第一篇：線性代數總結的相關知識點
線性代數總結的相關知識點：
1、排列、逆序數、行列式的定義；
2、行列式的性質；
3、行列式的計算；
4、矩陣的運算；
5、方陣的行列式；
6、伴隨矩陣；
7、逆矩陣；
8、分塊矩陣的運算及性質；
9、矩陣的初等行變換；
10、行階梯形、行最簡形、標準形；
11、矩陣的秩；
12、求解線性方程組；
13、向量組的線性相關性；
14、向量組的秩；
15、向量組的最大無關組；
16、齊次線性方程組的基礎解系；
17、線性方程組的解的結構；
18、向量的內積、正交性；
19、特征值與特征向量；
20、相似矩陣。
第二篇：線性代數知識點總結匯總
線性代數知識點總結
行列式
（一）行列式概念和性質
1、逆序數：所有的逆序的總數
2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數和
3、行列式性質：（用于化簡行列式）
（1）行列互換（轉置），行列式的值不變
（2）兩行（列）互換，行列式變號
（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式
（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。
（6）兩行成比例，行列式的值為0。
（二）重要行列式
4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積
5、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘
6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則
7、n階（n≥2）范德蒙德行列式
數學歸納法證明
★8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：
（三）按行（列）展開
9、按行展開定理：
（1）任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值
（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0
（四）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1）|kA|=kn|A|
（2）|AB|=|A|·|B|
（3）|AT|=|A|
（4）|A-1|=|A|-1
（5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，則
（7）若A與B相似，則|A|=|B|
（五）克萊姆法則
11、克萊姆法則：
（1）非齊次線性方程組的系數行列式不為0，那么方程為唯一解
（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數行列式必為0
（3）若齊次線性方程組的系數行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。
矩陣
（一）矩陣的運算
1、矩陣乘法注意事項：
（1）矩陣乘法要求前列后行一致；
（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律）
（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
2、轉置的性質（5條）
（1）（A+B）T=AT+BT
（2）（kA）T=kAT
（3）（AB）T=BTAT
（4）|A|T=|A|
（5）（AT）T=A
（二）矩陣的逆
3、逆的定義：
AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1
注：A可逆的充要條件是|A|≠04、逆的性質：（5條）
（1）（kA）-1=1/k·A-1
(k≠0)
（2）（AB）-1=B-1·A-1
（3）|A-1|=|A|-1
（4）（AT）-1=（A-1）T
（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：
（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解
（2）A為數字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）
（三）矩陣的初等變換
6、初等行（列）變換定義：
（1）兩行（列）互換；
（2）一行（列）乘非零常數c
（3）一行（列）乘k加到另一行（列）
7、初等矩陣：單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣。
8、初等變換與初等矩陣的性質：
（1）初等行（列）變換相當于左（右）乘相應的初等矩陣
（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；
Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）
Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）
★（四）矩陣的秩
9、秩的定義：非零子式的最高階數
注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O
（2）r（An×n）=n（滿秩）←→
|A|≠0
←→A可逆；
r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；
（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。
10、秩的性質：（7條）
（1）A為m×n階矩陣，則r（A）≤min（m,n）
（2）r（A±B）≤r（A）±（B）
（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}
（4）r（kA）=r（A）（k≠0）
（5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣）
（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）
（7）設A是m×n階矩陣，B是n×s矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：
（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解；
（2）A為數字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數
（五）伴隨矩陣
12、伴隨矩陣的性質：（8條）
（1）AA*=A*A=|A|E
→
★A*=|A|A-1
（2）（kA）*=kn-1A*
（3）（AB）*=B*A*
（4）|A*|=|A|n-1
（5）（AT）*=（A*）T
（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1
（7）（A*）*=|A|
n-2·A
★（8）r（A*）=n
（r（A）=n）；
r（A*）=1
（r（A）=n-1）；
r（A*）=0
（r（A）＜n-1）
（六）分塊矩陣
13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。
14、分塊矩陣求逆：
向量
（一）向量的概念及運算
1、向量的內積：（α，β）=αTβ=βTα
2、長度定義：
||α||=
3、正交定義：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E
←→
A-1=AT
←→
ATA=E
→
|A|=±1
（二）線性組合和線性表示
5、線性表示的充要條件：
非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示
(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。
★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）
6、線性表示的充分條件：（了解即可）
若α1，α2，…，αs線性無關，α1，α2，…，αs，β線性相關，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。
7、線性表示的求法：（大題第二步）
設α1，α2，…，αs線性無關，β可由其線性表示。
（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡形|系數）
行最簡形：每行第一個非0的數為1，其余元素均為0
（三）線性相關和線性無關
8、線性相關注意事項：
（1）α線性相關←→α=0
（2）α1，α2線性相關←→α1，α2成比例
9、線性相關的充要條件：
向量組α1，α2，…，αs線性相關
（1）←→有個向量可由其余向量線性表示；
（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；
★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s
即秩小于個數
特別地，n個n維列向量α1，α2，…，αn線性相關
（1）←→
r（α1，α2，…，αn）＜n
（2）←→|α1，α2，…，αn
|=0
（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆
10、線性相關的充分條件：
（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關
（2）部分相關，則整體相關
（3）高維相關，則低維相關
（4）以少表多，多必相關
★推論：n+1個n維向量一定線性相關
11、線性無關的充要條件
向量組α1，α2，…，αs
線性無關
（1）←→任意向量均不能由其余向量線性表示；
（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解
（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s
特別地，n個n維向量α1，α2，…，αn
線性無關
←→r（α1，α2，…，αn）=n
←→|α1，α2，…，αn
|≠0
←→矩陣可逆
12、線性無關的充分條件：
（1）整體無關，部分無關
（2）低維無關，高維無關
（3）正交的非零向量組線性無關
（4）不同特征值的特征向量無關
13、線性相關、線性無關判定
（1）定義法
★（2）秩：若小于階數，線性相關；若等于階數，線性無關
【專業知識補充】
（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。
（2）若n維列向量α1，α2，α3
線性無關，β1，β2，β3
可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無關。
←→r（β1，β2，β3）=3
←→
r（C）=3
←→
|C|≠0
（四）極大線性無關組與向量組的秩
14、極大線性無關組不唯一
15、向量組的秩:極大無關組中向量的個數成為向量組的秩
對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數
★注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等
★16、極大線性無關組的求法
（1）α1，α2，…，αs
為抽象的：定義法
（2）α1，α2，…，αs
為數字的：
（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣
則每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組
（五）向量空間
17、基（就是極大線性無關組）變換公式：
若α1，α2，…，αn
與β1，β2，…，βn
是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n
其中，C是從基α1，α2，…，αn
到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。
C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）
18、坐標變換公式：
向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn的坐標分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1
+
x2α2
+
…
+xnαn
=y1β1
+
y2β2
+
…
+ynβn，則坐標變換公式為x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基α1，α2，…，αn
到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）
（六）Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
設α1，α2，α3
線性無關
（1）正交化
令β1=α1
（2）單位化
線性方程組
（一）方程組的表達形與解向量
1、解的形式：
(1)一般形式
(2)矩陣形式：Ax=b；
(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）
2、解的定義：
若η=（c1，c2，…，cn）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個解（向量）
（二）解的判定與性質
3、齊次方程組：
（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數或是未知數x的個數）
（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齊次方程組：
（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1
（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n
（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性質：
（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解
（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解
（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解
【推廣】
（1）設η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為
Ax=b的解
（當Σki=1）
Ax=0的解
（當Σki=0）
（2）設η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個線性無關的解，則η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1為Ax=0的s-1個線性無關的解。
變式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2
②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1
（三）基礎解系
6、基礎解系定義：
（1）ξ1，ξ2，…，ξs
是Ax=0的解
（2）ξ1，ξ2，…，ξs
線性相關
（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示
→基礎解系即所有解的極大無關組
注：基礎解系不唯一。
任意n-r（A）個線性無關的解均可作為基礎解系。
★7、重要結論：（證明也很重要）
設A施m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O
（1）B的列向量均為方程Ax=0的解
（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）
8、總結：基礎解系的求法
（1）A為抽象的：由定義或性質湊n-r（A）個線性無關的解
（2）A為數字的：A→初等行變換→階梯型
自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎解系
（四）解的結構（通解）
9、齊次線性方程組的通解（所有解）
設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r
為Ax=0的基礎解系，則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r
（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）
10、非齊次線性方程組的通解
設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r
為Ax=0的基礎解系，η為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為η+
k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r
（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）
（五）公共解與同解
11、公共解定義：
如果α既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱α為其公共解
12、非零公共解的充要條件：
方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解
←→
有非零解←→
13、重要結論（需要掌握證明）
（1）設A是m×n階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A）
（2）設A是m×n階矩陣，r（A）=n，B是n×s階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）
特征值與特征向量
（一）矩陣的特征值與特征向量
1、特征值、特征向量的定義：
設A為n階矩陣，如果存在數λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。
2、特征多項式、特征方程的定義：
|λE-A|稱為矩陣A的特征多項式（λ的n次多項式）。
|λE-A
|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以寫為|A-λE|=03、重要結論：
（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量
（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。
（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。
△4、總結：特征值與特征向量的求法
（1）A為抽象的：由定義或性質湊
（2）A為數字的：由特征方程法求解
5、特征方程法：
（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn
注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數，不能省略)
（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關的特征向量，即其基礎解系（共n-r（λiE-A）個解）
6、性質：
（1）不同特征值的特征向量線性無關
（2）k重特征值最多k個線性無關的特征向量
1≤n-r（λiE-A）≤ki
（3）設A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii
（4）當r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0
（5）設α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則
A
f（A）
AT
A-1
A*
P-1AP（相似）
λ
f（λ）
λ
λ-1
|A|λ-1
λ
α
α
/
α
α
P-1α
（二）相似矩陣
7、相似矩陣的定義：
設A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B8、相似矩陣的性質
（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似
（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似
（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）
【推廣】
（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似
（三）矩陣的相似對角化
9、相似對角化定義：
如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=，稱A可相似對角化。
注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量
10、相似對角化的充要條件
（1）A有n個線性無關的特征向量
（2）A的k重特征值有k個線性無關的特征向量
11、相似對角化的充分條件：
（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關）
（2）A為實對稱矩陣
12、重要結論：
（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數，n-r（A）為零特征值的個數
（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數
（四）實對稱矩陣
13、性質
（1）特征值全為實數
（2）不同特征值的特征向量正交
（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ
（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ
二次型
（一）二次型及其標準形
1、二次型：
（1）一般形式
（2）矩陣形式（常用）
2、標準形：
如果二次型只含平方項，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2
這樣的二次型稱為標準形（對角線）
3、二次型化為標準形的方法：
（1）配方法：
通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標準形。其中，可逆線性變換及標準形通過先配方再換元得到。
★（2）正交變換法：
通過正交變換x=Qy，將二次型化為標準形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
其中，λ1，λ2，…，λn
是A的n個特征值，Q為A的正交矩陣
注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi
對應即可。
（二）慣性定理及規范形
4、定義：
正慣性指數：標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數，記為p；
負慣性指數：標準形中負平方項的個數稱為負慣性指數，記為q；
規范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2稱為二次型的規范形。
5、慣性定理：
二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數不變。
注：（1）由于正負慣性指數不變，所以規范形唯一。
（2）p=正特征值的個數，q=負特征值的個數，p+q=非零特征值的個數=r（A）
（三）合同矩陣
6、定義：
A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同
△7、總結：n階實對稱矩陣A、B的關系
（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值
（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負慣性指數←→相同的正負特征值的個數
（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）
注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價
（四）正定二次型與正定矩陣
8、正定的定義
二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。
9、n元二次型xTAx正定充要條件：
（1）A的正慣性指數為n
（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E
（3）A的特征值均大于0
（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）
10、n元二次型xTAx正定必要條件：
（1）aii＞0
（2）|A|＞011、總結：二次型xTAx正定判定（大題）
（1）A為數字：順序主子式均大于0
（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定
12、重要結論：
（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定
（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定
第三篇：《線性代數》知識點歸納整理
《線性代數》知識點
歸納整理
學生
編
01、余子式與代數余子式
02、主對角線
03、轉置行列式
04、行列式的性質
05、計算行列式
06、矩陣中未寫出的元素
07、幾類特殊的方陣
08、矩陣的運算規則
09、矩陣多項式
10、對稱矩陣
11、矩陣的分塊
12、矩陣的初等變換
13、矩陣等價
14、初等矩陣
15、行階梯形矩陣
與
行最簡形矩陣
16、逆矩陣
17、充分性與必要性的證明題
18、伴隨矩陣
19、矩陣的標準形：
20、矩陣的秩：
21、矩陣的秩的一些定理、推論
22、線性方程組概念
23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）
24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念
25、線性方程組的向量形式
26、線性相關
與
線性無關的概念
27、向量個數大于向量維數的向量組
必然線性相關
28、線性相關、線性無關；齊次線性方程組的解；矩陣的秩
這三者的關系及其例題
29、線性表示
與
線性組合的概念
30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩
這三者的關系其例題
31、線性相關（無關）與線性表示的3個定理
32、最大線性無關組與向量組的秩
33、線性方程組解的結構
01、余子式與代數余子式
（1）設三階行列式D＝，則
①元素，的余子式分別為：M11＝，M12＝，M13＝
對M11的解釋：劃掉第1行、第1列，剩下的就是一個二階行列式，這個
行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此類推。
②元素，的代數余子式分別為：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13
.對Aij的解釋（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j
M
ij
.（N階行列式以此類推）
（2）填空題求余子式和代數余子式時，最好寫原式。比如說，作業P1第1題：
M31＝，A31＝(-1)3+1
（3）例題：課本P8、課本P21-27、作業P1第1題、作業P1第3題
02、主對角線
一個n階方陣的主對角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1,2,3…
n，即從左上到右下的一條斜線。與之相對應的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。
03、轉置行列式
即元素與元素的位置對調（i表示第i行，j表示第j列），比如說，與的位置對調、與的位置對調。
04、行列式的性質
詳見課本P5-8（性質1.1.1~
1.1.7）
其中，性質1.1.7可以歸納為這個：
＋＋
…
＋
（i表示第i行，k表示第k列）
熟練掌握行列式的性質，可以迅速的簡化行列式，方便計算。
例題：作業P1第2題
05、計算行列式
（1）計算二階行列式：
①方法（首選）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）
②方法：＝＝
例題：課本P14
（2）計算三階行列式：
＝＝(－1)1＋1M11
＋(－1)1＋2M12
＋(－1)1＋3M13
N階行列式的計算以此類推。通常先利用行列式的性質對行列式進行轉化，0元素較多時方便計算.（r是row，即行。c是column，即列）
例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業P1第4題、作業P2第3小題
（3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：
D＝…（主對角線上元素的乘積）
例題：課本P10、作業P3第4小題
有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”轉化成上三角行列式
例題：課本P11
（4）范德蒙行列式：詳見課本P12-13
（5）有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”提取出“公因式”，得到
元素全為1的一行，方便化簡行列式。
例題：作業P2第1小題、作業P2第2小題
06、矩陣中未寫出的元素
課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣
詳見課本P30-32
（1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式
（2）對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0
（3）數量矩陣：主對角線上的元素都相同
（4）零矩陣：所有元素都為0，記作O
（5）單位矩陣：主對角線上的元素都為1，其他元素全為0，記作E或En
（其行列式的值為1）
08、矩陣的運算規則
（1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數與矩陣B的行數相同；
矩陣A的列數與矩陣B的列數也相同）：
①課本P32“A＋B”、“A－B”
②加法交換律：A＋B＝B＋A
③加法結合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C
（2）矩陣的乘法（基本規則詳見課本P34陰影）：
①數與矩陣的乘法：
I.課本P33“kA”
II.＝kn（因為k只等于用數k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式）
②同階矩陣相乘（高中理科數學選修矩陣基礎）：
×＝
描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計算得到的矩陣為，則
A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。
即A＝×＋×
B的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。
即B＝×＋×
C的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。
即C＝×＋×
D的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。
即D＝×＋×.×＝
描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計算得到的矩陣為，則
A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。
即A＝×＋×＋×
B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法與A類似。
③數乘結合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）
④數乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB
⑤乘法結合律：（AB）C＝A（BC）
⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC
⑦需注意的：
I.課本P34例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣
II.課本P34例題數乘的消去律、交換律不成立
III.一般來講，（AB）k
≠
A
k
B
k，因為矩陣乘法不滿足交換律
IV.課本P40習題第2題：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2
.當AB＝BA時，以上三個等式均成立
（3）矩陣的轉置運算規律：
①
(AT)T＝A
②
(A±B)T＝A
T±B
T
③
(kA)T＝kAT
④
(AB)T＝B
TAT
⑤
(ABC)T＝CTB
TAT
⑥
(ABCD)T＝DTCTB
TAT
（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）
＝
（5）例題：課本P35、課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1
大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業P5全部、作業P5第3大題、作業
P5第4大題
09、矩陣多項式
詳見課本P3610、對稱矩陣
（1）對稱矩陣、實對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（詳見課本P37）
（2）①同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣
②數
與
對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣
③對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣
11、矩陣的分塊
線代老師說這部分的內容做了解即可。
詳見課本P38-4012、矩陣的初等變換
三種行變換與三種列變換：詳見課本P
例題：作業P6全部
13、矩陣等價
若矩陣A經過若干次初等變換后變成矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價，記為AB14、初等矩陣
（1）是由單位矩陣經由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49
（2）設A為m×n矩陣，則對A施行一次初等行變換相當于在A的左邊乘上一個相應的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當于在A的右邊乘上一個相應的n階初等矩陣.詳見課本P50-51
（3）課本P51第3大題
15、行階梯形矩陣
與
行最簡形矩陣
（1）對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換（或對換列）化為行階梯型矩陣
（2）行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：
若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0，每個臺階只有一行（臺階數即是非零行的行數），階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元素，也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎上，若非零行的第一個非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題：課本P45、作業P6全部、課本P51第2大題
16、逆矩陣
（1）設A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）
（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A－1，AA－1＝E
（3）n階方陣A可逆的充要條件為≠0，并且，當A可逆時，A－1＝
（證明詳見課本P54）
例題：課本P59第1大題
（4）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）
（5）性質：設A，B都是n階的可逆方陣，常數k≠0，那么
①
(A－1)－1＝A
②
AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T
③
kA也可逆，并且
(kA)-1＝A-1
④
AB也可逆，并且(AB)
-1＝B-1A-1
⑤
A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1
⑥
AA-1＝E
AA-1＝E＝1
AA-1＝1
A-1＝
例題：課本P58例2.3.7、作業P7第1題
（6）分塊對角矩陣的可逆性：課本P57
（7）由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6
（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1≠0可逆，所
以初等矩陣可逆）
（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣
（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣
（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積（證明：課本P67）
（12）利用初等行變換求逆矩陣：A-1（例題：課本P68、課本P71）
（13）形如AX＝B的矩陣方程，當方陣A可逆時，有A-1
AX＝A-1B，即X＝A-1B.此時有：
矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題
矩陣方程計算中易犯的錯誤：課本P56“注意不能寫成……”
17、充分性與必要性的證明題
（1）必要性：由結論推出條件
（2）充分性：由條件推出結論
例題：課本P41第8大題、作業P5第5大題
18、伴隨矩陣
（1）定義：課本P52
定義2.3.2
（2）設A為n階方陣（n≥2），則AA*＝A*A＝En（證明詳見課本P53-54）
（3）性質：（注意伴隨矩陣是方陣）
①
A*＝A－1
②
(kA)*
＝
·(kA)-1
＝
k
n·A-1
＝
k
n
·A-1
＝
k
n-1A*（k≠0）
③
|A*|
＝
|
A－1
|
＝n·|
A－1|
＝
n·（因為存在A－1，所以≠0）＝
n-1
④
(A*)*
＝
(A－1)*
＝
|
A－1
|·(A－1)－1
＝
n
|
A－1|·(A－1)－1
＝
n·A
＝
n-2A
（因為AA－1
＝
E，所以A－1的逆矩陣是A，即(A－1)－1）
⑤
(AB)
*＝B*A*
⑥
(A*)-1＝(A-1)
*＝
（4）例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業P7第2題、作業P8全部
19、矩陣的標準形：
（1）定義：課本P61-62
（2）任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標準形
20、矩陣的秩：
（1）定義：課本P63
（2）性質：設A是m×n的矩陣，B是p×q的矩陣，則
①
若k是非零數，則R
(kA)＝R
(A)
②
R
(A)＝R
(AT)
③
等價矩陣有相同的秩，即若AB，則R
(A)＝R
(B)
④
0≤R
(Am×n)≤min
⑤
R
(AB)≤min
⑥
設A與B都是m×n矩陣，則R
(A＋B)≤R
(A)＋R
(B)
（3）n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數，即R
(A)＝n
（4）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積。（證明：P67）
（5）
設A是m×n矩陣，P、Q分別是m階與n階可逆方陣，則R
(A)＝R
(PA)＝R
(AQ)＝R
(PAQ)
（6）例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業P7第3題、作業P9全部
21、矩陣的秩的一些定理、推論
線代老師說這部分的內容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念
線性方程組是各個方程關于未知量均為一次的方程組。
線性方程組經過初等變換后不改變方程組的解。
23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）
（1）定義：課本P81
（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81
（3）系數矩陣A、增廣矩陣、矩陣式方程：課本P82
（4）矛盾方程組（方程組無解）：課本P85例題
（5）增廣矩陣的最簡階梯形：課本P87
（6）系數矩陣的最簡階梯形：課本P87
（7）課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方
便敘述，在解方程組時不用交換列。
（8）克萊姆法則：
①初步認知：
已知三元線性方程組，其系數行列式D＝.當D≠0時，其解為：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此類推）
②定義：課本P15
③使用的兩個前提條件：課本P18
④例題：課本P3、課本P16-17、課本P18、作業P3第7題
（9）解非齊次線性方程組（方程組施行初等變換實際上就是對增廣矩陣施行初等行變換）例題：
課本P26、課本P42、課本P82、課本P84、課本P85、課本P86第1大題、課本P88、課本P91、作業P10第1題
（10）解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本
P91、作業P1第5題、作業P10第2題
（11）n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況：（R
(A)
不可能＞
R
()）
R
(A)
＜
R
()
無解
＜
n
有無窮多個解
R
(A)
＝
R
()
有解
＝
n
有唯一解
特別地，當A是
≠0
有唯一解
n階方陣時，可
R
(A)
＜
R
()
無解
由行列式來判斷
R
(A)
＝
R
()
有解
當＝0
有無窮多個解
例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業P11第三題
（12）n元齊次線性方程組AX＝O的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充
要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解）
R
(A)
＝
n
只有零解（有唯一解，為0）
R
(A)
＜
n
有非零解（有無窮多個解）
特別地，當A是n階方陣
≠0
只有零解（有唯一解，為0）
時，可由行列式來判斷
＝0
有非零解（有無窮多個解）
例題：課本P24、課本P90-91、作業P11全部
24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念
詳見課本P92-93
將列向量組的分量排成矩陣計算時，計算過程中只做行變換，不做列變換。
初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩
陣中用。（行列式的性質包括行與列的變換）
手寫零向量時不必加箭頭。
25、線性方程組的向量形式
詳見課本P9326、線性相關
與
線性無關的概念
詳見課本P93-94
例題：課本P101第6大題、作業P14第五大題
27、向量個數大于向量維數的向量組
必然線性相關
線代老師課上提到的結論。
28、線性相關、線性無關；齊次線性方程組的解；矩陣的秩
這三者的關系及其例題
詳見課本P94
定理3.3.1、定理3.3.2
例題：課本P94-95
例3.3.2、課本P101第3大題、課
22本P101第5大題、作業P12第3小題、作業P12第二大題、作業P13第三大題、作業P13第四大題
29、線性表示
與
線性組合的概念
詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩
這三者的關系其例題
詳見課本P95-96
定理3.3.3
例題：課本P95-96
例3.3.431、線性相關（無關）與線性表示的3個定理
詳見課本P96
定理3.3.4、課本P97定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無關組與向量組的秩
詳見課本P98-100
定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7
單位列向量，即“只有一個元素為1，且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無關組
用）
例題：課本P100
例3.3.5、課本P101第4大題、作業P14第六大題
33、線性方程組解的結構
看此內容之前，最好先復習下“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”與“n元齊次線性
方程組AX＝O的解的情況”。
（1）n元齊次線性方程組AX＝O解的結構
①
定理3.4.1：詳見課本P101-102
②
定義3.4.1（并理解“基礎解系、通解、結構式通解、向量式通解”）：詳見課本P102
③
定理3.4.2：詳見課本P102
④
解題步驟（“注”為補充說明）（以課本P104例3.4.1為例）：
（I）A
＝
…
…
注：往“行最簡形矩陣”方向轉化（因為在解方程組時不用列變換，所以一般沒法
真正轉化成行最簡形矩陣，所以說“往……方向轉化”）。
（II）得到同解方程組
注：由得到同解方程組
（III）∴
此方程組的一組解向量為：＝，＝，＝
注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數有的是1有的是0，一看便知
（IV）顯然，線性無關。
注：根據課本P93-94
定義3.3.3
得出線性無關，注意，下面分別是：、、，令它們分別為、、，則顯然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，線性無關。
（V）∴，為方程組的基礎解系，方程組的通解為：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）
注：根據課本P102
定義3.4.1
得出該方程組的通解。
⑤
其他例題：課本P109
第1大題、課本P109第3大題、課本P109第4大題、作業
P15第一大題第1小題、作業P15第一大題第3小題
（2）n元非齊次線性方程組AX＝b解的結構
①
導出方程組：非齊次線性方程組AX＝b對應的齊次線性方程組AX＝O（詳見課本P105）
②
定理3.4.3：詳見課本P105
③
定義3.4.4：詳見課本P105
④
定義3.4.5：詳見課本P105
⑤
課本P105
“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”這段內容
⑥
解題步驟（“注”為補充說明，做題時不用寫在卷上）（以課本P106例3.4.2為例）：
（I）＝
……
…
…
（II）得到同解方程組
注：由
得到同解方程組
（III）令＝0，得到原方程組的特解X0＝
注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數有的是1有的是0，一看便知。得到原方程組的特解即以下形式的常數部分。
（IV）導出方程組的同解方程為：
注：導出方程組，即非齊次線性方程組AX＝b對應的齊次線性方程組AX＝O，即步驟（III）“注”的“形式”的系數部分。
（V）令＝1，得到方程組的基礎解系＝，則原方程組的通解為：
X0
＋
k（k可取任意值）
⑦
其他例題：
（I）課本P107
例3.4.3（之前先復習“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”）
要將含有參數的式子作為分母時，得注意該式子是否≠0
（II）課本P109
第2大題、作業P15第一大題第4小題、作業P15第二大題、作業P16第三大題、作業P15第一大題第2小題、作業P15第一大題第3小題
第四篇：線性代數總結
線性代數總結 [轉貼 2008-05-04 13:04:49]
字號：大 中 小
線性代數總結
一、課程特點
特點一：知識點比較細碎。
如矩陣部分涉及到了各種類型的性質和關系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。特點二：知識點間的聯系性很強。
這種聯系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關知識，更重要的是在于不同章節中各種性質、定理、判定法則之間有著相互推導和前后印證的關系。復習線代時，要做到“融會貫通”。
“融會”——設法找到不同知識點之間的內在相通之處； “貫通”——掌握前后知識點之間的順承關系。
二、行列式與矩陣
第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數中的基礎章節，有必要熟練掌握。
行列式的核心內容是求行列式，包括具體行列式的計算和抽象行列式的計算，其中具體行列式的計算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應用行列式的性質及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。
對于抽象行列式的求值，考點不在求行列式，而在于、、等的相關性質，及性質（其中 為矩陣 的特征值）。
矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣運算的運算規律、、、的性質、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質、初等矩陣的性質等。
三、向量與線性方程組
向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節；后兩章特征值、特征向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。
向量與線性方程組的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。解線性方程組可以看作是出發點和目標。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（Ⅰ）矩陣形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中 ，向量就這樣被引入了。
1）齊次線性方程組與線性相關、無關的聯系
齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因為當 時等式一定成立；印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。
齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式 中的 只能全為0才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為0的 使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線性相關無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又產生了聯系：齊次線性方程組 是否有非零解對應于系數矩陣 的列向量組是否線性相關。可以設想線性相關無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯系
同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”，向量組 組成的矩陣 有 說明向量組的極大線性無關組中有 個向量，即 線性無關，也即等式 只有零解。所以，經過
“秩 → 線性相關無關 → 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當 時，的列向量組 線性相關，此時齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過 個線性無關的解向量（基礎解系）線性表示。
3）非齊次線性方程組與線性表示的聯系
非齊次線性方程組 是否有解對應于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數 就是非齊次線性方程組 的解。當非齊次線性方程組 滿足 時，它有唯一解。這一點也正好印證了一個重要定理：“若 線性無關，而 線性相關，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。性質1.對于方陣 有：
方陣 可逆ó
ó 的行列向量組均線性無關ó ó 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 僅有零解 對于一般矩陣 則有： ó 的列向量組線性無關
ó 僅有零解，有唯一解（如果有解）
性質2．齊次線性方程組 是否有非零解對應于系數矩陣 的列向量組是否線性相關，而非齊次線性方程組 是否有解對應于 是否可以由 的列向量組線性表出。
以上兩條性質可視為是將線性相關、行列式、秩、線性方程組幾部分知識聯系在一起的橋梁。
應記住的一些性質與結論 1．向量組線性相關的有關結論：
1）向量組 線性相關ó向量組中至少存在一個向量可由其余 個向量線性表出。2）向量組線性無關ó向量組中沒有一個向量可由其余的向量線性表出。
3）若 線性無關，而 線性相關，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。
2．向量組線性表示與等價的有關結論：
1）一個線性無關的向量組不可能由一個所含向量個數比它少的向量組線性表示。2）如果向量組 可由向量組 線性表示，則有
3）等價的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個數的向量； 4）任何一個向量組都與它的極大線性無關組等價。3．常見的線性無關組：
1）齊次線性方程組的一個基礎解系； 2）、、這樣的單位向量組； 3）不同特征值對應的特征向量。4．關于秩的一些結論： 1）； 2）； 3）； 4）；
5）若有、滿足，則 ； 6）若 是可逆矩陣則有 ； 7）若 可逆則有 ； 8）。
4．線性方程組的解：
1）非齊次線性方程組 有唯一解則對應齊次方程組 僅有零解；
2）若 有無窮多解則 有非零解； 3）若 有兩個不同的解則 有非零解；
4）若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當 時有唯一解，當 時有無窮多解； 5）若 則 沒有解或有唯一解。
四、特征值與特征向量
相對于前兩章來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關，“牽一發而動全身”。本章知識要點如下： 1．特征值和特征向量的定義及計算方法 就是記牢一系列公式如、、和。常用到下列性質：
若 階矩陣 有 個特征值，則有 ；
若矩陣 有特征值，則、、、、、分別有特征值、、、、、，且對應特征向量等于 所對應的特征向量； 2．相似矩陣及其性質
定義式為，此時滿足、、，并且、有相同的特征值。
需要區分矩陣的相似、等價與合同：矩陣 與矩陣 等價（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時矩陣 可通過初等變換化為矩陣，并有 ；當 中的、互逆時就變成了矩陣相似（）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是，其中 為可逆矩陣。
由以上定義可看出等價、合同、相似三者之間的關系：若 與 合同或相似則 與 必等價，反之不成立；合同與等價之間沒有必然聯系。3．矩陣可相似對角化的條件
包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件1是 階矩陣 有 個線性無關的特征向量；充要條件2是 的任意 重特征根對應有 個線性無關的特征向量；充分條件1是 有 個互不相同的特征值；充分條件2是 為實對稱矩陣。4．實對稱矩陣及其相似對角化
階實對稱矩陣 必可正交相似于對角陣，即有正交矩陣 使得，而且正交矩陣 由 對應的 個正交的單位特征向量組成。
可以認為討論矩陣的相似對角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足（對角矩陣）的話就簡單多了，因為此時
而對角陣 的冪 就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。因為，不但判斷矩陣的相似對角化時要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分別是由 的特征向量和特征值決定的。
五、二次型
本章所講的內容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣 存在正交矩陣 使得 可以相似對角化”，其過程就是上一章相似對角化在 為實對稱矩陣時的應用。本章知識要點如下：
1．二次型及其矩陣表示。2．用正交變換化二次型為標準型。3．正負定二次型的判斷與證明。
標簽: 線性代數總結
.學習線性代數總結
2009年06月14日 星期日 上午 11:12
學習線性代數總結
線性代數與數理統計已經學完了，但我認為我們的學習并沒有因此而結束。我們應該總結一下這門課程的學習的方法，并能為我們以后的學習和工作提供方法。這門課程的學習目標：《線性代數》是物理系等專業的一門重要的基礎課，其主要任務是使學生獲得線性代數的基本思想方法和行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面 的系統知識，它一方面為后繼課程（如離散數學、計算方法、等課程）提供一些所需的基礎理論和知識；另一方面還對提高學生的思維能力，開發學生智能、加強“三基”（基礎知識、基本理論、基本理論）及培養學生創造型能力，培養學生的抽象思維和邏輯推理能力等重要作用。同時隨著計算機及其應用技術的飛速發展，很多實際問題得以離散化而得到定量的解決。作為離散化和數值計算理論基礎的線性代數，為解決實際問題提供了強有力的數學工具。
我總結了《線性代數》的一些學習方法，可能有的同學會認為這已經為時過晚，但我不這么認為。從這門課程中，我們學會的不僅僅是線性代數的一些相關知識（行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面的系統知識），更重要的是，從這門課程中我們應該掌握一種很重要的思想——學習如何去使用工具的方法。這個工具狹隘的講是線性代數這門數學知識，但從廣義地說：這個工具應該是生活中的一切工具（如電腦軟件的學習方法、機器的操作方法、科學調查方法等）。在這門課程給我的感觸就是：這門課告訴我們如何去學知識的方法。
我認為：學習任何一門知識的方法是：
一、明確我們要學習什么知識或者要掌握哪些方面的技能。
只能我們明白我們自己要學習什么之后，我們才會有動力去學習，在我們的大學里，有些同學不明白學習課本知識有何作用，認為學習與不學習沒有什么區別，或者認為學習課本知識沒有多大的作用，就干脆不學（當然我在這里沒有貶低任何人的意思）。不過我認為學習好自己的專業的知識，掌握專業技能是每個大學生的天職。
二、知道知識是什么，了解相關知識的概念和定義。
這是學習的一切學習的基礎，只有把握這個環節，我們的學習實踐活動才能得以開展，知識是人類高度概括、總結的經驗，不可能像平常說話那么通俗易懂。所以我們要想把知識學好，就得在概念上下功夫。例《線性代數》這門課程中的實二次型，那我們首先得非常清楚的知到，什么叫做實二次型。否則這一塊的知識沒有辦法開展。
三、要知到我們學的知識可以用到何處，或者能幫我們解決什么問題。
其實這一點和第一點有點重復。但是對于我們的課本知識非常得有用，因為我們現在所學的課本知識。說句實在話，我們確實不知到能為我們生活中能解決什么問題，但如果我們知到它能用到何處，相信將來一定會有用。有一句話說得好，書到用時方恨少，說得是這個道理。總之，我們現在要為以后遇到問題而積累解決問題的方法，我們現在是在為以后的人生在打基礎。
四、學習相關概念后，要學會如何去操作。
像《線性代數》這門課程，在這一點就體現得很突出。如在我們學習正交矩陣這個概念后，我們得要學會如何去求正交矩陣；再如，當我們認識了矩陣的對角化定義之后，我們得掌握如何去將一個矩陣對角化。其
實，就是學會如何去操作，這是我們掌握數學工具的使用方法的重要途徑，所以這部分的工作是我們的學習中心和重點。只有掌握了這部分，我們才能在以后學習或者生活中遇到相似的問題，就有了這個工具去為我們解決實際的問題。
五、將所學習的知識反作用于生活（即將所學的知識用到實處）。
這才是我們學習的真正目的所在。一個人的解決問題的能力應該和他所掌握的知識成正比。學之所用才叫學到實處，才能發揮真正學習的作用。記得這個給我印象最深的是：在我們學C++編程時，有一道題是講的是用一百元錢去買母雞、公雞、小雞。母雞5元錢一只，公雞3元錢一只，小雞3只一元，并且母雞、公雞、小雞的總數為一百只，求有多少種可能。
這其實就是一道最簡單的線性代數題了，設x代表小雞，y代表公雞，z代表母雞：則根據題意有線性方程組
x3+3y+5z=100
x+y+z=100
解此線性方程組得
x=3z/4+75
y=-7z/4+25 z=z
用z作為循環變量控制，這個程序不到十行就可以編出來。這就說明學習知識總會有用的，只要我們去積累，只要我們現在把基礎打牢，我相信以后解決問題的方法多了，大腦用活了，我們的競爭力就強了，自然在社會上有一席之地。
總之：我個人覺得學習知識很有用處。雖然就業壓力在壓著大家，大家為就業而奔波，但至少現在找工作不是我們的重點。把我們手頭上的事做好才是最關鍵，我還是喜歡軍訓中我的那個“胖胖”所說的話：“一個蘿卜，一個坑”，一步一個腳印，腳踏實地。相信我們80年后或90年后的一代能夠擔任起國家建設的重任和使命。
樓主 大 中 小 發表于 2008-10-10 23:50 只看該作者
線性代數超強總結.√ 關于 ：
①稱為 的標準基，中的自然基，單位坐標向量；
② 線性無關；
③ ； ④ ；
⑤任意一個 維向量都可以用 線性表示.√ 行列式的計算：
① 若 都是方陣（不必同階）,則
②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關于副對角線：
√ 逆矩陣的求法:
① ②
③
④
⑤
√ 方陣的冪的性質：
√ 設，對 階矩陣 規定： 為 的一個多項式.√ 設的列向量為 , 的列向量為，的列向量為 , √ 用對角矩陣 左乘一個矩陣,相當于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量； 用對角矩陣 右乘一個矩陣,相當于用 的對角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√ 兩個同階對角矩陣相乘只用把對角線上的對應元素相乘，與分塊對角陣相乘類似,即：
√ 矩陣方程的解法：設法化成當 時，√
和 同解（列向量個數相同）,則： ① 它們的極大無關組相對應,從而秩相等；
② 它們對應的部分組有一樣的線性相關性；
③ 它們有相同的內在線性關系.√ 判斷 是 的基礎解系的條件：
①
線性無關；
②
是 的解；
③
.①
零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.②
單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關.③
部分相關,整體必相關；整體無關,部分必無關.④
原向量組無關,接長向量組無關；接長向量組相關,原向量組相關.⑤
兩個向量線性相關 對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關.⑥
向量組 中任一向量
≤ ≤ 都是此向量組的線性組合.⑦
向量組 線性相關 向量組中至少有一個向量可由其余 個向量線性表示.向量組 線性無關 向量組中每一個向量 都不能由其余 個向量線性表示.⑧
維列向量組 線性相關 ；
維列向量組 線性無關.⑨
.⑩
若 線性無關，而 線性相關,則 可由 線性表示,且表示法惟一.?
矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數.?
矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關系.向量組等價
和 可以相互線性表示.記作： 矩陣等價
經過有限次初等變換化為.記作：
?
矩陣 與 等價
作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價.矩陣 與 作為向量組等價
矩陣 與 等價.?
向量組 可由向量組 線性表示
≤.?
向量組 可由向量組 線性表示,且，則 線性相關.向量組 線性無關,且可由 線性表示,則 ≤.?
向量組 可由向量組 線性表示,且,則兩向量組等價；
?
任一向量組和它的極大無關組等價.?
向量組的任意兩個極大無關組等價,且這兩個組所含向量的個數相等.?
若兩個線性無關的向量組等價,則它們包含的向量個數相等.?
若 是 矩陣,則 ,若，的行向量線性無關；
若，的列向量線性
無關,即： 線性無關.線性方程組的矩陣式
向量
式
矩陣轉置的性質：
矩陣可逆的性質：
伴隨矩陣的性質：
線性方程組解的性質：
√ 設 為 矩陣,若 ,則 ,從而 一定有解.當 時,一定不是唯一解.,則該向量組線性相關.是 的上限.√ 矩陣的秩的性質：
①
②
≤
③
≤
④
⑤
⑥ ≥ ⑦
≤ ⑧
⑨
⑩
且 在矩陣乘法中有左消去律:
標準正交基
個 維線性無關的向量,兩兩正交,每個向量長度為1..是單位向量
.√ 內積的性質：
① 正定性：
② 對稱性：
③ 雙線性：
施密特
線性無關，單位化：
正交矩陣
.√
是正交矩陣的充要條件： 的 個行（列）向量構成 的一組標準正交基.√ 正交矩陣的性質：①
；
②
；
③
是正交陣,則（或）也是正交陣；
④ 兩個正交陣之積仍是正交陣； ⑤ 正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣
.的特征多項式
.的特征方程
.√ 上三角陣、下三角陣、對角陣的特征值就是主對角線上的 各元素.√ 若 ,則 為 的特征值,且 的基礎解系即為屬于 的線性無關的特征向量.√
√ 若 ,則 一定可分解為 =、,從而 的特征值為： ，.√ 若 的全部特征值，是多項式,則:
①的全部特征值為 ；
② 當 可逆時, 的全部特征值為 , 的全部特征值為.√
√
與 相似
（為可逆陣）
記為：
√
相似于對角陣的充要條件： 恰有 個線性無關的特征向量.這時, 為 的特征向量拼成的矩陣，為對角陣,主對角線上的元素為 的特征值.√
可對角化的充要條件：
為 的重數.√ 若 階矩陣 有 個互異的特征值,則 與對角陣相似.與 正交相似
（為正交矩陣）√ 相似矩陣的性質：①
若 均可逆
②
③
（為整數）
④,從而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 關于 的特征向量, 是 關
于 的特征向量.⑤
從而 同時可逆或不可逆
⑥
⑦
√ 數量矩陣只與自己相似.√ 對稱矩陣的性質：
① 特征值全是實數,特征向量是實向量；
② 與對角矩陣合同；
③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④
重特征值必定有 個線性無關的特征向量；
⑤ 必可用正交矩陣相似對角化（一定有 個線性無關的特征向量, 可能有重的特征值,重
數=）.可以相似對角化
與對角陣 相似.記為：
（稱 是 的相似標準型）
√ 若 為可對角化矩陣,則其非零特征值的個數（重數重復計算）.√ 設 為對應于 的線性無關的特征向量,則有：
.√ 若 , ,則：.√ 若 ,則 ,.二次型
為對稱矩陣
與 合同
.記作：
（）
√ 兩個矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負慣性指數.√ 兩個矩陣合同的充分條件是：
√ 兩個矩陣合同的必要條件是： √
經過
化為 標準型.√ 二次型的標準型不是惟一的,與所作的正交變換有關,但系數不為零的個數是由
惟
一確定的.√ 當標準型中的系數 為1，-1或0時,則為規范形.√ 實對稱矩陣的正（負）慣性指數等于它的正（負）特征值的個數.√ 任一實對稱矩陣 與惟一對角陣 合同.√ 用正交變換法化二次型為標準形: ①
求出 的特征值、特征向量； ②
對 個特征向量單位化、正交化；
③
構造（正交矩陣）, ；
④
作變換 ,新的二次型為 , 的主對角上的元素 即為 的特征值.正定二次型
不全為零，.正定矩陣
正定二次型對應的矩陣.√ 合同變換不改變二次型的正定性.√ 成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：
①
正慣性指數為 ； ②的特征值全大于 ； ③的所有順序主子式全大于 ； ④
合同于，即存在可逆矩陣 使 ； ⑤
存在可逆矩陣，使
（從而）； ⑥
存在正交矩陣，使
（大于）.√ 成為正定矩陣的必要條件：；
.b
b s
.k ao
y a n.c o m
內容相互縱橫交錯 線性代數復習小結
概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容相互縱橫交錯，知識前后緊密聯系是線性代數課程的特點，故考生應充分理解概念，掌握定理的條件、結論、應用，熟悉符號意義，掌握各種運算規律、計算方法，并及時進行總結，抓聯系，使學知識能融會貫通，舉一反三，根據考試大綱的要求，這里再具體指出如下：
行列式的重點是計算，利用性質熟練準確的計算出行列式的值。
矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運算，其運算分兩個層次，一是矩陣的符號運算，二是具體矩陣的數值運算。例如在解矩陣方程中，首先進行矩陣的符號運算，將矩陣方程化簡，然后再代入數值，算出具體的結果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式 A-1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是常考的內容之一。
關于向量，證明（或判別）向量組的線性相關（無關），線性表出等問題的關鍵在于深刻理解線性相關（無關）的概念及幾個相關定理的掌握，并要注意推證過程中邏輯的正確性及反證法的使用。
向量組的極大無關組，等價向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關系也是重點內容之一。用初等行變換是求向量組的極大無關組及向量組和矩陣秩的有效方法。
在 Rn中，基、坐標、基變換公式，坐標變換公式，過渡矩陣，線性無關向量組的標準正交化公式，應該概念清楚，計算熟練，當然在計算中列出關系式后，應先化簡，后代入具體的數值進行計算。
行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數的基本內容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A是可逆陣〈===〉r（A）=n(滿秩陣)〈===〉A的列（行）向量組線性無關〈===〉AX=0唯一零解〈===〉AX=b對任何b均有（唯一）解〈===〉A=P1 P2 ?PN，其中PI(I=1,2,?，N)是初等陣〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行變換
I〈===〉A的列（行）向量組是Rn的一個基〈===〉A可以是某兩個基之間的過渡矩陣等等。這種相互之間的聯系綜合命題創造了條件，故對考生而言，應該認真總結，開拓思路，善于分析，富于聯想使得對綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達彼岸。
關于特征值、特征向量。一是要會求特征值、特征向量，對具體給定的數值矩陣，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時還應注意特征值和特征向量的性質及其應用，二是有關相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。實對稱矩陣的相似對角化及正交變換相似于對角陣，反過來，可由A 的特征值，特征向量來確不定期A的參數或確定A，如果A是實對稱陣，利用不同特征值對應的特征向量相互正交，有時還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對應的特征向量，從而確定出A。三是相似對角化以后的應用，在線性代數中至少可用來計算行列式及An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問題主要有兩個：一是化二次型為標準形，這主要是正交變換法（這和實對稱陣正交相似對角陣是一個問題的兩種提法），在沒有其他要求的情況下，用配方法得到標準形可能更方便些；二是二次型的正定性問題，對具體的數值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關矩陣的正定性時，可利用標準形，規范形，特征值等到證明，這時應熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件。
一、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。
線性代數的概念很多，重要的有：
代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定，合同變換與合同矩陣。
往年常有考生沒有準確把握住概念的內涵，也沒有注意相關概念之間的區別與聯系，導致做題時出現錯誤。
例如，矩陣A＝(α1，α2，?，αm)與B＝(β1，β2?，βm)等價，意味著經過初等變換可由A得到B，要做到這一點，關鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價，說明這兩個向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時，并不能保證它們必能互相線性表現，也就得不出向量組等價的信息，因此，由向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價，可知矩陣A＝(α1，α2，?αm)與B＝(β1，β2，?βm)等價，但矩陣A與B等價并不能保證這兩個向量組等價。
又如，實對稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC＝B，要實現這一點，關鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負慣性指數是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP＝B成立，進而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負慣性指數相同，但正負慣性指數相同時，并不能保證特征值相同，因此，實對稱矩陣A～BAB，即相似是合同的充分條件。
線性代數中運算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的有：
行列式(數字型、字母型)的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求參數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項式基礎解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標準形)。
二、注重知識點的銜接與轉換，知識要成網，努力提高綜合分析能力。
線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。
例如：設A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB＝0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax＝0的解，再根據基礎解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關系，可以有
r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n
進而可求矩陣A或B中的一些參數
再如，若A是n階矩陣可以相似對角化，那么，用分塊矩陣處理P-1AP＝∧可知A有n個線性無關的特征向量，P就是由A的線性無關的特征向量所構成，再由特征向量與基礎解系間的聯系可知此時若λi是ni重特征值，則齊次方程組(λiE-A)x＝0的基礎解系由ni個解向量組成，進而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似對角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是實對稱矩陣，則因A必能相似對角化而知對每個特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此時還可以利用正交性通過正交矩陣來實現相似對角化。
又比如，對于n階行列式我們知道：
若｜A｜＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解(可能有無窮多解，也可能無解)，而當｜A｜≠0時，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；
可用｜A｜證明矩陣A是否可逆，并在可逆時通過伴隨矩陣來求A-1；
對于n個n維向量α1，α2，?αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2?αn｜是否為零來判斷向量組的線性相關性；
矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數來定義的，若r(A)＜r，則A中r階子式全為0；
求矩陣A的特征值，可以通過計算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式｜λ0E-A｜＝0；
判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。
凡此種種，正是因為線性代數各知識點之間有著千絲萬縷的聯系，代數題的綜合性與靈活性就較大，同學們整理時要注重串聯、銜接與轉換。
三、注重邏輯性與敘述表述
線性代數對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解考生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復習整理時，應當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。
線性代數中常見的證明題型有：
證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，?αt的線性相關性，亦可引伸為證α1，α2?，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質，如對稱，可逆，正交，正定，可對角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2?，αs線性表出)；對給出的兩個方程組論證其同解性或有無公共解；證二次型的正定性，規范形等。
《線性代數》是一門研究線性問題的數學基礎課，線性代數實質上是提供了自己獨特的語言和方法，將那些涉及多變量的問題組織起來并進行分析研究，是將中學一元代數推廣為處理
大的數組的一門代數。
線性代數有兩類基本數學構件.一類是對象：數組；一類是這些對象進行的運算。在此基礎之上可以對一系列涉及數組的數學模型進行探討和研究，從而解決實際問題.既然線性代數有自己獨特的內容，我們就要用適當的學習方法面對。這里給出五點建議：
一、線性代數如果注意以下幾點是有益的.由易而難 線性代數常常涉及大型數組，故先將容易的問題搞明白，再解決有難度的問題，例如行列式定義，首先將3階行列式定義理解好，自然可以推廣到n階行列式情形；
由低而高 運用技巧，省時不少，無論是行列式還是矩陣，在低階狀態，找出適合的計算方法，則可自如推廣運用到高階情形；
由簡而繁 一些運算法則，先試用于簡單情形，進而應用于復雜問題，例如，克萊姆法則，線性方程組解存在性判別，對角化問題等等；
由淺而深線性代數中一些新概念如秩，特征值特征向量，應當先理解好它們的定義，在理解基礎之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯系、它們的作用，一步步達到運用自如境地。
二、注重對基本概念的理解與把握，正確熟練運用基本方法及基本運算。
1、線性代數的概念很多，重要的有：
代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，解的結構與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定，合同變換與合同矩陣。
2、線性代數中運算法則多，應整理清楚不要混淆，基本運算與基本方法要過關，重要的有：
行列式（數字型、字母型）的計算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關的判定或求參數，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項式基礎解系法），判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實對稱矩陣為對角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標準形）。
三、注重知識點的銜接與轉換，知識要成網，努力提高綜合分析能力。
線性代數從內容上看縱橫交錯，前后聯系緊密，環環相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學習時應當常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識融會貫通，接口與切入點多了，熟悉了，思路自然就開闊了。
四、注重邏輯性與敘述表述
線性代數對于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過證明題可以了解學生對數學主要原理、定理的理解與掌握程度，考查學生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家學習整理時，應當搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時還應注意語言的敘述表達應準確、簡明。
總之，數學題目千變萬化，有各種延伸或變式，同學們要在學習過程中一定要認真仔細地預習和復習，華而不實靠押題碰運氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結經驗與教訓，做到融會貫通。
第五篇：線性代數考試復習提綱、知識點、例題
線性代數考試復習提綱、知識點、例題
一、行列式的計算（重點考四階行列式）
1、利用行列式的性質化成三角行列式
行列式的性質可概括為五條性質、四條推論，即七種變形手段（轉置、交換、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三個為0【兩行（列）相同、成比例、一行（列）全為0】
2、行列式按行（列）展開定理降階
行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘
n ,積之和，即D?ai1Ai1?ai2Ai2?...?ainAin
i?1,2,...n , D?a1iA1Ai2?...?aniAni
i?1,2,...i?ai2?22?404?135例
1、計算行列式
31?2?320
51二、解矩陣方程
矩陣方程的標準形式：AX?B
XA?B
AXB?C
?1?1?1若系數矩陣可逆，則X?A?1B
X?BA
X?ACB
切記不能寫成X?A?1B?1C或X?求逆矩陣的方法：
C AB1、待定系數法AB?E(或BA?E)
2、伴隨矩陣法A?1?1?A
A其中A?叫做A的伴隨矩陣，它是A的每一行的元素的代數余子式排在相同序數的列上的矩陣。?A11?A?A??12?...??A1nA21...A22...A2nAn1??...An2? ?......?...Ann?初等行變換??EA?1?
3、初等變換法?AE?????例
2、解矩陣方程??3?1??56??1416??X????? ?5?2??78??910??010??1?1?????111B?20例
3、解矩陣方程 X?AX?B，其中 A??
???? ??10?1??5?3?????
三、解齊次或非齊次線性方程組
設A??aij?m?n，n元齊次線性方程組AX?0有非零解?r(A)?n
n元齊次線性方程組AX?0只有零解?r(A)?n。
當m?n時，n元齊次線性方程組AX?0只有零解?A?0。
當m?n時，n元齊次線性方程組AX?0有非零解?A?0。
當m?n時，齊次線性方程組一定有非零解。定義：設齊次線性方程組AX?0的解?1,...,?t滿足：（1）?1,...,?t線性無關，AX?0的每一個解都可以由?1,...,?t線性表示。（2）
則?1,...,?t叫做AX?0的基礎解系。
定理
1、設Am?n，齊次線性方程組AX?0，若r(A)?r?n，則該方程組的基礎解系一定存在，且每一個基礎解系中所含解向量的個數都等于n?r。
齊次線性方程組的通解x?k1?1?...?kn?r?n?r
k1,...kn,?r?R 設A??aij?m?n，n元非齊次線性方程組AX?B有解?r(A)?r(A)。
唯一解?r(A)?r(A)?n。
無數解?r(A)?r(A)?n。
無解?r(A)?r(A)。
非齊次線性方程組的通解x?k1?1?...?kn?r?n?r??，k1,...kn,?r?R
?x1?x2?2x3?x4?0?例
4、求齊次線性方程組?2x1?x2?x3?x4?0的通解
?2x?2x?x?2x?0?1234?x1?x2?3x3?x4?1?例
5、求非齊次線性方程組?3x1?x2?3x3?4x4?4的通解。
?x?5x?9x?8x?0234?
1四、含參數的齊次或非齊次線性方程組的解的討論
??x?y?z?0?例
6、當?為何值時，齊次線性方程組?x??y?z?0有非零解，并求解。
?2x?y?z?0???2x1?x2?x3??2?例
7、已知線性方程組?x1?2x2?x3??，問當?為何值時，它有唯一
?x?x?2x??23?12解，無解，無窮多解，并在有無窮多解時求解。
五、向量組的線性相關性
?1,?2,...,?s線性相關??1,?2,...,?s(s?2)中至少存在一個向量能由其余
向量線性表示。
?存在不全為0的數k1,k2,...,ks使得k1?1?k2?2?..?ks?s?0。
?k1???1?????列行k?2???1,?2,...,?s????0有非零解
??k1,k2,...,ks??2??0有非零解
?...??...?????k?s???s??k1???k///?2??0有非零解
???1,?2,...,?s??...????ks??r??1,?2,...,?s??s
?r??1/,?2/,...,?s/??s
?1,?2,...,?s線性無關??1,?2,...,?s(s?2)中任意一個向量都不能由其余向量線性表示。
?若k1?1?k2?2?..?ks?s?0，則k1?k2?...?ks?0。
?k1???1?????列行k?
2???1,?2,...,?s????0只有零解
??k1,k2,...,ks??2??0只有零解
?...??...?????ks????s??k1???k///?2???,?,...,??0
?r??1,?2,...,?s??s
?12s??...????ks?///
?r?1,?2,...,?s?s
??特殊的，n個n維向量?1,?2,...,?n線性相關??1,?2,...,?n?0或
?1?2...?0。
?n?1?2...n個n維向量?1,?2,...,?n線性無關??1,?2,...,?n?0或
?0。
?n例
8、已知向量組?1??t,2,1?，?2??2,t,0?，?3??1,?1,1?，討論t使該向量組（1）線性相關
（2）線性無關
六、求向量組的秩，極大無關組，并將其余向量用極大無關組線性表示
設向量組A:?1,?2,...,?s，若從A中選出r個向量構成向量組
A0:?i1,?i2,...,?ir滿足：
（1）A0線性無關
A中的每一個向量都能由A0線性表示，（2）
條件（2）換一句話說A的任意r?1個向量（若有的話）都線性相關，或者說從A中向A0任意添加一個向量（若有的話），所得的向量組都線性相關。
則A0叫做A的極大線性無關向量組，簡稱極大無關組。向量組的極大無關組所含向量的個數叫做向量組的秩，記作r??1,?2,...,?s??r 求向量組的秩的方法：（1）擴充法
??1????2??（2）子式法
??1,?2,...,?m?n?m ?...?????m?m?n最高階非0子式的階數就是矩陣的秩，也就是這個向量組的秩，并且這個子式的行（列）對應的原向量組的向量就是這個向量組的一個極大無關組。
（3）初等變換法
同法二構成矩陣，對矩陣進行初等變換。例
9、設向量組
?1?(1,2,1,3)?,?2?(4,?1,?5,?6)?,?3?(?1,?3,?4,?7)?,?4?(2,1,2,3)?
求（1）向量組的秩；
（2）向量組的一個極大線性無關組，并把其余向量用這個極大線性無關組線性表示。
七、相似矩陣的性質與矩陣可相似對角化問題
P?1AP?B
相似矩陣的性質:
1、相似矩陣有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，行列式，跡。特征值相同是兩個矩陣相似的必要而非充分條件。
2、相似矩陣有相同的秩。秩相等是方陣相似的必要而非充分條件。
3、相似矩陣有相同的可逆性，當它們可逆時，它們的逆矩陣也相似。
4、若A與B相似，則Ak與Bk相似，k?N，則?(A)與?(B)相似。
Bk?(P?1AP)k?P?1APP?1AP...P?1AP?P?1AkP
??1????2?相似 An與?????????n???An有n個線性無關的特征向量p1,p2,...,pn，且以它們為列向量組的矩陣P使P?1AP??，?1,?2,...,?n分別為與p1,p2,...,pn對應的An的特征值。
若An有n個互不相等的特征值?1,?2,...,?n，則An一定與??1????2?相似。?????????n??An與?相似?對應于An的每個特征值的線性無關的特征向量的個數等于該特征值的重數。
?n?r(?E?A)?k
其中k為?的重數
?1?2?4??500?????2x?2B?0y0例
10、設矩陣A??與??相似 ???00?4???4?21?????（1）求x與y；
（2）求可逆矩陣P，使P?1AP?B。
?001???例
11、設A??11a?，問a為何值時，矩陣A能相似對角化。
?100??? 例
12、設三階矩陣A的特征值為?1?1，?2?2，?3?3，對應的特征向量依次為?1??1,1,1?，?2??1,2,4?，?3??1,3,9?，求矩陣A。
例
13、設三階實對稱矩陣A的特征向值?1,1,1，與特征值?1對應的特征向量為?1???1,1,1??，求A。
///
八、化二次型為標準型，并求所用線性變換的矩陣
22例
14、化二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x23?4x1x2?6x1x3?10x2x為標準3型，并求所用可逆線性變換的矩陣。
例
15、化二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?6x2x3為標準形，并求所用可逆線性變換的矩陣。
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