第一篇：線性代數綜合練習題及答案6

線性代數綜合練習題

（六）一、選擇題

1.設A是m?n矩陣，齊次線性方程組AX?0僅有零解的充要條件是（）。（A）A的列向量組線性相關

（B）A的列向量組線性無關

（C）A的行向量組線性相關

（D）A的行向量組線性無關

2.?1,?2,?,?s(s?2)線性無關的充要條件是（）

都不是零向量

任意兩個向量的分量不成比例

至少有一個向量不可由其余向量線性表示 每個向量均不可由其余向量線性表示（A）（B）（C）（D）

?ab?223.設矩陣A??。?b?a??其中a?b?0且a?b?1，則A為（）??

（A）正定矩陣

（B）負定矩陣

（C）初等矩陣

（D）正交矩陣

4.A為n階方陣，?i(i?1,2,?,n)是A的特征值，則必有（）。

（A）?i(i?1,2,?,n)互異

（B）?i(i?1,2,?,n)不等于零

（C）?1?2??n?a11a22?ann

（D）?1??2????n?a11?a22???ann 5.若存在一組數k1?k2???km?0使得k1?1?k2?2???km?m?0成立，則向量組?1,?2,?,?n（）

（A）線性相關

（B）線性無關

（C）可能線性相關也可能線性無關

（D）部分線性相關

二、填空題

?12?2???3?，B為非零矩陣，AB?0，則t?

。1.設A??4t?3?11???2.設n階方陣A的n個特征值為1，2，…，n，則A?E?。

?1??2??3???????3.設列向量組?1??3?，?2??3?，?3??2?線性相關，則t?。

?2??1??1????????1????0???2????4.已知正交矩陣A的兩個列向量?1??1?，?2??0?，則A???0????1??????2?????。???14????112??C??35??5.若B??，則BC????103??????16???

三、計算行列式

???。?111.11111234?

491682764123?234?n12? 2.Dn?345?????n12?n?

1四、確定下列方程組是否有解，若有解，求其通解。

?x1?2x2?x3?x4?x5?1?2x?x?x?2x?3x?2?12345 ?3x?2x?x?x?2x?22345?1??2x1?5x2?x3?2x4?2x5?

1五、解矩陣方程AX?B求X，其中

?10?1??2?31?????

A??01?2?，B???101?

?1?10??141??????1??2??1??1??2????????????2??5??0??1???1?

六、求向量組?1???，?2???，?3???，?4???，?5???的最大線性無

0?1233???????????1??4??1??0???1???????????關組，并把其他向量用最大線性無關組線性表示。

七、設n階矩陣A滿足A?A，E為n階單位矩陣，求證：R(A)?R(A?E)?n。

2?3?

八、設矩陣A???k?4??2???1k?，問當k為何值時，存在可逆矩陣P使得P?1AP??，2?3??2其中?為對角矩陣？并求出相應的對角矩陣。

線性代數綜合練習題

（六）參考答案

一、選擇題

1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

二、填空題

1?02?1.?

3，2.(n?1)!，3.?

1，4.?10??0?12???0?，5.1??2?12?021???422??.??

三、計算題行列式

1.解：原式?(2?1)(3?1)(4?1)(3?2)(4?2)(4?3)

?1

2121212n(n?1)23?n(n?1)34?n(n?1)45???2n12?n123?134??15?2n(n?1)14n2.解：原式??12n(n?1)12?n?113?12

????112?n?10?12n(n?1)0?01?11?n11?1?n1?1?n111?1?1 2n(n?1)??????1?n?111?n1?11?1?1n(n?1)0??n0n?11?2n(n?1)?(?1)21(n?1)

2n????n?00四（10分）、解：此方程組的增廣矩陣為

?1?1?21?111?????21?12?32?r?0????B?(A?)??03?2?11?22?????0?2?51?221????所以系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組有解.?T0010001212?785?85801?1200????

?0??T98385893511特解為??(8,8,8,0,0)，對應的齊次線性方程組的基礎解系為?1?(?1,0)，2,?2,2,155?2?(7)T.8,8,?8,0,1所以通解為X?k1?1?k2?2??，(k1,k2?R).五、解：

??10?12?31???r??01?2?101(AB)???

?0?11?170????10?12?31???r????01?2?101?

??0012?7?1???10???r?04?100??0103?14?1???

?0012?7?1???4?100?所以X?A?1B???3?14?1??.??2?7?1??

六、解：A???1,?2,?3,?4,?5?

??11221??1122??0215?1????r?02?203?13????15?0?2???1104?1?1?5?????00?22??11221?104??r??0215?1????1103??001?11? ??r??0?001?1??00000??????0000??10010???r??0103?1????001?11?

??00000???所以?1,?2,?3是一個最大無關組，并且

?4??1?3?2??3，?5???2??

3七、證：由A2?A得A(A?E)?0，所以 A?E的列向量為方程組AX?0的解，設R(A)?r，則有R(A?E)?n?r

所以 R(A)?R(A?E)?r?R(A?E)?r?n?r?n

1??1??1??2????1??1??1? 0???

又R(E?A)?R(A?E)，所以

n?R(A?E?A)?R(A)?R(E?A)?R(A)?R(A?E)

即 n?R(A)?R(A?E)，故

R(A)?R(A?E)?n.八、解：

3??A??E??k4得?1?1，?2??3??1，2?1??2?2k?3???(1??)(1??)2?0

所以，A的特征值有重根，因此對于?2??3??1而言，當方程組(A?E)X?0有兩個線性無關的解時，A可以對角化.?4?A?E???k?4?2?2??4?r?0k??????k?02?2???2?2??0k? 00??若k?0，則R(A?E)?2，方程組(A?E)X?0只有一個線性無關的解.?42?2??21?1???r??0?????000?，當k?0時，A?E??00?42?2??000???????1??1?????所以對應于?2??3??1的特征向量為：?1??2?，?2??0?，?0??2??????1?????對應于?1?1的特征向量為3?0?，?1?????111???100??????1令P??200?，且有PAP??0?10?.?021??001?????

第二篇：線性代數綜合練習題及答案7

線性代數綜合練習題

（七）一、選擇題

1.設A、B為n階矩陣，則下面必成立的是（）。

（A）A?B?A?B

（B）(A?B)?1?A?1?B?（C）AB?BA

（D）AB?BA 2.設A為n階矩陣，且A?0，則(E?A)?1?（）。

（A）E?A

（B）E?A?A2???Ak?1

（C）E?A?A???A2k?1k

（D）E?A

3.設向量組?1,?2,?,?m的秩為3，則（）。

（A）任意三個向量線性無關

（B）?1,?2,?,?m中無零向量

（C）任意四個向量線性相關

（D）任意兩個向量線性無關 4.線性方程組Am?nxn?1?bm?1，(b?0)有解的充要條件是（）。

（A）R(A)?R(A|b)

（B）R(A)?m

（C）R(A)?n

（D）R(A)?R(A|b)

5.n階矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是（）。

（A）A的n個特征值互不相同

（B）A可逆

（C）A無零特征值

（D）A有n個線性無關的特征向量

二、填空題

1.各列元素之和為0的n階行列式的值等于。

??2.設三階矩陣A???4???1232???1?，則A?

。??3.設矩陣A??1?1???1??，B??2?，則AB?，BA?

，3??3???。(BA)?

（k為正整數）k?1?4.設R(A3?4)?2，P??0?0?1201??2?，則R(PA)?

。3??5.設向量組?1,?2,?3線性無關，則向量組?1??1??2，?2??2??3，?3??3??1線性。

6.設三階可逆矩陣A的特征值分別為2、3、5，則A?

，A的伴隨矩陣A?的特征值為。

7.設實二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?kx3?2x1x2?2x1x3?2x2x3為正定二次型，則參數k的取值范圍是。

三、計算題

?0?1.設?1?0?1000??0?X1???1??0?0?0010??2??1???1?0???38795??4?，求矩陣X。6??2222.當?取何值時，線性方程組

??x1?x2?x3?1???x1??x2?x3??? ??x?x??x??2123?有（1）惟一解；（2）無解；（3）無窮多解，并求通解。

?1???1??0???1???2????????????12136??????????3.設四維向量組?1??，，????????2435?1??1??2??4?，求0????????????0???1???1??1??5???????????該向量組的秩及一個極大線性無關組，并把其余向量用該極大線性無關組線性表示。

4.求一個正交變換X?PY，將實二次型

f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?4x2x3

222化為標準形，并判斷該二次型是否正定。

四、證明題

21.設A為n階矩陣，如果A?E，則R(A?E)?R(A?E)?n。

2.設n階矩陣A?0，A?0（k為正整數），則A不能與對角矩陣相似。

k線性代數綜合練習題

（七）參考答案

一、選擇題

1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

二、填空題

?0?1.0

2.?0?1?20130??0?

3.3, 0??14?1??2?3?12132??k?12, 33?1??13?1??2?3?12132??2 3?1??134.2

5.無關

6.30，15，10，6

7.k?1

三、計算題

?0?1.解：X??1?0??0???1?0??1???2?3?1001004560??0?1???1?2??1?3?8798795??1??4??0?6???05??1??4??0?6???00010010??1?0???

10??2??0??1?1???30??1?

0??7??8?.9??2.解：線性方程組的系數行列式

?A??1?1?1?1?1?(??2)(??1)，2??1?（1）當A?0，即??2且???1時，方程組有惟一解；

（2）當??2時，R(A)?2?R(Ab)?3，方程組無解；

（3）當???1時，??1??b)??1??1??1?1?1?1?1?11??r1????1???1??0?0?100100?1??0? 0??A?(A因為R(A)?R(A)?1?3，所以方程組有無窮多解，且通解為

??1???1???1???????x?k1?1??k2?0???0?，k1,k2為任意實數.?0??1??0???????3.解：A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1???1??0??0??121?1011?1?1321?2??6?r???4??5???1??0?0??0?010011000010?1???2?，?3?0??所以

R(?1,?2,?3,?4,?5)?3，?1,?2,?4為向量組?1,?2,?3,?4,?5的一個極大線性無關組，且

?3??1??2，?5???1?2?2?3?

4?2?4.解：二次型的矩陣

A??0?0?A的特征多項式

0120??2?，1??2??A??E?0001??2021????(1??)(2??)(3??)，所以A的特征值為?1??1，?2?2，?3?3.?0?0?????1??1對應的線性無關的特征向量為?1???1?，單位化得p1???12??1??1???2?1??1???????0?，單位化得p2??0?； ?0??0????????； ????2?2對應的線性無關的特征向量為?2?0??0??????3?3對應的線性無關的特征向量為?3??1?，單位化得p3??12?.??1?1??????2??x1?所求正交變換為

?x2?x?3??0??1????2???1??2210020??y1????1??y2?，21???y?3?2??2二次型的標準形為

f??y1?2y2?3y3，因為?1??1?0，所以該二次型不是正定二次型.四、證明題

1.證：由A2?E，得(A?E)(A?E)?0，則

R(A?E)?R(A?E)?n；

又

R(A?E)?R(A?E)?R(A?E)?R(E?A)?R(2E)?n，所以

R(A?E)?R(A?E)?n.2.證：反證法，假設A與對角矩陣相似，則存在可你矩陣P，使得

P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)，?1(?1,?2,?,?n)P則

A?Pdiagkkkk，?1(?1,?2,?,?n)P從而

A?Pdiag?0，所以 ?1?0，?2?0，…，?n?0，因而 A?0，這與A?0矛盾，故A不能與對角矩陣相似.

第三篇：線性代數第四章練習題答案

第四章

二

次

型

練習4、1

1、寫出下列二次型的矩陣

2（1）f(x1,x2,x3)=2x12?x2?4x1x3?2x2x3；

（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x3x4。

解：（1）因為

?2?

f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)?0?2??2?所以二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為：?0?2?0?1?10?1?12???1?0???x1??x2?x?3???, ??2???1?。0??（2）因為

?0??f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)?1??1??0??1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩陣為：?1??1?***11??0?1??0???x1??x2?x?3?x?4????，???1??0?。?1?0??

2、寫出下列對稱矩陣所對應的二次型： ??1?1（1）???2?1??212??01???2??1??2?；

（2）2????1?2?????0?12?11212?112012?0??1?2?。1??2?1????0?2

T解：（1）設X?(x1,x2,x3)，則

??1?f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)???2?1??2?120?21??2??2???2???x1??x2?x?3??? ??

=x12?2x32?x1x2?x1x3?4x2x3。（2）設X?(x1,x2,x3,x4)T，則

??0??1?

f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2???1???0?12?11212?112012?0??1?2?1??2?1????x1??x2?x?3?x?4???? ???

2=?x2?x4?x1x2?2x1x3?x2x3?x2x4?x3x4。

練習4、2

1、用正交替換法將下列二次型化為標準形，并寫出所作的線性替換。

22（1）f(x1,x2,x3)=2x1?x2?4x1x2?4x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2?2x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣 ?2?

A=??2?0??21?20???2?。0??A的特征方程為

??det?(E?A)=

20202=(??2)(?2?5??4)=0，??12?由此得到A的特征值?1??2，?2?1，?3?4。

對于?1??2，求其線性方程組(?2E?A)X?0，可解得基礎解系為

?1?(1,2,2)T。

對于?2?1，求其線性方程組(E?A)X?0，可解得基礎解系為：

?2?(2,1,?2)T。

對于?3?4，求其線性方程組(4E?A)X?0，可解得基礎解系為：

?3?(2,?2,1)T。

將?1,?2,?3單位化，得

?1?1?11?1?(,122T,)，3332123T

?2??21?2?(，?3323)，?3?令

?3?3?(,?21T,)，33?1??32

P=(?1,?2,?3)=??3?2??323132?32??3?2??，3?1??3???2?則

PTAP=diag(-2,1,4)=?0?0?0100??0?。4??作正交替換X=PY，即

122?x?y?y?y312?1333?212?

?x2?y1?y2?y3，333??x?2y?2y?1y3123?333?二次型f(x1,x2,x3)可化為標準形：

222

?2y1?y2?4y3。

（2）類似題（1）方法可得：

?1??2?

P=?0??1??2??121212?1??2??0?1?T，PAP=?0?2?0??1??2?020??0?，?2??02即得標準形：2y2?22y3。

（3）類似題（1）的方法可得： ?2??

P=???3?2???3132?3232??3??2?2?T，PAP=?03??01???3?0500??0?，?1??222即得標準形：2y1?5y2?y3。

2、用配方法將下列二次型化為標準形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2?4x1x3；

（3）f(x1,x2,x3)=?4x1x2?2x1x3?2x2x3。解：（1）先將含有x1的項配方。

f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2?x3)+(x2?x3)－(x2?x3)+2x2+6x2x3+5x3

22=(x1?x2?x3)+x2+4x2x3+4x3，22222再對后三項中含有x2的項配方，則有

22222

f(x1,x2,x3)=(x1?x2?x3)+x2+4x2x3+4x3=(x1?x2?x3)+(x2?2x3)。

?1?TT設Y=(y1,y2,y3)，X=(x1,x2,x3)，B=?0?0?221101??2?，0??令Y=BX，則可將原二次型化為標準形y1?y2。

（2）此二次型沒有平方項，只有混合項。因此先作變換，使其有平方項，然后按題（1）的方法進行配方。令

?x1?y1?y2?x1??1????

?x2?y1?y2，即?x2?=?1?x?y?x??033??3??1?100??0?1???y1???y?2?。?y??3?則原二次型化為

f(x1,x2,x3)=2(y1?y2)(y1?y2)+4(y1?y2)y3 =2y12－2y2+4y1y3+4y2y3

=2(y1?y3)2－2(y2?y3)2，?1?TT設Y=(y1,y2,y3)，Z=(z1,z2,z3)，B=?0?0?0101???1?，0??2令Z=BY，則可將原二次型化為標準形2z12?2z2。

（3）類似題（2）的方法，可將原二次型化為標準形：

?4z1?4z2?z3。

2223、用初等變換法將下列二次型化為標準形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?4x3?2x1x2?4x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3；

（3）f(x1,x2,x3)=4x1x2?2x1x3?6x2x3。（此題與課本貌似而已，注意哈）解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為 ?1?

A=?1?0?1220??2?。4??1120100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?012?1100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?010?1100??0?0??。2???2?1??于是

?1??1?0?A????E??=???1?0??0?1220100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?令

?1?

C=?0?0??1102???2?，1??作可逆線性變換X=CY，原二次型可化為標準形：f(x1,x2,x3)=y12?y2。

（2）類似題（1）的方法，原二次型可化為標準形：

2f(x1,x2,x3)= y12?4y2?y3。

（3）類似題（1）的方法，原二次型可化為標準形：

f(x1,x2,x3)= 2y12?

4、已知二次型

22?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2xf(x1,x2,x3)=5x12?5x212y2?6y3。

22的秩為2。求參數c的值，并將此二次型化為標準形。

解：二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為 ?5?

A=??1?3??15?33???3?。c??因為A的秩為2，令detA=0，可得c=3。

222即

f(x1,x2,x3)=5x1?5x2?3x3?2x1x2?6x1x3?6x2x3

也就是

?5?A= ??1?3??15?33???3?，3??22通過初等變換法，即可將其化為標準形：4y2?9y3。

5、設2n元二次型

f(x1,x2,?,x2n)=x1x2n?x2x2n?1???xnxn?1 試用可逆線性替換法將其化為標準形。

解：令 ?x1?y1?y2n?1??x2?y2?y2n?1?0?????????xn?yn?yn?

1?，P=???xn?1?yn?yn?1??????x?y?y?2n?122n?1?0?1?x?y?y?12n?2n01???01?11?10?1?1??1?01??0??????，????0??1??即作正交變換X=CY，二次型f(x1,x2,?,x2n)可化為標準型：

22y12???yn?yn?1???y2n。

22?3x3?2ax2x3(a>0)通過正交變換化為標準

6、已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12?3x222?5y3，求a的值及所作的正交替換矩陣。型f?y12?2y2222解：因為原二次型可化為f?y1?2y2?5y3，可知原二次型的矩陣的特征值為

1，2和5。

而原二次型的矩陣為 ?2?

A=?0?0?03a0??a?。3??故A的特征方程為

??det?(E?A)=

0000a??3a=(??2)(??6??9?a)=0。

22??3因此將此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。

對于?1?1，求其線性方程組(E?A)X?0，可解得基礎解系為

?1?(0,1,1)。

T對于?2?2，求其線性方程組(2E?A)X?0，可解得基礎解系為：

?2?(1,0,0)。

對于?3?5，求其線性方程組(5E?A)X?0，可解得基礎解系為：

T

?3?(0,1,?1)。

T將?1,?2,?3單位化，得

?1?1?11?1?(0,12,12)，T

?2??21?2?(1,0,0)，1212T

?3?故正交替換矩陣為：

?3?3?(0，?)，T???0?P=(?1,?2,?3)=?2??1??2100??0?1??。2?1???2?練習4、3

1、判別下列二次型是否為正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=5x1?6x2?4x3?4x1x2?4x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=10x1?2x2?x3?8x1x2?24x1x3?28x2x3；

2222（3）f(x1,x2,x3,x4)=x1?x2?4x3?7x4?6x1x3?4x1x4?4x2x3?

2x2x4?4x3x4。解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為 ?5?

A=??2?0?5?2?26?26?200???2?。4??5?26?2由于5>0，=26>0，?20?2=84>0, 4即A的一切順序主子式都大于零，故此二次型為正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為

?10?

A=?4?12?42?1412???14?。1??由于

1042?1412?14=-3588<0，|A|=412故此二次型不為正定的。

（3）二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩陣為： ?1??0

A=?3??2?01?223?2422??2?。2??7??由于

101?23?2=-9<0，03故此二次型不為正定的。

2、當t為何值時，下列二次型為正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=x1?4x2?x3?2tx1x2?10x1x3?6x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x1?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為： ?1?

A=?t?5?t435??3?。1??由于

1tt412=4?t，tt4353=?t2?30t?105，15但易知不等式組

2?4?t?0

?2

?t?30t?105?0?無解，因此，不論t取何值，此二次型都不是正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為： ?1?

A=?t??1?t12?1??2?。5??

此二次型正定的充要條件為

1>0，451tt1=1?t2>0，|A|=?5t2?4t>0，由此解得：??t?0。

（3）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為： ???

2A=?1???0???0?t?。?2?0??11t2由

2>0, 2111>0，|A|=1?t22>0，解得：?2?t?2。

3、設A、B為n階正定矩陣，證明BAB也是正定矩陣。證明：由于A、B是正定矩陣，故A及B為實對稱矩陣。所以(BAB)=BAB=BAB，即BAB也為實對稱矩陣。

由于A、B為正定矩陣，則存在可逆矩陣C1，C2，有

A= C1TC1，B= C2TC2，所以 BAB= C2TC2C1TC1C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2)，即

BAB也是正定矩陣。

4、如果A，B為n階正定矩陣，則A+B也為正定矩陣。

證明：由于A、B是正定矩陣，故A及B為實對稱矩陣。從而A+B也為實對稱矩陣，而且

f?XAX，g?XBX，為正定二次型。于是對不全為零的實數x1,x2,?,xn，有

XAX?0，XBX?0。TTTTTTTT故

h=XT(A?B)X=XTAX+XTBX?0，即二次型h=XT(A?B)X為正定的，故A+B為正定矩陣。

5、設A為正定矩陣，則A-1和A*也是正定矩陣。其中A*為A的伴隨矩陣。證明：因為A為正定矩陣，故A為實對稱矩陣。從而(A?1)T?(AT)?1?A?1 即A?1也為對稱矩陣，(A*)T?(AT)*?A*即A*也為對稱矩陣。

由已知條件可知，存在可逆矩陣C，使得

A?CTC。

于是

A?1?(CTC)?1?C?1(C?1)T=QTQ，A*=|A|A?1?|A|C?1(C?1)T=

1A?1C[1AC?1TT]=PP，其中Q=(C?1)T，P=(-1*1AC?1T)都為可逆矩陣。

故A和A都為正定矩陣。

6、設A為n×m實矩陣，且r(A)=m

證明（1）因為A為n×m實矩陣，所以AT為m×n矩陣，又r(A)=m

AX＝O , 只有零解。于是對于任意的 X ? O , 有 AX ? O。則

TTTX（AA）X＝（AX）（AX）＞ 0。因此，ATA為正定矩陣。

（2）因為A為n×m實矩陣，所以AT為m×n矩陣，又r(A)=m

XT（AAT）X＝（A T X）T（A T X）? 0。因此,AAT為半正定矩陣。

7、試證實二次型f(x1,x2,?,xn)是半正定的充分必要條件是f的正慣性指數等于它的秩。

證明：充分性。設f的正慣性指數等于它的秩，都是r，則負慣性指數為零。于是f可經過線性變換X=CY變成

2f(x1,x2,?,xn)=y1?y2???yr。

2從而對任一組實數x1,x2,?,xn，由X=CY可得Y=CX，即有相應的實數y1,?,yr,?,yn，使f(x1,x2,?,xn)=y12?y2???yr2?0.即f為半正定的。

必要性。設f為半正定的，則f的負慣性指數必為零。否則，f可經過線性變換X=CY化為

f(x1,x2,?,xn)=y12???ys?ys2?1???yr2，s

于是當yr=1，其余yi=0時，由X=CY可得相應的值x1,x2,?,xn，帶入上式則得

f(x1,x2,?,xn)=－1<0。

這與f為半正定的相矛盾，從而f的正慣性指數與秩相等。

8、證明：正定矩陣主對角線上的元素都是正的。

證明：設矩陣A為正定矩陣，因此f?XTAX 為正定二次型。于是對不全為零的實數x1,x2,?,xn，有

XTAX?0，T取X??i?(0,?,0,1,0,?,0)，(i=1,2,…,n)

2-1

2T則?iA?i?di?0，(i=1,2,…,n)即主對角線上的元素都是正的。

（注：所有答案我已全部整理至此，有些題沒找到，希望對大家有所幫助！——君不器）

第四篇：線性代數練習題(1-2章)答案

線性代數練習題（行列式·矩陣部分）

一、填空題

10?0001?00Dn??????1．n階行列式素均為零）的值為

1。0000??1001（主對角線元素為1，其余元1024?1522?12．設行列式D=1x?21001，元素x的代數余子式的值是

－14。

?21?A???23?1f(x)?2x?3x?1，則f(A)??9?1? ??3．設矩陣，???312???200??1??A??01100?2?????001??，則逆矩陣A?1??01?1? ４．設矩陣???001?????5．5階行列式

1?a?1000D=a000a0001?aa?11?a00?101?aa?11?a=?a5?a4?a3?a2?a?1

2A?|A|E，則A*= A n6．設A 為階可逆陣，且7.N(n12…(n-1))= n-1。

8.設D為一個三階行列式，第三列元素分別為-2，3，1，其余子式分 1 別為9，6，24，則D= －12。

9.關于n元線性方程組的克萊姆法則成立的條件是 1）線性方程組中未知數的個數和方程的個數相同，2）系數行列式D不等于零，結論是xj?DjD(j?1,2,?n)。

*10.n階矩陣A可逆的充要條件是A?0，設A為A的伴隨矩陣，則A-1=1*A。A2-111.若n階矩陣滿足A-2A-4E=0,則A=

1(A?2E)。4?1??1?????2???2??1234????3??1234??13??????4??4?2??=?30?，??12.???3??4?13.設A為三階矩陣，若

234??468?

6912??81216??A=3，則

A?11A*=,= 9。32?x22222?x22?222?x22222?xx3(8?x)14．

?0A?C???B0????，15．設A是m階方陣，B是n階方陣，且|A|=a，|B|=b，令則|C|=(-1)ab mn 2

二、選擇題

1.設n階行列式D=aijn，Aij是D中元素

aij的代數余子式，則下列各式中正確的是（C）。

(A)?ai?1nijAij?0；

(B)

?aj?1nnijAij?0；

(C)?aj?1nijAij?D；

(D)

?ai?1i1Ai2?D

2．設n階方陣A,B,C滿足關系式ABC=E，其中E是n階單位矩陣，則必有(D)(A)ACB=E；(B)CBA=E；(C)BAC=E；(D)BCA=E k?12k?1?0的充要條件是（C）3．2。

（a）k?1（b）k?3（c）k??1,且k?3（d）k??1,或k?3 4.A,B,C為n階方陣，則下列各式正確的是（D）(A)AB=BA(B)AB=0,則A=0或B=0(C)（A+B）（A-B）=A-B22

D)AC=BC且C可逆,則A=B 5.設A為n階可逆矩陣，則下述說法不正確的是（D）

A?1?0A?0,(A)(B)(C)r(A)=n(D)A的行向量組線性相關

6．設A是n階方陣，且AA=E，則A是(D)

（A）對稱矩陣（B）奇異矩陣（C）正定矩陣（D）正交矩陣 7．設A為n階方陣，|A|=a≠0，A為A的伴隨矩陣，則| A|=(D)

*

*

T1nn?1aaaa

（A）

（B）（C）（D）

三、解答題 1．計算行列式

21?511?30?6D?02?1214?76

（答案 27）

1?23??11?1?B???1?2?4?A??11?1??????21??1?11??，?0?，求BTA 2．設?002???（答案?2?26?）

?0?28???11(A)?1?A*23．設A是3階矩陣，A?10，求

3（答案

－4/5）

4.試求行列式A,B的值, 其中A,B為n階方陣

1?1?x??11?xA??????11?n?1?1??1???1??0B??????????0?1?x?，?02?0????0??0????n??

（答案A?(n?x)x,B?n!）

?1T?1A，B，C(2E?CB)A?C5．設4階方陣滿足方程，試求矩陣A，其中

?1?0B???0??0? 2?3?2??1??12?3?0,C???0012????0001???210002101??0?2??1??（4 ?100??210（答案??1?21??01?2?6．計算n階行列式

0??0?）?0?1??aax???aaaaaaxaaaxa??????aaa?ax

（答案[x?(n?1)a](x?a)n?1）

23??2??1?10????122?? 7．解矩陣方程AX=A+X,其中A=??3??4?7（答案???8?3???2124303?4??8?）3??1??2?00??1?31?A??040??001??17??8．設三階方陣滿足ABA?6A?BA，且，求B ?300???（答案?020?）

?001???

29．設A為n階方陣，E是n階單位矩陣，滿足方程A?4A?4E?0，問A-3E是否可逆？若可逆，試求出其逆矩陣。

A2?4A??4E解：因為 A(A?4E)??4E所以 A?0，A可逆

AA?4E??4E?0?1 A1??(A?4E)

4四、若A,B是同階對稱矩陣，證明：AB為對稱矩陣的充要條件是A與B可交換。

證明：必要性 設AB為對稱矩陣，則AB?(AB)T?BTAT?BA A與B可交換

充分性 設AB=BA，則(AB)T?BTAT?AB，AB為對稱矩陣。證畢。

第五篇：線性代數武漢工程大學線性代數練習題答案

線性代數練習題（1）詳細解答

1．（1）×；

（2）×；

（3）×；

（4）×。

?111??040?2．（1）6k?1??222???；（2）?040??； ?333?????040????201?（3）AB?BA?O；（4）??0?10???。?00?2???131?3．解：?2140??0?12???6?78??1?134?????1?31?????20?5?6?。??40?2???1?210??1?210??1?214．解：因為??02?88????~?02?88???~?01?4??459?9????0?313?9????0?313?1?210??1?20?3??10029?~??01?44???~??01016??~??01016??，?0013????0013????0013???x1?29,所以??x2?16，??x3?3.??21322??058?5．解：3AB?2A????2?1720??，ATB??0?56???。?429?2?????290??0?4???9??