第一篇：第四章 微分方程講稿

高等數學C教案

第四章

微分方程

第四章

微分方程

§4? 1 微分方程的基本概念

導入：(8分鐘)函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映? 利用函數關系又可以對客觀事物的規律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數關系? 但是根據問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數及其導數的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數來? 這就是解微分方程?

引例 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據導數的幾何意義? 可知未知函數y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數y?y(x)還應滿足下列條件?

x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數?

把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

幾個概念?

微分方程? 表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數是一元函數的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數是多元函數的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))? ? 高等數學C教案

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微分方程

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(把函數代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數y??(x)在區間I上有n階連續導數? 如果在區間I上?

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數? 且任意常數的個數與微分方程的階數相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

§4? 2 一階微分方程

導入：（8分鐘）1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得

y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數)?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直接積分不能求出通解?

??

為求通解可將方程變為

1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y ??x2?C? 或y??可以驗證函數y??1y1?

x2?C1是原方程的通解?

x2?C

g(y)dy?f(x)dx

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成

形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數的導數的方程

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數就是原方程的通解 高等數學C教案

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微分方程

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數? 則當Q(x,y)?0時? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數? 則當P(x,y)?0時? 有

一、可分離變量的微分方程?

如果一個一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或寫成y???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy? 另一端只含x的函數和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?

例1 求微分方程??dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y兩邊積分得

1dy?2xdx?

?y?3 高等數學C教案

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微分方程

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex?

2因為?eC1仍是任意常數? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數

2dM?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程

dM???M?

dtdM?0?

dt其中?(?>0)是常數? ?前的曲面號表示當t增加時M單調減少? 即由題意? 初始條件為

M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得

dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律M?M0e??t ?

例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數關系?

解

設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數)? 根據牛頓第二運動定律F?ma? 得函數v(t)應滿足的方程為

m初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

兩邊積分? 得

dv?mg?kv?

dtdv?dt?

mg?kvmdv?dt?

?mg?kv?m 高等數學C教案

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微分方程

?ln(mg?kv)??kC1?ktmgem?Ce(C??即v?)?

kk1kt?C?

m1將初始條件v|t?0?0代入通解得C??mg?

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時間的函數關系為v?k

例4 求微分方程

解 方程可化為 dy?1?x?y2?xy2的通解?

dx

dy?(1?x)(1?y2)?

dx1dy?(1?x)dx?

1?y2分離變量得

兩邊積分得

1dy?(1?x)dx1x2?x?C?

? 即arctany??1?y2?2于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

例5 有高為1m的半球形容器? 水從它的底部小孔流出? 小孔橫截面面積為1cm2? 開始時容器內盛滿了水? 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規律?

解 由水力學知道? 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算?

Q?12dV?0.62S2gh?

dt其中0? 62為流量系數? S為孔口橫截面面積? g為重力加速度? 現在孔口橫截面面積S?1cm2? 故

dV?0.622gh? 或dV?0.622ghdt?

dt

dV???r2dh?

另一方面? 設在微小時間間隔[t? t?dt]內? 水面高度由h降至h?dh(dh?0)? 則又可得到

其中r是時刻t的水面半徑? 右端置負號是由于dh?0而dV?0的緣故? 又因

r?1002?(100?h)2?200h?h2?

所以

dV???(200h?h2)dh?

通過比較得到

0.622ghdt???(200h?h2)dh? 高等數學C教案

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微分方程

這就是未知函數h?h(t)應滿足的微分方程?

此外? 開始時容器內的水是滿的? 所以未知函數h?h(t)還應滿足下列初始條件?

h|t?0?100?

將方程0.622ghdt???(200h?h2)dh分離變量后得

dt??兩端積分? 得

t??35?0.622g13(200h2?h2)dh?

0.622g??13(200h2?h2)dh?

即 t??(400h2?2h2)?C?

50.622g3其中C是任意常數?

由初始條件得

t??(400?1002?2?1002)?C?

50.622gC???35?(400000?200000)??14?105?

350.622g0.622g15

?因此t??0.622g(7?1053532?10h?3h2)?

上式表達了水從小孔流出的過程中容器內水面高度h與時間t之間的函數關系? 二、一階線性微分方程

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程?

dxx?2dx如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

提問：下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx6 高等數學C教案

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微分方程

3(y?1)2dydy3dxx?0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程? ?x?0??32dydxx(y?1)dx21、齊次線性方程的解法?

齊次線性方程dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dx

dy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數）?

例6 求方程(x?2)dy?y的通解?

dxdydx??

yx?

2解

這是齊次線性方程? 分離變量得

兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數換成x的未知函數u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]?

??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx?

? 高等數學C教案

第四章

微分方程

非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例7 求方程dxx?

1解

這是一個非齊次線性方程?

先求對應的齊次線性方程分離變量得

兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

y?C(x?1)2?

用常數變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?12u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12

5兩邊積分? 得

1u??(x?1)2? u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

3例8 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數)? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

di?Ri?Emsin? t?

dtLL8 高等數學C教案

第四章

微分方程

i|t?0?0?

方程di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中 dtLLER

P(t)?? Q(t)?msin? t?

LL?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRR由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dtRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?

R2??2L2總結：

1、微分方程的相關概念

a、微分方程的階

b、微分方程的通解與特解

2、可分離變量的微分方程

a、可分離變量的微分方程

b、可轉化為可分離變量的微分方程

3、一階線性微分方程

a、一階線性齊次微分方程

b、一階線性非齊次微分方程

c、常數變易法 教學后記：高等數學C教案

第四章

微分方程

作業：

第二篇：微分方程教案

高等數學教案

第七章

微分方程

教學目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。

6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。

7.求自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數的一階常系數線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數齊次線性微分方程；

4、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程；

教學難點：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質及解的結構定理；

3、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解。

高等數學教案

§7? 1 微分方程的基本概念

函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映? 利用函數關系又可以對客觀事物的規律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數關系? 但是根據問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數及其導數的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數來? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據導數的幾何意義? 可知未知函數y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數y?y(x)還應滿足下列條件?

x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數?

把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?

解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據題意? 反映制動階段列車運動規律的函數s?s(t)應滿足關系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數s?s(t)還應滿足下列條件?

t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt高等數學教案

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個概念?

微分方程? 表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數是一元函數的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數是多元函數的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(把函數代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數y??(x)在區間I上有n階連續導數? 如果在區間I上?

高等數學教案

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數? 且任意常數的個數與微分方程的階數相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗證? 函數 x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數的導數?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數是所給方程的解?

dtd2x?k2x?0

例4 已知函數x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件

dt

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

高等數學教案

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業：P298：4

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數)?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變為

?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗證函數y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數的導數的方程

高等數學教案

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數就是原方程的通解

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數? 則當Q(x,y)?0時? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數? 則當P(x,y)?0時? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或寫成y???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy? 另一端只含x的函數和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? ??高等數學教案

例1 求微分方程dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數? ?前的曲面號表示當t增加時M單調減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律M?M0e??t ?

例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數關系?

解

設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數)? 根據牛頓第二運

高等數學教案

動定律F?ma? 得函數v(t)應滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvmdv?dt?mg?kv?m? 兩邊積分? 得

?ln(mg?kv)?1kt?C?

m1?kC1?ktmgem?Ce即

v?(C??)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時間的函數關系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 12高等數學教案

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數f(x, y)可寫成 dxyy的函數? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

高等數學教案

求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyy??x?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變為

2duu?

u?x?

dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdx即

xdu?u?

dxu?1分離變量? 得

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或寫成ln|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉軸上一點O發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行? 求這旋轉曲面的方程?

解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發出的光線經點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM?

因為

OA?AP?OP?PMcot??OP?y?x?

y?高等數學教案

而

OM?x2?y2?

于是得微分方程y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問題歸結為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

ydydv?v2?1?

dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉所得旋轉曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉曲面方程?

例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?

解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向對岸? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt高等數學教案

另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問題歸結為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1?

dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過的軌跡方程為

haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2bbb?bya?x?[(Cy)?(Cy)a]?x?1[(Cy)1?a?(Cy)1?a]?

2C2bbb作業：P309：1（1）（3）（5），2

高等數學教案

§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

3齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

高等數學教案

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數換成x的未知函數u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個非齊次線性方程?

先求對應的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

高等數學教案

y?C(x?1)2?

用常數變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數)? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出

dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L高等數學教案

?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?222222R??LR??L? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx高等數學教案

令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程a2dy?1?

dxx?y

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxuudu?dx?

u?1分離變量? 得

兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

高等數學教案

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質量為m的質點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質點位于原點? 且初速度為零? 求這質點的運動規律?

解 設x?x(t)表示在時刻t時質點的位置? 根據牛頓第二定律? 質點運動的微分方程為

m12141812121418d2x?F(t)?

2dt由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2m高等數學教案

其初始條件為x|t?0?0? dx|?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

于是所求質點的運動規律為 dx|?0?

dtt?0F012t3

x?(t?)? 0?t?T?

m26T

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

dy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

高等數學教案

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設y??p?有

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

高等數學教案

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?

給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數? x?x(t)?

設彈簧的彈性系數為c? 則恢復力f??cx?

又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

2dxdx

m2??cx???

dtdt

移項? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?

如果振動物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?

m

例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯組成的電路? 其中R、L、及C為常

高等數學教案

數? 電源電動勢是時間t的函數? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數?

設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdtdi?q?Ri?0?

dtC根據回路電壓定律? 得

E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LCdtdt2或寫成

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結構

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數?

齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

高等數學教案

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數的線性相關與線性無關?

設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區間I上的n個函數? 如果存在n個不全為零的常數k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數在區間I上線性相關? 否則稱為線性無關?

判別兩個函數線性相關性的方法?

對于兩個函數? 它們線性相關與否? 只要看它們的比是否為常數? 如果比為常數? 那么它們就線性相關? 否則就線性無關?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數軸上是線性相關的? 函數1? x? x2在任何區間(a, b)內是線性無關的?

定理2 如果如果函數y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數)是方程的通解?

例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 并寫出其通解?

解 因為

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因為對于任意兩個常數k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內是線性無關的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解?

高等數學教案

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 并寫出其通解?

解 因為

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因為比值e x/x 不恒為常數? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內是線性無關的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數?

二階非齊次線性方程解的結構?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程?

定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2

高等數學教案

是方程y???y?x2的通解?

定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數之和? 如

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數齊次線性微分方程

二階常系數齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數?

如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當選取r? 使y?erx

滿足二階常系數齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數方程r2?pr?q?0? 函數y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2高等數學教案

求出?

特征方程的根與通解的關系?

(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關的解?

這是因為?

函數y1?e因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解?

這是因為? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? r1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x是方程的解? 又不是常數?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解? 函數y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解?

函數y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2高等數學教案

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個根r1、r2?

第三步

根據特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對x求導? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?5?0?

高等數學教案

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數?

二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項的對應?

單實根r 對應于一項? Cerx ?

一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

高等數學教案

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數非齊次線性微分方程

二階常系數非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數?

二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式?

高等數學教案

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?1 次多項式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?2次多項式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?

解 這是二階常系數非齊次線性微分方程? 且函數f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???2y??3y?0?

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?b0x?b1?

高等數學教案

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??? b1??1? 于是求得所給方程的一個特解為

y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 121212高等數學教案

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[P(x)eli? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數非齊次線性微分方程 12121212高等數學教案

y???py??qy?f(x)的特解可設為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?

解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對應的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項的系數? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?

91349高等數學教案

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

第三篇：微分方程習題答案

微分方程習題答案

習題基本要求：微分方程的階，判定一階齊次（非齊次）微分方程，微分方程的通解及特解，可分離變量微分方程及其通解，二階常系數微分方程的特征根及其三種不同形式的通解，選擇題

下列方程哪些是一階齊次微分方程？ dyy?y2?x2dyyy(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????(2?1?dxxdxxx2

2dy?y2(2)?xy???y不是齊次方程????dx1?x22

dyx2?y2dyxy?????(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??dy2x?y?4???dxx?y?

1y2()dyydy22dy???xy(5)y?x是齊次方程?dxdxdxxy?x2?1x21、微分方程y“+（yˊ）4-y3=0的階數是（B）

（A）1（B）2（C）3（D）

42、方程(y-3x)dx –(x+y)dy=0是（B）

（A）可分離變量微分方程（B）齊次方程

（C）一階非齊次線性微分方程（D）一階齊次線性微分方程

3、方程xdy+ydx=0的通解為（D）

（A）xy=1（B）xy=3（C）xy=-3（D）xy=C4、方程y”+ yˊ-2 y=0的通解為（C）

----（A）y=e2x+ex（B）y=Ce2x+ex（C）y=C1e2x+C2ex（D）y=e2x+Cex

填空題：

1、方程ydy+xdx=0的通解為22.通解為y=Cex的一階微分方程為yˊ-y=0.2、滿足條件y(0)=3的微分方程dy=2xydx的特解為y=3ex2.3、二階常系數齊次線性微分方程y“+p yˊ+q y=0的特征方程為r2-

4、微分方程y”-4y=0的通解為2x2x.-

5、微分方程y“-4yˊ-5y=0的通解為x5x6、微分方程y”-4yˊ+13y=0的通解為

7、微分方程y“+2yˊ+y=0的通解解答題

1、求可分離變量微分方程dy=xydx的通解。

解：（1）顯然y=0是微分方程的解；

（2）當y≠0時，方程可化為dydy?xdx，兩邊分別積分??xdx yy?

12x12得方程的解為lny?x?C1，即y?Ce2

212x2由（1）（2）可知微分方程的通解為y?Ce。

2、求微分方程ex-ydx=dy的通解。

解：方程可化為exdx=eydy，兩邊積分得∫exdx=∫eydy，于是微分方程的通解為ey = ex+C.3、求微分方程y”-2yˊ-3y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0，其根為r1=-1,r2=3，因此所求通解為y=C1ex+C2e3x4、求微分方程y“-5yˊ+6y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-5r+6=0,其根為r1=2,r2=3.因此所求通解為y=C1e2x+C2e3x。

5、求微分方程y”+2yˊ+y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2+2r+1=0,其根為r1=r2=-1.因此所求通解為y=(C1+C2x)ex.6、求微分方程y“-4yˊ+4y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-4r+4=0，其根為r1=r2=2，因此所求通解為y=(C1+C2x)e2x.7、求微分方程y”-2 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0，其根為r?

因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x)

8、求微分方程y"-4 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0,其根為r?

因此所求通解為y=e2x(C1cosx+C2sinx).?1?2i ?2?i

第四篇：微分方程傳遞函數的定義

求解微分方程可求出系統的輸出響應，但如果方程階次較高，則計算非常繁瑣，因此對系統的設計分析不便，所以應用傳遞函數將實數中的微分運算變成復數中的代數運算，可使問題分析大大簡化。

一、傳遞函數的概念及意義

（1）傳遞函數的定義：

線性系統在零初始條件下，輸出信號的拉氏變換與輸入信號的拉氏變換之比。

線性定常系統微分方程的一般表達式:

其中 xc 為系統輸出量，xr 為系統輸入量

在初始情況為零時，兩端取拉氏變換：

移項后得：

上式中Xc(s)輸出量的拉氏變換；Xr(s)輸入量的 拉氏變換； W(s)為系統或環節的傳遞系數。

（2）傳遞函數的兩種表達形式

a.傳遞函數的零極點表示形式

b.傳遞函數的時間常數表示形式

（3）關于傳遞函數的幾點說明

a.傳遞函數的概念只適應于線性定常系統。

b.傳遞函數只與系統本身的特性參數有關，而與輸入量變化無關。c.傳遞函數不能反映非零初始條件下系統的運動規律。

d.傳遞函數分子多項式階次低于或至多等于分母多項式的階次。

二、典型環節的傳遞函數及其暫態特性

無論什么樣的系統，它的傳遞函數都是一些基本因子相乘積而得到的。這些基本因子就是典型環節對應的傳遞函數。把復雜的物理系統劃分為若干個典型環節，利用傳遞函數和框圖來進行研究，這是研究系統的一種重要方法。

（1）比例環節（放大環節/無慣性環節）

特點：輸入量與輸出量的關系為一種固定的比例關系（見下圖）。

（2）慣性環節

特點：只包含一個儲能元件，使其輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時間上的延遲（見下圖）。

（3）積分環節

特點：輸出量隨時間成正比地無限增加（見下圖）。

(4）振蕩環節

特點：振蕩的程度與阻尼系數有關（見下圖）。

（5）微分環節

特點：是積分環節的逆運算，其輸出量反映了輸入信號的變化趁勢（見下圖）。

實踐中，理想的微分環節難以實現。

（6）延遲環節（時滯環節、滯后環節）

特點：輸出信號經過一段延遲時間τ后，可完全復現輸入信號（見下圖）。

第五篇：大學 高等數學 競賽訓練 微分方程

大學生數學競賽訓練五—微分方程

一、（15分）設函數在上可導，且，對任給的滿足等式

1）求導數；

2）證明：當時，成立不等式：。

解：1）設，則有

當時有

兩邊關于求導得

解微分方程得

由條件可得，因此

2）當時，所以此時有；

又因為，當時，所以此時有，因此當時，有

二、（15分）設微分方程的兩個解滿足求此微分方程的通解。

解：1）如果為常數，則有

因為，所以，由此可得，此時方程變為

令，則有

2）如果不是常數，則有，代入原方程可得

（1）

（2）

由（1）、（2）可得

令，則有，解得，因為它們是線性無關的，所求通解為

三、（15分）有一個攀巖愛好者要攀登一個表面為的山巖，在攀巖時他總是沿著最陡峭的路線攀登，他的出發點在山下的一點處，求他攀登的路線方程。

解：設所求曲線在面上的投影為，則其切向量與函數的梯度平行，因此有

此為一階齊次方程，解得，由可得，再由題意得到

所求曲線方程為。

四、（15分）求方程的通解。

解：設，則有，原方程化為

解得

五、(15分)設，求在上的連續函數使得其在上滿足方程

及初值條件。

解：解方程得

當時，當時，由的連續性可得，又因為可得，所求函數為。

六、（15分）已知二元函數有二階連續的偏導數，并且滿足

證明：。

證明：因為二元函數有二階連續的偏導數，所以

由此可得。

七、