第一篇：線性代數(shù)學(xué)習(xí)總結(jié)

數(shù)學(xué)四

線 性 代 數(shù) 總 結(jié)

一、行列式

1．n階行列式的概念

a11 a12 …… a1n(1)n階行列式的遞歸定義a21 a22 …… a2n 有n ^ 2個(gè)數(shù)組成的n階列式是一個(gè)算式，當(dāng)……………… n=1時(shí)an1 an2 …… ann

la11l=a11。當(dāng)n≥2時(shí)

n

D=a11A11 + a12A12 + … + a1A1n=∑a1j A1j

j=1

其中A1j=(-1)^ 1+ jM1j，為a1j的代數(shù)余子式。

a21… a2j-1 a2j+1… a2na31… a3j-1 a3j+1… a3n 為a1j的余子式。……………………an1… anj-2 an j+1… ann

(2)n階行列式的逆序定義

a11 a12 …… a1n

a21 a22 …… a2n

∑(-1)^σ(i1,i2…in)a1i1 a2i2…anin………………

an1 an2……ann（i1,i2…in）

2．行列式的性質(zhì)

性質(zhì)一行列式的行和列互換后，行列式的值不變。

性質(zhì)二行列式的兩行（或兩列）互換，行列式改變符號(hào)。

推論如果行列式中有兩行（或列）的對(duì)應(yīng)元素相同，則此行列式為零。性質(zhì)三用數(shù)k乘以行列式的一行（列），等于以數(shù)k乘以此行列式。

推論如果行列式某行（列）的所有元素的公因子，則公因子可以提到行列式外面。

推論如果行列式有兩行（或兩列）的對(duì)應(yīng)元素成比列，則行列式等于零。推論如果行列式中以行（或一列）全為零，則行列式的值必為零。

性質(zhì)四如果行列式中的某行（或某列）均為兩項(xiàng)之和，則行列式等于兩個(gè)行列式之和。

推論如果將行列式某一行（或某一列）的每一個(gè)元素都寫成M（M≥2）個(gè)元素的和，則此行列式可以寫成M個(gè)行列式的和。

性質(zhì)五將行列式的某一行（列）的每一個(gè)元素同乘以數(shù)k后加于另一行（列）對(duì)應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變。

性質(zhì)六如果行列式中某行（或列）中各元素是其余各行（或各列）分別乘一常數(shù)后各對(duì)應(yīng)元素之和，則行列式的值為零。

性質(zhì)七行列式的任何一行（或列）的元素于另一行（或列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和必為零。

ai1Aj1 + ai2Aj2 + … +a1nAjn = 0(i≠j)

3．拉普拉斯展開式

行列式按k行（或列）展開，則c

D = ∑ MiAi(Mi為k階子式，Ai為k階代數(shù)余子式)

i=1

4． 利用拉普拉斯展開式的兩種特殊情況

a11 … a1n0… 0………………………… a11 … a1n an1 … ann0… 0…………c11 … c1nb11 … b1n an1 … ann…………………………

cm1 …cmnbm1 …bmn

0…0a11 … a1n……………………………ann=（-1）^(mn)0…0a n1

c11 … c1nb11 … b1n…………………………cm1…cmnbm1 …bmn

5． 重要公式及結(jié)論

b11 … b1n …………… bm1 …bmn

a11 … a1n……………an1 … ann b11 … b1n …………… bm1 …bmn

(1)如果A,B均為n階矩陣，則lABl = lAllBl，但AB≠BA。(2)如果A,B均為n階矩陣，則lA±Bl ≠ lAl±lBl。(3)如果A為n階矩陣，則lkAl = k^n lAl。(4)如果A為n階矩陣，則lAl = lA′l

(5)如果A為n階可逆矩陣，則lAˉ；ˉl =k^n / lAl。(6)如果A*為A的伴隨矩陣，則lA*l = lAl^(n-1)

lAl（i = j）

(7)如果A為n階矩陣,則ai1Aj1 + ai2Aj2 + … +a

0（i≠j）

A C A O O A

(8)O B= lAl lBl ；（-1）^(mn)lAl C B B O

O A

B C

=（-1）^(mn)lAl lBl。

(9)a11X a11Oa22a22

==Oann Xann

=a11 a22 … ann。

Oa1n Oa1n2n-1=a 2n-1=aan1O an1X

a11Oa2

2Oann

Xa1na2n-1

an1O

=(-1)^ [n(n+1)/ 2] a1n a2n-1 … an1。(10)范德蒙行列式

111…1

a1a2a3…an

a1^2a2^2a3^2…an^2=∏(aj – ai)其中(ai≠aj)(i≠j)……………………………1≤i≤j≤n

a1^n-1a2^n-1a3^n-1 … an^n-1

6． 行列式的求值方法

（1）一般行列式的求值方法

將行列式化為上、下三角行列式；

將行列式中一列的其余元素化為零，在按該列展開，不斷降階計(jì)算；（2）n階行列式的求值方法

行列式中較多元素是零時(shí)，利用行列式的定義計(jì)算；

當(dāng)各行（或列）諸元素之和相等時(shí)，可將各行（或列）加到同一行（或列）中去； 各行（或列）加減同一行（或列）的倍數(shù)，適用于可變?yōu)槿切问交蛱崛」蜃拥模?觀察一次因式法； 升階法； 降階法； 拆項(xiàng)法；

遞歸法（歸納法）；

第二篇：線性代數(shù)學(xué)習(xí)總結(jié)

線性代數(shù)學(xué)習(xí)總結(jié)

----------應(yīng)化11 王陽(yáng)（2110904024）

時(shí)間真快，一轉(zhuǎn)眼看似漫長(zhǎng)的大一就這樣在不知不覺(jué)中接近尾聲。縱觀一年大學(xué)的學(xué)習(xí)和生活，特別是在線代的學(xué)習(xí)過(guò)程中，實(shí)在是感慨頗多。在此，我就從老師教學(xué)和自身學(xué)習(xí)方面，談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)體會(huì)。

老師在教學(xué)中，也應(yīng)該以一些具體的實(shí)例入手來(lái)教學(xué)，如果脫離了實(shí)際應(yīng)用，只是講抽象的概念和式子，是很難明白的，并且有實(shí)例的對(duì)照，可以加深記憶理論知識(shí)。然后要注重易混淆概念的區(qū)別，必要時(shí)應(yīng)該拿出來(lái)單獨(dú)講講，比如矩陣和行列式的區(qū)別，矩陣只是為了計(jì)算線性方程而列的一個(gè)數(shù)據(jù)單而已，并無(wú)實(shí)際意義。而行列式和矩陣有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個(gè)具體的數(shù)值，并且行列式的行數(shù)和列數(shù)必須是相等的。其實(shí)老師在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該學(xué)會(huì)輕松一點(diǎn)，我不希望看到老師在講臺(tái)上講得滿頭大汗，而學(xué)生坐在下面聽得云里霧里的場(chǎng)面，這就需要老師能夠精選一些內(nèi)容講解，不需要都講，而其他相關(guān)的內(nèi)容讓學(xué)生自己通過(guò)舉一反三就得到就可以了。老師可以自己選一些經(jīng)典的例子來(lái)講，而不一定要講書上的例子。然后對(duì)于例子中的計(jì)算，老師就可以不用算了，多叫學(xué)生動(dòng)動(dòng)手，增加我們的積極性，并且這樣也更能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。再就是線性代數(shù)的課時(shí)少，這是一個(gè)客觀存在的原因，所以更要精講。而不需全部包攬。當(dāng)然，若果能通過(guò)改革，增加課時(shí)是最好不過(guò)了。這也算一點(diǎn)小小的建議吧。

再者，在自身學(xué)習(xí)過(guò)程中，我想說(shuō)明的是，大學(xué)里的學(xué)習(xí)是不能靠其他任何人的，只能靠自己，老師只是起到一個(gè)引導(dǎo)作用。所以教材是我們最重要的學(xué)習(xí)資源，如果沒(méi)有書本，就是天才也不可能學(xué)好。總體看來(lái)，我們使用的課本題型簡(jiǎn)單易懂，非常適合初學(xué)者學(xué)習(xí)。但它也有許多的不足之處，就個(gè)人在看這本教材時(shí)，覺(jué)得它舉得實(shí)例太少了，并且例子不太全面，本來(lái)線性代數(shù)是一門比較抽象的學(xué)科，加上計(jì)算量大，學(xué)時(shí)少，所以要學(xué)好它，就只有靠自己在課余時(shí)間多加練習(xí)，慢慢領(lǐng)悟那些概念性的東西。然后對(duì)于教材內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)，我覺(jué)得應(yīng)該放在線性方程組這一塊，因?yàn)樗瞧渌麊?wèn)題的引出點(diǎn)，不管是矩陣，行列式，還是矩陣的秩和向量空間，都是為線性方程組服務(wù)的。我們對(duì)向量組的線性相關(guān)性的討論，還有對(duì)矩陣的秩，向量組的秩的計(jì)算，都是為了了解線性方程組的解的情況。在線性方程組的求解過(guò)程中，我們運(yùn)用了矩陣的行變換來(lái)求基礎(chǔ)解系，當(dāng)然這就相當(dāng)于求極大無(wú)關(guān)組。還有對(duì)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的討論，這也關(guān)系到線性方程組的解。所以在改革中，應(yīng)該拿線性方程組為應(yīng)用的實(shí)例，來(lái)一步一步的解剖概念和定理。當(dāng)然一些好的、典型的解題方法，也應(yīng)該用具體的例子來(lái)講解，這是一本教材必須具備的。

當(dāng)然在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們應(yīng)該具備能夠整體把握老師所講重點(diǎn)的能力，注意各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系。數(shù)學(xué)中的概念往往不是孤立的，理解概念間的聯(lián)系既能促進(jìn)新概念的引入，也有助于接近已學(xué)過(guò)概念的本質(zhì)及整個(gè)概念體系的建立。如矩陣的秩與向量組的秩的聯(lián)系：矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩；矩陣行(列)滿秩，與向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)也有一定的聯(lián)系。知識(shí)體系是一環(huán)扣一環(huán)，環(huán)環(huán)相連的。前面的知識(shí)是后面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，如用初等變換求矩陣的秩熟練與否，直接影響求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組，進(jìn)一步影響到求由向量組生成的向量空間的基與維數(shù)；又如求解線性方程組的通解熟練與否，會(huì)影響到后面特征向量的求解，以及利用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型等。因此，學(xué)習(xí)線性代數(shù)，一定要堅(jiān)持溫故而知新的學(xué)習(xí)方法，及時(shí)復(fù)習(xí)鞏固，為此，老師課前的知識(shí)回顧以及學(xué)生提前預(yù)習(xí)是十分必要的。對(duì)于后來(lái)學(xué)的，應(yīng)該多翻翻書看看前面是怎么說(shuō)的，往往前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容是為后面做鋪墊的，所以在學(xué)了后面的知識(shí)后，再看前面的知識(shí)，會(huì)對(duì)前面的知識(shí)有一個(gè)新的認(rèn)識(shí)，會(huì)更好的加深對(duì)它的理解和記憶。這一點(diǎn)上老師您做的很好。

然后對(duì)于書上花了很大的篇幅寫的matlab實(shí)驗(yàn)，我覺(jué)得這是好事，但是在教學(xué)中老師是不會(huì)教我們的，因?yàn)檎n時(shí)有限，這是情理當(dāng)中的，但是作為學(xué)生，我覺(jué)得應(yīng)該好好地利用書上的資源，單靠做練習(xí)的筆頭功夫是難以解決實(shí)際問(wèn)題的。

總的來(lái)說(shuō)，在線代的學(xué)習(xí)過(guò)程中，老師你總是能夠調(diào)節(jié)課堂的氣氛，讓大家在開心的笑聲中學(xué)習(xí)，并穿插著一些為人處事的道理，這都將讓我們?cè)谝院蟮纳詈凸ぷ髦惺芤娣藴\。很高興能在你的班上學(xué)習(xí)這門課，我想我會(huì)永遠(yuǎn)記住您那一個(gè)個(gè)寧人忍俊不禁的冷笑話。

第三篇：線性代數(shù)總結(jié)

線性代數(shù)總結(jié) [轉(zhuǎn)貼 2008-05-04 13:04:49]

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線性代數(shù)總結(jié)

一、課程特點(diǎn)

特點(diǎn)一：知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。

如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多。特點(diǎn)二：知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系性很強(qiáng)。

這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。復(fù)習(xí)線代時(shí)，要做到“融會(huì)貫通”。

“融會(huì)”——設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處； “貫通”——掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。

二、行列式與矩陣

第一章《行列式》、第二章《矩陣》是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。

行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。

對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于、、等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì)（其中 為矩陣 的特征值）。

矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、、、的性質(zhì)、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩的性質(zhì)、初等矩陣的性質(zhì)等。

三、向量與線性方程組

向量與線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問(wèn)題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)；后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立，可以看作是對(duì)核心內(nèi)容的擴(kuò)展。

向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩部分內(nèi)容最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組（一般式）還具有兩種形式：（Ⅰ）矩陣形式，其中，（Ⅱ）向量形式，其中 ，向量就這樣被引入了。

1）齊次線性方程組與線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系

齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。

齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式 中的 只能全為0才能使等式成立，而當(dāng)齊次線性方程組有非零解時(shí)，存在不全為0的 使上式成立；但向量部分中判斷向量組 是否線性相關(guān)無(wú)關(guān)的定義也正是由這個(gè)等式出發(fā)的。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組 是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)。可以設(shè)想線性相關(guān)無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問(wèn)題而提出的。2）齊次線性方程組的解與秩和極大無(wú)關(guān)組的聯(lián)系

同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組 組成的矩陣 有 說(shuō)明向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中有 個(gè)向量，即 線性無(wú)關(guān)，也即等式 只有零解。所以，經(jīng)過(guò)

“秩 → 線性相關(guān)無(wú)關(guān) → 線性方程組解的判定” 的邏輯鏈條，由 就可以判定齊次方程組 只有零解。當(dāng) 時(shí)，的列向量組 線性相關(guān)，此時(shí)齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過(guò) 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線性表示。

3）非齊次線性方程組與線性表示的聯(lián)系

非齊次線性方程組 是否有解對(duì)應(yīng)于向量 是否可由 的列向量組 線性表示，即使等式 成立的一組數(shù) 就是非齊次線性方程組 的解。當(dāng)非齊次線性方程組 滿足 時(shí)，它有唯一解。這一點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理：“若 線性無(wú)關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示方法唯一”。性質(zhì)1.對(duì)于方陣 有：

方陣 可逆ó

ó 的行列向量組均線性無(wú)關(guān)ó ó 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 僅有零解 對(duì)于一般矩陣 則有： ó 的列向量組線性無(wú)關(guān)

ó 僅有零解，有唯一解（如果有解）

性質(zhì)2．齊次線性方程組 是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣 的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組 是否有解對(duì)應(yīng)于 是否可以由 的列向量組線性表出。

以上兩條性質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁。

應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論 1．向量組線性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：

1）向量組 線性相關(guān)ó向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余 個(gè)向量線性表出。2）向量組線性無(wú)關(guān)ó向量組中沒(méi)有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出。

3）若 線性無(wú)關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。

2．向量組線性表示與等價(jià)的有關(guān)結(jié)論：

1）一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。2）如果向量組 可由向量組 線性表示，則有

3）等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量； 4）任何一個(gè)向量組都與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。3．常見的線性無(wú)關(guān)組：

1）齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系； 2）、、這樣的單位向量組； 3）不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。4．關(guān)于秩的一些結(jié)論： 1）； 2）； 3）； 4）；

5）若有、滿足，則 ； 6）若 是可逆矩陣則有 ； 7）若 可逆則有 ； 8）。

4．線性方程組的解：

1）非齊次線性方程組 有唯一解則對(duì)應(yīng)齊次方程組 僅有零解；

2）若 有無(wú)窮多解則 有非零解； 3）若 有兩個(gè)不同的解則 有非零解；

4）若 是 矩陣而 則 一定有解，而且當(dāng) 時(shí)有唯一解，當(dāng) 時(shí)有無(wú)窮多解； 5）若 則 沒(méi)有解或有唯一解。

四、特征值與特征向量

相對(duì)于前兩章來(lái)說(shuō)，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)。其原因是解決相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”。本章知識(shí)要點(diǎn)如下： 1．特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法 就是記牢一系列公式如、、和。常用到下列性質(zhì)：

若 階矩陣 有 個(gè)特征值，則有 ；

若矩陣 有特征值，則、、、、、分別有特征值、、、、、，且對(duì)應(yīng)特征向量等于 所對(duì)應(yīng)的特征向量； 2．相似矩陣及其性質(zhì)

定義式為，此時(shí)滿足、、，并且、有相同的特征值。

需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣 與矩陣 等價(jià)（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時(shí)矩陣 可通過(guò)初等變換化為矩陣，并有 ；當(dāng) 中的、互逆時(shí)就變成了矩陣相似（）的定義式，即有 ；矩陣合同的定義是，其中 為可逆矩陣。

由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若 與 合同或相似則 與 必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒(méi)有必然聯(lián)系。3．矩陣可相似對(duì)角化的條件

包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。充要條件1是 階矩陣 有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充要條件2是 的任意 重特征根對(duì)應(yīng)有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充分條件1是 有 個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是 為實(shí)對(duì)稱矩陣。4．實(shí)對(duì)稱矩陣及其相似對(duì)角化

階實(shí)對(duì)稱矩陣 必可正交相似于對(duì)角陣，即有正交矩陣 使得，而且正交矩陣 由 對(duì)應(yīng)的 個(gè)正交的單位特征向量組成。

可以認(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪：直接相乘來(lái)求 比較困難；但如果有矩陣 使得 滿足（對(duì)角矩陣）的話就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)

而對(duì)角陣 的冪 就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對(duì)角化。因?yàn)椋坏袛嗑仃嚨南嗨茖?duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且 中的、也分別是由 的特征向量和特征值決定的。

五、二次型

本章所講的內(nèi)容從根本上講是第五章《特征值和特征向量》的一個(gè)延伸，因?yàn)榛涡蜑闃?biāo)準(zhǔn)型的核心知識(shí)為“對(duì)于實(shí)對(duì)稱矩陣 存在正交矩陣 使得 可以相似對(duì)角化”，其過(guò)程就是上一章相似對(duì)角化在 為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)的應(yīng)用。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：

1．二次型及其矩陣表示。2．用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。3．正負(fù)定二次型的判斷與證明。

標(biāo)簽: 線性代數(shù)總結(jié)

.學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)

2009年06月14日 星期日 上午 11:12

學(xué)習(xí)線性代數(shù)總結(jié)

線性代數(shù)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)已經(jīng)學(xué)完了，但我認(rèn)為我們的學(xué)習(xí)并沒(méi)有因此而結(jié)束。我們應(yīng)該總結(jié)一下這門課程的學(xué)習(xí)的方法，并能為我們以后的學(xué)習(xí)和工作提供方法。這門課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)：《線性代數(shù)》是物理系等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本思想方法和行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面 的系統(tǒng)知識(shí)，它一方面為后繼課程（如離散數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、等課程）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識(shí)；另一方面還對(duì)提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生智能、加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論、基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力等重要作用。同時(shí)隨著計(jì)算機(jī)及其應(yīng)用技術(shù)的飛速發(fā)展，很多實(shí)際問(wèn)題得以離散化而得到定量的解決。作為離散化和數(shù)值計(jì)算理論基礎(chǔ)的線性代數(shù)，為解決實(shí)際問(wèn)題提供了強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。

我總結(jié)了《線性代數(shù)》的一些學(xué)習(xí)方法，可能有的同學(xué)會(huì)認(rèn)為這已經(jīng)為時(shí)過(guò)晚，但我不這么認(rèn)為。從這門課程中，我們學(xué)會(huì)的不僅僅是線性代數(shù)的一些相關(guān)知識(shí)（行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面的系統(tǒng)知識(shí)），更重要的是，從這門課程中我們應(yīng)該掌握一種很重要的思想——學(xué)習(xí)如何去使用工具的方法。這個(gè)工具狹隘的講是線性代數(shù)這門數(shù)學(xué)知識(shí)，但從廣義地說(shuō)：這個(gè)工具應(yīng)該是生活中的一切工具（如電腦軟件的學(xué)習(xí)方法、機(jī)器的操作方法、科學(xué)調(diào)查方法等）。在這門課程給我的感觸就是：這門課告訴我們?nèi)绾稳W(xué)知識(shí)的方法。

我認(rèn)為：學(xué)習(xí)任何一門知識(shí)的方法是：

一、明確我們要學(xué)習(xí)什么知識(shí)或者要掌握哪些方面的技能。

只能我們明白我們自己要學(xué)習(xí)什么之后，我們才會(huì)有動(dòng)力去學(xué)習(xí)，在我們的大學(xué)里，有些同學(xué)不明白學(xué)習(xí)課本知識(shí)有何作用，認(rèn)為學(xué)習(xí)與不學(xué)習(xí)沒(méi)有什么區(qū)別，或者認(rèn)為學(xué)習(xí)課本知識(shí)沒(méi)有多大的作用，就干脆不學(xué)（當(dāng)然我在這里沒(méi)有貶低任何人的意思）。不過(guò)我認(rèn)為學(xué)習(xí)好自己的專業(yè)的知識(shí)，掌握專業(yè)技能是每個(gè)大學(xué)生的天職。

二、知道知識(shí)是什么，了解相關(guān)知識(shí)的概念和定義。

這是學(xué)習(xí)的一切學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，只有把握這個(gè)環(huán)節(jié)，我們的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)才能得以開展，知識(shí)是人類高度概括、總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，不可能像平常說(shuō)話那么通俗易懂。所以我們要想把知識(shí)學(xué)好，就得在概念上下功夫。例《線性代數(shù)》這門課程中的實(shí)二次型，那我們首先得非常清楚的知到，什么叫做實(shí)二次型。否則這一塊的知識(shí)沒(méi)有辦法開展。

三、要知到我們學(xué)的知識(shí)可以用到何處，或者能幫我們解決什么問(wèn)題。

其實(shí)這一點(diǎn)和第一點(diǎn)有點(diǎn)重復(fù)。但是對(duì)于我們的課本知識(shí)非常得有用，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的課本知識(shí)。說(shuō)句實(shí)在話，我們確實(shí)不知到能為我們生活中能解決什么問(wèn)題，但如果我們知到它能用到何處，相信將來(lái)一定會(huì)有用。有一句話說(shuō)得好，書到用時(shí)方恨少，說(shuō)得是這個(gè)道理。總之，我們現(xiàn)在要為以后遇到問(wèn)題而積累解決問(wèn)題的方法，我們現(xiàn)在是在為以后的人生在打基礎(chǔ)。

四、學(xué)習(xí)相關(guān)概念后，要學(xué)會(huì)如何去操作。

像《線性代數(shù)》這門課程，在這一點(diǎn)就體現(xiàn)得很突出。如在我們學(xué)習(xí)正交矩陣這個(gè)概念后，我們得要學(xué)會(huì)如何去求正交矩陣；再如，當(dāng)我們認(rèn)識(shí)了矩陣的對(duì)角化定義之后，我們得掌握如何去將一個(gè)矩陣對(duì)角化。其

實(shí)，就是學(xué)會(huì)如何去操作，這是我們掌握數(shù)學(xué)工具的使用方法的重要途徑，所以這部分的工作是我們的學(xué)習(xí)中心和重點(diǎn)。只有掌握了這部分，我們才能在以后學(xué)習(xí)或者生活中遇到相似的問(wèn)題，就有了這個(gè)工具去為我們解決實(shí)際的問(wèn)題。

五、將所學(xué)習(xí)的知識(shí)反作用于生活（即將所學(xué)的知識(shí)用到實(shí)處）。

這才是我們學(xué)習(xí)的真正目的所在。一個(gè)人的解決問(wèn)題的能力應(yīng)該和他所掌握的知識(shí)成正比。學(xué)之所用才叫學(xué)到實(shí)處，才能發(fā)揮真正學(xué)習(xí)的作用。記得這個(gè)給我印象最深的是：在我們學(xué)C++編程時(shí)，有一道題是講的是用一百元錢去買母雞、公雞、小雞。母雞5元錢一只，公雞3元錢一只，小雞3只一元，并且母雞、公雞、小雞的總數(shù)為一百只，求有多少種可能。

這其實(shí)就是一道最簡(jiǎn)單的線性代數(shù)題了，設(shè)x代表小雞，y代表公雞，z代表母雞：則根據(jù)題意有線性方程組

x3+3y+5z=100

x+y+z=100

解此線性方程組得

x=3z/4+75

y=-7z/4+25 z=z

用z作為循環(huán)變量控制，這個(gè)程序不到十行就可以編出來(lái)。這就說(shuō)明學(xué)習(xí)知識(shí)總會(huì)有用的，只要我們?nèi)シe累，只要我們現(xiàn)在把基礎(chǔ)打牢，我相信以后解決問(wèn)題的方法多了，大腦用活了，我們的競(jìng)爭(zhēng)力就強(qiáng)了，自然在社會(huì)上有一席之地。

總之：我個(gè)人覺(jué)得學(xué)習(xí)知識(shí)很有用處。雖然就業(yè)壓力在壓著大家，大家為就業(yè)而奔波，但至少現(xiàn)在找工作不是我們的重點(diǎn)。把我們手頭上的事做好才是最關(guān)鍵，我還是喜歡軍訓(xùn)中我的那個(gè)“胖胖”所說(shuō)的話：“一個(gè)蘿卜，一個(gè)坑”，一步一個(gè)腳印，腳踏實(shí)地。相信我們80年后或90年后的一代能夠擔(dān)任起國(guó)家建設(shè)的重任和使命。

樓主 大 中 小 發(fā)表于 2008-10-10 23:50 只看該作者

線性代數(shù)超強(qiáng)總結(jié).√ 關(guān)于 ：

①稱為 的標(biāo)準(zhǔn)基，中的自然基，單位坐標(biāo)向量；

② 線性無(wú)關(guān)；

③ ； ④ ；

⑤任意一個(gè) 維向量都可以用 線性表示.√ 行列式的計(jì)算：

① 若 都是方陣（不必同階）,則

②上三角、下三角行列式等于主對(duì)角線上元素的乘積.③關(guān)于副對(duì)角線：

√ 逆矩陣的求法:

① ②

③

④

⑤

√ 方陣的冪的性質(zhì)：

√ 設(shè)，對(duì) 階矩陣 規(guī)定： 為 的一個(gè)多項(xiàng)式.√ 設(shè)的列向量為 , 的列向量為，的列向量為 , √ 用對(duì)角矩陣 左乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的行向量； 用對(duì)角矩陣 右乘一個(gè)矩陣,相當(dāng)于用 的對(duì)角線上的各元素依次乘此矩陣的列向量.√ 兩個(gè)同階對(duì)角矩陣相乘只用把對(duì)角線上的對(duì)應(yīng)元素相乘，與分塊對(duì)角陣相乘類似,即：

√ 矩陣方程的解法：設(shè)法化成當(dāng) 時(shí)，√

和 同解（列向量個(gè)數(shù)相同）,則： ① 它們的極大無(wú)關(guān)組相對(duì)應(yīng),從而秩相等；

② 它們對(duì)應(yīng)的部分組有一樣的線性相關(guān)性；

③ 它們有相同的內(nèi)在線性關(guān)系.√ 判斷 是 的基礎(chǔ)解系的條件：

①

線性無(wú)關(guān)；

②

是 的解；

③

.①

零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實(shí)向量正交.②

單個(gè)零向量線性相關(guān)；單個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān).③

部分相關(guān),整體必相關(guān)；整體無(wú)關(guān),部分必?zé)o關(guān).④

原向量組無(wú)關(guān),接長(zhǎng)向量組無(wú)關(guān)；接長(zhǎng)向量組相關(guān),原向量組相關(guān).⑤

兩個(gè)向量線性相關(guān) 對(duì)應(yīng)元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無(wú)關(guān).⑥

向量組 中任一向量

≤ ≤ 都是此向量組的線性組合.⑦

向量組 線性相關(guān) 向量組中至少有一個(gè)向量可由其余 個(gè)向量線性表示.向量組 線性無(wú)關(guān) 向量組中每一個(gè)向量 都不能由其余 個(gè)向量線性表示.⑧

維列向量組 線性相關(guān) ；

維列向量組 線性無(wú)關(guān).⑨

.⑩

若 線性無(wú)關(guān)，而 線性相關(guān),則 可由 線性表示,且表示法惟一.?

矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個(gè)數(shù).?

矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關(guān)系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關(guān)系.向量組等價(jià)

和 可以相互線性表示.記作： 矩陣等價(jià)

經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為.記作：

?

矩陣 與 等價(jià)

作為向量組等價(jià),即：秩相等的向量組不一定等價(jià).矩陣 與 作為向量組等價(jià)

矩陣 與 等價(jià).?

向量組 可由向量組 線性表示

≤.?

向量組 可由向量組 線性表示,且，則 線性相關(guān).向量組 線性無(wú)關(guān),且可由 線性表示,則 ≤.?

向量組 可由向量組 線性表示,且,則兩向量組等價(jià)；

?

任一向量組和它的極大無(wú)關(guān)組等價(jià).?

向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià),且這兩個(gè)組所含向量的個(gè)數(shù)相等.?

若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià),則它們包含的向量個(gè)數(shù)相等.?

若 是 矩陣,則 ,若，的行向量線性無(wú)關(guān)；

若，的列向量線性

無(wú)關(guān),即： 線性無(wú)關(guān).線性方程組的矩陣式

向量

式

矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)：

矩陣可逆的性質(zhì)：

伴隨矩陣的性質(zhì)：

線性方程組解的性質(zhì)：

√ 設(shè) 為 矩陣,若 ,則 ,從而 一定有解.當(dāng) 時(shí),一定不是唯一解.,則該向量組線性相關(guān).是 的上限.√ 矩陣的秩的性質(zhì)：

①

②

≤

③

≤

④

⑤

⑥ ≥ ⑦

≤ ⑧

⑨

⑩

且 在矩陣乘法中有左消去律:

標(biāo)準(zhǔn)正交基

個(gè) 維線性無(wú)關(guān)的向量,兩兩正交,每個(gè)向量長(zhǎng)度為1..是單位向量

.√ 內(nèi)積的性質(zhì)：

① 正定性：

② 對(duì)稱性：

③ 雙線性：

施密特

線性無(wú)關(guān)，單位化：

正交矩陣

.√

是正交矩陣的充要條件： 的 個(gè)行（列）向量構(gòu)成 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.√ 正交矩陣的性質(zhì)：①

；

②

；

③

是正交陣,則（或）也是正交陣；

④ 兩個(gè)正交陣之積仍是正交陣； ⑤ 正交陣的行列式等于1或-1.的特征矩陣

.的特征多項(xiàng)式

.的特征方程

.√ 上三角陣、下三角陣、對(duì)角陣的特征值就是主對(duì)角線上的 各元素.√ 若 ,則 為 的特征值,且 的基礎(chǔ)解系即為屬于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量.√

√ 若 ,則 一定可分解為 =、,從而 的特征值為： ，.√ 若 的全部特征值，是多項(xiàng)式,則:

①的全部特征值為 ；

② 當(dāng) 可逆時(shí), 的全部特征值為 , 的全部特征值為.√

√

與 相似

（為可逆陣）

記為：

√

相似于對(duì)角陣的充要條件： 恰有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.這時(shí), 為 的特征向量拼成的矩陣，為對(duì)角陣,主對(duì)角線上的元素為 的特征值.√

可對(duì)角化的充要條件：

為 的重?cái)?shù).√ 若 階矩陣 有 個(gè)互異的特征值,則 與對(duì)角陣相似.與 正交相似

（為正交矩陣）√ 相似矩陣的性質(zhì)：①

若 均可逆

②

③

（為整數(shù)）

④,從而 有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即: 是 關(guān)于 的特征向量, 是 關(guān)

于 的特征向量.⑤

從而 同時(shí)可逆或不可逆

⑥

⑦

√ 數(shù)量矩陣只與自己相似.√ 對(duì)稱矩陣的性質(zhì)：

① 特征值全是實(shí)數(shù),特征向量是實(shí)向量；

② 與對(duì)角矩陣合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交； ④

重特征值必定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；

⑤ 必可用正交矩陣相似對(duì)角化（一定有 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 可能有重的特征值,重

數(shù)=）.可以相似對(duì)角化

與對(duì)角陣 相似.記為：

（稱 是 的相似標(biāo)準(zhǔn)型）

√ 若 為可對(duì)角化矩陣,則其非零特征值的個(gè)數(shù)（重?cái)?shù)重復(fù)計(jì)算）.√ 設(shè) 為對(duì)應(yīng)于 的線性無(wú)關(guān)的特征向量,則有：

.√ 若 , ,則：.√ 若 ,則 ,.二次型

為對(duì)稱矩陣

與 合同

.記作：

（）

√ 兩個(gè)矩陣合同的充分必要條件是：它們有相同的正負(fù)慣性指數(shù).√ 兩個(gè)矩陣合同的充分條件是：

√ 兩個(gè)矩陣合同的必要條件是： √

經(jīng)過(guò)

化為 標(biāo)準(zhǔn)型.√ 二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的,與所作的正交變換有關(guān),但系數(shù)不為零的個(gè)數(shù)是由

惟

一確定的.√ 當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中的系數(shù) 為1，-1或0時(shí),則為規(guī)范形.√ 實(shí)對(duì)稱矩陣的正（負(fù)）慣性指數(shù)等于它的正（負(fù)）特征值的個(gè)數(shù).√ 任一實(shí)對(duì)稱矩陣 與惟一對(duì)角陣 合同.√ 用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形: ①

求出 的特征值、特征向量； ②

對(duì) 個(gè)特征向量單位化、正交化；

③

構(gòu)造（正交矩陣）, ；

④

作變換 ,新的二次型為 , 的主對(duì)角上的元素 即為 的特征值.正定二次型

不全為零，.正定矩陣

正定二次型對(duì)應(yīng)的矩陣.√ 合同變換不改變二次型的正定性.√ 成為正定矩陣的充要條件（之一成立）：

①

正慣性指數(shù)為 ； ②的特征值全大于 ； ③的所有順序主子式全大于 ； ④

合同于，即存在可逆矩陣 使 ； ⑤

存在可逆矩陣，使

（從而）； ⑥

存在正交矩陣，使

（大于）.√ 成為正定矩陣的必要條件：；

.b

b s

.k ao

y a n.c o m

內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò) 線性代數(shù)復(fù)習(xí)小結(jié)

概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容相互縱橫交錯(cuò)，知識(shí)前后緊密聯(lián)系是線性代數(shù)課程的特點(diǎn)，故考生應(yīng)充分理解概念，掌握定理的條件、結(jié)論、應(yīng)用，熟悉符號(hào)意義，掌握各種運(yùn)算規(guī)律、計(jì)算方法，并及時(shí)進(jìn)行總結(jié)，抓聯(lián)系，使學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通，舉一反三，根據(jù)考試大綱的要求，這里再具體指出如下：

行列式的重點(diǎn)是計(jì)算，利用性質(zhì)熟練準(zhǔn)確的計(jì)算出行列式的值。

矩陣中除可逆陣、伴隨陣、分塊陣、初等陣等重要概念外，主要也是運(yùn)算，其運(yùn)算分兩個(gè)層次，一是矩陣的符號(hào)運(yùn)算，二是具體矩陣的數(shù)值運(yùn)算。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號(hào)運(yùn)算，將矩陣方程化簡(jiǎn)，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡(jiǎn)單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式 A-1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是常考的內(nèi)容之一。

關(guān)于向量，證明（或判別）向量組的線性相關(guān)（無(wú)關(guān)），線性表出等問(wèn)題的關(guān)鍵在于深刻理解線性相關(guān)（無(wú)關(guān)）的概念及幾個(gè)相關(guān)定理的掌握，并要注意推證過(guò)程中邏輯的正確性及反證法的使用。

向量組的極大無(wú)關(guān)組，等價(jià)向量組，向量組及矩陣的秩的概念，以及它們相互關(guān)系也是重點(diǎn)內(nèi)容之一。用初等行變換是求向量組的極大無(wú)關(guān)組及向量組和矩陣秩的有效方法。

在 Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過(guò)渡矩陣，線性無(wú)關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡(jiǎn)，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。

行列式、矩陣、向量、方程組是線性代數(shù)的基本內(nèi)容，它們不是孤立隔裂的，而是相互滲透，緊密聯(lián)系的，例如 ?OA?O≠0〈===〉A(chǔ)是可逆陣〈===〉r（A）=n(滿秩陣)〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組線性無(wú)關(guān)〈===〉A(chǔ)X=0唯一零解〈===〉A(chǔ)X=b對(duì)任何b均有（唯一）解〈===〉A(chǔ)=P1 P2 ?PN，其中PI(I=1,2,?，N)是初等陣〈===〉r(AB)=r(B)<===>A初等行變換

I〈===〉A(chǔ)的列（行）向量組是Rn的一個(gè)基〈===〉A(chǔ)可以是某兩個(gè)基之間的過(guò)渡矩陣等等。這種相互之間的聯(lián)系綜合命題創(chuàng)造了條件，故對(duì)考生而言，應(yīng)該認(rèn)真總結(jié)，開拓思路，善于分析，富于聯(lián)想使得對(duì)綜合的，有較多彎道的試題也能順利地到達(dá)彼岸。

關(guān)于特征值、特征向量。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對(duì)具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程 ?OλE-A?O=0及（λE-A）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對(duì)角化的問(wèn)題，一般矩陣相似對(duì)角化的條件。實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化及正交變換相似于對(duì)角陣，反過(guò)來(lái)，可由A 的特征值，特征向量來(lái)確不定期A的參數(shù)或確定A，如果A是實(shí)對(duì)稱陣，利用不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，有時(shí)還可以由已知λ1的特征向量確定出λ2（λ2≠λ1）對(duì)應(yīng)的特征向量，從而確定出A。三是相似對(duì)角化以后的應(yīng)用，在線性代數(shù)中至少可用來(lái)計(jì)算行列式及An.將二次型表示成矩陣形式，用矩陣的方法研究二次型的問(wèn)題主要有兩個(gè)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，這主要是正交變換法（這和實(shí)對(duì)稱陣正交相似對(duì)角陣是一個(gè)問(wèn)題的兩種提法），在沒(méi)有其他要求的情況下，用配方法得到標(biāo)準(zhǔn)形可能更方便些；二是二次型的正定性問(wèn)題，對(duì)具體的數(shù)值二次型，一般可用順序主子式是否全部大于零來(lái)判別，而抽象的由給定矩陣的正定性，證明相關(guān)矩陣的正定性時(shí)，可利用標(biāo)準(zhǔn)形，規(guī)范形，特征值等到證明，這時(shí)應(yīng)熟悉二次型正定有關(guān)的充分條件和必要條件。

一、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

線性代數(shù)的概念很多，重要的有：

代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

往年常有考生沒(méi)有準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，也沒(méi)有注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系，導(dǎo)致做題時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例如，矩陣A＝(α1，α2，?，αm)與B＝(β1，β2?，βm)等價(jià)，意味著經(jīng)過(guò)初等變換可由A得到B，要做到這一點(diǎn)，關(guān)鍵是看秩r(A)與r(B)是否相等，而向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價(jià)，說(shuō)明這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，因而它們有相同的秩，但是向量組有相同的秩時(shí)，并不能保證它們必能互相線性表現(xiàn)，也就得不出向量組等價(jià)的信息，因此，由向量組α1，α2，?αm與β1，β2，?βm等價(jià)，可知矩陣A＝(α1，α2，?αm)與B＝(β1，β2，?βm)等價(jià)，但矩陣A與B等價(jià)并不能保證這兩個(gè)向量組等價(jià)。

又如，實(shí)對(duì)稱矩陣A與B合同，即存在可逆矩陣C使CTAC＝B，要實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)，關(guān)鍵是二次型xTAx與xTBx的正、負(fù)慣性指數(shù)是否相同，而A與B相似是指有可逆矩陣P使P-1AP＝B成立，進(jìn)而知A與B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、負(fù)慣性指數(shù)相同，但正負(fù)慣性指數(shù)相同時(shí)，并不能保證特征值相同，因此，實(shí)對(duì)稱矩陣A～BAB，即相似是合同的充分條件。

線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)，重要的有：

行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。

二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)？再問(wèn)做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

例如：設(shè)A是m×n矩陣，B是n×s矩陣，且AB＝0，那么用分塊矩陣可知B的列向量都是齊次方程組Ax＝0的解，再根據(jù)基礎(chǔ)解系的理論以及矩陣的秩與向量組秩的關(guān)系，可以有

r(B)≤n-r(A)即r(A)＋r(B)≤n

進(jìn)而可求矩陣A或B中的一些參數(shù)

再如，若A是n階矩陣可以相似對(duì)角化，那么，用分塊矩陣處理P-1AP＝∧可知A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，P就是由A的線性無(wú)關(guān)的特征向量所構(gòu)成，再由特征向量與基礎(chǔ)解系間的聯(lián)系可知此時(shí)若λi是ni重特征值，則齊次方程組(λiE-A)x＝0的基礎(chǔ)解系由ni個(gè)解向量組成，進(jìn)而可知秩r(λiE-A)＝n-ni，那么，如果A不能相似對(duì)角化，則A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r(λiE-A)＜n-ni，若A是實(shí)對(duì)稱矩陣，則因A必能相似對(duì)角化而知對(duì)每個(gè)特征值λi必有r(λiE-A)＝n-ni，此時(shí)還可以利用正交性通過(guò)正交矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)相似對(duì)角化。

又比如，對(duì)于n階行列式我們知道：

若｜A｜＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒(méi)有惟一解(可能有無(wú)窮多解，也可能無(wú)解)，而當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；

可用｜A｜證明矩陣A是否可逆，并在可逆時(shí)通過(guò)伴隨矩陣來(lái)求A-1；

對(duì)于n個(gè)n維向量α1，α2，?αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2?αn｜是否為零來(lái)判斷向量組的線性相關(guān)性；

矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來(lái)定義的，若r(A)＜r，則A中r階子式全為0；

求矩陣A的特征值，可以通過(guò)計(jì)算行列式｜λE-A｜，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式｜λ0E-A｜＝0；

判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。

凡此種種，正是因?yàn)榫€性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，同學(xué)們整理時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

三、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。

線性代數(shù)中常見的證明題型有：

證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，?αt的線性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2?，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質(zhì)，如對(duì)稱，可逆，正交，正定，可對(duì)角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2?，αs線性表出)；對(duì)給出的兩個(gè)方程組論證其同解性或有無(wú)公共解；證二次型的正定性，規(guī)范形等。

《線性代數(shù)》是一門研究線性問(wèn)題的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，線性代數(shù)實(shí)質(zhì)上是提供了自己獨(dú)特的語(yǔ)言和方法，將那些涉及多變量的問(wèn)題組織起來(lái)并進(jìn)行分析研究，是將中學(xué)一元代數(shù)推廣為處理

大的數(shù)組的一門代數(shù)。

線性代數(shù)有兩類基本數(shù)學(xué)構(gòu)件.一類是對(duì)象：數(shù)組；一類是這些對(duì)象進(jìn)行的運(yùn)算。在此基礎(chǔ)之上可以對(duì)一系列涉及數(shù)組的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探討和研究，從而解決實(shí)際問(wèn)題.既然線性代數(shù)有自己獨(dú)特的內(nèi)容，我們就要用適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法面對(duì)。這里給出五點(diǎn)建議：

一、線性代數(shù)如果注意以下幾點(diǎn)是有益的.由易而難 線性代數(shù)常常涉及大型數(shù)組，故先將容易的問(wèn)題搞明白，再解決有難度的問(wèn)題，例如行列式定義，首先將3階行列式定義理解好，自然可以推廣到n階行列式情形；

由低而高 運(yùn)用技巧，省時(shí)不少，無(wú)論是行列式還是矩陣，在低階狀態(tài)，找出適合的計(jì)算方法，則可自如推廣運(yùn)用到高階情形；

由簡(jiǎn)而繁 一些運(yùn)算法則，先試用于簡(jiǎn)單情形，進(jìn)而應(yīng)用于復(fù)雜問(wèn)題，例如，克萊姆法則，線性方程組解存在性判別，對(duì)角化問(wèn)題等等；

由淺而深線性代數(shù)中一些新概念如秩，特征值特征向量，應(yīng)當(dāng)先理解好它們的定義，在理解基礎(chǔ)之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯(lián)系、它們的作用，一步步達(dá)到運(yùn)用自如境地。

二、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

1、線性代數(shù)的概念很多，重要的有：

代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價(jià)（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。

2、線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)，重要的有：

行列式（數(shù)字型、字母型）的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法），判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形）。

三、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)？再問(wèn)做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

四、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家學(xué)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。

總之，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)過(guò)程中一定要認(rèn)真仔細(xì)地預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。

第四篇：線性代數(shù)的學(xué)習(xí)

線性代數(shù)被不少同學(xué)稱為“天書”，足見這門課給同學(xué)們?cè)斐傻睦щy。

在這門課的學(xué)習(xí)過(guò)程中，你是否也遇到了上課聽不懂，一上課就想睡覺(jué)，公式定理理解不了，知道了知識(shí)但不會(huì)做題，記不住等問(wèn)題。不要怕，線性代數(shù)的學(xué)習(xí)是有章可循的，只要有正確的方法，再加上自己的努力，任何學(xué)科都不會(huì)“打倒”你。

線性代數(shù)是一門對(duì)理工科學(xué)生極其重要數(shù)學(xué)學(xué)科。線代課本的前言上就說(shuō)：“在現(xiàn)代社會(huì)，除了算術(shù)以外，線性代數(shù)是應(yīng)用最廣泛的數(shù)學(xué)學(xué)科了。”你是不是覺(jué)得這好像是在吹，的確，我們的線代教學(xué)的一個(gè)很大的問(wèn)題就是對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用涉及太少，課本上涉及最多的只能算解線性方程組了，但這只是線性代數(shù)很初級(jí)的應(yīng)用。我只上大二，對(duì)線性代數(shù)的應(yīng)用了解的也不多。但是，線性代數(shù)在計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法、密碼學(xué)、對(duì)策論等等中都有著相當(dāng)大的作用。

沒(méi)有應(yīng)用到的內(nèi)容很容易忘，我現(xiàn)在高數(shù)還基本記得，但線代已忘了大半。因?yàn)楦邤?shù)在很多課程中都有廣泛的應(yīng)用，尤其第二學(xué)期開設(shè)的大學(xué)物理課。所以，如果有時(shí)間的話，要盡可能地到網(wǎng)上或圖書館了解線性代數(shù)在各方面的應(yīng)用。如：《線性代數(shù)》（居余馬等編，清華大學(xué)出版社）上就有線性代數(shù)在“人口模型”、“馬爾可夫鏈”、“投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型”、“圖的鄰接矩陣”等方面的應(yīng)用。也可以試著用線性代數(shù)的方法和知識(shí)證明以前學(xué)過(guò)的定理或高數(shù)中的定理，如老的高中解析幾何課本上的轉(zhuǎn)軸公式，它就可以用線性代數(shù)中的過(guò)渡矩陣來(lái)證明。覺(jué)得線性代數(shù)難懂和瑣碎也跟教學(xué)中沒(méi)有涉及線代的應(yīng)用有很大關(guān)系。

線代是一門比較費(fèi)腦子的課，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的線代課就會(huì)變成“催眠課”。那么，請(qǐng)?jiān)诘诙煊芯€代課時(shí)晚上睡得早一點(diǎn)，“臥談會(huì)”開得短一點(diǎn)。如果你覺(jué)得上課跟不上老師的思路那么請(qǐng)預(yù)習(xí)。這個(gè)預(yù)習(xí)也有學(xué)問(wèn)，預(yù)習(xí)時(shí)要“把更多的麻煩留給自己”，即遇到公式、定理、結(jié)論馬上把證明部分蓋住，自己試著證一下，可以不用寫詳細(xì)的過(guò)程，想一下思路即可；還要多猜猜預(yù)習(xí)的部分會(huì)有什么公式、定理、結(jié)論；還要想一想預(yù)習(xí)的內(nèi)容能應(yīng)用到什么領(lǐng)域。當(dāng)然，這對(duì)一些同學(xué)有困難，可以根據(jù)個(gè)人的實(shí)際情況適當(dāng)調(diào)整，但要盡量多地自己思考。

一定要重視上課聽講，不能使線代的學(xué)習(xí)退化為自學(xué)。上課時(shí)干別的會(huì)受到老師講課的影響，那為什么不利用好這一小時(shí)四十分鐘呢？上課時(shí)，老師的一句話就可能使你豁然開朗，就可能改變你的學(xué)習(xí)方法甚至改變你的一生。上課時(shí)一定要“虛心”，即使老師講的某個(gè)題自己會(huì)做也要聽一下老師的思路。

上完課后不少同學(xué)喜歡把上課的內(nèi)容看一遍再做作業(yè)。實(shí)際上應(yīng)該先試著做作業(yè)，不會(huì)時(shí)看書，做完作業(yè)后再看書。這樣，作業(yè)可以幫你回憶老師講的內(nèi)容，重要的是這些內(nèi)容是自己回憶起來(lái)的，這樣能記得更牢，而且可以通過(guò)作業(yè)發(fā)現(xiàn)自己哪些部分還沒(méi)掌握好。作業(yè)盡量在上課的當(dāng)天或第二天做，這樣能減少遺忘給做作業(yè)造成的困難。做作業(yè)時(shí)遇到不會(huì)的題可以問(wèn)別人或參考同學(xué)的解答，但一定要真正理解別人的思路，絕對(duì)不能不弄清楚別人怎么做就照抄。大學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)留給做題的時(shí)間比較少，應(yīng)該適當(dāng)多做些題。

線性代數(shù)的許多公式定理難理解，但一定要理解這些東西才能記得牢，理解不需要知道它的證明過(guò)程的每一步，只要能從生活實(shí)際想到甚至朦朦朧朧地想到它的“所以然”就行了。

學(xué)習(xí)線代及其它任何學(xué)科時(shí)都要靜下心來(lái)，如果你學(xué)習(xí)前“心潮澎湃”就請(qǐng)用一兩分鐘時(shí)間平靜下來(lái)再開始學(xué)習(xí)。遇到不會(huì)做的題時(shí)不要去想“這道題我怎么又不會(huì)做”等與這道題無(wú)關(guān)的東西，一心想題，這樣解出來(lái)的可能性會(huì)大很多。

關(guān)于解題思路的問(wèn)題不是一下子能講清楚的，《道樂(lè)吉學(xué)習(xí)方法（大學(xué)生版）》這本書講解題思路講得非常好，而且上面講的解題方法對(duì)各門理科課都適用。我在此只想說(shuō)做完題后要想想答案上的方法和自己的方法是怎么想出來(lái)的，尤其對(duì)于自己不會(huì)做的題或某個(gè)題答案給出的解法非常好且較難想到，然后將這種思路“存檔”，即“做完題后要總結(jié)”。線性代數(shù)作為一門數(shù)學(xué)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思想。

人們總是在擴(kuò)展數(shù)的范圍，復(fù)數(shù)就是實(shí)數(shù)的擴(kuò)展。矩陣是數(shù)的擴(kuò)展，如一個(gè)電阻的阻值可以用一個(gè)實(shí)數(shù)來(lái)表示，而一個(gè)二端口電阻的“阻值”可以用一個(gè)2*2矩陣來(lái)表示。

數(shù)學(xué)上的方法是相通的。比如，考慮特殊情況這種思路。線性代數(shù)中行列式按行或列展開公式的證明就是從更簡(jiǎn)單的特殊情況開始證起；解線性方程組時(shí)先解對(duì)應(yīng)的齊次方程組，這些都是先考慮特殊情況。高數(shù)上解二階常系數(shù)線性微分方程時(shí)先解其對(duì)應(yīng)的齊次方程，這用的也是這種思路。

數(shù)學(xué)講究和諧。規(guī)定0！=1是為了和諧。行列式的計(jì)算法和矩陣乘法也是和諧的，線性代數(shù)以后的內(nèi)容中就會(huì)體現(xiàn)出這種和諧。

通過(guò)思想方法上的聯(lián)系和內(nèi)容上的聯(lián)系，線性代數(shù)中的內(nèi)容以及線性代數(shù)與高數(shù)甚至其它學(xué)科可以聯(lián)系起來(lái)。只要建立了這種聯(lián)系，線代就不會(huì)像原來(lái)那樣瑣碎。

方法真的很難講，因?yàn)槠鶎?shí)在有限，而方法包含許多細(xì)節(jié)的內(nèi)容很難講出來(lái)甚至我都意識(shí)不到，而它們會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)起很大的作用，要把這些細(xì)節(jié)都寫出來(lái)幾十萬(wàn)字絕對(duì)不夠。所以細(xì)節(jié)上的優(yōu)化是需要自己來(lái)完成的。在此我推薦兩本學(xué)習(xí)方法的書，一本是《道樂(lè)吉學(xué)習(xí)方法（大學(xué)生版）》，我理科方面的解題思路就是套這本書的模式，對(duì)付較難的題非常管用。另一本是《孫維剛談全班55%怎樣考上北大考上清華》，我所在的中學(xué)幾乎所有老師的辦公室都有這本書。我的“做完題要總結(jié)”，“上課想到老師前面”，“注重知識(shí)之間的聯(lián)系”等等方法都來(lái)自這本書。看學(xué)習(xí)方法書一定要將上面的方法應(yīng)用于實(shí)際，把學(xué)習(xí)方法書當(dāng)小說(shuō)看或書上的適合自己的方法應(yīng)用得不充分，那還不如把學(xué)習(xí)方法書扔了。

還有，學(xué)習(xí)方法與現(xiàn)在很暢銷的成功學(xué)類書上講的方法是相通的，要掌握好的學(xué)習(xí)方法也要多看企業(yè)戰(zhàn)略管理、領(lǐng)導(dǎo)藝術(shù)、時(shí)間管理、勵(lì)志等方面的書。

學(xué)習(xí)效果是效率與時(shí)間的乘積，好方法能帶來(lái)高效率，但如果不下工夫照樣學(xué)不好。要記住：好成績(jī)是學(xué)出來(lái)的！說(shuō)誰(shuí)不學(xué)都考得好那是在胡扯（暫不考慮造成學(xué)習(xí)不太努力的人學(xué)習(xí)好的其它細(xì)節(jié)因素，這些因素不是大部分人現(xiàn)在都具有的）。

以上是我的一些不成熟的觀點(diǎn)，不能算介紹經(jīng)驗(yàn)，只能說(shuō)是與大家討論。我關(guān)注的東西主要是我沒(méi)有做到或做好的地方，我能沒(méi)有意識(shí)地做到的地方我就不容易想到也就不容易寫出來(lái)，但這些沒(méi)有寫出的地方可能對(duì)你很重要，所以你可能覺(jué)得這篇文章對(duì)你作用不大，這也是我這篇文章的問(wèn)題之一。所以希望大家能盡可能地“找我的麻煩”，即找到我上面所說(shuō)內(nèi)容中不完善甚至完全錯(cuò)誤或沒(méi)有涉及到的地方，這樣也能幫助我改進(jìn)我的學(xué)習(xí)方法。

第五篇：學(xué)習(xí)線性代數(shù)心得體會(huì)

學(xué)習(xí)線性代數(shù)心得體會(huì)

線性代數(shù)的主要內(nèi)容是研究代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系的經(jīng)典理論。由于線性關(guān)系是變量之間比較簡(jiǎn)單的一種關(guān)系，而線性問(wèn)題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，并且一些非線性問(wèn)題在一定條件下 , 可以轉(zhuǎn)化或近似轉(zhuǎn)化為線性問(wèn)題，線性代數(shù)主要研究了三種對(duì)象：矩陣、方程組和向量.這三種對(duì)象的理論是密切相關(guān)的，大部分問(wèn)題在這三種理論中都有等價(jià)說(shuō)法.因此，熟練地從一種理論的敘述轉(zhuǎn)移到另一種去，是學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)應(yīng)養(yǎng)成的一種重要習(xí)慣和素質(zhì).如果說(shuō)與實(shí)際計(jì)算結(jié)合最多的是矩陣的觀點(diǎn)，那么向量的觀點(diǎn)則著眼于從整體性和結(jié)構(gòu)性考慮問(wèn)題，因而可以更深刻、更透徹地揭示線性代數(shù)中各種問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)屬性.由此可見，只要掌握矩陣、方程組和向量的內(nèi)在聯(lián)系，遇到問(wèn)題就能左右逢源，舉一反三，化難為易.一、注重對(duì)基本概念的理解與把握，正確熟練運(yùn)用基本方法及基本運(yùn)算。

代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩（矩陣、向量組、二次型），等價(jià)（矩陣、向量組），線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)，極大線性無(wú)關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對(duì)角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。我們不僅要準(zhǔn)確把握住概念的內(nèi)涵，也要注意相關(guān)概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過(guò)關(guān)，重要的有： 行列式（數(shù)字型、字母型）的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無(wú)關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量（定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法），判斷與求相似對(duì)角矩陣，用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣（亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形）。

二、注重知識(shí)點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識(shí)要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。

線性代數(shù)從內(nèi)容上看縱橫交錯(cuò)，前后聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，相互滲透，因此解題方法靈活多變，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)當(dāng)常問(wèn)自己做得對(duì)不對(duì)？再問(wèn)做得好不好？只有不斷地歸納總結(jié)，努力搞清內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通，接口與切入點(diǎn)多了，熟悉了，思路自然就開闊了。

線性代數(shù)各知識(shí)點(diǎn)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，代數(shù)題的綜合性與靈活性就較大，學(xué)習(xí)時(shí)要注重串聯(lián)、銜接與轉(zhuǎn)換。

三、注重邏輯性與敘述表述

線性代數(shù)對(duì)于抽象性與邏輯性有較高的要求，通過(guò)證明題可以了解考生對(duì)數(shù)學(xué)主要原理、定理的理解與掌握程度，考查考生的抽象思維能力、邏輯推理能力。大家復(fù)習(xí)整理時(shí)，應(yīng)當(dāng)搞清公式、定理成立的條件，不能張冠李戴，同時(shí)還應(yīng)注意語(yǔ)言的敘述表達(dá)應(yīng)準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明。