第一篇：第七章 微分方程(三峽大學高等數學教案)
高等數學教案
微分方程
第七章
微分方程
教學目的：
1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。
3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)
5． 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。
6．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數齊次線性微分方程。
7.求自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解。
8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數的一階常系數線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點：
1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法
(n)
2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)
3、二階常系數齊次線性微分方程；
4、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程；
教學難點：
1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、線性微分方程解的性質及解的結構定理；
3、自由項為多項式、指數函數、余弦函數，以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程的特解。
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§7? 1 微分方程的基本概念
函數是客觀事物的內部聯系在數量方面的反映? 利用函數關系又可以對客觀事物的規律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數關系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數關系? 但是根據問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數及其導數的關系式? 這樣的關系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數來? 這就是解微分方程?
例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?
解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據導數的幾何意義? 可知未知函數y?y(x)應滿足關系式(稱為微分方程)
dy?2x?
(1)
dx此外? 未知函數y?y(x)還應滿足下列條件?
x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?
(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)
y?2xdx? 即y?x2?C?
(3)其中C是任意常數?
把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得
2?12?C?
由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?
y?x2?1?
例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?
解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據題意? 反映制動階段列車運動規律的函數s?s(t)應滿足關系式 ?d2s??0.?
(4)dt2此外? 未知函數s?s(t)還應滿足下列條件?
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t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?
(5)
t?0t?0dt
把(4)式兩端積分一次? 得
v?ds??0.4t?C?
(6)1dt再積分一次? 得
s??0?2t2 ?C1t ?C2?
(7)這里C1? C2都是任意常數?
把條件v|t?0?20代入(6)得
20?C1?
把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?
把C1? C2的值代入(6)及(7)式得
v??0?4t ?20?
(8)
s??0?2t2?20t?
(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間
t?20?50(s)?
0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程
s??0?2?502?20?50?500(m)?
幾個概念?
微分方程? 表示未知函數、未知函數的導數與自變量之間的關系的方程? 叫微分方程?
常微分方程? 未知函數是一元函數的微分方程? 叫常微分方程?
偏微分方程? 未知函數是多元函數的微分方程? 叫偏微分方程?
微分方程的階? 微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數? 叫微分方程的階?
x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?
y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?
y(n)?1?0?
一般n階微分方程?
F(x? y? y??
? ? ? ? y(n))?0?
y(n)?f(x? y? y??
? ? ? ? y(n?1))?
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微分方程的解? 滿足微分方程的函數(把函數代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數y??(x)在區間I上有n階連續導數? 如果在區間I上?
F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?
那么函數y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區間I上的解?
通解? 如果微分方程的解中含有任意常數? 且任意常數的個數與微分方程的階數相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?
初始條件? 用于確定通解中任意常數的條件? 稱為初始條件? 如
x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?
一般寫成
??
yx?x0?y0? y?x?x0?y0
特解? 確定了通解中的任意常數以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數的解?
初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?
如求微分方程y??f(x?
y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為
?y??f(x,y)
?? yx?x0?y0?
積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?
d2x?k2x?0
例3 驗證? 函數 x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程
的解?
dt
2解 求所給函數的導數?
dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)
?
1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt
?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?
d2x?k2x?0
這表明函數x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數是所給方程的解?
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例4 已知函數x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程
x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?
解
由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得
C1?A?
再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得
C2?0?
把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得
x?Acos kt?
作業：P298：4
d2x?k2x?0的通解? 求滿足初始條件 2dt
§7? 2 可分離變量的微分方程
觀察與分析?
1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?
一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數)?
2? 求微分方程y??2xy2 的通解?
因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直
??接積分不能求出通解?
為求通解可將方程變為
? 1dy?2xdx? 兩邊積分? 得
y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案
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可以驗證函數y??1是原方程的通解?
x2?C
一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx
形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數的導數的方程
G(y)?F(x)?C?
由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數就是原方程的通解
對稱形式的一階微分方程?
一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?
P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?
若把x看作自變量、y看作未知函數? 則當Q(x,y)?0時? 有
dyP(x,y)???
dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?
dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數? 則當P(x,y)?0時? 有
可分離變量的微分方程?
如果一個一階微分方程能寫成
g(y)dy?f(x)dx(或寫成y???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數和dy? 另一端只含x的函數和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?
討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?
是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?
是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?
不是?
(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?
是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?
不是? yx三峽大學高等數學課程建設組
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可分離變量的微分方程的解法?
第一步
分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?
第二步
兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?
第三步
求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?
例1 求微分方程??dy?2xy的通解?
dx
解
此方程為可分離變量方程? 分離變量后得
1dy?2xdx?
y1dy?2xdx?
?y?兩邊積分得
即
ln|y|?x2?C1?
從而
y??ex2?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數? 把它記作C? 便得所給方程的通解
y?Cex?
例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規律?
解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數2dM?
dtdM???M?
dtdM?0?
dt
由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數? ?前的曲面號表示當t增加時M單調減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?
將方程分離變量得
dM???dt?
M三峽大學高等數學課程建設組
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兩邊積分? 得dM?(??)dt?
?M?即
lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?
由初始條件? 得M0?Ce0?C?
所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規律M?M0e??t ?
例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數關系?
解
設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數)? 根據牛頓第二運動定律F?ma? 得函數v(t)應滿足的方程為
mdv?mg?kv?
dt初始條件為
v|t?0?0?
方程分離變量? 得
dv?dt?
mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m?
t?C?
m1dvdt
?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即
v?)?
kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???
k?ktmg(1?em)?
于是降落傘下落速度與時間的函數關系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?
例4 求微分方程dx
解 方程可化為
dy?(1?x)(1?y2)?
dx分離變量得
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1dy?(1?x)dx?
1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?
arctany??1?y2?2兩邊積分得
于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?
作業：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3
§7? 3 齊次方程
齊次方程?
如果一階微分方程12dy?f(x,y)中的函數f(x, y)可寫成 dxyy的函數? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?
xx
下列方程哪些是齊次方程？
dyy?y2?x2dyyy
(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?
dxxdxxx22dy1?y
2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???
?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????
(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22
(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??
(5)(2xshdy2x?y?4???
dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?
xxx三峽大學高等數學課程建設組
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yy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?
?ydxdx3xx3xchx
齊次方程的解法?
在齊次方程
u?x分離變量? 得
ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?
dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得
求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?
xdydy?xy?
dxdx
例1 解方程y2?x2
解
原方程可寫成
y2()dyyx??
?
2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令
y?ux? 于是原方程變為
u?x即
xy?u? 則 xdy?u?xdu?
dxdxdu?u2?
dxu?1du?u?
dxu?1分離變量? 得
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(1?)du?1udx?
x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?
或寫成ln|xu|?u?C?
以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x
ln|y|?y?C?
x
例2 有旋轉曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉軸上一點O發出的一切光線經此凹鏡反射后都與旋轉軸平行? 求這旋轉曲面的方程?
解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發出的光線經點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM?
因為
OA?AP?OP?PMcot??OP?而
OM?x2?y2?
于是得微分方程
y?x?
y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?
dyyydx?x?(x)2?1?
dyyy
問題歸結為解齊次方程
令即
yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?
dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy?
v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?三峽大學高等數學課程建設組
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y22yv??1?
C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?
2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉所得旋轉曲面的方程為
y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉曲面方程?
例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?
解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向對岸? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度
v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?
dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?
x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?
dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?
dybyy
問題歸結為解齊次方程
令
yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady?
u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?
將u?代入上式并整理? 得x?y2C三峽大學高等數學課程建設組
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以x|y?h?0代入上式? 得C?1? 故鴨子游過的軌跡方程為 haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?
x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?
yaarshx??b(lny?lnC)
ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)a?(Cy)a]?
2C2bbb作業：P309：1（1）（3）（5），2
§7.4 線性微分方程
一、線性方程
線性方程?
方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?
dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?
方程
下列方程各是什么類型方程？
(1)(x?2)
(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?
(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?
(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx三峽大學高等數學課程建設組
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3dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?
(5)(y?1)? 不是線性方程?
dxdydx(y?1)2x
32齊次線性方程的解法?
齊次線性方程
dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?
y兩邊積分? 得
ln|y|??P(x)dx?C1?
?P(x)dx(C??eC1)?
或
y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數）?
例
1求方程(x?2)dy?y的通解?
dx
解
這是齊次線性方程? 分離變量得
dydx??
yx?2兩邊積分得
ln|y|?ln|x?2|?lnC?
方程的通解為
y?C(x?2)?
非齊次線性方程的解法?
將齊次線性方程通解中的常數換成x的未知函數u(x)? 把
?P(x)dx
y?u(x)e?
設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得
?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?
u?(x)e?化簡得
u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?
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u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?
于是非齊次線性方程的通解為
?P(x)dxP(x)dx
y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或
y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?
5dy2y??(x?1)2的通解?
例2 求方程dxx?1
解
這是一個非齊次線性方程?
先求對應的齊次線性方程分離變量得
dy2y??0的通解?
dxx?1dy2dx??
yx?1兩邊積分得
ln y?2ln(x?1)?ln C?
齊次線性方程的通解為
y?C(x?1)2?
用常數變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得
52u?(x?1)2?(x?1)2
u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12
1u??(x?1)2?
兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?
3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32
y?(x?1)[(x?1)2?C]?
323
例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數)? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?
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解
由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L
E?L即
di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0?
dtdi?Ri?E?
dtLLdi?Ri?Emsin? t?
dtLL
把E?Emsin? t代入上式? 得
初始條件為
i|t?0?0?
di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中
dtLLER? t?
P(t)?? Q(t)?msinLL
方程由通解公式? 得
i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)
LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)
?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?
?222R??L其中C為任意常數?
將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數i(t)為
t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?
i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?
R2??2L
2二、伯努利方程
伯努利方程? 方程
dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?
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下列方程是什么類型方程？
(1)
(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy
1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx
(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx
伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得
y?n令z ?y1?n ? 得線性方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?
dxdyy??a(lnx)y2的通解?
例4 求方程dxx
解 以y2除方程的兩端? 得
y?2dy1?1?y?alnx?
dxxd(y?1)1?1?y?alnx?
即
?dxx令z?y?1? 則上述方程成為
dz?1z??alnx?
dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為
z?x[C?(lnx)2]?
以y?1代z ? 得所求方程的通解為
yx[C?(lnx)2]?1?
經過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?
例
5解方程 a2dy?1?
dxx?y三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案
微分方程
解
若把所給方程變形為
dx?x?y?
dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?
令x?y?u? 則原方程化為
du?1?1? 即du?u?1?
dxudxu分離變量? 得
udu?dx?
u?1兩端積分得
u?ln|u?1|?x?ln|C|?
以u?x?y代入上式? 得
y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?
作業：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）
§7? 5可降階的高階微分方程
一、y(n)?f(x)型的微分方程
解法? 積分n 次
y(n?1)?f(x)dx?C1? ?
y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??
? ? ??
例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?
解 對所給方程接連積分三次? 得
y???e2x?sinx?C1?
三峽大學高等數學課程建設組
12高等數學教案
微分方程
y??e2x?cosx?C1x?C2?
y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?
這就是所給方程的通解?
或
y???e2x?sinx?2C1?
y??e2x?cosx?2C1x?C2?
y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?
這就是所給方程的通解?
例2 質量為m的質點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質點位于原點? 且初速度為零? 求這質點的運動規律?
解 設x?x(t)表示在時刻t時質點的位置? 根據牛頓第二定律? 質點運動的微分方程為
2dx
m2?F(t)?
dt141812121418由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而
F(t)?F0(1?)?
于是質點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)
?
Tdt2mdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0?
dtt?0
把微分方程兩邊積分? 得
dx?F0(t?t2)?C
1?
dtm2T再積分一次? 得
F012t x?(t?)?C1t?C2?
m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?
三峽大學高等數學課程建設組
dx|?0?
dtt?0高等數學教案
微分方程
于是所求質點的運動規律為
x?
二、y??? f(x? y?)型的微分方程
解法? 設y??p則方程化為
p??f(x? p)?
設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則
F012t3(t?)? 0?t?T?
m26Tdy??(x,C1)?
dx原方程的通解為
y??(x,C1)dx?C2?
例3 求微分方程
(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件
y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?
解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有
?dp2x?dx?
p1?x2兩邊積分? 得
ln|p|?ln(1?x2)?C?
即
p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?
由條件y?|x?0?3? 得C1?3?
所以
y??3(1?x2)?
兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?
又由條件y|x?0?1? 得C2?1?
于是所求的特解為
y?x3?3x?1?
例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態時是怎樣的曲線?
三、y???f(y? y?)型的微分方程
解法? 設y??p?有
三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
y???原方程化為 dpdpdydp???p?
dxdydxdydp?f(y,p)?
dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy
p
dy??(y,C1)?x?C2?
dp?
dy
例5 求微分yy???y?2?0的通解?
解 設y??p? 則y???p代入方程? 得
ypdp2?p?0?
dy
在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得
dpdy??
py兩邊積分得
ln|p|?ln|y|?lnc?
即
p?Cy或y??Cy(C??c)?
再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為
ln|y|?Cx?lnc1?
或
y?C1eCx(C1??c1)?
作業：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）
三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例
例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?
給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數? x?x(t)?
設彈簧的彈性系數為c? 則恢復力f??cx?
又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數為?? 則
R??dx?
dt
由牛頓第二定律得
md2x??cx??dx?
2dtdt
移項? 并記2n??c? k2??
mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為
?
dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?
如果振動物體還受到鉛直擾力
F?Hsin pt 的作用? 則有
d2x?2ndx?k2x?hsinpt
?
dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?
m
例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯組成的電路? 其中R、L、及C為常數? 電源電動勢是時間t的函數? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數?
設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道
i?qdqdi? uc?? EL??L?
Cdtdt三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
根據回路電壓定律? 得
E?Ldi?q?Ri?0?
dtCd2ucduc?RC?uc?Emsin?t?
即
LC2dtdt或寫成
d2ucducEm2?2???u?sin?t?
0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯電路的振蕩方程? 其中??02LLC
如果電容器經充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為
d2ucduc2?2???0uc?0?
2dtdt
二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?
若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?
二、線性微分方程的解的結構
先討論二階齊次線性方程
d2ydy?Q(x)y?0?
y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx
定理
1如果函數y1(x)與y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數?
齊次線性方程的這個性質表明它的解符合疊加原理?
證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??
[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???
因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有
y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?
從而
[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]
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高等數學教案
微分方程
?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?
這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解
函數的線性相關與線性無關?
設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區間I上的n個函數? 如果存在n個不全為零的常數k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x)?
? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數在區間I上線性相關? 否則稱為線性無關?
判別兩個函數線性相關性的方法?
對于兩個函數? 它們線性相關與否? 只要看它們的比是否為常數? 如果比為常數? 那么它們就線性相關? 否則就線性無關?
例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數軸上是線性相關的? 函數1? x? x2在任何區間(a, b)內是線性無關的?
定理2 如果如果函數y1(x)與y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關的解? 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數)是方程的通解?
例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解? 并寫出其通解?
解 因為
y1???y1??cos x?cos x?0?
y2???y2??sin x?sin x?0?
所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?
因為對于任意兩個常數k1、k2? 要使
k1cos x?k2sin x?0?
只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內是線性無關的?
因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關解?
方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?
例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解? 并寫出其通解?
解 因為
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高等數學教案
微分方程
(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?
(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?
所以y1?x與y2?ex都是方程的解?
因為比值e x/x 不恒為常數? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內是線性無關的?
因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關解?
方程的通解為y?C1x?C2e x?
推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關的解? 那么? 此方程的通解為
y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?
其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數?
二階非齊次線性方程解的結構?
我們把方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程?
定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么
y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?
證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]
? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]
?0? f(x)? f(x)?
例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解?
定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數之和? 如
三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?
而y1*(x)與y2*(x)分別是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?
證明提示?
[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]
?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]
?f1(x)?f2(x)?
作業：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）
§7? 7 二階常系數齊次線性微分方程
二階常系數齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數?
如果y1、y2是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?
我們看看?
能否適當選取r? 使y?erx
滿足二階常系數齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程
y???py??qy?0 得
(r 2?pr?q)erx ?0?
由此可見? 只要r滿足代數方程r2?pr?q?0? 函數y?erx就是微分方程的解?
特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式
?p??p2?4q
r 1,2?2求出?
三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
特征方程的根與通解的關系?
(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關的解?
這是因為?
函數y1?er1x、y2?er2x是方程的解? 又因此方程的通解為
y?C1er1x?C2er2x?
(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數齊次線性微分方程的兩個線性無關的解?
這是因為? y1?er1x是方程的解? 又
r1xr1x2r1x
(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x
2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?
y1er1x(r1?r2)x不是常數?
??ey2er2xy2xer1x??x不是常數?
所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x
因此方程的通解為
y?C1er1x?C2xer1x?
(3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關的復數形式的解? 函數y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關的實數形式的解?
函數y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得
y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?
2三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?
2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?
可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關解?
因此方程的通解為
y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
求二階常系數齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?
第一步
寫出微分方程的特征方程
r2?pr?q?0 第二步
求出特征方程的兩個根r1、r2?
第三步
根據特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?
例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?
解 所給微分方程的特征方程為
r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?
其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為
y?C1e?x?C2e3x?
例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?
4、y?| x?0??2的特解?
解 所給方程的特征方程為
r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?
其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為
y?(C1?C2x)e?x?
將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而
y?(4?C2x)e?x?
將上式對x求導? 得
y??(C2?4?C2x)e?x?
再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為
x?(4?2x)e?x?
例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?
解 所給方程的特征方程為
三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
r2?2r?5?0?
特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根?
因此所求通解為
y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
n 階常系數齊次線性微分方程? 方程
y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?
稱為n 階常系數齊次線性微分方程? 其中 p1?
p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數?
二階常系數齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數齊次線性微分方程上去?
引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?
L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數齊次線性微分方程可記作
(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?
分析? 令y?erx? 則
L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?
因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?
n 階常系數齊次線性微分方程的特征方程?
L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?
特征方程的根與通解中項的對應?
單實根r 對應于一項? Cerx ?
一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?
一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項?
e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?
例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?
解
這里的特征方程為
r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?
三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?
因此所給微分方程的通解為
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?
例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?
解
這里的特征方程為
r4?? 4?0?
它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?
因此所給微分方程的通解為
y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?
作業：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）
§7? 8 二階常系數非齊次線性微分方程
二階常系數非齊次線性微分方程? 方程
y???py??qy?f(x)稱為二階常系數非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數?
二階常系數非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?
y?Y(x)? y*(x)?
當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?
一、f(x)?Pm(x)e?x 型
當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式
三峽大學高等數學課程建設組
高等數學教案
微分方程
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解
y*?Qm(x)e?x?
(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)應設為m?1 次多項式?
Q(x)?xQm(x)?
Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?
?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ?
? bm? 并得所求特解
y*?xQm(x)e?x?
(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)應設為m?2次多項式?
Q(x)?x2Qm(x)?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項系數? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解
y*?x2Qm(x)e?x?
綜上所述? 我們有如下結論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如
y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?
例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?
解 這是二階常系數非齊次線性微分方程? 且函數f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?
與所給方程對應的齊次方程為
y???2y??3y?0?
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高等數學教案
微分方程
它的特征方程為
r2?2r?3?0?
由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為
y*?b0x?b1?
把它代入所給方程? 得
?3b0x?2b0?3b1?3x?1?
比較兩端x同次冪的系數? 得
???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?101?由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為
y*??x??
例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?
解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?
與所給方程對應的齊次方程為
y???5y??6y?0?
它的特征方程為
r2?5r ?6?0?
特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為
Y?C1e2x?C2e3x ?
由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為
y*?x(b0x?b1)e2x?
把它代入所給方程? 得
?2b0x?2b0?b1?x?
比較兩端x同次冪的系數? 得
?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01三峽大學高等數學課程建設組
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微分方程
由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個特解為 121 y*?x(?x?1)e2x?
從而所給方程的通解為
y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x?
提示?
y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?
[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?
[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?
y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?
方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式
應用歐拉公式可得
e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]
?e?x[Pl(x)12ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i
?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x
l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]
?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?
其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?
設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?
則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?
其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?
于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為
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12121212高等數學教案
微分方程
y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x
?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)
?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
綜上所述? 我們有如下結論?
如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數非齊次線性微分方程
y???py??qy?f(x)的特解可設為
y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?
例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?
解 所給方程是二階常系數非齊次線性微分方程?
且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?
與所給方程對應的齊次方程為
y???y?0?
它的特征方程為
r2?1?0?
由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
把它代入所給方程? 得
(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?
比較兩端同類項的系數? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?
提示?
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?
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134?
91349高等數學教案
微分方程
?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?
y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x
?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?
y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x?
??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）
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第二篇：第六章 定積分的應用(三峽大學高等數學教案)[范文模版]
高等數學教案
定積分的應用
教學目的 第六章
定積分的應用
1、理解元素法的基本思想；
2、掌握用定積分表達和計算一些幾何量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積）。
3、掌握用定積分表達和計算一些物理量（變力做功、引力、壓力和函數的平均值等）。教學重點：
1、計算平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積。
2、計算變力所做的功、引力、壓力和函數的平均值等。教學難點：
1、截面面積為已知的立體體積。
2、引力。
§6? 1 定積分的元素法
回憶曲邊梯形的面積?
設y?f(x)?0(x?[a? b])? 如果說積分?
A??af(x)dx
b是以[a? b]為底的曲邊梯形的面積? 則積分上限函數
A(x)??af(t)dt
x就是以[a? x]為底的曲邊梯形的面積? 而微分dA(x)?f(x)dx 表示點x處以dx為寬的小曲邊梯形面積的近似值?A?f(x)dx??f(x)dx稱為曲邊梯形的面積元素?
以[a? b]為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f(x)dx為被積表達式? 以 [a? b]為積分區間的定積分?
A??af(x)dx ?
b
一般情況下? 為求某一量U? 先將此量分布在某一區間[a? b]上? 分布在[a? x]上的量用函數U(x)表示? 再求這一量的元素dU(x)? 設dU(x)?u(x)dx? 然后以u(x)dx為被積表達式? 以[a? b]為積分區間求定積分即得
U??af(x)dx?
b
用這一方法求一量的值的方法稱為微元法(或元素法)?
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定積分的應用
§6? 2 定積分在幾何上的應用
一、平面圖形的面積
1．直角坐標情形
設平面圖形由上下兩條曲線y?f上(x)與y?f下(x)及左右兩條直線x?a與x?b所圍成? 則面積元素為[f上(x)? f下(x)]dx? 于是平面圖形的面積為
S??a[f上(x)?f下(x)]dx? ?
類似地??由左右兩條曲線x??左(y)與x??右(y)及上下兩條直線y?d與y?c所圍成設平面圖形的面積為?
S??c[?右(y)??左(y)]dy?
例1 計算拋物線y2?x、y?x2所圍成的圖形的面積??
解(1)畫圖??
(2)確定在x軸上的投影區間: [0? 1]??(3)確定上下曲線???f上(x)?x, f下(x)?x2?
(4)計算積分 db1??
S??(x?x)dx?[2x2?1x3]1?0033321
3例2 計算拋物線y2?2x與直線y?x?4所圍成的圖形的面積??
解(1)畫圖??
(2)確定在y軸上的投影區間: [?2? 4]??(3)確定左右曲線???左(y)?1y2, ?右(y)?y?4?
2(4)計算積分?4?18?
S???2(y?4?1y2)dy?[1y2?4y?1y3]426?222y 例3 求橢圓x2?2?1所圍成的圖形的面積?
ab 解 設整個橢圓的面積是橢圓在第一象限部分的四倍? 橢圓在第一象限部分在x 軸上的投影區間為[0? a]? 因為面積元素為ydx?
所以 2S?4?0ydx? a橢圓的參數方程為: x?a cos t ? y?b sin t ?
于是
S?4?0ydx?4??bsintd(acost)
2a0三峽大學高等數學課程建設組
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定積分的應用
??4ab??sintdt?2ab?02(1?cos2t)dt?2ab???ab??
2202?
2．極坐標情形
曲邊扇形及曲邊扇形的面積元素?
由曲線???(?)及射線? ??? ? ??圍成的圖形稱為曲邊扇形? 曲邊扇形的面積元素為 dS?1[?(?)]2d?? 2曲邊扇形的面積為
?S???1[?(?)]2d?? 2
例4.計算阿基米德螺線??a?(a >0)上相應于?從0變到2? 的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積?
2?2??4a2?3?
解: S??01(a?)2d??1a2[1?3]02332
例5.計算心形線??a(1?cos?)(a>0)所圍成的圖形的面積?
?? 解: S?2?01[a(1?cos?]2d??a2?0(1?2cos??1cos2?)d?
22232
?a2[3??2sin??1sin2?]?0?a??
242
二、體 積
1．旋轉體的體積
旋轉體就是由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體? 這直線叫做旋轉軸?
常見的旋轉體? 圓柱、圓錐、圓臺、球體?
旋轉體都可以看作是由連續曲線y?f(x)、直線x?a、a?b 及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的立體?
設過區間[a? b]內點x 且垂直于x軸的平面左側的旋轉體的體積為V(x)? 當平面左右平移dx后? 體積的增量近似為?V??[f(x)]2dx ?
于是體積元素為
dV ? ?[f(x)]2dx ?
旋轉體的體積為
V??a?[f(x)]2dx?
例
1連接坐標原點O及點P(h? r)的直線、直線x?h 及x 軸圍成一個直角三角形? 將它繞x軸旋轉構成一個底半徑為r、高為h的圓錐體? 計算這圓錐體的體積?
解: 直角三角形斜邊的直線方程為y?rx?
h
所求圓錐體的體積為
三峽大學高等數學課程建設組
b高等數學教案
定積分的應用
22hr?r?1?hr2?
V??0?(x)dx?2[1x3]0h3h32y2x 例2? 計算由橢圓2?2?1所成的圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體(旋轉橢球體)的體積?
ab
解: 這個旋轉橢球體也可以看作是由半個橢圓 h
y?ba2?x2
a及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉而成的立體? 體積元素為dV? ? y 2dx ?
于是所求旋轉橢球體的體積為
22a2 V???b2(a2?x2)dx??b2[a2x?1x3]a?a??ab?
?a33aa
例3 計算由擺線x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)的一拱? 直線y?0所圍成的圖形分別繞x軸、y軸旋轉而成的旋轉體的體積?
解
所給圖形繞x軸旋轉而成的旋轉體的體積為
Vx??0?y2dx???0a2(1?cost)2?a(1?cost)dt
??a3?0(1?3cost?3cos2t?cos3t)dt
?5? 2a 3?
所給圖形繞y軸旋轉而成的旋轉體的體積是兩個旋轉體體積的差? 設曲線左半邊為x=x1(y)、右半邊為x=x2(y)? 則
22(y)dy??0?x1(y)dy
Vy??0?x22a2a2?2?a2?
???2?a2(t?sint)2?asintdt???0a2(t?sint)2?asintdt
???a3?0(t?sint)2sintdt?6? 3a 3 ?
2．平行截面面積為已知的立體的體積
設立體在x軸的投影區間為[a? b]? 過點x 且垂直于x軸的平面與立體相截? 截面面積為A(x)? 則體積元素為A(x)dx ? 立體的體積為
V??aA(x)dx?
例4 一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心? 并與底面交成角?? 計算這平面截圓柱所得立體的體積?
解? 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸? 底面上過圓中心、且垂直于x軸的直線為y軸? 那么底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 立體中過點x且垂直于x軸的截面是一個直角三角形? 兩個直角邊分別為R2?x2及R2?x2tan?? 因而截面積為
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b2???高等數學教案
定積分的應用
A(x)?1(R2?x2)tan?? 于是所求的立體體積為
2RR2R3tan??
V???R1(R2?x2)tan?dx?1tan?[R2x?1x3]?R?223
3例5? 求以半徑為R的圓為底、平行且等于底圓直徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積?
解: 取底圓所在的平面為x O y平面? 圓心為原點? 并使x軸與正劈錐的頂平行? 底圓的方程為x 2 ?y 2?R 2? 過x軸上的點x(?R A(x)?h?y?hR2?x2? 于是所求正劈錐體的體積為 V???RhR2?x2dx?2R2h?2co2s?d??1?R2h?? 02R? 三、平面曲線的弧長 設A? B 是曲線弧上的兩個端點? 在弧AB上任取分點A?M0? M1? M2? ? ? ? ? Mi?1? Mi? ? ? ?? Mn?1? Mn?B ? 并依次連接相鄰的分點得一內接折線? 當分點的數目無限增加且每個小段Mi?1Mi都縮向一點時? 如果此折線的長?|Mi?1Mi|的極限存在? 則稱此極限為曲線弧AB的弧長? 并稱此曲線i?1n弧AB是可求長的? 定理 光滑曲線弧是可求長的? 1．直角坐標情形 設曲線弧由直角坐標方程 y?f(x)(a?x?b)給出? 其中f(x)在區間[a? b]上具有一階連續導數? 現在來計算這曲線弧的長度? 取橫坐標x為積分變量? 它的變化區間為[a? b]? 曲線y?f(x)上相應于[a? b]上任一小區間[x? x?dx]的一段弧的長度? 可以用該曲線在點(x? f(x))處的切線上相應的一小段的長度來近似代替? 而切線上這相應的小段的長度為 (dx)2?(dy)2?1?y?2dx? 從而得弧長元素(即弧微分) ds?1?y?2dx? 以1?y?2dx為被積表達式? 在閉區間[a? b]上作定積分? 便得所求的弧長為 s??a1?y?2dx? 三峽大學高等數學課程建設組 b高等數學教案 定積分的應用 在曲率一節中? 我們已經知道弧微分的表達式為ds?1?y?2dx??這也就是弧長元素??因此 例1? 計算曲線y?2x2上相應于x從a到b的一段弧的長度? 3解? y??x2? 從而弧長元素 13ds?1?y?2dx?1?xdx? 因此? 所求弧長為 s??ab2221?xdx?[2(1?x)2]ba?[(1?b)?(1?a)]? 3333 3例2? 計算懸鏈線y?cchx上介于x??b與x?b之間一段弧的長度? c 解? y??shx? 從而弧長元素為 cds?1?sh2xdx?chxdx? cc因此? 所求弧長為 bbb? s???bchxdx?2?0chxdx?2c[shxdx]b0?2cshcccc 2．參數方程情形 設曲線弧由參數方程x??(t)、y??(t)(??t??)給出? 其中?(t)、?(t)在[?? ?]上具有連續導數? dy??(t)因為? dx???(t)d t ? 所以弧長元素為 ?dx??(t)??2(t)ds?1?2??(t)dt???2(t)???2(t)dt? ??(t)所求弧長為 s?????2(t)???2(t)dt? ? 例3? 計算擺線x?a(??sin?)? y?a(1?cos?)的一拱(0 ?? ?2?)的長度?? 解? 弧長元素為 ?ds?a2(1?cos?)2?a2sin2?d??a2(1?cos?)d??2asind?? 2所求弧長為 2?s??02asin?d??2a[?2cos?]0?8a? 222?三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 定積分的應用 3．極坐標情形 設曲線弧由極坐標方程 ???(?)(? ? ? ? ?)給出? 其中r(?)在[?? ?]上具有連續導數? 由直角坐標與極坐標的關系可得 x??(?)cos??? y??(?)sin?(? ?? ? ?)? 于是得弧長元素為 ds?x?2(?)?y?2(?)d???2(?)???2(?)d?? 從而所求弧長為 s?????2(?)???2(?)d?? 例4? 求阿基米德螺線??a?(a>0)相應于? 從0到2? 一段的弧長? 解? 弧長元素為 ds?a2?2?a2d??a1??2d?? 于是所求弧長為 2?s??0a1??2d??a[2?1?4?2?ln(2??1?4?2)]? 作業：P284：2（2）（4），3，4，5（1），10，12，15（2），18，22，23，29，30 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 定積分的應用 §6? 3 功 水壓力和引力 一、變力沿直線所作的功 例 1把一個帶?q電量的點電荷放在r軸上坐標原點O處? 它產生一個電場? 這個電場對周圍的電荷有作用力? 由物理學知道? 如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方? 那么電場對它的作用力的大小為 F?kq(k是常數)? r2當這個單位正電荷在電場中從r?a處沿r軸移動到r?b(a 解: 在r軸上? 當單位正電荷從r移動到r+dr時? 電場力對它所作的功近似為k即功元素為dW?k于是所求的功為 qdr? r2qdr? r2bkq2W??a11dr?kq[?1]ba?kq(?)? rabr 例2? 在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣體? 在等溫條件下? 由于氣體的膨脹? 把容器中的一個活塞(面積為S)從點a處推移到點b處? 計算在移動過程中? 氣體壓力所作的功? 解? 取坐標系如圖? 活塞的位置可以用坐標x來表示? 由物理學知道? 一定量的氣體在等溫條件下? 壓強p與體積V的乘積是常數k ? 即 pV?k 或p?k? V 在點x處? 因為V?xS? 所以作在活塞上的力為 F?p?S?k?S?k? xSx當活塞從x移動到x?dx時? 變力所作的功近似為kdx? x即功元素為dW?kdx? x于是所求的功為 bbW??akdx?k[lnx]ba?kln? xa 例3? 一圓柱形的貯水桶高為5m? 底圓半徑為3m? 桶內盛滿了水? 試問要把桶內的水全部吸出需作多少功？ 解? 作x軸如圖? 取深度x 為積分變量? 它的變化區間為[0? 5]? 相應于[0? 5]上任小區間[x? x?dx]的一薄層水的高度為dx? 水的比重為9?8kN/m3? 因此如x的單位為m? 這薄層水的重力為9?8??32dx? 這薄層水吸出桶外需作的功近似地為 三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 定積分的應用 dW?88?2??x?dx? 此即功元素? 于是所求的功為 225(kj)? xW??088.2?xdx?88.2?[]50?88.2??22 5二、水壓力 從物理學知道? 在水深為h處的壓強為p??h ? 這里 ? 是水的比重? 如果有一面積為A 的平板水平地放置在水深為h處? 那么?平板一側所受的水壓力為 P?p?A? 如果這個平板鉛直放置在水中? 那么? 由于水深不同的點處壓強p不相等? 所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算? 例4? 一個橫放著的圓柱形水桶? 桶內盛有半桶水? 設桶的底半徑為R? 水的比重為 ? ? 計算桶的一個端面上所受的壓力? 解? 桶的一個端面是圓片? 與水接觸的是下半圓? 取坐標系如圖? 在水深x處于圓片上取一窄條? 其寬為dx ? 得壓力元素為 dP?2?xR2?x2dx? 所求壓力為 P??02 ? xR?xdx????(R03R?2rR3? ???[2(R2?x2)2]033R22R2122?x)d(R2?x2) 三、引力 從物理學知道? 質量分別為m 1、m 2? 相距為r的兩質點間的引力的大小為 F?Gm1m2? r2其中G為引力系數? 引力的方向沿著兩質點連線方向? 如果要計算一根細棒對一個質點的引力? 那么? 由于細棒上各點與該質點的距離是變化的? 且各點對該質點的引力的方向也是變化的? 就不能用上述公式來計算? 例5? 設有一長度為l、線密度為?的均勻細直棒? 在其中垂線上距棒a單位處有一質量為m的質點M? 試計算該棒對質點M的引力? 解? 取坐標系如圖? 使棒位于y軸上? 質點M位于x軸上? 棒的中點為原點O? 由對稱性知? 引力在垂直方向上的分量為零? 所以只需求引力在水平方向的分量? 取y為積分變量? 它的變化區間為[?l, l]? 在[?l, l]上y點取長為dy 的一小段? 其質量為?dy? 與M相距r?a2?y2? 于2222是在水平方向上? 引力元素為 dFx?Gm?dyam?dy?a?? ??Ga2?y2a2?y2(a2?y2)3/2三峽大學高等數學課程建設組 高等數學教案 定積分的應用 引力在水平方向的分量為 Fx???2lG?2l2Gm?lam?dy1???? 223/222a(a?y)4a?l 作業：P292：3（2），6 三峽大學高等數學課程建設組 -----[xn?1 , xn]，A??A1??A2????An，?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?Ai?f(?i)??xi，A??f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.A?lim?f(?i)?xi.??0i? 1-----高等數學教案----- n2.變速直線運動的路程: 設速度v?v(t)是時間間隔[T1 , T2]上t的連續函數，路程記為s.①把區間[T1 , T2]分成n個小區間:，…，[t0 , t1] [tn?1 , tn]，[t1 , t2]，s??s1??s2????sn，?ti?ti?ti?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[ti?1 , ti]上任取一點?i，?si?v(?i)??ti，-----高等數學教案-----s??v(?i)?ti.i?1n③??max{?t1 , ?t2 , ? , ?tn}.s?lim?v(?i)?ti.??0i?1n3.定積分定義: 設y?f(x)在[a , b]上有界.①把區間[a , b]分成n個小區間:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1] [xn?1 , xn]，-----高等數學教案-----?xi?xi?xi?1(i?1 , 2 , ? , n).②在每個小區間[xi?1 , xi]上任取一點?i，?f(?i)?xi.i?1n③??max{?x1 , ?x2 , ? , ?xn}.如果 lim?f(?i)?xi ??0i?1n存在，且此極限不依賴于對區間[a , b]的分法和在[xi?1 , xi]上 -----高等數學教案----- 則稱此極限為f(x)?i點的取法，在[a , b]上的定積分，記為 f(?i)?xi.??af(x)dx?lim??0bi?1n注意：定積分? af(x)dx只與被積函數f(x)﹑積分區間[a , b]有關，而與積分變量用什么字母表示無關，即 b? af(x)dx?? af(t)dt?? af(u)du b b b.4.(必要條件).如果f(x , y)在D上可積，則f(x , y)在D上 -----高等數學教案-----有界.5.(充分條件): ①如果f(x)在[a , b]上連續，則f(x)在[a , b]上可積.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a , b]上可積.6.定積分的幾何意義： ①如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，則 b? af(x)dx?s (S是曲邊梯 -----高等數學教案-----形的面積).②.如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，則 b? af(x)dx??s (S是曲邊梯形的面積).③如果f(x)在[a , b]上連續，且f(x)的值有正有負，則 b? af(x)dx等于x軸上方的曲邊梯形面積減去x軸下方的曲邊梯形面積.7.規定: -----高等數學教案----- ①當a?b時，? af(x)dx?0.a?b ②當時，ba? af(x)dx???bf(x)dx.7.定積分的性質： ①??f(x)?g(x)?dx??f(x)dx??g(x)dx.b b②? akf(x)dx?k? af(x)dx.③ b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)?1，則 b b? a1dx?? adx?b?a.b b b b a a a -----高等數學教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)?0，則 b? af(x)dx?0.如果在[a , b]上f(x)?g(x)，則 b b? af(x)dx?? ag(x)dx，? af(x)dx?? af(x)dx.b b⑥設m?f(x)?M，則 bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?.⑦(積分中值定理)如果f(x) -----高等數學教案-----在[a , b]上連續，則在[a , b]上至少存在一點?，使得 b? af(x)dx?f(?)?(b?a).證:由于f(x)在[a , b]上連續，所以存在最大值M和最小值m，使得 m?f(x)?M，bm(b?a)?? af(x)dx?M(b?a)，f(x)dx? am??M，b?a -----高等數學教案----- b故在[a , b]上至少存在一點?，使得 b? af(x)dx?f(?)b?a即 b? af(x)dx?f(?)?(b?a).b1稱為在f(x)dxf(x)? ab?a[a , b]上的平均值.P23511.證: 對任意實數?，有 12? 0[??f(x)]dx?0，1 122??2?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx?0 -----高等數學教案-----，所以 12??4?? 0f(x)dx??4? 0f(x)dx?0，即 ? 0f(x)dx??? 0f(x)dx?.練習1.設f(x)在[a , b]上連續，且f(x)?0，證明: 12 121? af(x)dx? af(x)dx?(b?a)b b.§5.2微積分基本公式 1.積分上限的函數(變上限 -----高等數學教案-----積分): f(x)在[a , b]上連續，稱 x?(x)?? af(t)dt x?[a , b] 為積分上限的函數.2.如果f(x)在[a , b]上連續，x則?(x)?? af(t)dt可導，且 xd??(x)?f(t)dt?f(x)? adx.x例1.求F(x)?? 0tsintdt的導數.解: F?(x)?xsinx.-----高等數學教案----- sintdt?sinx 0例2.lim ?lim2x?0x?02xx1?.2 x例3.tedt??lim xx???xe2x??? x2 0t2elim?x2tedt?x x2 0t2x?limx???(1?2 x?limx???1? 2-----高等數學教案----- ? 3.?? ?(x)f(t)dt? ?f[?(x)]??(x)?f[?(x)]??(x)?(x)1?.2.x?bd 例4.? x?af(t)dt dx?f[(x?b)]?f[(x?a)].例 15.(? xedt)??e??e?2x xx?1?2xe.lnx2tlnxx22 -----高等數學教案-----例6.設f(x)在[a , b]上連續，且單調增加，證明: x1 F(x)?f(t)dt? ax?a在(a , b]內單調增加.證: 當x?(a , b)時，f(x)(x?a)?? af(t)dtF?(x)? 2(x?a)f(x)(x?a)?f(?)(x?a)?2(x?a)x f(x)?f(?)?(x?a) -----高等數學教案----- (a???x).由于f(x)在[a , b]上單調增加，而a???x，所以 f(x)?f(?)F?(x)??0，(x?a)故F(x)在(a , b]內單調增加.4.微積分基本公式(牛頓—萊布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上連續，且F(x)是f(x)的一個原函數，則 b? af(x)dx?F(b)?F(a)?F(.-----高等數學教案----- 為F(x)、x?(x)?? af(t)dt都是f(x)的原函數，所以?(x)?F(x)?C.由于 ?(a)?F(a)?C，a?(a)?? af(t)dt?0，得 C??F(a)，?(x)?F(x)?F(a)，?(b)?F(b)?F(a)，b即 ?(b)?? af(x)dx ?F(b)?F(a) ?F(x).ba -----高等數學教案-----證: 因 ?1 1例7.? ?2dx?lnx?2 x?ln1?ln2 ??ln2.?1 例 2 1 28.? 01?xdx?? 0(1?x)dx?? 1(x?1)dx 221xx?(x?)0?(?x)22 ?1.例9.設 ?x , x?[0 , 1), f(x)???x , x?[1 , 2] ，-----高等數學教案-----2求?(x)?? 0f(t)dt在[0 , 2]上的表達式.x解(x)???? x2 0tdt , x?[0 , 1)?? 12dt?? x 0t 1tdt , x?[1 ,?x3 , ???3??13?12(x2?1), ?x3 ??, ?3??1-----高等數學教案 6 ,----- : 2] x?[0 ,x?[1 , 2x?[0 , x?[1 , 2? 例10.求 x f(x)??0tdt 在(?? , ??)上的表達式.??0?tdt , x?0解: f(x)??x tdt , x?0??02??x , x?0?2 ??2x? , x?0.?2x§5.3 定積分的換元法和分部積分法 -----高等數學教案-----1.定積分的換元法: b?? af(x)dx x??(t)??f[?(t)]??（其中f(x)連續，?(t)有連續的導數，a??(?)，b??(?)，.例1.? 0 4x?2dx 2x?11t2?32 32t?12 x? ? 1 tdt 2t 321?? 1(t?3)dt 2331t?(?3t)1 3-----高等數學教案-----例 例 ?223.2.? 1dx 34 1?x?1 x??(t2?2t)? ?1?(2t?2)?12 t??2? ?112?1 ?(1t)dt ??2(t?lnt)?1?12 ?1?2ln2.3.2? 111?x 2 x2dx x?sint ? ?cost ?24 -----高等數學教案----- sin2tcostdt 2? 例 ??2 ? cottdt 4?? ?2(csc2 ?t?1)dt 4?(?cott?t)?2? 4?1??4.? ?5 02sinx?cosxdx ??? ?5 02cosxdcosx ?(?16?6cosx)20 ?16.-----高等數學教案----- 4.例5.? 0x(2?x)dx 12421??? 0(2?x)d(2?x)2 25111 ??[(2?x)]0 2531 ?.102.設f(x)在[?a , a]上連續且為偶函數，則 a a? ?af(x)dx?2? 0f(x)dx.證: a 0 a? ?af(x)dx?? ?af(x)dx?? 0f(x)dx.12 4-----高等數學教案-----? ?af(x)dx x??t ? af(?t)(? 0 0 ??? af(t)dt ?? 0f(t)dt ?? 0f(x)dx.a a 0所 以 a a a? ?af(x)dx?? 0f(x)dx?? 0f(x)dx ?2? 0f(x)dx.a3.設f(x)在[?a , a]上連續且 a為奇函數，則 ? ?af(x)dx?0.xsinxdx.例6.求? ?242x?3x?1 2 -----高等數學教案----- 32xsinx解: 由于f(x)?42x?3x?132是 2奇3函2數，所以 xsinxdx?0.? ?242x?3x?1例7.求 1sinx?(arctanx).dx? ?121?x解: 原式1sinx 1(arctanx).?? ?1dx?dx?22 ?11?x1?xsinx由于f(x)?2是奇函數，1?x -----高等數學教案-----以(arctanx)是偶函數，所g(x)?21?x(arctanx)原式?0?2? 0 dx21?x 12?2? 0(arctanx)d(arctanx)122 312?[(arctanx)]0 332??()3496例8.設f(x)在[0 , a]上連續，-----高等數學教案-----?.?3證明: ? 0f(x)dx?? 0f(a?x)dx.a a證? 0f(x)dx 0 x?a?t ? af(a?t)(?dt)a: ??? af(a?t)dt ?? 0f(a?t)dt ?? 0f(a?x)dx.a 0 a 例9.若f(x)在[0 , 1]上連續，證明: ?f(sinx)dx? -----高等數學教案-----?2 0?f(cosx)dx.2 0? 證: ?f(sinx)dx ? x??t 2 ?2 0f(cost)(?d? ?2 0 ??f(cost)dt ?2 0??f(cosx)dx.?2 0 例10.若f(x)在[0 , 1]上連續，證明: ? 0xf(sinx)dx? ??.f(sinx)dx? 02 ? -----高等數學教案-----證: ? 0xf(sinx)dx 0 x???t ? ?(??t)f(sint)? ?? 0(??t)f(sint)dt ??? 0f(sint)dt?? 0tf(sint)dt ??? 0f(sinx)dx?? 0xf(sinx)dx.? ? ? ? ?解? 0 ?得 .f(sinx)dx? 02例11.若f(x)為連續函數，??xf(sinx)dx? -----高等數學教案-----且?ef(x?t)dt?xe，求f(x)的表達式.xt證: ? 0ef(x?t)dt xt 0x t?x?u ? xe 0x?uf(u)(?du) ??e?ef(u)du x x?u?e? 0ef(u)du.?ux 0 x所以e?ef(u)du?xe，得 x?u? 0ef(u)du?x.將上式兩邊對x求導數，得 ?x ef(x)?1，x x 0?ux -----高等數學教案-----即 f(x)?e.4.定積分的分部積分法: x ? auv?dx?(uv)?? au?vdx.bba b 例12.? 1lnxdx?(xlnx)?? 1dx 5?5ln5?x1 5515?5ln5?4.例13.? 0xedx?(xe)?? 0edx x1?e?e0 1xx10 1x?1.例14.若f(x)是以T為周期的連續函數，證明: -----高等數學教案-----? af(x)dx?? 0f(x)dx 其中a為常數.a?T T證: ? a 0 a?Tf(x)dx? T a?T? af(x)dx?? 0f(x)dx?? T a?T? Tf(x)dx af(x)dx x?u?T ? 0f(u?T)du ?? 0f(u)du ?? 0f(x)dx ??? af(x)dx.0 a a所以 ? a a?T 0f(x)dx? T 0? af(x)dx?? 0f(x)dx?? af(x)dx -----高等數學教案-----?? 0f(x)dx.T例15.設f(x)在(?? , ??)上連續，證明: 1lim?[f(x?h)?f(x)]dx?f(b)?f(a) bh?0h a證: 設f(x)的一個原函數為F(x)，則 b1lim?a [f(x?h)?f(x)]dx h?0h[F(x?h)?F(x)]?lim h?0hF(b?h)?F(b)?limh?0hF(a?h)?F(a)?limh?0h -----高等數學教案----- ba?F?(b)?F?(a)?f(b)?f(a).§5.4 反常積分 1.無窮限的反常積分: ①設f(x)在[a , ??)上連續，存在，f(x)dxt?a，如果tlim? a???則稱反常義積分? af(x)dx收斂，且 ??t ? af(x)dx?tlim.f(x)dx? a??? ??t否則稱反常積分? af(x)dx發散.?? -----高等數學教案-----②設f(x)在(?? , b]上連續，t?b，如果lim?tf(x)dx存在，t???b則稱反常義積分???f(x)dx收斂，且 b ???f(x)dx?tlim.f(x)dx????tb b否則稱反常積分???f(x)dx發散.③設f(x)在(?? , ??)上連 0 ??續，如果? ??f(x)dx與? 0f(x)dx都收斂，則稱反常積分 ??? ??f(x)dx收斂，且 b -----高等數學教案-----? ??f(x)dx ???? ??f(x)dx?? 0f(x)dx.0 ??否則稱反常積分? ??f(x)dx發散.2.引入記號: ??F(??)?limF(x)，x???F(??)?limF(x).x???若在[a , ??)上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，??? af(x)dx?F(??)?F(a) ?[F(x)].??a -----高等數學教案-----若在(?? , b]上F?(x)?f(x)，則當F(??)存在時，b???f(x)dx?F(b)?F(??) ?[F(x)].b??若在上(?? , ??)F?(x)?f(x)，則當F(??)與F(??)都存在時，?????f(x)dx?F(??)?F(??) ?[F(x)].????例1.判斷反常積分 ???x? 0xedx 2-----高等數學教案-----是否收斂，若收斂求其值.?x??1解: 原式?(?e)0 2?x11 ?xlim(?e)? ???221 ?.2 例2.判斷反常積分 ?1? ??cosxdx 22的斂散性.解: 原式?(sinx) ?1???sin(?1)?limsinx.x???sinx不存在，由于xlim所以反??? -----高等數學教案-----常積分? ??cosxdx發散.例3.討論反常積分 ?1? ??1 1x?dx.解:? ??1 1x?dx ?(lnx)????1 , ???(11????1??x)1 -----高等數學教案----- ??1 ??1的斂散性 , ???? , ??1????? , ??1 ????1?1 , ??1? ??1 1x?dx，當???1時發散.例4.判斷反常積分 ? ??1 ??1?x2dx.解: ? ??1 ??1?x2dx -----高等數學教案----- ?1所以反常積分時收斂，當 的斂散性 ?(arctanx)0???(arctanx)??0 ???? 22??.? 1 ?? 例5.判斷反常積分 1dx 2x?x ??的斂散性.1dx解: ? 1 2x?x ??11?? 1(?)dx x1?x???[lnx?ln(1?x)]1 -----高等數學教案----- ??x?[ln]1 1?xx1?limln?ln x???1?x2?ln2.3.如果f(x)在點a的任一鄰域內都無界，那么稱點a為f(x)的瑕點.4.無界函數的反常積分(瑕積分): ①設f(x)在(a , b]上連續，點a為f(x)的瑕點，t?a.如果lim?tf(x)dx存在，則稱反常積t?a? -----高等數學教案-----b分? af(x)dx收斂，且 b ? af(x)dx?lim?tf(x)dx.b bt ?a?否則稱反常積分? af(x)dx發散.②設f(x)在[a , b)上連續，點b為f(x)的瑕點，t?b.如果 blim?af(x)dx存在，則稱反常積t?b?t分? af(x)dx收斂，且 b ? af(x)dx?lim?af(x)dx.btt ?b?否則稱反常積分? af(x)dx發散.③設f(x)在[a , b]上除點c(a?c?b)外連續，點c為f(x)的 b -----高等數學教案-----瑕點.如果兩個反常積分 b c? af(x)dx、? cf(x)dx都收斂，則 b稱反常積分? af(x)dx收斂，且 b c b? af(x)dx?? af(x)dx?? cf(x)dx.b否則稱反常積分? af(x)dx發散.5.引入記號: ①設F(x)為f(x)在(a , b]上的一個原函數，a為f(x)的瑕點，則 b? af(x)dx?F(b)?limF(x) x?a??[F(x)].ba -----高等數學教案-----②設F(x)為f(x)在[a , b)上的一個原函數，b為f(x)的瑕點，則 b? af(x)dx?limF(x)?F(a) x?b??[F(x)].ba 例6.判斷反常積分? 0lnxdx的斂散性.1解:? 0lnxdx?(xlnx)??0dx 1101?0?lim(xlnx)?x x ?0?10??1.-----高等數學教案----- 1例7.討論反常積分? 0?dxx 1的斂散性.解: ? 11 0x?dx ?(lnx)10 , ??1?????(1?11??1 ?x)0 , ??1 ??0?limx ?0?lnx , ???1?lim ?0?(1?1?x1???1??x) -----高等數學教案----- ??1 ??1 , ?1 , ??1?1??????? , ??1 ??? , ??1?? 11所以反常積分? 0?dx，當??1x時收斂，當??1時發散.11 例8.判斷反常積分? ?12dxx的斂散性.1解: ? ?12dx x 01 11?? ?12dx?? 02dx xx 1 -----高等數學教案----- ----- ?3.余項rn?s?sn?un?1?un?2??.?aq?a?aq?aq???aq?n2n?1: 例1.判斷等比級數(幾何級數)n?0?? (a?0)的斂散性.a?aq解:①q?1時，sn?，1?q?na，收斂，和為limsn?aq?n??1?qn?0a.1?q -----高等數學教案----- na?aq②q?1時，sn?，1?qlimsn??，?aq發散； n??nn?0??nsn??，③q?1時，sn?na，limn??n?0?aq發散.n④q??1時，?0 , n為偶數limsn不存在，sn??，n???a , n為奇數n?0?aq發散.n?n?1例2判斷級數?ln是否收nn?1? -----高等數學教案-----斂，若收斂求其和.解: sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)? ??[ln(n?1)?lnn] ?ln(n?1).P②.3225sn??，所以原級數發散.由于limn??sn?11111(1?)?(?)?23235111??(?)22n?12n?111?(1?).22n?1 -----高等數學教案----- 1sn?，所以原級數收斂 由于limn??24.收斂級數的性質: ①如果?un收斂和為s，則?kunn?1n?1??也收斂，其和為ks；若?un發散，n?1?則?kun(k?0)也發散.n?1?②如果?un、?vn均收斂，其和n?1n?1?n?1???，分別為s、則?(un?vn)也收斂，其和為s??.-----高等數學教案----- ③在級數中去掉、加上或改變有限項，不會改變級數的收斂性.④如果?un收斂，則對這級數n?1?的項任意加括號后所成的級數(u1???un)?(un?1???un)??? (un?1???un)?? 112k?1k也收斂，且其和不變.如果一個級數發散，則加括號后所成的級數可能收斂，也可能發散.如果一個正項級數發散，則加 -----高等數學教案-----括號后所成的級數一定發散.⑤級數收斂的必要條件: 若n?1un?0.?un收斂，則limn???例3證明調和級數 1111??????? 23n是發散的.證: 假設調和級數收斂，部分 sn?s.和為sn，和為s，則limn??im(s2n?sn)?s?s?0.一方面，ln??另一方面，-----高等數學教案----- 111s2n?sn????? n?1n?22n111????? 2n2n2n1?，2(s2n?sn)?0，矛盾，故調所以limn??和級數發散.1P②.由于調和級數?發散，n?1n?1所以?也發散.n?13n?14P225⑤.由于級數?n是公比為 n?124225? -----高等數學教案-----11q?的幾何級數，而q??1，所22?1?1以?n收斂；由于級數?n是公比n?12n?1311為q?的幾何級數，而q??1，33?1所以?n收斂.n?13?1?1由于?n與?n都收斂，所以n?12n?13?11?(n?n)收斂.n?123§12.2 常數項級數的審斂法 -----高等數學教案-----1.正項級數: ?un(un?0).n?1?2.正項級數?un的部分和數列 n?1??sn?單調增加.3.正項級數?un收斂?部分和 n?1?數列?sn?有界.4.比較審斂法: 設?un、?vn都 n?1n?1??是正項級數，且un?vn.①若?vn收斂，則?un收斂； n?1?n?1??? ②若?un發散，則?vn發散.n?1n?-----高等數學教案-----5.比較審斂法的推論: 設?un、n?1n?1??vn都是正項級數.?n?1? ①若?vn收斂，且存在自然數N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?un收斂.n?1? ②若?un發散，且存在自然數n?1?N，使當n?N時有un?kvn(k?0)成立，則?vn發散.n?-----高等數學教案-----?例1.判斷p?級數 1111?p?p???p?? 23n的斂散性.解: ①當p?1時，由于1np?而??1發散，所以?n?1n?1n?1np發散.②當p?1時，對于級數 1?1112p?3p???np?? 加括號后: -----高等數學教案----- 1n，1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??234567 它的各項均不大于級數 1111111?(p?p)?(p?p?p?p224444 11?1?p?1?p?1?? 24的對應項，而后一個級數是收斂的幾何級數，所以級數 -----高等數學教案-----1111111?(p?p)?(p?p?p?p)??2345671收斂，故正項級數?p收斂.n?1n?1例2.判斷級數?lnn的斂散性.n?12?1111解: 由于lnn?logn?，而?nn?1n22?1發散，所以?lnn發散.n?12?1例3.判斷級數?lnn的斂散性.n?13???111解:由于?lnn??ln3，而?ln3n?13n?1nn?1n?1p?ln3?1，是p?級數，所以?ln3n?1n?1收斂，從而?lnn收斂.n?13?-----高等數學教案-----例4.若正項級數?an與?bn均 n?1n?1??收斂，則下列級數也收斂.①?anbn；②?(an?bn)；③ 2n?1n?1??an.?n?1n?證: ①由于?an與?bn均收斂，n?1n?1??所以?(an?bn)收斂，而n?1?an?bn?2anbn，故?anbn收斂.n?1?②由于 -----高等數學教案-----(an?bn)?an?2anbn?bn，而?an、2?n?1n?1??bn與?anbn均收斂，所以n?12???(an?bn)收斂.n?11③由于?an與?2均收斂，所n?1n?1n?11an以?(an?2)收斂，而an?2?2，n?1nnn?an故?收斂.n?1n??例5.若?an與?bn均收斂，且??n?1n?1an?cn?bn，求證:?cn收斂.n?-----高等數學教案----- ?證:由于?an與?bn均收斂，所n?1n?1??以?(bn?an)收斂.n?1?由于an?cn?bn，所以 ?n?1?bn?an?cn?an?0，而?(bn?an)收斂，故?(cn?an)收斂，而?an收斂，從n?1?n?1而?cn收斂.n?1?6.比較審斂法的極限形式: 設n?1?un、?vn均是正項級數，n?1?? -----高等數學教案----- ?un?0，且?vn收斂，則①若limn??n?1vn?un收斂.n?1??un?l(0?l???)，則?vn ②若limn??n?1vn與?un同時收斂和同時發散.n?1?un???，且?vn發散，③若limn??n?1vn?則?un發散.n?1?1例6.判斷級數?n的斂散 n?1n?n? -----高等數學教案-----性.1?n1n?n解:由于l?lim，而?1?n??1n?1nn?1發散，所以?n發散.n?1n?n?1n?1例7.判斷級數?ln的斂 n?1n?2n散性.1lnn?1nn?1解:由于l?lim?2，而n??12n??11n?1收斂.?2收斂，所以?lnn?1n?2nn?2n -----高等數學教案-----例8.判斷級數?(2?1)的斂散 nn?1?性.解: 由于 nn2?12?ln2l?lim?lim?ln2n??n??11n，??1n而?發散，所以?(2?1)發散.n?1n?1n7.比值審斂法(達朗貝爾判別法): 設?un為正項級數，且n?1? -----高等數學教案-----un?1lim??.n??un ①若??1，則?un收斂； n?1? ②若??1或????，則?un發 n?1?散； ③若??1，則?un可能收斂也 n?1?可能發散.1例9.判斷級數?的斂散 n?1(n?1)!?性.-----高等數學教案----- 1n!?0?1解: 由于??lim，n??1(n?1)!?1所以?收斂.n?1(n?1)!?n!例10.判斷級數?n的斂散性.n?110: 由于(n?1)!n?1n?110??lim?lim???，所n??n??10n!n10?n!以?n發散.n?110 -----高等數學教案-----解8.根值審斂法(柯西判別法): 設?un為正項級數，且n?1nu??.limnn??? ①若??1，則?un收斂； n?1? ②若??1或????，則?un發 n?1?散； ③若??1，則?un可能收斂也 n?1?可能發散.2n?1n例11.判斷級數?()的n?13n?1? -----高等數學教案-----斂散性.解: 由于 2n?1nn(??lim)n??3n?12n()3n?1?limn??nn3n?1，2n?1n所以?()收斂.n?13n?110.交錯級數: ?u1?u2?u3?u4??，或 ?u1?u2?u3?u4??，其中u1，u2…都是正數.-----高等數學教案-----11.萊不尼茲定理: 如果交錯級數?(?1)un滿足條件: n?1n?1? ①un?un?1； i?mun?0，②ln?則?(?1)un收斂，其和s?u1，其余n?1n?1?項的絕對值rn?un?1.例12.判斷級數?(?1)n?1?n?11的斂 n散性.解: 由于 -----高等數學教案-----11①?，即un?un?1； nn?11?0，即limu?0 ②lim，nn??n??n?n?11所以?(?1)收斂.n?1n12.絕對收斂: 如果?un收斂，n?1?則稱?un絕對收斂.n?1?例如，級數?(?1)n?1?n?11絕對收 2n斂.13.條件收斂: 如果?un收斂，n?-----高等數學教案----- ?而?un發散，則稱?un條件收斂.n?1n?1??例如，級數?(?1)n?1?n?11條件收斂.n?n?114.如果任意項級數?un的絕對值收斂，則?un收斂.n?1?1 證: 令Vn?(un?un)，21Wn?(un?un)，則un?Vn?0，2un?Wn?0.由于?un收斂，所以?Vn、?Wnn?1n?1n?-----高等數學教案-----???均收斂，故?(Vn?Wn)??un也收 n?1n?1??斂.15.設?un是任意項級數，n?1?un?1nu??，如果lim??或limnn??un??n??1，?un發散，則?un發散.n?1n?1??n例13.判別級數?(?1)是n?1n?1否收斂，若收斂是條件收斂，還 ?n?1是絕對收斂.-----高等數學教案-----解: 由于lim(?1)n??以?(?1)n?1?n?1n?1n?0，所 n?1n發散.n?1?1n?例14.判別級數?nsin是否 5n?12收斂，若收斂是條件收斂，還是絕對收斂.?1n?11?n，解: 由于nsin而?n 522n?121(是公比為q??1的幾何級數)2?1n?收斂，所以?nsin收斂，故 5n?1-----高等數學教案-----1n??nsin絕對收斂.5n?12?1例15.判別級數?(?1)ln(1?)nn?1是否收斂，若收斂是條件收斂，?n還是絕對收斂.11解: 由于ln(1?)?ln(1?)，而 n?1n1limln(1?)?0，所以交錯級數n??n?1n?(?1)ln(1?)收斂.n?1n由于 -----高等數學教案----- 1(?1)ln(1?)1 nlim?limnln(1?)n??n??1nnn1n?limln(1?)n??n?1，?1?1n而? 發散，所以?(?1)ln(1?)發n?1nn?1n?1n散，故?(?1)ln(1?)條件收斂.n?1n§12.3 冪級數 1.區間I上的函數項級數: u1(x)?u2(x)???un(x)??.-----高等數學教案-----對于x?x0?I，常數項級數 u1(x0)?u2(x0)???un(x0)?? ?n?1收斂，則稱x0為?un(x)的收斂點.收斂點的全體稱為收斂域，發散點的全體稱為發散域.2.(x?x0)的冪級數: n?0?an(x?x0)?n?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0) 2n???an(x?x0)?? -----高等數學教案-----3.x的冪級數: n?0?anx?2n?na0?a1x?a2x???anx??.4.阿貝爾定理: 如果?anx當 nn?0?則當x?x0x?x0(x0?0)時收斂，時?anx絕對收斂.反之，如果nn?0n?0???anx當x?x0時發散，則當nx?x0時?anx發散.nn?0? 5.阿貝爾定理的推論: 如果 -----高等數學教案-----n?0?anx不是僅在x?0一點收斂，n?也不是在整個數軸上收斂，則存在R?0，使得 ①當x?R時，冪級數絕對收斂； ②當x?R時，冪級數發散； ③當x?R與x??R時，冪級數可能收斂也可能發散.)為 稱R為收斂半徑，稱(?R , R)、收斂區間，收斂域是(?R , R[?R , R)、(?R , R]或[?R , R]這四 -----高等數學教案-----個區間之一(由x??R處的收斂性決定).規定冪級數僅在x?0處收斂時R?0，冪級數對一切x都收斂時R???.6.對于冪級數?anx，如果 nn?0?an?1lim??，則 n??an -----高等數學教案----- ?1 , ??0且?????R???? , ??0 ,?0 , ????.?? (?1)x例1.求?的收斂域.n?1nn(?1)n?1?1解: 由于??lim，所n?1n??(?1)n1以R??1.?n?1n? -----高等數學教案----- (?1)x1當x??1時，???(?)nnn?1n?1發散.?(?1)n?1xn?(?1)n?1當x?1時，???nnn?1n?1?(?1)n?1xn條件收斂.因此，?的收 nn?1斂域為(?1 , 1].?n1例2.求?2(3x)的收斂域.n?01?nn??nn13解: ?2(3x)? ?2x.n?01?nn?01?n??n?1n -----高等數學教案----- 321?(n?1)??lim?3nn??321?nn?1，1R?.31當時，x??3??(?1)nn1(3x)? 絕對收斂.??22n?01?nn?01?n1當時，x?3??n11?2(3x)? ?2收斂.n?01?nn?01?n?n1因此，?的收斂域為(3x)2n?01?n -----高等數學教案-----11[? , ].33(?1)n例3.求?2(x?3)的收斂n?1n?n域.解: 令x?3?t，則 (?1)(?1)nn?2(x?3)? ?2t.n?1nn?1n?(?1)nn對于，?2tn?1nn?1(?1)2(n?1)??lim?1R?1，.nn??(?1)2n?? -----高等數學教案----- nn(?1)n1當t??1時，?2t??2收n?1nn?1n??n斂.(?1)n?(?1)?2t??2絕當t?1時，n?1nn?1nn?(?1)n對收斂.因此，?2t的收斂 n?1nn?(?1)n區間為[?1 , 1]，故?2(x?3)n?1n的收斂域為[2 , 4].?2n?11例4.求?nx 的收斂域.n?03?nn -----高等數學教案----- 1x2(n?1)?1n?1213?x解: lim.n??1x2n?13n321令x?1，得?3?x?3，收3斂半徑為R?3.發散.散.2n?11當x??3時，?nx? ??3n?03n?0??2n?11當x?3時，?nx? ?3發n?03n?0??2n?11因此，?nx 的收斂域為n?03(?3 , 3).? -----高等數學教案-----7.冪級數的運算: s(x)??anxn?0?nn?0?n和?(x)??bnx的收斂半徑分別為R和R?，則 n?0????anx?nnn?0?bnx?nn?0?(an?bn)x?s(x)??(x)的收斂半徑為R?min?R , R??.8.冪級數的性質: ①?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂域I上連續.-----高等數學教案----- ②?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂域I上可積，并有逐項積分公式 ?0s(x)dx??0?anxdxn?0xx??n????0anxdx nn?0?xann?1??x(x?In?0n?1?，ann?1?nx與?anx的收斂半徑相?n?0n?0n?1同.? -----高等數學教案-----③?anx的和函數s(x)在其收nn?0?斂區間(?R , R)內可導，并有逐項求導公式 ???nns?(x)??anx??(anx)? ?n?0?n?0 ??nanx(x?R)，n?1n?1n?1??nanx?n?1與?anx的收斂半徑相 nn?0?同.n1例5.求?x的和函數.n?1n? -----高等數學教案----- 1n?1R?1.?1解: ??lim，n??1n??n1n1當x??1時，?x??(?1)收nn?1n?1n斂.n11當x?1時，?x??發散.因 n?1nn?1n?n1此，?x的收斂域為[?1 , 1).n?1n?n1令s(x)??x(?1?x?1)，則 n?1n???nn11s?(x)??x??(x)?n?1nn?1n???? -----高等數學教案-----??x n?1n?1?1?(?1?x?1).1?xs(x)?? x 0s?(x)dx?s(0) ??x10dx?0 ??1ln(?1x?x)(?1?x?1).例6.求??1xn?1在其收斂n?1n?1 , 1)上的和函數.解??1xn?1?x??1xn?x?[?ln(1?x)] n?1nn?1n -----高等數學教案----- : 域[ ??xln(1?x)x?[?1 , 1).例7.求?(n?1)x在其收斂域 nn?1?(?1 , 1)上的和函數.解: 令s(x)??(n?1)x，則 nn?1??0s(x)dx???0(n?1)xdx nn?1x?x??x n?1n?1?x? 1?x(?1?x?1).-----高等數學教案----- 2s(x)?[? 0s(x)dx]? xx?()? 1?x22x?x?2(1?x)(?1?x?1).2例8.求?nx在其收斂域(?1 , 1)nn?1?上的和函數.解: ?nx??nx??x??x nnnnn?1n?1n?1nn?1n??????(n?1)x??x n?1n?1?? -----高等數學教案----- 2x?xx? ?2(1?x)1?xx .(?1 , 1)?2(1?x)2例9.求?(n?2)x在其收斂區 nn?1?間(?1 , 1)上的和函數.解n?1: ?nn?12?(n?2)x??(n?1)x??x nnn?1??2x?x?2(1?x)x ?1?x -----高等數學教案----- 3x?2x?2(1?x)2 (?1 , 1).§12.4 函數展開成冪級數 1.設f(x)在x0的某一鄰域U(x0)內具有各階導數，冪級數 ??(x0)f2f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0) 2!f(x0)n???(x?x0)?? n!稱為f(x)的泰勒級數.(n) 如果泰勒級數收斂于f(x)，則 -----高等數學教案----- 大學生數學競賽訓練五—微分方程 一、（15分）設函數在上可導，且，對任給的滿足等式 1）求導數； 2）證明：當時，成立不等式：。 解：1）設，則有 當時有 兩邊關于求導得 解微分方程得 由條件可得，因此 2）當時，所以此時有； 又因為，當時，所以此時有，因此當時，有 二、（15分）設微分方程的兩個解滿足求此微分方程的通解。 解：1）如果為常數，則有 因為，所以，由此可得，此時方程變為 令，則有 2）如果不是常數，則有，代入原方程可得 （1） （2） 由（1）、（2）可得 令，則有，解得，因為它們是線性無關的，所求通解為 三、（15分）有一個攀巖愛好者要攀登一個表面為的山巖，在攀巖時他總是沿著最陡峭的路線攀登，他的出發點在山下的一點處，求他攀登的路線方程。 解：設所求曲線在面上的投影為，則其切向量與函數的梯度平行，因此有 此為一階齊次方程，解得，由可得，再由題意得到 所求曲線方程為。 四、（15分）求方程的通解。 解：設，則有，原方程化為 解得 五、(15分)設，求在上的連續函數使得其在上滿足方程 及初值條件。 解：解方程得 當時，當時，由的連續性可得，又因為可得，所求函數為。 六、（15分）已知二元函數有二階連續的偏導數，并且滿足 證明：。 證明：因為二元函數有二階連續的偏導數，所以 由此可得。 七、第三篇：高等數學教案
第四篇：高等數學教案12
第五篇：大學 高等數學 競賽訓練 微分方程
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