第一篇：《線性代數》課程培訓總結

《線性代數》課程培訓總結

中華女子學院公共教學部滕靜

我是文科院校的一名數學老師，因為剛從事這個職業，正在學習和探索的階段，在剛過去的教學實踐中也遇到了很多問題和困惑，通過三天的培訓，聽了李老師的講座后，不僅讓我領略了李老師的講課風采——有激情富有感染力，同時也讓我頓時覺得豁然開朗，好像一下子知道了自己教學的方向，其間遇到的困惑也好像明白了該往哪個方向去解決和進步。以下就是我的幾點感受：

一、不僅我們愛數學，其實數學也愛我們，只是我們沒發現

因為從小喜歡數學，所以上大學，研究生時義無反顧的選擇了數學，畢業后很自然的選擇了數學老師這個職業。原本是懷著對數學的無限熱愛和對教育的一腔熱情站到講臺上，準備把自己對數學的感情以及自己從中得到的知識和樂趣全部都教給學生，可沒想到得到學生們的反映竟然是“這數學怎么這么難啊，這么枯燥啊”等等之類的，對于這種現象我一直以來都很郁悶也很迷茫，但是卻一直找不到緣由和解決的對策，現在聽完了李老師的講座后才明白，其實在我們熱愛數學的時候數學也是愛我們的，只是我們沒發現或者沒有給它機會而已，我想數學對我們的愛應該就是他所展現給我們的獨特魅力，帶給我們的樂趣，以及幫助我們所解決了問題等等這些。而我或者其它一些年輕老師在上課的時候，并沒有把這些傳達給我們的學生們，所以學生們看到的只有數學的枯燥和難度！我想通過這次學習我應該了解了今后的教學過程當中我所要改進的方向，那就是一定要讓學生看到、感覺到數學的美以及數學對我們的愛！

二、許多看似無關的事物，其實都是相互關聯的（把具體抽象化）

我想這一點是我最欽佩李老師的一點了！我覺得這個看似不通可確實又是真理的一句話，一下就點破了數學的奧秘所在！是啊，有誰能想到“米飯和面條”其實從數學角度抽象出來無非也就是一個是“0維”一個是“1維”，我想也只有李教授才會想到！我們周圍的東西成千上萬，無數多種，具體形狀和形態也千奇百怪，這些事物表面看去可能毫無關聯，可如果真正用數學思維和方法去推敲去抽象的話，它們其實都是相互關聯的。它們無非都是一些“1維”“2維”“3維”的“空間”而已，這就是它們的關聯或者說是共同點！我覺得這一點應該算是把形象或者具體轉化為抽象吧，這個被抽象出來的就應該是它們的共同點！我想在以后的教學過程中我會注意聯系自己周圍的一切，以便把它們聯系到教學當中來，為教學來服務。

三、把抽象的具體化或者說形象化

一般我們線性代數中所講授的都是比較抽象的東西，當然這也是從許多具體事物中抽象出來的它們的共同點，如果直接把這種抽象的東西灌輸給學生，那他們就會很難接受，以前遇到這種情況就會手足無措，聽了李老師的講座后才明白，這種情況下那就要把這種抽象形象化，首先讓他們有個感性的認識或接受，在從理性上去引導他們。我想這也是我從李老師那里學到的另一法寶！

總之，通過這三天的學習，讓我從李老師那里學到了很多寶貴的東西，不管是從教學風格上還是從教學方法上，都讓我受益匪淺！也幫我解開了很多教學當中所遇到的困惑！

非常感謝李教授的講座，也感謝培訓中心的各位老師的付出！希望以后能經常有類似的培訓課程，我們一定會積極參加！

第二篇：線性代數課程教學大綱

線性代數課程教學大綱 課程代號：13020111 學時數：32 適用專業：工科本科各專業

一、本課程的性質、目的和任務

1、本課程的性質

線性代數是討論代數中線性關系經典理論的課程。它是高等學校工科本科各專業的一門重要的基礎理論課。

2、本課程的目的

由于線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域，而某些非線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域，而某些非線性問題在一定條件下，可以轉化為線性問題，因此本課程所介紹的方法廣泛地應用于各個學科。尤其在計算機日益普及的今天，該課程的地位與作用更顯得重要。通過教學，使學生掌握該課程的基本理論與方法，培養解決實際問題的能力，并為學習相關課程及進一步擴大數學知識面奠定必要的數學基礎。

3、本課程的任務

（1）了解行列式的定義和性質。掌握二、三階行列式的計算法。熟悉簡單的n階行列式的計算方法。（2）熟悉矩陣、逆矩陣、矩陣秩的概念，掌握矩陣加減法，乘法轉置運算規律，并掌握逆矩陣和矩陣秩的求法。了解對稱矩陣、對角矩陣、滿秩矩陣、分塊矩陣。

（3）熟悉n維向量、線性相關、線性無關的概念。了解向量組線性相關、線性無關的重要結論，最大線性無關組，向量組的秩的概念、簡介向量空間以及子空間與維數*。

（4）熟悉線性方程組的解結構與存在解的充要條件，掌握克拉默法則及用初等行交換求解線性方程組的方法。

（5）熟悉矩陣的特征值與特征向量的概念，會求特征值與特征向量，了解相似矩陣，矩陣的對角化，正交矩陣、正交規范化的施密特（Smidt）方法。

（6）了解二次型及其矩陣的表示，正交變換法化二次型為標準型，二次型的正定性。

二、課程教學內容和基本要求

1、行列式

（1）教學目的和要求

了解行列式的定義和性質，掌握二、三階列式的計算法，會計算簡單n階行列式，掌握克拉默法則。（2）主要內容

二階與三階行列式定義，并用它們解二元、三元線性方程組。從二階、三階行列式概念入手，用展開法引出n階行列式定義，并介紹從定義出發求簡單行列式的值。行列式的性質，并舉例如何應用這些性質求行列式的值，行列式按某行（列）展開法則及其結論的推論，克拉默法則及其推論。（3）重點、難點

重點：二階、三階行列式的計算，四階數字行列式的計算。難點：n階行列式的計算。

2、矩陣及其運算（1）教學目的和要求

熟悉矩陣的概念，了解單位矩陣、對角矩陣及其性質，掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算規律，理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣存在的條件與矩陣求逆方法，了解分塊矩陣及其運算。（2）主要內容

矩陣的定義、對角陣、單位陣、矩陣的加法及其運算規律，數與矩陣相乘及其運算規律、矩陣與矩陣的相乘及運算規律、矩陣的轉置及運算規律、方陣的行列式及性質、逆矩陣定義、可逆條件、公式法求逆矩陣方法、分塊矩陣定義及其運算。（3）重點、難點

重點：矩陣加、減、乘、逆的運算、逆矩陣存在條件與求逆矩陣的方法。難點：逆矩陣存在的充要條件。

3、矩陣的初等變換與線性方程組（l）教學目的和要求

掌握矩陣的初等變換，熟悉矩陣秩的概念并掌握其求法，了解滿秩矩陣、初等陣定義及其性質，了解線性方程組的求解方法。（2）主要內容

初等變換、行階梯形矩陣、等價類、矩陣的秩、兩矩陣等價條件、滿秩矩陣、齊次線性方程組有非零解條件，非齊次線性方程組有解判別方法、求解方法、初等矩陣定義及性質、求逆矩陣的第二種方法。（3）重點、難點

重點：矩陣初等變換、求矩陣秩、利用初等變換求逆矩陣。難點：含參數的線性方程組的求解。

4、向量組的線性相關性（1）教學目的和要求

熟悉n維向量的概念，熟悉向量組線性相關、線性無關的定義，了解有關向量組線性相關、線性無關的重要結論，了解向量組的最大無關組與向量組的秩的概念，了解n維向量空間、子空間基底、維數等概念，理解齊次線性方程組的基礎解系及通解等概念，理解非齊次線性方程組的解的結構及通解等概念，掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。（2）主要內容

n維向量及例子、線性組合、線性表示、向量組等價、線性相關、線性無關的概念及重要結論、最大線性無關組、有關秩的重要結論、向量空間、基、維數、齊次線性方程組的性質、基礎解系概念及求法、非齊次性方程組的解的性質、解的結構．用行初等變換求線性方程組通解的方法。（3）重點、難點

重點：線性相關性、最大線性無關組、用行初等變換求線性方程組的通解的方法。難點：線性相關性證明。

5、相似矩陣及 二次型（1）教學目的和要求

熟悉矩陣的特征值與特征向量的概念，會求矩陣的特征值與特征向量，了解相似矩陣的概念、性質及矩陣對角化的充要條件，會求與實對稱矩陣相似的對角形矩陣，了解把線性無關的向量組正交規范化的施密特（Smidt）方法，了解正交矩陣概念及性質，了解二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念，會用正交變換法化二次型為標準型，了解二次型的正定性及其判別法。（2）主要內容

向量內積、正交向量組及性質、施密特正交化過程、規范正交基、正交變換、特征值、特征向量、特征方程、特征多項式、特征值、特征向量的性質、相似矩陣、相似變換、相似矩陣的性質、方陣的對角化條件、對稱矩陣特征值性質、對稱矩陣的對角化、二次型定義及矩陣表示、二次型的秩、二次型可化為標準型、配方法化二次型為標準到舉例、正定二次型概念及判定。（3）重點、難點

重點：矩陣的特征值與特征向量、對稱矩陣化為對角矩陣。難點：矩陣可對角化的有關結論。

三、幾點說明

1、制定本大綱的依據

根據教育部統一的教學基本要求，結合本院學生實際水平。

2、本課程與前后課程的聯系

本課程的先修課程：高等數學（上）。本課程的后繼課程：各學科有關專業課。

3、考核方法和成績評定 考核方法：閉卷。出題方式：試卷庫。

成績評定：平時占30％，期末占70％算出總評。

4、教材與教學參考書

工程數學《線性代數》（第四版），同濟大學數學教研室編，高等教育出版社。

5、本大綱帶 可以根據專業不同要求選講。

四、學時分配 1 行列式 6 2 矩陣 6 3 矩陣的初等交換與線性方程組 4 4 向量組的線性相關性 8 5 相似矩陣 8

第三篇：《線性代數》課程教學大綱

《線性代數》課程教學大綱

課程編碼： 414002（A）課程英文名稱： Linear Algebra 先修課程： 微積分

適用專業： 理科本科專業

總學分：3.5 總學時：56

講課學時 56 實驗學時 0

實習學時 0

一、課程性質、地位和任務

課程名稱： 線性代數

線性代數是我校計算機科學與技術專業的一門重要基礎課。它不但是其它后繼專業課程的基礎，而且是科技人員從事科學研究和工程設計必備的數學基礎。通過本課程的教學，使學生獲得矩陣、行列式、向量、線性方程組、二次型等方面的基本知識，掌握處理離散問題常用的方法，增強學生“用”數學的意識，培養學生“用”數學的能力。

二、課程基本要求

1.了解行列式的定義和性質，掌握利用行列式的性質及展開法則，掌握三、四階行列式的計算法，會計算簡單的n階行列式；理解和掌握克拉默（Cramer）法則。

2.理解矩陣概念并掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算規律；理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣存在的條件，掌握求逆矩陣的方法；掌握對稱矩陣的性質；了解分塊矩陣及其運算。

3.理解n維向量、向量組線性相關與線性無關的概念；了解有關向量組線性相關、線性無關的重要結論；理解向量組的最大線性無關組與向量組的秩的概念；了解n維向量空間、子空間、基底、維數、坐標等概念；掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件；會求齊次線性方程組的基礎解系、通解；掌握非齊次線性方程組的解的結構，會求非齊次線性方程組的通解；了解向量的內積、正交和向量的長度等概念；會利用施密特（Schmidt）方法把線性無關的向量組正交規范化。

4.掌握Gauss消元法；掌握用Gauss消元法求線性方程組通解的方法；掌握用初等變換求齊次線性方程組和非齊次線性方程組解的方法。

5.掌握矩陣的特征值與特征向量的概念，會求矩陣的特征值與特征向量；理解相似矩陣的概念、性質及矩陣可相似對角化的充要條件。

6.掌握二次型及其矩陣表示；了解二次型秩的概念；會化二次型為標準形；了解慣性定理；了解二次型與矩陣的正定性及其判別法；了解正交矩陣概念及性質。

三、教學內容及安排

第一章 行列式（4學時）

重點：行列式的性質與計算、克萊姆法則；難點：高階行列式的計算。

§1.1 行列式的定義

§1.2 行列式的性質與計算

§1.3 Cramer法則

第二章 矩陣（12學時）

重點：矩陣運算、逆矩陣、初等變換與初等矩陣；難點：分塊矩陣的計算?！?.1 矩陣的概念 §2.2 矩陣的運算 §2.3 可逆矩陣 §2.4 分塊矩陣

§2.5 初等變換與初等矩陣 §2.6 矩陣的秩

第三章 n維向量空間（14學時）

重點：向量組的相關性概念、矩陣的秩；難點：向量組的相關性概念，向量空間。

§3.1 n維向量的定義 §3.2 n維向量的線性運算 §3.3 向量組的線性相關性 §3.4 向量組的極大線性無關組 §3.5 向量空間 §3.6 歐氏空間

第四章 線性方程組（10學時）

重點：Gauss消元法，方程組有解的條件，基礎解系等；難點：方程組的求解和應用。

§4.1 線性方程組的基本概念 §4.2 Gauss消元法

§4.3 齊次線性方程組解的結構 §4.4 非齊次線性方程組解的結構 第五章 相似矩陣（8學時）

重點：特征值、特征向量的求法；難點：矩陣對角化的判定。

§5.1 方陣的特征值與特征向量 §5.2 矩陣相似對角化 §5.3 Jordan標準形介紹 第六章 二次型（8學時）

重點：正交變換化二次型為標準型、二次型的正定性；難點：初等列變換化合同矩陣。

§6.1 二次型及其矩陣表示 §6.2 二次型的標準形

§6.3 用正交變換化二次型為標準形 §6.4 二次型的正定性

第七章

線性空間與線性變換*（自學）§7.1 線性空間的概念

§7.2 線性空間的基、維數和坐標 §7.3 線性變換

§7.4 線性變換在不同基下的矩陣

四、考核方式及成績評定

課程考核方式：檢查作業，課程考試。

課程成績評定：平時作業及考勤30％，期末考試70%。

五、主要參考書：

[1] 線性代數

華中科技大學數學系 北京：高等教育出版社，2003（第二版）[2] 線性代數及其應用

鄧澤清

北京：高等教育出版社，2001 [3] 線性代數

同濟大學數學教研室編

北京：高等教育出版社，1991 [4] 數學模型與數學建模

劉來福，北京：北京師范大學出版社，1998 六.主要網站

[1] http://mcm.edu.cn [2]

[11]http://historical.librarg.comell.edu/math(數學歷史文庫)[12]www.tmdps.cn(科學搜索)

撰稿人：文鳳春

審稿人：鄧澤清

第四篇：線性代數課程教學大綱

線性代數課程教學大綱

本課程地位（作用）和任務：

線性代數是討論代數學中線性關系經典理論的課程，它的基本概念、理論和方法具有較強的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，是理、工、經、管等各專業的重要的數學基礎課程.。由于線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域，而某些非線性問題在一定的條件下，可以轉化為線性問題，尤其在信息科學日益發展的時代，該課程的地位與作用更顯得重要。通過教學，使學生掌握線性代數該的最基本理論與方法，培養學生的科學計算能力，提高學生的邏輯思維和推理能力，為進一步擴大數學知識面及學習相關課程理論奠定必要的基礎。通過教學，提高學生的數學素養，培養學生的探索精神和實踐創新能力。

本課程為專業基礎課.主要內容是：行列式，矩陣及其運算，向量組的線性相關性，線性方程組，二次型。

教學內容及基本要求

1.行列式（4學時）

1.1 了解二、三階行列式。1.2 了解行列式的定義。1.3 掌握行列式的性質。

1.4 會用行列式的性質計算行列式。1.5 了解Cramer法則。2.矩陣（6學時）

2.1理解矩陣的概念.了解單位矩陣，對角矩陣，對稱矩陣及其性質。

2.2掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置及其運算規律，了解方陣乘積的行列式。

2.3理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質，掌握逆矩陣存在的條件和用伴隨矩陣求逆矩陣 的方法。

2.4了解矩陣的初等變換和矩陣等價的概念。

2.5了解初等矩陣的概念及性質，掌握用初等變換求逆矩陣的方法。2.6 理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的秩。3.向量

線性關系

秩（6學時）3.1理解n維向量的概念。

3.2理解向量組線性相關，線性無關的的概念。

3.3了解有關向量組線性相關、線性無關的某些重要結論。3.4了解向量組的極大無關組與向量組的秩的概念。3.5會求向量組的極大無關組與秩。3.6了解向量組的秩與矩陣秩的關系。4.線性方程組（4學時）

4.1掌握線性方程組的消元解法。4.2了解方程組等價的概念。

4.3掌握齊次線性方程組有非零解的充要條件及非齊次線性方程組有解的充要條件。4.4理解齊次線性方程組的基礎解系及通解等概念。4.5了解非齊次線性方程組的解的結構。

4.6掌握用初等行變換求解線性方程組的方法。

5.線性空間與線性變換（6學時）5.1 掌握線性空間的概念。

5.2 了解基 維數

坐標的概念。5.3 掌握基變換和坐標變換。5.4了解線性變換的概念。

5.5 熟練掌握內積與Euclid空間。5.6 掌握正交基和正交矩陣的概念。6.矩陣的特征值與特征向量（4學時）

6.1理解矩陣的特征值與特征向量的概念。6.2掌握求矩陣的特征值與特征向量的方法。6.3了解相似變換、相似矩陣的概念。6.4了解矩陣對角化的充要條件。

6.5了解實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質。6.6掌握求實對稱矩陣的相似對角矩陣的方法。7.二次型（4學時）

7.1了解二次型及其秩的概念，掌握二次型的矩陣表示。7.2會用配方法化二次型為標準形。7.3了解合同變換和合同矩陣的概念。

7.4 掌握用正交變換法化二次型為標準型的方法。7.5了解二次型和對應矩陣的正定性及其判別法。

對學生能力培養的要求

通過該課程的學習，使學生掌握線性代數的基本理論與方法，培養學生的科學計算能力，提高學生的邏輯思維和推理能力，為進一步擴大數學知識面及學習相關課程理論奠定必要的基礎。通過教學，提高學生的數學素養，培養學生的探索精神和實踐創新能力。

第五篇：參加《線性代數》課程培訓的心得體會

參加《線性代數》課程培訓的心得體會

祖建 西南石油大學理學院

尊敬的李老師,您好!

我是西南石油大學理學院的一名老師，教了《線性代數》這門課程兩遍.有幸參加了這次全國高校教師《線性代數》課程的網絡培訓，領悟到了李教授的授課風采.在我們學校《線性代數》是《高等數學》的后繼課程，它是工科學生必修的一門重要基礎課.《線性代數》是從解線性方程組和討論二次方程的圖形等問題的基礎上而發展起來的一門數學學科.《線性代數》介紹代數學中線性關系的經典理論，它的基本概念、理論和方法具有較強的邏輯性、抽象性.由于線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域，而某些非線性問題在一定條件下，可以轉化為線性問題，因此《線性代數》課程所介紹的理論和方法也具有廣泛的實用性.尤其在計算機日益普及的今天，該課程的地位與作用更顯得重要.《線性代數》課程主要講授矩陣與行列式、向量、線性方程組、方陣相似對角化和二次型以及《線性代數》實驗等內容.《線性代數》教學不僅關系到學生在整個大學期間甚至研究生期間的學習質量，而且還關系到學生的思維品質、思辨能力、創造潛能等科學和文化素養，《線性代數》教學既是科學的基礎教育，又是文化的基礎教育，是素質教育的一個重要的方面.我們學校開設本課程的目的是不僅使學生掌握該課程的基本理論與基本方法，在數學的抽象性、邏輯性與嚴密性方面受到必要的訓練和熏陶，使他們具有理解和運用邏輯關系、研究和領會抽象事物，為學生學習后繼數學課程、其它基礎課程和專業課程提供必要的基礎知識和思想方法，而且培養學生較強的運算能力、抽象思維能力、邏輯推理能力和歸納判斷能力，培養學生運用所學知識去分析問題、建立數學模型以及利用計算機解決實際問題的能力和意識，為學生將來從事科學研究工作奠定良好的理論基礎，提供一種重要的數學工具，積累一定的運用計算機解決實際問題的實踐經驗.通過這次培訓，我領悟到了《線性代數》的抽象概念并非枯燥難懂，而是源于自然，充滿魅力和威力.我們對《線性代數》課程的教學設計要讓抽象回歸自然，代數幾何熔一爐.從幾何直觀引入抽象概念，易于接受，更容易懂.我們工科學校要結合學校的特色，根據學生的實際情況進行教學，突出重點，突出我們的特色.我們的課程設計要以學生為中心.以下是我根據這次的學習，所設計的關于逆矩陣這一節的教案，敬請李教授指導.謝謝！

§1.4逆 矩 陣

在本章第三節里，我們定義了矩陣的加法、減法和乘法三種運算.而在矩陣乘法運算中，我們看到單位矩陣E的作用類似于數1在數的乘法中的作用，即對于任意n階矩陣A，有

AEn?EnA?A.（下面用類比于數的性質引出逆矩陣的概念）

在數的乘法運算中，對于非零數a，則存在唯一一個數b，使得

ab?ba?1.我們自然要問：非零矩陣是否也有類似這樣的性質？ 我們先看下面的引例： 引例1

?00??00??10??ab?

（1）設A???01??，則對任意B???cd?????01??.?cd??，都有AB??

????????

（2）設A???

?11??2?1??10?

?????，則存在，使得.B?AB?BA???????12???11??01?

引例1說明，對于非零矩陣A，不一定存在矩陣B，使得AB?BA?E.如果這樣的矩陣B存在，我們就稱A為可逆矩陣，而稱B為A的逆矩陣.可逆矩陣是一類重要的矩陣，而它的逆矩陣在矩陣的運算中起著重要作用.下面，我們來介紹可逆矩陣的定義、性質和矩陣是可逆矩陣的條件，最后介紹一種求逆矩陣的方法.1、逆矩陣的定義

定義1 設A是n階方陣，如果存在n階方陣B使AB?BA?E，則稱A為可逆矩陣，簡稱A可逆，并稱B為A的逆矩陣，記作A?B，即，AA?AA?E.顯然，B

?1

?1

?1

?1

?A.單位矩陣E是可逆矩陣，其逆矩陣為自身；零矩陣不是可逆矩陣.【說明】（1）、可逆矩陣及其逆矩陣都是方陣，并且它們的階數相同；（2）、可逆矩陣與其逆矩陣可交換；（3）、只有方陣才有逆矩陣.【問題1】如何求引例1（2）中的矩陣A的逆矩陣？

?ab?

【方法】由逆矩陣的定義，設B???cd??，由AB?BA?E，則可求出矩陣B.即，??

采用待定元素的方法.例1 設方陣A滿足A?A?2A?E?0，證明A可逆.證明 因為A(A?A?2E)?(A?A?2E)A?E，所以A可逆.2、可逆矩陣的性質（以下均設A是n階方陣）

?1?1?1?1

a)若A可逆，則A的逆矩陣唯一，記為A，且A也可逆，(A)?A，A?1?A.?1?1?1

b)若A可逆，數k?0，則kA可逆，且(kA)?kA.?1

?1

c)設A和B都是n階可逆矩陣，則AB也是可逆矩陣，且(AB)

?B?1A?1.一般地，若同階矩陣A1,A2,?,As都可逆，則A1A2?As也可逆，且

?1?1?1

(A1A2?As)?1?AsAs?1?A1.d)若A可逆, 則A也可逆，且(Ak)?1?(A?1)k.e)若A可逆, 則A也可逆，且(AT)?1?(A?1)T.證明

a)設B、C都是A的逆矩陣，則B?BE?B(AC)?(BA)C?C；由AA

?1

T

k

?E知，AA?1?AA?1?E?1，A?0,A?1?A

?1

.b)事實上，(kA)(k?1A?1)?(k?1A?1)(kA)?(kk?1)(AA?1)?E.c)事實上，(AB)(B?1A?1)?A（BB?1）A?1?AEA?1?AA?1?E，(B?1A?1)(AB)?E.d)事實上，Ak(A?1)k?AAe)事實上，因為，A?A?1A?1A?1?E；(A?1)kAk?E.AA?1?A?1A?E,所以，(AA?1)T?(A?1A)T?E,即，(A?1)TAT?AT(A?1)T?E.【說明】（1）、不能將A寫為（2）、(A?B)

?1

?

1； A

?A?1?B

?1

.（3）、如果A可逆，那么矩陣方程AX?B有唯一解

X?EX?(A?1A)X?A?1(AX)?A?1B.例2 設AB?AC，且A可逆，證明B?C.證明 B?EB?(AA)B?A(AB)?A(AC)?(AA)C?C.【問題2】在什么條件下矩陣A是可逆的？如果A可逆，怎樣求A？

?1

?1?1?1?13、矩陣可逆的條件

定義2設A?(aij)n?n，Aij為A中元素aij的代數余子式，則稱矩陣

?A11A21

?AA2212??A???

?A1nA2n

為A的伴隨矩陣.An1?An2??

?

?Ann?

A的伴隨矩陣A?與A有如下重要關系；

命題1設A為n階方陣A?(aij)n?n的伴隨矩陣，則AA??A?A?En.?

證明由行列式按一行（列）展開和行列式的性質知，?A,i?j

aA?，??ikjk

0,i?jk?1?

n

于是

?a11

?a?

AA??21

?...??an1

?

a12a22...an2

...a1n??A11A21

?A...a2n???12A22

......??

??

...ann??A1nA2nAn1??A0

?An2????0A??

??Ann???000?

?0?

?AEn，? ?A??

同理AA?AEn.推論1 設A為n階方陣A?(aij)n?n的伴隨矩陣，則A?A

*

【說明】A?0?A?0.??

n?1

.命題2若A?0，則A

?1

?

1?1A，(A*)?1?A.AA

事實上，由命題1，有 A?

?1???1??????

???A?A?E；?1A?A??A??1A??E.A?A??A??A??A?

????????

定理1方陣A可逆?A?0.證明 必要性若A可逆，則存在n階方陣B使AB?BA?E，從而AB?1.充分性由命題2可得.推論2設方陣A滿足AB?E(或BA?E)，則A可逆.由推論2，我們只需驗證AB?E(或BA?E)，就知道A可逆，且A推論3設方陣A滿足AB?E，則BA?E，且A例如，若ABCD?E, 則下列成立的是：

?1

?1

?B.?B，B?1?A.BCDA?E(成立),BACD?E(不成立),DABC?E(成立).【說明】

（1）、當A?0時，A稱為奇異矩陣（退化矩陣）；

當A?0時，A稱為非奇異矩陣（非退化矩陣）.（2）、定理1不僅給出了一矩陣可逆的條件，同時也給出了求矩陣的逆矩陣的公式，即提供了一種求矩陣的逆矩陣的方法——伴隨矩陣法（公式法）.例3 設

?23?, A????45?

?5??1

則A??2

??2

3??

3??1??2???1??.2，(A)???5??2???1?

??2??

事實上，因為A??2，AA*??，A12??4，A21??3，A22?2，11?5

?5?3?

?

?42??

?5

?1

A?1?A?=?2

?A

?2

*

3??

3??1???12*?1?A???2(A)??5A??2???1?

???2?

?ab??d?b?

【注意】一般地，?????ca?.cd????

4、逆矩陣的應用舉例

?110??1

1?????

例4設A?0?20，求?A??2A的值.???2???7?31??

?1?

解因為A??2，所以A可逆，從而?A?

?2?

?1

?1

?2A?1，A??AA?1??2A?1，?1???1

?A??2A??2A?4.?2?

例5

設n階方陣A滿足A?3A?2E?0，求A，(A-E).?1-

1【分析】（1）、由A?3A?2E?0得，A?3A?2E,即，A?

3??1

A?E??E, 所以，2??2

A?1?

A?E;22

（2）、（湊因式法）

1??1

(A?E)(A?2E)?A2?3A?2E?4E,即，(A?E)?A?E??E,所以，2??

4(A-E)-1?

11A?E.42

?301?

??例6解矩陣方程AX?A?2X，其中A?110.????014??

【分析】求滿足一定關系式的未知矩陣，一般應先根據矩陣的運算化簡關系式，再求出

出相關矩陣的逆矩陣，最后求出未知矩陣.由AX?A?2X得，AX?2X?A,即，(A?2E)X?A,所以，當A?2E可逆時，X?(A?2E)?1A.因此，可以先求(A?2E)?1，再乘以A.用伴隨矩陣法：

(A?2E)?1?

A?2E)*，A?2E

?5?2?2?

?.X?(A?2E)?1A??4?3?2??

?3???22?

一般說來，用伴隨矩陣法來求矩陣的逆矩陣，計算量是非常大的，對于階數較大的矩陣，我們一般不采用這種方法求逆矩陣.以后我們將給出另外一種實用的求矩陣的逆矩陣的方法——初等行變換法.祖 建

四川、成都、西南石油大學理學院

*** 2007-11-21