第一篇：線性代數附錄答案習題1和習題2

習題一

1.計算下列排列的逆序數

1）9級排列 134782695；

2）n級排列

n(n?1)?2。1

解：（1）?(134782695)?0?4?0?0?4?2?0?0?0?10 ；

（2）?[n(n?1)?21]?(n?1)?(n?2)???1?0?2.選擇i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897為偶排列。

解：（1）令i?3,k?8，則排列的逆序數為：?(127435689)?5，排列為奇排列。從而i?3,k?8。

（2）令i?3,k?6，則排列的逆序數為：?(132564897)?5，排列為奇排列。與題意不符，從而i?6,k?3。3.由定義計算行列式

n(n?1)。2a11a21 a31a41a51 aaaaa1222324252000aa000a53a43000。a5a4444555解：行列式＝j1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，因為j1,j2,j3至少有一個大于3，所以a1j1a2j2a3j3中至少有一數為0，從而a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0。

4.計算行列式： 40?211）?131； 2）

122?41?14?1111； 3）

1?111011?***； 07a213279b24）；5）21284c1?5?12525d2146416(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2。2(c?3)(d?3)2解：（1）－40 ；（2）－16 ；（3）0 ；（4）－1008 ；（5）0。

5.計算n階行列式：

xy0?001230xy?001?1000x?0002?2 1）； 2）?????????000?xy000y00?0x000?n?1n?00?00；

????2?n0?n?11?n1?a1111?a2 3）??11x????y122?21222?21（ai?0）； 4）223?2。??????1?an222?n?00y0?000x?00xy?00解：（1）原式=x??????(?1)n?1y0x?00（按第一列展00?xy?????00?0x00?xy開）

=xn?(?1)n?1yn。n(n?1)2320?1000?2（2）行列式=???000000?n?1n?00?00（后n?1列和加到第一列，????2?n0?01?n再按第一列展開）

n(n?1)(?1)(?2)?(1?n)

=2(n?1)!

=(?1)n?1。

2111?101?a11?111?a2?1（第一行第一列為添加的部分，注意（3）行列式=0?????011?1?an此時為n?1級行列式）

111?0???1c1?1c21?00a11c1?c3a

2??r2?r1r3?r1?1a1?1??1?011???a1an00?01a10010??1000a2?rn?1?r11?c1?cn?1an??a2?0

0?an?????an

=(1?11???)a1a2?an。a1an122?200?0r2?r11r3?r10（4）行列式?101??rn?r1?????100?n?222?21?02?10=1?(?1)（按第二行展開）????00?n?2??2(n?2)!。提高題

1.已知n級排列j1j2?jn?1jn的逆序數為k，求排列jnjn?1?j2j1的逆序數。解：設原排列j1j2?jn?1jn中1前面比1大的數的個數為k1，則1后面比1大的數的個數為(n?1)?k1，于是新排列jnjn?1?j2j1中1前比1大的個數為(n?1)?k1個；依此類推，原排列j1j2?jn?1jn中數i前面比i大的數的個數為ki，則新排列jnjn?1?j2j1中n)?1i前比in?大的個數為

(n?i)?ki個記?(j1?j2n?jkj1?k2???k1，?k故新排列的逆序數為

n(n?1)?k。2[(n?1)?k1]?[(n?2)?k2]??[(n?(n?1)?kn?1]?1?2??(n?1)?k?2.由行列式定義計算

2xx121x1?14 f(x)?中x與x3的系數，并說明理由。

32x1111x解： 由于行列式定義中的每一項來自于不同行和不同列的n個元素的乘積。而該行列式中每個元素最高含x的一次項，因此x4的項只能由對角線上的元素乘積所得到x4，故x4的系數為(?1)?(1234)?2＝2。

同樣的考慮可得x3的系數為(?1)?(2134)＝－1。

1xx21a1a1223.設P(x)?1a2a2???21an?1an?1?????xn?1a1n?1n?1，其中ai互不相同。a2?n?1an?

11）說明P(x)是一個n?1次多項式；

2）求P(x)?0的根。

解：1)把P(x)按第一行展開得：P(x)?A11?1?A12?x???A1n?xn?1。11而A1n??1a1a2??a1n?2n?2?a2?0，所以P(x)是一個n?1次多項式。

??n?2an?1?an?1根據范德蒙行列式

P(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an?1)(a1?a2)?(a1?an)(a2?a3)?(a2?an?1)?(an?2?an?1)

2)因為x?ai（i?1,2,?,n?1）代入P(x)中有兩行元素相同，所以行列式為零，從而P(x)?0的根為a1,a2,?,an?1。

習題二解答

1.計算 1）?x1x2?a11?x3??a21?a?31a12a22a32a13??x1????a23??x2? ；

?a33????x3??0??10??；求 A2、A3、A4。2）已知A???10???10??222解：1）a11x1 ； ?(a12?a21)x1x2?(a13?a31)x1x3?a22x2?(a23?a32)x2x3?a33x3?0??0??0???????000000? ；A3??? ；A4???。

2）A2???100??000??000???????10010000000???????311??11?1?????2.設 1）A??212?，B??2?10?，求 AB?BA。

?101??123??????abc??1ac?????

2）A??cba?，B??1bb?，求 AB。

?111??1ca??????a?b?ca2?b2?c2?22?2???2解：1）?20 ；2）?a?b?c0?b?2ac??4?4?2??3a?b?c???3.設A是n階實方陣，且A?A?0。證明A?0。

b2?2ac?222?a?b?c?。a?b?c???a11a12?a21a22證明：設A???????an1an2????a1n??a11a21??a2n?a12a22，則A??????????ann??a1na2n????an1??an2?。從而。???ann?2?a121?a2?21???an1?222?a?a???a1222n2A?A??????????????????0。

????222??a1n?a2n???ann?222222222所以a11?a21???an1?a12?a22???an2?a1n?a2n???ann?0。因為aij為實數，故aij?0（i,j?1,2,?,n）。即A?0。

?a1???a2?，a,a,?,a互不相同。證明與A可交換的矩陣只4.設A??n??12???an??能為對角矩陣。

?b11b12?b21b22?證明：設與A可交換的矩陣為B??????bn1bn2?a1b11a1b12?a2b21a2b22 ??????anbn1anbn2????b1n??b2n?，由AB?BA得： ???bnn??anb1n???anb2n?。?????anbnn??a1b1n??a1b11a2b12???a2b2n??a1b21a2b22??????????anbnn??a1bn1a2bn2即 aibij?ajbij（i,j?1,2,?,n）。由于a1,a2,?,an互不相同，所以i?j時，?b110?0b22bij?0。故B???????0bn2?0??0??。即B為對角矩陣。?????0?5.證明任一方陣可表示成一對稱矩陣和一反對矩陣之和。證明：設A為方陣，記B?(A?A?)2，C?(A?A?)2，則可知B為對稱矩陣，C為反對稱矩陣。且A?B?C。

6.設f(?)?am?m???a1??a0，定義f(A)?amAm???a1A?a0E，其中A?211???是n階方陣。已知f(?)??2???1，A??312?，計算f(A)。?1?10????513???解：f(A)?A2?A?E??803?。??21?2???7.已知方陣A滿足A2?A?7E?0。證明A及A?2E可逆，并求它們的逆矩陣。

證明：由A2?A?7E?0，可得：A(A?E)?7E。所以A可逆，且A?1?(A?E)。7同理由A2?A?7E?0，可得：(A?3E)(A?2E)?E。所以A?2E可逆，且(A?2E)?1?A?3E。

8.求下列矩陣的逆陣：

?211??223??13??? ；3）?1?10? ； 1）? ；2）121??????21???121??112??????1111??21?????11?1?121? ；5）??。4）??1?11?1??21?????1?1?112?????1??5解：1）??2??53??3?1?1??1?4?3??5 ；2）1??13?1? ；3）?1?5?3? ； ????4?1???1?13???164???????5??1111??8?42?1????8?42?1?11?1?1?1??。4）；5）

8?4?4?1?11?1?16?????1?1?118?????422???9.已知A??120?，且AB?A?2B，求B。??123????010??1??1?121?，解：由AB?A?2B，可得B?(A?2E)A。又(A?2E)???2??1?3?1???120??所以B?(A?2E)?1A???152??。?2?6?1???10.設A是n階方陣，如果對任意n?1矩陣X均有AX?0。證明A?0。

?a11a12?a21a22?證明：記A??????an1an2????a1n??1????a2n?0??，取X?，由AX?0，可得ai1?0

?0??????ann??0?（i?1,2,?,n）。同理可得aij?0（i,j?1,2,?,n）。從而A?0。11.已知4階方陣A的行列式A?5，求A*。

解：因為 AA??AE，兩邊取行列式有 AA??A。所以 A*?53?125。

4?A12.設A，B分別為m，n階可逆方陣，證明分塊矩陣??C證明：因為 A，B可逆，所以 A?0，B?0。故

0? ?可逆，并求逆。

B?A0?AB?0，從而CB?A??C0??X11可逆。記??B??X21X12??A?是?CX22??0??A的逆，則??B??C0??X11?B???X21X12???E，X22?AX11?E?X11?A?1???AX12?0?A0?X12?0??于是?，解得?。故矩陣??的逆為?1?1CB???X21??BCA?CX11?BX21?0?1???CX12?BX22?E?X22?B?A?1??1?1??BCA0??。?1B?A??1?1?1?，其中A，C存在，求X。0??013.設X???C?0解：因為 ??CA??0C?1??0X??E，所以????0??A?10??CA??0C?1??。?的逆為??10?0??A14.求下列矩陣的秩：

?224114??32?1?3????1?1?302?1??? ；

1）?2?13 ；2）1???121113??705?1?????312?2?1?1???1aa2?

3）?1bb2?1cc2?a3??b3?。c3??解：1）2。2）4。3）當a?b?c時，秩為1；當a,b,c有某兩個相等時，秩為2；當a,b,c互不相等時，秩為3。

提高題

1.秩為r的矩陣可表示為r個秩為1的矩陣之和。

證明：設矩陣A的秩r，由推論1?結果可知：存在可逆矩陣P和Q使得?EPAQ??r?00??1?Er，即 A?P??0??00??10??Ir?1?I1 Q?P[???????0??00??00??1其中? ]Q，0?Ik（k?1,2,?,r）表示第k行k列元素為

1、其余元素為0的r階方陣。記A?1[??Ik0??1k?P?00? ]Q（k?1,2,?,r），則?Ak的秩為1，且A?A1???Ak。2.設m?n矩陣A的秩為1，證明：

?a11）A可表示成???????b1?b?n?； ?am??2）A2?kA(k是一個數)。

證明：1）因為A的秩為1，所以存在某元素aij?0。記A的第i行元素為?b1,?,bn?，則A的任一行向量可由第i行線性表示（否則與i行向量線性無關，與A的秩為1矛盾）。記a1,?,an依次為第1行、?、第n行的表示系數，則有?A??a1??????b1?bn?。

??am???a12）由1）A????????b1?bn?，所以

??am???A2?[?a1???????b?a1???]?(b?a1??1?bn?][????b1?bn?1a1???bnan)????b1???am????am????am???a1?

?k??????b?b?1n?（其中k?b1a1???bnan）。

?am????1? 設A是n階方陣，X是n?1矩陣?1?3.??，證明：

????1??

1）AX的第i個元素等于A的第i行元素之和；

2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常數a，則A?1的每一行元素之和也相等。

bn??a11a12?a21a22證明：1）記A???????an1an2????a1n??a11?a12???a1n????a2n?a?a???a21222n?，則AX??。

????????ann?a?a???ann??n1n2?a???a

2）若A的每一行元素之和等于常數a，由1）AX????aX，由于A??????a?可逆，所以a?0。從而A?1X?11X，即A?1的每一行元素之和等于常數。aa4.證明：

1）上（下）三角矩陣的乘積仍是上（下）三角矩陣；

2）可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣。證明：1）記A?aij??n?n，B?bjk??n?n為上三角矩陣，C?AB。則i?j?k時，aij?0，bjk?0。對任意s，當i?s時，ais?0，當k?i?s時bsk?0，即任意s，aisbsk?0。從而i?k時，cik?ai1b1j???aisbsk???ainbnk?0。故上三角矩陣的乘積仍是上三角矩陣。同理可證明下三角矩陣的情形。

?a11a12?0a22?

2）對可逆的上三角矩陣A?????0?0?a11a12?0a22?對于?A?E??????0?0變換

????a1n??a2n?，aii?0（i?1,2,?,n），???ann?????a1na2n?ann?10?0???01?0?，先進行第二類初等行

????????00?1?1，再作第三類初等行變換把左邊變成單位矩陣時，右邊ri（i?1,2,?,n）aii即為上三角矩陣。亦即可逆的上三角矩陣的逆仍是上三角矩陣。5.已知實三階方陣A滿足：1）aij?Aij；2）a33??1。求A。解：因為AA??AE，所以AA??A。由于aij?Aij，從而有A??A??A。于是A?0或A?1。

若A?0，則AA??AA??0，由于A為實三階方陣，由習題3可得A?0。此與a33??1矛盾。從而A?1。

6.設A?E?????，其中?是n?1非零矩陣。證明：

1）A2?A的充分必要條件是?????1； 2）當?????1時，A是不可逆矩陣。

證明：1）若A2?A，即有E?(????2)?????E?????。又?是n?1非零矩陣，所以???是n?n非零矩陣，從而?????2?1，即?????1。以上每步可逆，故命題成立。

2）當?????1時，由1），A2?A。若A可逆，則可得A?0，矛盾。故A是不可逆矩陣。

7.設A，B分別是n?m、m?n矩陣，證明：3EmAB?En?AB?Em?BA。EnB?En?AB；En?Em0??Em證明：因為???A?AEn????Em又??AB??Em???En??0B?Em，所以?En?AB?AB??Em0??Em?BAB?Em????，所以AEn???AE0En?n????B?Em?BA。從而命En題成立。

8.A，B如上題，??0。證明：?En?AB??n?m?Em?BA。

0??Em??Em??證明：由于??0，可得1?A???AE?n??????EmB?????En???0?B??，所以 1En?AB?????EmAB?En?Em0B??m?n?En?AB； 1En?AB???Em又??AB??Em0???Em?BAB??Em????，故AEn???AE0En?n????B??Em?BA。從而En?En?AB??n?m?Em?BA。

第二篇：線性代數習題2

第2章

線性方程組

練習題

1、已知 ?1 =(1 , 1 , 0 , 1)T，?2 =(2 , 1 , 3 , 1)T，?3 =(1 , 1 , 0 , 0)T，?4 =(0 , 1 , ?1 , ?1)T，? =(0 , 0 , 0 , 1)T，（1）求向量組 ?1，?2，?3，?4 的秩，（2）判定 ? 是否可以表為 ?1，?2，?3，?4 的線性組合，說明理由。（4，可以）

2、設向量組 ?1 =(1 , 1 , 1)T，?2 =(1 , 2 , 3)T，?3 =(1 , 3 , t)T，求（1）當 t 為何值時，?1，?2，?3 線性無關？（2）當 t 為何值時，?1，?2，?3 線性相關？此時將 ?3 表為 ?1 與?2 的線性組合。

（t ? 5 時，?1，?2，?3 線性無關；t = 5時，?1，?2，?3 線性相關，且 ?3 = ??1 + 2?

2）

3、確定 ? 為何值時，向量 ? =(0 , 1 , ?)T 可以表為向量組 ?1 =(1 , 2 , 3)T，?2 =(2 , ?1 , 1)T，?3 =(?1 , ?1 , ?2)T，?4 =(?2 , 1 , ?1)T 的線性組合，并求出一個具體表達式。

（? =1；? = ?1 + ?2 + ?3 + ?）

?k??1??1??k?3?????????

4、設 ?1??1?，?2??k?，?3??1?，????2?，討論 k 為何值時，（1）? 不能由 ?1，?1??k??1???2??????????2，?3 線性表出；（2）? 能由 ?1，?2，?3 線性表出，且表示法唯一；（3）? 能由 ?1，?2，?3 線性表出，且表示法不唯一，并求出一個具體表示。

（（1）? 2；（2）k ? 1且 k ? ?2 ；（3）1，? = ?2 ?）

5、已知向量組 ?1 =(1 , 0 , 2 , 3)T，?2 =(1 , 1 , 3 , 5)T，?3 =(1 , ?1 , a+2 , 1)T，?4 =(1 , 2 , 4 , a+8)T 及 ? =(1 , 1 , b+3 , 5)T，求（1）a、b 為何值時，? 不能表示成 ?1，?2，?3，?4 的線性組合；（2）a、b 為何值時，? 有 ?1，?2，?3，?4 的唯一線性表示式，寫出該表示式。

（當 a = ?1 且 b ? 0 時，不可以；當 a ? ?1 時，有唯一的線性表示式

2ba?b?1b?1??2??3?0??

4）a?1a?1a?1???

6、已知 ?1 =(1 , 2 , ?3 , 1)T，?2 =(5 , ?5 , a , 11)T，?3 =(1 , ?3 , 6 , 3)T，? =(2 , ?1 , 3 , b)T，問（1）a、b 取何值時，? 不能由 ?1，?2，?3 線性表示？（2）a、b 取何值時，? 可以由 ?1，?2，?3 線性表示？并寫出表示式。

（b ? 4 時，不能；b = 4 且 a ? 12 時，唯一表示：? = ?1 + 0 ? ?2 + ?3 ； b = 4 且 a = 12 時，表示不唯一：? =(1?2c)?1 + c ?2 +(1?3c)?3（c 為任意常數））

7、設向量組 ?1 =(2 , k , 1)T，?2 =(k?1 , ?1 , 2)T，?3 =(4 , 1 , 4)T 線性相關，求k 值。（k = 1 或 k = 9 / 4）

8、設 n 維（n > 1）向量組

?1 =(0 , 1 , 1 , … , 1 , 1)T，?2 =(1 , 0 , 1 , … , 1 , 1)T，…，?n =(1 , 1 , 1 , … , 1 , 0)T，試判斷該向量組是否線性相關。（線性無關）

9、已知向量組 ?1，?2，…，?s（s ? 2）線性無關，設 ?1 = ?1 + ?2，?2 = ?2 + ?3，…，?s?1 = ?s?1 + ?s，?s = ?s + ?1，討論向量組 ?1，?2，…，?s 的線性相關性。

（s 為奇數時，線性無關；s 為偶數時，線性相關）

10、設向量組 ?1，?2，?3 線性無關，問常數l，m滿足什么條件時，向量組 l?2 ? ?1，m ?3 ? ?2，?1 ? ?3 線性無關。（l m ? 1）

11、設向量組 ?1 =(1 , 2 , ?1 , 1)T，?2 =(2 , 0 , t , 0)T，?3 =(0 , ?4 , 5 , ?2)T 的秩為 2，求 t 的值。（t = 3）

12、設向量組 ?1，?2，?3，?4，?5，其中 ?1 =(1, ?1, 2, 4)T，?2 =(0, 3, 1, 2)T，?3 =(3, 0, 7, 14)T，?4 =(1, ?2, 2, 0)T，?5 =(2, 1, 5, 10)T。求（1）向量組 ?1，?2，?3，?4，?

5的秩；

（2）找出向量組的一個極大無關組，并將其余向量用此極大無關組線性表示。

（3；?1，?2，?4 為其一個極大無關組，?3 = 3?1 + ?2 + 0 ? ?4，?5 = 2?1 + ?2 + 0 ? ?4）

13、已知向量組 ?1 =(1 , 1 , 1 , 3)T，?2 =(?1 , ?3 , 5 , 1)T，?3 =(3 , 2 , ?1 , p+2)T，?4 =(?2 , ?6 , 10 , p)T，問：

（1）p 取何值時，向量組 ?1，?2，?3，?4 線性無關？試將向量 ? =(4 , 1 , 6 , 10)T 用 ?1，?2，?3，?4 線性表出。

（2）p 取何值時，向量組 ?1，?2，?3，?4 線性相關？求出 ?1，?2，?3，?4 的一個極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表示。

（p ? 2時，線性無關，??2?1?3p?41?p?2??3??4；P = 2 時，線性相關，極大無關p?2p?2組：?1，?2，?3，且 ?4 = 0 ??1 + 2?2 + 0 ? ?

3）

?kx1?2x2?x3?0?

14、已知齊次線性方程組 ?x1?x2?x3?0 有非零解，求 k 的值。（?2 或 3）

?2x?kx?02?1

15、設 3 ? 4 矩陣 A 為一齊次線性方程組的系數矩陣，且 r(A)= 2，又已知 ?1 =(1 , 1 , 3 , 1)T，?2 =(?1 , 1 , ?1 , 3)T，?3 =(5 , ?2 , 8 , ?9)T，?4 =(?1 , 3 , 1 , 7)T 均為該齊次線性方程組的解。試求它的一個基礎解系，并將其余解表為該基礎解系的線性組合。

37（基礎解系：?1，?2 ；且 ?3??1??2，?4 = ?1 + 2 ?）

16、已知向量組 ?1 =(1 , ?2 , 1 , 0 , 0)T，?2 =(1 , ?2 , 0 , 1 , 0)T，?3 =(0 , 0 , 1 , ?1 , 0)T，?x1?x2?x3?x4?x5?0?3x?2x?x?x?3x?0?12345?4 =(1 , ?2 , 3 , ?2 , 0)T 都是下面齊次線性方程組的解：?，判斷

x?2x?2x?6x?02345???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0?1，?2，?3，?4 是否為該方程組得一個基礎解系？若是，說明理由；若不是，在此向量組的基礎上進行適當增減后，構成一個基礎解系。

（不是。基礎解系為：?1，?2，?，其中 ? =(5 , ?6 , 0 , 0 , 1)T）

x4??1?2x1?x2??

17、用基礎解系表示下列方程組的全部解 ?x1?3x2?7x3?4x4?3。

?3x?2x?x?x??2234?1?0??1???1????????1??2???1?（?????c1???c2??，c1、c2 為任意常數）

010???????0??0??1??????? 1?1??x1??1?1???????A?2a?2?b?2B?3X?

18、設 ?x2?，試就 a、b 的各種取值情況，討論線??，??，?x??0?3aa?2b???3??????3?性方程組AX = B 的解，如果有解，求出其解。

（當 a = 0 時，無解；當 a ? 0 且 a ? b 時，有唯一解：x1?1?且 a = b 時，有無窮多解：x1?1?

19、已知非齊次線性方程組 AX = B 的增廣矩陣?A 經初等行變換化為如下形式：

11,x2?,x3?0 ；當 a ? 0 aa11,x2??c,x3?c，c 為任意常數）aa?1??0A??A,B?????0??0?寫出它的全部解。0?4120k?8001200??1???1?，討論 k、t 取何值時方程組無解，有解；當有解時，?0???t?2????1??4???1???????1?2??????2?（當 t ? ?2 時，無解；當 t = ?2 且k = ?8 時，全部解為 ?????c1???c2??，c1、010???????0??0??1?????????1???1??????1???2?c2 為任意常數；當 t = ?2 且k ? ?8 時，全部解為 ?????c??，c 為任意常數）

00?????0??1?????

x3?x4?0?x1?x2??x2?2x3?2x4?1?20、當 a、b 為何值時，線性方程組 ? 無解，有唯一解和無窮多

?x?(a?3)x?2x?b234??x3?ax4??1?3x1?2x2?解？在方程組有無窮多解時，用其導出組的基礎解系表示出線性方程組的全部解。

（a = 1 且 b ? ?1 時，無解；a ? 1 時，唯一解；a = 1 且 b = ?1 時，無窮多解：??1??1??1????????1???2???2??????c1???c2??，c1、c2 為任意常數）

010???????0??0??1???????

?x1?x2?kx3?4?

21、討論k為何值時線性方程組??x1?kx2?x3?k2 無解，有唯一解，有無窮多解？在有無

?x?x?2x??423?1窮多解的情況下，用基礎解系表示其全部解。

?0???3?????（當k = ?1時，無解；當k ? ?1且 k ? 4時，唯一解；當k = 4時，無窮多解：???4??c??1?，?0??1?????c為任意常數）

22、設四元非齊次線性方程組 AX = B 的系數矩陣的秩為 3，已知 ?1，?2，?3 為它的三個解向量，其中 ?1 =(2 , 0 , 5 , ?1)T，?2 + ?3 =(2, 0, ?2 , 6)T，試求該方程組的全部解。

?2??2??????0??0?（?????c??，c為任意常數）

512??????1???8?????

23、已知矩陣 A 是元非齊次方程組的系數矩陣，且 r(A)= 3，?1，?2，?

3是該方程組的三個不同解向量，其中 ?1 + 2?2 + ?3

=(2 , 4 , 6 , 8)T，?1 + 2?3 =(1 , 3 , 5 , 7)T，試求 4 元非齊次方程組的全部解。（??（24、設 A 為 3 ? 4 矩陣，r(A)= 2，且已知非齊次線性方程組 AX = b 的三個解為 ?1 =(1 , ?1 , 0 , 2)T，?2 =(2 , 1 , ?1 , 4)T，?3 =(4 , 5 , ?3 , 11)T，求：（1）齊次線性方程組 AX = 0 的通解；（2）用基礎解系表示出 4 元非齊次線性方程組 AX = b 的全部解。

（? = c1(?2 ? ?1)+ c2(?3 ? ?2)= c1(1 , 2 , ?1 , 2)T + c2(2 , 4 , ?2 , 7)T，c1、c2 為任意常數；? = ?1 + ? =(1 , ?1 , 0 , 2)T + c1(1 , 2 , ?1 , 2)T + c2(2 , 4 , ?2 , 7)T，c1、c2 為任意常數）

25、已知 ?1 =(1 , 2 , 0)T，?2 =(1 , a+2 , ?3a)T，?3 =(?1 , b+2 , a+2b)T，? =(1 , 3 , ?3)T，當 a、b 為何值時，?1，?2，?3 是 R3 的一組基？并求 ? 在這組基下的坐標。

?a?11?（a ? 0 且 a + 5b + 12 ? 0；?，0?）

a?a?13，1，2)T?c(2,0,?2,?4)T，c 為任意常數。）22

26、在 R3 中給定兩組基：?1 =(1 , 1 , 0)T，?2 =(0 , 1 , 1)T，?3 =(1 , ?1 , 2)T ；?1 =(1 , 0 , 1)T，?2 =(0 , 1 , 1)T，?3 =(1 , 1 , 4)T，求非零向量 ?，使它在上述兩組基下有相同的坐標。

（? = c(0 , 1 , 1)T，c 為任意非零常數）

x4?x5?0?x1?x2??x3?2x5?0，求其解空間的一組正交基。

27、設齊次線性方程組 ?x1??x2?x3?x4?x5?0?121?，1，0)T，(?1 , 0 , 1 , 0 , 1)T）（(1 , 1 , 1 , 0 , 0)T，(?，333

28、設 ?1 =(1 , ?2 , 2)T，?2 =(2 , ?4 , 4)T，?3 =(?1 , 0 , ?1)T，?4 =(?2 , 2 , ?3)T，?5 =(5 , ?3 , ?7)T

? R3，求（1）R3 的子空間 L(?1，?2，?3，?4，?5)的維數和一組標準正交基。（2）?1，?2，?3，?4，?5 在這組標準正交基下的坐標。

22?21??1?2（dim L(?1，?2，?3，?4，?5)= 3，?,?,?，??,?,??，33?33??3?312??2?,?,??；(3 , 0 , 0)，(6 , 0 , 0)，(?1 , 1 , 0)，(?4 , 1 , 0)，(?1 , 1 , 9)）

33??3

29、設向量組 ?1，?2，?3，其中

?1 =(?1 , 1 , 0)T，?2 =(?1 , 0 , 1)T，?3 =(1 , 1 , 1)T，并且 ?1 與 ?2 線性無關，?3 與 ?1，?2 相互正交，（1）試判斷 ?1，?2，?3 是否為 R3 上的一組基；（2）如果是，將其化為 R3 上的一組標準正交基。

?1,（是；??2?1TTT?1?1,0?，??,?,?266??T?12???,，??6??3T13,1???）3?T

30、證明題

?x1?2x2?2x3?0?（1）設方程組 ?2x1?x2??x3?0 的系數矩陣為 A，三階矩陣 B ? 0，且滿足 A B = 0，求?3x?x?x?023?1① 參數 ? ；② 該方程組的全部解；③ 證明行列式 ? B ? =0。

（1；? = c(0 , 1 , 1)T，c 為任意常數）

（2）設實矩陣 Am?n（n < m），且線性方程組 A X = B 有唯一解，證明：AT A 是可逆矩陣，并求其解矩陣 X 的表達式。（X =(AT A)?1 AT B）

（3）設 A 為 n 階非零矩陣，求證：若存在一個 n 階非零矩陣 B，使 A B = 0，則 ? A ? = 0。

（4）設 A 為 m ? n 矩陣，B 為 n ? m 矩陣（m < n），E 是 m 階單位矩陣，若 A B= E，求證： A 的行向量組線性無關。

（5）設向量組 ?1，?2，?3 線性無關，證明：向量組 ?1 + ?2，3?2 + 2?3，?1 ? 2?2 + ?3 線性無關。

（6）求證：n 維向量組 ?1，?2，…，?n 線性無關的充要條件是 n 維標準向量組 ?1，?2，…，?n 可以由 ?1，?2，…，?n 線性表示。

（7）設 ?1，?2，…，?s 為一組 n 維向量（s ? 2），且向量組

?1??2??3????s?2??1??3????s?，求

?s??1??2????s?1證：向量組 ?1，?2，…，?s 線性無關的充分必要條件是 ?1，?2，…，?s 線性無關。

（8）設 ?1，?2，…，?m 為一個 n維向量組，已知 r(?1，?2，…，?s)= r(?1，?2，…，?s，?s+1，…，?m)，求證：{ ?1，?2，…，?s }? { ?1，?2，…，?s，?s+1，…，?m }。

（9）已知向量組 ?1，?2，…，?m+1（m ? 1）線性無關，向量組 ?1，?2，…，?m 可表為 ?i = ?i + t i ?m+1（i = 1，2，…，m），其中 t i（i = 1，2，…，m）是數。證明：向量組 ?1，?2，…，?m 線性無關。

（10）設向量組 ?1，?2，?3，…，?n 的前 n ? 1 個向量線性相關，后 n ? 1 個向量線性無關，證明：① ?1 能由 ?2，?3，…，? n?1 線性表示；② ?n 不能由 ?1，?2，…，? n?1 線性表出。

（11）設向量 ? 可由向量組 ?1，?2，…，? r ? 1，? r 線性表示，但向量 ? 不可由向量組 ?1，?2，…，? r ? 1 線性表示。試證：向量組 ?1，?2，…，? r ? 1，? r 與 ?1，?2，…，? r ? 1，? 有相同的秩。

（12）設 ?1，?2，?3 是某個向量組的極大無關組，?1，?2，?3 是此向量組的部分組，并且 ?1 = ?1 + ?2 + ?3，?2 = ?1 + ?2 + 2?3，?3 = ?1 + 2?2 + 3?3。證明：?1，?2，?3 也是此向量組的極大無關組。

（13）設向量組 ?1，?2，…，?m 線性無關，向量 ?1 可由該向量組線性表示，而向量

?2 不能由該向量組線性表示，證明：m + 1 個向量 ?1，?2，…，?m，l ?1 + ?2

（l 為常數）線性無關。

?x1?x2?x?x?4（14）在線性方程組?3?x1?x3??x2?x4?a1?a2中，a1?a2?b1?b2。求證：方程組有解，并用其導出組?b1?b2的基礎解系表示其全部解。（? =(a1 ? b2 , b2 , a 2 , 0)T + c(1 , ?1 , ?1 , 1)T，c 為任意常數）

（15）設 ?1，?2，?3 是齊次線性方程組 AX = 0 的一個基礎解系，證明：?1 + ?2，?2 + ?3，?3 + ?1 也是該齊次線性方程組的一個基礎解系。

（16）設 ? 是非齊次線性方程組 AX = b 的一個解，?1，?2，… , ? n ? r 是其導出組 AX = 0 的一個基礎解系，證明：?1，?2，… , ? n ? r，? 線性無關。

（17）設 ? 是非齊次線性方程組 AX = b 的一個解，?1，?2，… , ? n ? r 是其導出組 AX = 0 的一個基礎解系，且 ?1，?2，… , ? n ? r，? 線性無關，證明：? + ?1，? + ?2，… , ? + ? n ? r，? 線性無關。

（18）證明：正交向量組是線性無關的。

?AO?（19）如果 A 與 B 分別是兩個 n 階正交矩陣，證明：分塊矩陣C?? ?OB?? 是正交矩陣。

??

第三篇：線性代數習題答案

習題 三（A類）

1.設α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.設3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判別下列向量組的線性相關性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關；（2）線性相關；（3）線性無關；（4）線性相關.5.設α１,α２,α3線性無關，證明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也線性無關.證明：設

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，即

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.由?1,?2,?3線性無關，有

?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3線性無關.6.問a為何值時，向量組

?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a)

'''線性相關，并將?3用?1,?2線性表示.13?1223?7(5?a),當a=5時，?3?a117解：A?23?1?17?2.7.作一個以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關, 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，?1?10）線性無關，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個行向量.所以方陣可為??1??10?10010000??0?.0??1?

8.設?1,?2,?,?s的秩為r且其中每個向量都可經?1,?2,?,?r線性表出.證明：?1,?2,?,?r為?1,?2,?,?s的一個極大線性無關組.【證明】若

?1,?2,?,?r

(1)線性相關，且不妨設

?1,?2,?,?t(t

(2)是(1)的一個極大無關組，則顯然（2）是?1,?2,?,?s的一個極大無關組，這與?1,?2,?,?s的秩為r矛盾，故?1,?2,?,?r必線性無關且為?1,?2,?,?s的一個極大無關組.9.求向量組?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關組.【解】把?1,?2,?3按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.?1?1A???1??k11k11??1??20????01???1??01??1??010????0k?10???1?k1?k??011??1??010????0k?10???01?k??011k?1001??0? 1??0?當k=1時，?1,?2,?3的秩為2,?1,?3為其一極大無關組.當k≠1時，?1,?2,?3線性無關，秩為3，極大無關組為其本身.10.確定向量?3?(2,a,b),使向量組?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3與向量組?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3線性表出.【解】由于

?0?A?(?1,?2,?3)?1???1?1?B?(?1,?2,?3)?1???01211111??1??0?0????1???02??1??a?0???b???01102?100???1;?0??2??,b?a?2??

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

?0?c?(?1,?2,?3,?3)?1???112110?12??1??a?0???b???0210010?? ,2?b?a?2??a要使?3可由?1,?2,?3線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設要求，即?3=(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個極大線性無關組.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣Α，應用初等行變換將Α化為最簡形矩陣B，則 11??1 0 ??1 4 1???1 4 1??1 4 1?9?????5?????0 1 ?2 ?1 ?30 ?9 ?55????????A??9???0 1 ??B

?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5?9?0 0 0???????0 0 0?????0 0 0??3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??????0 0 0?5可知：R（Α）=R（B）=2，B的第1，2列線性無關，由于Α的列向量組與B的對應的列向量有相同的線性組合關系，故與B對應的Α的第1，2列線性無關，即α1,α2是該向量組的一個極大無關組.（2）同理，? 6 1 1 7??0-11 55 7??1 2-9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10-11 55 7??????? 1 2-9 0???1 2-9 0???0-8 40 1?????????1 3-6 ?10 5-15-10 5-15-1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2-9 0?7?0 1-5-?11?45?0 0 0-11??240 0 10 ?11??0 0 0 0????1 2-9 0??1 0 0 0???????0 1-5 00 1 0 0????????0 0 10 0???0 0 1 0??B?????0 0 0 10 0 0 1??????0 0 0 0??0 0 0 0?????????

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4個列向量線性無關,即α1,α2,α3,α4是該向量組的極大無關組.(3)同理，?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0-4-4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取線性無關組α1,α3,α5為該向量組的一個極大無關組.12.求下列向量組的一個極大無關組,并將其余向量用此極大無關組線性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成Α,應用初等行變換化為最簡形式.3??1 0 1?1-1 5-1????1-1 5-1??1-1 5-1?2????7??????1 1-2 30 2-7 47??????0 1-2 2???0 1-2??B, A?????3-1 8 1??0 2-7 4?2?0 0 0 0???????0 0 0 0?????0 0 0 0??1 3-9 7??0 4-14 8 ??0 0 0 0?????可知,α1,α2為向量組的一個極大無關組.?x1?x2?5?37?x1?x2??2設α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2??

22?3x1?x2?8?x?3x??9?12?x1?x2??1??x1?x2?3設α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2

?3x1?x2?1?x?3x?7?12所以a3?32a1?72a2,a4?a1?2a2.?1 1 1 4-3??1 1 1 4-3??1 0 2 1-2???????1-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1????????B(2)同理, A???2 1 3 5-5??0-1 1-3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0??????可知, α

1、α2可作為Α的一個極大線性無關組，令α3=x1α1+x2α?x1?x2?1可得：?即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, x?x?3?12?x1?x2?4可得：?即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, ?x1?x2??2?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αx?x??1?122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.設向量組?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能經?1,?2,?,?s線性表出.證明?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s等價.【解】設向量組

?1,?2,?,?m

(1)與向量組

?1,?2,?,?s

(2)的極大線性無關組分別為

?1,?2,?,?r

(3)和

?1,?2,?,?r

(4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即

r?i??aj?1ij?j(i?1,2,?,r).因（4）線性無關，故（3）線性無關的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.14.設向量組α1,α2,…,αs的秩為r1,向量組β1,β2,…,βt的秩為r2,向量組α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩為r3,試證:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.證明：設αs1,…，?Sr1為α1,α2,…，αs的一個極大線性無關組, βt1,βt2,…,?t為β1，r2β2,…,βt的一個極大線性無關組.μ1，…，?r為α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3個極大線性無關組，則α

s1，…，?S和βt1，…，β

r1tr2

可分別由μ1，…，?r線性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2線性表示及線性無關性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量組α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡形式： ?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,從而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關組.?25?75(1)??75??***42043??1??1320?；

(2)??2134???48??11201213025?141???1?.3???1???1????2【解】(1)矩陣的行向量組??的一個極大無關組為?1,?2,?3;

??3?????4???1????2(2)矩陣的行向量組??的一個極大無關組為?1,?2,?4.??3?????4?17.集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否構成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)則

????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).因為

(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空間.18.試證：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把?1,?2,?3排成矩陣A=(?1,?2,?3),則

1A?1010101??2?0, 1所以?1,?2,?3線性無關，故?1,?2,?3是R3的一個基，因而?1,?2,?3生成的向量空間恰為R3.19.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生的向量空間的一組基及其維數.【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01112343411214??1??50????06???4??01?1023?2041?1114??1???30????02???4??01?1003?2001?1104???3 ?,2??0?∴?1,?2,?4是一組基，其維數是3維的.20.設?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),證明: L(?1,?2)?L(?1,?2).【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010112?1330??1??10????0?1????1??01?1002?3000??1 ?,0??0?由此知向量組?1,?2與向量組?1,?2的秩都是2，并且向量組?1,?2可由向量組?1,?2線性表出.由習題15知這兩向量組等價，從而?1,?2也可由?1,?2線性表出.所以

L(?1,?2)?L(?1,?2).21.在R3中求一個向量?，使它在下面兩個基

(1)?1?(1,0,1),(2)?1?(0,?1,1),?2?(?1,0,0)?2?(1,?1,0)?3?(0,1,1)?3?(1,0,1)

下有相同的坐標.【解】設?在兩組基下的坐標均為(x1,x2,x3)，即

?x1??x1???????(?1,?2,?3)x2?(?1,?2,?3)x2,???????x3???x3???1?0???1?1000??x1??0????1x2??1????1????1?x3???1?101??x1????0x2???1????x3??

即

?1?1???0?210?1??x1????x?0, 1??2?0????x3??求該齊次線性方程組得通解

x1?k,x2?2k,x3??3k

(k為任意實數)故

??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).22.驗證?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)為R3的一個基，并把?1?(5,0,7), ?2?(?9,?8,?13)用這個基線性表示.【解】設

A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2)，又設

?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3, 即

?x11?(?1,?2)?(?1,?2,?3)x21???x31x12??x22, ?x32??記作

B=AX.則

?1?(A?B)??1???0?1?0???***?2507?9??r2?r1???8????13???1?0???0233?1?0???0342010557001?9?r2?r3????17?r?2?r3??13??23?13???3??2???9??作初等行變換??13???????4??

因有A?E,故?1,?2,?3為R3的一個基，且

?2?(?1,?2)?(?1,?2,?3)3????13???3, ??2??即

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.（B類）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.設向量組α1,α2,α3線性相關,向量組α2,α3,α4線性無關,問:(1)α1能否由α2,α3線性表示?證明你的結論.(2)α4能否由α1,α2,α3線性表示?證明你的結論.解：(1)由向量組α1，α2，α3線性相關，知向量組α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4線性無關，所以α2, α3線性無關，故α2, α3是α1, α2, α3的極大線性無關組，所以α1能由α2, α3線性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3線性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的極大線性無關組,所以α4可由α2，α3線性表示.與α2，α3，α4線性無關矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1線性相關,但其中任意

n個向量都線性無關,證明:必存在n+1個全不為零的數k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.證明:因為α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1線性相關，所以存在不全為零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，則k2α2+…+kn+1αn個向量都性線無關，則k2=…=kn+1=0,矛盾.從k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1個全不為零的數k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.設A是n×m矩陣,B是m×n矩陣,其中n＜m,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關.證明：由第2章知識知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小結所給矩陣秩的性質，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關.

第四篇：線性代數習題答案

綜合練習一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er?2,s?5,t?8或r?5,s?8,t?2或r?8,s?2,t?5.01Fi?2,j?1.01G?12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序數為k2;當k為偶數時,排列為偶排列,當k為奇數時,排列為奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)?(aa1222a13a1411?a22?a33?a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x?18.01Nf?(x)g?(x)s?(x).01O?1.f??(x)g??(x)s??(x)02AB、D.02B?3.02C6.02Dx?0,?1,?2.02E(?1)n?1(n?1)xn.02F(12?13?????1)n!.02G(?1)n(n?1)2nn?1(n?1)n.2.02H(?1)n?1(na?x)xn?1.02I(?1)n[(??1)n??n].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa?0,b?0.4403G?1,?3.03Ha?bii03If(x)?2x2?3x?1.i?1i?1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1?a?a2)(1?a)3.04Bn?1.04Cx1x2...xn?1(1?a1x1?a2x2?...?anxn).04Dx1x2...xn[1?a(1x?1?...?1.1x2xn)]04E(x?1)n..49.04F1?(?1)a1?(?1)2a2an1?...?(?1)anan?1...a2a1?n04G?(n?1)?當a??,??n?1??n?1?????當a??.05A0.05B?1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H?9,18.06An!(n?1)!(n?2)!...2!1!.06B?(cos?).4ij1i?cos?j07A(1?x)2(10?x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E?2.08Fa?0且b??b/4.08Gf(x)?2x2?3x?1.08H甲、乙、丙三種化肥各需3千克,5千克,15千克.綜合練習二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a?2n).01N(A?B)(A?B).01S(2)A2?49(A2?E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(?1)n?1n?1k2(n?1)!.(2)(?1)n?1n!(k?1,2,?,n).01V兩年后在崗職工668人,培訓人員334人.01W即晴天概率為146256,陰天的概率為6248256,下雨天的概率為256.?xn?x4??260?01X??1??y???023/2??1/200????xn?.???y?n?1??n??y?????zn?1?????01/40?????zn???4??236??z???22?4???01?2102A498?22?42??.02B2n?1??02??42???01?21??.02C???2?22???02?42???22?2??.??1nn(n?1)???2.4n?14n00?02D?2???01n??.02E?n?1n?1?42.400??????001???002nn.2n?1??.?0002n??.50.?100?02FA?????200??6?1?.由于A5?A.?1???1000?03A(1)(?1)n?11(2)???1200??n!A.?0?230?.?00?34??(3)?A?6E.(4)12(E?B).(5)B??(E?2A)?1.?10103BB????5?10??E.03D?1??211??.03C(2)A2?A??5(A?2E).03EA?1?1(A?3E).(A?4E)?1110?6(A?E).03FB?1??114(5A2?3A?E).03G(EA?BA)?1?B(E?AB)?1B?1.03HB?1?110(A2?3A?4E).03I(E?AB)?1?E?A(E?BA)?1B.??1000?1/21/200??03NA?1???????0??03O1?122??????21?2??.??1/2?1/61/39?1/8?5/24?1/121/4????2?21????00?201?00?34??03P??0??0012?3?????3?1000?????52000??03Q?(A1?A2A?41A3)?1?A?11A2(A4?A3A?11A2)?1????A?1?1?1(A?4A3(A1?A2A4A3)4?A3A?11A2)?1?.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)?1/3;(6)576;(7)3.04B10804F??5?2?1??220??????101??.04G??A??0A(b??TA?1?)???,05AD.05C2.05D當a?1且b?2,r(A)?4;當a?1且b?2時,r(A)?2;.51.當a?1,b?2或a?1,b?2時,r(A)?3.05E當c??1,并且a??1或b?0時,r(A)?1;當c??1,a??1且b?0時,r(A)?3;當c??1,但a??1或b?0時,r(A)?3;當c??1,a??1且b?0時,r(A)?2.05F當a?b?0時,r(A)?0;當a?b?0時,r(A)?1;當a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n?1;當a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n.05G11?n.05Hr[(A*)*]???n,如果r(A)?n,?0,如果r(A)?n.??1111???1010?05K??11?1?1???05L??010?4??1?11?1??.??1?1?11???0010???.?0002????2?400???1100?05M???2?200???05N???1220??0022??.???00?12???0?233??.?00?34??05OA.?02?111?06A?1??321???.06B???202??.?030???5?2?2??31?1?06C??4?3?2?06D????22?.3???19/21?3/2?.?21?112???300?1?06E??????020??.06F???21????001????.?1?21??01?21???0?30?06G???00?3??????300?.?.52.綜合訓練三01AC.01BB.01CB.01Dt?1.01Ea?2b.01F(1)當t?5時,?1,?2,?3線性相關;(2)當t?5時,?1,?2,?3線性無關;(3)?3???1?2?2.01G(1)當a?1時,?1,?2,?3線性相關;(2)當b?2且a?1時,?可由?i唯一的表出:????1?2?2;當b?2且a?1時,?可由?i線性表出:??(?2t?1)?1?(t?2)?2?t?3,其中t是任意常數.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t?5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)當a??2時,?不能用?1,?2,?3線性表出;(2)當a??2且a?1時,?有唯一的表達式:???a?11(a?1a?2??a?2?)212?a?2?3;當a?1時,??(1?k?l)?1?k?2?l?3,?k,l.02J(1)若??0且???3,?可由?1,?2,?3唯一線性表示;(2)若??0,?可由?1,?2,?3線性表示,但不唯一;(3)若???3,?不能由?1,?2,?3線性表示.02K(1)當b?2時,?不能由?1,?2,?3線性表出;(2)當b?2,a?1時,?可唯一表示為????1?2?2;當b?2,a?1時,?可表示為???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3()k為任意常數.02L(1)當a??1,b?0時,?不能表示成?1,?2,?3,?4的線性組合;(2)當a??1時,?有唯一表示式:???2ba?1?a?b?1b1?a?1?2?a?1?3?0.?402M(1)當a??4時,?可由?1,?2,?3唯一線性表出..53.(2)當a??4時,?不能由?1,?2,?3線性表示.(3)當a??4且3b?c?1時,?可由?1,?2,?3線性表出,但不唯一:??t?1?(2t?b?1)?2?(2b?1)?3(t為任意常數).02N不等價.03AD.03B1.03C?n.03D(1)R(?1,?2,?3,?4)?2;向量組的一個極大無關組為?2,?4;?1?2(?2??4),?3??2?3?4;(2)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關組為?1,?3,?5;?2??1?3?5,?4??1??3??5;(3)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關組為?1,?2,?3;?4??1??2??3,?5??1??2?0.?3.03ER(?1,?2,?3,?4,?5)?3.03Fa?15,b?5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct?1.??x1y11?04D4.04E矩陣?xy??221??????的秩小于3.??xny?n1???1????14????2???22?04F(1)C??????3?,(C?R);(2)k1????7???0??k?0?12?,(k1,k2?R);??2???0?15???????2????3/2????3/4?(3)C??????1??3/2??C2??1???7/4??0?,(C1,C2?R).??0?????1??04G(1)無解;(2)(1/2,2,?1/2,0)T?k(1/2,0,?1/2,1)T,其中k為任意常數;(3)(514,?3314,0,7)T?k(?1,?1,2,0)T.(k為任意常數);.54.(4)C131(?7,177,1,0,0)T?C(10191112?7,7,0,1,0)T?C3(7,?7,0,0,1)T?(2,?3,0,0,0)T,(C1,C2,C3?R).04H(1)?1,?2,?3是所給方程組的基礎解系.(2)?1,?2,?3不是所給方程組的基礎解系.?1?04I當??1時,有解,解為????1????k??1??2??,其中k為任意常數.?0????1??04J(1)當??1且???45時,方程組有唯一解;?1?當??1時,其通解為????1????k?0??1??,其中k?0???為任意實數;?1??當???45時,原方程組無解;(2)當???2且??1時,方程組唯一解;當???2時,方程組無解;當??1時,方程組有無窮多組解.全部解為???2??????1???k??1???1?0??k???0?12?????0???0?1?,其中k1,k2是任意常數.?04K(1)當a?0時,方程組無解;??x1?2/a,當a?0,b?3時,方程組有唯一解:???x2?1,??x3?0;???x1?2/a,當a?0,b?3時,方程組有無窮多解:???x2?1?3t,(t?R).?2??x3?t.(2)當a?0或a?0時b?4,方程組無解;方程組不可能有唯一解;當a?0且b?4時,方程組有無窮多解.通解是.55.(6,?4,0,0,0)T?k1(?2,1,1,0,0)T?k2(?2,1,0,1,0)T?k3(?6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意實數.(3)當a??1,b?36時,方程組無解;當a??1,a?6時,方程組有唯一解,x(b?36)a?1,x??12?(a?4)(b?36)1?6?2a?1,xb?3623?0,x4?a?1;當a??1,b?36時,方程組有無窮多解,通解為(6,?12,0,0)T?k(?2,5,0,1)T.k為任意常數;當a?6時,方程組有無窮多解,通解是(1(114?2b),?1(12?2b),0,1(b?T77736))?k(?2,1,1,0)T.04L(1)當a?b,b?c,c?a時,方程組僅有零解x1?x2?x3?0.(2)當a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k1(1,?1,0)T(k1為任意常數).當a?c?b時,方程組有無窮多組解,全部解為k2(1,0,?1)T(k2為任意常數).當b?c?a時,方程組有無窮多組解,全部解為k3(0,1,?1)T(k3為任意常數).當a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k4(?1,1,0)T?k5(?1,0,1)T(k4,k5為任意常數).??2????104M(1)方程組有無窮多組解,通解為??4???????1??k?(k為任意常數?5?0????2?).?1??(2)當m?2,n?4,t?6時,方程組(I),(II)同解.04Na?2,t?4.04O非零公共解為t(?1,1,1,1)T.(t為任意常數)04P原來至少要有3121個桃子,最后還剩下1020個桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G??1.05H1..56.05I(1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T,其中k是任意實數.05J(?3,2,0)T?k(?1,1,1)T.(k為任意常數)05K通解為(?9,1,2,11)T?k1(?10,6,?11,11)T?k2(8,4,?11,?11)T05L3m?2n.05M?2.??1/2??0?05N通解為?1/2???1????k???,其中k為任意常數.?0??1????1??1???05O(1)?1可由?2,?3,?4線性表出.(2)?4不能用?1,?2,?3線性表出.?x1??k2t,06A(2)通解是??x2?k2,其中t是任意實數.??x3?t,06B通解是(a8,4,?2,1)T1?2a2?4a3,a2?2a3,a3,0)T?k(?,其中k是任意實數.06E方程組的唯一解為(ATA)?1ATb.06L(II)的通解為c1(a11,a12,...,a1,2n)T?c2(a21,a22,...,a2,2n)T?...?cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn為任意常數.綜合練習四??1/2???1/6????1/(23)?01A?45.01B?1???1/2???2????1/6????;?3??1/(23)??.?0?;?0???2/6??0???1/(23)??3/2??02A(1)?1?0,?2?2,?3?3,???1/2??k???1?0對應特征向量為1??1/2??,?1??.57.??1???1?2?2對應特征向量為k2???,?0???1???3對應特征向量為k??33?1?.??1??(2)?1?8,?2??3??1,?2??1?8對應特向量為k1???1??,其中k1為任意非零常數.?2???1???2??3??1對應特征向量為k2???0?1???k3???2??,其中k2,k3是不全為??1????0??零的實數.?(3)??1????0??1??2??3?2全部特征向量為k1?2???k2?0?,(k1,k2不全為零).?0????1??02BA的特征值是1,2,2a?1,?a?2??2??1?對應的特征向量依次是k??????1?3??,k2?2?,k3?1?.(k1,k2,k3全不為0).?0????1????a?1??02CA的特征值??2(二重)及??0,??2對應特征向量為k1(0,1,0)T?k2(1,0,1)T.??0對應特征向量為k3(1,0,?1)T.02D(1)當b?0時,A的特征值為?1??2????n?a,則任一非零向量均為其特征向量.(2)當b?0時,A的特征值為?1??2????n?1?a?b,?n?a?(n?1)b當?1????n?1?a?b對應特征向量為??1?1????1??1k1??0??0??0??????k2??1???kn?1??0??????0?,?0???????1??.58.??1???a?(n?1)b對應特征向量為k?1??nn??,(kn?0).?????1??02Ea?2,b??3,c?2,?0?1.??2n?2?1??1?02F1??12n?2??1??2n2?3n?1??????.???1?1?2n?2???02GA與B特征值相同但不相似.?02Ha?7,b??2,P???1?5??11??22?02I?1???10?2??.?0?.1????013??02Ja??1,b?8,c??10.02K(1)|?E?A|??4?a34??a23??a2??a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k?(2)?2i(i?1,2,?,n);i(i?1,2,?,n);(3)?ki?i(i?1,2,?,n);(4)?i(i?1,2,?,n);(5)1?(i?1,2,?,n);(6)|A|1,2,?,n);i?(i?i(7)f(?i),(i?1,2,?,n).03E?|A|???2??1.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全為零.??0對應特征向量為k1?1?k1?1?...?kn?1?n?1(k1,k2,...,k3不全為零的任意常數).03L3,2,?2.03M(1)P?1AP全部特征值是?1,??12,?,?n.P?i是P?1AP的屬于?i的特征向量..59.(2)(P?1AP)T全部特征值是??11,?2,?,?n.PT?i是(PAP)T的屬于?i的特征向量.03P??1(n?1重),??3,??1對應特征向量為k1(?y2,y1,0,?,0)T?k2(?y3,0,y1,?,0)T???kn?1(?yn,0,0,?,y1)T,k1,k2,?,kn?1不全為0,??3對應特征向量為kn(x1,x2,?,xn)T,kn?0.??04AD.04B?54?6??3?33??.??7?68??04C(1)a??3,b?0,???1.(2)A不能相似于對角陣.?4?04D當a?1時,A?1?116?114???.?44?2??當a?11???14?1022?2時,A?30??10?55???.?22519???13?25?04E(1)?3?k(1,0,1)T(2)A?1??6??2102?.(k);?為任意非零常數?5213????011?04F??1/20?1/2??000?04G???.?10?1???1/20?1/2????.?1?10???111?04H??111??.04IA?P?P?1?P(2E)P?1?2E.??111????54?04J?6??3?33???.?7?68??04OA的特征值是2與1(n?1重)..60.X1?(1,1,?,1)T是A屬于??2的特征向量,X2?(?1,1,0,?,0)T,X3?(?1,0,1,?,0)T,?,Xn?(?1,0,0,?,1)TA屬于??1的特征向量.??1?1?1??1??2n2n2n??A?1????11?1??1??2n2n2n??????.??????12n?112n?1?2n??05A0.05BA能對角化.05CA能對角化.???1??1?05D(1)??1???2?(2)???;?1??;(3)???3????1??1????;??2???1????(4)???1?(5)A?2?.??;不能對角化;(6)?2??0?????4???05E令P???212??100???,則????1??1????.?011????0??21?005F(1)T?1???2?40?3??212??,T?1AT???010???1?22?????00?2?.????1?11??263??(2)T???1?11???1??3??3???263?,TAT??.????011??6???63????111???236?05GP???12???0??0??36?,P?1AP??1??.??111????4???236??.61.??221???5353??05HQ???142???5353?,QTAQ??2???2???.??7??05?2????353??05Ia??1,b??3.A能對角化.05J?0??1,a??3,b?0.A不能相似于對角陣.??1????1????05Kx?y?0.05L?111??111??.05MA~???????111???1?.??0????????????9?05N????1?05PA~B.?0?.??001?05Q(1)x?0,y??2;(2)P???210??.???11?1??06An!.06B?6.06C?(2n?3)！.06Dk(k?2)2.06FO.06EE.?3n?13n?106G(1)??(2)6n?1???3?1??2?3n?12?3n?1???;??93??;???(3)?100??1?3n?1?2?3n1?3n??.??1?3n?2?2?3n2?3n??06Hx100?5100?1.06Ix5100?3?2100?13.n06Ja?1?n??5?6??3??,nlim??an??5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是綜合練習五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.??00101F??010??.01Gy2?1?y22?y23.100???01H(1)f?z21?z22,相應的線性變換為z?Py?(P?1112P1)x.P1????010???,P?1002??013??,?001?????001????x1??(2)z2?z22???11?1/2??z1?12?z3.相應的線性變換??x2????x3???1?1?2????z2??.?001/2????z3???100(3)f??12y222?2y3相應的線性變換x????????110???1/21/21??y,??x1?01I??x?1??21?2????y1???2?01Jc?3,4y21?9y22.???3??122??y2?x3??2?21????y?3??111???263?01Ka??2,b??3.x?Cy,C????111???263?,???21??0??63?01Lf(x)?x2221,x2,x31?2x2?x3?2x1x2?2x2x3?4x1x3.切平面方程為2x1?x2?x3?1.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(?2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)??2;(2)???1.??101??22??411?02I????0,P???010??02NB?1??3???141?????11?.?114?.??0?22??.63.綜合練習六01A(1)V1是向量空間.(2)V2是向量空間.01B(1)W1不是子空間.(2)W2是子空間.dimW2?2.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一組基.(3)W3是子空間,dimW3?2.(?1,1,0),(2,0,1)是W3的一組基.(4)W4不是子空間.(5)W5不是子空間.01CW1?W2是V的子空間,W1?W2不一定是V的子空間.T02B??511??4,14,?4,?4??.?02C坐標變換公式為?x1??1?1?1??x1???x1???21?2??x1???x2??????102????x?2??或??x???????3??2???00?1??x2?x??0?10????x?3????x?3????11?1????x3???在所給定的兩組基下具有相同坐標的全部向量為k??3????2??,k??3?為任意實數.?T02D(1)(3,4,4)T;(2)??11?2,?5,13?2??.?02E(???5/21/2??1,?2)?(?1,?2,?3)????3/23/2??.?5/25/2??02F??(1,?2,?2)T時,?坐標乘積的極大值是18.?002G(1)A?1??100???1100????0?110??.?10?11??(2)所求非零向量??0??1?0??2?0??3?k?4?k?4(k為非零任意常數).02H(1)??111???011??;(2)??001??1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,?3?(0,0,1)T;(3)A???1?1????.02I(1,1,?,1).??3??.64.a11?a12??03A?a21?a22?a11?a12?a31?a32??a2203C(1)??a12?a?32a21a11a31a23?a13??;a33??a12a22?a12a32a13?a23?a13??.a33???0?11??03B??020?.?2?10????a11?a21(2)??k?a?31ka12a22ka32a13?a23??;k?a33???a11?a21a11?a12?a21?a22(3)??a21?a31a21?a22?a31?a32?aa31?a32?31a11?a12?a13?a21?a22?a23?a21?a22?a23?a31?a32?a33???a31?a32?a33?.65.

第五篇：線性代數二次型習題及答案

第六章

二次型

??B1?與???合同.AB?2??2?

證：因為A1與B1合同，所以存在可逆矩C1，使B1?C1TAC11，1．設方陣A1與B1合同，A2與B2合同，證明?T

因為A2與B2合同，所以存在可逆矩C2，使B2?C2A2C2.?A

1令

C???C1???，則C可逆，于是有 C2?T1??C1?B1??C1TAC??A1??C11

???????????TBC2??A2CAC?2????222???A1??B1?即

?與???合同.AB?2??2?

2．設A對稱，B與A合同，則B對稱

證：由A對稱，故A?A.因B與A合同，所以存在可逆矩陣C，使B?CAC，于是

TTA?T?1??C?C?2???CA2?BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B

即B為對稱矩陣.3．設A是n階正定矩陣，B為n階實對稱矩陣，證明：存在n階可逆矩陣P，使PTAP與PTBP均為對角陣.證：因為A是正定矩陣，所以存在可逆矩陣M，使

MTAM?E

記B1?MBM，則顯然B1是實對稱矩陣，于是存在正交矩陣Q，使 TQTB1Q?D?diag(?1,?,?n)

其中?1,?,?n為B1?MTBM的特征值.令P=MQ，則有

PTAP?E,PTBP?D

A,B同時合同對角陣.4．設二次型f??(ai?1mi11令A?(aij)m?n，則二次型f的秩等于r(A).x???ainxn)2，證：方法一

將二次型f寫成如下形式：

f??(ai1x1???aijxj???ainxn)2

i?1m設Ai=(ai1,?,aij,?,ain)

(i?1,?,m)

·107· ?a11?a1j?a1n??A1?????????????則

A??ai1?aij?ain???Ai?

?????????????a????m1?amj?amj??Am??A1??????mTTTT于是

AA?(A1,?,Ai,?,Am)?Ai???AiTAi

??i?1????A??m??ai1??????mm22故

f??(ai1x1???aijxj???ainxn)=?[(x1,?xj,?xn)?aij?]

??i?1i?1????a??in??ai1??x1??x1????????????????mmT

=?[(x1,?xj,?xn)?aij?(ai1,?aij,?ain)?xj?]=(x1,?xj,?xn)(?AiAi)?xj?

??????i?1i?1??????????a??x??x??in??n??n?

=X(AA)X

因為AA為對稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTTTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)．

T方法二

設yi?ai1x1???ainxn,i?1,?,n.記Y?(y1,?,ym)，于是

Y?AX，其中X?(x1,?,xn)T，則

2f??yi2?y12???ym?YTY?XT(ATA)X.i?1m

因為AA為對稱矩陣，所以AA就是所求的二次型f的表示矩陣． 顯然TTr(ATA)=r(A)，故二次型f的秩為r(A)．

T

5．設A為實對稱可逆陣，f?xAx為實二次型，則A為正交陣?可用正交變換將f化成規范形.證：?設?i是A的任意的特征值，因為A是實對稱可逆矩陣，所以?i是實數，且?i?0,i?1,?,n.因為A是實對稱矩陣，故存在正交矩陣P，在正交變換X?PY下，f化為標準形，· ·108即

f?XTAX?YT(PTAP)Y?YTDY?YTdiag(?1,?,?i,?,?n)Y

2??1y1

（*）????iyi2????nyn

因為A是正交矩陣，顯然D?PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n)也是正交矩陣，由D為對角實矩陣，故?i2?1即知?i只能是?1或?1，這表明（*）恰為規范形.?因為A為實對稱可逆矩陣，故二次型f的秩為n.設在正交變換X?QY下二次型f化成規范形，于是

22?YDY

f?XTAX?Y(QTAQ)Y?y1???yr2?yr2?1???ynT其中r為f的正慣性指數，D?diag(1,?,1,?1,?,?1).TT

顯然D是正交矩陣，由D?QAQ，故A?QDQ，且有AA?AA?E，故ATT是正交矩陣.6．設A為實對稱陣，|A|?0，則存在非零列向量ξ，使ξTAξ?0.證：方法一

因為A為實對稱陣，所以可逆矩陣P，使

PTAP?D?diag(?1,?,?i,?,?n)

其中?i(i?1,?,n)是A的特征值，由|A|?0，故至少存在一個特征值?k，使?k?0，?0??????取ξ?P?1?，則有

??????0?????1??0??0????????????????TT??1???k?0 ，1,?0?,0)?k

ξAξ?(0,?,1,?,0)PAP?1??(0?????????????????0?????n??????0?

方法二（反證法）

T

若?X?0，都有XAX?0，由A為實對稱陣，則A為半正定矩陣，故|A|?0與|A|?0矛盾.222

7．設n元實二次型f?XAX，證明f在條件x1?x2???xn?1下的最大值恰T為方陣A的最大特征值．

解：設?1,?2,?,?n是f的特征值，則存在正交變換X?PY，使 f?XTAX?YT(PTAP)Y??1y12??2y2????nyn設?k是?1,?2,?,?n中最大者，當XX?x1?x2???xn?1時，有

·109·

T22222XTX?YTPTPY?YTY?y12?y2???yn?1

因此

2222f??1y12??2y2????nyn ??k(y12?y2???yn)??k

222這說明在x1=1的條件下f的最大值不超過?k． ?x2???xn

設

Y0?(y1,?,yk,?,yn)T?(0,?,0,1,0,?.0)T 則

Y0TY0?1

222f??1y12??2y2????kyk????nyn??k

令X0?PY0，則

TX0X0?Y0TY?1

并且

Tf(X0)?X0AX0?Y0T(PTAP)Y0??k

222這說明f在X0達到?k，即f在x1?x2???xn?1條件下的最大值恰為方陣A的最大特征值．

8．設A正定，P可逆，則PAP正定.證：因為A正定，所以存在可逆矩陣Q，使A?QTQ，于是

PAP?PQQP?(QP)QP，顯然QP為可逆矩陣，且 TTTTT(PTAP)T?(QP)TQP?PTAP，即PTAP是實對稱陣，故PTAP正定.9．設A為實對稱矩陣，則A可逆的充分必要條件為存在實矩陣B，使AB+BA正定．

證：先證必要性

取B?A，因為A為實對稱矩陣，則 ?1TAB?BTA?E?(A?1)TA?2E

當然AB?BA是正定矩陣． 再證充分性，用反證法．

若A不是可逆陣，則r（A）

因為A是實對稱矩陣，B是實矩陣，于是有

TTTX0(AB?BTA)X0?(AX0)TBX0?X0B(AX0)?0

這與ABAB?BA是正定矩陣矛盾．

10．設A為正定陣，則A?A?3A仍為正定陣.證：因為A是正定陣，故A為實對稱陣，且A的特征值全大于零，易見A,A,A2*?1A?A?3A全是實對稱矩陣，且它們的特征值全大于零，故A,A,A全是正定矩陣，2*T2*?12*?1?1為實對稱陣.對?X?0，有

XT(A2?A*?3A?1)X?XTA2X?XTA*X?XTA?1X?0

· ·110

即

A?A?3A的正定矩陣.11．設A正定，B為半正定，則A?B正定.T

證：顯然A,B為實對稱陣，故A?B為實對稱陣.對?X?0，XAX?0，2*?1XTBX?0，因XT(A?B)X?0，故A?B為正定矩陣.12．設n階實對稱陣A,B的特征值全大于0，A的特征向量都是B的特征向量，則AB正定.證：設A,B的特征值分別為?i,?i(i?1,?,n).由題設知?i?0,?i?0,i?1,?,n.PTAP?diag(?1,?,?i,?,?n)

為PiA的特征向量，i?1,?,n.因為A是實對稱矩陣，所以存在正交矩陣P?(P1,?,Pi,?,Pn)，使 即

AP,ii??iP

由已知條件Pi也是B的特征向量，故

BPi??iPii?1,?i,?,n

因此

ABPi?A?iPi?(?i?i)Pi，這說明?i?i是AB的特征值，且?i?i?0，i?1,?,n.又因為

ABP?Pdiag(?1?1,?,?i?i,?,?n?n),PT?P?1.故

AB?Pdiag(?1?1,?,?i?i,?,?n?n)P，顯然AB為實對稱陣，因此AB為正定矩陣.13．設A?(aij)n?n為正定矩陣，b1,b2,?,bn為非零實數，記

B?(aijbbij)n?n

則方陣B為正定矩陣．

證：方法一

因為A是正定矩陣，故A為對稱矩陣，即aij?aji，所以aijbibj?ajibjbi，這說明B是對稱矩陣，顯然

?a11?b21abb1?anbb1221n1???b1?0??a11?a1n??b1?0?2abbab?abb2121222n2n?2?

B??=?????????????? ????0?b??a?a??0?b???n??n1nn??n???abbabb?abb???nnnn??n1n1n2n1

對任給的n維向量X?(x1,?,xn)?0，因b1,b2,?,bn為非零實數，所以

T(b1x1,?,bnxn)T?0，又因為A是正定矩陣，因此有

?b1?0??a11?a1n??b1?0?TT

XBX?X???????????????X

?0?b??a?a??0?b?n??n1nn??n???a11?a1n??b1x1?

=(b1x1,?,bnxn)?????????0

?a?a??bx?nn??nn??n1即B是正定矩陣．

·111·

方法二

記

?a11b12a12b1b2?a1nb1bn??abbab2?abb?2n2n? B??2121222??????abbabb?abb?nnnn??n1n1n2n1則因為A是實對稱矩陣，顯然B是實對稱矩陣，?b1?0?

B的k階順序主子陣Bk可由A的階順序主子陣分別左，右相乘對角陣?????而

?0?b?n??得到，即

?b1?0??a11?a1k??b1?0?Bk????????????????

?0?b??a?a??0?b?k??k1kk??k??計算Bk的行列式，有

Bk??bi2Ak?0

i?1n故由正定矩陣的等價命題知結論正確．

14．設A為正定矩陣，B為實反對稱矩陣，則A?B?0.證：因為M是n階實矩陣，所以它的特征值若是復數，則必然以共軛復數形式成對出現；將M的特征值及特征向量寫成復數形式，進一步可以證明對于n階實矩陣M，如果對任意非零列向量X，均有

XTMX?0

可推出M的特征值(或者其實部)大于零． 由于M的行列式等于它的特征值之積，故必有M?0 ．

因為A是正定矩陣，B是反對稱矩陣，顯然對任意的 非零向量X，均有

XT(A?B)X?0,而A+B顯然是實矩陣，故A?B?0.T

15．設A是n階正定矩陣，B為n?m矩陣，則r(BAB)=r(B)．

T

證：考慮線性方程組BX?0與BABX?0，顯然線性方程組BX?0 的解一定是BTABX?0的解．

TT

考慮線性方程組BABX?0，若X0是線性方程組BABX?0的任一解，因此有BTABX0?0．

上式兩端左乘X0有 T(BX0)TA(BX0)?0

· ·112

T

因為A是正定矩陣，因此必有BX0?0，故線性方程組BX?0與 BABX?0是同解方程組，所以必有r(BAB)= r(B).16．設A為實對稱陣，則存在實數k，使|A?kE|?0.證：因為A為實對稱陣，則存在正交矩陣P，使 TP?1AP?diag(?1,?,?i,?,?i).其中?i為A的特征值，且為實數，i?1,?,2.于是

A?Pdiag(?1,?,?i,?,?n)P?1

?1?k?

|A?kE|?|P|?i?k?|P|??(?i?k)

?1i?1n?n?k取k?max{|?i|?1}，則1?i?n|?(??k)?0，故

|A?kE?ii?1n0.17．設A為n階正定陣，則對任意實數k?0，均有|A?kE|?kn.證：因為A為正定矩陣，故A為實對稱陣，且A的特征值?i?0,i?1,?,n.則存在正交矩陣P，使

??1???????1?,PAP???i???????n???于是對任意k?0，有

?1?k?|P|

|A?kE?|??1???????P?1 A?P??i???????n????i?k?P|?1?|?(?i?k)??k?kn.i?1i?1nn?n?k

18．設A為半正定陣，則對任意實數k?0，均有|A?kE|?0.證：因為A為半正定矩陣，故A為實對稱矩陣，且A的特征值?i?0，i?1,?,n.則存在正交矩陣P，使

PAP?diag?1(?,于是對任意k?0，有

|A?kE?|P||di?a1g?(k??,i?k,? ?1?i,?,?n,，A)?Pdiag(?1,?,?i,?,?n)P?1

?n,?k,P?1?|?(?|i?k)?kn?0.)i?1n·113·

19．A為n階實矩陣，?為正實數，記B??E?AA，則B正定.T

證：BT?(?E?ATA)T??E?AA?B，故B是實對稱矩陣.T

對?X?0，有(X,X)?0,(AX,AX)?0，因此有

AX??(X,X)?AX(AX,?)0

XTBX?XT(?E?ATA)X??XTX?XTAT故

B??E?AA為正定矩陣.20．A是m?n實矩陣，若AA是正定矩陣的充分必要條件為A是列滿秩矩陣．

證：先證必要性

方法一

設AA 是正定矩陣，故?X0?0，有

TX0(ATA)X0?(AX0)T(AX0)?0

由此AX0?0，即線性方程組AX?0僅有零解，所以r(A)=n，即A是列滿秩矩陣． TTT方法二

因為AA 是正定矩陣，故r(AA)=n，由于 TTn?r(ATA)?r(A)?n

所以r(A)=n． 即A是列滿秩矩陣．

再證充分性：因A是列滿秩矩陣，故線性方程組僅有零解，?X?0，X為實向量，有AX?0．因此

XT(ATA)X?(AX)T(AX)?(AX,AX)?0

顯然AA 是實對稱矩陣，所以AA 是正定矩陣．

21．設A為n階實對稱陣，且滿足A?6A?4E?0，則A為正定陣.證：設?為A的任意特征值，ξ為A的屬于特征值?的特征向量，故ξ?0，則

2TTAξ??ξ,2A2ξ??2ξ

由

A?6A?4E?0

有

Aξ?6Aξ?4ξ?0

2(?2?6??4)ξ?0 2由

ξ?0，故

??6??4?0.??3?5?0.因為A為實對稱矩陣，故A為正定陣.22．設三階實對稱陣A的特征值為1,2,3，其中1,2對應的特征向量分別為ξ1?(1,0,0)T,ξ2?(0,1,1)T，求一正交變換X?PY，將二次型f?XTAX化成標準形.解：設ξ3?(x1,x2,x3)T為A的屬于特征值3的特征向量，由于A是實對稱矩陣，故ξ1,ξ2,ξ3滿足正交條件

?1?x1?0?x2?0?x3?0 ?0?x?1?x?1?x?023?1

解之可取ξ3?(0,1,?1)，將其單位化有

· ·11

411T1?1T,),P3?(0，)2222???100???11??

令

P?(P1,P2,P3)??0.?22??11??0???22??則在正交變換X?PY下，將f化成標準形為 P1?(1,0,0)T,P2?(0,22 f?XTAX?YT(PTAP)Y?y12?2y2?3y

323．設

?1?22???A???24a?

?2a4???2二次型f?XTAX經正交變換X?PY化成標準形f?9y3，求所作的正交變換.2解：由f的標準形為f?9y3，故A的特征值為?1??2?0,?3?9.??1故

|?E?A|?2?2?a??2(??9)

??4?22?2?1??4?a2

令??0，則

2解之

a??4.?4?a?0 ?2?a?4?1?22???由此

A???24?4?

?2?44???

對于?1??2?0有

??12?2??1?22?????

0E?A??2?44???000?

??24?4??000?????可得A的兩個正交的特征向量

?2???2?????ξ1??2?,ξ2??1?

?1??2?????

·115·

?1???對于?3?9，可得A的特征向量為??2?

?2???將特征向量單位化得

?2???2??1?1??1??1??P1??2?,P2??1?,P3???2?

3??3??3??12?????2??2?21?1??則P?(P1,P2,P3)??21?2?為正交矩陣，3???122??2?21?1??正交變換X?PY為X??21?2?Y.3???122?

注：因特征向量選擇的不同，正交矩陣P不惟一.222

24．已知二次型f?x1?2x2?(1?k)x3?2kx1x2?2x1x3正定，求k.解：二次型的表示矩陣

1??1k??A??k20?

?101?k????1k2??0??k?2?0由A正定，應有A的各階順序主子式全大于0.故 ?k2，即?.2??|A|?0?k(k?k?2)?0?解之

?1?k?0.222

25．試問：三元方程3x1?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x1?x2?x3?0，在三維空間中代表何種幾何曲面.222

解：記f?3x1?3x2?3x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3?x1?x2?x3

?311??x1??x1???????則

f?(x1,x2,x3)?131??x2??(?1,?1,?1)?x2?

?113??x??x????3??3??311???

設

A??131?.?113???2則|?E?A|?(??2)(??5).故A的特征值為?1??2?2,?3?5.· ·116

對于?1??2?2，求得特征向量為

??1???ξ1??1?,?0???由Schmidt正交化得

??1???ξ2??0?.?1?????1???β1??1?,?0????1???2???1β2????.?2???1???????1???對于?3?5得特征向量ξ3??1?，標準化得

?1????1??1??1?????????632???????1??1??1?P1??,P??,P?23???? ?26???3????2??1??0??????????6??3?11??1????263??11??1

令

P?(P1,P2,P3)????

63??221??0??63??則在正交變換X?PY下

22f?2y12?2y2?5y3?3y3

于是f?0為

22y12?2y2?5(y3?323)? 102022為橢球面.26．求出二次型f?(?2x1?x2?x3)?(x1?2x2?x3)?(x1?x2?2x3)的標準形及相應的可逆線性變換.解：將括號展開，合并同類項有

·117·

222222

f?4x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?2x2x3?x12?4x2?x3?4x1x2?2x1x3?4 2x3x222

?x1?x2?4x3?2x1x2?4x1x3?4x2x3

22222

?6x1?6x2?6x3?6x1x2?6x1x3?6x2x3?6(x12?x2?x3?x1x2?x1x3?x2x3)

1132323119x2?x3)2?x2?x3?x2x3]?6(x1?x2?x3)2?(x2?x3)2 2244222211?y?x?x??11222x3?

令

?y2?x2?x3

?y?x3?3?11??1???y1??22??x1???????1?1即

y2??0??x2? ???y??001??x3??3???????

?6[(x1?則可逆變換為

?1?x1??????x2???0?x??0?3???在此可逆線性變換下f的標準形為

1?12??y1????11??y2? 01??y3?????92y2.2f?6y12?

27．用初等變換和配方法分別將二次型

222

（1）f1??x1?3x2?2x4?4x1x2?4x1x4?2x2x4

（2）f2?2x1x2?6x2x3?2x1x3

化成標準形和規范形，并分別寫出所作的合同變換和可逆變換.解：先用配方法求解

（1）f1?(?x1?4x1x2?4x1x4)?3x2?2x4?2x2x4

??(x1?2x2?2x4)?x2?6x4?6x2x4??(x1?2x2?2x4)?(x2?3x4)?3x4 222222222?y1?x1?2x2?2x4?y?x?3x?224

令

?

即

y?x3?3??y4?x4?x1?y1?2y2?4y4?x?y?3y?224 ?x?y3?3??x4?y4 · ·118

?1204???0103?

令

P???0010???0001????

則二次型f經可逆線性變換x?Py化成標準形 f1??y12?y2?3y4?y1?z1?z1?y1?y?z?z?y22?2??2

若再令 ?

即 ?y3?z3 z?y3??3?y?3z?z?3y?4444?3??1???1???

令

Q??1??3????3??222則原二次型f1經可逆線性變換x?PQz化成規范形f1??y1.?y2?y4?x1?y1?y2?

（2）先線性變換?x2?y1?y2

?x?y3?3原二次型化成

2222

f2?2(y1?y2)?6y1y3?6y2y3?2y1y3?2y2y3?2y1?2y2?4y1y3?8y2y3

222

?2(y1?y3)2?2y2 ?2(y1?y3)2?2(y2?2y3)2?6y3?8y2y3?2y3?z1?y1?y3?y1?z1?z3?110??101???????

令?z2?y2?2y3，即?y2?z2?2z3.令P1??1?10?，P2??012?

?z?y?y?z?001??001?????33?3?3則原二次型f2經可逆線性變換x?P1P2z化成標準形 f2?2z12?2z2?6z3??z1??w1?2z1?????

若再令?w2?2z2

即 ?z2???w?6z3???3?z3???

2w122w2 26w36·119·

?2???2????2

令

Q???

2???6?????6??則原二次型f2經可逆線性變換x?P1P2Qw化成規范形

22.f2?w12?w2?w3

用初等變換法求解

??12?2?3?

（1）設A??00???21???12?2?3?

(A?E4)??00???21?0?2??01?

00??02??***0?2010002000?***00???1??0?r2?2?r1?0????0?c2?2?c1?0????21???0???1??0?r4?3?r2?0????c4?3?c2??00???01???00?0?10?0 01?0?3?30?3?010?301000?2100?***000?***100??0? 0??1??0??0? ?0?1????10?r4?(?2)?r1?01

?????c4?(?2)?c1?00??0?3???10?1?01?r33??00

???1?c3?3??00?120?20000?1T433000??10?100???2100????2100??

令

P1?，P2??0010?

?001?0????3?430??43?130????3??3222則原二次型f1經過可逆線性變換x?P1y化成標準形f1??y1?y2?3y3.二次型經過可逆線性變換x?P2z化成規范形f1??z1?z2?z4.· ·120

222T?011???

（2）設A??10?3?

?1?30???110?0?01?0??r3?(?1)?r2?0?301?????0c3?(?1)?c2??1

(A?E3)??1?1?3000?1?0???100?3?360??010? 0?11??10?01

???r3?3?r1c3?3?c1??010100??100010??21r1?r2?c1?c2??1000?0063?11?????????0063?200110?

????r12?(??2)?r1?111?c1?0?0?2?(?2)?c1??2220?? ?0063?11????1001120??1

?????2?r1?21,2?c11?2?r2,2?c???0?10?162220?? 6?r23,6?c3?????00162?66?66???11T?0???110?T??

令 P11??221????0?，P?112???0???22?22??3?11?????66??2?666??則原二次型f2經過可逆線性變換x?P1y化成標準形

f?2y212221?2y2?6y3

二次型經過可逆線性變換x?P2z化成規范形

f2222?z1?z2?z3

28．用三種不同方法化下列二次型為標準形和規范形.（1）f2221?2x1?3x2?4x2x3?3x3

（2）f22222?x1?x2?x3?x4?2x1x2?2x1x4?2x2x3?2x3x4

解：先用配方法求解

00?10?11? ???121· · 42522x2x3)?3x3?2x12?3(x2?x3)2?x3 333?y1?x1?x1?y1??22??

令 ?y2?x2?x3

即 ?x2?y2?y3

33?????y3?x3?x3?y3?100???2

令

P??01??

?3??001???

（1）f1?2x1?3(x2?22則二次型f1經可逆線性變換x?Py化成標準形

2f1?2y12?3y2?52y3 3?2z1??y1?2?z1?2y1???3??z2

若再令 ?z2?3y2

即 ?y2?3??15??z?15y33y?z3??33?5???2???2????3

令

Q???

3???15????5???原二次型f1經可逆線性變換x?PQz化成規范形

22.f1?z12?z2?z3

（2）f2?(x1?2x1x2?2x1x4)?x2?x3?x4?2x2x3?2x3x4

?(x1?x2?x4)2?x3?2x2x3?2x3x4?2x2x4 2

?(x1?x2?x4)2?(x3?x2?x4)2?(x2?2x4)2?3x4 2222?y1?x1?x2?x4?y?x?2x?224

令

?

即

?y3??x2?x3?x4??y4?x4 · ·122

?x1?y1?y2?y4?x?y?2y?224 ??x3?y2?y3?y4??x4?y4?1?1?010?1??02

令

P?????0111?

??0001???則二次型f2經可逆線性變換x?Py化成標準形

f2?y22?3y22?y12?y34 ???z1?y1?y1?z1?

若再令 ??z2?y2

即 ?y2?z2?z?y 3?y

3??3?z3?z4?3y4???y4?33z4??1??1??

令

Q???1? ???3??3??

原二次型f?PQz化成規范形f22222經可逆線性變換x2?z1?z2?z3?z4.用初等變換法求解

?20

（1）設A??0??032??

??023????20010???200100?

(A?E??03)??03201??????0r?(?233)?r2c(?2??030010?3????02300??13)?c2??52??0030?31????100100?1?2??

?????12?r112?c1??010010?3?r1?? 23?c215?35?r15?35?c3??21515??0010?155?? 123· · ??10?1

令 P1??0?2?0?3??0??0?,?1??T????P2??????1200?01321515?0???0? ?15??5?22T則原二次型f1經過可逆線性變換x?P1y化成標準形f1?2y1?3y2?222可逆線性變換x?P2z化成規范形f1?z1.?z2?z352y3.二次型經過3?110?1???11?10?

（2）設A???0?111????1011????10?1100?0?1??11?100100??

(A?E4)? ?0?1110010????10110001?????100?11000??10001???00?11?110000?11?1r2?(?1)?r1r4?r1???

?????????c2?(?1)?c1?0?1110010?c4?c1?0?1110????11110001???01101????10001000??10001???00?11?11000001?1r3?r2r3?r4???

????????c3?c2?0?1?12?1110?c3?c4?00320???01201001???01201????10001000??10001???0001?110002010r3?(?2)?r2r2?r4???

?????????c3?(?2)?c2?00302?111?c2?c4?00302???01001001???01001????10001000???020001011??r4?(?)?r22

??????00302?111? 1c4?(?)?c2??2111??1?0?000???222? · ·124

000??100?

010??001??000??100?

111??001??000??101?

?111??001???1??0?11?r2?c222

???????11?0?r3?c333?2?r42?c4??0??***??01233220033000?10??1??1?2??0?

令 P1??2333?

??333???1??22??0?22?12222f?y?2y?3y?y4.f2可則原二次型f2可經可逆線性變換x?P化成標準形y212312經可逆線性變換x?P2z化成規范形

222 f2?z12?z2?z3?z4?1T?000??0??101???

P2??23?111??311??0??22??2??0??1?2??3? 3??2??2?00102T用正交變換法求解

?200???

（1）f1的矩陣為A??032?，?023?????200由

|?E?A|?知A的特征值為1,2,5.00??3?2?2?(??1)(??2)(??5)，??3??100??x1??0??x1??0??0?????????????對?1?1，解?0?2?2??x2???0?，得?x2??k?1?，取T1??1?，單位化

??1??0?2?2??x??0??x???1??????3????3??????0????000??x1??0??x1??1??1?2?????????????P??0x?k0P1??，對?2?2，解?0?1?2??x?，得，取22?0?，?2??????2??0??x??0??0?2???0???1?????3??????x3???2??????2?

·125· 0??x1??0??30??????對?3?5解?02?2??x2???0?，得?0?22??x??0????3????x1??0??0???????x?k1T? 取32?1?，單位化得?????1??x??1????3??????P3??????????00???2??2，令 P??22???2?2????2??2100?0??2?，則P為正交陣，經正交變換X?PY，?2?2??2?222原二次型f化為f?XTAX?y1.?2y2?5y3?110?1???11?10?

（2）f2的矩陣為

A???0?111????1011??????1?101?1??110由

|?E?A|??(??1)(??3)(??1)2

01??1?110?1??1知A的特征值為?1,3,1,1.?x1???2?101??x1?0???1??1??????x???????x?1?2100?122??????, 得

???k??，取T???1?對?1??1，解?1?x3??01?????1???1?2?1??x3?0??????????1???x???1??x10?1?20???4??????4????1??2????21?????1?2??單位化得P1??對?2?3，解?，?01?????2??1?1????2??10210??x1?0?????10??x2?0??21???x3?0?????1?2??x4?0?1???, 得 ????x1???1?????x2???k??1?.?x3??1????1???x?????4? · ·126

?1???2????1??

取

T?1?????1?2?2????

?1?單位化得 P2????1?.??1?????2?1???2??

對?3??4?1，解

??0?101??x1??x1???1010?????0??1??x0??x????0??20???2????,得

??010?1??10?10????x3??x???0????x???k1????k?1? 3?1?2?0?4??0???x?4????0??????1?????1??

取

T3??0????0?,T4??1??，?1????0????0???1?????2??0??2???

再令

P?0???2?3??,P??2??2?4?0? ?????2??2?0?????2????11??2?2220?????112?

令 P??2?202?????112，則P為正交陣，經正交變換X?PY，0??222????11?2202?2??原二次型f化為

f?XTAX??y22221?3y2?y3?y4.29．判斷下列二次型正定，負定還是不定.（1）f2221??2x2?6x2?4x3?2x1x2?2x1x3

127· ·

解：二次型f1的矩陣為

1???21??A??1?60?

?10?4???A的各階順序全子式

?2?0,?211?6?2?11?0,1111?60??38?0.0?4所以二次型f1是負定二次型.2222

（2）f2?x1?3x2?9x3?19x4?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4

解：二次型f2的矩陣為

?1?121????130?3? A???209?6???1?3?619????A的各階順序主子式

1?1211?121?1?130?31?0,?2?0，?130?6?0，?24?0

?13209?62091?3?619所以二次型f2是正定二次型.2222

（3）f3?x1?x2?14x3?7x4?6x1x3?4x1x4?4x2x3

解：二次型f3的矩陣為

?103?01?2?A??3?214??200?A的各階順序主子式

2??0? 0??7??20??33?0.071?0,1031001?2?1?0，01?2?1?0，013?2143?214200103所以二次型f3是不定二次型.222

30．求一可逆線性變換X?CY，把二次型f1?2x1?5x2?4x3?2x1x2?4x1x3化成 · ·128規范形fy22?y21?1?y23，同時也把二次型 f32?2x222x21?3x2?3?2x1x3?2x1x3?4x2x3 化成標準形f2222?k1y1?k2y2?k3y3.解：記f1?XTAX，其中

?A??2?1?2???150???204?

????200??2?1?2??????150???09?1?r?A???204?3?r1?r1r?1?2?0?12??E?????100????2?2??? ??c3?c1c12?c1??111?2??010???001???2???010???001????200?00??9??110??00????r1?1?02216?2?001??025????r2?03?9r2?9?r2?3??3?1?c2?3?66?9c2??1110????r3?4c1?1??22??29?21???2?c2?23??0?c3?013?436???9????001??03?????04????125??266???取 P???021?36?，則PTAP?E ??????00?4???記

fT2?XBX，其中

129· ·

?3?0?1?2???B??03?2?

??1?22???????100???2?12?5???31???20?266?則 BT?22????03?2??21?1?PBP??0?63??? ?????0?1?22??36??513????3???664???????00??4????31?11??220??2??125?266????34422?

?????252??42??021??????13?2??6????36???444? ??1??11???23???003???????4???121??22?42????312?

?1?4??13?2???1B2 ??2?22??4??其中

B?312?2???13?2?? ???2?22??顯然B都是實對稱矩陣，它們的特征值為11,B24倍的關系，特征向量相同.??3?1?20(??33)?1?2?(4)

|?E?B2|??1??32?1?(??3)?2??(??42)??22??20?2?(?4)??4則B2的特征值為??0,?2??3?4，故B1的特征值為0,1,1.以下求B2的特征向量.·130 ·

0?1??1??????2?2????11??

對于?1?0，求得α1??，單位化后???1??2??2? ??1????1???????2????2?

對于??1???α??2??3?4，求得α2?1,?3??0??0?

????1??

由Schmidt標準正交化后得

??1???2??1??2????1??2???13???2?,???

??0???2??????1???2?????111??222?

令

Q?(??11?1,?2,?3)??2?1??22?.??11???202??

則Q為正交矩陣，且有

?0?QTB(PTBP)Q???1?1Q?QT?

??1????125??11??266??1???2??12?22

令 C?PQ??1??2?1?023?1???6????1222????3????1??221?3?00?4??1?0???22????42于是

QTPTAPQ?QTEQ?E

27?362?1?3?1?62?03??42??131· · 即

CAC?E

T?0???CTBC??1?

?1???在可逆線性變換X?CY下 f1?y12?y2?y322.f2?y2?y3（注：經驗算本題所得C是正確的，需要注意的是C并不惟一）

31．求一可逆線性變換X?PY，將二次型f化成二次型g.22f?2x12?9x2?3x3?8x1x2?4x1x3?10x2x3

22g?2y12?3y2?6y3?4y1y2?4y1y3?8y2y3

4?2??2?2?2?2?????9?5?，g?YTBY，B???234?

解：f?XTAX，A??4??2?53???246????? 將A,B分別作合同變換如下：

?24?2??200??200???????49?501?1010??????2?2r1?0?11?r?r?000??A???2?53?rr3?r132??????

?????c2?2c1?????? c3?c2?E??100?c3?c1?1?21??1?2?1??010??010??011?????001???001???001????????

在可逆線性變換X?C1Z下 f?2z12?z2?1?2?1???C1??011?

?001????2??20??4??012?r1?026?rr3?r1??????2?c10?cc3?c1?11?010?????001??

其中

?2?2???23?B???24?????E??10?01??00?22在可逆線性變換Y?C2Z下g?2z1?z2.· ·132

0??2??2??04?r3?r2?0??????1?c3?c2?1?00?????01??0101100??0?0?? ?1??2??1???11?1???其中

C2??01?2?

?001????1由

Z?C2Y得

?1X?C1Z?C1C2Y

?1?2?1??11?1??1?3?6????????1101?2?003令

P?C1C2?01??????

?001??001??001???????22在可逆線性變換X?PY下f?g?2z1.?z2

32．A是正定矩陣，AB是實對稱矩陣，則AB是正定矩陣的充分必要條件是B的特征值全大于零．

證：先證必要性．

設? 為B的任一特征值，對應的特征向量為X,則X?0, 且有

?1BX??X

用XA左乘上式有 TXT(AB)X??XTAX

因為AB，A都是正定矩陣，故

XT(AB)X?0,于是??0，即B的特征值全大于零．

再證充分性．

XTAX?0

因為A是正定矩陣，所以A合同于單位矩陣，故存在可逆矩陣P，使

PTAP?E

（1）

由AB是對稱矩陣，知P(AB)P也是實對稱矩陣，因此存在正交矩陣Q，使 TQT[PT(AB)P]Q?D?diag(?1,?,?i,?,?n)

（2）

即有

(QPA)B(PQ)?D?diag?(1,?,?i,?,?n)

（3）

其中?1,?,?i,?,?n是P(AB)P的特征值．

在（1）的兩端左乘Q，右乘Q有 TTTTQT(PTAP)Q?E即(QTPTA)(PQ)?E

TT這說明(QPA)與(PQ)互逆，也就是說

(QTPTA)?(PQ)?1

將上式代入（3），說明矩陣B與對角陣D相似，故它們的特征值相等；由條件知B的特征值全大于零，因此對角陣D的特征值也全大于零． 由（2）知AB與D合同，因此AB的特征值全大于零．

·133·

T

33．設A,B為n階實正定陣，證明：存在可逆陣P，使PAP?E且PTBP?diag(?1,?2,?,?n)，其中?1??2????n?0為|?A?B|?0的n個實根.證：因A正定，故存在可逆矩陣P1，使

TP1AP1?E

因B正定，故存在可逆矩陣P2，使

B?P2TP2

于是

TTTTP1BP1?P1P2P2P1?(P2P1)(P2P1)

易見P1BP1為正定矩陣，不妨設它的特征值為 T?1??2????n?0.TTTT則

|?E?PBP|?|?PAP?PBP|?|P|111111|?A?B||P1|

T故

|?E?P1BP1|?0?|?A?B|?0 即

?1??2????n?0為|?A?B|?0的幾個實根.由

P1BP1為正定陣，知其為實對稱矩陣，所以存在正交矩陣Q，使

TQT(P1BP1)Q?diag(?1,?2,?,?n)T

令

P?P，則 1Q

PTAP?E,PTBP?diag(?1,?2,?,?n)

34．設A為n階實正定陣，B為n階實半正定陣，則|A?B|?|A|.證：因為A是n階正定矩陣，所以存在n階可逆矩陣C，使得

CTAC?E.T

因為B是n階半正定陣，則CBC仍是實對稱半正定陣，故存在正交陣Q，使得

Q?1(CTBC)Q?QT(CTBC)Q?D?diag(?1,?,?i,?,?n)

其中 ?i?0,i?1,?n,為CTBC的特征值，且有

QT(CTAC)Q?E

令P?CQ，則P為可逆矩陣，于是

PTAP?E,PTBP?D

PT(A?B)P?PTAP?PTBP?E?D

上式兩端取行列式，得

|P||A?B||P|?|E?D|??(1??i)?1?|PT||A||P| Ti?1n因

|P|?|P|?0，故

|A?B|?|A|.35．設A,B均為實正定陣，證明：方程|?A?B|?0的根全大于0.證：由33題知|?E?P1BP1|?0?|?A?B|?0.其中P1BP1為正交矩陣，它的特征值?i?0，i?1,?,n，故|?A?B|?0的根全大于0.· ·134TTT

36．設A為n階正定矩陣，試證：存在正定矩陣B，使A?B．

證：因為A是正定矩陣，所以是實對稱矩陣，于是存在正交矩陣P，使

2??1???2?P-1AP?PTAP?D???

?????n???其中?1,?2,?,?n

令?i?為A的n個特征值，它們全大于零．

?i(i?1,2,?,n), 則

2???1??1???1???1?2?????2?????2??22??D????????? ??????????????????2??????n??n?n??n?????1???1???????22T???PT

而

A?PDP?P?????????????n??n????1???1???????22?PTP??PT

?P?????????????n?n?????1???2?T

令

B=P??P

??????n??2顯然B為正定矩陣，且A?B．

37．設A為n階可逆實方陣，證明：A可表示為一個正定陣與一正交陣的乘積．

T

證：因為A是n階可逆實方陣，故AA是正定矩陣，所以存在n階正定矩陣B，使

ATA?B2.于是有

(AB?1)T(AB?1)?(B?1)TATAB?1?(B?1)TB2B?1?E

這說明AB是正交陣.令

AB?Q

則

A?QB，其中Q是正交矩陣，B是正定矩陣.38．A、B 為n階正定矩陣，則AB也為n階正定矩陣的充分必要條件是： AB=BA，即A與B可交換．

·135· ?1?1證：方法一

先證必要性．

由于A、B、AB都是正定矩陣，所以知它們都是對稱矩陣，因此有

AT?A,BT?B,(AB)T?AB

于是

AB?(AB)T?BTAT?BA

即A與B可交換．

再證充分性．

由條件AB=BA得

(AB)T?(BA)T?ATBT?AB

因此AB是對稱矩陣．

因為A,B是正定矩陣，故它們皆為實對稱矩陣，且有可逆矩陣P、Q，使

A?PTP,B?QTQ

于是

AB?PTPQTQ

上式左乘Q，右乘Q?1得

Q(AB)Q?1?QPTPQT?(PQT)T(PQT)

這說明AB與對稱矩陣(PQT)T(PQT)相似；因為PQT是可逆矩陣，故矩陣(PQT)T(PQT)是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

綜合上述知AB正定．

方法二

必要性同方法一，以下證明充分性．

由條件AB=BA得

(AB)T?(BA)T?ATBT?AB

因此AB是對稱矩陣．

由于A正定，所以存在可逆矩陣Q，使

A=QQ 于是

TTTT? ?E?AB??E?QQB??E?QQBQ(Q)

T

??QTE(QT)?1?QT(QBQT)(QT)?1?QT?E?QBQT(QT)?1??E?QBQTT

?E?AB?0??E?QBQT?0

這說明AB與QBQ有相同的特征值．

因為B是正定矩陣，易見QBQ也是正定矩陣，故它的特征值全大于零，所以AB的特征值也全大于零．

· ·136

T綜合上述知AB正定．

39．設A、B為實對稱矩陣，且A為正定矩陣，證明：AB的特征值全是實數．

證：因為A是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使A?QTQ，于是有

?E?AB??E?QTQB??E?QT(QBQT)(QT)?1?Q?E?QBQ(Q)即|?E?AB|?0?|?E?QBQT|?0.TTTT?1??E?QBQT

因為B是實對稱矩陣，所以QBQ也是實對稱矩陣，因此它的特征值都是實數，故AB的特征值也都是實數．

40．設A是正定矩陣，B是實反對稱矩陣，則AB的特征值的實部為零．

證：因為A是正定矩陣，故存在可逆矩陣Q，使A?QTQ

?E?AB??E?QTQB??E?QT(QBQT)(QT)?1?Q?E?QBQ(Q)AB的特征值實部也為零．

TTT?1??E?QBQT

因為B是實反對稱矩陣，所以QBQT也是實反對稱矩陣，因此它的特征值實部為零，故

41．設A是正定矩陣，B是半正定的實對稱矩陣，則AB的特征值是非負的實數．

證：由于A是正定的，所以A也是正定的，于是存在可逆矩陣P，使得A因此

?1?1?PTP，?E?AB?A?A?1?B?A?PTP?B?APT?E?(PT)?1BP?1P ?APTP?E?(PT)?1BP?1?AA?1?E?(PT)?1BP?1??E?(PT)?1BP?1??E?(P?1)TBP?1

?1T?1即?E?AB?0??E?(P)BP?0.由于B是半正定的實對稱矩陣，故(P)BP?1T?1是半正定的實對稱矩陣，因此?E?(P?1)TBP?1?0的根是非負實數．于是?E?AB?0的根也是非負實數，即AB的特征值是非負的實數．

42．求證實二次型f(x1,?,xn)?

證：二次型的矩陣為

??(krs?r?s)xx的秩和符號差與k無關．

rsr?1s?1nn2k?33k?4?k?2?2k?34k?46k?5?6k?59k?6A??3k?4?????nk?(n?1)2nk?(n?2)3nk?(n?3)?

?nk?(n?1)??2nk?(n?2)??3nk?(n?3)?

???2?nk?2n??·137·

對矩陣A作合同變換，即把A的第1行的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n行上；同時把A的第1列的(-2)，(-3)，…，(-n)倍加到第2，3，…，n列上，得到與矩陣A合同的矩陣B為

?2??(n?1)?0?0?0?0?

????0?0??k?2,?2,??(n?1)倍依次加到第1，3，對矩陣B作合同變換，即把B的第2行的2k?2,?2,??(n?1)倍依次加到第1，3，4，…，n4，…，n行上；同時把B的第2列的2列上，得到與矩陣B合同的矩陣C為 ?k?2??1B???2?????(n?1)??100?0?0??1C??0????0??100?0000?0?0??0??0?

????0??由合同變換的傳遞性，故A與C合同，于是原二次型可經可逆線性變換化簡成

f(x1,?,xn)??2y1y2

?y1?z1?z2?再作可逆線性變換

?y2?z1?z2?y?zi?i于是二次型f化成規范形

(i?3,?,n)2 f(x1,?,xn)??2z12?2z

2顯然二次型f(x1,?,xn)的秩為2，符號差為0，它們的值均與k無關．

43．設二次型f?a時，二次型f正定．

證：二次型 f的矩陣A的各階順序主子式的值與它的階數n的奇偶性有關：

（1）當n=2m+1時，二次型f的矩陣為 ?xi?1n2i?bi?n?i?1?xxinn?i?1，其中a、b為實數，問a、b滿足什么條件

b??a??????ab??A??a?

ba???????ba??? · ·138它的各階順序主子式為

a,?,am?1,am(a2?b2),am?1(a2?b2)2,?,a(a2?b2)m

（2）當n=2m時，二次型f的矩陣為

b??a??????ab? A??ba???????ba???它的各階順序主子式為

a,?,am,am?1(a2?b2),am?2(a2?b2)2,?,(a2?b2)m

綜合（1），（2）可知：當a?0且a2?b2時，二次型f是正定的．

44．設A為n階實對稱矩陣，r(A)=n,Aij是A?(aij)n?n中元素aij的代數余子式

nnAijxixj(i,j?1,2,?,n)，二次型f(x1,x2,?,xn)???i?1j?1A?1

（1）記X?(x1,x2,?,xn)T，把f(x1,x2,?,xn)寫成矩陣形式，并證明二次型f（X）的矩陣為A．

（2）二次型g(X)?XAX與f(X)的規范形是否相同？說明理由．

證：方法一

（1）因為A是實對稱矩陣，故AijT?Aji．由r(A)=n, 故A可逆，且

A?1?1*A A二次型f(x1,x2,?,xn)的矩陣形式為

?A11A21?An1??x1?1?AA?An2??x2?f(X)?(x1,x2,?,xn)?1222????

???A???AA?A????x?nn??n??1n2n?1?1?1TT?1?1從而(A)?(A)?A.故A也是實對稱矩陣，因此二次型f(X)的矩陣為A．

?1?1T?1T?1?1

（2）因為(A)AA?(A)E?A，所以A與A合同，于是二次型g(X)?XTAX與f(X)有相同的規范形．

方法二

（1）同證法１

（2）對二次型g(X)?XAX作可逆線性變換，X?AY, 其中

T?1Y?(y1,y2,?,yn)T,則

T?1T?1T?1?1TT?1?1

g(X)?XAX?(AY)A(AY)=Y(A)AAY=Y(A)AAY=YAY

T?1由此可知A與A合同，二次型g(X)?XAX與f(X)有相同的規范形．

·139· ?1T

45．試說明二次型

f(x1,x2,x3)?(x1?x2?x3)2?[ax1?(a?d1)x2?(a?2d1)x3]2

+n?[(a?d)xii?22 ?(a?2d)x?(a?3d)x]1i2i3當d1?0時，無論n為何值，f(x1,x2,x3)的秩均為2．

解：f?XT(ATA)X，其中

?1??aA??a?d2????a?dn?1a?d1a?2d2?a?2dn1??a?2d1?a?3d2?

???a?3dn???111??0d12d1?行對矩陣A作行的初等變換，可得A????000?.????????000???

所以當d1?0時，A的秩為2，這與n的取值無關，因此二次型f的秩為2．

46．已知A是n階正定矩陣，令二次型f(x1,x2,?,xn)?XTAX?xn的矩陣為B，求證：（1）B是正定矩陣；（2）B?A．

證：（1）設

?a11?aA??21????an1?a11?a21則

B?????a?n1a12?a1n??a22?a2n?，aij?aji ????an2?ann?a12?a1n?a22?a2n??

???an2?ann?1??

顯然B為實對稱矩陣，且B與A的前n-1階順序主子式完全相同，由于A是正定矩陣，故它的各階順序主子式全大于零，因此B的前n-1階順序主子式也全大于零． 現考慮B的第n階順序主子式即它的行列式，有

a11a

B?21?an1可見B是正定矩陣．

· ·140a12?a1na11?a1n?1a22?a2n??+

an?11?an?1n?1??an2?annan1?ann?10?=A?An?1?0

（*）01

（2）由（*）即知B?A．

47．設n元實二次型f?XTAX，?1,?2,?,?n 是A的特征值，且?1??2????n． 證明：對于任一實維列向量X有?1XTX?XTAX??nXTX.證：設?1,?2,?,?n是f的特征值，則存在正交變換X=PY，使 f?XTAX?YT(PTAP)Y??1y12??2y2????nyn

由已知條件?1??2????n，有

?1YTY?f?XTAX??nYTY

（1）

又因為P是正交矩陣，于是有

XTX?YTPTPY?YTY

將此結果代入（1）即為

?1XTX?XTAX??nXTX

48．證明：若二次型??ai?1i?1nnijxixj?XTAX是正定二次型，則

a11a21f(y1,y2,?,yn)??an1y1是負定二次型．

a12a22?an2y2?a1n?a2n??ann?yny1y2? yn0

證：因為f 是正定二次型，故它的表示矩陣A是正定矩陣，因此A是可逆矩陣，作可逆線性變換Y=AZ．對上述行列式的列作消法變換，將第j列的-zj(j?1,2,?,n)倍加入第n+1列，其中Z?(z1,z2,?,zn)T,則

a11a21

f(y1,y2,?,yn)??an1y1a12a22?an2y2?a1n?a2n??ann?yny1a11y2a21???ynan10y1a12a22?an2y2?a1n0?a2n0 ???ann0?yn?(y1z1?y2z2??ynzn)TTTT

??A(y1z1?y2z2??ynzn)=?AYZ=?AZAZ=?AZAZ 因為A是正定矩陣，所以?A<0，可見f(y1,y2,?,yn)是負定二次型．

49．設A是正定矩陣，則

（1）A?annAn?1，其中An?1是A的n-1階順序主子式；

（2）A?a11a22?ann．

解：（1）因為A是正定矩陣，故

·141·

?a11a12?a1n?1??a21a22?a2n?1?An?1???

??????a?a?an?1n?1??n?11n?12也是正定矩陣，于是由48題知

a11?a1n?1y1??? fn?1(y1,y2,?,yn?1)=

an?11?an?1n?1yn?1y1?yn?10是負定二次型，因此由行列式的加法運算有

a11?a1n?1a1na11?a1n?1?????A??an?11?an?1n?1an?1nan?11?an?1n?1an1?ann?10an1?ann?1其中An?1為A的順序主子式．

?0??fn?1(a1n,a2n,?,an?1n)?annAn?1 0ann當a1n,a2n,?,an?1n中至少有一個不為零時，fn?1(a1n,a2n,?,an?1n)<0

A

50．設P?(pij)n?n是n階可逆矩陣，求證：P222??(p12j?p2j???pnj).j?1n?p11p21?pn??1p???pp?p1222n2p??

證：PTP????????????pp?p2nnn??pn?1nTpp21?1pn11?pn???pn?22????p2nn?12?n2??pi1?i?11??2?????*???pi?1n2i?*???2?

????n2?pin??i?1?

因為P是可逆矩陣，故PP是正定矩陣，由49題的結論（2），有

22PP??(?p)??(p12j?p2j???pnj)T2ijj?1i?1j?12nnn顯然 PP?P，所以有PT222??(p12j?p2j???pnj).j?1n · ·142