第一篇：河南科技大學工科線性代數綜合測試1試卷及答案

河南科技大學工科線性代數綜合測試

（一）試卷

河南科技大學

工科線性代數綜合測試

（一）試卷

一．填空題（本題滿分15分，共有5道小題，每道小題3分）請將合適的答案填在每題的空中

12?113x是關于x的一次多項式，該式中x的系數為____________． ?11k1111k11??1?，且A的秩r?A??3，則k?___________． 1??k?

1．已知11?k?

12．已知矩陣A???1??1?x?y?0?

3．已知線性方程組??2x?3y?5 有解，則a?___________．

?2x?y?a?

4．設A是n階矩陣，A?0，A*是A的伴隨矩陣．若A有特征值?，則?2A*?_________________． 5．若二次型f?x1,x2,?1必有一個特征值是x3??2x1?x2?x3?2x1x2?ax2x3是正定二次型，則a的取值范圍是

222______________．

二、選擇題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，把所選項前的字母填在題后的括號內）?a11?

1．設A??a21?a?31?1?P2??0?1?010a12a22a32a13??a21??a23?，B??a11?a?aa33?11?31?a22a12a32?a12a23a13a33?a13??0???，P1??1??0??1000??0?，1??0??0?，則必有【

】． 1??

?A?.AP1P2?B ；

?B?.AP2P1?B ；

?C?.P1P2A?B ；

?D?.P2P1A?B．

2．設A是4階矩陣，且A的行列式A?0，則A中【

】．

?A?.必有一列元素全為0；

?B?.必有兩列元素成比例；

?C?.必有一列向量是其余列向量的線性組合；

?D?.任意列向量是其余列向量的線性組合．

3．設A是5?6矩陣，而且A的行向量線性無關，則【

】．

?A?.A的列向量線性無關；

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（一）試卷

?B?.線性方程組AX?B的增廣矩陣A的行向量線性無關；

?C?.線性方程組AX?B的增廣矩陣A的任意四個列向量線性無關；

?D?.線性方程組AX?B有唯一解．

4．設矩陣A是三階方陣，?0是A的二重特征值，則下面各向量組中：

⑴ ?1,3,?2?，?4,TT?1,T3?，?0,T0,T0?；

T

⑵ ?1,1,1?，?1,1,⑶ ?1,⑷ ?1,?1,0,2?，?2,T0?，?0,0,1?； ?3,T?2,1,T4?，?3,T6?；

T0?，?0,T0?，?0,0,1?；

肯定不屬于?0的特征向量共有【

】．

?A?.1組；

?B?.2組；

?C?.3組；

?D?.4組．

5．設A是n階對稱矩陣，B是n階反對稱矩陣，則下列矩陣中，可用正交變換化為對角矩陣的矩陣為【

】．

?A?.BAB；

?B?.ABA；

?C?.?AB三．（本題滿分10分）

設n階矩陣A和B滿足條件：A?B?AB． ⑴ 證明：A?E是可逆矩陣，其中E是n階單位． ⑵ 已知矩?1?陣B??2?0??3100??0?，求矩陣A． 2???2；

?D?.2AB．

四．（本題滿分10分）

x3?x4?0?x1?x2??x2?2x3?2x4?1?ba

當、為何值時，線性方程組?有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有

???x?a?3x?2x?b234??3x1?2x2?x3?ax4??1?無窮多組解時的通解．

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（一）試卷

五．（本題滿分10分）?1?

2設4階矩陣A???3??4123412341??2?，求A100． 3??4?

六．（本題滿分10分）

已知α1??1,1, 七．（本題滿分10分）

設A是n階矩陣，如果存在正整數k，使得A?O（O為n階零矩陣），則稱A是n階冪零矩陣．

⑴.如果A是n階冪零矩陣，則矩陣A的特征值全為0．

⑵.如果A?O是n階冪零矩陣，則矩陣A不與對角矩陣相似．

k?1,?1?，α2??1,2,0,3?，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4線性無關． 河南科技大學工科線性代數綜合測試

（一）試卷

八．（本題滿分10分）

2222若二次型f?x12?x2?x3?2x1x2?2?x1x3?2?x2x3經正交變換后可變為標準形y2?2y3，求?，?．并求出該正交變換．

九．（本題滿分10分）

設有5個向量α1??3,1,α5??4,2,3,2,5?，α2??1,1,1,2?，α3??2,0,1,3?α4??1,?1,0,1?，7?．求此向量組中的一個極大線性無關組，并用它表示其余的向量．

答案

河南科技大學

工科線性代數綜合測試

（一）試卷及答案

一．填空題

1．應填：1．

2．應填：?3．

3．應填：?4．

應填：

二、選擇題

1． 應選：?C?．

2． 應選：?C?．

3． 應選：?B?．

4． 應選：?B?．

5． 應選：?A? ． 三．（本題滿分10分）

設n階矩陣A和B滿足條件：A?B?AB．

⑴ 證明：A?E是可逆矩陣，其中E是n階單位． ?1?B?

⑵ 已知矩陣?2?0??3100??0?，求矩陣A． 2???2A．

5．應填：?2?a?2．

解：

⑴ 由等式A?B?AB，得A?B?AB?E?E，即?A?E??B?E??E因此矩陣A?E可逆，而且?A?E??1?B?E．

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（一）試卷

⑵ 由⑴知，A?E??B?E?，即A??B?E??1?1?E

?0???2?0??3000??0?1???1?1???0?0?010??00???10?????3?1??0??1200?0???1??0??0??1??0??0100??0? 1????1? ????3?0??1210?0??0? ?2???四．（本題滿分10分）

x3?x4?0?x1?x2??x2?2x3?2x4?1?

當a、b為何值時，線性方程組

?有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出

???x?a?3x?2x?b234??3x1?2x2?x3?ax4??1?有無窮多組解時的通解．

解：

將方程組的增廣矩陣A用初等行變換化為階梯矩陣： ?1?0?

A??0??311?1212a?3112?2a0??1??10????0b????1??0110012a?10120a?10??1? b?1??0?所以，⑴ 當a?1時，r?A??r?A??4，此時線性方程組有唯一解．

⑵ 當a?1，b??1時，r?A??2，r?A??3，此時線性方程組無解．

⑶ 當a?1，b??1時，r?A??r?A??2，此時線性方程組有無窮多組解． ?x1??x1?x2?x3?x4?0?x2

此時，原線性方程組化為?因此，原線性方程組的通解為?x2?2x3?2x4?0??x3?x?4?x1??1??1???1?????????x2?2?21??k????? 或者寫為 ???k1?2?x3??1??0??0?????????x013?????0????x3?x4?1x3x4??2x3?2x4?1??

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（一）試卷

五．（本題滿分10分）?1?2

設4階矩陣A???3??4?1?2解：

由于A???3??***341??2?，求A100． 3??4?1??1????22?????1111?，3??3????4??4?所以，A100?1??1??1???????222????1111????1111?????1111? ?3??3??3???????4?4????4??????????????????????100個A?1??1??1??1??1???????????22222

?????1111?????1111?????1111??????1111?

由于?1111????10，?3??3??3??3??3???????????4?4?4??4???????????4????????????????99組所以

A100?1099?1???2???1111??1099?3????4??1?2??3??4123412341??2? 3??4?六．（本題滿分10分）

已知α1??1,1,?1,?1?，α2??1,?1,2,0,2,3?，求α3，α4，使得α1，α2，α3，α4線性無關． 0,3?的對應分量不成比例，所以α1與α2線性無關．滿足

0,1,0?，α4??0,解： 由于α1??1,1,?1?與α2??1,α1，α2，α3，α4線性無關的向量α3與α4有很多，例如我們可以取α3??0,11200?1010?1301?1?0，所以α1，α2，α3，α4線性無關．

0,0,1?

由于100七．（本題滿分10分）

設A是n階矩陣，如果存在正整數k，使得A?O（O為n階零矩陣），則稱A是n階冪零矩陣．

⑴.如果A是n階冪零矩陣，則矩陣A的特征值全為0．

⑵.如果A?O是n階冪零矩陣，則矩陣A不與對角矩陣相似．

解：⑴.設?是矩陣A的特征值，α?0是矩陣A的屬于?的特征向量，則有Aα??α．所以，Aα?Akk?1k?Aα??Ak?1?α????kα，但是Akk?O，所以?α?0，但α?0，所以??0．

⑵ 反證法：若矩陣A與對角矩陣D相似，則存在可逆矩陣P，使得A?PDP．

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（一）試卷

所以，A??PDPk?1?k?PDP?PDP?PDP?PDP?PDP ???????????????k組?1?1?1?1?1k但是，Ak?O，所以P?1DkP?O，所以Dk?O，即D?O．因此A?P?1DP?O．這與A?O相矛盾，因此矩陣A不與對角矩陣相似． 八．（本題滿分10分）

2222

若二次型f?x12?x2?x3?2x1x2?2?x1x3?2?x2x3經正交變換后可變為標準形y2?2y3，求?，?．并求出該正交變換．

?1?

解： f的矩陣及標準形的矩陣分別為A??1???11????0????，Λ??0?01???0100??0?．則有 ?E?A??E?Λ，2????1即 ?1???1???0000??1?????0??10

??1??2?2?1,?3?2． 由此得????0．而且矩陣A的三個特征值分別為?1?0,?1

特征值?1?0對應的特征向量為α1??,?212T?,?0? ?T

特征值?2?1對應的特征向量為α2??0,0,1?

?1

特征值?3?2對應的特征向量為α3??,?2???α3????????1212000112,?0? ????x1?????x2?????x???3????121200011??2?y1??1????y? 22???0??y3???T因此令：

P??α1,α2,1??2?1?

因此所作的正交變換為

2?0???九．（本題滿分10分）

設有5個向量α1??3,1,α5??4,2,3,2,5?，α2??1,1,1,2?，α3??2,0,1,3?α4??1,?1,0,1?，7?．求此向量組中的一個極大線性無關組，并用它表示其余的向量．

解：對由α1，α2，α3，α4，α5構成的矩陣，進行行變換 ?3?1

?α1，α2，α3，α4，α5????2??5111220131?1014??1??20????03???7??01?2?1?30213?14262???2? ?1???3? 河南科技大學工科線性代數綜合測試

（一）試卷

?1?0

???0??01?1000100?12002??1???10????00???0??00?100110012001???1? 0??0?α3，或者α1,由此可以看出，向量組α1,α2，或者α1,α4，或者α1,α5都可以作為向量組α1，α2，α3，α4，α5的極大線性無關組．

不妨取向量組α1,α2作為極大線性無關組，則有

α3?α1?α2，α4?α1?2α2，α5?α1?α2．

第二篇：線性代數試卷及答案1

一、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案填在題中橫線上）

31（1）三階行列式

111311113111?______________________.1

3?12??121???（2）設A???,B??11?，則AB?______________________.?101??11???（3）已知??(1,2,3)T,??(1,1,1)T，則???T?_____.?500????1（4）設A??031?，則A?________.?021???

?12?13??1?????3?,???5?，且線性方程組Ax??無解，則a?_____.（5）設A??21

4?0a2?1???6?????

二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．計算n級行列式10

1111011?????1110111110。111?????

?202???2．設三階方陣A和B滿足關系式AB?2A?B,且A?040,求(A?E)?1。????202??

3．求下面線性方程組的通解

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?3x4?1

?x?x?2x?3x?0.534?1

2三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．設?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t)。

（1）問當t為何值時，向量組?1,?2,?3線性無關？

（2）當t為何值時，向量組?1,?2,?3線性相關？

（3）當向量組?1,?2,?3線性相關時，將?3表示為?1和?2的線性組合。

??x1?x2?x3?1?

2．?為何值時，線性方程組?x1??x2?x3??

?x?x??x??

23?12

（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多個解。

四、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

1．設b1?3a1?2a2,b2?a2?a3,b3?4a3?5a1，且a1,a2,a3線性無關，證明：向量組

b1,b2,b3也線性無關。

2．設A為n階可逆矩陣A的伴隨矩陣，證明：A?A

填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上）

**

n?

1?111??0.500?

????

22201?1????

?333??0?23?

??；??；2（1）48(2)；（3）（4）（5）?1

二、計算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）1.解：

0111

11011111111

1101110111

?????11011

11101?????

1111011101

n?1n?1n?1?n?1n?11?

1?1111110

…………………………………………………….（6分）

01?11

10?11

?????

11?01

11?10

………….（3分）

??????

?(n?1)

?????

?(n?1)

000

1?1000

??

1000?1

……………………………………………..…….（9分）

?1?00

??????

??1?

?(?1)n?1(n?1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

?(A?E)(B?2E)?2E……….（5分）

?001?

1?(A?E)?1?(B?2E)??010??

2??100??…………………………………（5分）

3．解

對方程組的系數矩陣

A作初等行變換, 有

1??1?10?1?2???

???1?1?110?1?001?2???

2??1?11?31???

???00000?1????1?1?23??????2?

由此得基礎解系為

………（5分）

T

??(1,1,0,0)??(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

??(,0，0)T

特解為

（8分）

于是所求方程組的通解為

1212

x?k1?1?k2?2??, 其中1

k,k2,k

3為任意常數………….（10分）

三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．解：設有數組

k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0，k1(1,1,1)?k2(1,2,3)?k3(1,3,t)?(0,0,0)。………………………（2分）

于是有方程組

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,?k?3k?tk?0

23?

1其系數行列式

……………………………………（3分）

D?23?t?

53t………………………………………………………….（4分）

（1）當

t?5

時，D?0，方程組只有零解：

k1?k2?k3?0

。此時，向量組

?1,?2,?

3線性無

關。………………………………………………………………………………（5分）

（2）當

t?5時，D?0，方程組有非零解，即存在不全為0的常數k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0。此時，向量組

?1,?2,?3線性相關。……………….（5分）

（3）當

t?5時，方程組的系數矩陣的秩小于3。由左上角2階子式不為零可知，系數矩陣的秩等于2。因此，取方程組①的前2個方程

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,令

k3?1，解得k1?1,k2??2，即?1?2?2??3?0，從而?3???1?2?2。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

?11

1?1?0,11???1,?2時，方程組有唯一解。………………（5分）（1）即

?1???2??11?1??1

????

??1?1?????0??11????(1??)?

2??11???2??00(1??)(2??)?(1??)(1??)????，（2）

則當

???2時，方程組無解。…………………………………………….（5分）

??1???1??1?

??????x?k1?1??k2?0???0?

?0??1??0???????。??1（3）當時，方程組有無窮多個解，通解為

…………………………………….（5分）

四、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

?30?5?

?

210?b1,b2,b3???a1,a2,a3?????0?14???…………………….（4分）

1．證明：因為

且a1,a2,a3線性無關…………………………………………………………（6分）

?5210?22?0

又0?1

……………………………………………….（8分）

故向量組b1,b2,b3也線性無關………………………………………………….（10分）

*?1

2．證明：因為

A?AA…………………………………………….（4分）

|A*|?|A?1|?n

1?

所以

……………………… ……….（8 分）

?A

n?1

…

…………………………….10分）（

第三篇：線性代數4試卷及答案

線性代數（經管類）試題B 試卷滿分100分

考試時間120分鐘

(出卷人：廖磊)試卷說明：AT表示矩陣A的轉置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式。

一、單項選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1．若行列式|A|=0，則A中（）A．必有一行全為0 C．有兩列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量組線性相關 D．所有元素全為0

a11a315a11?2a125a21?2a225a31?2a32a13a23，則D1的值為（）a33a23=3，D1=a212．設行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．設A，B，C，D均為n階矩陣，E為n階單位方陣，下列命題正確的是（）A．若A2?0，則A?0

B．若A2?A，則A?0或A?E C．若AB?AC，且A?0，則B?C

D．若AB?BA，則(A?B)?A?2AB?B

2224．設A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有（）A．A=B C．|A|=|B| ?1?A．?0?0?1001201??0? 0??1??2? 0??B．A=-B D．|A|2=|B|2

?1?B．?0?0??1?D．?2?3?1101231??1? 0??1??2?3??5．設3階方陣A的秩為2，則與A等價的矩陣為（）

?1?C．?2?0? 6.設A，B為同階可逆方陣，則下列等式中錯誤的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．設2階矩陣A＝，則A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．?a?cb??，則d??

8．設2階矩陣A＝??A．??C．???d??c?b?? a??b???a??A＝（）

??d?b?d??bc???a???c??a??＊

B．??

??d?c

D．??

9．設矩陣A＝，則A中()A．所有2階子式都不為零

B．所有2階子式都為零 C．所有3階子式都不為零

D．存在一個3階子式不為零

10．設?1,?2是??x1?x2?x3?1?2x1?x2?0，的兩個解，則（）

1A．?1??2是??2x1B．?1??2是??2x1C．2?1是??2xx?x2?x3?0?1?x2?0，的解，的解 x?x2?x3?0?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0，的解，的解 1D．2?2是??2x11．設?1,?2,?3,?均為n維向量，又?1,?2,?線性相關，?2,?3,?線性無關，則下列正確的是（）

A．?1,?2,?3線性相關 B．?1,?2,?3線性無關 C．?1可由?2,?3,?線性表示 D．?可由?1,?2線性表示

12．設向量?1?(a1,b1,c1),?2?(a2,b2,c2),?1?(a1,b1,c1,d1),?2?(a2,b2,c2,d2)，則下列命題中正確的是（）

A．若?1,?2線性相關，則必有?1,?2線性相關

B．若?1,?2線性無關，則必有?1,?2線性無關 C．若?1,?2線性相關，則必有?1,?2線性無關 D．若?1,?2線性無關，則必有?1,?2線性相關

13．設A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充分必要條件是()A．A的列向量組線性相關

B．A的列向量組線性無關 C．A的行向量組線性相關

D．A的行向量組線性無關

14．設α1，α2，α3，α4為向量空間V的一個基，則V的維數=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.設A與B是兩個相似n階矩陣，則下列說法錯誤．．的是（）A.A?B

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆陣P，使P-1AP=B

D.?E-A=?E-B

16．正交矩陣的行列式為（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩陣A＝的非零特征值為()A．

4B．

3C．

2D．1

18．當矩陣A滿足A2=A時，則A的特征值為（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)?x?y2.2的正慣性指數p為（）

B．1 D．3

22220.設有二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3,則f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.負定 D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi?0,i?1,2,3,則行列式a2b1a3b112322．三階行列式D?222，則A11?A12?A13?__________.451?3?A=?0?1?2??1?4??23.設,B=??1?0012??,則AB=__________.0?1114中元素9的代數余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k112?0,則k=___________.26．設A，B均為n階矩陣，(AB)?E，則(BA)=__________.?a11x1?a12x2?a13x3?0?27．若齊次線性方程組?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，則其系數行列式的值為

?ax?ax?ax?0322333?31122______________.?1?28.設矩陣A=?2?3?2t42??3?，若齊次線性方程組Ax=0有非零解，則數t=____________.5???1?29．設矩陣A=?0?0?0201??0?，矩陣B=A-E，則矩陣B的秩r(B)=______________.1??30.已知A有一個特征值-2,則B=A2+2E必有一個特征值___________.31.方程組x1?x2?x3?0的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α與β的內積為2，則數k=____________.33.設向量α=（b,12,12）T為單位向量，則數b=______________.34．設AX?0為一個4元齊次線性方程組，若?1,?2,?3為它的一個基礎解系，則秩（A）=_________.35．已知某個3元非齊次線性方程組Ax＝b的增廣矩陣A經初等行變換化為：，若方程組無解，則a的取值為

．

36．已知3維向量??(1,3,?1)T,??(?1,2,4)T，則內積(?,?)=____________.37.設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.38.設三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.?1??2?1?2?101??0?3??39.矩陣A=所對應的二次型是___________.T40．設3元實二次型f(x1,x2,x3)?XAX經正交變換化成的標準形為f?3y1，則矩陣

2A的特征值為_________.三、計算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）

***241.計算四階行列式的值.42．設A=?3??0?1?2??1?4??,B=??1?0012??,求矩陣0?AB.?1?43.已知矩陣A=?1?0?0?111??3??0?，B=?1?02???0111??0?，4??（1）求A的逆矩陣A-1；（2）解矩陣方程AX=B.44．設A=?3??1?1?1002101??1?1??0??2?2??,求A?1.45.設??1?A=?0?0??1?,B=?0?0?1200??2?3??,且A,B,X滿足(E-B?1A)TBTX?E.求X,X?1.46．求向量組?1=（1，2，1，3），?2=（4，-1，-5，-6），?3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一個極大線性無關組.47．設向量組?1?(1,?1,0)，?2?(2,4,1)，?3?(1,5,1)，?4?(0,0,1)，求該向量組的秩，并判斷其線性相關性。

?x1?2x2?4x3?3?2x2?2x3?348．求線性方程組??2x?2x?6x?323?1?8?17??，2??的通解.49.設矩陣A=??（1）求矩陣A的特征值與對應的全部特征向量.（2）判定A是否可以與對角矩陣相似，若可以，求可逆矩陣P和對角矩陣?，使得P-1AP=?.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通過正交變換可化為標準形f＝y1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、證明題（本大題10分）

51.設?1,?2,?3是齊次方程組A x =0的基礎解系.證明：

?1??1,?2??1??2，?3??1??2??3一定是Ax =0的基礎解系．

52．設A，B均為正交矩陣，且A??B，試證A?B?0.?

321、AB??0??12??11????04?21001111012?32????00????***02146??0

?2???

322、（A,E）=?1???1?

1??1???30??0………………………..3分 ?1??1??0……….………………….1分 ?0??01001?21???1………………………2分 ??3??1???1………………………..1分 ??1??1?100?2??0100??001?1?2??1111?2??1??1?2???1010

??0100???02?21?1010??0100???00?21??1010??0100??001?1?2??1?2??0?1????2?111011

?1??1??1?2??……2分

所以A?11?2??1?1??2??…………………………………………1分

?1?2?

23、令A=（?1,?2,?3)=?1?3???1?0???0?0??4?9?9?184?1?5?61???3??4?………………………….2分 ?7???1???5??5?………………………………………………….2分 ?10????1?0???0?0??49001??5?0?………………………………………………………….2分 0???所以向量組?1,?2,?3的秩為2………………………………………….2分 極大線性無關組為??1,?2?或??1,?3?或??2,?3?……………………….2分

?124、(A,b)??0???2?12?02???0?242?22224263??3………………………………………………..2分 ?3???13????3?0???3???02104103?3??……………………………………2分 2?0??1???0??00102100?3??………………………………………………………….1分 2?0?所以非齊次方程的一般解為

?x1??2x3??3x??x?3?22?……………………………………………

1分

所以齊次方程組的一個特解為?*?0???3????2??0???…………………………..1分

??2?x??2x?13?對應的齊次方程組為?得基礎解系為?1???1…………….2分 ???x2??x3??1??所以原方程組的通解為???*?k1?1,其中k1為任意常數………………….1分

25、（1）項式A??E?8??172??=（??1)(??9)

所以特征值?1?1,?2?9…………………………………………………..1分

?7當?1?1時，A?E???17??1???1??01??0?

即x1??x2，所以特征向量為?1???………………………………..1分

?1?對應特征值?1?1全部特征向量為k1?1，k為任意非零常數………..1分

當?2?9時，A?9E???1??17??1????7??0??1??7?? 0??7?即x1?7x2，所以得到對應的特征向量?2???………………………..1分 ?1?對應特征值?2?9的全部特征向量為k2?2，k2為任意非零常數……….1分（2）因為矩陣A有兩不同的特征值1和9,(或者說存在兩個線性無關的特征向量

?1,?2),所以矩陣A可以對角化……………………………………………..2分

可逆矩陣P=(?1,?2),即?10??9???1P=??17??1?,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

?10?．．．．．．．．．．．．．．．１分 ?．9?且有P?1AP???0

2６、，所以對角矩陣為????0證明：首先，?1,?2,?3 的個數與所給的基礎解系?1,?2,?3個數相同，都為３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A?1?A?1?0,A?2?A(?1??2)?0,A?3?A(?1??2??3)?0

所以，?1,?2,?3都是方程組Ax =0的解………………………………………2 最后，根據提設條件可以寫出矩陣等式

?1?(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)0???01101??1………………………………………2分 ?1??1110111把它記為B?AP.因為標出矩陣的行列式P?00=1?0…….1分

P是可逆矩陣………………………………………………………..1分 所以，r(B)?r(A)?3，這說明?1,?2,?3線性無關………………………

2分

所以，?1,?2,?3必是Ax =0的基礎解系……………………………………….1分

***10?402100021??3分 21、解：D=002=

00012100210002***02?15??15??4分

??3分 =0001=00022、解：(1)?A?1?E??1???00?100100011?1122?10?111?1?1102011?1?211000100??1??0?0???1???00?100010?112?2?1?1?21?11?12?1211?100100??0??1分 ?1???1? ?0???0?1? ?0???00??1??0?0???1???0?1??1??2分 ?1???1??2???1?1?A?2???1????1A?1?1???1??2分 ?1??B?X?A?1(2）AX?B?方程兩邊同時左乘?2??X?2????1?1?21?1,得 A?1AX?AB??2分

?1??3???11??1????00111??5??0?4??4?????2?2?32?1?2???2??3分 ?3??

23、解： E?B?A?TBX?E?B(E?BT?A)?TX?E??B?A?X?E??3分

T??2???X??0????0???1?2???0??0??0200??0?1??T???????1?2??0???00200??0?1???1?1?2???0??0??0120?0??0???3分 ?1???0120X?1?0??0??1????1?2??0???00200??0??4分 ?1???1210??1210?????

24、解：令A???1450???0660???3分

?0111??0111??????121?

??011?000?0??1???3分 ?1??所以向量組的秩為3。因為未知數的個數大于向量組的秩，所以向量組線性相關。……4分 ?200???

25、解：f的矩陣為A??03a?

……2分

?0a3???2??03??a0a3???(2??)3??aa3??先求A的特征值，A??E?00

?(2??)(??6??9?a)?0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通過正交變換可化為標準形f＝y1＋2y2＋5y3，得 矩陣A的特征值為1，2，5。

……2分

將λ1=1代入（1）式，得

(2?1)(1?6*1?9?a)?0?a??2.??4分

四、證明題

26、證：由已知可知

AAT?E

BBT?E

……2分

AT2222A?B?AA?AB?E?AB?BB?AB TTTTT

?BT?AT?B?BT?ATB?A?BB

……4分 再由A??B，又正交陣的行列式為?1

……1分 不妨設A?1，則B??1

則 A?B??A?B，故A?B?0

……3分

第四篇：線性代數試卷(網上1)

線 性 代 數 試 卷(A)

一、選擇題（每題3分，共15分）

?1a?12???若矩陣A??0?1a2?的秩r(A)?2,則a的值為_____________?10?12???1.(A)0(B)0或-1(C)-1(A)AT??(D)-1或者1(B)-AT*設A為正交矩陣，且|A|??1,則A?_____________ 2.(C)A????(D)-A

TT3.設?,?是n維列向量,???0,n階方陣A?E???,n?3，則在A的 n個特征值中,必然______________

(A)有n個特征值等于1(B)有n?1個特征值等于1(C)有1個特征值等于1(D)沒有1個特征值等于1

r(A)?r(B),則______________ 4.設A,B為n階方陣，且秩相等，既(A)r(A－B)?0(B)r(A?B)?2r(A)(C)r(A,B)?2r(A)(D)r(A,B)?r(A)?r(B)

___ 5.設矩陣Am?n的秩r(A)?n,則非齊次線性方程組Ax?b__________(A)一定無解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有無窮多解

二、填空題（每題3分，共15分）

**|A|?2|2A|=_____________ nA1.設是階方陣A的伴隨矩陣，行列式，則

2.D中第二行元素的代數余子式的和

1111j?1?A42j=__________ ,其中

D =

212f(xx,x)?x?4x?2x?2ax1x1?2x2x3正定,則實常數 1,231233.已知實二次型

a的取值范圍為________________

1?11111?11111?1AB?________________BA4.2n階行列式 ,其中n階矩陣 ?a0?0??0?0b?????0a?00?b0????A??B??????????0??????00?a??b?00???

??

?101???020??，?101?nn?1?而n?2為正整數，則A?2A?______ 5.設A=?

三、計算題(每題9分,共54分)1.計算n階行列式

x1?mx2x3?xnx1x2?mx3?xnDn???????x1x2x3?xn?m

?200??600??????1?1AX?BA?ABX?0，其中,A??0?10?,B??012??001??021????? X2.求矩陣使

?2x1?x2?a3x3?a4x4?d1??x1?2x2?b3x3?b4x4?d2?cx?cx?2x?3x?d22343有三個解向量 3.設非齊次線性方程組?11?2??3??1????????11???2????1??4???2?????????????

?1＝?1?，?2＝?1?，?3＝?2?

求此方程組系數矩陣的秩,并求其通解(其中ai,bj,ck,dt為已知常數)

4.已知實二次型 f(x1,x2,x3)=2x1?3x2?3x3?2?x2x3(??0)經過正交

222y?2y?5yX?QY123變換,化為標準形,求實參數?及正交矩陣Q

?x1?x2?x3?3x4?0?2x?x?3x?5x?1?1234??3x1?2x2?ax3?7x4?1??x1?x2?3x3?x4?b，問a,b各取何值時，線性

2225.設線性方程組為

方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解

446.在四元實向量構成的線性空間R中,求a使?1,?2,?3,?4為R的基,并求由基?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的過渡矩陣P,其中

四、證明題(每題8分,共16分)1.設 ?1,?2,?3 是歐氏空間V的標準正交基,證明: 13也是V的標準正交基

?1??1??1??1?????????011???????1??1????2????3????4???0011?????????0??0??0??1??? ?? ?? ?? ?1???1???1??1??????????111???????0??1????2???3????4???a2?a?00?????????1??1??0??0??? ?? ?? ??

?1?(2?1?2?2??3)?2?(2?1??2?2?3)?3?(?1?2?2?2?3)1313

T2.設f?XAX是n元實二次型,有n維實列向量X1,X2,使X1AX1?0，TTX2AX2?0, 證明:存在n維列實向量X0?0,使X0AX0=0

T

第五篇：2006~2007線性代數試題1答案

一、選擇題： [教師答題時間：2 分鐘]（每小題 3 分，共 12分）①A ②D

③A

④B

二、填空題： [教師答題時間：4分鐘]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 線性相關

③ 0

④-8

三、計算題 [教師答題時間： 6 分鐘]（共16分）

1、aDn?b?bba?b......??1bb?aba?bba?b?0n?1a?(n?1)b?a?(n?1)b?a?(n?1)b......??bb（4分）?a......??b0?ba?b......??bb?a解: ?[a?(n?1)b]1?11

＝[a?(n?1)b]0?0（2分）a?b＝[a?(n?1)b](a?b)（2分）

2、?1解：A???3?1???00?2240?112?1??1???2??02?2011?1012?1??(3分）5??14???(3分）??5?0? 4??5(2分）??2?

四、綜合題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共15分）

驏1??(a1,a2,a3,a4)=?1????-2桫驏1瓏瓏?瓏0瓏瓏瓏瓏0桫驏1??解：??0????0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16驏2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以極大無關組是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五題、綜合題 [教師答題時間： 8 分鐘]（共10分）

?1?解:?A,b???1?1????1???0?0?11??????(??3)11??11??112????0????0???(1??)?(4分）2??(??2??1)???2∴當?＝－3時，線性方程組無解（2分）

當??0且???3時，線性方程組有唯一解（2分）當?＝0時，線性方程組有無窮解（2分）六題、解答題 [教師答題時間： 5 分鐘]（共10分）

?1?A?3??5??1??0??0?010?253?2??5(2分）??3???1?0??0??210?2??1(2分）?0??0??1(2分）?0??

?0??0?????∴通解為x=c-1(2分），故基礎解系為c-1(2分）?????1??1?????七題、解答題 [教師答題時間：10 分鐘]（共12分）??3解：?E－ A?0121?2?4??10??1=(??1)(??4??5)(2分）所以A的特征值為?1?1,?2??3?i?2(2分）?4?當??1，E?A?0??1?120?2??1???4?0????00??0100???2?0???0???所以??1對應的特征向量為C12(C1?0)(3分）???1?????1?i???i?2時，A-?E=0???1??1??0??1?i?0i?11i?3??1???4?0????0?2???1?i?10010??4???i?3?2i?3??2i?2?0??

??i?3???所以??i?2時對應的特征向量為C2?2i?2(C2?0)(3分）????1??顯然A不能相似對角化(2分）八題、證明題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共13分）

?1?1)證明：（?1，?，?）＝（?，?，?）22312?3?0??1?設K=2??0?0231??0,顯然K?0,∴K可逆（2分）?3??0231??0（2分）?3??-1 ∴（?1，?，?）=（?，?，2?）K2313

故?1，?，?與?，?，2?等3價，而?，?，?2線性3無關2311∴?1，?，?線性無關（3分）232)證明：因為A為正交陣，故A??1,而A?0，∴A??1(2分）E＋A＝AA＋A?AA＋E?AA＋E??E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT