第一篇：2018考研數學線性代數六大必考知識點

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

2018考研數學線性代數六大必考知識點

一、行列式部分，強化概念性質，熟練行列式的求法

行列式對應的是一個數值，是一個實數，明確這一點可以幫助我們檢查一些疏漏的低級錯誤;行列式的計算方法中常用的是定義法，比較重要的是加邊法，數學歸納法，降階法，利用行列式的性質對行列式進行恒等變形，化簡之后再按行或列展開。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分為低階的數字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算等。

二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的應用

通過歷年真題分類統計與考點分布，矩陣部分的重點考點集中在逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，其內容包括伴隨矩陣的定義、性質、行列式、逆矩陣、秩，在課堂輔導的時候會重點強調.此外，伴隨矩陣的矩陣方程以及矩陣與行列式的結合也是需要同學們熟練掌握的細節。涉及秩的應用，包含矩陣的秩與向量組的秩之間的關系，矩陣等價與向量組等價，對矩陣的秩與方程組的解之間關系的分析，備考需要在理解概念的基礎上，系統地進行歸納總結，并做習題加以鞏固。

三、向量部分，理解相關無關概念，靈活進行判定

向量組的線性相關問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數每年必出的考點。如何掌握這部分內容呢?首先在于對定義概念的理解，然后就是分析判定的重點，即：看是否存在一組全為零的或者有非零解的實數對。基礎線性相關問題也會涉及類似的題型：判定向量組的線性相關性、向量組線性相關性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關組的求法、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關的命題。

四、線性方程組部分，判斷解的個數，明確通解的求解思路

線性方程組解的情況，主要涵蓋了齊次線性方程組有非零解、非齊次線性方程組解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明以及帶參數的線性方程組的解的情況。為了使考生牢固掌握線性方程組的求解問題，博研堂專家對含參數的方程通解的求解思路進行了整理，希望對考研同學有所幫助。通解的求法有兩種，若為齊次線性方程組，首先求解方程組的矩陣對應的行列式的值，在特征值為零和不為零的情況下分別進行討論，為零說明有解，帶入增廣矩陣化簡整理;不為零則有唯一解直接求出即可。若為非齊次方程組，則按照對增廣矩陣的討論進行求解。

五、矩陣的特征值與特征向量部分，理解概念方法，掌握矩陣對角化的求解

矩陣的特征值、特征向量部分可劃分為三給我板塊：特征值和特征向量的概念及計算、凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。相關題型有：數值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、有關實對稱矩陣的問題。六、二次型部分，熟悉正定矩陣的判別，了解規范性和慣性定理

二次型矩陣是二次型問題的一個基礎，且大部分都可以轉化為它的實對稱矩陣的問題來處理。另外二次型及其矩陣表示，二次型的秩和標準形等概念、二次型的規范形和慣性定理也是填空選擇題中的不可或缺的部分，二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，要會用配方法、正交變換化二次型為標準形;掌握二次型正定性的判別方法等等。

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第二篇：考研數學必考題型

進了六月份，這個一年中最熱的季節，考研備考者的復習也進行得如火如荼。雖然天氣炎熱，雖然備考壓力巨大，但復習中一定要保持清楚的頭腦，特別對于考研數學的復習。數學不僅需要嚴密的邏輯思維，還需要靈活的處理手法，更需要善于總結的習慣。考研數學專業老師分析了近年考試真題與大綱，深入研究了碩士教育對于考生數學素養的要求，總結出2012考研高等數學考試會重點考查的六大題型，供備考者復習參考。

第一：求極限。

無論數學

一、數學二還是數學三，求極限是高等數學的基本要求，所以也是每年必考的內容。區別在于有時以4分小題形式出現，題目簡單;有時以大題出現，需要使用的方法綜合性強。比如大題可能需要用到等價無窮小代換、泰勒展開式、洛比達法則、分離因子、重要極限等中的幾種方法，有時考生需要選擇其中簡單易行的組合完成題目。另外，分段函數個別點處的導數，函數圖形的漸近線，以極限形式定義的函數的連續性、可導性的研究等也需要使用極限手段達到目的，須引起注意!

第二：利用中值定理證明等式或不等式，利用函數單調性證明不等式。

證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會涉及。等式的證明包括使用4個微分中值定理，1個積分中值定理;

不等式的證明有時既可使用中值定理，也可使用函數單調性。這里泰勒中值定理的使用是一個難點，但考查的概率不大。第三：一元函數求導數，多元函數求偏導數。

求導數問題主要考查基本公式及運算能力，當然也包括對函數關系的處理能力。一元函數求導可能會以參數方程求導、變限積分求導或應用問題中涉及求導，甚或高階導數;多元函數(主要為二元函數)的偏導數基本上每年都會考查，給出的函數可能是較為復雜的顯函數，也可能是隱函數(包括方程組確定的隱函數)。另外，二元函數的極值與條件極值與實際問題聯系極其緊密，是一個考查重點。極值的充分條件、必要條件均涉及二元函數的偏導數。

第四：級數問題。

常數項級數(特別是正項級數、交錯級數)斂散性的判別，條件收斂與絕對收斂的本質含義均是考查的重點，但常常以小題形式出現。函數項級數(冪級數，對數一來說還有傅里葉級數，但考查的頻率不高)的收斂半徑、收斂區間、收斂域、和函數等及函數在一點的冪級數展開在考試中常占有較高的分值。第五：積分的計算。

積分的計算包括不定積分、定積分、反常積分的計算，以及二重積分的計算，對數學考生來說常主要是三重積分、曲線積分、曲面積分的計算。這是以考查運算能力與處理問題的技巧能力為主，以對公式的熟悉及空間想像能力的考查為輔的。需要注意在復習中對一些問題的靈活處理，例如定積分幾何意義的使用，重心、形心公式的反用，對稱性的使用等。

第六：微分方程問題。

解常微分方程方法固定，無論是一階線性方程、可分離變量方程、齊次方程還是高階常系數齊次與非齊次方程，只要記住常用形式，注意運算準確性，在考場上正確運算都沒有問題。但這里需要注意：研究生考試對微分方程的考查常有一種反向方式，即平常給出方程求通解或特解，現在給出通解或特解求方程。這需要考生對方程與其通解、特解之間的關系熟練掌握。

這六大題型可以說是考試的重點考查對象，考生可以根據自己的實際情況圍繞重點題型復習，爭取達到高分甚至滿分!

第三篇：《線性代數》知識點歸納整理

《線性代數》知識點

歸納整理

學生

編

01、余子式與代數余子式

02、主對角線

03、轉置行列式

04、行列式的性質

05、計算行列式

06、矩陣中未寫出的元素

07、幾類特殊的方陣

08、矩陣的運算規則

09、矩陣多項式

10、對稱矩陣

11、矩陣的分塊

12、矩陣的初等變換

13、矩陣等價

14、初等矩陣

15、行階梯形矩陣

與

行最簡形矩陣

16、逆矩陣

17、充分性與必要性的證明題

18、伴隨矩陣

19、矩陣的標準形：

20、矩陣的秩：

21、矩陣的秩的一些定理、推論

22、線性方程組概念

23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）

24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念

25、線性方程組的向量形式

26、線性相關

與

線性無關的概念

27、向量個數大于向量維數的向量組

必然線性相關

28、線性相關、線性無關；齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關系及其例題

29、線性表示

與

線性組合的概念

30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關系其例題

31、線性相關（無關）與線性表示的3個定理

32、最大線性無關組與向量組的秩

33、線性方程組解的結構

01、余子式與代數余子式

（1）設三階行列式D＝，則

①元素，的余子式分別為：M11＝，M12＝，M13＝

對M11的解釋：劃掉第1行、第1列，剩下的就是一個二階行列式，這個

行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此類推。

②元素，的代數余子式分別為：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13

.對Aij的解釋（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j

M

ij

.（N階行列式以此類推）

（2）填空題求余子式和代數余子式時，最好寫原式。比如說，作業P1第1題：

M31＝，A31＝(-1)3+1

（3）例題：課本P8、課本P21-27、作業P1第1題、作業P1第3題

02、主對角線

一個n階方陣的主對角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1,2,3…

n，即從左上到右下的一條斜線。與之相對應的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。

03、轉置行列式

即元素與元素的位置對調（i表示第i行，j表示第j列），比如說，與的位置對調、與的位置對調。

04、行列式的性質

詳見課本P5-8（性質1.1.1~

1.1.7）

其中，性質1.1.7可以歸納為這個：

＋＋

…

＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟練掌握行列式的性質，可以迅速的簡化行列式，方便計算。

例題：作業P1第2題

05、計算行列式

（1）計算二階行列式：

①方法（首選）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝＝

例題：課本P14

（2）計算三階行列式：

＝＝(－1)1＋1M11

＋(－1)1＋2M12

＋(－1)1＋3M13

N階行列式的計算以此類推。通常先利用行列式的性質對行列式進行轉化，0元素較多時方便計算.（r是row，即行。c是column，即列）

例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業P1第4題、作業P2第3小題

（3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝…（主對角線上元素的乘積）

例題：課本P10、作業P3第4小題

有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”轉化成上三角行列式

例題：課本P11

（4）范德蒙行列式：詳見課本P12-13

（5）有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全為1的一行，方便化簡行列式。

例題：作業P2第1小題、作業P2第2小題

06、矩陣中未寫出的元素

課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣

詳見課本P30-32

（1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式

（2）對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0

（3）數量矩陣：主對角線上的元素都相同

（4）零矩陣：所有元素都為0，記作O

（5）單位矩陣：主對角線上的元素都為1，其他元素全為0，記作E或En

（其行列式的值為1）

08、矩陣的運算規則

（1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數與矩陣B的行數相同；

矩陣A的列數與矩陣B的列數也相同）：

①課本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交換律：A＋B＝B＋A

③加法結合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩陣的乘法（基本規則詳見課本P34陰影）：

①數與矩陣的乘法：

I.課本P33“kA”

II.＝kn（因為k只等于用數k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式）

②同階矩陣相乘（高中理科數學選修矩陣基礎）：

×＝

描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計算得到的矩陣為，則

A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即A＝×＋×

B的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。

即B＝×＋×

C的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即C＝×＋×

D的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。

即D＝×＋×.×＝

描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計算得到的矩陣為，則

A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即A＝×＋×＋×

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法與A類似。

③數乘結合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④數乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法結合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.課本P34例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣

II.課本P34例題數乘的消去律、交換律不成立

III.一般來講，（AB）k

≠

A

k

B

k，因為矩陣乘法不滿足交換律

IV.課本P40習題第2題：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2

.當AB＝BA時，以上三個等式均成立

（3）矩陣的轉置運算規律：

①

(AT)T＝A

②

(A±B)T＝A

T±B

T

③

(kA)T＝kAT

④

(AB)T＝B

TAT

⑤

(ABC)T＝CTB

TAT

⑥

(ABCD)T＝DTCTB

TAT

（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）

＝

（5）例題：課本P35、課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1

大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業P5全部、作業P5第3大題、作業

P5第4大題

09、矩陣多項式

詳見課本P3610、對稱矩陣

（1）對稱矩陣、實對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（詳見課本P37）

（2）①同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣

②數

與

對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣

③對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣

11、矩陣的分塊

線代老師說這部分的內容做了解即可。

詳見課本P38-4012、矩陣的初等變換

三種行變換與三種列變換：詳見課本P

例題：作業P6全部

13、矩陣等價

若矩陣A經過若干次初等變換后變成矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價，記為AB14、初等矩陣

（1）是由單位矩陣經由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49

（2）設A為m×n矩陣，則對A施行一次初等行變換相當于在A的左邊乘上一個相應的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當于在A的右邊乘上一個相應的n階初等矩陣.詳見課本P50-51

（3）課本P51第3大題

15、行階梯形矩陣

與

行最簡形矩陣

（1）對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換（或對換列）化為行階梯型矩陣

（2）行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：

若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0，每個臺階只有一行（臺階數即是非零行的行數），階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元素，也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎上，若非零行的第一個非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題：課本P45、作業P6全部、課本P51第2大題

16、逆矩陣

（1）設A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）

（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A－1，AA－1＝E

（3）n階方陣A可逆的充要條件為≠0，并且，當A可逆時，A－1＝

（證明詳見課本P54）

例題：課本P59第1大題

（4）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）

（5）性質：設A，B都是n階的可逆方陣，常數k≠0，那么

①

(A－1)－1＝A

②

AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T

③

kA也可逆，并且

(kA)-1＝A-1

④

AB也可逆，并且(AB)

-1＝B-1A-1

⑤

A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥

AA-1＝E

AA-1＝E＝1

AA-1＝1

A-1＝

例題：課本P58例2.3.7、作業P7第1題

（6）分塊對角矩陣的可逆性：課本P57

（7）由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6

（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩陣可逆）

（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣

（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣

（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積（證明：課本P67）

（12）利用初等行變換求逆矩陣：A-1（例題：課本P68、課本P71）

（13）形如AX＝B的矩陣方程，當方陣A可逆時，有A-1

AX＝A-1B，即X＝A-1B.此時有：

矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題

矩陣方程計算中易犯的錯誤：課本P56“注意不能寫成……”

17、充分性與必要性的證明題

（1）必要性：由結論推出條件

（2）充分性：由條件推出結論

例題：課本P41第8大題、作業P5第5大題

18、伴隨矩陣

（1）定義：課本P52

定義2.3.2

（2）設A為n階方陣（n≥2），則AA*＝A*A＝En（證明詳見課本P53-54）

（3）性質：（注意伴隨矩陣是方陣）

①

A*＝A－1

②

(kA)*

＝

·(kA)-1

＝

k

n·A-1

＝

k

n

·A-1

＝

k

n-1A*（k≠0）

③

|A*|

＝

|

A－1

|

＝n·|

A－1|

＝

n·（因為存在A－1，所以≠0）＝

n-1

④

(A*)*

＝

(A－1)*

＝

|

A－1

|·(A－1)－1

＝

n

|

A－1|·(A－1)－1

＝

n·A

＝

n-2A

（因為AA－1

＝

E，所以A－1的逆矩陣是A，即(A－1)－1）

⑤

(AB)

*＝B*A*

⑥

(A*)-1＝(A-1)

*＝

（4）例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業P7第2題、作業P8全部

19、矩陣的標準形：

（1）定義：課本P61-62

（2）任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標準形

20、矩陣的秩：

（1）定義：課本P63

（2）性質：設A是m×n的矩陣，B是p×q的矩陣，則

①

若k是非零數，則R

(kA)＝R

(A)

②

R

(A)＝R

(AT)

③

等價矩陣有相同的秩，即若AB，則R

(A)＝R

(B)

④

0≤R

(Am×n)≤min

⑤

R

(AB)≤min

⑥

設A與B都是m×n矩陣，則R

(A＋B)≤R

(A)＋R

(B)

（3）n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數，即R

(A)＝n

（4）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積。（證明：P67）

（5）

設A是m×n矩陣，P、Q分別是m階與n階可逆方陣，則R

(A)＝R

(PA)＝R

(AQ)＝R

(PAQ)

（6）例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業P7第3題、作業P9全部

21、矩陣的秩的一些定理、推論

線代老師說這部分的內容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念

線性方程組是各個方程關于未知量均為一次的方程組。

線性方程組經過初等變換后不改變方程組的解。

23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）

（1）定義：課本P81

（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81

（3）系數矩陣A、增廣矩陣、矩陣式方程：課本P82

（4）矛盾方程組（方程組無解）：課本P85例題

（5）增廣矩陣的最簡階梯形：課本P87

（6）系數矩陣的最簡階梯形：課本P87

（7）課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方

便敘述，在解方程組時不用交換列。

（8）克萊姆法則：

①初步認知：

已知三元線性方程組，其系數行列式D＝.當D≠0時，其解為：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此類推）

②定義：課本P15

③使用的兩個前提條件：課本P18

④例題：課本P3、課本P16-17、課本P18、作業P3第7題

（9）解非齊次線性方程組（方程組施行初等變換實際上就是對增廣矩陣施行初等行變換）例題：

課本P26、課本P42、課本P82、課本P84、課本P85、課本P86第1大題、課本P88、課本P91、作業P10第1題

（10）解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本

P91、作業P1第5題、作業P10第2題

（11）n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況：（R

(A)

不可能＞

R

()）

R

(A)

＜

R

()

無解

＜

n

有無窮多個解

R

(A)

＝

R

()

有解

＝

n

有唯一解

特別地，當A是

≠0

有唯一解

n階方陣時，可

R

(A)

＜

R

()

無解

由行列式來判斷

R

(A)

＝

R

()

有解

當＝0

有無窮多個解

例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業P11第三題

（12）n元齊次線性方程組AX＝O的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充

要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解）

R

(A)

＝

n

只有零解（有唯一解，為0）

R

(A)

＜

n

有非零解（有無窮多個解）

特別地，當A是n階方陣

≠0

只有零解（有唯一解，為0）

時，可由行列式來判斷

＝0

有非零解（有無窮多個解）

例題：課本P24、課本P90-91、作業P11全部

24、行向量、列向量、零向量、負向量的概念

詳見課本P92-93

將列向量組的分量排成矩陣計算時，計算過程中只做行變換，不做列變換。

初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩

陣中用。（行列式的性質包括行與列的變換）

手寫零向量時不必加箭頭。

25、線性方程組的向量形式

詳見課本P9326、線性相關

與

線性無關的概念

詳見課本P93-94

例題：課本P101第6大題、作業P14第五大題

27、向量個數大于向量維數的向量組

必然線性相關

線代老師課上提到的結論。

28、線性相關、線性無關；齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關系及其例題

詳見課本P94

定理3.3.1、定理3.3.2

例題：課本P94-95

例3.3.2、課本P101第3大題、課

22本P101第5大題、作業P12第3小題、作業P12第二大題、作業P13第三大題、作業P13第四大題

29、線性表示

與

線性組合的概念

詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關系其例題

詳見課本P95-96

定理3.3.3

例題：課本P95-96

例3.3.431、線性相關（無關）與線性表示的3個定理

詳見課本P96

定理3.3.4、課本P97定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無關組與向量組的秩

詳見課本P98-100

定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7

單位列向量，即“只有一個元素為1，且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無關組

用）

例題：課本P100

例3.3.5、課本P101第4大題、作業P14第六大題

33、線性方程組解的結構

看此內容之前，最好先復習下“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”與“n元齊次線性

方程組AX＝O的解的情況”。

（1）n元齊次線性方程組AX＝O解的結構

①

定理3.4.1：詳見課本P101-102

②

定義3.4.1（并理解“基礎解系、通解、結構式通解、向量式通解”）：詳見課本P102

③

定理3.4.2：詳見課本P102

④

解題步驟（“注”為補充說明）（以課本P104例3.4.1為例）：

（I）A

＝

…

…

注：往“行最簡形矩陣”方向轉化（因為在解方程組時不用列變換，所以一般沒法

真正轉化成行最簡形矩陣，所以說“往……方向轉化”）。

（II）得到同解方程組

注：由得到同解方程組

（III）∴

此方程組的一組解向量為：＝，＝，＝

注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數有的是1有的是0，一看便知

（IV）顯然，線性無關。

注：根據課本P93-94

定義3.3.3

得出線性無關，注意，下面分別是：、、，令它們分別為、、，則顯然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，線性無關。

（V）∴，為方程組的基礎解系，方程組的通解為：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）

注：根據課本P102

定義3.4.1

得出該方程組的通解。

⑤

其他例題：課本P109

第1大題、課本P109第3大題、課本P109第4大題、作業

P15第一大題第1小題、作業P15第一大題第3小題

（2）n元非齊次線性方程組AX＝b解的結構

①

導出方程組：非齊次線性方程組AX＝b對應的齊次線性方程組AX＝O（詳見課本P105）

②

定理3.4.3：詳見課本P105

③

定義3.4.4：詳見課本P105

④

定義3.4.5：詳見課本P105

⑤

課本P105

“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”這段內容

⑥

解題步驟（“注”為補充說明，做題時不用寫在卷上）（以課本P106例3.4.2為例）：

（I）＝

……

…

…

（II）得到同解方程組

注：由

得到同解方程組

（III）令＝0，得到原方程組的特解X0＝

注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數有的是1有的是0，一看便知。得到原方程組的特解即以下形式的常數部分。

（IV）導出方程組的同解方程為：

注：導出方程組，即非齊次線性方程組AX＝b對應的齊次線性方程組AX＝O，即步驟（III）“注”的“形式”的系數部分。

（V）令＝1，得到方程組的基礎解系＝，則原方程組的通解為：

X0

＋

k（k可取任意值）

⑦

其他例題：

（I）課本P107

例3.4.3（之前先復習“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”）

要將含有參數的式子作為分母時，得注意該式子是否≠0

（II）課本P109

第2大題、作業P15第一大題第4小題、作業P15第二大題、作業P16第三大題、作業P15第一大題第2小題、作業P15第一大題第3小題

第四篇：2018考研數學線性代數三大規律歸納

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

2018考研數學線性代數三大規律歸納

70%以上的學生認為線性代數試題難度低，容易取得高分，線性代數的得分率總體比高等數學和概率論高5%左右，而且線性代數側重的是方法的考查，考點比較明確，系統性更強。下面就和大家分享一下線代的復習小技巧。

2018考研數學線性代數三大規律探究

?考研數學線性代數相比較高等數學和概率論而言，呈現明顯不同的學科特點——概念多、定理多、符號多、運算規律多、內容縱橫交錯以及知識點前后緊密聯系。

如果說高等數學的知識點算“條”的話，那么概率論就應該算“塊”，而線性代數就是“網”!具體來看，線性代數這整張網，又是由行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量以及二次型這6張小網相互交叉聯結而成。而其中向量和線性方程組這兩張網又在其中起著承前啟后、上下銜接的關鍵作用。

通過上面的分析，大家是不是發現——向量和線性方程組是線性代數的重難點內容，也是考研的重點和難點之一?這一點也可以從歷年真題的出題規律上得到驗證。

關于

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

組的線性相關性(無關性)的一些重要性質和定理結合反證法來做。同時會考慮用向量組的線性相關性(無關性)與齊次線性方程組有非零解(只有零解)之間的聯系和用矩陣的秩與向量組的秩之間的聯系來做。

?線性方程組——解的結構和(不)含參量線性方程組的求解

要解決線性方程組解的結構和求法的問題，首先應考慮線性方程組的基礎解系，然后再利用基礎解系的線性無關性、與矩陣的秩之間的聯系等一些重要性質來解決線性方程組解的結構和含參量的線性方程組解的討論問題，同時用線性方程組解結構的幾個重要性質求解(不)含參量線性方程組的解。

即使是多么令童鞋聞風喪膽的數學，其實都有一定的規律可循。通過考試來分析整體情況，這樣有重點復習，相信同學們一定會抓住數學，決勝數學!2 頁 共 2 頁

第五篇：線性代數知識點總結匯總

線性代數知識點總結

行列式

（一）行列式概念和性質

1、逆序數：所有的逆序的總數

2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數和

3、行列式性質：（用于化簡行列式）

（1）行列互換（轉置），行列式的值不變

（2）兩行（列）互換，行列式變號

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數k，等于用數k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數之和，那么這個行列式就等于兩個行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。

（6）兩行成比例，行列式的值為0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積

5、副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘

6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則

7、n階（n≥2）范德蒙德行列式

數學歸納法證明

★8、對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：

（三）按行（列）展開

9、按行展開定理：

（1）任一行（列）的各元素與其對應的代數余子式乘積之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各個元素與另一行（列）對應元素的代數余子式乘積之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=kn|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|AT|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，則

（7）若A與B相似，則|A|=|B|

（五）克萊姆法則

11、克萊姆法則：

（1）非齊次線性方程組的系數行列式不為0，那么方程為唯一解

（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個不同解，則它的系數行列式必為0

（3）若齊次線性方程組的系數行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。

矩陣

（一）矩陣的運算

1、矩陣乘法注意事項：

（1）矩陣乘法要求前列后行一致；

（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時，可以用交換律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

2、轉置的性質（5條）

（1）（A+B）T=AT+BT

（2）（kA）T=kAT

（3）（AB）T=BTAT

（4）|A|T=|A|

（5）（AT）T=A

（二）矩陣的逆

3、逆的定義：

AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1

注：A可逆的充要條件是|A|≠04、逆的性質：（5條）

（1）（kA）-1=1/k·A-1

(k≠0)

（2）（AB）-1=B-1·A-1

（3）|A-1|=|A|-1

（4）（AT）-1=（A-1）T

（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解

（2）A為數字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）

（三）矩陣的初等變換

6、初等行（列）變換定義：

（1）兩行（列）互換；

（2）一行（列）乘非零常數c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩陣：單位矩陣E經過一次初等變換得到的矩陣。

8、初等變換與初等矩陣的性質：

（1）初等行（列）變換相當于左（右）乘相應的初等矩陣

（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）

★（四）矩陣的秩

9、秩的定義：非零子式的最高階數

注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O

（2）r（An×n）=n（滿秩）←→

|A|≠0

←→A可逆；

r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。

10、秩的性質：（7條）

（1）A為m×n階矩陣，則r（A）≤min（m,n）

（2）r（A±B）≤r（A）±（B）

（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}

（4）r（kA）=r（A）（k≠0）

（5）r（A）=r（AC）（C是一個可逆矩陣）

（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）

（7）設A是m×n階矩陣，B是n×s矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質求解；

（2）A為數字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數

（五）伴隨矩陣

12、伴隨矩陣的性質：（8條）

（1）AA*=A*A=|A|E

→

★A*=|A|A-1

（2）（kA）*=kn-1A*

（3）（AB）*=B*A*

（4）|A*|=|A|n-1

（5）（AT）*=（A*）T

（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1

（7）（A*）*=|A|

n-2·A

★（8）r（A*）=n

（r（A）=n）；

r（A*）=1

（r（A）=n-1）；

r（A*）=0

（r（A）＜n-1）

（六）分塊矩陣

13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。

14、分塊矩陣求逆：

向量

（一）向量的概念及運算

1、向量的內積：（α，β）=αTβ=βTα

2、長度定義：

||α||=

3、正交定義：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E

←→

A-1=AT

←→

ATA=E

→

|A|=±1

（二）線性組合和線性表示

5、線性表示的充要條件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示

(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗）

6、線性表示的充分條件：（了解即可）

若α1，α2，…，αs線性無關，α1，α2，…，αs，β線性相關，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。

7、線性表示的求法：（大題第二步）

設α1，α2，…，αs線性無關，β可由其線性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡形|系數）

行最簡形：每行第一個非0的數為1，其余元素均為0

（三）線性相關和線性無關

8、線性相關注意事項：

（1）α線性相關←→α=0

（2）α1，α2線性相關←→α1，α2成比例

9、線性相關的充要條件：

向量組α1，α2，…，αs線性相關

（1）←→有個向量可由其余向量線性表示；

（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s

即秩小于個數

特別地，n個n維列向量α1，α2，…，αn線性相關

（1）←→

r（α1，α2，…，αn）＜n

（2）←→|α1，α2，…，αn

|=0

（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆

10、線性相關的充分條件：

（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關

（2）部分相關，則整體相關

（3）高維相關，則低維相關

（4）以少表多，多必相關

★推論：n+1個n維向量一定線性相關

11、線性無關的充要條件

向量組α1，α2，…，αs

線性無關

（1）←→任意向量均不能由其余向量線性表示；

（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特別地，n個n維向量α1，α2，…，αn

線性無關

←→r（α1，α2，…，αn）=n

←→|α1，α2，…，αn

|≠0

←→矩陣可逆

12、線性無關的充分條件：

（1）整體無關，部分無關

（2）低維無關，高維無關

（3）正交的非零向量組線性無關

（4）不同特征值的特征向量無關

13、線性相關、線性無關判定

（1）定義法

★（2）秩：若小于階數，線性相關；若等于階數，線性無關

【專業知識補充】

（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。

（2）若n維列向量α1，α2，α3

線性無關，β1，β2，β3

可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無關。

←→r（β1，β2，β3）=3

←→

r（C）=3

←→

|C|≠0

（四）極大線性無關組與向量組的秩

14、極大線性無關組不唯一

15、向量組的秩:極大無關組中向量的個數成為向量組的秩

對比：矩陣的秩:非零子式的最高階數

★注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

★16、極大線性無關組的求法

（1）α1，α2，…，αs

為抽象的：定義法

（2）α1，α2，…，αs

為數字的：

（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣

則每行第一個非零的數對應的列向量構成極大無關組

（五）向量空間

17、基（就是極大線性無關組）變換公式：

若α1，α2，…，αn

與β1，β2，…，βn

是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n

其中，C是從基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

18、坐標變換公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn的坐標分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1

+

x2α2

+

…

+xnαn

=y1β1

+

y2β2

+

…

+ynβn，則坐標變換公式為x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

（六）Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

設α1，α2，α3

線性無關

（1）正交化

令β1=α1

（2）單位化

線性方程組

（一）方程組的表達形與解向量

1、解的形式：

(1)一般形式

(2)矩陣形式：Ax=b；

(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）

2、解的定義：

若η=（c1，c2，…，cn）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個解（向量）

（二）解的判定與性質

3、齊次方程組：

（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數或是未知數x的個數）

（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齊次方程組：

（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性質：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解

（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解

【推廣】

（1）設η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為

Ax=b的解

（當Σki=1）

Ax=0的解

（當Σki=0）

（2）設η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個線性無關的解，則η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1為Ax=0的s-1個線性無關的解。

變式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2

②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

（三）基礎解系

6、基礎解系定義：

（1）ξ1，ξ2，…，ξs

是Ax=0的解

（2）ξ1，ξ2，…，ξs

線性相關

（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示

→基礎解系即所有解的極大無關組

注：基礎解系不唯一。

任意n-r（A）個線性無關的解均可作為基礎解系。

★7、重要結論：（證明也很重要）

設A施m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O

（1）B的列向量均為方程Ax=0的解

（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）

8、總結：基礎解系的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質湊n-r（A）個線性無關的解

（2）A為數字的：A→初等行變換→階梯型

自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎解系

（四）解的結構（通解）

9、齊次線性方程組的通解（所有解）

設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r

為Ax=0的基礎解系，則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r

（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）

10、非齊次線性方程組的通解

設r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r

為Ax=0的基礎解系，η為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為η+

k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r

（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數）

（五）公共解與同解

11、公共解定義：

如果α既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱α為其公共解

12、非零公共解的充要條件：

方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解

←→

有非零解←→

13、重要結論（需要掌握證明）

（1）設A是m×n階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A）

（2）設A是m×n階矩陣，r（A）=n，B是n×s階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）

特征值與特征向量

（一）矩陣的特征值與特征向量

1、特征值、特征向量的定義：

設A為n階矩陣，如果存在數λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。

2、特征多項式、特征方程的定義：

|λE-A|稱為矩陣A的特征多項式（λ的n次多項式）。

|λE-A

|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以寫為|A-λE|=03、重要結論：

（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。

（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。

△4、總結：特征值與特征向量的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質湊

（2）A為數字的：由特征方程法求解

5、特征方程法：

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個特征值λ1，λ2，…，λn

注：n次方程必須有n個根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實數，不能省略)

（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關的特征向量，即其基礎解系（共n-r（λiE-A）個解）

6、性質：

（1）不同特征值的特征向量線性無關

（2）k重特征值最多k個線性無關的特征向量

1≤n-r（λiE-A）≤ki

（3）設A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii

（4）當r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

（5）設α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則

A

f（A）

AT

A-1

A*

P-1AP（相似）

λ

f（λ）

λ

λ-1

|A|λ-1

λ

α

α

/

α

α

P-1α

（二）相似矩陣

7、相似矩陣的定義：

設A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B8、相似矩陣的性質

（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似

（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似

（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項式、特征方程、特征值、跡（即主對角線元素之和）

【推廣】

（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似

（三）矩陣的相似對角化

9、相似對角化定義：

如果A與對角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=，稱A可相似對角化。

注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量

10、相似對角化的充要條件

（1）A有n個線性無關的特征向量

（2）A的k重特征值有k個線性無關的特征向量

11、相似對角化的充分條件：

（1）A有n個不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關）

（2）A為實對稱矩陣

12、重要結論：

（1）若A可相似對角化，則r（A）為非零特征值的個數，n-r（A）為零特征值的個數

（2）若A不可相似對角化，r（A）不一定為非零特征值的個數

（四）實對稱矩陣

13、性質

（1）特征值全為實數

（2）不同特征值的特征向量正交

（3）A可相似對角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似對角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

二次型

（一）二次型及其標準形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩陣形式（常用）

2、標準形：

如果二次型只含平方項，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2

這樣的二次型稱為標準形（對角線）

3、二次型化為標準形的方法：

（1）配方法：

通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標準形。其中，可逆線性變換及標準形通過先配方再換元得到。

★（2）正交變換法：

通過正交變換x=Qy，將二次型化為標準形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中，λ1，λ2，…，λn

是A的n個特征值，Q為A的正交矩陣

注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi

對應即可。

（二）慣性定理及規范形

4、定義：

正慣性指數：標準形中正平方項的個數稱為正慣性指數，記為p；

負慣性指數：標準形中負平方項的個數稱為負慣性指數，記為q；

規范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2稱為二次型的規范形。

5、慣性定理：

二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標準形，其正負慣性指數不變。

注：（1）由于正負慣性指數不變，所以規范形唯一。

（2）p=正特征值的個數，q=負特征值的個數，p+q=非零特征值的個數=r（A）

（三）合同矩陣

6、定義：

A、B均為n階實對稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同

△7、總結：n階實對稱矩陣A、B的關系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負慣性指數←→相同的正負特征值的個數

（3）A、B等價（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

注：實對稱矩陣相似必合同，合同必等價

（四）正定二次型與正定矩陣

8、正定的定義

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實對稱矩陣A是正定矩陣。

9、n元二次型xTAx正定充要條件：

（1）A的正慣性指數為n

（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A的特征值均大于0

（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）

10、n元二次型xTAx正定必要條件：

（1）aii＞0

（2）|A|＞011、總結：二次型xTAx正定判定（大題）

（1）A為數字：順序主子式均大于0

（2）A為抽象：①證A為實對稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定

12、重要結論：

（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定