第一篇：線性代數電子教案LA2-2B

6.伴隨矩陣：A?(aij)n?n, detA中元素aij的代數余子式為Aij．

?a11?a21

A??????an1a12a22?an2?a1n??A11?A?a2n??，A*??12???????ann??A1nA21A22?A2n?An1??An2??

????Ann?

重要性質：AA*?A*A?(detA)E

7.共軛矩陣：復矩陣A?(aij)m?n的共軛矩陣記作A?(aij)m?n．

算律：(1)(A?B)?A?B

(2)(kA)?kA

(3)(AB)?AB

(4)(A)?(A)?AH

§2.3 逆矩陣

定義：對于An?n, 若有Bn?n滿足AB?BA?E, 則稱A為可逆矩陣，且B為A的逆矩陣, 記作A?1?B．

定理1 若An?n為可逆矩陣, 則A的逆矩陣唯一．

證

設B與C都是A的逆矩陣, 則有

AB?BA?E, AC?CA?E

B?BE?B(AC)?(BA)C?EC?C

定理2 An?n為可逆矩陣?detA?0；

An?n為可逆矩陣?A?1?

證

必要性．已知A?1存在，則有

AA?1?E?detAdetA?1?1?detA?0

充分性．已知detA?0，則有

A*A*?A?E

AA?AA?(detA)E?AdetAdetA1A*．

由定義知A為可逆矩陣，且A?1?detA**TT記作1A*． deAt 7 [注]detA?0時, 亦稱A為非奇異矩陣；

detA?0時, 亦稱A為奇異矩陣．

推論1 對于An?n, 若有Bn?n滿足AB?E, 則A可逆, 且A?1?B．

證 AB?E?detAdetB?1?detA?0?A可逆

A?1?A?1E?A?1(AB)?(A?1A)B?EB?B

推論2 對于An?n, 若有Bn?n滿足BA?E, 則A可逆, 且A?1?B．

算律：

(1)A可逆?A?1可逆, 且(A?1)?1?A．

對于A?1, 取B?A, 有A?1B?A?1A?E．

(2)A可逆, k?0?kA可逆, 且(kA)?1?A?1．

k11

對于kA, 取B?A?1, 有(kA)B?(kA)(A?1)?AA?1?E．

kk

(3)An?n與Bn?n都可逆?AB可逆, 且(AB)?1?B?1A?1．

對于AB, 取C?B?1A?1, 有

(AB)C?(AB)(B?1A?1)?A(BB?1)A?1?E．

(4)A可逆?AT可逆, 且(AT)?1?(A?1)T．

對于AT, 取B?(A?1)T, 有ATB?AT(A?1)T?(A?1A)T?E．

(5)A可逆?detA?1?1． detA

(6)An?n與Bn?n都可逆?(AB)*?B*A*．

證(AB)*?[det(AB)](AB)?1?[(detA)(detB)][B?1A?1]

?[(deBt)B?1][(deAt)A?1]?B*A*

負冪：A可逆, 定義A0?E, A?k?(A?1)k(k?1,2,?), 則有

AkAl?Ak?l,(Ak)l?Akl

(k,l為整數)?3?10??54?1??, A?1?1A*?1?1012?3?

例1 A???211???55???1??1?14???01?

例2 設An?n滿足A2?2A?4E?O, 求(A?E)?1． 解

A2?2A?4E?O?A2?2A?3E?E

?(A?E)(A?3E)?E?(A?E)?1?A?3E

應用：

(1)n階線性方程組求解 An?nx?b, detA?0?x?A?1b

(2)求線性變換的逆變換 y?An?nx, detA?0?x?A?1y

(3)矩陣方程求解

設Am?m可逆, Bn?n可逆, 且Cm?n已知, 則

AX?C?X?A?1C

XB?C?X?CB?1

AXB?C?X?A?1CB?1

?21??5?10??, C??20? 滿足AX?C?2X, 求X．

例3 設A???231???????35???2?16??

解

并項：(A?2E)X?C

計算：X?(A?2E)?1C

0??54?1??21??31

??1012?3??20???7?1?

?????5??1?1??01???35????1?1?1??1? 滿足A*X?A?1?2X, 求X．

例4 設A???111???1??1?1? 9

解

并項：

(A*?2E)X?A?1

左乘A： [(detA)E?2A]X?E

t?4

計算：

deA

X?(4E?2A)?1?1(2E?A)?12?110?1? ??011?4?

密碼問題：

a?1, b?2,c?3, ? ,z?26

?123??01?1?

A???112? , A?1??2?2?1????

?012??????111??

action：1, 3, 20, 9, 15, 14 ?1??67??9??81?

加密：A??3???44????? , A??15???52?

?20????43???????14????43??發出∕接收密碼：67, 44, 43, 81, 52, 43 ?

解密：A?1?67??44?????1??3??? , A?1?81??52??9?????15??

??43????20????43????14??明碼：1, 3, 20, 9, 15, 14表示action

??101??§2.4 分塊矩陣

?1??1

A???0??0?1??1

A???0??00?11?010????A1102?1???A21?00?3?0?11?010????B102?1??00?3?A12? ?A22?B2B3B4?

用若干條橫線與縱線將矩陣A劃分為若干個小矩陣, 稱這些小矩陣 為A的子矩陣, 以子矩陣為其元素的矩陣稱為分塊矩陣．

特點：同行上的子矩陣有相同的“行數”；

同列上的子矩陣有相同的“列數”．

?A11?A1r??B11?B1r?????????B??, m?n????

???As1?Asr???Bs1?Bsr??

1.加法：Am?n?A11?B11?A1r?B1r?????

A?B??? ??As1?Bs1?Asr?Bsr?? 要求：A與B同階, 且分塊方式相同．

2.數乘：kAm?n?kA11?kA1r????????

??kAs1?kAsr??

3.乘法：Am?l?A11?A1t??B11?B1r?????????B??, l?n????

???As1?Ast???Bt1?Btr??

Cij??Ai1?B1j????Ait?????Ai1B1j???AitBtj

?Btj??? 11 ?C11?C1r????

AB???? ??Cs1?Csr?? 要求：A的列劃分方式與B的行劃分方式相同．

?1?0

例1 A????1??1012100100?0????E0???A21?1?10420?1????B111???B21?0?O? E??0?1??12

B???10???1?1E? B22??B11?

AB???A21B11?B21?1?E???1??A21?B22???2???1024110330?1?? 3??1?

4.轉置：Am?nT?A11?A11?A1r???T????A?, ?????A1Tr??As1?Asr????AsT1???? T??Asr? 特點：“大轉”+“小轉”

5.準對角矩陣：設A1,A2,?,As都是方陣, 記

?A1?A1,A2,?,As)??

A?dia(g?????? ???As?A2

性質：(1)detA?(detA1)(detA2)?(detAs)

(2)A可逆?Ai(i?1,2,?,s)可逆

(3)Ai(i?1,2,?,s)可逆?A?1?A1?1????????1A2??? ???As?1???500??A1??

例2 A?031????O????021??A1?1?1

A???OO? A2??00??15?O?0? ?1?1?1???A2??0?23????AO??1M

例3 設Am?m與Bn?n都可逆, Cn?m, M??, 求． ??CB? 解 detM?(detA)(detB)?0?M可逆

?X1

M?1???X3X2? , X4???AO??X1?CB??X???3?X1??X2??X3??X4X2??Em???X4??O?A?1?O??BCA?B?1?1?1O? ?En??AX1?Em?AX?O?2

?

?CX1?BX3?O??CX2?BX4?En

M

?1?A?1O? ???1?1???BCAB?課后作業：習題二 7(1)(3)(5), 8(2)(4), 10～14

第二篇：線性代數電子教案LA3-1B

第三章

矩陣的初等變換

§3.1 矩陣的秩

1.子式：在Am?n中, 選取k行與k列, 位于交叉處的k2個數按照原來的 相對位置構成k階行列式, 稱為A的一個k階子式, 記作Dk．

k

對于給定的k, 不同的k階子式總共有CkmCn個．

2.矩陣的秩：在Am?n中，若

(1)有某個r階子式Dr?0；

(2)所有的r?1階子式Dr?1?0（如果有r?1階子式的話）．

稱A的秩為r, 記作rankA?r, 或者 r(A)?r．規定：rankO?0

性質：(1)rankAm?n?min{m,n}

A

(2)k?0時rank(kA)?rankAT?rankA

(3)rankA?r

(4)A中的一個Dr?0?rankA?r

(5)A中所有的Dr?1?0?rank82??2?3 例1 A??212?212?, 求r(A)． ???314??1? 解

位于1,2行與1,2列處的一個2階子式D2?2?3?30?0

212

計算知, 所有的3階子式D3?0, 故r(A)?2． [注] Am?n, 若rankA?m, 稱A為行滿秩矩陣；

若rankA?n, 稱A為列滿秩矩陣．

An?n, 若rankA?n, 稱A為滿秩矩陣（可逆矩陣, 非奇異矩陣）；

若rankA?n, 稱A為降秩矩陣（不可逆矩陣, 奇異矩陣）．

§3.2 矩陣的初等變換

1.初等變換

行變換

列變換

① 對調

ri?rj

ci?cj

② 數乘(k?0)kri kci

③ 倍加 ri?krj ci?kcj

Am?n經過初等變換得到Bm?n, 記作Am?n?Bm?n．

2.等價矩陣：若Am?n?Bm?n, 稱Am?n與Bm?n等價, 記作Am?n?Bm?n．

(1)自反性：A?A

(2)對稱性：Am?n?Bm?n?Bm?n?Am?n

(3)傳遞性：Am?n?Bm?n, Bm?n?Cm?n?Am?n?Cm?n

定理1 Am?n?Bm?n?rankA?rankB．

1次有限次k?ranBk．

證

只需證明Am?n?Bm?n?ranAk?r, 僅證行變換之(3)的情形：

設ranA?????????i??ri?krj?i

A???????????j?????????{m,n}, 則有

(1)若r?min???k?j?????B

??j????B)(B)(A)

Dr(?1不含ri：Dr?1?Dr?1?0

B)(B)(A)(A)

Dr(?含, 不含：rD?D?kDrir?1r?1r?1?0 1j 2

D(B)r?1含ri, 且含rj：D(B)r?1倍加A)?Dr(?1?0

B)k?r?ranAk

故B中所有的r?1階子式Dr(?1?0?ranBri?krjk?ranBk, 于是可得rankA?rankB．

B?A?ranA

(2)若r?m或者r?n, 構造矩陣

?AO??BO?

A1??, B1?? ??OOOO??(m?1)?(n?1)??(m?1)?(n?1)

由(1)可得A1?B1?rankA1?rankB1

ranAk1?ranAk?k?ranBk ??ranAranBk1?ranBk?ri?krj

其余情形類似．

82??2?3 例2 A??212?212?, 求r(A)． ???314??1?6?6?14??0?9?13行???06?44?, 故r(A)?2．

解

A??06?44??????314?00??1??00?行14??1032??13行

行最簡形：A??01?2323???01?2323??B

?????00?00??00???00?行?1000?

標準形：A??0100??H

????0000??行與列

定理2 若rankAm?n?r(r?0), 則

?0?0b1i1???行?

A????????b1i2b2i1??b1ir??b2ir??brir0?0??????*?*?????*??B：行階梯形 0????0??

[i1][i2][ir]

?0?01?0??0?*???1??0?*????????行??

A??1?*??H：行最簡形

?0?0????????0?0????E 定理3 若rankAm?n?r(r?0), 則A??r?O 推論1 若An?n滿秩, 則A?En．

A?rankB．

推論2 Am?n?Bm?n?rankO?, 稱為A的等價標準形． ?O?

§3.3 解線性方程組的消元法

?2x1?x2?3x3?1?

例如

?4x1?2x2?5x3?4?2x?2x3?6?1?2x1?x2?3x3?1(2)?2(1)?4x2?x3?2

?(3)?(1)?x2?x3?5?(1)(2)(3)(4)(5)(6)?2x1?x2?3x3?1(5)?4(6)?x2?x3?5

?(5)?(6)?3x3??18??x1?9?(8)

?x2??1

?x??6(9)?3(7)解線性方程組的初等變換：(1)互換兩個方程的位置(2)用非零數乘某個方程

(3)將某個方程的若干倍加到另一個方程

用矩陣的初等變換表示方程組的求解過程如下：

31??2?131??2?1行???0?

?Ab???42544?12??????026?1?15??2??0?31?9??2?1?100行???010?1?

??01?15??????03?18??0??001?6??行

?a11?a21

方程組：

?????am1a12a22?am2?a1n??a2n??????amn??x1??b1??x??b??2???2?

或者 Ax?b ???????????xn??bm?~

增廣矩陣：A??Ab?

k?r, 且A的左上角r階子式Dr?0, 則

設ranA?1?0???行~?

A??0?0????0?0?0b1,r?1?b1n1?0b2,r?1?b2n???0?0???0?00?1br,r?1?brn0?0??0?0d1?d2?????dr?： 行最簡形 dr?1????0??

Ax?b的同解方程組為

?x1?b1,r?1xr?1???b1nxn?d1?x?b22,r?1xr?1???b2nxn?d2?????

?

(3.4)?x?br,r?1xr?1???brnxn?dr?r?0?dr?1? 5

~

若dr?1?0, 則方程組(3.4)無解：rankA?r?1?r?rankA ~

若dr?1?0, 則方程組(3.4)有解：rankA?r?rankA

(1)r?n時, 方程組(3.4)成為

x1?d1, x2?d2, …, xn?dn 是其唯一解

(2)r?n時, 方程組(3.4)成為

?x1?d1?b1,r?1xr?1???b1nxn?x?d?b?222,r?1xr?1???b2nxn

?

??????xr?dr?br,r?1xr?1???brnxn

一般解為

?x1?d1?b1,r?1k1???b1nkn?r?x?d?b22,r?1k1???b2nkn?r?2?????

?xr?dr?br,r?1k1???brnkn?r

?x?k1?r?1?????kn?r?xn?

其中k1,k2,?,kn?r為任意常數．

~

定理4 Am?n, A??Ab?

~

(1)Ax?b有解?rankA?rankA；

(2)Ax?b有解時, 若rankA?n, 則有唯一解；

若rankA?n, 則有無窮多組解．

定理5(1)Am?nx?0有非零解?rankA?n；

(2)An?nx?0有非零解?detA?0．

課后作業：習題三

1, 2, 3, 4

第三篇：線性代數電子教案LA1-2B

§1.4 行列式的性質

a11?a1na11?an1?, DΤ???, 則DΤ?D．

性質1 設D??an1?anna1n?ann

證 令bij?aji(i,j?1,2,?,n), 則

b11?bn1

DΤ?????(?1)?b1p1b2pbp2?bnpn

1n?b(p12?pn)nn

??(?1)?apapp11(22?apnn?D

1p2?pn)?????ai1?ainaj1?

性質2 設i?j,D????, D1???aj1?ajnai1??????

證 bik?ajk,bjk?aik(k?1,2,?,n)

l?i,j:blk?alk(k?1,2,?,n)

???bi1?bin

D1??????(?1)?(?bipi?bjpj?)bj1?bjn???

??(?1)t(?1)(?bjpj?bipi?)

?(?1)?(?1)t(?aipj?ajpi?)

?(?1)?(?1)t(?aiqi?ajqj?)??D

推論1 D對調兩列得D2?D2??D．

???(p1p2?pn)(根據Th2)

?ajn?, 則D1??D．ain?

?(?pi?pj?)

t(?pj?pi?)

qi?pj,qj?pil?i,j:ql?pl

t(?qi?qj?)

T

證 因為D對調兩列得D2, 相當于DT對調兩行得D2 T

所以D2?D2??DT??D

推論2 D中某兩行(列)元素對應相等?D?0．

證 因為對調此兩行(列)后,D的形式不變

所以D??D?D?0

123

例如, 對于任意的a,b,c, 都有abc?0．

123a11?a1n?a1n??kD ?ann???a11?ka1j?

性質3 kai1?kain?kD, ?an1?kanj???an1?ann

證(1)左端??(?1)?[a1p1?(kaipi)?anpn]

?(p1?pi?pn)

?k?(?1)?(a1p1?aipi?anpn)?kD

推論1 D中某行(列)元素全為0?D?0．

推論2 D中某兩行(列)元素成比例?D?0．

性質4 若對某個i, 有aij?bij?cij(j?1,2,?,n), 則

a11?a1na11?a1n????a11?a1n????cin ???????

ai1?ain?bi1????an1?annan1?bin?ci1?annan1?ann

證 左端??(?1)?(a1p1?aipi?anpn)

?(p1?pi?pn)

??(?1)?(a1p1?bipi?anpn)??(?1)?(a1p1?cipi?anpn)

?右端(1)+ 右端(2)[注] 性質4對于列的情形也成立．

??????ai1?ainrai?krji1?aj1?ain?ajn

性質5 ???????(i?j)

aj1?ajnaj1?ajn?????? [注] 性質5對于列的情形也成立．

1?53?3

例5 計算D?201?131?12.413?11?53?31?53?31?5

解 D?010?55016?1011?502?110100?23?(?5)00021?9110111021?53?31?53?3

?(?5)0111011100?23?(?5)00?23??5500?3?1000?112xa?a

例6 計算Dax?an????．

aa?x11?1

解 rD1?(r2???rn)ax?an?[x?(n?1)a]??? aa?x11?1

?[x?(n?1)a]0x?a?0???

00?x?a

?[x?(n?1)a](x?a)n?1

3?311?23?11 123?n210?0

例7 計算Dn?301?0．

????n00?1t23?n

解 Dnc1?jcjj?2,?,n?010?0001?0?1?(22???n2)????000?1

§1.5 行列式按行（列）展開

余子式：在n階行列式中，將元素aij所在的行與列上的元素劃去，其余

元素按照原來的相對位置構成的n?1階行列式，稱為元素aij的余子式，記作Mij．

代數余子式：元素aij的代數余子式Aij?(?1)i?jMij．

a11a21

定理3 D??an1a12a22??a1n?a2n ?an2?ann

?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin

(i?1,2,?,n)

?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj

(j?1,2,?,n)

證

證明第一式, 分以下3步．

a11?a1,n?1?

第1步：Mnn????(?1)?(p1?pn?1)a1p1?an?1,pn?1

an?1,1?an?1,n?1

(1?pi?n?1)

a11?a1,n?1?a1n?an?1,nann

?0?an?1,1?an?1,n?10??(?1)?(p1?pn?1pn)a1p1?an?1,pn?1an,pn

?

pn?n?(?1)??(?1)?(p1?pn?1pn)a1p1?an?1,pn?1an,pn+ a1p1?an?1,pn?1an,pn(p1?pn?1pn)pn?n

?ann?(?1)?(p1?pn?1n)a1p1?an?1,pn?1

?(p1?pn?1n)??(p1?pn?1)

?annMnn?ann(?1)n?nMnn?annAnn

a1jD1

第2步： D(i,j)?0?ai?1,j0aijai?1,j?anj0D2?D4a1jD1D2?ai?1,jai?1,j ?anj0aij0

?D3

?(?1)(n?i)?(n?j)D30?00D4?

?(?1)?(i?j)aijMij?aijAij

第3步：D?D(i,1)?D(i,2)???D(i,n)

?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin

1?53?3201?1

例8 計算D?．

31?12413?1 162

解 D?310?2716?2701?1?(?1)3?221?1

1?1214?304?32005205??55

?(?1)21?1?(?1)(?1)2?2?71?701aa?

例9 計算D2n?b?b?abcd?c?dd00?(?1)1?2nb(2n?1)．

cD2(n?1)0?

解 D2n?(?1)1?1a?00d?0c0D2(n?1)?0(2n?1)

?(?1)(2n?1)?(2n?1)ad?D2(n?1)?(?1)(?1)(2n?1)?1bc?D2(n?1)

?(ad?bc)D2(n?1)???(ad?bc)n?1D2

D2?ab?ad?bc

cd

D2n?(ad?bc)n

11122103??3?0n?

例10 計算Dn???．

100?n?1n?1100? 12

解 Dn?nDn?1?(?1)n?1(n?1)!

?n(n?1)Dn?2?(?1)(n?1)?1(n?1?1)!?(?1)n?1(n?1)!

?n(n?1)Dn?2?(?1)n

??

?n(n?1)?3?D?(?1)4n!n!n!???(?1)n?(?1)n?1 n!n!?(?1)n?1 n?1n??23n?1

D2?112?2?1?(?1)2?2?(?1)31?1

D??(?1)2(?1)3(?1)4(?1)n?1

?n?(n!)?1?2?3???n??

課后作業：習題一(1)(2)(1)(2)(3)(1)(2)

n

第四篇：線性代數電子教案LA1-1B

線性代數講稿

講稿編者：使用教材：《線性代數》

教學參考：《線性代數典型題分析解集》張 凱 院

西北工業大學出版社 西工大數學系編 西北工業大學出版社 徐 仲 等編

第一章

n階行列式

§1.2 排列及其逆序數

1．排列：n個依次排列的元素．

例如, 自然數1,2,3,4構成的不同排列有4!=24種．

1234, 1342, 1423, 1432, 1324, 1243

2134, 2341, 2413, 2431, 2314, 2143

3124, 3241, 3412, 3421, 3214, 3142

4123, 4231, 4312, 4321, 4213, 4132

例1 互異元素p1,p2,?,pn構成的不同排列有n!種．

解 在n個元素中選取1個

n種取法

在剩余n?1個元素中選取1個

n?1種取法

在剩余n?2個元素中選取1個

n?2種取法

??????

????

在剩余2個元素中選取1個

2種取法

在剩余1個元素中選取1個

1種取法

------------------

總共n!種取法

2．標準排列：n個不同的自然數從小到大構成的排列．

n個不同的元素按照某種約定次序構成的排列．

3．逆序數：

(1)某兩個數（元素）的先后次序與標準次序不同時, 稱這兩個數（元素）

之間有1個逆序．

(2)排列p1p2?pn中逆序的總和稱為排列的逆序數, 記作?(p1p2?pn)．

算法：固定i(?2,?,n), 當j?i時，滿足pj?pi的“pj”的個數記作?i（稱為pi的逆序數），那么?(p1p2?pn)??2????n．

例2 排列6372451中, ???2????7?1?0?3?2?2?6?14．

例3 排列13?(2n?1)(2n)(2n?2)?42, 求逆序數．

解

記作p1p2?pnpn?1pn?2?p2n?1p2n

?2?0, ?,?n?1?0

?n?2?2?2?1, ?n?3?4?2?2, ?, ?2n?2?(n?1)

??2[1?2???(n?1)]?n(n?1)

4．奇偶性：排列p1p2?pn

?(p1p2?pn)?奇數時, 稱為奇排列；

?(p1p2?pn)?偶數時, 稱為偶排列．

5．對換：

相鄰對換：p1?pipi?1?pn?p1?pi?1pi?pn

一般對換：p1?pi?pj?pn?p1?pj?pi?pn(i?j)

定理1 排列經過1次對換, 其奇偶性改變．

證

先證相鄰對換：(1)a1?alabb1?bm

(2)a1?albab1?bm

a?b：對換后?a增加1, ?b不變, 故t2?t1?1；

a?b：對換后?a不變, ?b減少1, 故t2?t1?1．

所以t2與t1的奇偶性相反．

再證一般對換：(1)a1?alab1?bmbc1?cn

(2)a1?alb1?bmabc1?cn

(3)a1?albb1?bmac1?cn

(1)?(2)經過m次相鄰對換

(2)?(3)經過m?1次相鄰對換

(1)?(3)經過2m?1次相鄰對換, 所以t3與t1的奇偶性相反．

推論 奇排列?標準排列, 對換次數為奇數．

偶排列?標準排列, 對換次數為偶數．

§1.3 n階行列式的定義

1．二階： a11a21a11a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21

a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32 a33 2．三階： a21a

?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31

(1)乘積中三個數不同行、不同列：?a1p1a2p2a3p3

行標(第1個下標)：標準排列 123

列標(第2個下標)：p1p2p3是1,2,3的某個排列(共6種)

(2)正項：123, 231, 312為偶排列

負項：132, 213, 321為奇排列

a11a12a22a32a13a23??(?1)?a1p1a2p2a3p3, ???(p1p2p3)．

(p1p2p3)a33

于是 a21a31 3．n階：n2個數aij(i,j?1,2,?,n), 稱

a11a12a22??a1n?a2n ?

D?a21?an1an2?ann

為n階行列式, 它表示數值

(p1p2?pn)?(?1)?a1p1a2p2?anpn, ???(p1p2?pn)

其中, 求和式中共有n!項．

a11a12a22?a1na11?a1,n?1a1n

例3 計算D1??a2na21?a2,n?1, D2?????annan1.解 D1中只有一項a11a22?ann不顯含0, 且列標構成排列的逆序數為

?(12?n)?0, 故D1?(?1)?a11a22?ann?a11a22?ann．

D2中只有一項a1na2,n?1?an1不顯含0, 且列標構成排列的逆序數為

?(n?21)?1?2???(n?1)?

故D2?(?1)a1na2,n?1?an1?(?1)?n(n?1)2n(n?1)2a1na2,n?1?an1．

結論：以主對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于主對角線上元素的乘積．

以副對角線為分界線的上(下)三角行列式的值等于副對角線上元素的乘積, 并冠以符號(?1)

特例：

n(n?1)2．

?1

?1?2???1?2??n，?2??(?1)n(n?1)2?1?2??n

?na11a21

定理2 D??an1a12a22??a1n?n?a2n??(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn

(2)?(q1q2?qn)an2?ann(p1p2?pn)

證

由定義知

D??(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

(1)

先證(2)中的項都是(1)中的項：交換乘積次序可得

(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn?(?1)?(q1q2?qn)a1p1a2p2?anpn

(3)5

① ?(q1q2?qn)?偶數

q1q2?qn?12?n

偶數次對換

12?n?p1p2?pn

偶數次對換

所以?(p1p2?pn)?偶數

② ?(q1q2?qn)?奇數

q1q2?qn?12?n

奇數次對換

12?n?p1p2?pn

奇數次對換

所以?(p1p2?pn)?奇數

因此(?1)?(q1q2?qn)?(?1)?(p1p2?pn), 由(3)可得

(?1)?(q1q2?qn)aq11aq22?aqnn?(?1)?(p1p2?pn)a1p1a2p2?anpn

同理可證(1)中的項都是(2)中的項．

課后作業：習題一

1，2，3

第五篇：線性代數電子教案LA5-1B

第五章

矩陣的相似變換

§5.1 矩陣的特征值與特征向量

定義： 對于n階方陣A, 若有數?和向量x?0滿足Ax??x, 稱?為A的特征值, 稱x為A的屬于特征值?的特征向量．

特征方程：Ax??x?(A??E)x?0 或者(?E?A)x?0

(A??E)x?0有非零解?de(tA??E)?0

?E?A)?0

?de(t

特征矩陣：A??E 或者 ?E?A

a11??a12?a1na2n?

特征多項式：?(?)?det(A??E)?a21?an1a22?????an2

?ann??

?a0?n?a1?n?1???an?1??an[a0?(?1)n]

?122?

例1 求A??212? 的特征值與特征向量． ????221??1??

解 ?(?)?22221??2?(5??)(??1)2 21??

?(?)?0??1?5,?2??3??1

求?1?5的特征向量：

22??1???4?10?1?行???01?1?, p??1?

A?5E??2?421?????????2?4?0??1???2??00?

x?k1p1(k1?0)

求?2??3??1的特征向量：

?222?行?111???1???1???1?, p??0? 000

A?(?1)E??222???, p?23????????????000???222????0???1??

x?k2p2?k3p3

（k2,k3不同時為0）

??110???

例2 求A???430? 的特征值與特征向量．

??102???1??

解 ?(?)?13??000?(2??)(??1)2 2???41

?(?)?0??1?2,?2??3?1

求?1?2的特征向量：

?0???310?行?100?????

A?2E???410???010?, p1??0?

?????000???1???100???

x?k1p1(k1?0)

求?2??3?1的特征向量：

??210?行?101???1???

A?1E???420???012?, p2???2?

???????000???101????1??

x?k2p2(k2?0)

[注] 在例1中, 對應2重特征值???1有兩個線性無關的特征向量；

在2中, 對應2重特征值??1只有一個線性無關的特征向量．

一般結論：對應r重特征值?的線性無關的特征向量的個數?r．

定理1 設A?(aij)n?n的特征值?1,?2,?,?n, trA?a11?a22???ann, 則

(1)trA??1??2????n；

(2)detA??1?2??n．

證 由特征值的定義可得

a11??a12?an2??a1na2n?a21?an1a22???

?(?)?det(A??E)?

?ann??

?(a11??)(a22??)?(ann??)?fn?2(?)

?(?1)n?n?(?1)n?1(a11?a22???ann)?n?1?gn?2(?)?fn?2(?)

其中gn?2(?),fn?2(?)都是次數不超過n?2的多項式．由題設, 又有

?(?)?det(A??E)?(?1??)(?2??)?(?n??)

?(?1)n?n?(?1)n?1(?1??2????n)?n?1???(?1?2??n)

比較多項式同次冪的系數可得

a11?a22???ann??1??2????n

deAt??(0)??1?2??n

t?0? 0是A的特征值．

推論

deA

一元多項式：f(t)?c0?c1t?c2t2???cmtm

矩陣多項式：f(A)?c0E?c1A?c2A2???cmAm

(An?n,En)

定理2 設Ax??x(x?0), 則

(1)f(A)x?f(?)x；

(2)f(A)?O?f(?)?0．

證(1)因為 Ax??x?Akx??kx

（k?1,2,?）

所以 f(A)x?c0Ex?c1Ax?c2A2x???cmAmx

?c0x?c1?x?c2?2x???cm?mx?f(?)x

(2)f(A)?O?f(?)x?f(A)x?Ox?0?f(?)?0

(?x?0)

[注] 一般結論：若A的全體特征值為?1,?2,?,?n,則f(A)的全體特征值

為f(?1),f(?2),?,f(?n)．

例3 設A3?3的特征值為?1?1,?2?2,?3??3, 求 det(A3?3A?E)．

解

設f(t)?t3?3t?1, 則f(A)?A3?3A?E的特征值為

f(?1)??1,f(?2)?3,f(?3)??17

故

det(A3?3A?E)?(?1)?3?(?17)?51

定理3 設An?n的互異特征值為?1,?2,?,?m, 對應的特征向量依次為

p1,p2,?,pm, 則向量組p1,p2,?,pm線性無關．

證 采用數學歸納法．

m?1時, p1?0?p1線性無關．

設m?l時, p1,?,pl線性無關, 下面證明p1,?,pl,pl?1線性無關．

設數組k1,?,kl,kl?1使得

k1p1???klpl?kl?1pl?1?0

(1)

左乘A, 利用Api??ipi可得

k1?1p1???kl?lpl?kl?1?l?1pl?1?0

(2)

(2)??l?1(1)：

k1(?1??l?1)p1???kl(?l??l?1)pl?0

因為p1,?,pl線性無關（歸納法假設）, 所以

k1(?1??l?1)?0,?,kl(?l??l?1)?0?k1?0,?,kl?0

代入(1)可得 kl?1pl?1?0?kl?1?0．故p1,?,pl,pl?1線性無關．

根據歸納法原理, 對于任意正整數m, 結論成立．

定理4 設An?n的互異特征值為?1,?2,?,?m, 重數依次為r1,r2,?,rm，(i)(i)

對應?i的線性無關的特征向量為p1,p2,?,pl(ii)(i?1,2,?,m),(1)(m)m)

則向量組p1線性無關．（自證）,?,pl(11),??,p1,?,pl(m

§5.2 相似對角化

1．相似矩陣：對于n階方陣A和B, 若有可逆矩陣P使得P?1AP?B，稱A相似于B, 記作A~B．

(1)A~A：

E?1AE?A

(2)A~B?B~A：(P?1)?1B(P?1)?A

(3)A~B,B~C?A~C

性質1 A~B?detA?detB．

性質2 A可逆, A~B?B可逆, 且A?1~B?1．

性質3 A~B?kA~kB,Am~Bm

（m為正整數）．

性質4 f(t)為多項式, A~B?f(A)~f(B)．

性質5 A~B?det(A??E)?det(B??E)

?A與B的特征值相同

證

由P?1AP?B可得 B??E?P?1AP??E?P?1(A??E)P

de(tB??E)?dePt?1?detA(??E)?dePt

?(dePt)?1?detA(??E)?dePt?detA(??E)

2．相似對角化：若方陣A能夠與一個對角矩陣相似, 稱A可對角化．

定理5 n階方陣A可對角化?A有n個線性無關的特征向量．

證

必要性．設可逆矩陣P使得

??1?def???1?

PAP????? ??n???

即AP?P?．劃分P??p1?pn?, 則有

A?p1?pn???p1?pn??

??Ap1?Apn????1p1??npn?

?Api??ipi(i?1,2,?,n)

因為P為可逆矩陣, 所以它的列向量組p1,?,pn線性無關．

上式表明：p1,?,pn是A的n個線性無關的特征向量．

充分性．設p1,?,pn線性無關, 且滿足Api??ipi

則P??p1?pn?為可逆矩陣, 且有

AP??Ap1?Apn????1p1??npn?

??p1?pn???P?

即P?1AP??．

[注] A~???的主對角元素為A的特征值．

推論1 An?n有n個互異特征值?A可對角化．

推論2 設An?n的全體互異特征值為?1,?2,?,?m, 重數依次為r1,r2,?,rm，則A可對角化的充要條件是, 對應于每個特征值?i,A有ri個線性

無關的特征向量．

(i?1,2,?,n)，例4 判斷下列矩陣可否對角化：

10??0?,(2)A?

(1)A??001?????6?11?6??

解(1)?(?)??(??1)(??2)(??3)

?122??212?,(3)A?????221????110???430??? ??102??

A有3個互異特征值 ?A可對角化

對應于?1??1,?2??2,?3??3的特征向量依次為

?1??1??1?

p1???1?, p2???2?, p3???3?

??????????1???4???9??11??1??1??

構造矩陣 P???1?2?3?, ????2??????49??3??1???

則有 P?1AP??．

(2)?(?)??(??5)(??1)2

例1求得A有3個線性無關的特征向量 ?A可對角化

對應于?1?5,?2??3??1的特征向量依次為

?1???1???1???

p1??1?, p2??1?, p3??0?

????????1???0???1??

?1?1?1??5??, ????1?

構造矩陣 P??110??????01??1??1???

則有 P?1AP??．

(3)?(?)??(??2)(??1)2, 例2求得, 對應于2重特征值?2??3?1，A只有1個線性無關的特征向量 ?A不可對角化．

?122?

例5 設A??212?, 求Ak(k?2,3,?)． ????221???1?1?1??5??, ????1?, 使得

解

例4求得 P??110??????01??1??1???

P?1AP??：A?P?P?1,Ak?P?kP?1

k?1?1?1??5???110

故 Ak??????01??1???(?1)k??111??1?? ??12?1???k?3(?1)??2???1?1??5k?2?1?

??5k??3k?5???5k??5k?2?5k??5k????5k???

（??(?1)k）5k?2???