(2)A10． ?11??23??123??12?????18．已知矩陣A=?231?，B=?00?，求矩陣X，使得AX=B.?340???10?????19．求向量組α1=(1,0,2,0)T, α2=(－1,－1,－2,0)T, α3=(－3,4,－4,l)T, α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一個極大線性無關組，并將向量組中的其余向量由該極大線性無關組線性表出．

?2x?3y?z?0?20．設線性方程組?2x?y?z?1，問：

?x?y??z?1?═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════ 3(1)λ取何值時，方程組無解？

(2)λ取何值時，方程組有解？此時求出方程組的解．

?001???21．求矩陣A=?010?的全部特征值與特征向量．

?100???2222．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=2x1?2x2?4x1x3?8x2x3為標準形，并寫出所用的可逆線性變換．

四、證明題（本題7分）

23．設向量組α1，α2線性無關，且β=clα1+c2α2，證明：當cl+c2≠1時，向量組β－α1,β－α2線性無關．

═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════

第五篇：線性代數 試卷

浙江大學2008-2009學年秋冬學期 《線性代數I》課程期末考試試卷及參考答案

?2x1?1．解線性方程組?x1?x?1?5x2?2x2?4x2?4x3?x3?6x3?x4?x4?2x4?x5?x5?x5??3?5。?10解：略。

2．線性變換T:?2??2的定義是

T(x,y)?(3x?y,x?3y).設B?{(1,1),(1,?1)},B??{(2,4),(3,1)}。（a）證明B,B?是?2的兩組基。

（b）給出T關于基B的矩陣表示A和T關于基B?的矩陣表示A?。（c）求矩陣Q使A??Q?1AQ。

（a）證明：先證明B線性無關（略）。因為B所含的向量個數?2?dim?2，所以B是?2的一組基。B?類似可證。

（b）解：由定義即可（略）。

（c）解：矩陣Q是基B到基B?的過渡矩陣，由定義求之即可。

?00???103．設矩陣A??0?1?????00?n?2。解：

0?a1??0?0a2?0?0a3?。求行列式A?tI，其中I是n階單位陣，?????0??1an??0t?1A?tI?0?0000t?0000?0??0?000?ta1a2a3??1t?an?10??1t?an0?000?tn?antn?1???a2t?a1tn?1?antn?2???a3t?a2tn?2?antn?3???a4t?a3?t2?ant?an?1t?anRn?1?tRn?100?Rn?2?tRn?10?10???R1?tR2?00?00?

0?00??1?tn?antn?1???a2t?a14．令V為由全部在閉區間[0,1]上連續的實函數構成的集合，即

V?{f:[0,1]??|f連續}（a）給出V的向量加法和數乘法使V成為線性空間。（b）證明(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內積。

01（a）解：對?f,g?V,????，定義

f?g:[0,1]??f(x)?g(x)，??f:x?[0,1]?x??(f(x))驗證上面定義的加法和數乘法使V成為線性空間。（b）證明：對?f,g,h?V,????，有

(f,g)??f(x)g(x)dx??g(x)f(x)dx?(g,f);0011(?f,g)???f(x)g(x)dx???f(x)g(x)dx??(f,g);0011(f?g,h)??(f(x)?g(x))h(x)dx??f(x)h(x)dx??g(x)h(x)dx?(f,h)?(g,h);000111(f,f)??f2(x)dx?001所以(f,g)??f(x)g(x)dx是V的內積。

015．設映射D:?[x]5??[x]5用D(f)?f?來定義，其中f?是f的導數。（a）證明D是線性變換。

（b）給出D的核，他的一組基和維數。（c）給出D的像，他的一組基和維數。（a）證明：對

?f?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4,g?b0?b1x?b2x2?b3x3?b4x4??[x]5,????，有

D(f?g)?D((a0?b0)?(a1?b1)x?(a2?b2)x2?(a3?b3)x3?(a4?b4)x4)?(a1?b1)?2(a2?b2)x?3(a3?b3)x2?4(a4?b4)x3?D(f)?D(g),D(?f)?D(?a0??a1x??a2x??a3x??a4x)??a1?2?a2x?3?a3x2?4?a4x3??D(f)所以D是線性變換。

234

（b）D的核kerD??，f?1是他的一組基，他的維數dimkerD?1。（c）D的像ImD??[x]4，1,x,x2,x3是他的一組基，他的維數dimImD?4。

?112???6．判斷實矩陣A???121?是否可對角化。若A可對角化，求矩陣Q使Q?1AQ?013???是對角矩陣D，并給出矩陣Q?1和D。解：略。

27．實二次型f:?2??的定義是f(x1,x2)?2x12?5x2?4x1x2。

（a）給出對應于f的實對稱矩陣A。

（b）給出A在相合（即合同）意義下的標準形（或規范形）。

（c）給出f的正慣性指數和負慣性指數，并判斷f是否正定或者負定。解：略。

8．設?,?是線性變換T:V?V的兩個互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量。如果av?bw是T的特征向量，證明a?0或者b?0。證明：因為av?bw是T的特征向量，所以存在T的特征值?使得T(av?bw)??(av?bw)。因為v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以?av??bw?T(av?bw)?aT(v)?bT(w)?a?v?b?w，即a(???)v?b(???)w?0。因為?,?是線性變換T:V?V的兩個互異的特征值，v和w分別是屬于?和?的特征向量，所以v,w線性無關。所以a(???)?0,b(???)?0。

如果a?0，則有???。因為?,?互異，所以????0，進而b?0。所以有a?0或者b?0。

9．證明或舉反例否定下面命題。

V)?dim(W，)則任何線性映射（a）若有限維線性空間V,W滿足dim(T:V?W都不是同構。

答：正確。因為T:V?W是同構?dim(V)?dim(W)。

（b）若方陣A,B有相同的特征多項式，則A和B是相似的。

?10?答：錯誤。例如A???,B?E2，則他們的特征多項式相同，均為

11??f(?)?(??1)2，但A和B不相似，因為A不可對角化。

（c）若可逆方陣A相合于方陣B，則他們的逆矩陣A?1,B?1也是相合的。

答：正確。這是因為：若可逆方陣A相合于方陣B，則存在可逆矩陣CT?1使得B?CTAC，進而B?1?(CTAC)?1?C?1A?1(C)?C?1A?1(C?1)T，即A?1,B?1相合。

（d）實正交矩陣一定可對角化。

?cos?答：錯誤。比如A???sin??sin???的特征多項式為cos??f(?)??2?2?cos??1，所以沒有實特征根，當然也不能對角化。