第一篇：線性代數教案

第一章

線性方程組的消元法與矩陣的初等變換

教學目標與要求

1.了解線性方程組的基本概念

2.掌握矩陣的三種初等變換 教學重點

運用矩陣的初等變換解一般的線性方程組 教學難點

矩陣的初等變換

§1.1 線性方程組的基本概念

一、基本概念

定義：m個方程n個未知數的線性方程組為如下形式：

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn(1)????????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm稱(1)為非齊次線性方程組；當b1?b2???bm?0時則稱為齊次線性方程組。方程組(1)

a12a22?am2?a1n???a2n?為系????amn???a11??a21TA?的一個解為：x?(c1,c2,?,cn)（或稱為解向量）；此時稱????a?m1?a11a12?a1n??a21a22?a2n數矩陣，稱B???????a?m1am2?amn

二、線性方程組的消元法

b1??b2?為增廣矩陣。???bm???2x1?x2?3x3?1?例1：解線性方程組?4x1?2x2?5x3?4

?2x?2x?63?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1???解：?4x2?x3?2，?x2?x3?5，?x2?x3?5；

?x?x?5?4x?x?2?3x??18?23?23?3?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?19?2x1?18?x1?9????

?x2?x3?5，?x2??1，?x2??1，?x2??1

?x??6?x??6?x??6?x??6?3?3?3?3從上面可以看出，整個消元過程和回代過程都只與x1,x2,x3的系數有關，且僅用了以下3種變換：①交換兩行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行變換）。

故我們隱去x1,x2,x3,?，得到一個數字陣（即矩陣B），對B進行初等行變換：

?2?131??2?131??2?131???????B??4254???04?12???01?15?

?2026??01?15??04?12???????1??2?131??2?1019??2?13????????01?15???01?15???010?1? ?003?18??001?6??001?6????????20018??1009???????010?1???010?1? ?001?6??001?6?????1??2?13?1009?????其中?01?15?稱為行階梯形矩陣，?010?1?稱為行最簡形矩陣。

?003?18??001?6?????

三、小結

例1告訴我們求解一般的線性方程組的基本方法：對其增廣矩陣B進行3種初等行變換，把它變為行階梯形矩陣，再最終變成行最簡形矩陣，然后從中讀出所需的解。

四、一般解和通解

?x1?2x2?x3?2x4?1?例2：解方程組?2x1?4x2?x3?x4?5

??x?2x?2x?x??4234?1解：

2?121??12?121??12?121??1??????B??24115???003?33???003?33?

??1?2?21?4??00?33?3??00000????????12?121??12012???????001?11???001?11? ?00000??00000?????即??x1?2x2?x4?2?x1?2?2x2?x4，亦即一般解為?，其中x2,x4為自由未知量。

?x3?x4?1?x3?1?x4?x1?2?2c1?c2?x?c?21令x2?c1,x4?c2，得方程組的通解為?

?x3?1?c2??x4?c2注意：自由未知量的取法并不唯一。

?a11x1?a12x2???a1nxn?0?ax?ax???ax?0?2112222nn2、定理：在齊次線性方程組?中，若m?n（即方程

???????????????am1x1?am2x2???amnxn?0的個數小于未知數的個數），則它必有非零解。

五、習題

P11 T1(2)

T2

§1.2 矩陣的初等變換

一、矩陣及其初等變換

1、定義：稱由m?n個數aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的數表

?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?為矩陣，簡記為A?(aij)m?n。????amn??

二、矩陣的初等行(列)變換

①交換兩行(列)； ②某行(列)乘k倍；

③某行(列)乘k倍加至另一行(列)。

三、矩陣的標準形

定理：任意一個m?n的矩陣A，總可以經過初等變換（包括行變換和列變換）化為如?1??0???下的標準形：F??0?0?????00?00?0??1?00?0????????Er0?10?0?即Am?n?F???O??0?00?0???????0?00?0?O?? ?O?其中1的個數r就是行階梯形矩陣中非零行的行數。

四、習題

P18

T1(4)(5)

T2(1)

T3 P19 總復習題：T3

T4

第二章

行列式

教學目標與要求

1.會用對角線法則計算二階行列式和三階行列式

2.理解排列、逆序數的概念，掌握n階行列式的定義及其重要性質 3.理解并會靈活運用行列式的展開公式，掌握范德蒙德行列式的結論 4.掌握克拉默法則及其應用 教學重點

1.n階行列式的重要性質

2.n階行列式展開公式的運用以及范德蒙德行列式的結論

3.克拉默法則的運用 教學難點

1.n階行列式的重要性質及其展開公式 2.克拉默法則的運用

§2.1 二階和三階行列式 一、二階行列式

?a11x1?a12x2?b1?a11a12??

1、引例：對于線性方程組?（1），其系數矩陣為A?? ???a21x1?a22x2?b2?a21a22?

用消元法解得 ??(a11a22?a12a21)x1?b1a22?b2a12（2）

?(a11a22?a12a21)x2?b2a11?b1a21a12?a11a22?a12a21稱為二階行列式，記D?A?detA

a12a11b1，D2? a22a21b22、定義：D?a11a21a22a11a12b1?Dx1?D1那么（2）可以表示為?，其中D?，D1?aab2Dx?D21222?2從而x1? 二、三階行列式 D1D,x2?2。DD?a11x1?a12x2?a13x3?b1?a11a12??ax?ax?ax?b1、定義：對于三元線性方程組?211a222222332，記A??a21?ax?ax?ax?b?a3?31a32?311322333a11稱D?A?detA?a21a13?? a23?，a33??a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33a

31?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31 為三階行列式。

a112、三對角線法則（記憶）：D?a21a12a22a32a13a11a23a21a33a31a12a22 a32a31

三、習題

P25 T1(2)(3)(5)

T2

T3

§2.2 n階行列式的定義和性質

一、排列與逆序數

1.定義1：由1,2,?,n組成的一個有序數組稱為一個n級排列。（n級排列共有n!個）定義2：在一個排列中，如果一對數的前后位置與大小順序相反，即前面的數大于后面的數，那么它們就稱為一個逆序，一個排列中逆序的總數稱為這個排列的逆序數，記作?。)?4?0?2?1?0?7（奇排列）例：?(25431；)?14?1?2?1?0?8（偶排列）

?(5243。

定理：對換改變排列的奇偶性；在全部n級排列中，奇、偶排列的個數相等，各有

二、n階行列式的定義

n!個。21.定義：n階矩陣A?(aij)n?n?a11??a??21???a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?，則n階行列式定義如下： ????amn??a11 D?A?a12?a1np1p2?pna21?an1a22?a2n???an2?ann?(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

這里，?表示對1,2,?,n這n個數的所有排列p1p2?pn求和。即n階行列式是指n!項取自不同行不同列的n個元素乘積的代數和。

2、例：（常用結論）

a11（1）

a11a22?ann0?a11a22?ann??0n(n?1)2a12?a1na110?00 ?a22?a2na21?????0?annan1a22???an2?ann?1（2）?2??(?1)?1?2??n

?n3、n階行列式的等價定義

定理：D??1??2(?1)ai1j1ai2j2?ainjn；其中?1為行標排列i1i2?in的逆序數，?2為列?標排列j1j2?jn的逆序數。

三、行列式的性質

設n階矩陣A?(aij)n?n的行列式為D?A，則D有如下性質：

T①A?A；

②交換兩行（列），則D變號；

③提公因子：某行(列)所有元素的公因子可以提到D的外面。

特別地，若某行（列）為0，則D?0；若某兩行（列）成比例，則D?0。④拆和：若D中某行（列）的元皆為兩項之和，則D等于兩個行列式的和。⑤某行（列）乘k倍加至另一行（列），則D不變。

123例：②如211111211234??234；③如3?39?3?21?13

***123123④如456?123?333；

1?1?21?1?21?1?2111111111111⑤如?23?3?4?0?1?2?0?1?2?0?1?2?0 45345012000

注意：計算行列式的常用方法：(1)利用定義；

(2)利用性質把行列式化為上(下)三角形行列式，從而算得行列式的值；(3)利用展開公式(下一節)。

四、習題

P36

T1

T4

T5(3)(4)(8)

T6(1)

§2.3 行列式的展開公式

一、余子式與代數余子式

1、定義：在n階行列式det(aij)中，劃去元aij所在的第i行和第j列的元后，剩下的元按原來的順序所構成的n?1階行列式稱為aij的余子式，記作Mij；又記Aij?(?1)i?jMij，稱Aij為aij的代數余子式。

142.如：***中，a11?1的余子式為M11?412，代數余子式為 23411234A11?(?1)1?1M11?M11，a21?4的余子式為M21?412，代數余子式為

341A21?(?1)2?1M21??M21，二、展開公式

定理：n階行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和。即可按第i行展開

D?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(i?1,2,?,n)

或可按第j列展開

D?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj(j?1,2,?,n)

14如：322143321443?1?A11?2?A12?3?A13?4?A14?1?A11?4?A21?3?A31?2?A41 21

2、講解P42例2和例3

三、范德蒙德行列式

1x1Dn?x12?x1n?1 1x22x2?n?1x21x32x3?1??1xn2?xn?1?i?j?n?(xj?xi)

n?1n?1x3?xn推論：行列式某行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和等于零。即

ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn(i?j)或

a1iA1j?a2iA2j???aniAnj(i?j)

11例證：如322243331444?1A11?2A12?3A13?4A14?a21A11?a22A12?a23A13?a24A14?0

21四、習題

P46

T2(3)(4)(5)

§2.4 克拉默法則

一、克拉默法則

定理1：含有n個未知數x1,x2,?,xn與n個方程的線性方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn

2?

(1)

???????????????an1x1?an2x2???annxn?bn

稱(1)為非齊次線性方程組；當b1?b2???bn?0時稱為齊次線性方程組。

如果線性方程組(1)的系數行列式D?A?0（這里A?(aij)n?n），那么(1)有唯一解，且解為xj?DjD(j?1,2,?,n)，其中Dj(j?1,2,?,n)是把D中第j列元素用方程組右端的常數項替代后所得到的n階行列式。

推論：

(1)如果線性方程組(1)無解或至少有兩個不同的解，那么它的系數行列式D?0。

(2)如果齊次線性方程組的系數行列式D?0，那么它只有零解；如果齊次線性方程組有非零解，那么它的系數行列式D?0。

注意：用克拉默法則解線性方程組的兩個條件：①方程個數等于未知數個數；②系數行列式不等于零。克拉默法則的意義主要在于建立了線性方程組的解和已知的系數以及常數項之間的關系。它主要適用于理論推導。

二、習題

P50

T2 T3 ；

P51 總復習題：T1 T2 T3

T6

第三章

矩陣

教學目標與要求

1.理解矩陣的概念，掌握矩陣的3種運算(加法、數乘、乘法)，以及它們的運算律

2.熟記幾種特殊矩陣(單位陣、對角陣、數量矩陣、三角陣、轉置矩陣、對稱和反對稱陣)及其性質，掌握方陣行列式的性質

3.掌握伴隨矩陣和逆矩陣的定義及其性質，熟悉逆矩陣的運算規律 4.了解分塊矩陣的運算律，以及常用結論

5.理解初等矩陣與初等變換之間的關系，掌握初等變換求逆矩陣的方法 6.掌握矩陣的秩的概念及其性質，會用初等變換求矩陣的秩 教學重點

1.矩陣乘法的運算律和方陣行列式的性質

2.逆矩陣和伴隨矩陣的運算性質，以及初等變換法求逆矩陣

3.矩陣的秩的性質，以及初等變換法求矩陣的秩 教學難點

1.逆矩陣的概念，以及求逆的方法 2.矩陣的秩的概念，以及求秩的方法

§3.1 矩陣的概念及其運算

一、矩陣的概念

1、定義：稱由m?n個數aij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)排成的m行n列的數表

?a11??a21A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n?為矩陣，簡記為A?(aij)m?n?Am?n。????amn??矩陣的相等：Am?n?Bm?n?aij?bij(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)

?b1????b2?行矩陣（行向量）：A?(a1,a2,?,an)；列矩陣（列向量）：A???

????b??n?

二、矩陣的運算

1、矩陣的加法

定義1：設A?(aij)m?n，B?(bij)m?n，則A?B?(aij?bij)m?n

注意：兩個矩陣是同型矩陣時才能進行加法運算。

矩陣的加法滿足下列運算律(設A,B,C都是m?n矩陣)：(1)交換律：A?B?B?A；

(2)結合律：(A?B)?C?A?(B?C)(3)負矩陣A?(?A)?0，規定減法運算：A?B?A?(?B)

2、矩陣的數乘

??a11??a21定義2：數?與矩陣A的乘積記作?A或A?，規定為?A???????am1?a12??a1n??a22??a2n????am2?????amn?；

矩陣的數乘滿足下列運算律(設A,B都是m?n矩陣，?,?為數)：(1)(??)A??(?A)；

(2)(???)A??A??A；(3)?(A?B)??A??B；

(4)1?A?A；(5)?A?0???0或A?0

3、矩陣的乘法

定義3：設A?(aij)m?s，B?(bij)s?n,那么矩陣A與矩陣B的乘積是一個m?n矩陣C?(cij)m?n，其中

cij?ai1b1j?ai2b2j???aisbsj??aikbkj(i?1,2,?,m;j?1,2,?,n)

k?1s記為Cm?n?Am?sBs?n（A的列數等于B的行數）。

例1：求矩陣A???4???24??2??與B????3?6??的乘積AB與BA。1?2???? 解：AB???4???16?32???24??2???? ???????16??1?2???3?6??8

BA???4???24??00??2???????AB ???????3?6??1?2??00?例1說明：矩陣的乘法不滿足交換律，即一般地AB?BA。若AB?BA，則稱方陣A與B可交換。矩陣的乘法滿足下列運算律：

(1)結合律：(AB)C?A(BC)

(2)?(AB)?(?A)B?A(?B)(3)分配律：A(B?C)?AB?AC，(B?C)A?BA?CA

例2：舉例說明下列命題是錯誤的（1）若A?0，則A?0；

2（2）若A?A，則A?0或A?E； 2（3）若AX?AY，且A?0，則X?Y。

?11??10??10??10?

解：（1）A??（2）A??（3）A?X????1?1??；?00??；?00??,Y???01??。

????????

三、方陣的冪及方陣多項式

1、定義：設A是n階方陣，則A1?A,A2?A?A,?,Ak?1?Ak?A

klk?lklkl方陣的冪滿足的運算律：(1)AA?A；(2)(A)?A

2、方陣多項式

設f(x)?a0xm?a1xm?1???am?1x?am(a0?0)為m次多項式，A為n階方陣，則 稱f(A)為方陣A的多項式。f(A)?a0Am?a1Am?1???am?1A?amE仍為一個n階方陣，四、習題

P61 T2(3)(4)(5)(8)

T3

T4

T6

§3.2 特殊矩陣與方陣行列式

一、特殊矩陣

1、單位矩陣

?1??0En?????0???1??0??????0?0?0??1?0?，性質：EA?AE?A ????0?1??n?n0?

2、對角矩陣

0???2?0??diag(?1,?2,?,?n)

????0??n??mm

性質：[diag(?1,?2,?,?n)]m?diag(?1,?m2,?,?n)，m為正整數。

3、數量矩陣

??0???0???E??E??????00??

4、三角矩陣

0??0?，性質：?EA??AE??A ??????a12?a1n??a11??a22?a2n??a21或????????0?ann???an

1性質：A?a11a22?ann

5、轉置矩陣 ?a11??0A?????0?0?0??a22?0? ????an2?ann??如果A?(aij)m?n，則AT?(aij)n?m。

性質：(1)(A)?A；

(2)(A?B)?A?B；

(3)(?A)??A；

(4)穿脫原理：(AB)?BA

6、對稱矩陣和反對稱矩陣

TT設A?(aij)n?n，如果A?A，則稱A為對稱矩陣；如果A??A，則稱A為反對稱TTTTTTTTTT矩陣。

二、方陣行列式

性質：①AB?AB?BA（A,B都是n階方陣）

n

②A?A n

③kA?knA

三、伴隨矩陣

定義：n階行列式A的各個元素的代數余子式Aij所構成的如下矩陣

?A11??A12????A?1n稱為A的伴隨矩陣。

A21?An1??A22?An2?

????A2n?Ann??n?1*

例1：試證：（1）AA??A?A?AE；

（2）當A?0時，A?A

證明：（1）因為

?a11??a21*故AA?????a?n1?A,i?jai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn??(i,j?1,2,?,n)

?0,i?ja12?a1n??A11A21?An1??A0?0??????a22?a2n??A12A22?An2??0A?0????AE ?????????????????????an2?ann??A1nA2n?Ann??00?A??同理可得A*A?AE。

?（2）對A*A?AE兩邊取行列式，得AA?AE

*

即 AA?AE?A，所以當A?0時，A?A?nnn?1。

四、習題

P69 T1

T2

T6

T7

T8(2)

§3.3 逆矩陣

一、逆矩陣

1、定義：對于n階方陣A，如果有一個n階方陣B，使

AB?BA?E

?則稱A是可逆的，并把矩陣B稱為A的逆矩陣，記為B?A。

2、可逆的判定定理

定理：方陣A可逆?A?0；當A可逆時，A??11? A，其中A?為A的伴隨矩陣。

A?E。證明：必要性.因為A可逆，即存在A，使AA?1?1?1?

1故AA?AA?E?1，所以A?0

充分性.由§3.3的例1可知 AA?AA?AE；因為A?0，故有

??A1?1?A?AA?E AA?1?A。

A按照逆矩陣的定義，即有

A?1注意：當A?0時，稱A為非奇異矩陣，否則稱A為奇異矩陣。可見，可逆矩陣就是非奇異矩陣。同時，定理也提供了一種求逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）。

?13、推論：若AB?E（或BA?E），則B?A。

證明：A?B?AB?E?1，故A?0，從而A存在，于是

?1B?EB?(A?1A)B?A?1(AB)?A?1E?A?1

二、逆矩陣的運算律

方陣的逆矩陣滿足下列運算律：

①若n階方陣A可逆，則A也可逆，且(A)②若A可逆，數??0，則?A可逆，且??A??1?1?1?1?A；

1??A?1；

?1③若A,B均為n階可逆方陣，則AB也可逆，且(AB)④若A可逆，且AB?AC，則B?C； ⑤若A可逆，則A也可逆，且(A)T； ?B?1A?1（穿脫原理）

T?1?(A?1)T；

⑥若A可逆，則A也可逆，且(A*)?1?(A?1)*；

⑦若A可逆，則(A*)T?(AT)*；

?1⑧若A可逆，則A?A?1*

⑨若A,B均為n階可逆方陣，則(AB)*?B*A*（穿脫原理）

證明： ①因為AA?1?E，由推論可知，(A?1)?1?A

②因為?A?1?A?1?AA?1?E，由推論可知，??A???11?A?1

?1③(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?AEA?1?AA?1?E，由推論有，(AB)?1?1④因為A可逆，則AAB?AAC，即EB?EC，故B?C

?B?1A?1

⑤AT(A?1)T?(A?1A)T?ET?E，由推論有，(A)⑥因為A可逆，故A?1T?1?(A?1)T

?1*AA1A，且A??A??E，從而(A*)?1?A； AAAA?

1又A(A)?(A)A?1?1*?1*?A?1E，即(A?1)*?AA?1E?1A A

所以(A)*?1?(A?1)*。

T*TT?1?1T⑦因為(A*)T?(AA?1)T?A(A?1)T，(A)?A(A)?A(A)

所以(A)?(A)

?1?1?1⑧因為AA?E?1，即AA?1，所以A?*TT*1?1?A A⑨由AB?AB?0可知，AB也可逆。又(AB)(AB)*?ABE，所以(AB)*?AB(AB)?1?ABB?1A?1?BB?1AA?1?B*A*

?ab??1例

1、問A???cd??滿足什么條件時可逆，并求A。

??解：A?ad?bc，A????c???d?b??，當A?ad?bc?0時，A可逆； ?a?且

A

?1?1?d?b??? ??ad?bc??ca?例

2、設A是三階方陣，且A?解：(3A)?1?18A*?1?1*，求(3A)?18A 271?112A?18AA?1?A?1?A?1 333?(?1)A?1?(?1)3A?11? 33??27A??1

例

3、解矩陣方程?25????719?13???X?????411??? 解：X???25??1?719??3?5??719???1?13??????411????????12??????411???????1

三、習題

P75 T2

T3(3)

T6

T7

T9

2?3??? §3.4 分塊矩陣和初等矩陣

一、分塊矩陣

設An?n???O??A1O??B1??，B?n?n??OA2??O??，其中Ai與Bi(i?1,2)是同階的子方塊，則 ?B2?O?? A2B2??O?? ?1?A2??1?A2? O???A1?B1①A?B???O??A1k③A???O?k?A1B1??；

②AB???OA2?B2???O?A1?1O??1?；

④A??k??OA2???1?O?⑤A?A；

⑥A12?A?2A1??O??1???AO???1

二、初等矩陣

1、定義：由n階單位陣E經過一次初等變換得到的矩陣稱為n階初等矩陣。

2、三種初等變換對應三種初等矩陣

(1)交換第i行和第j行；

對應En(i,j)(2)第i行乘k倍；

對應En(i(k))(3)第j行乘k倍加至第i行；

對應En(i,j(k))

?24?例

1、將A???13??化為標準形。

??解：A????24??13??13??13??10???????????????B ??????????13??24??0?2??01??01?則

??0??10??01??1?3??1????0?1/2?????21????10??A?B 01????????12即 E2(1,2(?3))E2(2(?))E2(2,1(?2))E2(1,2)A?B

3、初等變換與初等矩陣的關系

定理1：設A是一個m?n矩陣，對A施行一次初等行變換，相當于對A左乘一個相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于對A右乘一個相應的n階初等矩陣。

三、初等變換求逆矩陣

定理2：對任意一個m?n矩陣A，總存在有限個m階初等矩陣P1,P2,?,Ps和n階初等矩陣Ps?1,Ps?2,?,Pk，使得P1?PsAPs?1?Pk???O?

?ErO???Fm?n ?O?m?n定理3：對于n階可逆矩陣A，總存在有限個n階初等矩陣P1,?,Ps,Ps?1,?,Pk，使得P1?PsAPs?1?Pk?En?n

定理4：設A為可逆矩陣，則有限個初等矩陣P1,P2,?,Pk，使得A?P1P2?Pk 推論：m?n矩陣A與B等價?存在m階可逆矩陣P和n階可逆矩陣Q，使

PAQ?B，記為A?B。（等價關系具有反身性、對稱性、傳遞性）

因此，由定理3可知，方陣A可逆?A?E

由定理4可知，方陣A可逆?A?P,2,?,k為初等矩陣)1P2?Pk(Pi,i?

1由推論可知，A?B?存在可逆矩陣P,Q，使PAQ?B1、求逆方法的推導：

?1?1?1由定理4的A?P1P2?Pk，得

Pk?P2P1A?E

（1）?1?1?1?1（1）式兩端分別右乘A，得

Pk?P2P1E?A

（2）

?

1上述兩式表明，用一樣的初等行變換將A變成E的同時，會將E變成A。

2、求逆矩陣的基本方法

初等變換法：(A|E)?初等行變換????(E|A?1)或（3、解矩陣方程AX?B或XA?B（A可逆）

初等變換法：(A|B)?初等行變換????(E|A?1B)或()?????（四、習題

P91 T1

T2(1)(2)

T3

?1AE)?初等列變換????(?1)EAAB初等列變換E)BA?1§3.5 矩陣的秩

一、k階子式的概念

2m,n})，其交叉處的k個元素定義：在m?n矩陣A中，任取k行k列(1?k?min{按原來的位置構成的一個k階行列式，稱為矩陣A的一個k階子式。

?1111???1111例：A??1234?，?1,?0等都是A的一個2階子式。

1200?0000???kk可知，m?n矩陣A的k階子式共有Cm個。Cn

二、矩陣的秩

定義：矩陣A的非零子式的最高階數，稱為矩陣A的秩，記為R(A)。若R(A)?r，則A中至少有一個r階子式不為0，且所有r?1階子式都為0。

三、矩陣秩的性質

m,n} ① 1?R(A)?min{② R(A)?R(A)

③ R(A)?r?A的行階梯形含r個非零行?A的標準形F???O?④ 若A~B則R(A)?R(B)（矩陣的初等變換不改變矩陣的秩）

⑤ 若P,Q可逆，則R(PAQ)?R(A)

⑥ max{A,B}?R(A,B)?R(A)?R(B)；

特別地，當B為列向量b時，有R(A)?R(A,b)?R(A)?

1⑦ R(A?B)?R(A)?R(B)

⑧ R(AB)?min{R(A),R(B)}

⑨ 若Am?nBn?s?O，則R(A)?R(B)?n

例

1、設A為n階矩陣A的伴隨矩陣，證明 *T?ErO?? ?O?R(A)?n?n,?R(A*)??1,R(A)?n?1

?0,R(A)?n?1?

證明：

**(1)當R(A)?n時，則A可逆，即A?0；由AA?AE知A?An?1?0。故A*可逆，從而R(A)?n

(2)若R(A)?n?1，則AA?AE?0。故R(A)?R(A)?n，R(A)?n?R(A)?1。又由R(A)?n?1知矩陣A中至少有一個n?1階子式不為零，也就是說A中至少有一個元素不為零。所以R(A)?1，從而有R(A)?1。

*(3)若R(A)?n?1，則A的任意一個n?1階子式都為零。故A?0，即R(A)?0。

********?2?11?13???例

2、求A??4?2?232?的秩

?2?15?61????2?11?13??2?11?13??2?11?13???????解：?4?2?232???00?45?4???0045?4?

?2?15?61??00??4?5?2??????0000?6?

故R(A)?3

?1??2例

3、已知矩陣A??1??2?12a3??2314?的秩為3，求a的值

0115??3554??a3??112a3??112?????00?11?2a?2??00?11?2a?2?解：A?? ????0?1?11?a20?1?11?a2?????0115?2a?2??0006?3a0?????a3??112??0?1?11?a2??

因為R(A)?3，所以6?3a?0，即a?2 ???00?11?2a?2???0006?3a0???

四、習題

P96 T2

T3(2)

T7

T8

P97 總復習題：T1 T2

T3

T4

T5

第四章

線性方程組理論

教學目標與要求

1.掌握齊次和非齊次線性方程組解的判定定理和解的結構定理

2.理解向量組的線性相關與線性無關的概念，以及它們的判定方法

3.掌握向量組的秩和最大無關組的概念，會求向量組的秩

4.理解基礎解系的概念，會求齊次與非齊次線性方程組的通解 教學重點

1.齊次與非齊次線性方程組解的判定定理以及通解的求法 2.向量組線性相關與線性無關的判定方法

3.向量組的最大無關組的求法和秩的求法 教學難點

1.齊次與非齊次線性方程組解的判定方法

2.向量組秩的概念及其求法

3.基礎解系的概念及其求法

§4.1 線性方程組有解的條件

一、線性方程組解的判定

1、非齊次線性方程組

定理1：對于非齊次線性方程組Am?nx?b（1），則

① 有唯一解?R(A)?R(A,b)?n

② 有無窮多解?R(A)?R(A,b)?n

③ 無解?R(A)?R(A,b)

2、齊次線性方程組

定理2：對于齊次線性方程組Am?nx?0（2），則 ① 僅有零解?R(A)?n ② 有非零解?R(A)?n

推論：當m?n時，An?nx?0有非零解?R(A)?n?A?0

定理3：矩陣方程AX?B有解?R(A)?R(A,B)

二、線性方程組的解法

?x1?2x2?3x3?0?例

1、求下列線性方程組的通解?2x1?5x2?3x3?0

?x?8x?04?130??1090??1230??12??????解：?2530???01?30???01?30?

?1008??0?2?38??00?98???????0??1008??109????0???010?8/3?

??01?3?001?8/9??001?8/9???????x1??8x4?x1???8?

?????x8/38?2?????x2?x4，令x4?1，得通解為：???k??(k?R)x8/93??3???

?1??x?8????4?x3?x4?9?

例

2、問?取何值時，下列線性方程組(1)有唯一解；(2)無解；(3)有無窮多解？并在有無窮多解時求其通解。

??x1??x2?2x3?

1???x1?(2??1)x2?3x3?1

???x1??x2?(??3)x3?2??1??2??2解：A??2??13?0??11??(??1)(??1)????300??1由克拉默法則知，當??0,???1,??1時，方程組有唯一解。

?當??0時，B??0021??0?131???0?1?0?131?????0021????00???003?1????003?1????00因R(A)?2，R(B)?3，R(A)?R(B)，所以方程組無解。

??1?121???1?12當???1時，B????1?331????1??0?210??

???1?12?3????000?4??因R(A)?2，R(B)?3，R(A)?R(B)，所以方程組無解。

?1121??1121??當??1時，B???1131??????0010????1101??0010???1141????0020????0000??因R(A)?R(B)?2?3，所以方程組有無窮多解。

即??x?x?x1?1?k1?12x?0，令x?2?k，得其通解為：?x2?k（k?R）?3??x3?0

三、習題

P106 T1 T2 T3(2)T4 T5 T6 T7

31??21?0?5?

2??

§4.2 向量組的線性相關性

一、n維向量及其線性運算

1.定義：由n個數a1,a2,?,an組成的有序數組稱為n維向量。稱n?1矩陣

?a1????a2?a???為n維列向量；其轉置aT??a1,a2,?,an?稱為n維行向量。其中ai稱為a的第i????a??n?個分量(i?1,2,?,n)。

2.運算

①n維向量的相等；②零向量；③負向量；④加法；⑤數乘

二、向量組的線性組合

1.向量組

定義：由若干個同維的列向量(或行向量)所組成的集合，稱為一個向量組。

2.向量組與矩陣

?a1j????a2j?(j?1,2,?,n)為矩陣A的列設A?(aij)m?n，則A???1,?2,?,?n?，其中?j???????a??mj???1?????2?向量組；或A??，其中?i??ai1,ai2,?,ain?(i?1,2,?,m)為矩陣A的行向量組。

????????m?3.向量組與線性方程組

一個線性方程組Am?nx?b可以寫成：x1?1?x2?2???xn?n?b

4.向量組的線性組合

定義：設向量組A:?1,?2,?,?m，對于數k1,k2,?,km，我們稱k1?1?k2?2???km?m為向量組A的一個線性組合，k1,k2,?,km稱為這個線性組合的系數。

5.線性表示

給定向量組A:?1,?2,?,?m和向量b，若存在一組數?1,?2,?,?m，使得

b??1?1??2?2????m?m 則稱向量b是向量組A的線性組合，也稱向量b可以由向量組A線性表示。

例：任何一個n維向量a??a1,a2,?,an?都可以由n維單位向量組：

Te1?(1,0,0,?,0)T，e2?(0,1,0,?,0)T，?，en?(0,0,?,0,1)T

線性表示。即a?a1e1?a2e2???anen。

顯然，向量b能由向量組A線性表示，也就線性方程組：x1?1?x2?2???xn?n?b有解。

6.定理1：向量b能由向量組A:?1,?2,?,?m線性表示的充要條件是R(A)?R(A,b)，其中A?(?1,?2,?,?m)。

三、向量組的線性相關與線性無關

設齊次線性方程組Am?nx?0，寫成向量形式：x1?1?x2?2???xn?n?0。若它有非零解，即存在一組不全為零的數k1,k2,?,kn，使得k1?1?k2?2???kn?n?0。因此，我們引入如下概念。

1.線性相關與線性無關

定義：設有n維向量組A:?1,?2,?,?m，如果存在一組不全為零的數k1,k2,?,km使

k1?1?k2?2???kn?n?0

則稱向量組A線性相關；否則稱它線性無關。

注意：（特殊情形）

① 只有一個向量a的向量組線性相關?a?0

② 兩個向量a,b的向量組線性相關?a??b(即兩向量共線：對應分量成比例)③ 三個向量線性相關：幾何意義是三個向量共面。

④ 含有零向量的向量組一定線性相關。

定理2：向量組?1,?2,?,?m(m?2)線性相關的充要條件是其中至少有一個向量可由其余m?1個向量線性表示。

定理3：設向量組A:?1,?2,?,?m構成矩陣A?(?1,?2,?,?m)，則向量組A線性相關的充要條件是R(A)?m；向量組A線性無關的充要條件是R(A)?m。

推論1：當向量的個數等于向量的維數時，向量組A線性相關的充要條件是A?0；向量組A線性無關的充要條件是A?0。

推論2：m(m?n)個n維向量組成的向量組一定線性相關。推論3：任一個n維向量組中線性無關的向量最多有n個。

定理4：

(1)設向量組A:?1,?2,?,?m線性無關，而向量組B:?1,?2,?,?m,b線性相關，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示法是唯一的。

(2)若向量組?1,?2,?,?r線性相關，則向量組?1,?2,?,?r,?r?1,?,?n(n?r)必線性相關；反之，若向量組?1,?2,?,?r,?r?1,?,?n(n?r)線性無關，則向量組?1,?2,?,?r必線性無關。（部分相關，整體相關；整體無關，部分無關。）

(3)若m個n維向量?1,?2,?,?m線性相關，同時去掉其第i個分量(1?i?n)得到的m個n?1維向量也線性相關；反之，若m個n?1維向量?1,?2,?,?m線性無關，同時增加其第i個分量(1?i?n)得到的m個n維向量也線性無關。

四、習題

P116 T1(3)(4)T2 T3 T4(1)(2)T5 T6 T7 T8 T9(1)(3)

§4.3 向量組的秩

一、向量組的等價

定義1：設有向量組A:?1,?2,?,?m；向量組B:?1,?2,?,?s，若向量組A中的每一個向量都能由向量組B線性表示，則稱向量組A能由向量組B線性表示。如果向量組A和向量組B能相互線性表示，則稱這兩個向量組等價。

命題1：若A,B為有限個列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件是矩陣方程B?AX有解。

命題2：若矩陣A經過初等行(列)變換變成B，則矩陣A的列(行)向量組與矩陣B的列(行)向量組等價。

定理1：設向量組A:?1,?2,?,?m和向量組B:?1,?2,?,?s均為列向量組成的向量組，則向量組B能由向量組A線性表示的充要條件為R(A)?R(A,B)

推論：向量組A:?1,?2,?,?m和向量組B:?1,?2,?,?s等價的充要條件是

R(A)?R(B)?R(A,B)

其中A和B是向量組A和向量組B所構成的矩陣。

講教材P118例1

二、向量組的秩 1.最大無關組

定義2設向量組A0:?1,?2,?,?r是向量組A:?1,?2,?,?m(m?r)的一個部分組，若(1)向量組A0:?1,?2,?,?r線性無關；

(2)A中的任意向量均可由向量組A0:?1,?2,?,?r線性表示； 則稱A0:?1,?2,?,?r為A的一個最大線性無關向量組（簡稱最大無關組）。

顯然，最大無關組一般不唯一；任意向量組都與它的最大無關組等價。

2.最大無關組的求法

定理：矩陣的初等行變換不改變(部分或全部)列向量之間的線性關系； 矩陣的初等列變換不改變(部分或全部)行向量之間的線性關系。

注意：上述定理提供了求向量組最大無關組的方法 定理2：設向量組B:?1,?2,?,?r可由向量組A:?1,?2,?,?s線性表示，(1)若向量組B線性無關，則r?s；(2)若r?s，則向量組B線性相關。

推論1：兩個等價的線性無關的向量組必含有相同個數的向量。推論2：兩個等價的向量組的最大無關組含有相同個數的向量。推論3：一個向量組的任意兩個最大無關組所含向量個數相等。

3.向量組的秩

定義3：向量組的最大無關組所含向量的個數，稱為該向量組的秩。

定理2'：若向量組B能由向量組A線性表示，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。

三、矩陣的秩與向量組的秩的關系

定理3：對矩陣A?(aij)m?n，則 R(A)?A的行秩?A的列秩。即矩陣的秩等于它的行向量組的秩也等于它的列向量組的秩。

四、矩陣的秩的性質

性質1：R(A?B)?R(A)?R(B)

性質2：R(AB)?min{R(A),R(B)}

性質3：若P,Q可逆，則R(PAQ)?R(PA)?R(AQ)?R(A)

五、習題

P124 T1

T2

T3

T9

§4.4 線性方程組解的結構

一、齊次線性方程組解的結構

1.解的性質

對于齊次線性方程組

Am?nx?0

(1)性質1：若?1,?2都是Ax?0的解，則?1??2也是Ax?0的解。性質2：若?是Ax?0的解，則k?也是Ax?0的解。

2.解的結構

定義1：設?1,?2,?,?k是Ax?0的非零解，且滿足

(1)?1,?2,?,?k線性無關；

(2)Ax?0的任一個解?都可由?1,?2,?,?k線性表示，即??c1?1?c2?2???ck?k 則稱?1,?2,?,?k是齊次線性方程組Ax?0的基礎解系；且Ax?0的通解可表示為如下形式：??c1?1?c2?2???ck?k(c1,c2,?,ck為任意常數)。

定理1：若n元齊次線性方程組Ax?0的系數矩陣A的秩R(A)?r?n，則Ax?0的基礎解系恰含有n?r個線性無關的解向量。

講教材P128 例1和例2

二、非齊次線性方程組解的結構

1.解的性質

對于非齊次線性方程組

Am?nx?b

(2)性質1：若?1,?2都是Ax?b的解，則?1??2是Ax?0的解。

性質2：若?是Ax?0的解，?是Ax?b的解，則???是Ax?b的解。

2.解的結構

*定理2：設?是非齊次線性方程組Ax?b的一個解，?1,?2,?,?n?r是對應的導出組Ax?0的基礎解系，則Ax?b的通解為

???*?k1?1?k2?2???kn?r?n?r

其中k1,k2,?,kn?r為任意常數。

講教材P132 例3和例4

三、習題

P134 T1 T2(1)T3 T4 T5 T6 T7 T8 P141 總復習題：T1 T2 T4 T5 T6至T13

第五章 特征值和特征向量

矩陣的對角化

教學目標與要求

1.理解內積和正交向量組的概念，掌握施密特正交化方法和正交矩陣的性質 2.理解特征值與特征向量的定義，掌握它們的性質及其求法 3.理解相似矩陣的定義，掌握相似矩陣的性質

4.掌握矩陣可對角化的條件，熟悉實對稱矩陣的對角化方法 教學重點

1.施密特正交化方法的運用 2.特征值與特征向量的求法 3.實對稱矩陣的對角化方法 教學難點

1.施密特正交化方法

2.特征值與特征向量的性質及其求法 3.實對稱矩陣的對角化方法

§5.1 預備知識

一、向量的內積

定義1：設有n維向量x??x1,x2,?,xn?，y??y1,y2,?,yn?，令

TT?x,y??x1y1?x2y2???xnyn，稱?x,y?為向量x與y的內積。

內積的性質：

(1)?x,y???y,x?

(2)??x,y????x,y?

(3)?x?y,z???x,z???y,z?

(4)?x,x??0，當且僅當x?0時等號成立

定義2：令x??x,x??22x12?x2???xn，稱為n維向量x的長度（或范數）。當x?1時，稱x為單位向量。

向量的長度具有以下性質：

(1)非負性：x?0

(2)齊次性：

定義3：當x?0，y?0時，稱??arccos?x???x

(3)三角不等式：x?y?x?y

(4)柯西不等式：?x,y??x?y

?x,y?x?y為n維向量x與y的夾角。

定義4：當?x,y??0時，稱向量x與y正交。

定義5：若一個向量組中任意兩個向量都正交，則稱此向量組為正交向量組。若正交向量組中的每一個向量都是單位向量，則稱此向量組為規范正交向量組或標準正交向量組。

定理1：若n維向量?1,?2,?,?r是一組兩兩正交的非零向量，則?1,?2,?,?r線性無關。

二、施密特正交化方法 施密特正交化方法是將一組線性無關的向量?1,?2,?,?r，化為一組與之等價的正交向量組?1,?2,?,?r的方法。令

??2,?1??；?；

??1,?1?1??,????,????r,?r?1??。?r??r?r1?1?r2?2?????1,?1???2,?2???r?1,?r?1?r?1?1??1； ?2??2?

講教材P147 例2和例3

三、正交矩陣

定義6：如果方陣A滿足AA?AA?E（即A?cos?例如：En，??sin???AT），則稱A為正交矩陣。

?01/2?1/2????sin???，??2/61/61/6?都是正交陣。?cos????1/31/31/3????TT?1

定理2：A為正交矩陣?A的行(列)向量組為規范正交向量組。即

?1,i?jATA?E??iT?j??(i,j?1,2,?,n)（其中A?(?1,?2,?,?n)）

0,i?j?

定理3：設A,B都是n階正交方陣，則

(1)A??1；(2)A,A,AB也是正交方陣。

定義7：若P為正交矩陣，則線性變換y?Px稱為正交變換。

四、習題

P149 T1(2)T2(2)T3 T4 T5

§5.2 特征值和特征向量

T?

1一、特征值與特征向量的概念

定義1：設A是n階方陣，如果存在數?和非零列向量x，使得Ax??x，稱?為方陣A的特征值，非零列向量x稱為A的屬于特征值?的特征向量。

特征方程：Ax??x?(A??E)x?0 或者(?E?A)x?0

(A??E)x?0有非零解?A??E?0?特征矩陣：(A??E)或者(?E?A)

?E?A?0

a11??特征多項式：A??E?a12?an2??a1na2n???(?)

a21?an1a22????ann??nn?1?a??a????an?1??an0[a0?(?1)n]

二、求n階方陣A的特征值與特征向量的步驟

(1)求出特征方程?(?)?A??E?0的全部根?1,?2,...,?n，即是A的特征值；(2)對于每個特征值?i求解線性方程組?A??iE?x?0，得出的基礎解系就是A的屬于特征值?i的特征向量；基礎解系的線性組合就是A的屬于特征值?i的全部特征向量。

講教材P152 例3和例4

三、特征值與特征向量的性質

性質1：設A是n階方陣，則A與A有相同的特征值。性質2：設?是方陣A的特征值，k,m?N，則(1)?是方陣A的特征值；

(2)f(?)?a0?a1????am?是f(A)?a0E?a1A???amA的特征值。

性質3：設n階方陣A?(aij)n?n的n個特征值為?1,?2,...,?n，則(1)

mmkkT????aii?1i?1nnii，其中

?ai?1nii?tr(A)稱為A的跡；

(2)??i?A

i?1n

證明： 由特征值的定義可得

a11??

a12?a1na2n? ?(?)?A??E?a21?an1a22?????an2?ann??

?(a11??)(a22??)?(ann??)??

?(?1)n?n?(?1)n?1(a11?a22???ann)?n?1??

由題設可知 ?(?)?A??E?(?1??)(?2??)?(?n??)

?(?1)n?n?(?1)n?1(?1??2????n)?n?1???(?1?2??n)比較多項式同次冪的系數可得

a11?a22???ann??1??2????n，A??(0)??1?2??n

推論：A?0? 0是A的特征值；A可逆?A?0?A不含零特征值。

講教材P154 例5和例6

性質4：?1,?2,?,?m是方陣A的互異特征值，其對應的特征向量依次為

p1,p2,?,pm，則向量組p1,p2,?,pm線性無關。

四、習題

P157 T1

T2

T3

T4

§5.3 相似矩陣

一、相似矩陣的概念

定義1：設A,B都是n階方陣，若存在可逆矩陣P，使PAP?B，則稱矩陣A與B相似，記為A~B，可逆矩陣P稱為相似變換矩陣。

相似矩陣的基本性質：

1、(1)反身性：對任意方陣A，都有A~A

(2)對稱性：若A~B，則B~A

(3)傳遞性：若A~B，B~C，則A~C

2、定理1：若A~B，則

① A與B有相同的特征多項式和特征值；

② A?B； ③ R(A)?R(B)；

mm④ A與B也相似（m為正整數）；

?1⑤ tr(A)?tr(B)

二、矩陣可對角化的條件

定義：n階方陣A可以相似于一個對角矩陣?，則稱A可對角化。

定理2：n階方陣A可對角化?A有n個線性無關的特征向量。

推論：n階方陣A有n個互異的特征值?A可對角化。

定理3：n階方陣A可對角化?A的每個k重特征值?對應有k個線性無關的特征向量（或R(A??E)?n?k）。即A的幾何重數n?R(A??E)等于代數重數k。

講教材P160 例1和例2

三、小結

n階方陣A對角化的步驟：

(1)解特征方程A??E?0，求出A的全部特征值?1,?2,...,?s，其中?i是ni重特征值（i?1,2,?,s），s?ni?1i?n。

(2)對每個?i，解齊次線性方程組?A??iE?x?0，得基礎解系?i1,?i2,...,?ini；(3)令P?(?11,?12,?,?1n1,?21,?22,?,?2n2,?,?s1,?s2,?,?sns)，則PAP??，其中??diag(?1,?,?1,?2,?,?2,?,?s,?,?s)，這里?i的個數為ni個（i?1,2,?,s）。

四、習題

P162 T1

T2

T3

T4

T5

T6

§5.4 實對稱矩陣的相似矩陣

?

1一、實對稱矩陣的特征值性質

定理1：實對稱矩陣的特征值都是實數。

定理2：實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。

定理3：設?是n階實對稱矩陣A的r重特征值，則R(A??E)?n?r，即對應特征值?恰有r個線性無關的特征向量。

二、實對稱矩陣的相似理論

定理4：任意實對稱矩陣A都與對角矩陣相似。即實對稱陣一定可以對角化。

?1T定理5：設A是n階實對稱矩陣，則存在正交矩陣P，使PAP?PAP??。其中??diag(?1,?2,?,?n)，且?1,?2,...,?n是A的n個特征值。

三、實對稱矩陣對角化方法

n階實對稱矩陣A對角化的步驟：

(1)解特征方程A??E?0，求出A的全部特征值?1,?2,...,?s，其中?i是ni重特征值（i?1,2,?,s），s?ni?1i?n。

(2)對每個?i，解齊次線性方程組?A??iE?x?0，得基礎解系?i1,?i2,...,?ini；(3)利用施密特正交化方法將?i1,?i2,...,?ini正交化，得正交向量組?i1,?i2,...,?ini，再單位化得規范正交向量組?i1,?i2,...,?ini（i?1,2,?,s）；

(4)令P?(?11,?12,?,?1n1,?21,?22,?,?2n2,?,?s1,?s2,?,?sns)，則P為正交矩陣，且P?1AP?PTAP??，其中??diag(?1,?,?1,?2,?,?2,?,?s,?,?s)，這里?i的個數為。ni個（i?1,2,?,s）

講教材P164 例1和例2

四、習題

P167 T1

T2

T4 P167 總復習題：T1 T2 T3 T4 T5 T6；

T8 T9 T10 T11

T12 T13 T14 T15 T16

第六章 特征值和特征向量

矩陣的對角化 教學目標與要求

1.理解二次型及其秩的相關概念，了解矩陣的合同關系

2.掌握二次型的標準形，以及用配方法、正交變換法和初等變換法化二次型為標準型

3.理解慣性定理和二次型的規范形，掌握二次型正定的判別方法 教學重點

1.用正交變換法化二次型為標準型 2.二次型正定的判別方法 教學難點

1.用正交變換法化二次型為標準型 2.二次型正定的判別方法

§6.1 二次型及其矩陣表示 一、二次型及其矩陣表示

定義1：含有n個變量的二次齊次函數：

22f(x1,x2,...,xn)?a11x12?a22x2???annxn? ?2a12x1x2?2a13x1x3???2an?1,nxn?1xn稱為二次型。當aij全為實數時，f稱為實二次型。

為了便于用矩陣討論二次型，令aij?aji，則二次型為：

f(x1,x2,...,xn)?a11x12?a12x1x2???a1nx1xn?2 a21x2x1?a22x2???a2nx2xn?.................................................2 an1xnx1?an2xnx2???annxn

??a11??a21記

A?????a?n1a12a22?an2i,j?1?anijxixj

?a1n??x1?????a2n??x2?x?，???，???????x???ann??n?T則二次型f(x1,x2,?,xn)?xAx，其中A為對稱矩陣。

由此可見，對稱矩陣A與二次型f是一一對應關系，故稱對稱矩陣A為二次型f的矩陣，也稱二次型f為對稱矩陣A的二次型，R(A)也稱為二次型f的秩。

講教材P173 例1和例2

二、線性變換 ?x1?c11y1?c12y2???c1nyn?x?cy?cy???cy?22112222nn

定義2：稱?為由變量x1,x2,?,xn到變量y1,y2,?,yn.......................................?..........??xn?cn1y1?cn2y2???cnnyn的一個線性變量替換，簡稱線性變換。

?c11??c21其中，矩陣C?????c?n1?c1n??c22?c2n?稱為線性變換的矩陣。?????cn2?cnn??c12?x1??y1?????x?2??y2?記x???，y???，則線性變換可用矩陣形式表示：x?Cy。

???????x??y??n??n?若C?0，則稱線性變換x?Cy為非退化的(或滿秩變換)；否則，稱為退化的(或降秩變換)。若C是正交矩陣，則稱線性變換x?Cy為正交變換。因此，我們有

f(x)?xTAx?(Cy)TA(Cy)?yTCTACy?yTBy，其中B?CTAC，而且 BT?(CTAC)T?CTATC?CTAC?B

三、矩陣的合同

1．定義3：設A,B為兩個n階方陣，如果存在n階可逆矩陣C，使得CAC?B，則

T?B。稱矩陣A與B合同，記為：A~?B（合同）定理：若A~，則A?B（等價），且R(A)?R(B)。

2．合同的性質

?A

① 反身性：對任意方陣A，都有A~?B，則B~?A

② 對稱性：若A~?C ?B,B~?C，則A~③ 傳遞性：若A~3．定理：任何一個實對稱矩陣A都合同于一個對角陣?（?是以A的n個特征根為對角元的對角陣），即存在可逆矩陣C，使得CAC??。

四、習題

P175 T1

T3

T4

§6.2 二次型的標準形

T一、二次型的標準形

222定義：形如d1x1的二次型稱為二次型的標準形。?d2x2???dnxn

二、化二次型為標準形

（1）配方法

對任意一個二次型f?xTAx，都可用配方法找到滿秩變換x?Cy，將f化為標準形。步驟：若f中含變量項xi的平方項，則先將所有含xi的項合并在一起配成完全平方，依次類推直到都配成完全平方項；若f中不含任何平方項，則令x1?y1?y2,x2?y1?y2，xk?yk，使f中出現平方項，再按照前面的思路進行配方。

（2）正交變換法

定理：任給二次型f(x)?xTAx，總存在正交矩陣Q，使QTAQ?Q?1AQ??，其中??diag(?1,?2,?,?n)，?1,?2,?,?n是A的全部特征值。

22即存在正交變換x?Qy使f化為標準形：（其中?1,?2,?,?n?1x12??2x2????nxn是對稱矩陣A的全部特征根）

講書上P176 例1

（3）初等變換法

由于任意對稱陣A都存在可逆矩陣C，使CAC為對角陣；由于C是可逆陣，故可表

TTTT示一系列初等矩陣的乘積。設C?P1P2?PS，則C?Ps?P2P1，因此

TCTAC?PsT?P2TP1AP1P2?Ps

①

T

C?P1P2?PS?EP1P2?PS

②

①式表示對實對稱矩陣A施行初等列變換的同時也施行相應的行變換，將A化為對角陣；②表示單位陣E在相同的初等列變換下就化為C。即（三、習題

P181

T1

T3

T4

§6.3 慣性定理和二次型的正定性

A?)?合同變換????()EC

一、慣性定理和規范形

定理1：設實二次型f?xTAx的秩為r，有兩個實滿秩線性變換x?Cy及x?Pz，222使得 f?k1y1???kpy2,2,?,r)

（1）p?kp?1yp?1???kryr(ki?0,i?12222及

f??1z1????qzq??q?1zq,2,?,r)?1????rzr(?i?0,i?1則p?q；且稱p為二次型f的正慣性指數，r?p為二次型f的負慣性指數。

對二次型f的標準形（1）式再作滿秩線性變換

(y1,?,yr,yr?1,?,yn)T?diag(11,?，1,?,1)(t1,?,tr,tr?1,?,tn)T k1kr2222則有f?t1???tp?tp?1???tr，稱之為二次型f的規范形。

慣性定理的等價表述：任意一個秩為r的實二次型f都可以經過滿秩線性變換化為規范形，且其規范形是唯一的。即規范形中正項的個數p與負項的個數r?p都是唯一確定的。

定理2：實對稱陣A與B合同?A與B的正負慣性指數相同

?A與B的規范形相同?R(A)?R(B)，且A與B的正慣性指數相同 二、二次型的正定性

定義1：設實二次型f(x)?f(x1,x2,?,xn)?xTAx，若對任意x?0，都有f(x)?0，則稱f為正定二次型，并稱其對稱矩陣A為正定矩陣。三、二次型正定的判別方法

定理3：設A是n階實對稱矩陣，則

f?xTAx正定（或A正定）?A的n個特征值全為正；

?f的標準形的n個系數全為正?f的正慣性指數p?n； ?存在可逆矩陣P，使A?PTP?A與單位矩陣合同； ?A的各階順序主子式全為正，即

a11?a1na11a12??0

a11?0，?0，?，?a21a22an1?ann講教材P184 例3

四、習題

P185 T1(1)(3)

T2(3)

T3

T4

T5

T6 P186 總復習題： T4

T5

T6

T7 ；

T9

T12

T13

第二篇：線性代數教案第一章

線性代數教案第一章 第一章 行列式（12學時）

教學時數：12學時

教學目的與要求：理解并掌握行列式的概念和性質，行列式按行（列）展開定理，行列式的計算，克萊姆法則解方程組。

教學重點：行列式的性質，行列式按行（列）展開，克萊姆法則解方程組。教學難點：行列式按行按列展開。本章主要閱讀文獻資料：

1.吳贛昌主編，《線性代數》(第4版)，中國人民大學出版社，2008年2月。2.戴斌祥主編，《線性代數》，北京郵電大學出版社，2005年10月。3.陳維新主編，《線性代數》（第二版），科學出版社，2010年8月。

4.趙樹嫄主編，《線性代數學習與考試指導》，中國人民大學出版社，2008年5月。

教學內容：

第一節 二階與三階行列式

一．二階行列式

引入新課：

我們從二元方程組的解的公式，引出二階行列式的概念。

在線性代數中，將含兩個未知量兩個方程式的線性方程組的一般形式寫為

（1）

用加減消元法容易求出未知量x1，x2的值，當

時，有

（2）這就是二元方程組的解的公式。但這個公式不好記，為了便于記這個公式，于是引進二階行列式的概念。

（一）定義：我們稱記號

為二階行列式，它表示兩項的代數和：

即定義

（3）

二階行列式所表示的兩項的代數和，可用下面的對角線法則記憶：從左上角到右下角兩個元素相乘取正號，從右上角到左下角兩個元素相乘取負號，即

－ ＋

由于公式（3）的行列式中的元素就是二元方程組中未知量的系數，所以又稱它為二元方程組的系數行列式，并用字母D表示，即有

如果將D中第一列的元素a11，a21 換成常數項b1，b2，則可得到另一個行列式，用字母D1表示，于是有

按二階行列式的定義，它等于兩項的代數和：，這就是公式（2）中x1 的表達式的分子。同理將D中第二列的元素a a b2，12，22 換成常數項b1，可得到另一個行列式，用字母D2表示，于是有

按二階行列式的定義，它等于兩項的代數和：a11b2-b1a21，這就是公式（2）中x2的表達式的分子。

于是二元方程組的解的公式又可寫為

其中D≠0

例1 計算5?1=5×2-（-1）×3=13 32例2 設D??2?31

問：(1)當λ為何值時D=0(2)當λ為何值時D≠0 解：D??2?31=?2?3?

(1)當λ=0或3時，D=0(1)當λ≠0且λ≠3時，D≠0

二.三階行列式

含有三個未知量三個方程式的線性方程組的一般形式為

（1）

還是用加減消元法，即可求得方程組（1）的解的公式，當

時，有

（2）

這就是三元方程組的解的公式。這個公式更不好記，為了便于記它，于是引進三階行列式的概念。

（二）定義： 我們稱記號

為三階行列式。三階行列式所表示的6項的代數和，也用對角線法則來記憶：從左上角到右下角三個元素相乘取正號，從右上角到左下角三個元素取負號，即

（3）

由于公式（3）的行列式中的元素是三元方程組中未知量的系數，所以稱它為三元方程組的系數行列式，也用字母D來表示，即有

同理將D中第一列、第二列、第三列的元素分別換成常數項得到另外三個三階行列式，分別記為

于是有

就可以

按照三階行列式的定義，它們都表示6項的代數和；并且分別是公式（2）中x1，x2，x3 的表達式的分子，而系數行列式D是它們的分母。

123例3 405

?106解：原式=-58 例4 實數a，b滿足什么條件時

ab0?ba0?0 101ab0解：?ba0?a2?b2

a，b為實數，若要a2?b2?0，則a，b需同時等于零。

a10例5 1a0＞0的充分必要條件是什么？

411a10a10解：1a0=a2?1，即a＞1時，1a0＞0，411411a10所以1a0＞0的充分必要條件a＞1 411作業：課本35頁，1,2,3,4,5

第三篇：線性代數電子教案LA2-2B

6.伴隨矩陣：A?(aij)n?n, detA中元素aij的代數余子式為Aij．

?a11?a21

A??????an1a12a22?an2?a1n??A11?A?a2n??，A*??12???????ann??A1nA21A22?A2n?An1??An2??

????Ann?

重要性質：AA*?A*A?(detA)E

7.共軛矩陣：復矩陣A?(aij)m?n的共軛矩陣記作A?(aij)m?n．

算律：(1)(A?B)?A?B

(2)(kA)?kA

(3)(AB)?AB

(4)(A)?(A)?AH

§2.3 逆矩陣

定義：對于An?n, 若有Bn?n滿足AB?BA?E, 則稱A為可逆矩陣，且B為A的逆矩陣, 記作A?1?B．

定理1 若An?n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一．

證

設B與C都是A的逆矩陣, 則有

AB?BA?E, AC?CA?E

B?BE?B(AC)?(BA)C?EC?C

定理2 An?n為可逆矩陣?detA?0；

An?n為可逆矩陣?A?1?

證

必要性．已知A?1存在，則有

AA?1?E?detAdetA?1?1?detA?0

充分性．已知detA?0，則有

A*A*?A?E

AA?AA?(detA)E?AdetAdetA1A*．

由定義知A為可逆矩陣，且A?1?detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA?0時, 亦稱A為非奇異矩陣；

detA?0時, 亦稱A為奇異矩陣．

推論1 對于An?n, 若有Bn?n滿足AB?E, 則A可逆, 且A?1?B．

證 AB?E?detAdetB?1?detA?0?A可逆

A?1?A?1E?A?1(AB)?(A?1A)B?EB?B

推論2 對于An?n, 若有Bn?n滿足BA?E, 則A可逆, 且A?1?B．

算律：

(1)A可逆?A?1可逆, 且(A?1)?1?A．

對于A?1, 取B?A, 有A?1B?A?1A?E．

(2)A可逆, k?0?kA可逆, 且(kA)?1?A?1．

k11

對于kA, 取B?A?1, 有(kA)B?(kA)(A?1)?AA?1?E．

kk

(3)An?n與Bn?n都可逆?AB可逆, 且(AB)?1?B?1A?1．

對于AB, 取C?B?1A?1, 有

(AB)C?(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?E．

(4)A可逆?AT可逆, 且(AT)?1?(A?1)T．

對于AT, 取B?(A?1)T, 有ATB?AT(A?1)T?(A?1A)T?E．

(5)A可逆?detA?1?1． detA

(6)An?n與Bn?n都可逆?(AB)*?B*A*．

證(AB)*?[det(AB)](AB)?1?[(detA)(detB)][B?1A?1]

?[(deBt)B?1][(deAt)A?1]?B*A*

負冪：A可逆, 定義A0?E, A?k?(A?1)k(k?1,2,?), 則有

AkAl?Ak?l,(Ak)l?Akl

(k,l為整數)?3?10??54?1??, A?1?1A*?1?1012?3?

例1 A???211???55???1??1?14???01?

例2 設An?n滿足A2?2A?4E?O, 求(A?E)?1． 解

A2?2A?4E?O?A2?2A?3E?E

?(A?E)(A?3E)?E?(A?E)?1?A?3E

應用：

(1)n階線性方程組求解 An?nx?b, detA?0?x?A?1b

(2)求線性變換的逆變換 y?An?nx, detA?0?x?A?1y

(3)矩陣方程求解

設Am?m可逆, Bn?n可逆, 且Cm?n已知, 則

AX?C?X?A?1C

XB?C?X?CB?1

AXB?C?X?A?1CB?1

?21??5?10??, C??20? 滿足AX?C?2X, 求X．

例3 設A???231???????35???2?16??

解

并項：(A?2E)X?C

計算：X?(A?2E)?1C

0??54?1??21??31

??1012?3??20???7?1?

?????5??1?1??01???35????1?1?1??1? 滿足A*X?A?1?2X, 求X．

例4 設A???111???1??1?1? 9

解

并項：

(A*?2E)X?A?1

左乘A： [(detA)E?2A]X?E

t?4

計算：

deA

X?(4E?2A)?1?1(2E?A)?12?110?1? ??011?4?

密碼問題：

a?1, b?2,c?3, ? ,z?26

?123??01?1?

A???112? , A?1??2?2?1????

?012??????111??

action：1, 3, 20, 9, 15, 14 ?1??67??9??81?

加密：A??3???44????? , A??15???52?

?20????43???????14????43??發出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 ?

解密：A?1?67??44?????1??3??? , A?1?81??52??9?????15??

??43????20????43????14??明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

??101??§2.4 分塊矩陣

?1??1

A???0??0?1??1

A???0??00?11?010????A1102?1???A21?00?3?0?11?010????B102?1??00?3?A12? ?A22?B2B3B4?

用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．

特點：同行上的子矩陣有相同的“行數”；

同列上的子矩陣有相同的“列數”．

?A11?A1r??B11?B1r?????????B??, m?n????

???As1?Asr???Bs1?Bsr??

1.加法：Am?n?A11?B11?A1r?B1r?????

A?B??? ??As1?Bs1?Asr?Bsr?? 要求：A與B同階, 且分塊方式相同．

2.數乘：kAm?n?kA11?kA1r????????

??kAs1?kAsr??

3.乘法：Am?l?A11?A1t??B11?B1r?????????B??, l?n????

???As1?Ast???Bt1?Btr??

Cij??Ai1?B1j????Ait?????Ai1B1j???AitBtj

?Btj??? 11 ?C11?C1r????

AB???? ??Cs1?Csr?? 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．

?1?0

例1 A????1??1012100100?0????E0???A21?1?10420?1????B111???B21?0?O? E??0?1??12

B???10???1?1E? B22??B11?

AB???A21B11?B21?1?E???1??A21?B22???2???1024110330?1?? 3??1?

4.轉置：Am?nT?A11?A11?A1r???T????A?, ?????A1Tr??As1?Asr????AsT1???? T??Asr? 特點：“大轉”+“小轉”

5.準對角矩陣：設A1,A2,?,As都是方陣, 記

?A1?A1,A2,?,As)??

A?dia(g?????? ???As?A2

性質：(1)detA?(detA1)(detA2)?(detAs)

(2)A可逆?Ai(i?1,2,?,s)可逆

(3)Ai(i?1,2,?,s)可逆?A?1?A1?1????????1A2??? ???As?1???500??A1??

例2 A?031????O????021??A1?1?1

A???OO? A2??00??15?O?0? ?1?1?1???A2??0?23????AO??1M

例3 設Am?m與Bn?n都可逆, Cn?m, M??, 求． ??CB? 解 detM?(detA)(detB)?0?M可逆

?X1

M?1???X3X2? , X4???AO??X1?CB??X???3?X1??X2??X3??X4X2??Em???X4??O?A?1?O??BCA?B?1?1?1O? ?En??AX1?Em?AX?O?2

?

?CX1?BX3?O??CX2?BX4?En

M

?1?A?1O? ???1?1???BCAB?課后作業：習題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

第四篇：Matlab 與線性代數教案

Matlab 與線性代數

一、Matlab 入門：

1.啟動、退出、運行： 2.窗口介紹： 3.基本符號： =：賦值符號

[ ]：數組定義符號 , 區分列 函數參數分隔符;區分行 取消運行顯示 % 注釋標記

: 具有多種應用功能

4.matlab的變量(區分大小寫): 預定義變量: ans

pi 相關命令: format(顯示格式 rat long short)

who whos clear

5.M 文件（純文本文件，擴展名為.m）建立 修改 保存 運行

二、Matlab 與線性代數的基本運算

1.矩陣的輸入

數字矩陣：A=[1 2 3;3 2 1]

或 A=[1, 2, 3;3, 2, 1] 或 A=[1 2 3 2 1]

符號矩陣(顯示出來元素之間有逗號): 定義符號變量 sym syms

用法：(1).sym(‘[a,b,c;b,c,a]’)或 sym(‘[a b c;b c a]’)

(2).syms a b c

A=[a b c;b c a]

2.產生特殊矩陣的函數：

zeros(m,n)zeros(n)

ones(m,n)ones(n)eye(n)

magic(n)rand(m,n)randn(n)% 產生（0,1）區間均勻分布的隨機矩陣

3.相關命令：

round(A)% 表示對矩陣A中所有元素進行四舍五入 length(A)% 返回A的長度（列數）size(A)% 返回Ａ的尺寸，行數 列數 A(i,j)% 引用矩陣A的第i行第j列元素

4.矩陣的基本運算

(1).+-*.*

(2).轉置 A’

(3).方陣的冪：A^3

5.求向量組的極大無關組

A?[?1,?2,?3 ]

(1).U=rref(A)% U為A的行最簡形

(2).[U,s]=rref(A)% U為A的行最簡形, s為首非零元所在列組成的向量

(3).rrefmovie(A)% 返回A的行最簡形，且給出每一步化簡過程

6.求線性方程組的解

情形1。Ax=b，其中A為n階可逆陣

法1： x=inv(A)*b 或 x=A^(-1)*b

法2： U=rref([A,b])% 返回值U為矩陣的行最簡形，最后一列即為解x。

情形2。Ax=0, 其中A 為m*n 矩陣，R(A)=r

法1：U=rref(A), 選定自由變量，得到一組基礎解系

法2：z=null(A)

% z的列向量為Ax=0的一組標準正交基。

情形3。Ax=b, 其中A 為m*n 矩陣, 求通解

U=rref([A,b])從最后一列找特解，前n列找導出組的基礎解系，然后按格式寫

出Ax=b的通解。（或先寫出以U為增廣矩陣的同解方程組也可。）

?6x1?3x2?2x3?3x4?4x5?5??4x1?2x2?x3?2x4?3x5?4

例子: ?.4x?2x?3x?2x?x?02345?1?2x?x?7x?3x?2x?112345?(4).(5).(6).(7).方陣行列式 det(A)方陣的秩 rank(A)方陣的逆 inv(A)或 A^(-1)矩陣的除法 左除 右除/

AB=C

則 A=C/B B=AC 輸入：A=[6 3 2 3 4;4 2 1 2 3;4 2 3 2 1;2 1 7 3 2];

b=[5 4 0 1]’;

U=rref([A,b])?1?0得到：U???0??01/200001000010?3/4?17/20?3/2???2? 6??0???3/2???0??取x2,x5為自由變量，令x2?0,x5?0得Ax=b的特解?*???2?

??6???0???

??1/2??3/4?????10?????x2??1??0?分別令?????和??得導出組的基礎解系為：?1??0?，?2??1?

?????x5??0??1?0?7/2?????0??1?????3x2?4x5?x1??12?x3?x5或：導出組Ax=0的同解方程組：?，x2,x5為自由變量，分別令?x4??7x52???1/2??3/4?????10????x2?1,x5?0和x2?0,x5?1得導出組的基礎解系為：?1??0?，?2??1?。

????0?7/2?????0??1?????7.求矩陣的特征值與特征向量

(1).d=eig(A)% d為矩陣A的特征值構成的向量

(2).[V,D]=eig(A)% D為A 的特征值構成的對角陣，V 的列為A的單位特征向

量，與D中的特征值對應，滿足：A?VDV8.Schmidt 正交化方法

B=orth(A)% B的列向量為A的列空間的一組標準正交基，換句話說，B的列是

A的列向量的正交標準化，滿足B*B?eye(rank(A))。

9.用正交變換化二次型為標準形

先寫出所給二次型的矩陣A，則A為實對稱矩陣，[V,D]=eig(A)% D 為A的特征值構成的對角陣，V的列向量為A的正交單位特征

向量，次序與D的元素對應。滿足VAV?D?VT?1'?1，即AV?VD。

AV。

第五篇：線性代數--中國科技大學--典型教案

典型教案

第一章

線性方程組的解法

線性方程組就是一次方程組。

先來分析中學數學怎樣解二元一次方程組。看它的原理和方法是否可以推廣到一般的多元一次方程組。

例

1、解方程組

3x+4y=2

(1)

2x-5y=9

(2)

解、用加減消去法消元：

5x(1)式+4x(2)式：23x=46

(3)

2x(1)式-3x(2)式： 23y=-23(4)由（3）和（4）解出

x=2，y=-1。代入（1），（2）式檢驗知道它是原方程組的解。

以上解法的基本原理是: 由原方程(1)、(2)分別乘以適當的常數再相加，得到 各消去了一個未知數的新方程(3)、(4), 從中容易解出未知數的值來.將一組方程分別乘以常數再相加，得到的新方程稱為原來那一組方程的線性組合。原來那一組方程的公共解一定是它們的任意一個線性組合的解。

新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的線性組合,(1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解.但反過來, 由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解？ 這卻并不顯然。

因此需要將(3)、(4)的解代入(1)、(2)檢驗。

或者說明(1)、(2)也是(3)、(4)的線性組合。從而由(3)、(4)組成的方程組與原方程組同解.1.1.方程組的同解變形

1.線性方程組的定義

2.方程的線性組合:

方程的加法

方程乘以常數

方程的線性組合: 將 m 個方程分別乘以m 個已知常數，再將所得的m 個方程相加, 得到的新方程稱為原來那 m 個方程的一個線性組合

容易驗證: 如果一組數(c_1,c_2,…,c_n)是原來那些方程的公共解, 那么它也是這些方程的任一個線性組合的解.注意: 線性組合的系數中可以有些是 0, 甚至可以全部是 0.如果某些系數是 0, 所得到的線性組合實際上也就是系數不為 0 的那些方程的線性組合。

如果方程組(II)中每個方程其余都是方程組(I)中的方程的線性組合, 就稱方程組(II)是方程組(I)的線性組合.此時方程組(I)的每一組解也都是方程組(II)的解。

如果方程組(I)與方程組(II)互為線性組合, 就稱這兩個方程組等價。此時兩個方程組的同解。將方程組(I)變成方程組(II)的過程是同解變形。

解方程組的基本方法, 就是將方程組進行適當的同解變形, 直到最后得到的方程組的可以寫出來為止.3.基本的同解變形:

定理

1、方程組的以下三種變形是同解變形：

1.交換其中任意兩個方程的位置, 其余方程不變。

2.將任一個方程乘以一個非零的常數, 其余方程不變。

3.將任一方程的 $la$ 倍加到另一方程上, 其余方程不變。

證、只須證明原方程組(I)與變形后得到的新方程組(II)互為線性組合。

定理 1 所說的線性方程組的三類同解變形, 稱為線性方程組的初等變換。

這三類初等變換都是可逆的：如果方程組(I)通過初等變換變成了方程組(II), 則方程組(II)也可以通過初等變換變回(I)。

1.2.用消去法解方程組

反復利用定理 1 中所說的三種初等變換, 可以將線性方程組消元,求出解來。

例

1、解線性方程組（略）

以上是方程組有唯一解的例子。解的每個分量都是由方程組的系數經過加、減、乘、除四則運算得到.如果原方程組的系數都是實數, 由于實數集合對加、減、乘、除四則運算封閉(當然除數不允許為 0), 方程組的唯一解的所有分量就都是實數。同樣, 有理數集合對加、減、乘、除運算也封閉, 因此有理系數線性方程組的唯一解的分量也都是有理數.還可以考慮一般的系數范圍, 只要它們對加、減、乘、除四則運算封閉。

定義、設 F 是復數集合的子集, 至少包含一個非零的數, 并且在加、減、乘、除運算下封閉(除數不為 0), 就稱 F是數域。

例：復數集合 C、實數集合 R、有理數集合 Q。

按照這個術語, 我們有: 如果線性方程組的系數都在某個數域 F的范圍內, 并且這個方程組有唯一解, 則解的分量也都在 F 的范圍內。

以后, 凡是談到線性方程組, 總假定它的系數全都在某個數域 F 中, 稱它為F 上的線性方程組。解這個線性方程組的過程就只涉及到 F 中的數之間的加、減、乘、除四則運算。

以上在解方程組的過程中, 實際上只對各方程中各項的系數進行了運算(加、減、乘、除運算), 每次將代表未知數的字母抄寫一遍實際上是一種累贅.為了書寫的簡便, 更為了突出解方程組中本質的東西---系數的運算, 我們采用分離系數法,將線性方程組中代表未知數的字母略去, 將等號也略去, 只寫出各方程的各系數。將每個方程的各項系數從左到右依次寫成一行, 將各方程中同一個未知數的系數上下對齊, 常數項也上下對齊, 這樣得到一矩形數表, 來表示這個方程組。

例。

定義、對任意自然數 m,n, 由數域 F 中 m x n 個數排成 m 行、n 列所得到的數表, 稱為F 上的m x n矩陣。按照這個定義, 由 m 個 n 元線性方程組成的方程組用m行n+1列矩陣表示。每一行代表一個方程。每一列是同一未知數的系數或常數項。

定義、由數域 F 中 n 個數 a_i排成的有序數組(a_1,a_2,…,a_n)稱為 F 上的 n 數組向量。所有分量都為 0 的向量稱為零向量。

F 上全體n數組向量組成的集合稱為 F 上的 n 數組向量空間, 記作 F^n

特別, 每個線性方程用行向量表示.方程組的解在平常也可以用行向量表示, 以節省空間.但我們將看到, 作理論分析時, 用列向量來表示方程組的解有它的 優越性.將線性方程用向量表示, 線性方程組用矩陣表示之后, 線性方程的加法、數乘、線性組合等運算, 以及線性方程組的初等變換, 就對應于向量的如下運算和矩陣的如下基本變形。

n數組向量的加法，數乘，線性組合。

矩陣的三類初等行變換。

矩陣的三類初等行變換對應于線性方程組的三類基本同解變形。用基本同解變形對線性方程組消元的過程, 也就是用初等行變換將盡可能多的矩陣元素化為零的過程。

例。

附件5

教學效果調查報告

線性代數是一門比較困難的基礎課程，是學生從具體的內容到抽象內容過渡需要通過的一個難關。特別是數學專業的線性代數，難度就更大。由于我們采用了從問題出發、啟發式的教學方法，在引入抽象的概念時盡量從解決具體問題的需要出發、以比較自然的方式來引入，便于學生理解其背景和實質。這種教學方法收到很好的效果，學生普遍克服了害怕線性代數的情緒，培養了對這門課程乃至對代數學科的興趣。2000年上學期，學校教務處對全校435門課程進行了教學檢查，由學生對授課教師課堂教學質量評分。在以前這類檢查中，一般是比較易懂的課程更容易得到高分，而比較困難的課程難于得到高分。但在這次檢查中，李尚志教授承擔的《線性代數》課，以測評分4.89分的高分在全校總共435門課程中名列第三。這反映了該課程建設取得的很好的教學效果。