第一篇：線性代數(shù)電子教案LA4-1B

第四章

向量組的線性相關(guān)性

§4.1 向量及其運(yùn)算

1．向量：n個數(shù)a1,a2,?,an構(gòu)成的有序數(shù)組, 記作??(a1,a2,?,an)，稱為n維行向量．

ai–– 稱為向量?的第i個分量

ai?R–– 稱?為實(shí)向量（下面主要討論實(shí)向量）

ai?C–– 稱?為復(fù)向量

零向量：??(0,0,?,0)

負(fù)向量：(??)?(?a1,?a2,?,?an)

2．線性運(yùn)算：??(a1,a2,?,an), ??(b1,b2,?,bn)

相等：若ai?bi(i?1,2,?,n), 稱???．

加法：????(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)

數(shù)乘：k??(ka1,ka2,?,kan)

減法：??????(??)?(a1?b1,a2?b2,?,an?bn)

3．算律：??(a1,a2,?,an), ??(b1,b2,?,bn), ??(c1,c2,?,cn)

(1)

(2)

(3)

(4)ΔΔΔ???????

(5)1???

(???)?????(???)

(6)k(l?)?(kl)?

?????

(7)k(???)?k??k? ??(??)??

(8)(k?l)??k??l?

?a1??a?2 4．列向量：n個數(shù)a1,a2,?,an構(gòu)成的有序數(shù)組, 記作????，??????an?

或者??(a1,a2,?,an)T, 稱為n維列向量． ?0??0?

零向量：????

負(fù)向量：(??)???????0???a1???a??2? ??????a?n? 5．內(nèi)積：設(shè)實(shí)向量??(a1,a2,?,an), ??(b1,b2,?,bn), 稱實(shí)數(shù)

[?,?]?a1b1?a2b2???anbn為?與?的內(nèi)積．

算律：??(a1,a2,?,an), ??(b1,b2,?,bn), ??(c1,c2,?,cn)

(1)[?,?]?[?,?]

(2)[k?,?]?k[?,?]

（k為常數(shù)）

(3)[???,?]?[?,?]?[?,?]

(4)???時, [?,?]?0；???時, [?,?]?0．

(5)[?,?]2?[?,?]?[?,?]

證(5)?t?R, 由[??t?,??t?]?0可得

[?,?]?2[?,?]t?[?,?]t2?0

??0?4[?,?]2?4[?,?]?[?,?]?0

?[?,?]2?[?,?]?[?,?]

6．范數(shù)：設(shè)實(shí)向量?, 稱實(shí)數(shù) ??[?,?]為?的范數(shù)．

性質(zhì)：(1)???時, ??0；???時, ??0．

(2)k??k??

(?k?R)

(3)???????

(4)???????

證(3)???2?[???,???]?[?,?]?2[?,?]?[?,?]

???2????2??????

證(4)???????????,????(??)

???????????

????(??)???????

7．夾角：設(shè)實(shí)向量???,???, 稱 ??arccos

為?與?之間的夾角．

正交：若[?,?]?0, 稱?與?正交, 記作???．

(1)???,???時, ??????[?,?]??(0????)

?2；

(2)???或???時, ???有意義, 而?無意義．

單位化：若???, 稱?0?

§4.2 向量組的線性相關(guān)性

1．線性組合：對n維向量?及?1,?,?m, 若有數(shù)組k1,?,km使得

??k1?1???km?m, 稱?為?1,?,?m的線性組合，或?可由?1,?,?m線性表示．

?1??1??3??5???例1 ?1??0?, ?2??1?, ?3??1?, ?4??3? ???????????1????1????1???1??1??為與?同方向的單位向量．

判斷?4可否由?1,?2,?3線性表示? 解

設(shè)?4?k1?1?k2?2?k3?3，比較兩端的對應(yīng)分量可得 3??k1??5??k1??0??11?k???3??k???2??1?

?01, 求得一組解為2?2??? ????????1????11?1????1???k3????k3???

于是有?4?0?1?2?2?1?3, 即?4可由?1,?2,?3線性表示．

?k1??2????? [注] 取另一組解?k2???3?時, 有?4?2?1?3?2?0?3．

??0???k3??? 2．線性相關(guān)：對n維向量組?1,?,?m, 若有數(shù)組k1,?,km不全為0, 使得

k1?1???km?m??

稱向量組?1,?,?m線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān)．

線性無關(guān)：對n維向量組?1,?,?m, 僅當(dāng)數(shù)組k1,?,km全為0時, 才有

k1?1???km?m??

稱向量組?1,?,?m線性無關(guān), 否則稱為線性相關(guān)． [注] 對于單個向量?：若???, 則?線性相關(guān)；

若???, 則?線性無關(guān)．

例2 判斷例1中向量組?1,?2,?3,?4的線性相關(guān)性．

解

設(shè)k1?1?k2?2?k3?3?k4?4??, 比較兩端的對應(yīng)分量可得

?k1?35????0??11??k2???0? 13?

?01??k???3???11?11???k???0??4??

即Ax?0．因?yàn)槲粗康膫€數(shù)是4, 而rankA?4, 所以Ax?0

有非零解, 由定義知?1,?2,?3,?4線性相關(guān)．

例3 已知向量組?1,?2,?3線性無關(guān), 證明向量組

?1??1??2, ?2??2??3, ?3??3??1

線性無關(guān)．

證

設(shè) k1?1?k2?2?k3?3??, 則有

(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3??

因?yàn)?1,?2,?3線性無關(guān), 所以

?k1?k3?0?

?k1?k2?0 , 即

?k?k?03?2?101??k1??0??110??k???0????2??? ??011????0???k3???101

系數(shù)行列式 110?2?0, 該齊次方程組只有零解．

011

故?1,?2,?3線性無關(guān)．

例4 判斷向量組

e1?(1,0,0,?,0), e2?(0,1,0,?,0), …, en?(0,0,?,0,1)的線性相關(guān)性．

解

設(shè) k1e1?k2e2???knen??, 則有

(k1,k2,?,kn)???只有k1?0,k2?0,?,kn?0

故e1,e2,?,en線性無關(guān)．

例5 設(shè)?1,?2,?,?m兩兩正交且非零, 證明該向量組線性無關(guān)．

證 設(shè) k1?1?k2?2???km?m??, 兩端與?i作內(nèi)積可得

k1[?1,?i]???ki[?i,?i]???km[?m,?i]?[?,?i]

當(dāng)i?j時, [?i,?j]?0, 于是有

ki[?i,?i]?0?只有ki?0(??i??)

上式對于i?1,2,?,m都成立, 故?1,?2,?,?m線性無關(guān)．

3．判定定理

定理1 向量組?1,?2,?,?m(m?2)線性相關(guān)?

其中至少有一個向量可由其余m?1個向量線性表示．

證 必要性．已知?1,?2,?,?m線性相關(guān), 則存在k1,k2,?,km不全為零，使得

k1?1?k2?2???km?m??

不妨設(shè)k1?0, 則有 ?1?(?kk2)?2???(?m)?m． k1k1

充分性．不妨設(shè) ?1?k2?2???km?m, 則有

(?1)?1?k2?2???km?m??

因?yàn)??1),k2,?,km不全為零, 所以?1,?2,?,?m線性相關(guān)．

定理2 若向量組?1,?2,?,?m線性無關(guān), ?1,?2,?,?m,?線性相關(guān)，則?可由?1,?2,?,?m線性表示, 且表示式唯一．

證 因?yàn)?1,?,?m,?線性相關(guān), 所以存在數(shù)組k1,?,km,k不全為零，使得

k1?1???km?m?k???

若k?0, 則有 k1?1???km?m???k1?0,?,km?0．矛盾!

故k?0, 從而有 ??(?kk1)?1???(?m)?m． kk

下面證明表示式唯一：

若

??k1?1???km?m, ??l1?1???lm?m

則有

(k1?l1)?1???(km?lm)?m??

因?yàn)?1,?2,?,?m線性無關(guān), 所以

k1?l1?0,?,km?lm?0?k1?l1,?,km?lm

即?的表示式唯一．

定理3 ?1,?,?r線性相關(guān)??1,?,?r,?r?1,?,?m(m?r)線性相關(guān)．

證 因?yàn)?1,?,?r線性相關(guān), 所以存在數(shù)組k1,?,kr不全為零, 使得

k1?1???kr?r?? ? k1?1???kr?r?0?r?1???0?m??

數(shù)組k1,?,kr,0,?,0不全為零, 故?1,?,?r,?r?1,?,?m線性相關(guān)．

推論1 含零向量的向量組線性相關(guān)．

推論2 向量組線性無關(guān)?任意的部分組線性無關(guān)．

課后作業(yè)：習(xí)題四

1, 2, 3, 4, 5

第二篇：線性代數(shù)電子教案LA2-2B

6.伴隨矩陣：A?(aij)n?n, detA中元素aij的代數(shù)余子式為Aij．

?a11?a21

A??????an1a12a22?an2?a1n??A11?A?a2n??，A*??12???????ann??A1nA21A22?A2n?An1??An2??

????Ann?

重要性質(zhì)：AA*?A*A?(detA)E

7.共軛矩陣：復(fù)矩陣A?(aij)m?n的共軛矩陣記作A?(aij)m?n．

算律：(1)(A?B)?A?B

(2)(kA)?kA

(3)(AB)?AB

(4)(A)?(A)?AH

§2.3 逆矩陣

定義：對于An?n, 若有Bn?n滿足AB?BA?E, 則稱A為可逆矩陣，且B為A的逆矩陣, 記作A?1?B．

定理1 若An?n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一．

證

設(shè)B與C都是A的逆矩陣, 則有

AB?BA?E, AC?CA?E

B?BE?B(AC)?(BA)C?EC?C

定理2 An?n為可逆矩陣?detA?0；

An?n為可逆矩陣?A?1?

證

必要性．已知A?1存在，則有

AA?1?E?detAdetA?1?1?detA?0

充分性．已知detA?0，則有

A*A*?A?E

AA?AA?(detA)E?AdetAdetA1A*．

由定義知A為可逆矩陣，且A?1?detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA?0時, 亦稱A為非奇異矩陣；

detA?0時, 亦稱A為奇異矩陣．

推論1 對于An?n, 若有Bn?n滿足AB?E, 則A可逆, 且A?1?B．

證 AB?E?detAdetB?1?detA?0?A可逆

A?1?A?1E?A?1(AB)?(A?1A)B?EB?B

推論2 對于An?n, 若有Bn?n滿足BA?E, 則A可逆, 且A?1?B．

算律：

(1)A可逆?A?1可逆, 且(A?1)?1?A．

對于A?1, 取B?A, 有A?1B?A?1A?E．

(2)A可逆, k?0?kA可逆, 且(kA)?1?A?1．

k11

對于kA, 取B?A?1, 有(kA)B?(kA)(A?1)?AA?1?E．

kk

(3)An?n與Bn?n都可逆?AB可逆, 且(AB)?1?B?1A?1．

對于AB, 取C?B?1A?1, 有

(AB)C?(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?E．

(4)A可逆?AT可逆, 且(AT)?1?(A?1)T．

對于AT, 取B?(A?1)T, 有ATB?AT(A?1)T?(A?1A)T?E．

(5)A可逆?detA?1?1． detA

(6)An?n與Bn?n都可逆?(AB)*?B*A*．

證(AB)*?[det(AB)](AB)?1?[(detA)(detB)][B?1A?1]

?[(deBt)B?1][(deAt)A?1]?B*A*

負(fù)冪：A可逆, 定義A0?E, A?k?(A?1)k(k?1,2,?), 則有

AkAl?Ak?l,(Ak)l?Akl

(k,l為整數(shù))?3?10??54?1??, A?1?1A*?1?1012?3?

例1 A???211???55???1??1?14???01?

例2 設(shè)An?n滿足A2?2A?4E?O, 求(A?E)?1． 解

A2?2A?4E?O?A2?2A?3E?E

?(A?E)(A?3E)?E?(A?E)?1?A?3E

應(yīng)用：

(1)n階線性方程組求解 An?nx?b, detA?0?x?A?1b

(2)求線性變換的逆變換 y?An?nx, detA?0?x?A?1y

(3)矩陣方程求解

設(shè)Am?m可逆, Bn?n可逆, 且Cm?n已知, 則

AX?C?X?A?1C

XB?C?X?CB?1

AXB?C?X?A?1CB?1

?21??5?10??, C??20? 滿足AX?C?2X, 求X．

例3 設(shè)A???231???????35???2?16??

解

并項(xiàng)：(A?2E)X?C

計(jì)算：X?(A?2E)?1C

0??54?1??21??31

??1012?3??20???7?1?

?????5??1?1??01???35????1?1?1??1? 滿足A*X?A?1?2X, 求X．

例4 設(shè)A???111???1??1?1? 9

解

并項(xiàng)：

(A*?2E)X?A?1

左乘A： [(detA)E?2A]X?E

t?4

計(jì)算：

deA

X?(4E?2A)?1?1(2E?A)?12?110?1? ??011?4?

密碼問題：

a?1, b?2,c?3, ? ,z?26

?123??01?1?

A???112? , A?1??2?2?1????

?012??????111??

action：1, 3, 20, 9, 15, 14 ?1??67??9??81?

加密：A??3???44????? , A??15???52?

?20????43???????14????43??發(fā)出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 ?

解密：A?1?67??44?????1??3??? , A?1?81??52??9?????15??

??43????20????43????14??明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

??101??§2.4 分塊矩陣

?1??1

A???0??0?1??1

A???0??00?11?010????A1102?1???A21?00?3?0?11?010????B102?1??00?3?A12? ?A22?B2B3B4?

用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．

特點(diǎn)：同行上的子矩陣有相同的“行數(shù)”；

同列上的子矩陣有相同的“列數(shù)”．

?A11?A1r??B11?B1r?????????B??, m?n????

???As1?Asr???Bs1?Bsr??

1.加法：Am?n?A11?B11?A1r?B1r?????

A?B??? ??As1?Bs1?Asr?Bsr?? 要求：A與B同階, 且分塊方式相同．

2.數(shù)乘：kAm?n?kA11?kA1r????????

??kAs1?kAsr??

3.乘法：Am?l?A11?A1t??B11?B1r?????????B??, l?n????

???As1?Ast???Bt1?Btr??

Cij??Ai1?B1j????Ait?????Ai1B1j???AitBtj

?Btj??? 11 ?C11?C1r????

AB???? ??Cs1?Csr?? 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．

?1?0

例1 A????1??1012100100?0????E0???A21?1?10420?1????B111???B21?0?O? E??0?1??12

B???10???1?1E? B22??B11?

AB???A21B11?B21?1?E???1??A21?B22???2???1024110330?1?? 3??1?

4.轉(zhuǎn)置：Am?nT?A11?A11?A1r???T????A?, ?????A1Tr??As1?Asr????AsT1???? T??Asr? 特點(diǎn)：“大轉(zhuǎn)”+“小轉(zhuǎn)”

5.準(zhǔn)對角矩陣：設(shè)A1,A2,?,As都是方陣, 記

?A1?A1,A2,?,As)??

A?dia(g?????? ???As?A2

性質(zhì)：(1)detA?(detA1)(detA2)?(detAs)

(2)A可逆?Ai(i?1,2,?,s)可逆

(3)Ai(i?1,2,?,s)可逆?A?1?A1?1????????1A2??? ???As?1???500??A1??

例2 A?031????O????021??A1?1?1

A???OO? A2??00??15?O?0? ?1?1?1???A2??0?23????AO??1M

例3 設(shè)Am?m與Bn?n都可逆, Cn?m, M??, 求． ??CB? 解 detM?(detA)(detB)?0?M可逆

?X1

M?1???X3X2? , X4???AO??X1?CB??X???3?X1??X2??X3??X4X2??Em???X4??O?A?1?O??BCA?B?1?1?1O? ?En??AX1?Em?AX?O?2

?

?CX1?BX3?O??CX2?BX4?En

M

?1?A?1O? ???1?1???BCAB?課后作業(yè)：習(xí)題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

第三篇：線性代數(shù)電子教案LA3-1B

第三章

矩陣的初等變換

§3.1 矩陣的秩

1.子式：在Am?n中, 選取k行與k列, 位于交叉處的k2個數(shù)按照原來的 相對位置構(gòu)成k階行列式, 稱為A的一個k階子式, 記作Dk．

k

對于給定的k, 不同的k階子式總共有CkmCn個．

2.矩陣的秩：在Am?n中，若

(1)有某個r階子式Dr?0；

(2)所有的r?1階子式Dr?1?0（如果有r?1階子式的話）．

稱A的秩為r, 記作rankA?r, 或者 r(A)?r．規(guī)定：rankO?0

性質(zhì)：(1)rankAm?n?min{m,n}

A

(2)k?0時rank(kA)?rankAT?rankA

(3)rankA?r

(4)A中的一個Dr?0?rankA?r

(5)A中所有的Dr?1?0?rank82??2?3 例1 A??212?212?, 求r(A)． ???314??1? 解

位于1,2行與1,2列處的一個2階子式D2?2?3?30?0

212

計(jì)算知, 所有的3階子式D3?0, 故r(A)?2． [注] Am?n, 若rankA?m, 稱A為行滿秩矩陣；

若rankA?n, 稱A為列滿秩矩陣．

An?n, 若rankA?n, 稱A為滿秩矩陣（可逆矩陣, 非奇異矩陣）；

若rankA?n, 稱A為降秩矩陣（不可逆矩陣, 奇異矩陣）．

§3.2 矩陣的初等變換

1.初等變換

行變換

列變換

① 對調(diào)

ri?rj

ci?cj

② 數(shù)乘(k?0)kri kci

③ 倍加 ri?krj ci?kcj

Am?n經(jīng)過初等變換得到Bm?n, 記作Am?n?Bm?n．

2.等價(jià)矩陣：若Am?n?Bm?n, 稱Am?n與Bm?n等價(jià), 記作Am?n?Bm?n．

(1)自反性：A?A

(2)對稱性：Am?n?Bm?n?Bm?n?Am?n

(3)傳遞性：Am?n?Bm?n, Bm?n?Cm?n?Am?n?Cm?n

定理1 Am?n?Bm?n?rankA?rankB．

1次有限次k?ranBk．

證

只需證明Am?n?Bm?n?ranAk?r, 僅證行變換之(3)的情形：

設(shè)ranA?????????i??ri?krj?i

A???????????j?????????{m,n}, 則有

(1)若r?min???k?j?????B

??j????B)(B)(A)

Dr(?1不含ri：Dr?1?Dr?1?0

B)(B)(A)(A)

Dr(?含, 不含：rD?D?kDrir?1r?1r?1?0 1j 2

D(B)r?1含ri, 且含rj：D(B)r?1倍加A)?Dr(?1?0

B)k?r?ranAk

故B中所有的r?1階子式Dr(?1?0?ranBri?krjk?ranBk, 于是可得rankA?rankB．

B?A?ranA

(2)若r?m或者r?n, 構(gòu)造矩陣

?AO??BO?

A1??, B1?? ??OOOO??(m?1)?(n?1)??(m?1)?(n?1)

由(1)可得A1?B1?rankA1?rankB1

ranAk1?ranAk?k?ranBk ??ranAranBk1?ranBk?ri?krj

其余情形類似．

82??2?3 例2 A??212?212?, 求r(A)． ???314??1?6?6?14??0?9?13行???06?44?, 故r(A)?2．

解

A??06?44??????314?00??1??00?行14??1032??13行

行最簡形：A??01?2323???01?2323??B

?????00?00??00???00?行?1000?

標(biāo)準(zhǔn)形：A??0100??H

????0000??行與列

定理2 若rankAm?n?r(r?0), 則

?0?0b1i1???行?

A????????b1i2b2i1??b1ir??b2ir??brir0?0??????*?*?????*??B：行階梯形 0????0??

[i1][i2][ir]

?0?01?0??0?*???1??0?*????????行??

A??1?*??H：行最簡形

?0?0????????0?0????E 定理3 若rankAm?n?r(r?0), 則A??r?O 推論1 若An?n滿秩, 則A?En．

A?rankB．

推論2 Am?n?Bm?n?rankO?, 稱為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形． ?O?

§3.3 解線性方程組的消元法

?2x1?x2?3x3?1?

例如

?4x1?2x2?5x3?4?2x?2x3?6?1?2x1?x2?3x3?1(2)?2(1)?4x2?x3?2

?(3)?(1)?x2?x3?5?(1)(2)(3)(4)(5)(6)?2x1?x2?3x3?1(5)?4(6)?x2?x3?5

?(5)?(6)?3x3??18??x1?9?(8)

?x2??1

?x??6(9)?3(7)解線性方程組的初等變換：(1)互換兩個方程的位置(2)用非零數(shù)乘某個方程

(3)將某個方程的若干倍加到另一個方程

用矩陣的初等變換表示方程組的求解過程如下：

31??2?131??2?1行???0?

?Ab???42544?12??????026?1?15??2??0?31?9??2?1?100行???010?1?

??01?15??????03?18??0??001?6??行

?a11?a21

方程組：

?????am1a12a22?am2?a1n??a2n??????amn??x1??b1??x??b??2???2?

或者 Ax?b ???????????xn??bm?~

增廣矩陣：A??Ab?

k?r, 且A的左上角r階子式Dr?0, 則

設(shè)ranA?1?0???行~?

A??0?0????0?0?0b1,r?1?b1n1?0b2,r?1?b2n???0?0???0?00?1br,r?1?brn0?0??0?0d1?d2?????dr?： 行最簡形 dr?1????0??

Ax?b的同解方程組為

?x1?b1,r?1xr?1???b1nxn?d1?x?b22,r?1xr?1???b2nxn?d2?????

?

(3.4)?x?br,r?1xr?1???brnxn?dr?r?0?dr?1? 5

~

若dr?1?0, 則方程組(3.4)無解：rankA?r?1?r?rankA ~

若dr?1?0, 則方程組(3.4)有解：rankA?r?rankA

(1)r?n時, 方程組(3.4)成為

x1?d1, x2?d2, …, xn?dn 是其唯一解

(2)r?n時, 方程組(3.4)成為

?x1?d1?b1,r?1xr?1???b1nxn?x?d?b?222,r?1xr?1???b2nxn

?

??????xr?dr?br,r?1xr?1???brnxn

一般解為

?x1?d1?b1,r?1k1???b1nkn?r?x?d?b22,r?1k1???b2nkn?r?2?????

?xr?dr?br,r?1k1???brnkn?r

?x?k1?r?1?????kn?r?xn?

其中k1,k2,?,kn?r為任意常數(shù)．

~

定理4 Am?n, A??Ab?

~

(1)Ax?b有解?rankA?rankA；

(2)Ax?b有解時, 若rankA?n, 則有唯一解；

若rankA?n, 則有無窮多組解．

定理5(1)Am?nx?0有非零解?rankA?n；

(2)An?nx?0有非零解?detA?0．

課后作業(yè)：習(xí)題三

1, 2, 3, 4

第四篇：線性代數(shù)電子教案LA1-2B

§1.4 行列式的性質(zhì)

a11?a1na11?an1?, DΤ???, 則DΤ?D．

性質(zhì)1 設(shè)D??an1?anna1n?ann

證 令bij?aji(i,j?1,2,?,n), 則

b11?bn1

DΤ?????(?1)?b1p1b2pbp2?bnpn

1n?b(p12?pn)nn

??(?1)?apapp11(22?apnn?D

1p2?pn)?????ai1?ainaj1?

性質(zhì)2 設(shè)i?j,D????, D1???aj1?ajnai1??????

證 bik?ajk,bjk?aik(k?1,2,?,n)

l?i,j:blk?alk(k?1,2,?,n)

???bi1?bin

D1??????(?1)?(?bipi?bjpj?)bj1?bjn???

??(?1)t(?1)(?bjpj?bipi?)

?(?1)?(?1)t(?aipj?ajpi?)

?(?1)?(?1)t(?aiqi?ajqj?)??D

推論1 D對調(diào)兩列得D2?D2??D．

???(p1p2?pn)(根據(jù)Th2)

?ajn?, 則D1??D．a(chǎn)in?

?(?pi?pj?)

t(?pj?pi?)

qi?pj,qj?pil?i,j:ql?pl

t(?qi?qj?)

T

證 因?yàn)镈對調(diào)兩列得D2, 相當(dāng)于DT對調(diào)兩行得D2 T

所以D2?D2??DT??D

推論2 D中某兩行(列)元素對應(yīng)相等?D?0．

證 因?yàn)閷φ{(diào)此兩行(列)后,D的形式不變

所以D??D?D?0

123

例如, 對于任意的a,b,c, 都有abc?0．

123a11?a1n?a1n??kD ?ann???a11?ka1j?

性質(zhì)3 kai1?kain?kD, ?an1?kanj???an1?ann

證(1)左端??(?1)?[a1p1?(kaipi)?anpn]

?(p1?pi?pn)

?k?(?1)?(a1p1?aipi?anpn)?kD

推論1 D中某行(列)元素全為0?D?0．

推論2 D中某兩行(列)元素成比例?D?0．

性質(zhì)4 若對某個i, 有aij?bij?cij(j?1,2,?,n), 則

a11?a1na11?a1n????a11?a1n????cin ???????

ai1?ain?bi1????an1?annan1?bin?ci1?annan1?ann

證 左端??(?1)?(a1p1?aipi?anpn)

?(p1?pi?pn)

??(?1)?(a1p1?bipi?anpn)??(?1)?(a1p1?cipi?anpn)

?右端(1)+ 右端(2)[注] 性質(zhì)4對于列的情形也成立．

??????ai1?ainrai?krji1?aj1?ain?ajn

性質(zhì)5 ???????(i?j)

aj1?ajnaj1?ajn?????? [注] 性質(zhì)5對于列的情形也成立．

1?53?3

例5 計(jì)算D?201?131?12.413?11?53?31?53?31?5

解 D?010?55016?1011?502?110100?23?(?5)00021?9110111021?53?31?53?3

?(?5)0111011100?23?(?5)00?23??5500?3?1000?112xa?a

例6 計(jì)算Dax?an????．

aa?x11?1

解 rD1?(r2???rn)ax?an?[x?(n?1)a]??? aa?x11?1

?[x?(n?1)a]0x?a?0???

00?x?a

?[x?(n?1)a](x?a)n?1

3?311?23?11 123?n210?0

例7 計(jì)算Dn?301?0．

????n00?1t23?n

解 Dnc1?jcjj?2,?,n?010?0001?0?1?(22???n2)????000?1

§1.5 行列式按行（列）展開

余子式：在n階行列式中，將元素aij所在的行與列上的元素劃去，其余

元素按照原來的相對位置構(gòu)成的n?1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij．

代數(shù)余子式：元素aij的代數(shù)余子式Aij?(?1)i?jMij．

a11a21

定理3 D??an1a12a22??a1n?a2n ?an2?ann

?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin

(i?1,2,?,n)

?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj

(j?1,2,?,n)

證

證明第一式, 分以下3步．

a11?a1,n?1?

第1步：Mnn????(?1)?(p1?pn?1)a1p1?an?1,pn?1

an?1,1?an?1,n?1

(1?pi?n?1)

a11?a1,n?1?a1n?an?1,nann

?0?an?1,1?an?1,n?10??(?1)?(p1?pn?1pn)a1p1?an?1,pn?1an,pn

?

pn?n?(?1)??(?1)?(p1?pn?1pn)a1p1?an?1,pn?1an,pn+ a1p1?an?1,pn?1an,pn(p1?pn?1pn)pn?n

?ann?(?1)?(p1?pn?1n)a1p1?an?1,pn?1

?(p1?pn?1n)??(p1?pn?1)

?annMnn?ann(?1)n?nMnn?annAnn

a1jD1

第2步： D(i,j)?0?ai?1,j0aijai?1,j?anj0D2?D4a1jD1D2?ai?1,jai?1,j ?anj0aij0

?D3

?(?1)(n?i)?(n?j)D30?00D4?

?(?1)?(i?j)aijMij?aijAij

第3步：D?D(i,1)?D(i,2)???D(i,n)

?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin

1?53?3201?1

例8 計(jì)算D?．

31?12413?1 162

解 D?310?2716?2701?1?(?1)3?221?1

1?1214?304?32005205??55

?(?1)21?1?(?1)(?1)2?2?71?701aa?

例9 計(jì)算D2n?b?b?abcd?c?dd00?(?1)1?2nb(2n?1)．

cD2(n?1)0?

解 D2n?(?1)1?1a?00d?0c0D2(n?1)?0(2n?1)

?(?1)(2n?1)?(2n?1)ad?D2(n?1)?(?1)(?1)(2n?1)?1bc?D2(n?1)

?(ad?bc)D2(n?1)???(ad?bc)n?1D2

D2?ab?ad?bc

cd

D2n?(ad?bc)n

11122103??3?0n?

例10 計(jì)算Dn???．

100?n?1n?1100? 12

解 Dn?nDn?1?(?1)n?1(n?1)!

?n(n?1)Dn?2?(?1)(n?1)?1(n?1?1)!?(?1)n?1(n?1)!

?n(n?1)Dn?2?(?1)n

??

?n(n?1)?3?D?(?1)4n!n!n!???(?1)n?(?1)n?1 n!n!?(?1)n?1 n?1n??23n?1

D2?112?2?1?(?1)2?2?(?1)31?1

D??(?1)2(?1)3(?1)4(?1)n?1

?n?(n!)?1?2?3???n??

課后作業(yè)：習(xí)題一(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)

n

第五篇：線性代數(shù)電子教案LA1-1B

線性代數(shù)講稿

講稿編者：使用教材：《線性代數(shù)》

教學(xué)參考：《線性代數(shù)典型題分析解集》張 凱 院

西北工業(yè)大學(xué)出版社 西工大數(shù)學(xué)系編 西北工業(yè)大學(xué)出版社 徐 仲 等編

第一章

n階行列式

§1.2 排列及其逆序數(shù)

1．排列：n個依次排列的元素．

例如, 自然數(shù)1,2,3,4構(gòu)成的不同排列有4!=24種．

1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243

2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143

3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142

4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互異元素p1,p2,?,pn構(gòu)成的不同排列有n!種．

解 在n個元素中選取1個

n種取法

在剩余n?1個元素中選取1個

n?1種取法

在剩余n?2個元素中選取1個

n?2種取法

??????

????

在剩余2個元素中選取1個

2種取法

在剩余1個元素中選取1個

1種取法

------------------

總共n!種取法

2．標(biāo)準(zhǔn)排列：n個不同的自然數(shù)從小到大構(gòu)成的排列．

n個不同的元素按照某種約定次序構(gòu)成的排列．

3．逆序數(shù)：

(1)某兩個數(shù)（元素）的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時, 稱這兩個數(shù)（元素）

之間有1個逆序．

(2)排列p1p2?pn中逆序的總和稱為排列的逆序數(shù), 記作?(p1p2?pn)．

算法：固定i(?2,?,n), 當(dāng)j?i時，滿足pj?pi的“pj”的個數(shù)記作?i（稱為pi的逆序數(shù)），那么?(p1p2?pn)??2????n．

例2 排列6372451中, ???2????7?1?0?3?2?2?6?14．

例3 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?42, 求逆序數(shù)．

解

記作p1p2?pnpn?1pn?2?p2n?1p2n

?2?0, ?,?n?1?0

?n?2?2?2?1, ?n?3?4?2?2, ?, ?2n?2?(n?1)

??2[1?2???(n?1)]?n(n?1)

4．奇偶性：排列p1p2?pn

?(p1p2?pn)?奇數(shù)時, 稱為奇排列；

?(p1p2?pn)?偶數(shù)時, 稱為偶排列．

5．對換：

相鄰對換：p1?pipi?1?pn?p1?pi?1pi?pn

一般對換：p1?pi?pj?pn?p1?pj?pi?pn(i?j)

定理1 排列經(jīng)過1次對換, 其奇偶性改變．

證

先證相鄰對換：(1)a1?alabb1?bm

(2)a1?albab1?bm

a?b：對換后?a增加1, ?b不變, 故t2?t1?1；

a?b：對換后?a不變, ?b減少1, 故t2?t1?1．

所以t2與t1的奇偶性相反．

再證一般對換：(1)a1?alab1?bmbc1?cn

(2)a1?alb1?bmabc1?cn

(3)a1?albb1?bmac1?cn

(1)?(2)經(jīng)過m次相鄰對換

(2)?(3)經(jīng)過m?1次相鄰對換

(1)?(3)經(jīng)過2m?1次相鄰對換, 所以t3與t1的奇偶性相反．

推論 奇排列?標(biāo)準(zhǔn)排列, 對換次數(shù)為奇數(shù)．

偶排列?標(biāo)準(zhǔn)排列, 對換次數(shù)為偶數(shù)．

§1.3 n階行列式的定義

1．二階： a11a21a11a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21

a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 2．三階： a21a

?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31

(1)乘積中三個數(shù)不同行、不同列：?a1p1a2p2a3p3

行標(biāo)(第1個下標(biāo))：標(biāo)準(zhǔn)排列 123

列標(biāo)(第2個下標(biāo))：p1p2p3是1,2,3的某個排列(共6種)

(2)正項(xiàng)：123, 231, 312為偶排列

負(fù)項(xiàng)：132, 213, 321為奇排列

a11a12a22a32a13a23??(?1)?a1p1a2p2a3p3, ???(p1p2p3)．

(p1p2p3)a33

于是 a21a31 3．n階：n2個數(shù)aij(i,j?1,2,?,n), 稱

a11a12a22??a1n?a2n ?

D?a21?an1an2?ann

為n階行列式, 它表示數(shù)值

(p1p2?pn)?(?1)?a1p1a2p2?anpn, ???(p1p2?pn)

其中, 求和式中共有n!項(xiàng)．

a11a12a22?a1na11?a1,n?1a1n

例3 計(jì)算D1??a2na21?a2,n?1, D2?????annan1.解 D1中只有一項(xiàng)a11a22?ann不顯含0, 且列標(biāo)構(gòu)成排列的逆序數(shù)為

?(12?n)?0, 故D1?(?1)?a11a22?ann?a11a22?ann．

D2中只有一項(xiàng)a1na2,n?1?an1不顯含0, 且列標(biāo)構(gòu)成排列的逆序數(shù)為

?(n?21)?1?2???(n?1)?

故D2?(?1)a1na2,n?1?an1?(?1)?n(n?1)2n(n?1)2a1na2,n?1?an1．

結(jié)論：以主對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于主對角線上元素的乘積．

以副對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于副對角線上元素的乘積, 并冠以符號(?1)

特例：

n(n?1)2．

?1

?1?2???1?2??n，?2??(?1)n(n?1)2?1?2??n

?na11a21

定理2 D??an1a12a22??a1n?n?a2n??(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn

(2)?(q1q2?qn)an2?ann(p1p2?pn)

證

由定義知

D??(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

(1)

先證(2)中的項(xiàng)都是(1)中的項(xiàng)：交換乘積次序可得

(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn?(?1)?(q1q2?qn)a1p1a2p2?anpn

(3)5

① ?(q1q2?qn)?偶數(shù)

q1q2?qn?12?n

偶數(shù)次對換

12?n?p1p2?pn

偶數(shù)次對換

所以?(p1p2?pn)?偶數(shù)

② ?(q1q2?qn)?奇數(shù)

q1q2?qn?12?n

奇數(shù)次對換

12?n?p1p2?pn

奇數(shù)次對換

所以?(p1p2?pn)?奇數(shù)

因此(?1)?(q1q2?qn)?(?1)?(p1p2?pn), 由(3)可得

(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn?(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

同理可證(1)中的項(xiàng)都是(2)中的項(xiàng)．

課后作業(yè)：習(xí)題一

1，2，3