《線性代數》知識點

歸納整理

學生

編

01、余子式與代數余子式

02、主對角線

03、轉置行列式

04、行列式的性質

05、計算行列式

06、矩陣中未寫出的元素

07、幾類特殊的方陣

08、矩陣的運算規則

09、矩陣多項式

10、對稱矩陣

11、矩陣的分塊

12、矩陣的初等變換

13、矩陣等價

14、初等矩陣

15、行階梯形矩陣

與

行最簡形矩陣

16、逆矩陣

17、充分性與必要性的證明題

18、伴隨矩陣

19、矩陣的標準形：

20、矩陣的秩：

21、矩陣的秩的一些定理、推論

22、線性方程組概念

23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）

24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念

25、線性方程組的向量形式

26、線性相關

與

線性無關的概念

27、向量個數大于向量維數的向量組

必然線性相關

28、線性相關、線性無關；齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關系及其例題

29、線性表示

與

線性組合的概念

30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關系其例題

31、線性相關（無關）與線性表示的3個定理

32、最大線性無關組與向量組的秩

33、線性方程組解的結構

01、余子式與代數余子式

（1）設三階行列式D＝，則

①元素，的余子式分別為：M11＝，M12＝，M13＝

對M11的解釋：劃掉第1行、第1列，剩下的就是一個二階行列式，這個

行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此類推。

②元素，的代數余子式分別為：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13

.對Aij的解釋（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j

M

ij

.（N階行列式以此類推）

（2）填空題求余子式和代數余子式時，最好寫原式。比如說，作業P1第1題：

M31＝，A31＝(-1)3+1

（3）例題：課本P8、課本P21-27、作業P1第1題、作業P1第3題

02、主對角線

一個n階方陣的主對角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1,2,3…

n，即從左上到右下的一條斜線。與之相對應的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。

03、轉置行列式

即元素與元素的位置對調（i表示第i行，j表示第j列），比如說，與的位置對調、與的位置對調。

04、行列式的性質

詳見課本P5-8（性質1.1.1~

1.1.7）

其中，性質1.1.7可以歸納為這個：

＋＋

…

＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟練掌握行列式的性質，可以迅速的簡化行列式，方便計算。

例題：作業P1第2題

05、計算行列式

（1）計算二階行列式：

①方法（首選）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝＝

例題：課本P14

（2）計算三階行列式：

＝＝(－1)1＋1M11

＋(－1)1＋2M12

＋(－1)1＋3M13

N階行列式的計算以此類推。通常先利用行列式的性質對行列式進行轉化，0元素較多時方便計算.（r是row，即行。c是column，即列）

例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業P1第4題、作業P2第3小題

（3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝…（主對角線上元素的乘積）

例題：課本P10、作業P3第4小題

有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”轉化成上三角行列式

例題：課本P11

（4）范德蒙行列式：詳見課本P12-13

（5）有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全為1的一行，方便化簡行列式。

例題：作業P2第1小題、作業P2第2小題

06、矩陣中未寫出的元素

課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣

詳見課本P30-32

（1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式

（2）對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0

（3）數量矩陣：主對角線上的元素都相同

（4）零矩陣：所有元素都為0，記作O

（5）單位矩陣：主對角線上的元素都為1，其他元素全為0，記作E或En

（其行列式的值為1）

08、矩陣的運算規則

（1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數與矩陣B的行數相同；

矩陣A的列數與矩陣B的列數也相同）：

①課本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交換律：A＋B＝B＋A

③加法結合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩陣的乘法（基本規則詳見課本P34陰影）：

①數與矩陣的乘法：

I.課本P33“kA”

II.＝kn（因為k只等于用數k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式）

②同階矩陣相乘（高中理科數學選修矩陣基礎）：

×＝

描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計算得到的矩陣為，則

A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即A＝×＋×

B的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。

即B＝×＋×

C的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即C＝×＋×

D的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。

即D＝×＋×.×＝

描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計算得到的矩陣為，則

A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即A＝×＋×＋×

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法與A類似。

③數乘結合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④數乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法結合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.課本P34例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣

II.課本P34例題數乘的消去律、交換律不成立

III.一般來講，（AB）k

≠

A

k

B

k，因為矩陣乘法不滿足交換律

IV.課本P40習題第2題：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2

.當AB＝BA時，以上三個等式均成立

（3）矩陣的轉置運算規律：

①

(AT)T＝A

②

(A±B)T＝A

T±B

T

③

(kA)T＝kAT

④

(AB)T＝B

TAT

⑤

(ABC)T＝CTB

TAT

⑥

(ABCD)T＝DTCTB

TAT

（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）

＝

（5）例題：課本P35、課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1

大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業P5全部、作業P5第3大題、作業

P5第4大題

09、矩陣多項式

詳見課本P3610、對稱矩陣

（1）對稱矩陣、實對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（詳見課本P37）

（2）①同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣

②數

與

對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣

③對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣

11、矩陣的分塊

線代老師說這部分的內容做了解即可。

詳見課本P38-4012、矩陣的初等變換

三種行變換與三種列變換：詳見課本P

例題：作業P6全部

13、矩陣等價

若矩陣A經過若干次初等變換后變成矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價，記為AB14、初等矩陣

（1）是由單位矩陣經由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49

（2）設A為m×n矩陣，則對A施行一次初等行變換相當于在A的左邊乘上一個相應的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當于在A的右邊乘上一個相應的n階初等矩陣.詳見課本P50-51

（3）課本P51第3大題

15、行階梯形矩陣

與

行最簡形矩陣

（1）對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換（或對換列）化為行階梯型矩陣

（2）行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：

若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0，每個臺階只有一行（臺階數即是非零行的行數），階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元素，也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎上，若非零行的第一個非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題：課本P45、作業P6全部、課本P51第2大題

16、逆矩陣

（1）設A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）

（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A－1，AA－1＝E

（3）n階方陣A可逆的充要條件為≠0，并且，當A可逆時，A－1＝

（證明詳見課本P54）

例題：課本P59第1大題

（4）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）

（5）性質：設A，B都是n階的可逆方陣，常數k≠0，那么

①

(A－1)－1＝A

②

AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T

③

kA也可逆，并且

(kA)-1＝A-1

④

AB也可逆，并且(AB)

-1＝B-1A-1

⑤

A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥

AA-1＝E

AA-1＝E＝1

AA-1＝1

A-1＝

例題：課本P58例2.3.7、作業P7第1題

（6）分塊對角矩陣的可逆性：課本P57

（7）由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6

（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩陣可逆）

（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣

（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣

（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積（證明：課本P67）

（12）利用初等行變換求逆矩陣：A-1（例題：課本P68、課本P71）

（13）形如AX＝B的矩陣方程，當方陣A可逆時，有A-1

AX＝A-1B，即X＝A-1B.此時有：

矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題

矩陣方程計算中易犯的錯誤：課本P56“注意不能寫成……”

17、充分性與必要性的證明題

（1）必要性：由結論推出條件

（2）充分性：由條件推出結論

例題：課本P41第8大題、作業P5第5大題

18、伴隨矩陣

（1）定義：課本P52

定義2.3.2

（2）設A為n階方陣（n≥2），則AA*＝A*A＝En（證明詳見課本P53-54）

（3）性質：（注意伴隨矩陣是方陣）

①

A*＝A－1

②

(kA)*

＝

·(kA)-1

＝

k

n·A-1

＝

k

n

·A-1

＝

k

n-1A*（k≠0）

③

|A*|

＝

|

A－1

|

＝n·|

A－1|

＝

n·（因為存在A－1，所以≠0）＝

n-1

④

(A*)*

＝

(A－1)*

＝

|

A－1

|·(A－1)－1

＝

n

|

A－1|·(A－1)－1

＝

n·A

＝

n-2A

（因為AA－1

＝

E，所以A－1的逆矩陣是A，即(A－1)－1）

⑤

(AB)

*＝B*A*

⑥

(A*)-1＝(A-1)

*＝

（4）例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業P7第2題、作業P8全部

19、矩陣的標準形：

（1）定義：課本P61-62

（2）任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標準形

20、矩陣的秩：

（1）定義：課本P63

（2）性質：設A是m×n的矩陣，B是p×q的矩陣，則

①

若k是非零數，則R

(kA)＝R

(A)

②

R

(A)＝R

(AT)

③

等價矩陣有相同的秩，即若AB，則R

(A)＝R

(B)

④

0≤R

(Am×n)≤min

⑤

R

(AB)≤min

⑥

設A與B都是m×n矩陣，則R

(A＋B)≤R

(A)＋R

(B)

（3）n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數，即R

(A)＝n

（4）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積。（證明：P67）

（5）

設A是m×n矩陣，P、Q分別是m階與n階可逆方陣，則R

(A)＝R

(PA)＝R

(AQ)＝R

(PAQ)

（6）例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業P7第3題、作業P9全部

21、矩陣的秩的一些定理、推論

線代老師說這部分的內容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念

線性方程組是各個方程關于未知量均為一次的方程組。

線性方程組經過初等變換后不改變方程組的解。

23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）

（1）定義：課本P81

（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81

（3）系數矩陣A、增廣矩陣、矩陣式方程：課本P82

（4）矛盾方程組（方程組無解）：課本P85例題

（5）增廣矩陣的最簡階梯形：課本P87

（6）系數矩陣的最簡階梯形：課本P87

（7）課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方

便敘述，在解方程組時不用交換列。

（8）克萊姆法則：

①初步認知：

已知三元線性方程組，其系數行列式D＝.當D≠0時，其解為：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此類推）

②定義：課本P15

③使用的兩個前提條件：課本P18

④例題：課本P3、課本P16-17、課本P18、作業P3第7題

（9）解非齊次線性方程組（方程組施行初等變換實際上就是對增廣矩陣施行初等行變換）例題：

課本P26、課本P42、課本P82、課本P84、課本P85、課本P86第1大題、課本P88、課本P91、作業P10第1題

（10）解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本

P91、作業P1第5題、作業P10第2題

（11）n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況：（R

(A)

不可能＞

R

()）

R

(A)

＜

R

()

無解

＜

n

有無窮多個解

R

(A)

＝

R

()

有解

＝

n

有唯一解

特別地，當A是

≠0

有唯一解

n階方陣時，可

R

(A)

＜

R

()

無解

由行列式來判斷

R

(A)

＝

R

()

有解

當＝0

有無窮多個解

例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業P11第三題

（12）n元齊次線性方程組AX＝O的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充

要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解）

R

(A)

＝

n

只有零解（有唯一解，為0）

R

(A)

＜

n

有非零解（有無窮多個解）

特別地，當A是n階方陣

≠0

只有零解（有唯一解，為0）

時，可由行列式來判斷

＝0

有非零解（有無窮多個解）

例題：課本P24、課本P90-91、作業P11全部

24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念

詳見課本P92-93

將列向量組的分量排成矩陣計算時，計算過程中只做行變換，不做列變換。

初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩

陣中用。（行列式的性質包括行與列的變換）

手寫零向量時不必加箭頭。

25、線性方程組的向量形式

詳見課本P9326、線性相關

與

線性無關的概念

詳見課本P93-94

例題：課本P101第6大題、作業P14第五大題

27、向量個數大于向量維數的向量組

必然線性相關

線代老師課上提到的結論。

28、線性相關、線性無關；齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關系及其例題

詳見課本P94

定理3.3.1、定理3.3.2

例題：課本P94-95

例3.3.2、課本P101第3大題、課

22本P101第5大題、作業P12第3小題、作業P12第二大題、作業P13第三大題、作業P13第四大題

29、線性表示

與

線性組合的概念

詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關系其例題

詳見課本P95-96

定理3.3.3

例題：課本P95-96

例3.3.431、線性相關（無關）與線性表示的3個定理

詳見課本P96

定理3.3.4、課本P97定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無關組與向量組的秩

詳見課本P98-100

定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7

單位列向量，即“只有一個元素為1，且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無關組

用）

例題：課本P100

例3.3.5、課本P101第4大題、作業P14第六大題

33、線性方程組解的結構

看此內容之前，最好先復習下“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”與“n元齊次線性

方程組AX＝O的解的情況”。

（1）n元齊次線性方程組AX＝O解的結構

①

定理3.4.1：詳見課本P101-102

②

定義3.4.1（并理解“基礎解系、通解、結構式通解、向量式通解”）：詳見課本P102

③

定理3.4.2：詳見課本P102

④

解題步驟（“注”為補充說明）（以課本P104例3.4.1為例）：

（I）A

＝

…

…

注：往“行最簡形矩陣”方向轉化（因為在解方程組時不用列變換，所以一般沒法

真正轉化成行最簡形矩陣，所以說“往……方向轉化”）。

（II）得到同解方程組

注：由得到同解方程組

（III）∴

此方程組的一組解向量為：＝，＝，＝

注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數有的是1有的是0，一看便知

（IV）顯然，線性無關。

注：根據課本P93-94

定義3.3.3

得出線性無關，注意，下面分別是：、、，令它們分別為、、，則顯然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，線性無關。

（V）∴，為方程組的基礎解系，方程組的通解為：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）

注：根據課本P102

定義3.4.1

得出該方程組的通解。

⑤

其他例題：課本P109

第1大題、課本P109第3大題、課本P109第4大題、作業

P15第一大題第1小題、作業P15第一大題第3小題

（2）n元非齊次線性方程組AX＝b解的結構

①

導出方程組：非齊次線性方程組AX＝b對應的齊次線性方程組AX＝O（詳見課本P105）

②

定理3.4.3：詳見課本P105

③

定義3.4.4：詳見課本P105

④

定義3.4.5：詳見課本P105

⑤

課本P105

“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”這段內容

⑥

解題步驟（“注”為補充說明，做題時不用寫在卷上）（以課本P106例3.4.2為例）：

（I）＝

……

…

…

（II）得到同解方程組

注：由

得到同解方程組

（III）令＝0，得到原方程組的特解X0＝

注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數有的是1有的是0，一看便知。得到原方程組的特解即以下形式的常數部分。

（IV）導出方程組的同解方程為：

注：導出方程組，即非齊次線性方程組AX＝b對應的齊次線性方程組AX＝O，即步驟（III）“注”的“形式”的系數部分。

（V）令＝1，得到方程組的基礎解系＝，則原方程組的通解為：

X0

＋

k（k可取任意值）

⑦

其他例題：

（I）課本P107

例3.4.3（之前先復習“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”）

要將含有參數的式子作為分母時，得注意該式子是否≠0

（II）課本P109

第2大題、作業P15第一大題第4小題、作業P15第二大題、作業P16第三大題、作業P15第一大題第2小題、作業P15第一大題第3小題