第一篇：線性代數教案-第三章 行列式及其應用

第三章行列式及其應用

本在線性代數應用于幾何、分析等領域時,行列式理論起著重要的作用,線性代數范疇的矩陣理論的進一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理論以及它的一些作用.一、教學目標與基本要求

（一）知識

1n階行列式的定義及性質

現將這些性質作為公理體系來定義n階行列式.設A?[aij]是任意一個n階方陣,用Ai記其第i行元素為分量的n元向量,即

2,?,n, Ai?(ai1,ai2,?,ain),i?1,并稱其為行向量.有序向量組{A1,?,An}所定義的實值函數d(A1,?,An)被稱為n階行列式函數,如果它滿足下列公理: 公理1 對每行具有齊性,即對任意實數t,有

?,n.d(?,tAk,?)?td(?,Ak,?),k?1,公理2 對每行都具加性.即對任意n元向量B,有

d(?,Ak?B,?)?d(?,Ak,?)?d(?,Ak?1,B,Ak?1,?), k?1,?,n.公理3若任意相鄰兩行相等,則行列式為零.即若Ak?Ak?1(k?1,?,n?1),則d(A1,?,An)?0.公理4 對于R中常用基{e1,?,en},有 nd(e1,?,en)?1.當{A1,?,An}取定,則稱d(A1,?,An)為一個n階行列式.有時也簡稱為n階行列式函數為n階行列式.n行列式常被記為detA,|A|,或

a11a21?an1a12a22??a1n?a2n?.an2?ann公理4意味著,對于n階單位方陣E,有 detE?|E|?1.前兩個公理意味著,行列式函數是它每一行的線性函數,即對任意一行(如第1行)而言,若t1,?,tp是任意p個實數,B1,?,Bp是任意p個n元向量(p是任意正整數),有

d(?tkBk, A2,?,An)??tkd(Bk,A2,?,An)

k?1k?1pp定理3.1.1滿足公理1,2,3的行列式函數d(A1,?,An)具有以下性質:(1)若行列式某一行為零,則此行列式為零.(2)對調行列式任意兩行,則行列式變號.(3)若行列式任意兩行相等,則此行列式為零.(4)若向量組{A1,?,An}是相關的,則行列式d(A1,?,An)?0.(5)把行列式某行乘以數加到另一行去,行列式值不改變.行列式的計算

例3.2.2設A是形如下式的n階對角方陣

?a11?0?????00a22?00??0??(a?0,i?j)

??ij??ann??則detA?a11a22?ann.由該例可得到: 例3.2.3設A是形如下式的n階上三角方陣

?a11??0??????0a12a22?0?a1n???a2n??(主對角線下方各元素為零)????ann??則detA?a11a22?ann.定理3.2.1 設d是滿足行列式公理1～4的n階行列式函數,f是滿足行列式公理1～3的n階行列式函數,則對任意選定的n元向量A1,?,An及R中常用基{e1,?,en},有

nf(A1,?,An)?d(A1,?,An)f(e1,?,en).(3.2.2)若f還滿足行列式公理4,則有

f(A1,?,An)?d(A1,?,An).?1定理3.2.2 若A是一個非奇異方陣(即A存在),則detA?0,且

detA?1?1 detA定理3.2.3 設A1,?,An是n個n元向量.該向量獨立的充要條件是d(A1,?,An)?0.本節最后,討論分塊對角方陣的行列式的簡便算法.定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分塊對角方陣成立著

?AO?det???detAdetB ??OB??本定理可以推廣到一般情形:若C是一個具有對角子塊A1,?,An的分塊對角方陣,即

?A1????C????????OA2?O??????, ????An??則detC?(detA1)(detA2)?(detAn).行列式的展開公式

定義3.3.1給定n階方陣A?[akj](n≥2).去掉其元素akj所在的第k行和第j列后,余下元素按原來位置構成的n?1階方陣,被稱為元素akj的余子陣,記為Akj.而稱detAkj為akj的余子式.定理3.3.1對任意n階方陣A?[akj](n≥2),有

??(?1)k?jdetAkj,k?1,?,n.(3.3.2)detAkj從而有

n?,n.(3.3.3)detA??akj(?1)k?jdetAkj,k?1,j?1此式被稱為行列式按第k行的展開式.定義3.3.2對行列式detA而言,稱(?1)k?jdetAkj為元素akj的代數余子式,記為cofakj.下面將利用數學歸納法來證明n階行列式函數的存在性,從而在理論上確立了n階行列式函數的存在唯一性.與此同時,可得到行列式按列展開的公式.定理3.3.2設n?1階行列式函數存在.對任意n階方陣A?[akj],定義函數

f(A1,?,An)??(?1)k?1ak1detAk1,(3.3.4)k?1n則它是n階行列式函數

定理3.3.3對任意n階方陣A?[akj],有

?(?1)j?1nni?j i?k?detA,(3.3.6)akjdetAij?? 0, i?k? i?k?detA,i?j(3.3.7)(?1)adetA???jkji i?kj?1? 0,定理3.3.4對任意n階方陣A?[akj],有

detA?detAT.4 伴隨陣及方陣的逆

定義3.4.1給定n階方陣A?[aij],稱n階方陣[cofaij]為A的伴隨陣,記為

TA*.據此定義知: A的伴隨陣A*位于第j行第i列的元素,就是A的元素aij的代數余子式

cofaij?(?1)i?jdetAij.定理3.4.1對任意n階方陣A?[aij](n≥2),有

AA*?(detA)E.?1又:若detA?0,則A存在,且有

A?1?1A*.detA?1定理3.4.2對任意n階方陣A而言,A存在得充分必要條件是detA?0.當detA?0,就有

A?1?11A*,detA?1? detAdetA5

矩 陣 的 秩

定義3.5.1在一個m?n矩陣A中,任取k行k列(k≤min(m,n)),位于這些行列交叉處的元素按原來位置構成的k階行列式,被稱為矩陣A的k階子式.A中不為零的子式.A中不為零的子式的最高階數,被稱為矩陣A的秩,記為R(A).若A沒有不為零的子式(等價的說法是: A是零矩陣),則認為其秩為零.推論 若A有一個r階子式不為零,而所有r?1階子式全為零,則R(A)?r.定理3.5.1初等變換不改變矩陣的秩.等價的說法是:若A～B(即A與B等價),則R(A)?R(B).若A是n階方陣且R(A)?n,則稱A為滿秩方陣.顯然,下列命題等價:(1)A是滿秩方陣.(2)detA?0.(3)A是可逆的(非奇異的).克萊姆法則

定理3.6.1對于含有n個未知量x1,?,xn的n個線性代數方程構成的方程組

?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2(3.6.1)?? ? ? ? ???an1x1?an2x2???annxn?bn,(或寫為?aj?1nij?,n.)xj?bi,i?1,如果其系數方陣A?[aij]是非奇異的(即detA?0),則它是唯一解.這里cofakj是方陣A的元素akj的代數余子式.式(3.6.2)表示的線性代數方程組(3.6.1)的解亦可表示為

xj?detCjdetA,j?1,?,n.(3.6.3)這里方陣Cj是A中第j列換為列陣b所成的n階方陣.讀者容易驗證(3.6.3)式右端與(3.6.2)式右端相等.二本章重點及難點

1、理解用公理定義行列式概念中的數學原理

2、利用公理4進行行列式計算

3、方陣的行列式及方陣可逆之間的關系

4、矩陣的秩

5、利用伴隨陣求解方陣的逆

6、克萊母法則

三：本章教學內容的深化和拓寬

１． ２． 若第四個公理改變,行列式的值如何改變 當克萊母法則法則的相關條件改變又如何? 四：思考題和習題

1(3)(4)

3(1)5(2)

7(3)

10(2)15 16(2)

五、教學方式（手段）

本章主要采用講授新課的方式。

第二篇：線性代數教案 第一節：低階行列式

《線性代數》教案

第一章：行列式 本章重點：行列式的計算及其性質的應用

本章難點：行列式的幾條性質的證明及利用這些性質計算行列式 基本要求：

1． 會用對角線法則計算2階行列式和3階行列式 2． 了解n階行列式的概念

3． 了解行列式的性質并掌握4階行列式的計算，會計算簡單的n階行列式 4． 了解克萊姆法則

第三篇：線性代數 第一單元(行列式)試卷(專升本)

第1題 標準答案：D 1-3-1 計算行列式

，結果＝（）。

A、60

B、70

C、80

D、90

第2題 標準答案：C 1-1-1 排列32145的逆序數是（）。

A、1

B、2

C、3

D、4

第3題 標準答案：B 1-2-1 已知3階行列式

計算：

的值，結果＝（）。

A、10 B、20

C、30

D、40

第四篇：線性代數 §1.2 n階行列式習題與答案

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

§1.2 n階行列式

為了得到更為一般的線性方程組的求解公式，我們需要引入n階行列式的概念。為此，先介紹排列的有關知識。

㈠排列與逆序：(課本P4)

１、排列的定義：由數碼1，2，…，n，組成一個有序數組i1i2?in，稱為一個n級排列。

【例1】1234是一個4級排列，3412也是一個4級排列，而52341是一個5級排列。(課本P4中例)

【例2】由數碼1，2，3 組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個。

【例3】數字由小到大的n級排列1234…n 稱為自然序排列。

２、逆序的定義：在一個n級排列i1i2?in中，如果有較大的數it排在is的前面，則稱it與is構成一個逆序。(課本P4)

【例4】在4 級排列3412中，31，32，41，42，各構成一個逆序，在5 級排列34152中，31，32，41，42，52，共構成5個逆序。

3、逆序數的定義：一個n級排列i1i2?in中逆序的總數，稱為這個排列的逆序數，記為N(i1i2?in)。(課本P4)【例5】排列3412的逆序數為N(3412)= 4，排列52341的逆序數為N(52341)= 7，自然序排列的逆序數為0。

4、奇、偶排列的定義：如果排列i1i2?in的逆序數N(i1i2?in)是奇數，第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

則將i1i2?in稱為奇排列；如果排列i1i2?in的逆序數N(i1i2?in)是偶數，則將i1i2?in稱為偶排列。(課本P4)

【例6】由于N(3412)= 4，知排列3412是偶排列，由于N(52341)=7，知排列52341是奇排列，由于N(123…n)= 0，知自然排列123…n是偶排列。

【例7】由數碼1，2，3組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個，其中，奇排列有132，213，321三個，偶排列有123，312，231三個。奇偶排列各占一半。

5、對換的定義：在一個n級排列i1?it?is?in中，如果其中某兩個數it與is對調位置，其余各數位置不變，就得到另一個新的n級排列i1?is?it?in，這樣的變換稱為一個對換，記作(it,is)。(課本P5)

【例8】在排列3412中，將4與2對換，得到新的排列3214。【例9】偶排列3412經過4與2的對換后，變成了奇排列3214；

反之，奇排列3214經過2與4的對換后，變成了偶排列3412。定理1.任意一個排列經過一個對換后，其奇偶性改變。(課本P5)定理的證明見課本P5。

【例10】奇排列132經對換(3，2)得到偶排列123，偶排列312經對換(1，2)得到奇排列321。

定理1.n個數碼(n?2)共有n！個n 級排列，其中奇、偶排列各占一半。(課本P6)

定理的證明見課本P6。

【例11】由數碼1，2，3組成的所有3級排列為：123，132，213，231，312，321共有3!= 6個，其中，奇排列有132，213，321三個，偶排列有 2 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

123，312，231三個。

相應練習見課本

【第四版】習題一(A)中的8大題。

= ㈡ n階行列式的定義：(課本P6)

我們從觀察二階、三階行列式的特征入手，引出n階行列式的定義。二階行列式為a11a21a12a22?a11a22?a12a21，a11三階行列式為a21a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，a31我們可以從二階、三階行列式中發現以下規律：

(1)二階行列式是2！項的代數和，三階行列式是3！項的代數和；(2)二階行列式中每一項是兩個元素的乘積，它們分別取自不同的行和不同的列，三階行列式中的每一項是三個元素的乘積，它們也是取自不同的行和不同的列；

(3)每一項的符號是：當這一項中元素的行標是按自然序排列時，如果元素的列標為偶排列，則取正號；為奇排列，則取負號。

作為二、三階行列式的推廣，我們給出n階行列式的定義。定義1.2 用n個元素aij（i,j?1,2,?,n）和雙豎線組成的記號 2 3 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

a11a21?an1a12?a1n

a22?a2n???an2?ann稱為n階行列式。有時簡記為aij。(課本P7)

n階行列式的定義包含如下的內容：

⑴構成：n階行列式的橫排稱為行，縱排稱為列。元素aij的第一個下標i表示這個元素位于第i行，稱為行標，第二個下標j表示這個元素位于第j列，稱為列標。(課本P7)

258【例12】三階行列式 A?147有3行3列共32 = 9個元素。

369其中，第二行元素為 1，4，7；第二列元素為5，4，6，元素7的位置為第2行第3列。

⑵含義：n階行列式是n!個項的代數和，其中每一項是取自不同行和不同列的n個元素的乘積。(課本P8)

由于一個項中的n個乘積元素來自不同的行，而乘法滿足交換率，故為方便分析，可以將n個元素按行碼的自然數順序排列，再分析列碼的狀態。

當行碼按自然序列排列后，列碼的不同排列即對應不同的項，由于n個元素共有不同排列n!個，從而n階行列式中共有n!個不同的項。【例13】一階行列式│a│= a只有1個項?！纠?4】三階行列式

a11A?a21a31a12a22a32a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 4 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31，共有3?。?個不同的項，a11a22a33和a13a21a32的元素都來自不同行且不同列，都可能是A中的一個項，而a11a21a33中的a11與a21同來自第1列，不是其中的一個項，a13a21a22中的a21與a22同來自第2行，也不是其中的一個項，a11a22a33與a22a11a33是同一個項，a11a23a32與a11a22a33是不同的項。

⑶各項符號：n階行列式中各項符號的確定有兩種方法：

①只考察列標的排列：若該項中各元素的行標按自然數順序排列，則列標構成的排列為偶排列時，該項取正號；為奇排列時，該項取負號。

亦即，將某項中各元素的行標按自然數順序排列后得到a1i1a2i2?anin，含ai1j1ai2j2?ainjn的項應帶符號為(?1)N(i1i2?in)。

于是n階行列式所表示的代數和中的一般項為

(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。(課本P7)

【例15】在5階行列式中，a12a23a35a41a54與a12a21a35a43a54這兩項各取什么符號？

【解】由于該兩項的行標已按自然數順序排列，故

a12a23a35a41a54應取符號為(?1)N(23514)?(?1)4??1，為正號，a12a21a35a43a54應取符號為(?1)N(21534)?(?1)3??1，為負號。

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

②綜合考察行標與列標的排列：若該項中各元素的行標構成的排列的逆序數為S，列標構成的排列的逆序數為T，則S+T為偶數時，該項取正號；S+T為為奇數時，該項取負號。

亦即，含ai1j1ai2j2?ainjn的項應帶符號為(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。

于是n階行列式所表示的代數和中的一般項為

(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn。(課本P10)

顯見，①為②的特例。

【例16】在5階行列式中，含a32a23a15a41a54或含a12a41a55a24a33的兩項各取什么符號？

【解】由于該兩項的行標未按自然數順序排列，故

含a32a23a15a41a54的項應取符號為

(?1)N(32145)?N(23514)?(?1)3?4??1，為負號，含a12a41a55a24a33的項應取符號為

(?1)N(14523)?N(21543)?(?1)4?4??1，為正號。

⑷ n階行列式的展開式：(課本P10)

n階行列式的展開式有兩種表達方式，一種較為簡單，是將各項元素的行標按自然數順序排列形式的表達式，另一種是各項元素任意排列的表達式。具體分別敘述如下：

①各項元素的行標按自然數順序排列時：

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

a11a21?an1其中，(?1)這里，a12?a1na22?a2n???an2?annN(i1i2?in)?1?i1,i2,?,in?n?(?1)N(i1i2?in)a1i1a2i2?anin。

a1i1a2i2?anin稱為n階行列式的一般項。

?為連加號，表示對該符號下的所有項求和。

于是，n階行列式展開后是n!個項的和，各項都含兩個因素：

1》n個來自不同行和不同列的元素的乘積，2》將一個項的n個元素的行標按自然數順序排列后，該項的符號由列標的排列數的奇偶性確定為(?1)②一般情況下：

N(i1i2?in)。

a11a21?an1a11?a1na22?a2n???an2?ann?j1j2?jn遍取所有n級排列?(?1)N(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn

?i1i2?in遍取所有n級排列j1j2?jn?(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn

其中，(?1)的普通形式。N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn是n階行列式的一般項于是，n階行列式展開后是n!個項的和，各項都含兩個因素：

1》n個來自不同行和不同列的元素的積。

2》一個項的符號由行標的排列數與列標的排列數的和的奇偶性確定為(?1)N(i1i2?in)?N(j1j2?jn)。

【例17】求4階行列式中帶負號且包含因子a11和a23的所有項。

第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

【解】4階行列式中，當行標按自然數順序排列后，包含因子a11和a23的項為(?1)a11a23a3ia4j其中，i,j可以分別是2，4之一。

由于2，4兩個數可以產生兩個不同的排列24和42，所以，4階行列式中包含因子a11和a23的所有項可以為(?1)N(1324)Na11a23a32a44或(?1)N(1342)a11a23a34a42兩項，但題目要求的是帶負號的項，而因為N(1324)?1為奇數，N(1342)?2為偶數，故4階行列式中帶負號且包含因子a11和a23的所有項只有一個，為(?1)N(1324)a11a23a32a44??a11a23a32a44。

【例18】判斷a14a23a31a42，a11a23a32a44，a11a24a33a44以及a31a24a43a12是a11否為四階行列式D?a12a22a32a42a13a23a33a43a14a24a34a44中的一項？ a21a31a41【解】①a14a23a31a42的行標為1234，這4個元素來自不同的行，列標為4312，這4個元素來自不同的列。由于行標已按自然數順序排列，其符號應為(?1)N(4312)?(?1)5??1，故a14a23a31a42不是4階行列式中的一項；

②a11a23a32a44的行標為1234，這4個元素來自不同的行，列標為1324，這4個元素來自不同的列。由于行標已按自然數順序排列，其符號應為(?1)N(1324)?(?1)1??1，故a11a23a32a44不是4階行列式中的一項；

③a11a24a33a44的行標為1234，這4個元素來自不同的行，列標為1434，這4個元素中a24和a44都來自相同的第4列。故a11a24a33a44不是4 8 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

階行列式中的一項；

④a31a24a43a12的行標為3241，這4個元素來自不同的行，列標為1432，這4個元素來自不同的列。其符號應為(?1)故a31a24a43a12不是4階行列式中的一項；

N(3241)?N(1432)?(?1)4?3??1，)【例19】若(?1N(i432k)?N(521j4)ai5a42a3ja21a4k是五階行列式aij的一項，則j,j,k應為何值？此時該項的符號是什么？（課本P11例2）

【解】①由于行列式定義規定每一項的元素來自不同行不同列，故五階行列式的項中，行標和列標都只能是1，2，3，4，5這五個數字的排列，從而，該項的列標52j14中的j只能是3，該項的行標i432k中的i和k只能從1和5中選擇，于是i?1,k?5或i?5,k?1，綜合起來，應得兩組答案：i?1,j?3,k?5或i?5,j?3,k?1。

②當i?1,j?3,k?5時，該項的符號是

(?1)N(14325)?N(52314)?(?1)3?6??1，即?a15a42a33a21a54是五階行列式aij的一項；

當i?5,j?3,k?1時，該項的符號是

(?1)N(54321)?N(52314)?(?1)10?6??1，即a55a42a33a21a14是五階行列式aij的一項。

a【例20】計算行列式

b0h0e000f0。00gcd 9 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

【解】由于該4階行列式的各項中，只要含有一個0元素，該項就為0，所以，要計算該4階行列式，只須找到其由不同行不同列的4個非0元素相乘的所有項。

考慮到來自不同行及不同列的要求，該4階行列式不為0的項，使行標按自然數順序排列后，只有含adfh及含bdfg的兩個，而含adfh的項，其符號為(?1)N(1342)?(?1)2??1，知該項為adfh，?(?1)3??1，知該項為含bdfg的項，其符號為(?1)N(2341)?bdfg，a從而，b0h0e000f***11?adfh?bdfg。00gcd【例21】用行列式定義計算。（課本P11）

【解】用aij表示行列式中第i行第j列元素，由于該4階行列式的各項中，只要含有一個0元素，該項就為0，所以，要計算該4階行列式，只須找到其不為0的所有項。而要得到非0項，項中各元素必須非0！

【解法一】第一行若取a12，這樣第二行無論取a21還是a23，第三行都必然取到0，這樣無法得到非0項；

第一行若取a14，這樣第二行無論取a21還是a23，第三行都必然取a32，10 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

這時，當第二行取a21時，取完第三行后得到a14a21a32，第四行可取a43，當第二行取a23時，取完第三行后得到a14a23a32，第四行必然取到0，綜上知，該行列式中僅有含a14a21a32a43的一項非0，該項符號為(?1)N(4123)?(?1)3??1，于是，由于a14?a21?a32?a43?1，得

***1【解法二】由于第三行只有一個非零元，故可以從它入手，按不同行不同列的原則去確定展開式中的項的構成：

取定a32后，第一行就只能取a14了，從而第四行也就只能取a43了，于是，最后確定第二行只能取a21了。于是確定展開式中僅有一個非零項，它由a14，a21，a32，a43構成，而含這四個元素的項的符號由逆序數N(4123)?3確定，為負號，??1。

0101即知，101001000011??1。

【例22】計算上、下三角形行列式和對角形行列式。

【補充定義】上三角形行列式就是主對角線下方元素全為0的行列式，下三角形行列式就是主對角線上方元素全為0的行列式，對角形行列式就是主對 11 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

角線以外元素全為0的行列式?！窘狻肯扔嬎闵先切涡辛惺降闹担?/p>

a1100?0a12a220?0a13?a1na23?a2na33?a3n ???0?ann要得到其非零項，第一列元素只能取a11，這時，第二列元素只能取a22，從而，第三列元素只能取a33，…，最后，第n列元素只能取ann，于a110是，0a12a220?0a13?a1na23?a2na33?a3n?a11a22a33?ann。???0?ann?0結論：上三角形行列式的值等于其主對角線上元素的相乘積。同樣道理，下三角形行列式和對角形行列式的值都等于其主對角線上元素的相乘積。

a11a21a31?an1a1100?00a22a32?an20a220?000??000?a11a22a33?ann，a33????an3?ann00??000?a11a22a33?ann。

a33?0????ann結論是：上三角形、下三角形、對角形行列式的計算結果，都是主對角 12 第一章

行列式 ——

§1.2 n階行列式

線上元素的相乘積。

相應練習見課本

【第四版】課本習題一(A)中的⒏⒐⒑⒒12.大題。

第五篇：考研輔導--線性代數--第1章行列式

考研輔導《線性代數》教案-1

第一章 行列式

◆ 基礎知識概要

1.n階行列式的定義

二階行列式

a11a21a11a21a31a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21.三階行列式.a13a23a33?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31.對角線法則：

n階行列式的定義

a11a12?a1naa22?a2nD?21?????an1an2?anntj1,j2,???,jn???1?at1j1a2j2...anjn, 它是取自不同行不同列的n個數的乘積a1j1a2j2...anjn的代數和（共n!項），其中各項的符號為??1?，t代表排列j1,j2,???,jn的逆序數，簡記為detaij.??n階行列式也可定義為D????1?tai1ai2...ain，其中t為行標i1,i2,???,in排

i1,i2,???,in12n列的逆序數.例1.1 計算行列式

?1（1）?2?；

?n?1（2）?2?.?n-1

考研輔導《線性代數》教案-1 a11D?a21???an1a12a22???an2???a1i???a2i???ani???a1n????a11a21???an1a12a22???an2???a2n???ann?i???a1n???a1?i???a2n???a2????????????????ann???ani?????????.（6）把行列式的某一行(列)的各元素的k倍加到另一行(列)的對應元素上，行列式的值不變.注：（1）交換行列式的第i,j兩行（或列），記作ri?ri（或ci?cj）；（2）第i行（列）提出公因子k，記作ri?k（或ci?k）；

（3）以數k乘第j行（列）加到第i行（列）上，記作ri?krj（或ci?kcj）.范德蒙（Vandermonde）行列式

1x1Vn?x12?x1n?11x22x2?n?1x21x32x3?2???xi?xj? ???xn1?j?i?n????1???xnn?1n?1x3???xn注 右邊是“大指標減小指標”.例1.2 計算行列式

11?1?1?12D?25213122

練習：計算行列式

3133.（答：）42131?12?513?4（1）D?；（答：40）

201?11?53?3-3

考研輔導《線性代數》教案-1 D?ai1Ai1?ai2Ai2?????ainAin??aikAik?i?1,2,???,n?，k?1n或

D?a1jA1j?a2jA2j?????anjAnj??akjAkj?j?1,2,???,n?.k?1n注：此定理的主要作用是——降階.推論 行列式的任一行（列）的各元素與另一行（列）對應的代數余子式乘積之和等于零，即

nD?ai1Aj1?ai2Aj2?????ainAjn??aikAjk?0?i?j?，k?1或

D?a1iA1j?a2iA2j?????aniAnj??akiAkj?0?i?j?.k?1n例1.3 用降階的方法解例1.2.練習：用降階的方法求解上面練習第（1）題.1?2例1.4 設A?3?413422?141，求

1206（1）A12?2A22?3A32?4A42；（2）A31?2A32?A34.解（1）A12?2A22?3A32?4A42?a12A12?a21A22?a31A32?a41A42?0.（2）因為Aij的大小與元素aij無關，因此，1?2A31?2A32?A34?1?4 練習： 13222?1141?4?01106?411222?1?41303??2121?40.01?42606-5

考研輔導《線性代數》教案-1 D?1?i1?i2?????ik?n??ii???i??ii???i?A?12k???Ac?12k?.?j1j2???jk??j1j2???jk??i1i2???ik???i1i2???ik?A???Ac??.jj???jjj???jk?k??12?12類似地，任意選定k行1?i1?i2?????ik?n，則

D?證（略）

1?j1?j2?????jk?n?注 這是定理1.2的推廣，它仍然是一種——降階的思想.例1.4 在行列式

120?1D?1001中取定1，2行，得到6個子式

121341 31?1,2?12?1,2?1A?????1，A????1,2?0?1?1,3?0212?1,2??1,2?A???5，A????2,3?122,4?????1對應的代數余子式分別是

1?1,2?14?2，A????1，2?1,4?014?1,2?14?6，A?????7.1?3,4?21?1,2??1?2???1?2??Ac?????1??1,2??1,2??1?2???1?4??Ac?????1??1,4?13301?1,2??1?2???2?4?1?Ac?????1?2,40??由Laplace展開定理可知

?1,2??1?2???1?3?03??8，?Ac?????1??3，111?1,3?1?1,2??1?2???2?3?13??1，?Ac???1?1，???301?2,3?1?1,2??1?2???3?4?10?，??3Ac??1.????1?301?3,4?D???1????8??2?3?1???1??5?1?6???3????7??1??7.例1.5 證明

考研輔導《線性代數》教案-1

◆ 行列式的計算舉例

xaa?aaxa?a例1.6 計算n階行列式Dn?aax?a

?????aaa?x解法1

x?(n?1)aaa?ax?(n?1)ax?(n?1)axa?ar?r0i1?x?(n?1)aax?a0i?2,3,?n??????x?(n?1)aaa?x0n?1DnC1?Cii?2,3,?n?ax?a0?0a0x?a?0?a?0?0 ???x?a ??x?(n?1)a??x?a?解法2

0a?a0x?a?0??????aaa?xn0xaxaa?a1.axaaa?aa?ari?r11?1i?2,3,?n?1?1??n?1a00?0a0a0??a000?aDn?a?1x?aaxa?aaax?a?????aaa?xx?a0?0x?a????00

?1?x?an?1①如果x?a，則

1?1Dn??1?1?1a0000a0000a0000?????a0000?0

??????n?1②如果x?a，則

1?xna?aDnCC1?x?iaax?a00?0a0x?a0?0a?a000na)(x?a)nx?ai?2,3,?n?1?000?00?0?x?a??0-9

000000

?x?1?考研輔導《線性代數》教案-1 a?aD2n?a?ccbd??b0??0a???ac0bdb???b(?1)1?2n??d?0??0c ?0d0?????0dc0?????0 ?adD2(n?1)?bc(?1)2n?1?1D2(n?1)?(ad?bc)D2(n?1), D2n?(ad?bc)D2(n?1)?(ad?bc)2D2(n?2)???(ad?bc)n?1D2?(ad?bc)n?1acbd?(ad?bc)n.解法2 利用Laplace展開定理，選定第1行和第2n行展開，則

D2n?1?j1?j2?2n??1,2n???1,2n?A???Ac??

j,jj,j?12??12??1,2n???1,2n???Ac?? ?1,2n??1,2n?ab?1?2n???1?2n? ????1?D2?n?1?

cd ?A? ??ad?bc??D2?n?1????? ?(ad?bc)n?1acb d ?(ad?bc)n.練習：計算n階行列式

12（1）Dn?2222222?2?3?2?222n；（答：?2?n?2?!）

?????a0111a10（2）Dn?10a2???100????100，其中a1???an?1?n?1?1?a???aa?（答：1 ?0；?）?n?1?0ai?1i???an?1-11

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