第一篇：線性代數(shù)試卷及答案1

一、填空題（本題共5小題，每小題4分，滿分20分，把答案填在題中橫線上）

31（1）三階行列式

111311113111?______________________.1

3?12??121???（2）設(shè)A???,B??11?，則AB?______________________.?101??11???（3）已知??(1,2,3)T,??(1,1,1)T，則???T?_____.?500????1（4）設(shè)A??031?，則A?________.?021???

?12?13??1?????3?,???5?，且線性方程組Ax??無解，則a?_____.（5）設(shè)A??21

4?0a2?1???6?????

二、計(jì)算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．計(jì)算n級(jí)行列式10

1111011?????1110111110。111?????

?202???2．設(shè)三階方陣A和B滿足關(guān)系式AB?2A?B,且A?040,求(A?E)?1。????202??

3．求下面線性方程組的通解

?x1?x2?x3?x4?0??x1?x2?x3?3x4?1

?x?x?2x?3x?0.534?1

2三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．設(shè)?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(1,3,t)。

（1）問當(dāng)t為何值時(shí)，向量組?1,?2,?3線性無關(guān)？

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，向量組?1,?2,?3線性相關(guān)？

（3）當(dāng)向量組?1,?2,?3線性相關(guān)時(shí)，將?3表示為?1和?2的線性組合。

??x1?x2?x3?1?

2．?為何值時(shí)，線性方程組?x1??x2?x3??

?x?x??x??

23?12

（1）有惟一解？（2）無解？（3）有無窮多個(gè)解。

四、證明題（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

1．設(shè)b1?3a1?2a2,b2?a2?a3,b3?4a3?5a1，且a1,a2,a3線性無關(guān)，證明：向量組

b1,b2,b3也線性無關(guān)。

2．設(shè)A為n階可逆矩陣A的伴隨矩陣，證明：A?A

填空題（本題共5小題，每小題3分，滿分15分，把答案填在題中橫線上）

**

n?

1?111??0.500?

????

22201?1????

?333??0?23?

??；??；2（1）48(2)；（3）（4）（5）?1

二、計(jì)算題（本題共3小題，每小題10分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）1.解：

0111

11011111111

1101110111

?????11011

11101?????

1111011101

n?1n?1n?1?n?1n?11?

1?1111110

…………………………………………………….（6分）

01?11

10?11

?????

11?01

11?10

………….（3分）

??????

?(n?1)

?????

?(n?1)

000

1?1000

??

1000?1

……………………………………………..…….（9分）

?1?00

??????

??1?

?(?1)n?1(n?1)…………………………………………….………………………….（10分）

2．解：

原方程

?(A?E)(B?2E)?2E……….（5分）

?001?

1?(A?E)?1?(B?2E)??010??

2??100??…………………………………（5分）

3．解

對(duì)方程組的系數(shù)矩陣

A作初等行變換, 有

1??1?10?1?2???

???1?1?110?1?001?2???

2??1?11?31???

???00000?1????1?1?23??????2?

由此得基礎(chǔ)解系為

………（5分）

T

??(1,1,0,0)??(1,0,2,1)1, 2

T,（7分）

??(,0，0)T

特解為

（8分）

于是所求方程組的通解為

1212

x?k1?1?k2?2??, 其中1

k,k2,k

3為任意常數(shù)………….（10分）

三、解答題（本題共2小題，每小題15分，滿分30分，要求寫出演算過程或步驟）

1．解：設(shè)有數(shù)組

k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0，k1(1,1,1)?k2(1,2,3)?k3(1,3,t)?(0,0,0)?！?分）

于是有方程組

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,?k?3k?tk?0

23?

1其系數(shù)行列式

……………………………………（3分）

D?23?t?

53t………………………………………………………….（4分）

（1）當(dāng)

t?5

時(shí)，D?0，方程組只有零解：

k1?k2?k3?0

。此時(shí)，向量組

?1,?2,?

3線性無

關(guān)。………………………………………………………………………………（5分）

（2）當(dāng)

t?5時(shí)，D?0，方程組有非零解，即存在不全為0的常數(shù)k1,k2,k3，使k1?1?k2?2?k3?3?0。此時(shí)，向量組

?1,?2,?3線性相關(guān)?！?（5分）

（3）當(dāng)

t?5時(shí)，方程組的系數(shù)矩陣的秩小于3。由左上角2階子式不為零可知，系數(shù)矩陣的秩等于2。因此，取方程組①的前2個(gè)方程

?k1?k2?k3?0,?

?k1?2k2?3k3?0,令

k3?1，解得k1?1,k2??2，即?1?2?2??3?0，從而?3???1?2?2。

………………………………………………………………………………………….（5分）

2．解：

?11

1?1?0,11???1,?2時(shí)，方程組有唯一解。………………（5分）（1）即

?1???2??11?1??1

????

??1?1?????0??11????(1??)?

2??11???2??00(1??)(2??)?(1??)(1??)????，（2）

則當(dāng)

???2時(shí)，方程組無解。…………………………………………….（5分）

??1???1??1?

??????x?k1?1??k2?0???0?

?0??1??0???????。??1（3）當(dāng)時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解，通解為

…………………………………….（5分）

四、（本題共2小題，每小題10分，滿分20分，）

?30?5?

?

210?b1,b2,b3???a1,a2,a3?????0?14???…………………….（4分）

1．證明：因?yàn)?/p>

且a1,a2,a3線性無關(guān)…………………………………………………………（6分）

?5210?22?0

又0?1

……………………………………………….（8分）

故向量組b1,b2,b3也線性無關(guān)………………………………………………….（10分）

*?1

2．證明：因?yàn)?/p>

A?AA…………………………………………….（4分）

|A*|?|A?1|?n

1?

所以

……………………… ……….（8 分）

?A

n?1

…

…………………………….10分）（

第二篇：線性代數(shù)4試卷及答案

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題B 試卷滿分100分

考試時(shí)間120分鐘

(出卷人：廖磊)試卷說明：AT表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A*表示矩陣A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1．若行列式|A|=0，則A中（）A．必有一行全為0 C．有兩列成比例

a11a12a22a32a13a33B．行向量組線性相關(guān) D．所有元素全為0

a11a315a11?2a125a21?2a225a31?2a32a13a23，則D1的值為（）a33a23=3，D1=a212．設(shè)行列式D=a21a31A．-15 B．-6 C．6 D．15 3．設(shè)A，B，C，D均為n階矩陣，E為n階單位方陣，下列命題正確的是（）A．若A2?0，則A?0

B．若A2?A，則A?0或A?E C．若AB?AC，且A?0，則B?C

D．若AB?BA，則(A?B)?A?2AB?B

2224．設(shè)A、B為n階方陣，滿足A2=B2，則必有（）A．A=B C．|A|=|B| ?1?A．?0?0?1001201??0? 0??1??2? 0??B．A=-B D．|A|2=|B|2

?1?B．?0?0??1?D．?2?3?1101231??1? 0??1??2?3??5．設(shè)3階方陣A的秩為2，則與A等價(jià)的矩陣為（）

?1?C．?2?0? 6.設(shè)A，B為同階可逆方陣，則下列等式中錯(cuò)誤的是（）．．A.|AB|=|A| |B| C.(A+B)-1=A-1+B-1

7．設(shè)2階矩陣A＝，則A＝()

*

B.(AB)-1=B-1A-1 D.(AB)T=BTAT

A．

B．

C．

D．?a?cb??，則d??

8．設(shè)2階矩陣A＝??A．??C．???d??c?b?? a??b???a??A＝（）

??d?b?d??bc???a???c??a??＊

B．??

??d?c

D．??

9．設(shè)矩陣A＝，則A中()A．所有2階子式都不為零

B．所有2階子式都為零 C．所有3階子式都不為零

D．存在一個(gè)3階子式不為零

10．設(shè)?1,?2是??x1?x2?x3?1?2x1?x2?0，的兩個(gè)解，則（）

1A．?1??2是??2x1B．?1??2是??2x1C．2?1是??2xx?x2?x3?0?1?x2?0，的解，的解 x?x2?x3?0?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0x?x2?x3?1?1?x2?0，的解，的解 1D．2?2是??2x11．設(shè)?1,?2,?3,?均為n維向量，又?1,?2,?線性相關(guān)，?2,?3,?線性無關(guān)，則下列正確的是（）

A．?1,?2,?3線性相關(guān) B．?1,?2,?3線性無關(guān) C．?1可由?2,?3,?線性表示 D．?可由?1,?2線性表示

12．設(shè)向量?1?(a1,b1,c1),?2?(a2,b2,c2),?1?(a1,b1,c1,d1),?2?(a2,b2,c2,d2)，則下列命題中正確的是（）

A．若?1,?2線性相關(guān)，則必有?1,?2線性相關(guān)

B．若?1,?2線性無關(guān)，則必有?1,?2線性無關(guān) C．若?1,?2線性相關(guān)，則必有?1,?2線性無關(guān) D．若?1,?2線性無關(guān)，則必有?1,?2線性相關(guān)

13．設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax＝0有非零解的充分必要條件是()A．A的列向量組線性相關(guān)

B．A的列向量組線性無關(guān) C．A的行向量組線性相關(guān)

D．A的行向量組線性無關(guān)

14．設(shè)α1，α2，α3，α4為向量空間V的一個(gè)基，則V的維數(shù)=（A．1 B．2 C．3

D．4 15.設(shè)A與B是兩個(gè)相似n階矩陣，則下列說法錯(cuò)誤．．的是（）A.A?B

B.秩（A）=秩（B）C.存在可逆陣P，使P-1AP=B

D.?E-A=?E-B

16．正交矩陣的行列式為（）A．0 B．+1 C．-1

D．±1 17．矩陣A＝的非零特征值為()A．

4B．

3C．

2D．1

18．當(dāng)矩陣A滿足A2=A時(shí)，則A的特征值為（）A．0或1 B．±1 C．都是0

D．都是1）19．二次型A．0 C．2 f(x,y,z)?x?y2.2的正慣性指數(shù)p為（）

B．1 D．3

22220.設(shè)有二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3,則f(x1,x2,x3)（）

A.正定 C.不定

B.負(fù)定 D.半正定

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

a1b1a1b2a2b2a3b2a1b3a2b3=_____________.a3b321．若aibi?0,i?1,2,3,則行列式a2b1a3b112322．三階行列式D?222，則A11?A12?A13?__________.451?3?A=?0?1?2??1?4??23.設(shè),B=??1?0012??,則AB=__________.0?1114中元素9的代數(shù)余子式A32=____________ 1624．行列式234925.若k112?0,則k=___________.26．設(shè)A，B均為n階矩陣，(AB)?E，則(BA)=__________.?a11x1?a12x2?a13x3?0?27．若齊次線性方程組?a21x1?a22x2?a23x3?0有非零解，則其系數(shù)行列式的值為

?ax?ax?ax?0322333?31122______________.?1?28.設(shè)矩陣A=?2?3?2t42??3?，若齊次線性方程組Ax=0有非零解，則數(shù)t=____________.5???1?29．設(shè)矩陣A=?0?0?0201??0?，矩陣B=A-E，則矩陣B的秩r(B)=______________.1??30.已知A有一個(gè)特征值-2,則B=A2+2E必有一個(gè)特征值___________.31.方程組x1?x2?x3?0的通解是___________.T

T32.已知向量α=（2，1，0，3），β=（1，-2，1，k），α與β的內(nèi)積為2，則數(shù)k=____________.33.設(shè)向量α=（b,12,12）T為單位向量，則數(shù)b=______________.34．設(shè)AX?0為一個(gè)4元齊次線性方程組，若?1,?2,?3為它的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則秩（A）=_________.35．已知某個(gè)3元非齊次線性方程組Ax＝b的增廣矩陣A經(jīng)初等行變換化為：，若方程組無解，則a的取值為

．

36．已知3維向量??(1,3,?1)T,??(?1,2,4)T，則內(nèi)積(?,?)=____________.37.設(shè)三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.38.設(shè)三階方陣A的特征值分別為-2,1,1,且B與A相似,則2B=___________.?1??2?1?2?101??0?3??39.矩陣A=所對(duì)應(yīng)的二次型是___________.T40．設(shè)3元實(shí)二次型f(x1,x2,x3)?XAX經(jīng)正交變換化成的標(biāo)準(zhǔn)形為f?3y1，則矩陣

2A的特征值為_________.三、計(jì)算題（本大題共5小題，每小題10分，共50分）

***241.計(jì)算四階行列式的值.42．設(shè)A=?3??0?1?2??1?4??,B=??1?0012??,求矩陣0?AB.?1?43.已知矩陣A=?1?0?0?111??3??0?，B=?1?02???0111??0?，4??（1）求A的逆矩陣A-1；（2）解矩陣方程AX=B.44．設(shè)A=?3??1?1?1002101??1?1??0??2?2??,求A?1.45.設(shè)??1?A=?0?0??1?,B=?0?0?1200??2?3??,且A,B,X滿足(E-B?1A)TBTX?E.求X,X?1.46．求向量組?1=（1，2，1，3），?2=（4，-1，-5，-6），?3=（1，-3，-4，-7）的秩和其一個(gè)極大線性無關(guān)組.47．設(shè)向量組?1?(1,?1,0)，?2?(2,4,1)，?3?(1,5,1)，?4?(0,0,1)，求該向量組的秩，并判斷其線性相關(guān)性。

?x1?2x2?4x3?3?2x2?2x3?348．求線性方程組??2x?2x?6x?323?1?8?17??，2??的通解.49.設(shè)矩陣A=??（1）求矩陣A的特征值與對(duì)應(yīng)的全部特征向量.（2）判定A是否可以與對(duì)角矩陣相似，若可以，求可逆矩陣P和對(duì)角矩陣?，使得P-1AP=?.50．已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x1＋3x2＋3x3＋2ax2x3通過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形f＝y(tǒng)1＋2y2＋5y3，求a． 22222

2四、證明題（本大題10分）

51.設(shè)?1,?2,?3是齊次方程組A x =0的基礎(chǔ)解系.證明：

?1??1,?2??1??2，?3??1??2??3一定是Ax =0的基礎(chǔ)解系．

52．設(shè)A，B均為正交矩陣，且A??B，試證A?B?0.?

321、AB??0??12??11????04?21001111012?32????00????***02146??0

?2???

322、（A,E）=?1???1?

1??1???30??0………………………..3分 ?1??1??0……….………………….1分 ?0??01001?21???1………………………2分 ??3??1???1………………………..1分 ??1??1?100?2??0100??001?1?2??1111?2??1??1?2???1010

??0100???02?21?1010??0100???00?21??1010??0100??001?1?2??1?2??0?1????2?111011

?1??1??1?2??……2分

所以A?11?2??1?1??2??…………………………………………1分

?1?2?

23、令A(yù)=（?1,?2,?3)=?1?3???1?0???0?0??4?9?9?184?1?5?61???3??4?………………………….2分 ?7???1???5??5?………………………………………………….2分 ?10????1?0???0?0??49001??5?0?………………………………………………………….2分 0???所以向量組?1,?2,?3的秩為2………………………………………….2分 極大線性無關(guān)組為??1,?2?或??1,?3?或??2,?3?……………………….2分

?124、(A,b)??0???2?12?02???0?242?22224263??3………………………………………………..2分 ?3???13????3?0???3???02104103?3??……………………………………2分 2?0??1???0??00102100?3??………………………………………………………….1分 2?0?所以非齊次方程的一般解為

?x1??2x3??3x??x?3?22?……………………………………………

1分

所以齊次方程組的一個(gè)特解為?*?0???3????2??0???…………………………..1分

??2?x??2x?13?對(duì)應(yīng)的齊次方程組為?得基礎(chǔ)解系為?1???1…………….2分 ???x2??x3??1??所以原方程組的通解為???*?k1?1,其中k1為任意常數(shù)………………….1分

25、（1）項(xiàng)式A??E?8??172??=（??1)(??9)

所以特征值?1?1,?2?9…………………………………………………..1分

?7當(dāng)?1?1時(shí)，A?E???17??1???1??01??0?

即x1??x2，所以特征向量為?1???………………………………..1分

?1?對(duì)應(yīng)特征值?1?1全部特征向量為k1?1，k為任意非零常數(shù)………..1分

當(dāng)?2?9時(shí)，A?9E???1??17??1????7??0??1??7?? 0??7?即x1?7x2，所以得到對(duì)應(yīng)的特征向量?2???………………………..1分 ?1?對(duì)應(yīng)特征值?2?9的全部特征向量為k2?2，k2為任意非零常數(shù)……….1分（2）因?yàn)榫仃嘇有兩不同的特征值1和9,(或者說存在兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量

?1,?2),所以矩陣A可以對(duì)角化……………………………………………..2分

可逆矩陣P=(?1,?2),即?10??9???1P=??17??1?,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

?10?．．．．．．．．．．．．．．．１分 ?．9?且有P?1AP???0

2６、，所以對(duì)角矩陣為????0證明：首先，?1,?2,?3 的個(gè)數(shù)與所給的基礎(chǔ)解系?1,?2,?3個(gè)數(shù)相同，都為３，即

n-r=3………………………………………………………………………1分 其次A?1?A?1?0,A?2?A(?1??2)?0,A?3?A(?1??2??3)?0

所以，?1,?2,?3都是方程組Ax =0的解………………………………………2 最后，根據(jù)提設(shè)條件可以寫出矩陣等式

?1?(?1,?2,?3)=(?1,?2,?3)0???01101??1………………………………………2分 ?1??1110111把它記為B?AP.因?yàn)闃?biāo)出矩陣的行列式P?00=1?0…….1分

P是可逆矩陣………………………………………………………..1分 所以，r(B)?r(A)?3，這說明?1,?2,?3線性無關(guān)………………………

2分

所以，?1,?2,?3必是Ax =0的基礎(chǔ)解系……………………………………….1分

***10?402100021??3分 21、解：D=002=

00012100210002***02?15??15??4分

??3分 =0001=00022、解：(1)?A?1?E??1???00?100100011?1122?10?111?1?1102011?1?211000100??1??0?0???1???00?100010?112?2?1?1?21?11?12?1211?100100??0??1分 ?1???1? ?0???0?1? ?0???00??1??0?0???1???0?1??1??2分 ?1???1??2???1?1?A?2???1????1A?1?1???1??2分 ?1??B?X?A?1(2）AX?B?方程兩邊同時(shí)左乘?2??X?2????1?1?21?1,得 A?1AX?AB??2分

?1??3???11??1????00111??5??0?4??4?????2?2?32?1?2???2??3分 ?3??

23、解： E?B?A?TBX?E?B(E?BT?A)?TX?E??B?A?X?E??3分

T??2???X??0????0???1?2???0??0??0200??0?1??T???????1?2??0???00200??0?1???1?1?2???0??0??0120?0??0???3分 ?1???0120X?1?0??0??1????1?2??0???00200??0??4分 ?1???1210??1210?????

24、解：令A(yù)???1450???0660???3分

?0111??0111??????121?

??011?000?0??1???3分 ?1??所以向量組的秩為3。因?yàn)槲粗獢?shù)的個(gè)數(shù)大于向量組的秩，所以向量組線性相關(guān)?！?分 ?200???

25、解：f的矩陣為A??03a?

……2分

?0a3???2??03??a0a3???(2??)3??aa3??先求A的特征值，A??E?00

?(2??)(??6??9?a)?0

……（1）

……2分 22由已知，二次型可通過正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)形f＝y(tǒng)1＋2y2＋5y3，得 矩陣A的特征值為1，2，5。

……2分

將λ1=1代入（1）式，得

(2?1)(1?6*1?9?a)?0?a??2.??4分

四、證明題

26、證：由已知可知

AAT?E

BBT?E

……2分

AT2222A?B?AA?AB?E?AB?BB?AB TTTTT

?BT?AT?B?BT?ATB?A?BB

……4分 再由A??B，又正交陣的行列式為?1

……1分 不妨設(shè)A?1，則B??1

則 A?B??A?B，故A?B?0

……3分

第三篇：線性代數(shù)試卷(網(wǎng)上1)

線 性 代 數(shù) 試 卷(A)

一、選擇題（每題3分，共15分）

?1a?12???若矩陣A??0?1a2?的秩r(A)?2,則a的值為_____________?10?12???1.(A)0(B)0或-1(C)-1(A)AT??(D)-1或者1(B)-AT*設(shè)A為正交矩陣，且|A|??1,則A?_____________ 2.(C)A????(D)-A

TT3.設(shè)?,?是n維列向量,???0,n階方陣A?E???,n?3，則在A的 n個(gè)特征值中,必然______________

(A)有n個(gè)特征值等于1(B)有n?1個(gè)特征值等于1(C)有1個(gè)特征值等于1(D)沒有1個(gè)特征值等于1

r(A)?r(B),則______________ 4.設(shè)A,B為n階方陣，且秩相等，既(A)r(A－B)?0(B)r(A?B)?2r(A)(C)r(A,B)?2r(A)(D)r(A,B)?r(A)?r(B)

___ 5.設(shè)矩陣Am?n的秩r(A)?n,則非齊次線性方程組Ax?b__________(A)一定無解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有無窮多解

二、填空題（每題3分，共15分）

**|A|?2|2A|=_____________ nA1.設(shè)是階方陣A的伴隨矩陣，行列式，則

2.D中第二行元素的代數(shù)余子式的和

1111j?1?A42j=__________ ,其中

D =

212f(xx,x)?x?4x?2x?2ax1x1?2x2x3正定,則實(shí)常數(shù) 1,231233.已知實(shí)二次型

a的取值范圍為________________

1?11111?11111?1AB?________________BA4.2n階行列式 ,其中n階矩陣 ?a0?0??0?0b?????0a?00?b0????A??B??????????0??????00?a??b?00???

??

?101???020??，?101?nn?1?而n?2為正整數(shù)，則A?2A?______ 5.設(shè)A=?

三、計(jì)算題(每題9分,共54分)1.計(jì)算n階行列式

x1?mx2x3?xnx1x2?mx3?xnDn???????x1x2x3?xn?m

?200??600??????1?1AX?BA?ABX?0，其中,A??0?10?,B??012??001??021????? X2.求矩陣使

?2x1?x2?a3x3?a4x4?d1??x1?2x2?b3x3?b4x4?d2?cx?cx?2x?3x?d22343有三個(gè)解向量 3.設(shè)非齊次線性方程組?11?2??3??1????????11???2????1??4???2?????????????

?1＝?1?，?2＝?1?，?3＝?2?

求此方程組系數(shù)矩陣的秩,并求其通解(其中ai,bj,ck,dt為已知常數(shù))

4.已知實(shí)二次型 f(x1,x2,x3)=2x1?3x2?3x3?2?x2x3(??0)經(jīng)過正交

222y?2y?5yX?QY123變換,化為標(biāo)準(zhǔn)形,求實(shí)參數(shù)?及正交矩陣Q

?x1?x2?x3?3x4?0?2x?x?3x?5x?1?1234??3x1?2x2?ax3?7x4?1??x1?x2?3x3?x4?b，問a,b各取何值時(shí)，線性

2225.設(shè)線性方程組為

方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時(shí)求出其通解

446.在四元實(shí)向量構(gòu)成的線性空間R中,求a使?1,?2,?3,?4為R的基,并求由基?1,?2,?3,?4到?1,?2,?3,?4的過渡矩陣P,其中

四、證明題(每題8分,共16分)1.設(shè) ?1,?2,?3 是歐氏空間V的標(biāo)準(zhǔn)正交基,證明: 13也是V的標(biāo)準(zhǔn)正交基

?1??1??1??1?????????011???????1??1????2????3????4???0011?????????0??0??0??1??? ?? ?? ?? ?1???1???1??1??????????111???????0??1????2???3????4???a2?a?00?????????1??1??0??0??? ?? ?? ??

?1?(2?1?2?2??3)?2?(2?1??2?2?3)?3?(?1?2?2?2?3)1313

T2.設(shè)f?XAX是n元實(shí)二次型,有n維實(shí)列向量X1,X2,使X1AX1?0，TTX2AX2?0, 證明:存在n維列實(shí)向量X0?0,使X0AX0=0

T

第四篇：2006~2007線性代數(shù)試題1答案

一、選擇題： [教師答題時(shí)間：2 分鐘]（每小題 3 分，共 12分）①A ②D

③A

④B

二、填空題： [教師答題時(shí)間：4分鐘]（每空 3分，共 12 分）① 5

② 線性相關(guān)

③ 0

④-8

三、計(jì)算題 [教師答題時(shí)間： 6 分鐘]（共16分）

1、aDn?b?bba?b......??1bb?aba?bba?b?0n?1a?(n?1)b?a?(n?1)b?a?(n?1)b......??bb（4分）?a......??b0?ba?b......??bb?a解: ?[a?(n?1)b]1?11

＝[a?(n?1)b]0?0（2分）a?b＝[a?(n?1)b](a?b)（2分）

2、?1解：A???3?1???00?2240?112?1??1???2??02?2011?1012?1??(3分）5??14???(3分）??5?0? 4??5(2分）??2?

四、綜合題 [教師答題時(shí)間： 7 分鐘]（共15分）

驏1??(a1,a2,a3,a4)=?1????-2桫驏1瓏瓏?瓏0瓏瓏瓏瓏0桫驏1??解：??0????0桫-12-801000-1-110-11-6-1-222÷÷÷4÷(2分）÷÷÷4÷-120-11-422(2分）16驏2鼢1鼢鼢2鼢(2分）?0鼢鼢鼢8鼢0桫-3÷÷÷1÷(2分）÷÷÷-4÷

所以極大無關(guān)組是a1,a2,a3(2分）a4=-3a1-a2-4a3(5分）五題、綜合題 [教師答題時(shí)間： 8 分鐘]（共10分）

?1?解:?A,b???1?1????1???0?0?11??????(??3)11??11??112????0????0???(1??)?(4分）2??(??2??1)???2∴當(dāng)?＝－3時(shí)，線性方程組無解（2分）

當(dāng)??0且???3時(shí)，線性方程組有唯一解（2分）當(dāng)?＝0時(shí)，線性方程組有無窮解（2分）六題、解答題 [教師答題時(shí)間： 5 分鐘]（共10分）

?1?A?3??5??1??0??0?010?253?2??5(2分）??3???1?0??0??210?2??1(2分）?0??0??1(2分）?0??

?0??0?????∴通解為x=c-1(2分），故基礎(chǔ)解系為c-1(2分）?????1??1?????七題、解答題 [教師答題時(shí)間：10 分鐘]（共12分）??3解：?E－ A?0121?2?4??10??1=(??1)(??4??5)(2分）所以A的特征值為?1?1,?2??3?i?2(2分）?4?當(dāng)??1，E?A?0??1?120?2??1???4?0????00??0100???2?0???0???所以??1對(duì)應(yīng)的特征向量為C12(C1?0)(3分）???1?????1?i???i?2時(shí)，A-?E=0???1??1??0??1?i?0i?11i?3??1???4?0????0?2???1?i?10010??4???i?3?2i?3??2i?2?0??

??i?3???所以??i?2時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量為C2?2i?2(C2?0)(3分）????1??顯然A不能相似對(duì)角化(2分）八題、證明題 [教師答題時(shí)間： 7 分鐘]（共13分）

?1?1)證明：（?1，?，?）＝（?，?，?）22312?3?0??1?設(shè)K=2??0?0231??0,顯然K?0,∴K可逆（2分）?3??0231??0（2分）?3??-1 ∴（?1，?，?）=（?，?，2?）K2313

故?1，?，?與?，?，2?等3價(jià)，而?，?，?2線性3無關(guān)2311∴?1，?，?線性無關(guān)（3分）232)證明：因?yàn)锳為正交陣，故A??1,而A?0，∴A??1(2分）E＋A＝AA＋A?AA＋E?AA＋E??E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT

第五篇：近年華南理工大學(xué)線性代數(shù)試卷及答案

以下是四套近年的統(tǒng)考題，僅供參考．

試卷

（一）：

一.填空題（共20分）

1.若A*是6階方陣A的伴隨矩陣，且rank(A)?4,則rank(A*)?_______.2.設(shè)A???sin???cos??sin???，則A100?__________?cos??__________.3.設(shè)V?（?x1,x2,x3)T|2x1?x2?3x3?0?是R3的子空間，則V 的維數(shù)是__________.4.對(duì)稱矩陣A 的全部特征值為4,-5,3,2,若已知矩陣A??E為正定矩陣,則常數(shù)? 必須大于數(shù)值____________.?1??0?05.已知n階矩陣A?????0??0??10?00000????10?1?00????0??0?0??,??0,則矩陣A?????1??的逆是

__________________.二．選擇題（共20分）

1.若A,B是n 階方陣, 下列等式中恒等的表達(dá)式是（）

(A)(AB)2?AB；(B)(AB)?1?A?1B?1；(C）A?B?|A|?|B|；(D)(AB)*?B*A*.2.若A為n階方陣,則A為正交矩陣的充分必要條件不是()(A)A的列向量構(gòu)成單位正交基；(B)A的行向量構(gòu)成單位正交基；(C)A?1?AT；(D)detA??1.3.若V1是空間Rn的一個(gè)k維子空間,?1,?2,?,?k是V1的一組基;V2是空間R的一個(gè)k維子空間, ?1,?2,?,?k是V2的一組基,且m?n,k?m,k?n,則:m（）

(A)向量組?1,?2,?,?k可以由向量組?1,?2,?,?k線性表示；(B)向量組?1,?2,?,?k可以由向量組?1,?2,?,?k線性表示；

(C)向量組?1,?2,?,?k與向量組?1,?2,?,?k可以相互線性表示；(D)向量組?1,?2,?,?k與向量組?1,?2,?,?k不能相互線性表示.4.若?1,?2是實(shí)對(duì)稱方陣A的兩個(gè)不同特征根, ?1,?2是對(duì)應(yīng)的特征向量,則以下命題哪一個(gè)不成立()(A)?1,?2都是實(shí)數(shù)；(B)?1,?2一定正交；

(C)?1??2有可能是A的特征向量；(D)?1??2有可能是A的特征根.5.已知A為n?1階方陣,且rank(A)?k,非齊次線性方程組AX?B的n?k?1個(gè)線性無關(guān)解為?1,?2,?,?n?k,?n?k?1, 則Ax?B的通解為().(A)c1?1?c2?2???cn?k?n?k；(B)c1?1?c2?2???cn?k?n?k?cn?k?1?n?k?1；

(C)c1(?1??n?k?1)?c2(?2??n?k?1)???cn?k(?n?k??n?k?1)；(D)c1(?1??n?k?1)?c2(?2??n?k?1)???cn?k(?n?k??n?k?1)??n?k?1.三.解下列各題(共25分)

1.若A為3階方陣,且A?.?1???1 2.設(shè) A???1???1??11?1?1?1?11?1?1???1?2nA,A,求矩陣.??1?1??12, 求: A?1?A*

3.計(jì)算向量??(?1,2,4)T在基?1?(1,1,1)T,?2?(0,1,1)T,?3?(1,?1,1)T下的坐標(biāo).4.設(shè)向量組 ?1?(?2,1,0,3),?2?(1,?3,2,4),?3?(3,0,2,1),?4?(2,?2,4,6),TTTT

求向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組.?1??35.利用分塊矩陣方法,計(jì)算A??0??0?240000200??0?的逆矩陣.4??1??

四.證明題(8分)設(shè)n維向量組?1,?2,?,?n和向量組?1,?2,?,?n有關(guān)系

??1??2??3????n???2??1??3????n ??????n??1??2????n?1?問n維向量組?1,?2,?,?n和向量組?1,?2,?,?n是否同秩? 證明你的結(jié)論.五.(8分)二次型f(x1,x2,x3,x4)?2x1?3x2?3x3?2?x2x3,??0, 通過正交變換, 可將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形f?y1?2y2?5y3,求參數(shù)?及所用正交變換.六.(8分)求線性方程組

??x1?x2?x3?x4?0? ?x1?x2?x3?3x4?1?1x?x?2x?3x??234?12?222222

的通解.七.(6分)解矩陣方程,并寫出解方程時(shí)初等矩陣的變換過程

?0??1?0?1000??1??0?X?0?1???00010??1??1???2?0???1?40?23??1? 0??八.(5分)設(shè)A是4階方陣,且A的特征根?1,?2,?3,?4互不相同,證明:(1)方陣A有四個(gè)線性無關(guān)的特征向量.(2)方陣A可以對(duì)角化.試卷

（二）：

一．計(jì)算下列各題：（每小題6分，共30分）

***176, 180?2?1??3??（1）162162（2）求2A2?3A?E2,其中A???1?

（3）已知向量組?1?(0,2,3)T,?2?(2,3,3)T,?3?(?1,2,t)T線性相關(guān),求t.(4)求向量??(?1,2,4)T在基?1?(1,0,1)T,?2?(0,1,1)T,?3?(1,?2,1)T下的坐標(biāo).(5)設(shè)A???35??, 求A的特征值.???0?A?二.(8分)設(shè)?2?0?3001??0?,且AB?AT?B,求矩陣B.2??120c03b00a321?12?三.(8分)計(jì)算行列式:

00x

四.(8分)設(shè)有向量組

?1?(0,1,1,2,3),?2?(1,0,1,2,5),?3?(1,1,0,?2,?7),?4?(3,3,2,0,?6), TTTT 求該向量組的秩以及它的一個(gè)最大線性無關(guān)組.五.(8分)求下列方程組的通解以及對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.?3x1?2x2?x3?x4?4x5?10,? ?2x1?x2?3x3?x4?x5?4，?7x?5x?x?2x?18.1345?六.(8分)求出把二次型f?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換,并求出使f為正定時(shí)參數(shù)a的取值范圍.222七.(10分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為3(二重根)、4(一重根),?1?(1,2,2)T是A的屬于特征值4的一個(gè)特征向量,求A.八.(10分)當(dāng)a,b為何值時(shí),方程組

?ax1?x2?x3?4,??x1?2bx2?3x3?10, ?x?3bx?3x?2,23?1 有惟一解、無窮多解、無解? 九．(10分)(每小題5分,共10分)證明下列各題

(1)設(shè)A是可逆矩陣, A~B, 證明B也可逆, 且A?1~B?1.(2)設(shè)?,?是非零n?1向量,證明?是n?n矩陣??T的特征向量.試卷(三):

一． 填空題（每小題4分，共20分）

?1?1．已知正交矩陣P使得PTAP??0?0?0?100??0?，則PTA2006(E?A)P?________?2??.2．設(shè)A為n階方陣，?1,?,?n為A的n個(gè)特征值，則 det(A2)?_________.3．設(shè)A是m?n矩陣，B是m維列向量，則方程組AX?B有無數(shù)多個(gè)解的充分必要條件是：_________.4．若向量組??(0,4,2)T,??(2,3,1)T,??(t,2,3)T的秩為2,則t?_____.1555512481?39?27, 則D(x)?0的全部根為:_________.5．D(x)?xxx23二． 選擇題（每小題4分，共20分）

0????1?0?1?00?100 1.行列式的值為().A.1 B.-1 n(n?1)n(n?1)C.(?1)2 D.(?1)2

2.對(duì)矩陣Am?n施行一次行變換相當(dāng)于().A.左乘一個(gè)m階初等矩陣 B.右乘一個(gè)m階初等矩陣 C.左乘一個(gè)n階初等矩陣 D.右乘一個(gè)n階初等矩陣 3.若A為m?n矩陣,r(A)?r?n,M??X|AX?0,X?Rn?, 則().A.M是m維向量空間 B.M是n維向量空間 C.M是m?r維向量空間 D.M是n?r維向量空間 4.若n階方陣A滿足,A2?0, 則下列命題哪一個(gè)成立().A.r(A)?0 B.r(A)? C.r(A)?n2n2n2 D.r(A)?5.若A是n階正交矩陣,則下列命題哪一個(gè)不成立().A.矩陣AT為正交矩陣 B.矩陣A?1為正交矩陣 C.矩陣A的行列式是?1 D.矩陣A的特征值是?1

三.解下列各題（每小題6分,共30分）

1.若A為3階正交矩陣, A*為A的伴隨矩陣, 求det(A*).a1a1111a1111a.2.計(jì)算行列式 111?0? 3.設(shè)A??2?0?2000??0?,AB?A?B,求矩陣B.1?? 4.求向量組?1?(1,2,1,2)T,?2?(1,0,1,2)T,?3?(1,1,0,0)T,?4?(1,1,2,4)T的一個(gè) 最大無關(guān)組.5.求向量??(1,2,1)T在基??(1,1,1)T,??(0,1,1)T,??(1,?1,1)T下的坐標(biāo).四.(12分)求方程組 ?x1?x2?2x3?x4?x5?2? ?3x1?x2?2x3?7x4?3x5?2

?x?5x?10x?3x?x?62345?1 的通解(用基礎(chǔ)解系與特解表示).五.(12分)用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型, 并寫出正交變換矩陣

f(x1,x2,x3)?2x1x2?x2?x3?2x1x3 六.證明題(6分)設(shè)??0,?1,?2,??r是線性方程組AX??對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè) 基礎(chǔ)解系,?是線性方程組AX??的一個(gè)解, 求證?1??,?2??,?,?r??,?線性無關(guān).試卷(四):

一.填空題（共20分）

1.設(shè)A是m?n矩陣，B 是m 維列向量，則方程組AX?B有唯一解的充分必要條件是： 2.已知E為單位矩陣, 若可逆矩陣P使得2P?1AP?P?1A2P?3E, 則當(dāng)E?A可逆時(shí), A3?

3.若t為實(shí)數(shù), 則向量組α=（0，4，t），β=（2，3，1），γ=（t，2，3+t）的秩為: 4.若A為2009階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則A*= 5.設(shè)A為n階方陣，?1,?2,??????,?n是A的n個(gè)特征根，則?i?1nii?iE?A =

二.選擇題（共20分）

1.如果將單位矩陣E的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為P(j,i(k)),將矩陣Am?n的第i列乘k加到第j列相當(dāng)于把A：

A, 左乘一個(gè)P(i,j(k));B，右乘一個(gè)P(i,j(k));C． 左乘一個(gè)P(j,i(k));D，右乘一個(gè)P(j,i(k)).2.若A為m×n 矩陣，B是m維非零列向量，r(A)?r?min{m,n}。集合nM?{X:AX?B,X?R}, 則

A，M 是m維向量空間，B，M是n-r維向量空間 A，M是m-r維向量空間，D，A，B，C都不對(duì)

3.若n階方陣A滿足 A2?3A?4E，則以下命題哪一個(gè)成立 A，A?E，B，r(A)?r(E)

C.detA?detE，D，r(A?E)?r(A?E)?n

4.若A是2n階正交矩陣，則以下命題哪一個(gè)一定成立：

A，矩陣A*A?1為正交矩陣，B，矩陣 2A?1為正交矩陣 C, 矩陣A?A*為正交矩陣，D，矩陣 A?A*為正交矩陣

?1????????????00?1?1?105.如果n階行列式?1????1的值為-1,那么n的值可能為：

A, 2007，B，2008 C, 2009, D，2000

三.判斷題(每小題4分, 共12分)(1)對(duì)線性方程組的增廣矩陣做初等變換,對(duì)應(yīng)的線性方程組的解不變.()(2)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).()(3)如果矩陣的行列式為零, 那么這個(gè)矩陣或者有一行(列)的元素全為零, 或者有兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例.()

四.解下列各題（每小題8分, 共16分）

?5??1??1??1?????????1．求向量????1?，在基?1??0?,?2??1?,?3??1?下的坐標(biāo).?1??0??1??3??????????1?2?2．設(shè)A??2???2?213?3331????4?n??n?n?,??1??計(jì)算detA

?1?1五.(10分)求矩陣A???0??1101011001??0?列向量組生成的子空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.1??1?六.證明題（6分）設(shè)A是m行n列矩陣, 如果線性方程組AX??對(duì)于任意m維向量?都有解，證明A的秩等于m.七、（10分）用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交變換矩陣

f(x1,x2,x3)?2x1?4x1x2?3x2?4x2x3?4x3..22

2八、（6分）設(shè)矩陣A，B都是正定矩陣，證明矩陣A?B也是正定矩陣.