第一篇：線性代數機考練習題

1、設A,B為n階方陣，則AB?A?B.()參考答案：正確

2、行列式如果互換任意兩行，則行列式的值不變.()參考答案：錯誤

3、行列式中如果有兩列元素對應成比例，則此行列式等于零.()參考答案：正確

1?42?53333?1.()44行列式111222參考答案：錯誤

?320??2?24??7?28?，則5A??,B?A?2B?????? 47101?149?1??????參考答案：正確

6、若A,B,C為矩陣，則有A(B?C)?(B?C)A

參考答案：錯誤

7、若A,B為n階矩陣，則有(A?B)2?A2?2AB?B2

參考答案：錯誤

?128、A為任一n階方陣，且滿足A?2A?E?0，則A?A?2E，參考答案：正確

9、若??223??25??4?6?，則有X????X???13?08? ???21?參考答案：錯誤

10、對n維向量組?1,?,?m, 若有不全為零的常數k1,?,km, 使得

k1?1???km?m?0，稱向量組?1,?,?m線性相關（）

參考答案：正確

11、向量組?1,?2,?,?m,?m?2?線性相關的充要條件是該向量組中任一個向量都可以用其余m?1個向量線性表示（）參考答案：錯誤

12、向量組?1,?2,?3線性無關, 則向量組?1??1??2, ?2??2??3, ?3??3??1也線性無關 參考答案：正確

?5??1??1??3?????????

13、列向量?1??0?, ?2??1?, ?3??1?, ?4??3? 則?4可由?1,?2,?3線性表

?1???1??1???1?????????示

參考答案：正確

?kx1?x2?x3?0?

14、齊次線性方程組 ?x1?kx2?x3?0有非零解，則k?0.()?3x?x?x?0?123 參考答案 ：錯誤

15、如果兩個矩陣等價，那么它們的秩相等.()參考答案 ：正確

16、如果AB?C,則r(C)?r(A).()參考答案 ：正確

17、如果一個矩陣的秩是r,那么所有r階子式都不為零.()參考答案 ：錯誤

18、設?是方陣A的一個特征值，則??1是A?E的一個特征值 參考答案：正確

19、設A是3階方陣，A的特征值有3，則A一定有特征值參考答案：正確

20、一個實二次型f的矩陣A的秩稱為該二次型的秩 參考答案：正確 選擇題

?11 30a01、三階行列式b0c的值為().0d0選項A)

abcd

選項B)

ac?bd

選項C)

ad?bc

選項D)

0

參考答案：D x1x2x3x3y3z32、若三階行列式 y1y2y3?2，則三階行列式x2y2z2?().z1z2z3x1y1z1選項A)

?選項B)

2選項C)

0

選項D)參考答案：A x1x2x3?2x1?2x2?2x33、若三階行列式 y1y2y3?1，則三階行列式y1y2y3?(z1z2z3z1z2z3選項A)0

選項B)?

2選項C)2

選項D)?1 參考答案：B 33424、三階行列式4812?().246選項A)

8選項B)

?8

選項C)

1選項D)

0 參考答案：D

5、當x取何值時，二階行列式x119x?0().選項A)x?2

3選項B)x??23

選項C)x?3

選項D)x??13或x?13

參考答案：D

1236、已知三階行列式D?312，則元素a31?2的余子式 M31為().231選項A)1 選項B)?1

選項C)2).選項D)?2 參考答案: A

7、已知三階行列式D3 中第一行的元素自左向右依次為?1,1,2，它們的代數余子式分別為3,4,?5，則三階行列式D3=().選項A)?7 選項B)?8 選項C)?9 選項D)?10 參考答案: C

?

218、已知A??0??230?，則A?1=(??004????3?10?選項A）1?4??220??? ?001?????310?選項B）14?2?20???

?00?1???3?10?選項C）???220??? ?001???100選項D）1???10?220 ???345??參考答案:A

9、設A???12??，則A?

=（）.?34?選項A）??12?34? ??選項B）??4?2???31?

?選項C）??42?31? ??選項D）???42??3?1?

?).參考答案:B

10、設A,B為n階矩陣，?為數，下列錯誤的是（）.選項A）AT?A

選項B）AB?AB 選項C）BA?AB 選項D）?A??A

參考答案:D

11、設A為任一n階方陣，下列結論正確的是（）.選項A）A?AT 為反對稱矩陣 選項B）A?AT為對稱矩陣

選項C）A 可以表示為對稱矩陣與反對稱矩陣的和 選項D）A?AT與A?AT都同為對稱矩陣 參考答案:C

12、已知A???320??471??,B???2?24?，則(?01?1??A?2B)T?(選項A）??7?28??491?

??34選項B）???27???01??

??20?選項C)???21???4?1? ???74?選項D)???29? ??81??

??參考答案:D

?113、設A???123??321??,B??3??31???，則AB?（）.?22??選項A）??1311??1113? ?選項B）??1113??1311? ?).?11?13?13選項D）??11選項C）?參考答案:A 11?? 13?13?? 11??01??1，則A?（）.??12?

14、已知A??選項A）???21?? 10???01?選項B）??

?12???2?1?選項C）??

?10???1?1?選項D）??

?01?參考答案:A

15、下列各行向量組線性相關的是().選項A）?1?(1,0,0),選項B）?1?(1,2,3),選項C）?1?(1,2,3),選項D）?1?(1,2,2),參考答案：B

16、下列各向量組中線性無關的是().選項A）?1,?2,0 選項B）(1,2),(2,4)選項C）(0,1),(1,2),(2,3)選項D）(1,2),(1,3)?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)?2?(4,5,6),?3?(2,1,0)?2?(2,4,5)；

?2?(2,1,2),?3?(2,2,1)參考答案：D

17、下列說法中錯誤的是（）.選項A）向量組線性相關，則向量組含有零向量 選項B）向量組?1,?2線性相關，則對應分量成比例

選項C）向量組?1,?2,?,?n線性相關，則?1,?2,?,?n中至少有一個向量能表示為其余向量線性組合

選項D）若向量組?1,?2,?,?n線性無關，則其部分向量組也線性無關 參考答案：A

T18、向量組?1?線性相關，則數k?().（k,-1,1）,?2?(4,4,?4)T（其中T為轉置符號）選項A）?1 選項B）2 選項C）3 選項D）4 參考答案：A

19、向量組?1,?2,?,?n線性無關的充要條件為().選項A)?1,?2,?,?n均不為零

選項B)?1,?2,?,?n中任兩個向量的分量不成比例 選項C)?1,?2,?,?n中任一個向量不能由其余向量線性表示 選項D)?1,?2,?,?n中有一部分向量線性無關 參考答案：C

20、設n元齊次線性方程組Ax?0的系數矩陣A的秩為r，則Ax?0有非零解的充分必要條件是（）.選項A)r?n 選項B)r?n 選項C)r?n 選項D)r?n 參考答案：B

21、線性方程組???x1?x2?0?x1??x2?0，當?取何值時，方程組有非零解（）.選項A)0 選項B)?1 選項C)2 選項D)任意實數 參考答案：B

22、已知A是m?n矩陣，r(A)?r，下列結論正確的是（）.選項A)r?n時，Ax?b有唯一解 選項B)m?n時，Ax?b有唯一解

選項C）r?n時，Ax?b有無窮多解 選項D)m?n時，Ax?b有解 參考答案：A ?211??10023、矩陣??311??左乘初等矩陣???001?

?相當于進行下列哪種初等變換(??278????010??選項A)第一行與第二行互換

選項B)第二行與第三行互換 選項C)第一列與第二列互換

選項D)第二列與第三列互換 參考答案：D

24、設矩陣A???1?12??3?31?，則A的秩是（）.?選項A)1 選項B)2 選項C)3 選項D)4 參考答案：B).2225、用正交變換化二次型x1為標準型是（）?2x1x2?x22選項A)2y1

22選項B)y1?2y2

22選項C)2y1?y2

222選項D)

y1?y2?y3

參考答案：A

?a0?0???0a?0?的特征值是().26、矩陣??????????000a???選項A)a 選項B)0選項C)1 選項D)1,2,?,n 參考答案：A

27、矩陣??

?3?1?的特征值2對應的一個特征向量是().????13?選項A)(1,2)選項B)(1,1)選項C)(1,3)選項D)(1,4)參考答案：B 28、3階矩陣A的特征值為1,0,?1,矩陣B?A?2A?4E的特征值為 選項A)1,2,3 選項B)3,0,3 選項C)7,4,3

2選項D)3,4,5 參考答案：C

29、已知向量??(0,1,0)T,??(1,0,1)T下列計算不正確的是（）選項A)????(1,1,1)T

選項B)????(?1,1,?1)T

選項C)(?,?)?0

選項D)

??2??(1,2,1)T

參考答案：D

30、矩陣A有n個特征值分別為2,3,4?n,n?1，A,B相似，則B?E?(選項A)1選項B)2 選項C)n

選項D)

n!參考答案：D)

第二篇：線性代數第四章練習題答案

第四章

二

次

型

練習4、1

1、寫出下列二次型的矩陣

2（1）f(x1,x2,x3)=2x12?x2?4x1x3?2x2x3；

（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x3x4。

解：（1）因為

?2?

f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)?0?2??2?所以二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為：?0?2?0?1?10?1?12???1?0???x1??x2?x?3???, ??2???1?。0??（2）因為

?0??f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)?1??1??0??1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩陣為：?1??1?***11??0?1??0???x1??x2?x?3?x?4????，???1??0?。?1?0??

2、寫出下列對稱矩陣所對應的二次型： ??1?1（1）???2?1??212??01???2??1??2?；

（2）2????1?2?????0?12?11212?112012?0??1?2?。1??2?1????0?2

T解：（1）設X?(x1,x2,x3)，則

??1?f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)???2?1??2?120?21??2??2???2???x1??x2?x?3??? ??

=x12?2x32?x1x2?x1x3?4x2x3。（2）設X?(x1,x2,x3,x4)T，則

??0??1?

f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2???1???0?12?11212?112012?0??1?2?1??2?1????x1??x2?x?3?x?4???? ???

2=?x2?x4?x1x2?2x1x3?x2x3?x2x4?x3x4。

練習4、2

1、用正交替換法將下列二次型化為標準形，并寫出所作的線性替換。

22（1）f(x1,x2,x3)=2x1?x2?4x1x2?4x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2?2x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?3x3?4x1x2?4x2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣 ?2?

A=??2?0??21?20???2?。0??A的特征方程為

??det?(E?A)=

20202=(??2)(?2?5??4)=0，??12?由此得到A的特征值?1??2，?2?1，?3?4。

對于?1??2，求其線性方程組(?2E?A)X?0，可解得基礎解系為

?1?(1,2,2)T。

對于?2?1，求其線性方程組(E?A)X?0，可解得基礎解系為：

?2?(2,1,?2)T。

對于?3?4，求其線性方程組(4E?A)X?0，可解得基礎解系為：

?3?(2,?2,1)T。

將?1,?2,?3單位化，得

?1?1?11?1?(,122T,)，3332123T

?2??21?2?(，?3323)，?3?令

?3?3?(,?21T,)，33?1??32

P=(?1,?2,?3)=??3?2??323132?32??3?2??，3?1??3???2?則

PTAP=diag(-2,1,4)=?0?0?0100??0?。4??作正交替換X=PY，即

122?x?y?y?y312?1333?212?

?x2?y1?y2?y3，333??x?2y?2y?1y3123?333?二次型f(x1,x2,x3)可化為標準形：

222

?2y1?y2?4y3。

（2）類似題（1）方法可得：

?1??2?

P=?0??1??2??121212?1??2??0?1?T，PAP=?0?2?0??1??2?020??0?，?2??02即得標準形：2y2?22y3。

（3）類似題（1）的方法可得： ?2??

P=???3?2???3132?3232??3??2?2?T，PAP=?03??01???3?0500??0?，?1??222即得標準形：2y1?5y2?y3。

2、用配方法將下列二次型化為標準形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2?4x1x3；

（3）f(x1,x2,x3)=?4x1x2?2x1x3?2x2x3。解：（1）先將含有x1的項配方。

f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2?x3)+(x2?x3)－(x2?x3)+2x2+6x2x3+5x3

22=(x1?x2?x3)+x2+4x2x3+4x3，22222再對后三項中含有x2的項配方，則有

22222

f(x1,x2,x3)=(x1?x2?x3)+x2+4x2x3+4x3=(x1?x2?x3)+(x2?2x3)。

?1?TT設Y=(y1,y2,y3)，X=(x1,x2,x3)，B=?0?0?221101??2?，0??令Y=BX，則可將原二次型化為標準形y1?y2。

（2）此二次型沒有平方項，只有混合項。因此先作變換，使其有平方項，然后按題（1）的方法進行配方。令

?x1?y1?y2?x1??1????

?x2?y1?y2，即?x2?=?1?x?y?x??033??3??1?100??0?1???y1???y?2?。?y??3?則原二次型化為

f(x1,x2,x3)=2(y1?y2)(y1?y2)+4(y1?y2)y3 =2y12－2y2+4y1y3+4y2y3

=2(y1?y3)2－2(y2?y3)2，?1?TT設Y=(y1,y2,y3)，Z=(z1,z2,z3)，B=?0?0?0101???1?，0??2令Z=BY，則可將原二次型化為標準形2z12?2z2。

（3）類似題（2）的方法，可將原二次型化為標準形：

?4z1?4z2?z3。

2223、用初等變換法將下列二次型化為標準形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x1?2x2?4x3?2x1x2?4x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x1?3x2?x3?2x1x2?2x1x3?6x2x3；

（3）f(x1,x2,x3)=4x1x2?2x1x3?6x2x3。（此題與課本貌似而已，注意哈）解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為 ?1?

A=?1?0?1220??2?。4??1120100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?012?1100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?010?1100??0?0??。2???2?1??于是

?1??1?0?A????E??=???1?0??0?1220100??2?4?????0??0?1???1??0?0??1?0??0?令

?1?

C=?0?0??1102???2?，1??作可逆線性變換X=CY，原二次型可化為標準形：f(x1,x2,x3)=y12?y2。

（2）類似題（1）的方法，原二次型可化為標準形：

2f(x1,x2,x3)= y12?4y2?y3。

（3）類似題（1）的方法，原二次型可化為標準形：

f(x1,x2,x3)= 2y12?

4、已知二次型

22?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2xf(x1,x2,x3)=5x12?5x212y2?6y3。

22的秩為2。求參數c的值，并將此二次型化為標準形。

解：二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為 ?5?

A=??1?3??15?33???3?。c??因為A的秩為2，令detA=0，可得c=3。

222即

f(x1,x2,x3)=5x1?5x2?3x3?2x1x2?6x1x3?6x2x3

也就是

?5?A= ??1?3??15?33???3?，3??22通過初等變換法，即可將其化為標準形：4y2?9y3。

5、設2n元二次型

f(x1,x2,?,x2n)=x1x2n?x2x2n?1???xnxn?1 試用可逆線性替換法將其化為標準形。

解：令 ?x1?y1?y2n?1??x2?y2?y2n?1?0?????????xn?yn?yn?

1?，P=???xn?1?yn?yn?1??????x?y?y?2n?122n?1?0?1?x?y?y?12n?2n01???01?11?10?1?1??1?01??0??????，????0??1??即作正交變換X=CY，二次型f(x1,x2,?,x2n)可化為標準型：

22y12???yn?yn?1???y2n。

22?3x3?2ax2x3(a>0)通過正交變換化為標準

6、已知二次型f(x1,x2,x3)=2x12?3x222?5y3，求a的值及所作的正交替換矩陣。型f?y12?2y2222解：因為原二次型可化為f?y1?2y2?5y3，可知原二次型的矩陣的特征值為

1，2和5。

而原二次型的矩陣為 ?2?

A=?0?0?03a0??a?。3??故A的特征方程為

??det?(E?A)=

0000a??3a=(??2)(??6??9?a)=0。

22??3因此將此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。

對于?1?1，求其線性方程組(E?A)X?0，可解得基礎解系為

?1?(0,1,1)。

T對于?2?2，求其線性方程組(2E?A)X?0，可解得基礎解系為：

?2?(1,0,0)。

對于?3?5，求其線性方程組(5E?A)X?0，可解得基礎解系為：

T

?3?(0,1,?1)。

T將?1,?2,?3單位化，得

?1?1?11?1?(0,12,12)，T

?2??21?2?(1,0,0)，1212T

?3?故正交替換矩陣為：

?3?3?(0，?)，T???0?P=(?1,?2,?3)=?2??1??2100??0?1??。2?1???2?練習4、3

1、判別下列二次型是否為正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=5x1?6x2?4x3?4x1x2?4x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=10x1?2x2?x3?8x1x2?24x1x3?28x2x3；

2222（3）f(x1,x2,x3,x4)=x1?x2?4x3?7x4?6x1x3?4x1x4?4x2x3?

2x2x4?4x3x4。解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為 ?5?

A=??2?0?5?2?26?26?200???2?。4??5?26?2由于5>0，=26>0，?20?2=84>0, 4即A的一切順序主子式都大于零，故此二次型為正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為

?10?

A=?4?12?42?1412???14?。1??由于

1042?1412?14=-3588<0，|A|=412故此二次型不為正定的。

（3）二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩陣為： ?1??0

A=?3??2?01?223?2422??2?。2??7??由于

101?23?2=-9<0，03故此二次型不為正定的。

2、當t為何值時，下列二次型為正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=x1?4x2?x3?2tx1x2?10x1x3?6x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x1?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為： ?1?

A=?t?5?t435??3?。1??由于

1tt412=4?t，tt4353=?t2?30t?105，15但易知不等式組

2?4?t?0

?2

?t?30t?105?0?無解，因此，不論t取何值，此二次型都不是正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為： ?1?

A=?t??1?t12?1??2?。5??

此二次型正定的充要條件為

1>0，451tt1=1?t2>0，|A|=?5t2?4t>0，由此解得：??t?0。

（3）二次型f(x1,x2,x3)的矩陣為： ???

2A=?1???0???0?t?。?2?0??11t2由

2>0, 2111>0，|A|=1?t22>0，解得：?2?t?2。

3、設A、B為n階正定矩陣，證明BAB也是正定矩陣。證明：由于A、B是正定矩陣，故A及B為實對稱矩陣。所以(BAB)=BAB=BAB，即BAB也為實對稱矩陣。

由于A、B為正定矩陣，則存在可逆矩陣C1，C2，有

A= C1TC1，B= C2TC2，所以 BAB= C2TC2C1TC1C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2)，即

BAB也是正定矩陣。

4、如果A，B為n階正定矩陣，則A+B也為正定矩陣。

證明：由于A、B是正定矩陣，故A及B為實對稱矩陣。從而A+B也為實對稱矩陣，而且

f?XAX，g?XBX，為正定二次型。于是對不全為零的實數x1,x2,?,xn，有

XAX?0，XBX?0。TTTTTTTT故

h=XT(A?B)X=XTAX+XTBX?0，即二次型h=XT(A?B)X為正定的，故A+B為正定矩陣。

5、設A為正定矩陣，則A-1和A*也是正定矩陣。其中A*為A的伴隨矩陣。證明：因為A為正定矩陣，故A為實對稱矩陣。從而(A?1)T?(AT)?1?A?1 即A?1也為對稱矩陣，(A*)T?(AT)*?A*即A*也為對稱矩陣。

由已知條件可知，存在可逆矩陣C，使得

A?CTC。

于是

A?1?(CTC)?1?C?1(C?1)T=QTQ，A*=|A|A?1?|A|C?1(C?1)T=

1A?1C[1AC?1TT]=PP，其中Q=(C?1)T，P=(-1*1AC?1T)都為可逆矩陣。

故A和A都為正定矩陣。

6、設A為n×m實矩陣，且r(A)=m

證明（1）因為A為n×m實矩陣，所以AT為m×n矩陣，又r(A)=m

AX＝O , 只有零解。于是對于任意的 X ? O , 有 AX ? O。則

TTTX（AA）X＝（AX）（AX）＞ 0。因此，ATA為正定矩陣。

（2）因為A為n×m實矩陣，所以AT為m×n矩陣，又r(A)=m

XT（AAT）X＝（A T X）T（A T X）? 0。因此,AAT為半正定矩陣。

7、試證實二次型f(x1,x2,?,xn)是半正定的充分必要條件是f的正慣性指數等于它的秩。

證明：充分性。設f的正慣性指數等于它的秩，都是r，則負慣性指數為零。于是f可經過線性變換X=CY變成

2f(x1,x2,?,xn)=y1?y2???yr。

2從而對任一組實數x1,x2,?,xn，由X=CY可得Y=CX，即有相應的實數y1,?,yr,?,yn，使f(x1,x2,?,xn)=y12?y2???yr2?0.即f為半正定的。

必要性。設f為半正定的，則f的負慣性指數必為零。否則，f可經過線性變換X=CY化為

f(x1,x2,?,xn)=y12???ys?ys2?1???yr2，s

于是當yr=1，其余yi=0時，由X=CY可得相應的值x1,x2,?,xn，帶入上式則得

f(x1,x2,?,xn)=－1<0。

這與f為半正定的相矛盾，從而f的正慣性指數與秩相等。

8、證明：正定矩陣主對角線上的元素都是正的。

證明：設矩陣A為正定矩陣，因此f?XTAX 為正定二次型。于是對不全為零的實數x1,x2,?,xn，有

XTAX?0，T取X??i?(0,?,0,1,0,?,0)，(i=1,2,…,n)

2-1

2T則?iA?i?di?0，(i=1,2,…,n)即主對角線上的元素都是正的。

（注：所有答案我已全部整理至此，有些題沒找到，希望對大家有所幫助！——君不器）

第三篇：線性代數1-2章精選練習題

第一章

行列式

一、單項選擇題

1．下列排列是5階偶排列的是（）.(A)24315

(B)14325

(C)41523

(D)24351 2．如果n階排列j1j2?jn的逆序數是k, 則排列jn?j2j1的逆序數是（）.n!n(n?1)?k

(A)k

(B)n?k

(C)?k

(D)223.n階行列式的展開式中含a11a22的項共有（）項.(A)0

(B)n?

2(C)(n?2)!

(D)(n?1)!

004．01005.***00010?（）.0000?（）.1012中x3項的系數是（）.312a11a13 a23a33a11?2a12a21?2a22?（）.a31?2a32(A)0

(B)?(C)1

(D)2(A)0

(B)?1

(C)1

(D)2 2xx?1?1?x16．在函數f(x)?32?x000a11a12 a22a32a13a23?a33(A)0

(B)?1

(C)1

(D)2 7.若D?a21a31a11a21a12a221，則D1?2a2122a31ka22ka21

(A)4

(B)?(C)2

(D)?2 8．若?a，則

a12a11?（）.(A)ka

(B)?ka

(C)k2a

(D)?k2a

9． 已知4階行列式中第1行元依次是?4,0,1,3, 第3行元的余子式依次為?2,5,1,x, 則x?（）.(A)0

(B)?(C)3

(D)2 ?87436?23?110.若D?，則D中第一行元的代數余子式的和為（）.111143?75(A)?1

(B)?2

(C)?3

(D)0

30411111.若D?0?1053?201，則D中第四行元的余子式的和為（）.02(A)?1

(B)?2

(C)?3

(D)0

?x1?x2?kx3?0?12.k等于下列選項中哪個值時，齊次線性方程組?x1?kx2?x3?0有非零解.?kx?x?x?023?1（）

(A)?1

(B)?2

(C)?3

(D)0

二、填空題

1.2n階排列24?(2n)13?(2n?1)的逆序數是2．在六階行列式中項a32a54a41a65a13a26所帶的符號是3．四階行列式中包含a22a43且帶正號的項是

...4．若一個n階行列式中至少有n2?n?1個元素等于0, 則這個行列式的值等于.105.行列式***1?10?00.6．行列式0n02????0000?.?n?1?0a11?a1(n?1)a21?a2(n?1)7．行列式??an1?0a11a12 a22a32a13a1n00?.a11a13?3a12 3a12a23?3a22a33?3a323a22?3a328．如果D?a21a31a23?M，則D1?a21a33a31.9．已知某5階行列式的值為5，將其第一行與第5行交換并轉置，再用2乘所有元素，則所得的新行列式的值為

.1?11x?11?1x?1?110．行列式?1x?11?1x?1?11?11??111??11．n階行列式

?11則該行列式的值為

..?1?1???1??.12．已知三階行列式中第二列元素依次為1,2,3, 其對應的余子式依次為3,2,1，1513．設行列式D?482637372648，A4j(j?1,2,3,4)為D中第四行元的代數余子式，15.則4A41?3A42?2A43?A44?ac14．已知D?babbaccaab，D中第四列元的代數余子式的和為ccbd23513462.1315．設行列式D?1144??6，A4j為a4j(j?1,2,3,4)的代數余子式，則72.A41?A42?，A43?A44?1116．已知行列式D?1320503?2n?1??00，D中第一行元的代數余子式的和為

???100?n.?kx1?2x2?x317．齊次線性方程組??0?2x1?kx?0僅有零解的充要條件是.?2?x1?x2?x3?0?x1?2x2?x18．若齊次線性方程組?3?0?2x2?5x3?0有非零解，則k=.???3x1?2x2?kx3?0

三、計算題

abcda2x?y1.b2c2d2xya3b3c3d3;

2．yx?yx；b?c?da?c?da?b?da?b?cx?yxy

xa1a2?an?201x1a1xa2?an?23．解方程101xa2x?an?2x110?0；

4．a1????1x10a1a2a3?xa1a2a3?an?1a011?11a11?15.11a2?1(aj?1,j?0,1,?,n)；

???111?an

；

11111111?131?b1?16.112?b?1

???111?(n?1)?b

111?1b1a1a1?a17.b1b2a2?a2；

???b1b2b3?an

1?x21x1x2?x1xn9.xx2211?x2?x2xn??;

xnx1xnx2?1?x2n

1?aa000?11?aa0011．D?0?11?aa0.00?11?aa000?11?a

四、證明題

a2?1a2a1a1b2?1b111．設abcd?1，證明：

b2bc2?11?0.c2cc1d2?11d2dd1

a1?b1xa1x?b1c1a1b1c12．a2?b2xa2x?b2c2?(1?x2)a2b2c2.a3?b3xa3x?b3c3a3b3c3xa1a2?ana1xa2?an8．a1a2x?an;???a1a2a3?x210?00121?0010.012?00????000?21000?1

211ab3．2ab2a4b4 1cc2c41d?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d).2dd41a14．1a22a2??????1an2ana12a1n?2a1n??aii?1n1?i?j?n?(aj?ai).n?2n?2a2?anna2nan

11bb31c?0的充要條件是a?b?c?0.c35．設a,b,c兩兩不等，證明aa

3參考答案

一．單項選擇題

A D A C C D A B C D B B 二．填空題

1.n;2.“?”;3.a14a22a31a43;4.0;5.0;6.(?1)n?1n!;7.(?1)n(n?1)2a1na2(n?1)?an1;8.?3M;9.?160;10.x4;11.(??n)?n?1;12.?2;

n113.0;14.0;15.12,?9;16.n!(1??);17.k??2,3;18.k?7

k?1k三．計算題

1．?(a?b?c?d)(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)； 2.?2(x3?y3)； 3.x??2,0,1;

4.nn?(x?ak?1n?1k)

5.?(ak?1)(1??k?01);

6.?(2?b)(1?b)?((n?2)?b);k?0ak?17.(?1)n?(bk?1nk?ak);

8.(x??ak)?(x?ak);

k?1k?1nn9.1??xk;

10.n?1;k?1n11.(1?a)(1?a2?a4).四.證明題(略)

第二章

矩陣

一、單項選擇題

1.A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是()。(a)A2?A2(b)

A2?B2?(A?B)(A?B)(c)

(A?B)A?A2?AB

(d)(AB)T?ATBT 2.設方陣A、B、C滿足AB=AC,當A滿足()時，B=C。

(a)AB =BA(b)A?0(c)方程組AX=0有非零解(d)B、C可逆 3.若A為n階方陣，k為非零常數，則kA?()。(a)kA

(b)

kA

(c)knA

(d)

kA

n4.設A為n階方陣，且A?0，則()。

(a)A中兩行(列)對應元素成比例(b)A中任意一行為其它行的線性組合(c)A中至少有一行元素全為零(d)A中必有一行為其它行的線性組合 5.設A，B為n階可逆矩陣,下面各式恒正確的是()。(a)(A?B)?1?A?1?B?1(b)(AB)T?AB

(c)(A?1?B)T?A?1?B(d)(A?B)?1?A?1?B?1 6.設A為n階方陣,A*為A的伴隨矩陣,則()。(a)(a)A*?A?1(b)A*?A(c)A*?An?1(d)A*?An?1

7.設A為3階方陣,行列式A?1,A*為A的伴隨矩陣,則行列式(2A)?1?2A*?()。

(a)?278278(b)?(c)(d)8278278.設A，B為n階方矩陣,A2?B2,則下列各式成立的是()。

(a)A?B(b)A??B(c)A?B(d)A?B 9.設A，B均為n階方矩陣,則必有()。

(a)A?B?A?B(b)AB?BA(c)AB?BA(d)A?B 10.設A為n階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是（）。（a）2A?2AT(b)(2A)?1?2A?1

(c)[(A?1)?1]T?[(AT)T]?1(d)[(AT)T]?1?[(A?1)T]T

?a11?11.如果A?a21?a?31a12a22a32a13??a11?3a31??a23???a21?a33???a31a12?3a32a22a32a13?3a33??a23?，則A?（）。a33??2222?100??10?3??00?3??100?????????（a）?010?(b)?010?(c)?010?(d)?010?

??301??001??101??0?31??????????131???12.已知A??220?，則（）。

?311???（a）AT?A(b)A?1?A*

?100??113??100??113?????????（c）A?001???202?（d）?001?A??202?

?010??311??010??311?????????13.設A,B,C,I為同階方陣，I為單位矩陣，若ABC?I，則（）。

（a）ACB?I（b）CAB?I（c）CBA?I（d）BAC?I 14.設A為n階方陣，且|A|?0，則（）。（a）A經列初等變換可變為單位陣I（b）由AX?BA，可得X?B

（c）當(A|I)經有限次初等變換變為(I|B)時，有A?1?B

（d）以上（a）、（b）、（c）都不對 15.設A為m?n階矩陣，秩(A)?r?m?n，則（）。

（a）A中r階子式不全為零（b）A中階數小于r的子式全為零

?Ir（c）A經行初等變換可化為??0?0??（d）A為滿秩矩陣 ?0?16.設A為m?n矩陣，C為n階可逆矩陣，B?AC，則()。(a)秩(A)> 秩(B)(b)秩(A)= 秩(B)(c)秩(A)< 秩(B)(d)秩(A)與秩(B)的關系依C而定 17.A，B為n階非零矩陣，且AB?0，則秩(A)和秩(B)()。

(a)有一個等于零(b)都為n(c)都小于n(d)一個小于n，一個等于n 18.n階方陣A可逆的充分必要條件是()。

(a)r(A)?r?n(b)A的列秩為n(c)A的每一個行向量都是非零向量(d)伴隨矩陣存在 19.n階矩陣A可逆的充要條件是()。(a)A的每個行向量都是非零向量(b)A中任意兩個行向量都不成比例

(c)A的行向量中有一個向量可由其它向量線性表示

(d)對任何n維非零向量X，均有AX?0

二、填空題

1.設A為n階方陣,I為n階單位陣,且A2?I,則行列式A?_______ 0ab2.行列式?a0c?_______ ?b?c0?101???3.設2A??020?，則行列式(A?3I)?1(A2?9I)的值為_______ ?001?????4.設A?????1232?3??2?，且已知A6?I，則行列式A11?_______ 1??2?5.設A為5階方陣，A*是其伴隨矩陣，且A?3，則A*?_______ 6.設4階方陣A的秩為2，則其伴隨矩陣A*的秩為_______ ?a1b1??a2b17.非零矩陣????ab?n1a1b2a2b2?anb2?a1bn???a2bn?的秩為________

?????anbn??8.設A為100階矩陣，且對任何100維非零列向量X，均有AX?0，則A的秩為_______ 9.若A?(aij)為15階矩陣，則ATA的第4行第8列的元素是_______

4IA?10.若方陣與相似，則_______ A2K??1?K?K?12??_______ 11.lim?K???11???3K??K?1??212.lim?0n?????0???12??11??_______ ?31?0??4?n

三、計算題

1.解下列矩陣方程(X為未知矩陣).?223??22??010??13?20???????????2?11)?1?10?X??32? ； 2)?100?X? ????11??10???121??0?2??001?????????? ；

?310??101?????3)X(I?B?1C)TBT?I,其中B??404? ； C??212?

?422??121????? ；?101???4)AX?A2?X?I,其中A??020?

?101???；?423???5)AX?A?2X,其中A??110???123???；

2.設A為n階對稱陣,且A2?0,求A.?1?10???3.已知A??021?,求(A?2I)(A2?4I)?1.?10?1????A1?12??34??00??12?4.設A1???,A3???,A4???,求?A?,A2??23000101?3?????????112???5.設A??224?,求一秩為2的方陣B,使AB?0.?336???A2??A4?.?211??011?????6.設A??101?,B??121?,求非奇異矩陣C,使A?CTBC.?110??110?????7.求非奇異矩陣P,使P?1AP為對角陣.1?2??1?21???A??1?31 1)A?? 2)????12???20?1???

8.已知三階方陣A的三個特征根為1,1,2,其相應的特征向量依次為(0,0,1)T,(?1,1,0)T,(?2,1,1)T,求矩陣A.?5?32???9.設A??6?44?,求A100.?4?45???

四、證明題

1.設A、B均為n階非奇異陣,求證AB可逆.2.設Ak?0(k為整數), 求證I?A可逆.3.設a1.a2,?,ak為實數,且如果ak?0,如果方陣A滿足Ak?a1Ak?1???ak?1A?akI?0,求證A是非奇異陣.4.設n階方陣A與B中有一個是非奇異的,求證矩陣AB相似于BA.5.證明可逆的對稱矩陣的逆也是對稱矩陣.6.證明兩個矩陣和的秩小于這兩個矩陣秩的和.7.證明兩個矩陣乘積的秩不大于這兩個矩陣的秩中較小者.8.證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴隨矩陣.9.證明不可逆矩陣的伴隨矩陣的逆不大于1.10.證明每一個方陣均可表示為一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和。

第二章參考答案

一：1.a；2.b；3.c；4.d；5.b；6.d；7.a；8.d；9.c；10.d；11.b；12.c；13.b；14.a；15.a；16.b；17.c；18.b；19.d.二．1.1或-1；2.0；3.-4；4.1；5.81；6.0；7.1；8.100；9.?ai4?ai8；

i?115?02?10.I；12.0；11.??00??.????100?

三、1.1）、??13?2?160??1????22）、?；?2??1???2?130???1?4?3??201??????3）、4）、?1?5?3?；?030?；?；

?102???16??4??????0??1?213?8?6031???????????01?21?5）、?2?9?6?.2.0；3.??1?3?1?；? ?1?2?0?4.?00??212?9??；10?????0001?????3?1?1??010??11?3?????????11?11?不唯一；6.?100?；?211?5.?17.1）、?.2)、??；?11????1?001??122?00????????3100?（20?22100?1）2?2100?31003100?1??3????***22?3）?44?2?（23）（23?1）8.??100?；9.?（?.??100100100??1?11?（23?1）（21?3）（23）?1????

第四篇：線性代數綜合練習題及答案6

線性代數綜合練習題

（六）一、選擇題

1.設A是m?n矩陣，齊次線性方程組AX?0僅有零解的充要條件是（）。（A）A的列向量組線性相關

（B）A的列向量組線性無關

（C）A的行向量組線性相關

（D）A的行向量組線性無關

2.?1,?2,?,?s(s?2)線性無關的充要條件是（）

都不是零向量

任意兩個向量的分量不成比例

至少有一個向量不可由其余向量線性表示 每個向量均不可由其余向量線性表示（A）（B）（C）（D）

?ab?223.設矩陣A??。?b?a??其中a?b?0且a?b?1，則A為（）??

（A）正定矩陣

（B）負定矩陣

（C）初等矩陣

（D）正交矩陣

4.A為n階方陣，?i(i?1,2,?,n)是A的特征值，則必有（）。

（A）?i(i?1,2,?,n)互異

（B）?i(i?1,2,?,n)不等于零

（C）?1?2??n?a11a22?ann

（D）?1??2????n?a11?a22???ann 5.若存在一組數k1?k2???km?0使得k1?1?k2?2???km?m?0成立，則向量組?1,?2,?,?n（）

（A）線性相關

（B）線性無關

（C）可能線性相關也可能線性無關

（D）部分線性相關

二、填空題

?12?2???3?，B為非零矩陣，AB?0，則t?

。1.設A??4t?3?11???2.設n階方陣A的n個特征值為1，2，…，n，則A?E?。

?1??2??3???????3.設列向量組?1??3?，?2??3?，?3??2?線性相關，則t?。

?2??1??1????????1????0???2????4.已知正交矩陣A的兩個列向量?1??1?，?2??0?，則A???0????1??????2?????。???14????112??C??35??5.若B??，則BC????103??????16???

三、計算行列式

???。?111.11111234?

491682764123?234?n12? 2.Dn?345?????n12?n?

1四、確定下列方程組是否有解，若有解，求其通解。

?x1?2x2?x3?x4?x5?1?2x?x?x?2x?3x?2?12345 ?3x?2x?x?x?2x?22345?1??2x1?5x2?x3?2x4?2x5?

1五、解矩陣方程AX?B求X，其中

?10?1??2?31?????

A??01?2?，B???101?

?1?10??141??????1??2??1??1??2????????????2??5??0??1???1?

六、求向量組?1???，?2???，?3???，?4???，?5???的最大線性無

0?1233???????????1??4??1??0???1???????????關組，并把其他向量用最大線性無關組線性表示。

七、設n階矩陣A滿足A?A，E為n階單位矩陣，求證：R(A)?R(A?E)?n。

2?3?

八、設矩陣A???k?4??2???1k?，問當k為何值時，存在可逆矩陣P使得P?1AP??，2?3??2其中?為對角矩陣？并求出相應的對角矩陣。

線性代數綜合練習題

（六）參考答案

一、選擇題

1.B

2.D

3.D

4.D

5.C

二、填空題

1?02?1.?

3，2.(n?1)!，3.?

1，4.?10??0?12???0?，5.1??2?12?021???422??.??

三、計算題行列式

1.解：原式?(2?1)(3?1)(4?1)(3?2)(4?2)(4?3)

?1

2121212n(n?1)23?n(n?1)34?n(n?1)45???2n12?n123?134??15?2n(n?1)14n2.解：原式??12n(n?1)12?n?113?12

????112?n?10?12n(n?1)0?01?11?n11?1?n1?1?n111?1?1 2n(n?1)??????1?n?111?n1?11?1?1n(n?1)0??n0n?11?2n(n?1)?(?1)21(n?1)

2n????n?00四（10分）、解：此方程組的增廣矩陣為

?1?1?21?111?????21?12?32?r?0????B?(A?)??03?2?11?22?????0?2?51?221????所以系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，方程組有解.?T0010001212?785?85801?1200????

?0??T98385893511特解為??(8,8,8,0,0)，對應的齊次線性方程組的基礎解系為?1?(?1,0)，2,?2,2,155?2?(7)T.8,8,?8,0,1所以通解為X?k1?1?k2?2??，(k1,k2?R).五、解：

??10?12?31???r??01?2?101(AB)???

?0?11?170????10?12?31???r????01?2?101?

??0012?7?1???10???r?04?100??0103?14?1???

?0012?7?1???4?100?所以X?A?1B???3?14?1??.??2?7?1??

六、解：A???1,?2,?3,?4,?5?

??11221??1122??0215?1????r?02?203?13????15?0?2???1104?1?1?5?????00?22??11221?104??r??0215?1????1103??001?11? ??r??0?001?1??00000??????0000??10010???r??0103?1????001?11?

??00000???所以?1,?2,?3是一個最大無關組，并且

?4??1?3?2??3，?5???2??

3七、證：由A2?A得A(A?E)?0，所以 A?E的列向量為方程組AX?0的解，設R(A)?r，則有R(A?E)?n?r

所以 R(A)?R(A?E)?r?R(A?E)?r?n?r?n

1??1??1??2????1??1??1? 0???

又R(E?A)?R(A?E)，所以

n?R(A?E?A)?R(A)?R(E?A)?R(A)?R(A?E)

即 n?R(A)?R(A?E)，故

R(A)?R(A?E)?n.八、解：

3??A??E??k4得?1?1，?2??3??1，2?1??2?2k?3???(1??)(1??)2?0

所以，A的特征值有重根，因此對于?2??3??1而言，當方程組(A?E)X?0有兩個線性無關的解時，A可以對角化.?4?A?E???k?4?2?2??4?r?0k??????k?02?2???2?2??0k? 00??若k?0，則R(A?E)?2，方程組(A?E)X?0只有一個線性無關的解.?42?2??21?1???r??0?????000?，當k?0時，A?E??00?42?2??000???????1??1?????所以對應于?2??3??1的特征向量為：?1??2?，?2??0?，?0??2??????1?????對應于?1?1的特征向量為3?0?，?1?????111???100??????1令P??200?，且有PAP??0?10?.?021??001?????

第五篇：線性代數綜合練習題及答案7

線性代數綜合練習題

（七）一、選擇題

1.設A、B為n階矩陣，則下面必成立的是（）。

（A）A?B?A?B

（B）(A?B)?1?A?1?B?（C）AB?BA

（D）AB?BA 2.設A為n階矩陣，且A?0，則(E?A)?1?（）。

（A）E?A

（B）E?A?A2???Ak?1

（C）E?A?A???A2k?1k

（D）E?A

3.設向量組?1,?2,?,?m的秩為3，則（）。

（A）任意三個向量線性無關

（B）?1,?2,?,?m中無零向量

（C）任意四個向量線性相關

（D）任意兩個向量線性無關 4.線性方程組Am?nxn?1?bm?1，(b?0)有解的充要條件是（）。

（A）R(A)?R(A|b)

（B）R(A)?m

（C）R(A)?n

（D）R(A)?R(A|b)

5.n階矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是（）。

（A）A的n個特征值互不相同

（B）A可逆

（C）A無零特征值

（D）A有n個線性無關的特征向量

二、填空題

1.各列元素之和為0的n階行列式的值等于。

??2.設三階矩陣A???4???1232???1?，則A?

。??3.設矩陣A??1?1???1??，B??2?，則AB?，BA?

，3??3???。(BA)?

（k為正整數）k?1?4.設R(A3?4)?2，P??0?0?1201??2?，則R(PA)?

。3??5.設向量組?1,?2,?3線性無關，則向量組?1??1??2，?2??2??3，?3??3??1線性。

6.設三階可逆矩陣A的特征值分別為2、3、5，則A?

，A的伴隨矩陣A?的特征值為。

7.設實二次型f(x1,x2,x3)?x1?2x2?kx3?2x1x2?2x1x3?2x2x3為正定二次型，則參數k的取值范圍是。

三、計算題

?0?1.設?1?0?1000??0?X1???1??0?0?0010??2??1???1?0???38795??4?，求矩陣X。6??2222.當?取何值時，線性方程組

??x1?x2?x3?1???x1??x2?x3??? ??x?x??x??2123?有（1）惟一解；（2）無解；（3）無窮多解，并求通解。

?1???1??0???1???2????????????12136??????????3.設四維向量組?1??，，????????2435?1??1??2??4?，求0????????????0???1???1??1??5???????????該向量組的秩及一個極大線性無關組，并把其余向量用該極大線性無關組線性表示。

4.求一個正交變換X?PY，將實二次型

f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?4x2x3

222化為標準形，并判斷該二次型是否正定。

四、證明題

21.設A為n階矩陣，如果A?E，則R(A?E)?R(A?E)?n。

2.設n階矩陣A?0，A?0（k為正整數），則A不能與對角矩陣相似。

k線性代數綜合練習題

（七）參考答案

一、選擇題

1.D

2.B

3.C

4.A

5.D

二、填空題

?0?1.0

2.?0?1?20130??0?

3.3, 0??14?1??2?3?12132??k?12, 33?1??13?1??2?3?12132??2 3?1??134.2

5.無關

6.30，15，10，6

7.k?1

三、計算題

?0?1.解：X??1?0??0???1?0??1???2?3?1001004560??0?1???1?2??1?3?8798795??1??4??0?6???05??1??4??0?6???00010010??1?0???

10??2??0??1?1???30??1?

0??7??8?.9??2.解：線性方程組的系數行列式

?A??1?1?1?1?1?(??2)(??1)，2??1?（1）當A?0，即??2且???1時，方程組有惟一解；

（2）當??2時，R(A)?2?R(Ab)?3，方程組無解；

（3）當???1時，??1??b)??1??1??1?1?1?1?1?11??r1????1???1??0?0?100100?1??0? 0??A?(A因為R(A)?R(A)?1?3，所以方程組有無窮多解，且通解為

??1???1???1???????x?k1?1??k2?0???0?，k1,k2為任意實數.?0??1??0???????3.解：A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1???1??0??0??121?1011?1?1321?2??6?r???4??5???1??0?0??0?010011000010?1???2?，?3?0??所以

R(?1,?2,?3,?4,?5)?3，?1,?2,?4為向量組?1,?2,?3,?4,?5的一個極大線性無關組，且

?3??1??2，?5???1?2?2?3?

4?2?4.解：二次型的矩陣

A??0?0?A的特征多項式

0120??2?，1??2??A??E?0001??2021????(1??)(2??)(3??)，所以A的特征值為?1??1，?2?2，?3?3.?0?0?????1??1對應的線性無關的特征向量為?1???1?，單位化得p1???12??1??1???2?1??1???????0?，單位化得p2??0?； ?0??0????????； ????2?2對應的線性無關的特征向量為?2?0??0??????3?3對應的線性無關的特征向量為?3??1?，單位化得p3??12?.??1?1??????2??x1?所求正交變換為

?x2?x?3??0??1????2???1??2210020??y1????1??y2?，21???y?3?2??2二次型的標準形為

f??y1?2y2?3y3，因為?1??1?0，所以該二次型不是正定二次型.四、證明題

1.證：由A2?E，得(A?E)(A?E)?0，則

R(A?E)?R(A?E)?n；

又

R(A?E)?R(A?E)?R(A?E)?R(E?A)?R(2E)?n，所以

R(A?E)?R(A?E)?n.2.證：反證法，假設A與對角矩陣相似，則存在可你矩陣P，使得

P?1AP?diag(?1,?2,?,?n)，?1(?1,?2,?,?n)P則

A?Pdiagkkkk，?1(?1,?2,?,?n)P從而

A?Pdiag?0，所以 ?1?0，?2?0，…，?n?0，因而 A?0，這與A?0矛盾，故A不能與對角矩陣相似.